Reguli zecimale 5. Ce poți face cu zecimale? Algoritm pentru conversia unei fracții obișnuite într-o zecimală finală

Acest material ne vom dedica unui subiect atât de important ca fracțiile zecimale. În primul rând, să definim definițiile de bază, să dăm exemple și să ne oprim asupra regulilor de notație zecimală, precum și asupra cifrelor fracțiilor zecimale. În continuare, evidențiem principalele tipuri: fracții finite și infinite, periodice și neperiodice. În partea finală, vom arăta cum sunt situate punctele corespunzătoare numerelor fracționale pe axa de coordonate.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Ce este notația zecimală pentru numerele fracționale

Așa-numita notație zecimală pentru numerele fracționale poate fi folosită atât pentru numerele naturale, cât și pentru numerele fracționale. Arată ca un set de două sau mai multe numere cu o virgulă între ele.

Punctul zecimal este folosit pentru a separa partea întreagă de partea fracțională. De regulă, ultima cifră a unei zecimale nu este niciodată zero, cu excepția cazului în care punctul zecimal este imediat după primul zero.

Care sunt câteva exemple de numere fracționale în notație zecimală? Poate fi 34 , 21 , 0 , 35035044 , 0 , 0001 , 11 231 552 , 9 etc.

În unele manuale, puteți găsi utilizarea unui punct în loc de virgulă (5. 67, 6789. 1011 etc.) Această opțiune este considerată echivalentă, dar este mai tipică pentru sursele în limba engleză.

Definiţia decimals

Pe baza conceptului de notație zecimal de mai sus, putem formula următoarea definiție a fracțiilor zecimale:

Definiția 1

Decimale sunt numere fracționale în notație zecimală.

De ce trebuie să scriem fracții în această formă? Ne oferă câteva avantaje față de cele obișnuite, de exemplu, mai multe notație compactă, mai ales în cazurile în care numitorul este 1000, 100, 10 etc. sau un număr mixt. De exemplu, în loc de 6 10 putem specifica 0 , 6 , în loc de 25 10000 - 0 , 0023 , în loc de 512 3 100 - 512 , 03 .

Cum să reprezinte corect fracțiile obișnuite cu zeci, sute, mii la numitor sub formă zecimală va fi descris într-un material separat.

Cum să citești corect zecimale

Există câteva reguli pentru citirea înregistrărilor zecimale. Deci, acele fracții zecimale care corespund echivalentelor lor ordinare corecte se citesc aproape la fel, dar cu adăugarea cuvintelor „zero zecimi” la început. Deci, intrarea 0 , 14 , care corespunde cu 14 100 , este citită ca „zero virgulă paisprezece sutimi”.

Dacă o fracție zecimală poate fi asociată cu un număr mixt, atunci se citește în același mod ca acest număr. Deci, dacă avem o fracție 56, 002, care corespunde cu 56 2 1000, citim o astfel de intrare ca „cincizeci și șase virgulă două miimi”.

Valoarea unei cifre într-o notație zecimală depinde de locul în care se află (la fel ca în cazul numerelor naturale). Deci, în fracția zecimală 0, 7, șapte este zecimi, în 0, 0007 este zece miimi, iar în fracția 70.000, 345 înseamnă șapte zeci de mii de unități întregi. Astfel, în fracțiile zecimale, există și conceptul de cifră numerică.

Numele cifrelor situate înaintea virgulei sunt similare cu cele care există în numere naturale. Numele celor care se află după sunt prezentate clar în tabel:

Să luăm un exemplu.

Exemplul 1

Avem zecimala 43.098. Are un patru pe locul zecilor, un trei pe locul unităților, zero pe locul zece, 9 pe locul sute și 8 pe locul mie.

Se obișnuiește să se distingă cifrele fracțiilor zecimale după vechime. Dacă trecem prin numere de la stânga la dreapta, atunci vom trece de la cifrele mari la cele mai mici. Se dovedește că sutele sunt mai vechi decât zeci, iar milionimile sunt mai tinere decât sutimile. Dacă luăm acea fracție zecimală finală, pe care am citat-o ​​ca exemplu mai sus, atunci în ea cea mai mare, sau cea mai mare, va fi cifra sutelor, iar cea mai mică, sau cea mai mică, va fi cifra de 10 miimi.

Orice fracție zecimală poate fi descompusă în cifre separate, adică reprezentată ca o sumă. Această acțiune se realizează în același mod ca și pentru numere naturale.

Exemplul 2

Să încercăm să extindem fracția 56, 0455 în cifre.

Vom fi în stare să:

56 , 0455 = 50 + 6 + 0 , 4 + 0 , 005 + 0 , 0005

Dacă ne amintim proprietățile adunării, putem reprezenta această fracție sub alte forme, de exemplu, ca suma 56 + 0, 0455 sau 56, 0055 + 0, 4 etc.

Ce sunt zecimalele finale

Toate fracțiile despre care am vorbit mai sus sunt finite zecimale. Aceasta înseamnă că numărul de cifre după virgulă zecimală este finit. Să obținem definiția:

Definiția 1

zecimalele finale sunt un tip de zecimală care are un număr finit de cifre după virgulă.

Exemple de astfel de fracții pot fi 0, 367, 3, 7, 55, 102567958, 231032, 49 etc.

Oricare dintre aceste fracții poate fi convertită fie într-un număr mixt (dacă valoarea părții lor fracționale este diferită de zero), fie într-o fracție obișnuită (dacă partea întreagă este zero). Am dedicat un material separat modului în care se face acest lucru. Să subliniem doar câteva exemple aici: de exemplu, putem aduce fracția zecimală finală 5 , 63 la forma 5 63 100 , iar 0 , 2 corespunde cu 2 10 (sau orice altă fracție egală cu aceasta, de exemplu, 4 20 sau 1 5.)

Dar procesul invers, adică. scrierea unei fracții obișnuite în formă zecimală poate să nu fie întotdeauna efectuată. Deci, 5 13 nu poate fi înlocuit cu o fracție egală cu un numitor de 100, 10 etc., ceea ce înseamnă că fracția zecimală finală nu va funcționa din ea.

Principalele tipuri de fracții zecimale infinite: fracții periodice și neperiodice

Am subliniat mai sus că fracțiile finite sunt numite astfel deoarece au un număr finit de cifre după virgulă. Cu toate acestea, poate fi infinit, caz în care fracțiile în sine vor fi numite și infinite.

Definiția 2

Decimale infinite sunt cele care au un număr infinit de cifre după virgulă.

Evident, astfel de numere pur și simplu nu pot fi scrise complet, așa că indicăm doar o parte din ele și apoi punem puncte suspensive. Acest semn indică o continuare infinită a succesiunii de zecimale. Exemple de zecimale infinite ar fi 0 , 143346732 ... , 3 , 1415989032 ... , 153 , 0245005 ... , 2 , 66666666666 ... , 69 , 748768152 ... etc.

În „coada” unei astfel de fracțiuni, pot exista nu numai secvențe de numere aparent aleatorii, ci și o repetare constantă a aceluiași caracter sau grup de caractere. Fracțiile cu alternanță după virgulă zecimală se numesc periodice.

Definiția 3

Fracțiile zecimale periodice sunt astfel de fracții zecimale infinite în care o cifră sau un grup de mai multe cifre se repetă după virgulă. Partea care se repetă se numește perioada fracției.

De exemplu, pentru fracția 3, 444444 ... . perioada va fi numărul 4, iar pentru 76, 134134134134 ... - grupa 134.

Care este numărul minim de caractere permis într-o fracție periodică? Pentru fracțiile periodice, va fi suficient să scrieți întreaga perioadă o dată în paranteze. Deci, fracția este 3, 444444 ... . va fi corect să scrieți ca 3, (4) și 76, 134134134134 ... - ca 76, (134) .

În general, intrările cu mai multe puncte între paranteze vor avea exact aceeași semnificație: de exemplu, fracția periodică 0,677777 este aceeași cu 0,6 (7) și 0,6 (77) etc. Sunt permise și intrări precum 0 , 67777 (7) , 0 , 67 (7777) și altele.

Pentru a evita erorile, introducem uniformitatea notației. Să fim de acord să scriem o singură perioadă (cea mai scurtă secvență de cifre posibilă), care este cea mai apropiată de punctul zecimal și să o închidem în paranteze.

Adică, pentru fracția de mai sus, vom considera intrarea 0, 6 (7) drept principală și, de exemplu, în cazul fracției 8, 9134343434, vom scrie 8, 91 (34) .

Dacă numitorul unei fracții comune conține factori primi, nu sunt egale cu 5 și 2, apoi, atunci când sunt convertite în notație zecimală, se vor dovedi a fi fracții infinite.

În principiu, putem scrie orice fracție finită ca una periodică. Pentru a face acest lucru, trebuie doar să adăugăm un număr infinit de zerouri la dreapta. Cum arată pe înregistrare? Să presupunem că avem o fracție finală 45, 32. În formă periodică, va arăta ca 45 , 32 (0) . Această acțiune este posibilă deoarece adăugarea zerourilor la dreapta oricărei fracții zecimale ne oferă ca rezultat o fracție egală cu aceasta.

Separat, ar trebui să ne oprim asupra fracțiilor periodice cu o perioadă de 9, de exemplu, 4, 89 (9), 31, 6 (9) . Ele sunt o notație alternativă pentru fracții similare cu o perioadă de 0, așa că sunt adesea înlocuite atunci când se scriu cu fracții cu o perioadă zero. În același timp, se adaugă unul la valoarea cifrei următoare, iar (0) este indicat în paranteze. Egalitatea numerelor rezultate este ușor de verificat prezentându-le ca fracții obișnuite.

De exemplu, fracția 8, 31 (9) poate fi înlocuită cu fracția corespunzătoare 8, 32 (0). Sau 4 , (9) = 5 , (0) = 5 .

Fracțiile periodice zecimale infinite se referă la numere rationale. Cu alte cuvinte, orice fracție periodică poate fi reprezentată ca o fracție obișnuită și invers.

Există, de asemenea, fracții în care nu există o secvență care se repetă la infinit după virgulă. În acest caz, ele se numesc fracții neperiodice.

Definiția 4

Fracțiile zecimale neperiodice includ acele fracții zecimale infinite care nu conțin punct după virgulă, adică. grup repetat de numere.

Uneori, fracțiile neperiodice arată foarte asemănătoare cu cele periodice. De exemplu, 9 , 03003000300003 ... la prima vedere pare să aibă un punct, totuși analiză detaliată zecimale confirmă că aceasta este încă o fracție neperiodică. Trebuie să fii foarte atent cu astfel de numere.

Fracțiile neperiodice sunt numere irationale. Ele nu sunt convertite în fracții obișnuite.

Operații de bază cu zecimale

Cu fracții zecimale pot fi efectuate următoarele operații: comparare, scădere, adunare, împărțire și înmulțire. Să analizăm fiecare dintre ele separat.

Compararea zecimalelor poate fi redusă la compararea fracțiilor obișnuite care corespund zecimalelor originale. Dar fracțiile neperiodice infinite nu pot fi reduse la această formă, iar conversia fracțiilor zecimale în cele obișnuite este adesea o sarcină laborioasă. Cum să efectuăm rapid o acțiune de comparație dacă trebuie să o facem în cursul rezolvării problemei? Este convenabil să comparăm fracțiile zecimale după cifre în același mod în care comparăm numerele naturale. Vom dedica un articol separat acestei metode.

Pentru a adăuga o fracție zecimală la alta, este convenabil să folosiți metoda adunării coloanelor, ca și în cazul numerelor naturale. Pentru a adăuga fracții zecimale periodice, trebuie mai întâi să le înlocuiți cu unele obișnuite și să numărați conform schema standard. Dacă, conform condițiilor problemei, trebuie să adăugăm fracții neperiodice infinite, atunci trebuie mai întâi să le rotunjim la o anumită cifră, apoi să le adunăm. Cu cât cifra la care rotunjim este mai mică, cu atât va fi mai mare acuratețea calculului. Pentru scăderea, înmulțirea și împărțirea fracțiilor infinite este necesară și rotunjirea preliminară.

Găsirea diferenței fracțiilor zecimale este opusul adunării. De fapt, cu ajutorul scăderii, putem găsi un număr a cărui sumă cu fracția scăzută ne va da pe cea redusă. Vom vorbi despre asta mai detaliat într-un articol separat.

Înmulțirea fracțiilor zecimale se face în același mod ca și pentru numerele naturale. Metoda de calcul prin coloană este, de asemenea, potrivită pentru aceasta. Reducem din nou această acțiune cu fracții periodice la înmulțirea fracțiilor ordinare după regulile deja studiate. Fracțiile infinite, după cum ne amintim, trebuie să fie rotunjite înainte de numărare.

Procesul de împărțire a zecimalelor este inversul procesului de înmulțire. Când rezolvăm probleme, folosim și numărătoarea coloanelor.

Puteți seta o corespondență exactă între zecimala finală și un punct de pe axa de coordonate. Să ne dăm seama cum să marchem un punct pe axă care va corespunde exact cu fracția zecimală necesară.

Am studiat deja cum să construim puncte corespunzătoare fracțiilor obișnuite, iar fracțiile zecimale pot fi reduse la această formă. De exemplu, o fracție obișnuită 14 10 este aceeași cu 1 , 4 , astfel încât punctul corespunzător acesteia va fi îndepărtat de la origine în direcția pozitivă exact la aceeași distanță:

Puteți face fără a înlocui fracția zecimală cu una obișnuită și luați ca bază metoda de extindere a cifrelor. Deci, dacă trebuie să marchem un punct a cărui coordonată va fi egală cu 15 , 4008 , atunci vom reprezenta mai întâi acest număr ca o sumă 15 + 0 , 4 + , 0008 . Pentru început, lăsăm deoparte 15 segmente întregi de unitate în direcția pozitivă de la origine, apoi 4 zecimi dintr-un segment și apoi 8 zecimii dintr-un segment. Ca rezultat, vom obține un punct de coordonate, care corespunde fracției 15, 4008.

Pentru o fracție zecimală infinită, este mai bine să utilizați această metodă specială, deoarece vă permite să vă apropiați de punctul dorit cât de aproape doriți. În unele cazuri, este posibil să construiți o corespondență exactă a unei fracții infinite pe axa de coordonate: de exemplu, 2 = 1, 41421. . . , iar această fracție poate fi asociată cu un punct de pe raza de coordonate, îndepărtat de 0 prin lungimea diagonalei pătratului, a cărui latură va fi egală cu un segment unitar.

Dacă nu găsim un punct pe axă, ci o fracție zecimală corespunzătoare acestuia, atunci această acțiune se numește măsurarea zecimală a segmentului. Să vedem cum să o facem corect.

Să presupunem că trebuie să ajungem de la zero la un punct dat pe axa de coordonate (sau să ne apropiem cât mai mult posibil în cazul unei fracții infinite). Pentru a face acest lucru, lăsăm treptat deoparte segmente de unitate de la origine până ajungem la punctul dorit. După segmente întregi, dacă este necesar, măsurăm zecimi, sutimi și părți mai mici, astfel încât corespondența să fie cât mai precisă. Ca rezultat, am obținut o fracție zecimală care corespunde unui punct dat de pe axa de coordonate.

Mai sus am dat o poză cu un punct M. Privește-l din nou: pentru a ajunge în acest punct, trebuie să măsurați un segment de unitate de la zero și patru zecimi din acesta, deoarece acest punct corespunde fracțiunii zecimale 1, 4.

Dacă nu putem atinge un punct în procesul de măsurare zecimală, atunci înseamnă că îi corespunde o fracție zecimală infinită.

Dacă observați o greșeală în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Fracții

Atenţie!
Există suplimentare
material în secțiunea specială 555.
Pentru cei care puternic „nu foarte...”
Și pentru cei care „foarte mult...”)

Fracțiile din liceu nu sunt foarte enervante. Deocamdată. Până când dai peste exponenți cu exponenți raționali și logaritmi. Și acolo…. Apăsați, apăsați pe calculator și acesta arată întreg tabloul de bord al unor numere. Trebuie să gândești cu capul, ca în clasa a treia.

Să ne ocupăm de fracții, în sfârșit! Ei bine, cât de mult te poți încurca în ele!? În plus, totul este simplu și logic. Asa de, ce sunt fractiile?

Tipuri de fracții. Transformări.

Fracțiile se întâmplă trei tipuri.

1. Fracții comune , De exemplu:

Uneori, în loc de linie orizontală, pun o oblică: 1/2, 3/4, 19/5, bine, și așa mai departe. Aici vom folosi adesea această ortografie. Numărul de sus este numit numărător, inferior - numitor. Dacă confundați în mod constant aceste nume (se întâmplă ...), spuneți-vă expresia cu expresia: " Zzzzz tine minte! Zzzzz numitor – afară zzzz u!" Uite, totul va fi amintit.)

O liniuță, care este orizontală, care este oblică, înseamnă Divizia număr de sus (numărător) până la numărul de jos (numitor). Si asta e! În loc de liniuță, este foarte posibil să puneți un semn de divizare - două puncte.

Când împărțirea este posibilă în întregime, trebuie făcută. Deci, în locul fracției „32/8” este mult mai plăcut să scrieți numărul „4”. Acestea. 32 este pur și simplu împărțit la 8.

32/8 = 32: 8 = 4

Nu vorbesc despre fracția „4/1”. Care este, de asemenea, doar „4”. Și dacă nu se împarte complet, îl lăsăm ca o fracție. Uneori trebuie să faci invers. Faceți o fracție dintr-un număr întreg. Dar mai multe despre asta mai târziu.

2. zecimale , De exemplu:

În această formă va fi necesar să scrieți răspunsurile la sarcinile „B”.

3. numere mixte , De exemplu:

Numerele mixte practic nu sunt folosite în liceu. Pentru a lucra cu ele, acestea trebuie convertite în fracții obișnuite. Dar cu siguranță trebuie să știi cum să o faci! Și apoi un astfel de număr va apărea în puzzle și va atârna ... De la zero. Dar ne amintim de această procedură! Puțin mai jos.

Cel mai versatil fracții comune. Să începem cu ei. Apropo, dacă există tot felul de logaritmi, sinusuri și alte litere în fracție, acest lucru nu schimbă nimic. În sensul că totul acțiunile cu expresii fracționale nu sunt diferite de acțiunile cu fracții obișnuite!

Proprietatea de bază a unei fracții.

Deci să mergem! În primul rând, o să vă surprind. Întreaga varietate de transformări de fracții este asigurată de o singură proprietate! Așa se numește proprietatea de baza a fractiei. Tine minte: Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite (împărțite) cu același număr, fracția nu se va modifica. Acestea:

E clar că poți scrie mai departe, până ești albastru la față. Nu lăsați sinusurile și logaritmii să vă încurce, ne vom ocupa de ele în continuare. Principalul lucru de înțeles este că toate aceste expresii variate sunt aceeași fracție . 2/3.

Și avem nevoie de ea, toate aceste transformări? Si cum! Acum vei vedea singur. În primul rând, să folosim proprietatea de bază a unei fracții pentru abrevieri de fracțiuni. S-ar părea că chestia este elementară. Împărțim numărătorul și numitorul la același număr și gata! Este imposibil să greșești! Dar... omul este o ființă creativă. Poți face greșeli peste tot! Mai ales dacă trebuie să reduceți nu o fracție ca 5/10, ci o expresie fracțională cu tot felul de litere.

Cum să reduceți fracțiile corect și rapid fără a face lucrări inutile poate fi găsit în Secțiunea specială 555.

Un elev normal nu se deranjează să împartă numărătorul și numitorul la același număr (sau expresie)! Pur și simplu taie totul la fel de sus și de jos! Aici pândește o greșeală tipică, o gafă, dacă vrei.

De exemplu, trebuie să simplificați expresia:

Nu e nimic de gândit, tăiem litera „a” de sus și zeul de jos! Primim:

Totul este corect. Dar chiar ai împărtășit întregul numărător și întregul numitor „a”. Dacă sunteți obișnuit să bifați, atunci, în grabă, puteți tăia „a” din expresie

si ia din nou

Ceea ce ar fi categoric gresit. Pentru că aici întregul numărător pe „a” deja nu împărtășită! Această fracție nu poate fi redusă. Apropo, o astfel de abreviere este, um... o serioasă provocare pentru profesor. Acest lucru nu este iertat! Tine minte? La reducere, este necesar să se împartă întregul numărător și întregul numitor!

Reducerea fracțiilor face viața mult mai ușoară. Veți obține o fracție undeva, de exemplu 375/1000. Și cum să lucrez cu ea acum? Fără calculator? Înmulțiți, spuneți, adăugați, pătrați!? Și dacă nu ești prea leneș, dar reduce cu grijă cu cinci, și chiar cu cinci, și chiar... cât timp se reduce, pe scurt. Primim 3/8! Mult mai frumos, nu?

Proprietatea de bază a unei fracții vă permite să convertiți fracțiile obișnuite în zecimale și invers fara calculator! Acest lucru este important pentru examen, nu?

Cum se transformă fracțiile dintr-o formă în alta.

Cu zecimale este ușor. Cum se aude, așa este scris! Să spunem 0,25. Este zero punct, douăzeci și cinci de sutimi. Deci scriem: 25/100. Reducem (împărțim numărătorul și numitorul la 25), obținem fracția obișnuită: 1/4. Toate. Se întâmplă și nimic nu se reduce. Ca 0,3. Aceasta este trei zecimi, adică 3/10.

Ce se întâmplă dacă numerele întregi sunt diferite de zero? E bine. Notează întreaga fracție fara nicio virgula la numărător, iar la numitor - ceea ce se aude. De exemplu: 3.17. Sunt trei întregi, șaptesprezece sutimi. Scriem 317 la numărător și 100 la numitor, obținem 317/100. Nimic nu este redus, asta înseamnă totul. Acesta este răspunsul. Primar Watson! Din toate cele de mai sus, o concluzie utilă: orice fracție zecimală poate fi convertită într-o fracție comună .

Dar conversia inversă, obișnuită în zecimală, unii nu se pot descurca fără un calculator. Și este necesar! Cum vei nota răspunsul la examen!? Citim cu atenție și stăpânim acest proces.

Ce este o fracție zecimală? Ea are la numitor Mereu valorează 10 sau 100 sau 1000 sau 10000 și așa mai departe. Dacă fracția ta obișnuită are un astfel de numitor, nu este nicio problemă. De exemplu, 4/10 = 0,4. Sau 7/100 = 0,07. Sau 12/10 = 1,2. Și dacă în răspunsul la sarcina secțiunii „B” sa dovedit 1/2? Ce vom scrie ca răspuns? Sunt necesare zecimale...

Ne amintim proprietatea de baza a fractiei ! Matematica vă permite în mod favorabil să înmulțiți numărătorul și numitorul cu același număr. Pentru oricine, apropo! Cu excepția zero, desigur. Să folosim această funcție în avantajul nostru! Cu ce ​​poate fi înmulțit numitorul, adică 2 ca să devină 10, sau 100, sau 1000 (mai mic este mai bine, desigur...)? 5, evident. Simțiți-vă liber să înmulțiți numitorul (acesta este S.U.A necesar) cu 5. Dar, atunci și numărătorul trebuie înmulțit cu 5. Aceasta este deja matematică cereri! Obținem 1/2 \u003d 1x5 / 2x5 \u003d 5/10 \u003d 0,5. Asta e tot.

Cu toate acestea, se întâlnesc tot felul de numitori. De exemplu, fracția 3/16 va scădea. Încercați, aflați-vă cu ce să înmulțiți 16 pentru a obține 100 sau 1000... Nu funcționează? Apoi puteți împărți pur și simplu 3 la 16. În lipsa unui calculator, va trebui să împărțiți într-un colț, pe o foaie de hârtie, așa cum se predau în clasele elementare. Obținem 0,1875.

Și există niște numitori foarte răi. De exemplu, fracția 1/3 nu poate fi transformată într-o zecimală bună. Atât pe un calculator, cât și pe o bucată de hârtie, obținem 0,3333333 ... Aceasta înseamnă că 1/3 într-o fracție zecimală exactă nu se traduce. La fel ca 1/7, 5/6 și așa mai departe. Multe dintre ele sunt intraductibile. De aici o altă concluzie utilă. Nu orice fracție comună se convertește într-o zecimală. !

Apropo, acestea sunt informații utile pentru autoexaminare. În secțiunea „B” ca răspuns, trebuie să scrieți o fracție zecimală. Și ai primit, de exemplu, 4/3. Această fracție nu este convertită în zecimală. Asta înseamnă că undeva pe parcurs ai făcut o greșeală! Revino, verifică soluția.

Deci, cu fracțiile ordinare și zecimale sortate. Rămâne să ne ocupăm de numere mixte. Pentru a lucra cu ele, toate trebuie convertite în fracții obișnuite. Cum să o facă? Poți să prinzi un elev de clasa a șasea și să-l întrebi. Dar nu întotdeauna un elev de clasa a șasea va fi la îndemână... Va trebui să o facem singuri. Nu e greu. Înmulțiți numitorul părții fracționale cu partea întreagă și adăugați numărătorul părții fracționale. Acesta va fi numărătorul unei fracții comune. Dar numitorul? Numitorul va rămâne același. Sună complicat, dar de fapt este destul de simplu. Să vedem un exemplu.

Lăsați problema pe care ați văzut-o cu groază numărul:

Calm, fără panică, înțelegem. Toată parte este 1. Unu. Partea fracționată este 3/7. Prin urmare, numitorul părții fracționale este 7. Acest numitor va fi numitorul fracției ordinare. Numărăm numărătorul. Înmulțim 7 cu 1 (partea întreagă) și adunăm 3 (numărătorul părții fracționale). Obținem 10. Acesta va fi numărătorul unei fracții obișnuite. Asta e tot. Arată și mai simplu în notație matematică:

Clar? Atunci asigură-ți succesul! Convertiți în fracții comune. Ar trebui să obțineți 10/7, 7/2, 23/10 și 21/4.

Operația inversă - conversia unei fracții improprie într-un număr mixt - este rareori necesară în liceu. Ei bine, dacă... Și dacă tu - nu în liceu - poți să te uiți la Secțiunea specială 555. În același loc, apropo, veți învăța despre fracțiile improprii.

Ei bine, aproape totul. Ți-ai amintit tipurile de fracții și ai înțeles Cum convertiți-le dintr-un tip în altul. Intrebarea ramane: Pentru ce Fă-o? Unde și când să aplici această cunoaștere profundă?

Raspund. Orice exemplu sugerează acțiunile necesare. Dacă în exemplu fracții obișnuite, zecimale și chiar numere mixte sunt amestecate într-un grup, traducem totul în fracții obișnuite. Se poate face oricând. Ei bine, dacă se scrie ceva de genul 0,8 + 0,3, atunci credem că da, fără nicio traducere. De ce avem nevoie de muncă suplimentară? Alegem soluția care este convenabilă S.U.A !

Dacă sarcina este plină de fracții zecimale, dar um... un fel de diabolice, du-te la cele obișnuite, încearcă! Uite, totul va fi bine. De exemplu, trebuie să pătrați numărul 0,125. Nu este atât de ușor dacă nu ți-ai pierdut obiceiul cu calculatorul! Nu numai că trebuie să înmulțiți numerele dintr-o coloană, ci și să vă gândiți unde să introduceți virgula! Cu siguranță nu funcționează în mintea mea! Și dacă te duci la o fracție obișnuită?

0,125 = 125/1000. Reducem cu 5 (asta e pentru inceput). Primim 25/200. Din nou pe 5. Primim 5/40. Oh, se micșorează! Înapoi la 5! Primim 1/8. Pătrați cu ușurință (în mintea dvs.!) și obțineți 1/64. Toate!

Să rezumam această lecție.

1. Există trei tipuri de fracții. Numere ordinare, zecimale și mixte.

2. Decimale și numere mixte Mereu pot fi convertite în fracții comune. Traducere inversă nu intotdeauna disponibil.

3. Alegerea tipului de fracții pentru lucrul cu sarcina depinde chiar de această sarcină. În prezența tipuri diferite fracții într-o singură sarcină, cel mai fiabil lucru este să treceți la fracții obișnuite.

Acum poți exersa. Mai întâi, convertiți aceste fracții zecimale în fracții obișnuite:

3,8; 0,75; 0,15; 1,4; 0,725; 0,012

Ar trebui să obțineți răspunsuri ca acesta (în mizerie!):

Pe asta vom termina. În această lecție, am analizat punctele cheie ale fracțiilor. Se întâmplă, totuși, că nu există nimic special de reîmprospătat ...) Dacă cineva a uitat complet sau nu a stăpânit încă ... Aceștia pot merge la o secțiune specială 555. Toate elementele de bază sunt detaliate acolo. Mulți dintr-o dată intelege totulîncep. Și rezolvă fracții din mers).

Daca va place acest site...

Apropo, mai am câteva site-uri interesante pentru tine.)

Puteți exersa rezolvarea exemplelor și puteți afla nivelul dvs. Testare cu verificare instantanee. Învățarea - cu interes!)

vă puteți familiariza cu funcțiile și derivatele.

În acest articol, vom înțelege ce este o fracție zecimală, ce caracteristici și proprietăți are. Merge! 🙂

Fracția zecimală este un caz special al fracțiilor ordinare (în care numitorul este un multiplu al lui 10).

Definiție

Decimalele sunt fracții ai căror numitori sunt numere formate din unu și un anumit număr de zerouri care le urmează. Adică, acestea sunt fracții cu numitorul 10, 100, 1000 etc. În caz contrar, o fracție zecimală poate fi caracterizată ca o fracție cu numitorul lui 10 sau una dintre puterile lui zece.

Exemple de fracțiuni:

, ,

O fracție zecimală este scrisă diferit de o fracție comună. Operațiile cu aceste fracții sunt, de asemenea, diferite de operațiile cu cele obișnuite. Regulile pentru operațiunile pe ele sunt în mare măsură apropiate de regulile pentru operațiunile pe numere întregi. Acest lucru, în special, determină relevanța lor în rezolvarea problemelor practice.

Reprezentarea unei fracții în notație zecimală

Nu există un numitor în notația zecimală, acesta afișează numărul numărătorului. ÎN vedere generala Fracția zecimală se scrie astfel:

unde X este partea întreagă a fracției, Y este partea sa fracțională, "," este punctul zecimal.

Pentru reprezentarea corectă a unei fracții obișnuite ca zecimală, este necesar ca aceasta să fie corectă, adică cu o parte întreagă evidențiată (dacă este posibil) și un numărător mai mic decât numitorul. Apoi, în notație zecimală, partea întreagă este scrisă înainte de virgulă zecimală (X), iar numărătorul fracției ordinare este scris după virgulă zecimală (Y).

Dacă numărătorul reprezintă un număr cu un număr de cifre mai mic decât numărul de zerouri din numitor, atunci în partea Y numărul de cifre lipsă din notația zecimală este completat cu zerouri în fața cifrelor numărătorului.

Exemplu:

Dacă fracția obișnuită este mai mică decât 1, adică nu are o parte întreagă, atunci 0 se scrie sub formă zecimală pentru X.

În partea fracționară (Y), după ultima cifră semnificativă (alta decât zero), poate fi introdus un număr arbitrar de zerouri. Nu afectează valoarea fracției. Și invers: toate zerourile de la sfârșitul părții fracționale a fracției zecimale pot fi omise.

Citirea zecimale

Partea X se citește în cazul general după cum urmează: „X numere întregi”.

Partea Y se citește în funcție de numărul din numitor. Pentru numitorul 10, ar trebui să citiți: „Y zecimi”, pentru numitorul 100: „Y sutimi”, pentru numitorul 1000: „Y zecimi” și așa mai departe... 😉

O altă abordare a citirii este considerată mai corectă, bazată pe numărarea numărului de cifre ale părții fracționale. Pentru a face acest lucru, trebuie să înțelegeți că cifrele fracționale sunt situate în reflexie în oglindăîn raport cu cifrele părții întregi a fracției.

Numele pentru citirea corectă sunt date în tabel:

Pe baza acestui fapt, citirea ar trebui să se bazeze pe corespondența cu numele categoriei ultimei cifre a părții fracționale.

• 3.5 spune „trei virgulă cinci”
• 0,016 arată ca „zero virgulă șaisprezece miimi”

Conversia unei fracții ordinare arbitrare într-o zecimală

Dacă numitorul unei fracții obișnuite este 10 sau o putere a lui zece, atunci fracția este convertită așa cum este descris mai sus. În alte situații, sunt necesare transformări suplimentare.

Există 2 moduri de a traduce.

Primul mod de traducere

Numătorul și numitorul trebuie înmulțite cu un astfel de număr întreg încât numitorul să fie 10 sau una dintre puterile lui zece. Și apoi fracția este reprezentată în notație zecimală.

Această metodă este aplicabilă fracțiilor, al căror numitor este descompus numai în 2 și 5. Deci, în exemplul anterior . Dacă există și alți factori primi în expansiune (de exemplu, ), atunci va trebui să recurgeți la metoda a 2-a.

Al doilea mod de traducere

A doua metodă este de a împărți numărătorul la numitor într-o coloană sau pe un calculator. Partea întreagă, dacă există, nu este implicată în transformare.

Regula împărțirii lungi care are ca rezultat o fracție zecimală este descrisă mai jos (vezi Împărțirea zecimalelor).

Convertiți zecimal în obișnuit

Pentru a face acest lucru, partea sa fracțională (în dreapta virgulei) ar trebui să fie scrisă ca numărător, iar rezultatul citirii părții fracționale ar trebui să fie scris ca număr corespunzător în numitor. În plus, dacă este posibil, trebuie să reduceți fracția rezultată.

Sfârșit și zecimal infinit

Fracția zecimală se numește finală, a cărei parte fracțională este formată dintr-un număr finit de cifre.

Toate exemplele de mai sus conțin exact fracțiile zecimale finale. Cu toate acestea, nu orice fracție obișnuită poate fi reprezentată ca o zecimală finală. Dacă prima metodă de translație pentru o anumită fracție nu este aplicabilă, iar metoda a 2-a demonstrează că împărțirea nu poate fi finalizată, atunci se poate obține doar o fracție zecimală infinită.

Este imposibil să scrieți o fracție infinită în forma sa completă. Într-o formă incompletă, astfel de fracții pot fi reprezentate:

1. ca urmare a reducerii la numărul dorit de zecimale;
2. sub forma unei fracţiuni periodice.

O fracție se numește periodică, în care, după virgulă, se poate distinge o succesiune de cifre care se repetă la infinit.

Fracțiile rămase se numesc neperiodice. Pentru fracțiile neperiodice, este permisă doar prima metodă de reprezentare (rotunjire).

Un exemplu de fracție periodică: 0,8888888 ... Există o cifră 8 care se repetă aici, care, evident, se va repeta la infinit, deoarece nu există niciun motiv să presupunem altfel. Acest număr este numit perioada de fracție.

Fracțiile periodice sunt pure și amestecate. O fracție zecimală este pură, în care perioada începe imediat după virgulă. La fracție mixtă există 1 sau mai multe cifre înainte de punctul de după virgulă.

54,33333 ... - fracție zecimală pură periodică

2,5621212121 ... - fracție mixtă periodică

Exemple de scriere a zecimale infinite:

Al doilea exemplu arată cum se formează corect o perioadă într-o fracție periodică.

Conversia zecimale periodice în ordinare

Pentru a converti o fracție periodică pură într-o perioadă obișnuită, scrieți-o la numărător și scrieți la numitor un număr format din nouă într-o sumă egală cu numărul de cifre din perioadă.

O zecimală recurentă mixtă este tradusă după cum urmează:

1. trebuie să formați un număr format din numărul după virgulă zecimală înainte de punct și prima perioadă;
2. din numărul rezultat scădeți numărul după virgulă zecimală dinaintea punctului. Rezultatul va fi numărătorul unei fracții ordinare;
3. la numitor, trebuie să introduceți un număr format din numărul de nouă egal cu numărul de cifre ale perioadei, urmat de zerouri, al căror număr este egal cu numărul de cifre ale numărului după virgulă zecimală înainte de prima perioada.

Comparație zecimală

Fracțiile zecimale sunt comparate inițial după părțile lor întregi. Cu cât este mai mare fracția care are partea întreagă mai mare.

Dacă părțile întregi sunt aceleași, atunci cifrele cifrelor corespunzătoare ale părții fracționale sunt comparate, începând de la prima (de la zecimi). Același principiu se aplică și aici: cea mai mare dintre fracții, care are un rang mai mare de zecimi; dacă cifrele zecimiilor sunt egale, cifrele zecimii sunt comparate și așa mai departe.

Deoarece

, deoarece cu părți întregi egale și zecimi egale în partea fracțională, a 2-a fracție are mai multe sutimi.

Adunarea și scăderea zecimalelor

Decimalele se adună și se scad în același mod ca numerele întregi, scriind cifrele corespunzătoare una sub alta. Pentru a face acest lucru, trebuie să aveți puncte zecimale una sub alta. Apoi unitățile (zecile etc.) ale părții întregi, precum și zecimile (sutimele etc.) ale părții fracționale se vor potrivi. Cifrele lipsă ale părții fracționale sunt umplute cu zerouri. Direct Procesul de adunare și scădere se efectuează în același mod ca pentru numerele întregi.

Înmulțirea zecimală

Pentru a înmulți fracțiile zecimale, trebuie să le scrieți una sub alta, aliniate cu ultima cifră și fără să acordați atenție locației punctelor zecimale. Apoi, trebuie să înmulțiți numerele în același mod ca atunci când înmulțiți numerele întregi. După primirea rezultatului, ar trebui să recalculați numărul de cifre după virgulă în ambele fracții și să separați numărul total de cifre fracționale din numărul rezultat cu o virgulă. Dacă nu sunt suficiente cifre, acestea sunt înlocuite cu zerouri.

Înmulțirea și împărțirea zecimalelor cu 10 n

Aceste acțiuni sunt simple și se reduc la mutarea punctului zecimal. P La înmulțire, virgula este mutată la dreapta (fracția crește) cu numărul de cifre egal cu numărul de zerouri din 10 n, unde n este o putere întreagă arbitrară. Adică, un anumit număr de cifre sunt transferate din partea fracțională la întreg. La împărțire, respectiv, virgula este transferată la stânga (numărul scade), iar unele dintre cifre sunt transferate din partea întreagă în partea fracțională. Dacă nu sunt suficiente cifre de transferat, atunci cifrele lipsă sunt umplute cu zerouri.

Împărțirea unei zecimale și a unui întreg la un întreg și o zecimală

Împărțirea unei zecimale la un întreg este același cu împărțirea a două numere întregi. În plus, trebuie luată în considerare doar poziția punctului zecimal: la demolarea cifrei cifrei urmată de virgulă, este necesar să se pună o virgulă după cifra curentă a răspunsului generat. Apoi trebuie să continuați să împărțiți până când obțineți zero. Dacă nu există suficiente semne în dividend pentru împărțirea completă, zerouri ar trebui să fie folosite ca acestea.

În mod similar, 2 numere întregi sunt împărțite într-o coloană dacă toate cifrele dividendului au fost demolate și diviziunea completă nu a fost încă finalizată. În acest caz, după demolarea ultimei cifre a dividendului, în răspunsul rezultat este plasată o zecimală, iar zerouri sunt folosite ca cifre demolate. Acestea. dividendul aici, de fapt, este reprezentat ca o fracție zecimală cu o parte fracțională zero.

Pentru a împărți o fracție zecimală (sau un număr întreg) cu un număr zecimal, este necesar să înmulțiți dividendul și divizorul cu numărul 10 n, în care numărul de zerouri este egal cu numărul de cifre după virgulă zecimală din divizor. În acest fel, ei scapă de punctul zecimal din fracția cu care doriți să împărțiți. În plus, procesul de împărțire este același cu cel descris mai sus.

Reprezentarea grafică a zecimalelor

Grafic, fracțiile zecimale sunt reprezentate prin intermediul unei linii de coordonate. Pentru aceasta, segmentele individuale sunt împărțite suplimentar în 10 părți egale, la fel cum centimetrii și milimetrii sunt depuși pe o riglă în același timp. Acest lucru asigură că zecimale sunt afișate cu acuratețe și pot fi comparate în mod obiectiv.

Pentru ca diviziunile longitudinale pe segmente individuale să fie aceleași, ar trebui să luați în considerare cu atenție lungimea singurului segment în sine. Ar trebui să fie astfel încât să poată fi asigurată comoditatea divizării suplimentare.

În acest tutorial, ne vom uita la fiecare dintre aceste operații una câte una.

Adăugarea de zecimale

După cum știm, o zecimală are o parte întreagă și o parte fracțională. Când se adună zecimale, părțile întregi și fracționale sunt adăugate separat.

De exemplu, să adăugăm zecimale 3,2 și 5,3. Este mai convenabil să adăugați fracții zecimale într-o coloană.

În primul rând, scriem aceste două fracții într-o coloană, în timp ce părțile întregi trebuie să fie sub părțile întregi, iar cele fracționale sub părțile fracționale. În școală, această cerință se numește "virgula sub virgula".

Să scriem fracțiile într-o coloană, astfel încât virgula să fie sub virgulă:

Începem să adăugăm părțile fracționale: 2 + 3 \u003d 5. Notăm cele cinci în partea fracțională a răspunsului nostru:

Acum adunăm părțile întregi: 3 + 5 = 8. Scriem cele opt în partea întreagă a răspunsului nostru:

Acum separăm partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, respectăm din nou regula "virgula sub virgula":

Am primit răspunsul 8.5. Deci expresia 3,2 + 5,3 este egală cu 8,5

De fapt, nu totul este atât de simplu pe cât pare la prima vedere. Și aici există capcane, despre care vom vorbi acum.

Locurile în zecimale

Decimale, ca și numerele obișnuite, au propriile cifre. Acestea sunt locurile zece, locurile sutele, locurile miile. În acest caz, cifrele încep după virgulă zecimală.

Prima cifră după virgulă este responsabilă pentru locul zecimii, a doua cifră după virgulă pentru locul sutimii, a treia cifră după virgulă pentru locul miilor.

Cifrele din fracții zecimale stochează unele Informatii utile. În special, ei raportează câte zecimi, sutimi și miimi sunt într-o zecimală.

De exemplu, luați în considerare zecimala 0,345

Poziția în care se află triplul se numește locul zece

Poziția în care se află cei patru se numește locul sutimilor

Poziția în care se află cei cinci se numește miimii

Să ne uităm la această cifră. Vedem că în categoria zecimiilor există un trei. Acest lucru sugerează că există trei zecimi în fracția zecimală 0,345.

Dacă adunăm fracțiile și atunci obținem fracția zecimală inițială 0,345

Se poate observa că la început am primit răspunsul, dar l-am convertit într-o fracție zecimală și am obținut 0,345.

Când se adună fracții zecimale, se respectă aceleași principii și reguli ca atunci când se adună numere obișnuite. Adunarea fracțiilor zecimale are loc prin cifre: zecimi se adaugă la zecimi, sutimi la sutimi, miimi la miimi.

Prin urmare, atunci când adăugați fracții zecimale, este necesar să urmați regula "virgula sub virgula". O virgulă sub virgulă oferă aceeași ordine în care zecimile sunt adăugate la zecimi, sutimi la sutimi, miimi la miimi.

Exemplul 1 Aflați valoarea expresiei 1,5 + 3,4

În primul rând, adăugăm părțile fracționale 5 + 4 = 9. Scriem cele nouă în partea fracțională a răspunsului nostru:

Acum adunăm părțile întregi 1 + 3 = 4. Notăm cele patru în partea întreagă a răspunsului nostru:

Acum separăm partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, respectăm din nou regula „virgulă sub virgulă”:

Am primit răspunsul 4.9. Deci valoarea expresiei 1,5 + 3,4 este 4,9

Exemplul 2 Aflați valoarea expresiei: 3,51 + 1,22

Scriem această expresie într-o coloană, respectând regula „virgulă sub virgulă”

În primul rând, se adaugă partea fracțională, și anume sutimile 1+2=3. Scriem triplul în a suta parte a răspunsului nostru:

Acum adăugați zecimi de 5+2=7. Notăm cele șapte în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum adăugați toate părțile 3+1=4. Le notăm pe cele patru în întreaga parte a răspunsului nostru:

Separăm partea întreagă de partea fracțională cu virgulă, respectând regula „virgulă sub virgulă”:

Am primit răspunsul 4.73. Deci valoarea expresiei 3,51 + 1,22 este 4,73

3,51 + 1,22 = 4,73

Ca și în cazul numerelor obișnuite, atunci când se adună fracții zecimale, . În acest caz, o cifră este scrisă în răspuns, iar restul sunt transferate la următoarea cifră.

Exemplul 3 Aflați valoarea expresiei 2,65 + 3,27

Scriem această expresie într-o coloană:

Adăugați sutimi de 5+7=12. Numărul 12 nu se va încadra în a suta parte a răspunsului nostru. Prin urmare, în a suta parte, scriem numărul 2 și transferăm unitatea la următorul bit:

Acum adăugăm zecimile de 6+2=8 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 9. Scriem numărul 9 în zecimea răspunsului nostru:

Acum adăugați toate părțile 2+3=5. Scriem numărul 5 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Am primit răspunsul 5.92. Deci valoarea expresiei 2,65 + 3,27 este 5,92

2,65 + 3,27 = 5,92

Exemplul 4 Aflați valoarea expresiei 9,5 + 2,8

Scrieți această expresie într-o coloană

Adăugăm părțile fracționale 5 + 8 = 13. Numărul 13 nu se va potrivi în partea fracțională a răspunsului nostru, așa că mai întâi notăm numărul 3 și transferăm unitatea la următoarea cifră, sau mai degrabă o transferăm la numărul întreg. parte:

Acum adăugăm părțile întregi 9+2=11 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 12. Scriem numărul 12 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit răspunsul 12.3. Deci valoarea expresiei 9,5 + 2,8 este 12,3

9,5 + 2,8 = 12,3

Când se adună fracții zecimale, numărul de cifre după virgulă în ambele fracții trebuie să fie același. Dacă nu sunt suficiente cifre, atunci aceste locuri din partea fracțională sunt umplute cu zerouri.

Exemplul 5. Aflați valoarea expresiei: 12,725 + 1,7

Înainte de a scrie această expresie într-o coloană, să facem același număr de cifre după virgulă zecimală din ambele fracții. Fracția zecimală 12,725 are trei cifre după virgulă, în timp ce fracția 1,7 are doar una. Deci, în fracția 1,7 la sfârșit, trebuie să adăugați două zerouri. Apoi obținem fracția 1.700. Acum puteți scrie această expresie într-o coloană și puteți începe să calculați:

Adăugați miimi de 5+0=5. Scriem numărul 5 în a miilea parte a răspunsului nostru:

Adăugați sutimi de 2+0=2. Scriem numărul 2 în a suta parte a răspunsului nostru:

Adăugați zecimi de 7+7=14. Numărul 14 nu se va încadra într-o zecime din răspunsul nostru. Prin urmare, notăm mai întâi numărul 4 și transferăm unitatea la următorul bit:

Acum adăugăm părțile întregi 12+1=13 plus unitatea pe care am obținut-o din operația anterioară, obținem 14. Scriem numărul 14 în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit răspunsul 14.425. Deci valoarea expresiei 12,725+1,700 este 14,425

12,725+ 1,700 = 14,425

Scăderea zecimalelor

Când scădeți fracții zecimale, trebuie să urmați aceleași reguli ca și atunci când adăugați: „o virgulă sub virgulă” și „un număr egal de cifre după o virgulă”.

Exemplul 1 Aflați valoarea expresiei 2.5 − 2.2

Scriem această expresie într-o coloană, respectând regula „virgulă sub virgulă”:

Se calculează partea fracționară 5−2=3. Scriem numărul 3 în a zecea parte a răspunsului nostru:

Calculați partea întreagă 2−2=0. Scriem zero în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit răspunsul 0.3. Deci valoarea expresiei 2,5 − 2,2 este egală cu 0,3

2,5 − 2,2 = 0,3

Exemplul 2 Aflați valoarea expresiei 7,353 - 3,1

În această expresie sumă diferită cifre după virgulă zecimală. În fracția 7.353 sunt trei cifre după virgulă, iar în fracția 3.1 există doar una. Aceasta înseamnă că în fracția 3.1 trebuie adăugate două zerouri la sfârșit pentru ca numărul de cifre din ambele fracții să fie același. Apoi obținem 3.100.

Acum puteți scrie această expresie într-o coloană și o puteți calcula:

Am primit răspunsul 4.253. Deci valoarea expresiei 7,353 − 3,1 este 4,253

7,353 — 3,1 = 4,253

Ca și în cazul numerelor obișnuite, uneori va trebui să împrumutați unul din bitul adiacent dacă scăderea devine imposibilă.

Exemplul 3 Aflați valoarea expresiei 3,46 − 2,39

Scădeți sutimile din 6−9. Din numărul 6 nu scădeți numărul 9. Prin urmare, trebuie să luați o unitate din cifra adiacentă. După ce am împrumutat una din cifra vecină, numărul 6 se transformă în numărul 16. Acum putem calcula sutimile din 16−9=7. Notăm cele șapte în a suta parte a răspunsului nostru:

Acum scade zecimi. Deoarece am luat o unitate din categoria zecimiilor, cifra care se afla acolo a scăzut cu o unitate. Cu alte cuvinte, locul al zecelea nu este acum numărul 4, ci numărul 3. Să calculăm zecimile din 3−3=0. Scriem zero în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum scădeți părțile întregi 3−2=1. Scriem unitatea în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit răspunsul 1.07. Deci valoarea expresiei 3,46−2,39 este egală cu 1,07

3,46−2,39=1,07

Exemplul 4. Aflați valoarea expresiei 3−1.2

Acest exemplu scade o zecimală dintr-un număr întreg. Să scriem această expresie într-o coloană, astfel încât partea întreagă a fracției zecimale 1,23 să fie sub numărul 3

Acum să facem același număr de cifre după virgulă zecimală. Pentru a face acest lucru, după numărul 3, puneți o virgulă și adăugați un zero:

Acum scade zecimi: 0−2. Nu scădeți din zero numărul 2. Prin urmare, trebuie să luați o unitate din cifra adiacentă. Prin împrumut unul din cifra alăturată, 0 se transformă în numărul 10. Acum puteți calcula zecimile de 10−2=8. Notăm cele opt în a zecea parte a răspunsului nostru:

Acum scade toate părțile. Anterior, numărul 3 era localizat în număr întreg, dar am împrumutat o unitate din el. Ca rezultat, s-a transformat în numărul 2. Prin urmare, scădem 1 din 2. 2−1=1. Scriem unitatea în partea întreagă a răspunsului nostru:

Separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă:

Am primit răspunsul 1.8. Deci valoarea expresiei 3−1,2 este 1,8

Înmulțirea zecimală

Înmulțirea zecimalelor este ușor și chiar distractiv. Pentru a înmulți zecimale, trebuie să le înmulți ca numere obișnuite, ignorând virgulele.

După ce ați primit răspunsul, este necesar să separați cu o virgulă partea întreagă de partea fracțională. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după virgulă în ambele fracții, apoi să numărați același număr de cifre din dreapta în răspuns și să puneți o virgulă.

Exemplul 1 Aflați valoarea expresiei 2,5 × 1,5

Înmulțim aceste fracții zecimale ca numere obișnuite, ignorând virgulele. Pentru a ignora virgulele, vă puteți imagina temporar că lipsesc cu totul:

Avem 375. În acest număr, este necesar să separăm întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal în fracțiuni de 2,5 și 1,5. În prima fracție există o cifră după virgulă, în a doua fracțiune există și una. În total două numere.

Ne întoarcem la numărul 375 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre din dreapta și să punem o virgulă:

Am primit răspunsul 3.75. Deci valoarea expresiei 2,5 × 1,5 este 3,75

2,5 x 1,5 = 3,75

Exemplul 2 Aflați valoarea expresiei 12,85 × 2,7

Să înmulțim aceste zecimale, ignorând virgulele:

Avem 34695. În acest număr, trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați numărul de cifre după punctul zecimal în fracțiuni de 12,85 și 2,7. În fracția 12,85 există două cifre după virgulă, în fracția 2,7 există o cifră - un total de trei cifre.

Ne întoarcem la numărul 34695 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm trei cifre din dreapta și să punem o virgulă:

Am primit răspunsul 34.695. Deci valoarea expresiei 12,85 × 2,7 este 34,695

12,85 x 2,7 = 34,695

Înmulțirea unei zecimale cu un număr obișnuit

Uneori există situații în care trebuie să înmulți o fracție zecimală cu un număr obișnuit.

Pentru a înmulți o zecimală și un număr obișnuit, trebuie să le înmulțiți, indiferent de virgula din zecimală. După ce ați primit răspunsul, este necesar să separați cu o virgulă partea întreagă de partea fracțională. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția zecimală, apoi, în răspuns, numărați același număr de cifre la dreapta și puneți o virgulă.

De exemplu, înmulțiți 2,54 cu 2

Înmulțim fracția zecimală 2,54 cu numărul obișnuit 2, ignorând virgula:

Avem numărul 508. În acest număr, trebuie să separați partea întreagă de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția 2,54. Fracția 2,54 are două cifre după virgulă.

Ne întoarcem la numărul 508 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre din dreapta și să punem o virgulă:

Am primit răspunsul 5.08. Deci valoarea expresiei 2,54 × 2 este 5,08

2,54 x 2 = 5,08

Înmulțirea zecimalelor cu 10, 100, 1000

Înmulțirea zecimalelor cu 10, 100 sau 1000 se face în același mod ca și înmulțirea zecimalelor cu numere obișnuite. Este necesar să se efectueze înmulțirea, ignorând virgula în fracția zecimală, apoi în răspuns, se separă partea întreagă de partea fracțională, numărând același număr de cifre în dreapta cât au fost cifre după virgulă în zecimală. fracțiune.

De exemplu, înmulțiți 2,88 cu 10

Să înmulțim fracția zecimală 2,88 cu 10, ignorând virgula din fracția zecimală:

Avem 2880. În acest număr, trebuie să separați întreaga parte de partea fracțională cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să numărați numărul de cifre după punctul zecimal din fracția 2,88. Vedem că în fracția 2,88 sunt două cifre după virgulă.

Ne întoarcem la numărul 2880 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm două cifre din dreapta și să punem o virgulă:

Am primit răspunsul 28.80. Aruncăm ultimul zero - obținem 28,8. Deci valoarea expresiei 2,88 × 10 este 28,8

2,88 x 10 = 28,8

Există o a doua modalitate de a înmulți fracțiile zecimale cu 10, 100, 1000. Această metodă este mult mai simplă și mai convenabilă. Constă în faptul că virgula din fracția zecimală se deplasează spre dreapta cu atâtea cifre câte zerouri sunt în multiplicator.

De exemplu, să rezolvăm exemplul anterior 2,88×10 în acest fel. Fără a da niciun calcul, ne uităm imediat la factorul 10. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că are un zero. Acum, în fracția 2,88, mutam punctul zecimal la dreapta cu o cifră, obținem 28,8.

2,88 x 10 = 28,8

Să încercăm să înmulțim 2,88 cu 100. Ne uităm imediat la factorul 100. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că are două zerouri. Acum, în fracția 2,88, mutam punctul zecimal la dreapta cu două cifre, obținem 288

2,88 x 100 = 288

Să încercăm să înmulțim 2,88 cu 1000. Ne uităm imediat la factorul 1000. Ne interesează câte zerouri sunt în el. Vedem că are trei zerouri. Acum, în fracția 2,88, mutăm punctul zecimal la dreapta cu trei cifre. A treia cifră nu este acolo, așa că adăugăm un alt zero. Ca rezultat, obținem 2880.

2,88 x 1000 = 2880

Înmulțirea zecimalelor cu 0,1 0,01 și 0,001

Înmulțirea zecimalelor cu 0,1, 0,01 și 0,001 funcționează în același mod ca și înmulțirea unei zecimale cu o zecimală. Este necesar să înmulțiți fracții ca numerele obișnuite și să puneți o virgulă în răspuns, numărând în dreapta câte cifre sunt după virgulă în ambele fracții.

De exemplu, înmulțiți 3,25 cu 0,1

Înmulțim aceste fracții ca numere obișnuite, ignorând virgulele:

Avem 325. În acest număr, trebuie să separați întreaga parte de partea fracționară cu o virgulă. Pentru a face acest lucru, trebuie să calculați numărul de cifre după punctul zecimal în fracțiuni de 3,25 și 0,1. În fracția 3,25 sunt două cifre după virgulă, în fracția 0,1 există o cifră. Un total de trei numere.

Ne întoarcem la numărul 325 și începem să ne mișcăm de la dreapta la stânga. Trebuie să numărăm trei cifre din dreapta și să punem o virgulă. După ce numărăm trei cifre, constatăm că numerele s-au terminat. În acest caz, trebuie să adăugați un zero și să puneți o virgulă:

Am primit răspunsul 0,325. Deci valoarea expresiei 3,25 × 0,1 este 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Există o a doua modalitate de a înmulți zecimale cu 0,1, 0,01 și 0,001. Această metodă este mult mai ușoară și mai convenabilă. Constă în faptul că virgula din fracția zecimală se deplasează spre stânga cu atâtea cifre câte zerouri sunt în multiplicator.

De exemplu, să rezolvăm exemplul anterior 3,25 × 0,1 în acest fel. Fără a da niciun calcul, ne uităm imediat la factorul 0,1. Suntem interesați de câte zerouri sunt în el. Vedem că are un zero. Acum, în fracția 3,25, mutăm punctul zecimal la stânga cu o cifră. Mutând virgula cu o cifră la stânga, vedem că nu mai există cifre înaintea celor trei. În acest caz, adăugați un zero și puneți o virgulă. Ca rezultat, obținem 0,325

3,25 x 0,1 = 0,325

Să încercăm să înmulțim 3,25 cu 0,01. Uită-te imediat la multiplicatorul de 0,01. Suntem interesați de câte zerouri sunt în el. Vedem că are două zerouri. Acum, în fracția 3,25, mutăm virgula la stânga cu două cifre, obținem 0,0325

3,25 x 0,01 = 0,0325

Să încercăm să înmulțim 3,25 cu 0,001. Uită-te imediat la multiplicatorul de 0,001. Suntem interesați de câte zerouri sunt în el. Vedem că are trei zerouri. Acum, în fracția 3,25, mutam punctul zecimal la stânga cu trei cifre, obținem 0,00325

3,25 × 0,001 = 0,00325

Nu confundați înmulțirea zecimalelor cu 0,1, 0,001 și 0,001 cu înmulțirea cu 10, 100, 1000. Greseala comuna majoritatea oamenilor.

La înmulțirea cu 10, 100, 1000, virgula este mutată la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri sunt în multiplicator.

Și când înmulțiți cu 0,1, 0,01 și 0,001, virgula este mutată la stânga cu atâtea cifre câte zerouri sunt în multiplicator.

Dacă la început este greu de reținut, puteți folosi prima metodă, în care înmulțirea se face ca în cazul numerelor obișnuite. În răspuns, va trebui să separați partea întreagă de partea fracțională numărând atâtea cifre din dreapta câte cifre sunt după virgulă zecimală în ambele fracții.

Împărțirea unui număr mai mic la unul mai mare. Nivel avansat.

Într-una din lecțiile anterioare, am spus că la împărțirea unui număr mai mic la unul mai mare se obține o fracție, la numărătorul căreia se află dividendul, iar la numitor este divizorul.

De exemplu, pentru a împărți un măr în două, trebuie să scrieți 1 (un măr) la numărător și 2 (doi prieteni) la numitor. Rezultatul este o fracție. Așa că fiecare prieten va primi un măr. Cu alte cuvinte, o jumătate de măr. O fracție este răspunsul la o problemă cum să împarți un măr între doi

Se pare că puteți rezolva această problemă în continuare dacă împărțiți 1 la 2. La urma urmei, o bară fracțională în orice fracție înseamnă împărțire, ceea ce înseamnă că această împărțire este permisă și într-o fracție. Dar cum? Suntem obișnuiți cu faptul că dividendul este întotdeauna mai mare decât divizorul. Și aici, dimpotrivă, dividendul este mai mic decât divizorul.

Totul va deveni clar dacă ne amintim că o fracție înseamnă zdrobire, împărțire, împărțire. Aceasta înseamnă că unitatea poate fi împărțită în câte părți doriți, și nu doar în două părți.

La împărțirea unui număr mai mic la unul mai mare, se obține o fracție zecimală, în care partea întreagă va fi 0 (zero). Partea fracționată poate fi orice.

Deci, să împărțim 1 la 2. Să rezolvăm acest exemplu cu un colț:

Unul nu poate fi împărțit în două doar așa. Dacă pui o întrebare "câți doi sunt într-unul" , atunci răspunsul va fi 0. Prin urmare, în privat scriem 0 și punem virgulă:

Acum, ca de obicei, înmulțim câtul cu divizorul pentru a scoate restul:

A venit momentul în care unitatea poate fi împărțită în două părți. Pentru a face acest lucru, adăugați un alt zero în dreapta celui primit:

Am primit 10. Împărțim 10 la 2, obținem 5. Notăm cele cinci în partea fracționară a răspunsului nostru:

Acum scoatem ultimul rest pentru a finaliza calculul. Înmulțind 5 cu 2, obținem 10

Am primit răspunsul 0,5. Deci fracția este 0,5

Jumătate de măr poate fi scris și folosind fracția zecimală 0,5. Dacă adăugăm aceste două jumătăți (0,5 și 0,5), obținem din nou un măr întreg original:

Acest punct poate fi înțeles și dacă ne imaginăm cum 1 cm este împărțit în două părți. Dacă împărțiți 1 centimetru în 2 părți, obțineți 0,5 cm

Exemplul 2 Găsiți valoarea expresiei 4:5

Câte cinci sunt în patru? Deloc. Scriem în privat 0 și punem virgulă:

Înmulțim 0 cu 5, obținem 0. Scriem zero sub patru. Scădeți imediat acest zero din dividend:

Acum să începem să împărțim (împărțim) cele patru în 5 părți. Pentru a face acest lucru, în dreapta lui 4, adunăm zero și împărțim 40 la 5, obținem 8. Scriem pe opt în privat.

Terminăm exemplul înmulțind 8 cu 5 și obținem 40:

Am primit răspunsul 0.8. Deci valoarea expresiei 4: 5 este 0,8

Exemplul 3 Aflați valoarea expresiei 5: 125

Câte numere 125 sunt în cinci? Deloc. Scriem 0 în privat și punem virgulă:

Înmulțim 0 cu 5, obținem 0. Scriem 0 sub cinci. Scădeți imediat din cele cinci 0

Acum să începem să împărțim (împărțim) cele cinci în 125 de părți. Pentru a face acest lucru, în dreapta acestor cinci, scriem zero:

Împărțiți 50 la 125. Câte numere 125 sunt în 50? Deloc. Deci în coeficient scriem din nou 0

Înmulțim 0 cu 125, obținem 0. Scriem acest zero sub 50. Scădem imediat 0 din 50

Acum împărțim numărul 50 în 125 de părți. Pentru a face acest lucru, în dreapta lui 50, scriem un alt zero:

Împărțiți 500 la 125. Câte numere sunt 125 în numărul 500. În numărul 500 sunt patru numere 125. Le scriem pe cele patru în privat:

Completem exemplul înmulțind 4 cu 125 și obținem 500

Am primit răspunsul 0,04. Deci valoarea expresiei 5: 125 este 0,04

Împărțirea numerelor fără rest

Deci, să punem o virgulă în coeficientul după unitate, indicând astfel că împărțirea părților întregi s-a încheiat și trecem la partea fracțională:

Adăugați zero la restul de 4

Acum împărțim 40 la 5, obținem 8. Scriem cele opt în privat:

40−40=0. A primit 0 în rest. Deci diviziunea este complet finalizată. Împărțirea a 9 la 5 are ca rezultat o zecimală de 1,8:

9: 5 = 1,8

Exemplul 2. Împărțiți 84 la 5 fără rest

Mai întâi împărțim 84 la 5, ca de obicei, cu un rest:

Primit in privat 16 si inca 4 in sold. Acum împărțim acest rest la 5. Punem o virgulă în privat și adăugăm 0 la restul de 4

Acum împărțim 40 la 5, obținem 8. Scriem opt în coeficient după virgulă:

și completați exemplul verificând dacă mai există un rest:

Împărțirea unei zecimale la un număr obișnuit

O fracție zecimală, după cum știm, constă dintr-un număr întreg și o parte fracțională. Când împărțiți o fracție zecimală la un număr obișnuit, mai întâi de toate aveți nevoie de:

• împărțiți partea întreagă a fracției zecimale la acest număr;
• după ce partea întreagă este împărțită, trebuie să puneți imediat o virgulă în partea privată și să continuați calculul, ca în diviziunea obișnuită.

De exemplu, să împărțim 4,8 la 2

Să scriem acest exemplu ca un colț:

Acum să împărțim întreaga parte la 2. Patru împărțit la doi înseamnă doi. Scriem deuce în privat și punem imediat virgulă:

Acum înmulțim câtul cu divizorul și vedem dacă există un rest din împărțire:

4−4=0. Rest zero. Nu scriem încă zero, deoarece soluția nu este finalizată. Apoi continuăm să calculăm, ca în diviziunea obișnuită. Luați 8 și împărțiți-l la 2

8: 2 = 4. Scriem cele patru în cât și îl înmulțim imediat cu divizorul:

Am primit răspunsul 2.4. Valoarea expresiei 4,8: ​​2 este egal cu 2,4

Exemplul 2 Găsiți valoarea expresiei 8.43:3

Împărțim 8 la 3, obținem 2. Puneți imediat o virgulă după cele două:

Acum înmulțim câtul cu divizorul 2 × 3 = 6. Scriem șase sub opt și aflăm restul:

Împărțim 24 la 3, obținem 8. Scriem cele opt în privat. Îl înmulțim imediat cu divizorul pentru a găsi restul diviziunii:

24−24=0. Restul este zero. Zero nu este încă înregistrat. Luați ultimele trei din dividende și împărțiți la 3, obținem 1. Înmulțiți imediat 1 cu 3 pentru a completa acest exemplu:

Am primit răspunsul 2.81. Deci valoarea expresiei 8,43: 3 este egală cu 2,81

Împărțirea unei zecimale la o zecimală

Pentru a împărți o fracție zecimală într-o fracție zecimală, în dividend și în divizor, mutați virgula la dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal din divizor, apoi împărțiți la un număr obișnuit.

De exemplu, împărțiți 5,95 la 1,7

Să scriem această expresie ca un colț

Acum, în dividend și în divizor, mutăm virgula la dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal din divizor. Împărțitorul are o cifră după virgulă. Deci trebuie să mutam virgula la dreapta cu o cifră în dividend și în divizor. Transfer:

După ce a mutat punctul zecimal la dreapta cu o cifră, fracția zecimală 5,95 s-a transformat într-o fracțiune 59,5. Iar fracția zecimală 1,7, după ce a mutat punctul zecimal la dreapta cu o cifră, s-a transformat în numărul obișnuit 17. Și știm deja cum să împărțim fracția zecimală la numărul obișnuit. Calculul suplimentar nu este dificil:

Virgula este mutată spre dreapta pentru a facilita împărțirea. Acest lucru este permis datorită faptului că la înmulțirea sau împărțirea dividendului și a divizorului cu același număr, coeficientul nu se modifică. Ce înseamnă?

Acesta este unul dintre caracteristici interesante Divizia. Se numește proprietate privată. Luați în considerare expresia 9: 3 = 3. Dacă în această expresie dividendul și divizorul sunt înmulțite sau împărțite cu același număr, atunci coeficientul 3 nu se va modifica.

Să înmulțim dividendul și divizorul cu 2 și să vedem ce se întâmplă:

(9 × 2) : (3 × 2) = 18: 6 = 3

După cum se poate vedea din exemplu, coeficientul nu s-a schimbat.

Același lucru se întâmplă atunci când purtăm o virgulă în dividend și în divizor. În exemplul anterior, în care am împărțit 5,91 la 1,7, am mutat virgula cu o cifră la dreapta în dividend și divizor. După mutarea virgulei, fracția 5,91 a fost convertită în fracția 59,1, iar fracția 1,7 a fost convertită în numărul obișnuit 17.

De fapt, în cadrul acestui proces, a avut loc înmulțirea cu 10. Iată cum arăta:

5,91 × 10 = 59,1

Prin urmare, numărul de cifre după virgulă zecimală din divizor depinde de ce vor fi înmulțite dividendul și divizorul. Cu alte cuvinte, numărul de cifre după virgula zecimală din divizor va determina câte cifre din dividend, iar în divizor virgula va fi mutată la dreapta.

Împărțire zecimală cu 10, 100, 1000

Împărțirea unei zecimale la 10, 100 sau 1000 se face în același mod ca . De exemplu, să împărțim 2,1 la 10. Să rezolvăm acest exemplu cu un colț:

Dar există și o a doua cale. E mai usoara. Esența acestei metode este că virgula din dividend este mutată la stânga cu atâtea cifre câte zerouri există în divizor.

Să rezolvăm exemplul anterior în acest fel. 2.1: 10. Ne uităm la separator. Suntem interesați de câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero. Deci, în divizibilul 2.1, trebuie să mutați virgula la stânga cu o cifră. Mutăm virgula la stânga cu o cifră și vedem că nu mai sunt cifre. În acest caz, adăugăm încă un zero înaintea numărului. Ca rezultat, obținem 0,21

Să încercăm să împărțim 2,1 la 100. Există două zerouri în numărul 100. Deci, în divizibilul 2.1, trebuie să mutați virgula la stânga cu două cifre:

2,1: 100 = 0,021

Să încercăm să împărțim 2,1 la 1000. Există trei zerouri în numărul 1000. Deci, în divizibilul 2.1, trebuie să mutați virgula la stânga cu trei cifre:

2,1: 1000 = 0,0021

Împărțire zecimală cu 0,1, 0,01 și 0,001

Împărțirea unei zecimale la 0,1, 0,01 și 0,001 se face în același mod ca . În dividend și în divizor, trebuie să mutați virgula la dreapta cu atâtea cifre câte sunt după punctul zecimal din divizor.

De exemplu, să împărțim 6,3 la 0,1. În primul rând, mutăm virgulele în dividend și în divizor spre dreapta cu același număr de cifre ca și după punctul zecimal din divizor. Împărțitorul are o cifră după virgulă. Deci, mutăm virgulele în dividend și în divizor la dreapta cu o cifră.

După mutarea punctului zecimal la dreapta cu o cifră, fracția zecimală 6,3 se transformă în numărul obișnuit 63, iar fracția zecimală 0,1, după mutarea punctului zecimal la dreapta cu o cifră, se transformă într-una. Și împărțirea a 63 la 1 este foarte simplă:

Deci valoarea expresiei 6.3: 0.1 este egală cu 63

Dar există și o a doua cale. E mai usoara. Esența acestei metode este că virgula din dividend este transferată la dreapta cu atâtea cifre câte zerouri există în divizor.

Să rezolvăm exemplul anterior în acest fel. 6.3:0.1. Să ne uităm la separator. Suntem interesați de câte zerouri sunt în el. Vedem că există un zero. Deci, în divizibilul 6.3, trebuie să mutați virgula la dreapta cu o cifră. Mutăm virgula la dreapta cu o cifră și obținem 63

Să încercăm să împărțim 6,3 la 0,01. Divizorul 0,01 are două zerouri. Deci, în divizibilul 6.3, trebuie să mutați virgula la dreapta cu două cifre. Dar în dividend există doar o cifră după virgulă. În acest caz, mai trebuie adăugat un zero la sfârșit. Ca rezultat, obținem 630

Să încercăm să împărțim 6,3 la 0,001. Divizorul lui 0,001 are trei zerouri. Deci, în divizibilul 6.3, trebuie să mutați virgula la dreapta cu trei cifre:

6,3: 0,001 = 6300

Sarcini pentru soluție independentă

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Fracția zecimală este folosită atunci când trebuie să efectuați operații pe numere care nu sunt întregi. Acest lucru poate părea irațional. Dar acest tip de numere facilitează foarte mult operațiile matematice care trebuie efectuate cu ele. Această înțelegere vine cu timpul, când scrierea lor devine familiară, iar lectura nu provoacă dificultăți, iar regulile fracțiilor zecimale sunt stăpânite. Mai mult, toate acțiunile se repetă deja cunoscute, care se învață cu numere naturale. Trebuie doar să vă amintiți câteva caracteristici.

Definiție zecimală

O zecimală este o reprezentare specială a unui număr non-întreg cu un numitor care este divizibil cu 10 și răspunsul este unul și posibil zerouri. Cu alte cuvinte, dacă numitorul este 10, 100, 1000 și așa mai departe, este mai convenabil să rescrieți numărul folosind virgulă. Apoi partea întreagă va fi localizată înaintea acesteia, iar apoi partea fracțională. Mai mult, înregistrarea celei de-a doua jumătăți a numărului va depinde de numitor. Numărul de cifre care se află în partea fracțională trebuie să fie egal cu numitorul.

Cele de mai sus pot fi ilustrate cu aceste numere:

9/10=0,9; 178/10000=0,0178; 3,05; 56 003,7006.

Motive pentru utilizarea zecimale

Matematicienii aveau nevoie de zecimale din mai multe motive:

Simplificați înregistrarea. O astfel de fracție este situată de-a lungul unei linii fără o liniuță între numitor și numărător, în timp ce claritatea nu are de suferit.

Simplitate în comparație. Este suficient doar să corelezi numerele care se află în aceleași poziții, în timp ce cu fracțiile obișnuite ar trebui să le aduci la un numitor comun.

Simplificarea calculelor.

Calculatoarele nu sunt concepute pentru introducerea fracțiilor obișnuite, ele folosesc notația zecimală pentru toate operațiunile.

Cum să citești corect astfel de numere?

Răspunsul este simplu: la fel ca un număr mixt obișnuit cu un numitor care este un multiplu de 10. Singurele excepții sunt fracțiile fără o valoare întreagă, apoi atunci când citiți, trebuie să spuneți „număr întregi”.

De exemplu, 45/1000 ar trebui să fie pronunțat ca patruzeci și cinci de miimi, în timp ce 0.045 va suna ca zero virgulă patruzeci și cinci de miimi.

Un număr mixt cu o parte întreagă egală cu 7 și o fracțiune de 17/100, care va fi scris ca 7,17, în ambele cazuri va fi citit ca șapte virgulă șaptesprezece sutimi.

Rolul cifrelor în notarea fracțiilor

Este adevărat să rețineți descărcarea - aceasta este ceea ce cere matematica. Decimale și semnificația lor se pot schimba semnificativ dacă scrieți o cifră în locul greșit. Cu toate acestea, acest lucru a fost adevărat înainte.

Pentru a citi cifrele părții întregi a unei fracții zecimale, trebuie doar să utilizați regulile cunoscute pentru numerele naturale. Și în partea dreaptă sunt oglindite și citite diferit. Dacă „zeci” a sunat în întreaga parte, atunci după virgulă zecimală va fi deja „zecimi”.

Acest lucru poate fi văzut clar în acest tabel.

Cum se scrie un număr mixt ca zecimală?

Dacă numitorul conține un număr egal cu 10 sau 100 și altele, atunci întrebarea cum să transformi o fracție într-o zecimală este simplă. Pentru a face acest lucru, este suficient să rescrieți toate părțile sale constitutive într-un mod diferit. Următoarele puncte vă vor ajuta în acest sens:

scrieți puțin deoparte numărătorul fracției, în acest moment punctul zecimal este situat în dreapta, după ultima cifră;

mutați virgula la stânga, cel mai important lucru aici este să numărați corect numerele - trebuie să o mutați în atâtea poziții câte zerouri sunt în numitor;

dacă nu sunt suficiente, atunci zerouri ar trebui să apară în poziții goale;

zerourile care se aflau la sfârșitul numărătorului nu mai sunt necesare și pot fi tăiate;

adăugați o parte întreagă înainte de virgulă, dacă nu era acolo, atunci va apărea și zero aici.

Atenţie. Nu puteți tăia zerouri care sunt înconjurate de alte numere.

Despre cum să fii într-o situație în care numitorul conține un număr nu numai de la unu și zerouri, cum să transformi o fracție într-o zecimală, poți citi puțin mai jos. Acestea sunt informații importante pe care cu siguranță ar trebui să le citiți.

Cum se transformă o fracție într-o zecimală dacă numitorul este un număr arbitrar?

Există două opțiuni aici:

Când numitorul poate fi reprezentat ca un număr care este zece la orice putere.

Dacă o astfel de operaţie nu se poate face.

Cum se verifică? Trebuie să factorizați numitorul. Dacă în produs sunt prezente doar 2 și 5, atunci totul este în regulă, iar fracția este ușor convertită într-o zecimală finală. În caz contrar, dacă apar 3, 7 și alte numere prime, atunci rezultatul va fi infinit. Se obișnuiește să rotunjiți o astfel de fracție zecimală pentru ușurința utilizării în operațiunile matematice. Acest lucru va fi discutat puțin mai jos.

Studierea modului în care se obțin astfel de fracții zecimale, nota 5. Exemplele vor fi de mare ajutor aici.

Fie ca numitorii să conțină numere: 40, 24 și 75. Descompunerea lor în factori primi va fi următoarea:

• 40=2 2 2 5;
• 24=2 2 2 3;
• 75=5 5 3.

În aceste exemple, doar prima fracție poate fi reprezentată ca o fracție finală.

Algoritm pentru conversia unei fracții obișnuite într-o zecimală finală

Verificați factorizarea numitorului în factori primi și asigurați-vă că va consta din 2 și 5.

Adaugă la aceste numere atât de multe 2 și 5 încât devin un număr egal. Ei vor da valoarea multiplicatorului suplimentar.

Înmulțiți numitorul și numărătorul cu acest număr. Rezultatul este o fracție obișnuită, sub linia căreia există 10 într-o oarecare măsură.

Dacă în sarcină aceste acțiuni sunt efectuate cu un număr mixt, atunci trebuie mai întâi reprezentat ca o fracție improprie. Și abia apoi acționați conform scenariului descris.

Reprezentarea unei fracții comune ca zecimală rotunjită

Acest mod de transformare a unei fracții într-o zecimală va părea și mai ușor pentru cineva. Pentru că nu are un numar mare actiuni. Trebuie doar să împărțiți numărătorul la numitor.

Orice număr cu o parte zecimală la dreapta punctului zecimal i se poate atribui un număr infinit de zerouri. Această proprietate ar trebui utilizată.

În primul rând, notați întreaga parte și puneți o virgulă după ea. Dacă fracția este corectă, scrieți zero.

Apoi este necesar să se efectueze împărțirea numărătorului la numitor. Astfel încât să aibă același număr de cifre. Adică, atribuiți numărul necesar de zerouri în dreapta numărătorului.

Efectuați împărțirea într-o coloană până când se formează numărul necesar de cifre. De exemplu, dacă trebuie să rotunjiți până la sutimi, atunci ar trebui să existe 3 dintre ele în răspuns. În general, ar trebui să fie o cifră mai mult decât trebuie să obțineți în final.

Înregistrați răspunsul intermediar după virgulă și rotunjiți conform regulilor. Dacă ultima cifră este de la 0 la 4, atunci trebuie doar să o aruncați. Iar când este egal cu 5-9, atunci cel din fața lui trebuie mărit cu unu, aruncându-l pe ultimul.

Reveniți de la zecimal la obișnuit

În matematică, există probleme când este mai convenabil să reprezinte fracții zecimale sub formă de fracții obișnuite, în care există un numărător cu numitor. Poți răsufla ușurat: această operație este întotdeauna posibilă.

Pentru această procedură, trebuie să faceți următoarele:

notează partea întreagă, dacă este egală cu zero, atunci nu trebuie scris nimic;

trageți o linie fracțională;

deasupra ei, scrieți numerele din partea dreaptă, dacă primele sunt zerouri, atunci acestea trebuie tăiate;

sub linie, scrieți o unitate cu atâtea zerouri câte cifre sunt după punctul zecimal în fracția originală.

Asta este tot ce trebuie să faci pentru a converti o zecimală într-o fracție comună.

Ce poți face cu zecimale?

La matematică va fi anumite actiuni cu zecimale, care au fost efectuate anterior pentru alte numere.

Sunt:

comparaţie;

adunare si scadere;

înmulțirea și împărțirea.

Prima acțiune, comparația, este similară cu modul în care a fost făcută pentru numerele naturale. Pentru a determina care este mai mare, trebuie să comparați cifrele părții întregi. Dacă se dovedesc a fi egale, atunci trec la cea fracționară și le compară în același mod prin cifre. Numărul cu cea mai mare cifră în ordinea cea mai mare va fi răspunsul.

Adunarea și scăderea zecimalelor

Acesta este poate cel mai mult pași simpli. Pentru că ele se realizează după regulile pentru numerele naturale.



Deci, pentru a adăuga fracții zecimale, acestea trebuie scrise una sub alta, punând virgule într-o coloană. Cu o astfel de înregistrare, părțile întregi apar în stânga virgulelor, iar părțile fracționale la dreapta. Și acum trebuie să adăugați numerele bit cu bit, așa cum se face cu numerele naturale, mutând virgula în jos. Trebuie să începeți să adăugați de la cea mai mică cifră a părții fracționale a numărului. Dacă nu sunt suficiente numere în jumătatea dreaptă, adăugați zerouri.

Scăderea funcționează în același mod. Și aici se aplică regula, care descrie posibilitatea de a lua o unitate din cea mai mare cifră. Dacă fracția redusă are mai puține cifre după virgulă zecimală decât scădere, atunci i se atribuie pur și simplu zerouri.

Situația este puțin mai complicată cu sarcinile în care trebuie să efectuați înmulțirea și împărțirea fracțiilor zecimale.

Cum să înmulțim zecimală în diferite exemple?

Regula de înmulțire a fracțiilor zecimale cu un număr natural este următoarea:

notează-le într-o coloană, ignorând virgula;

înmulțiți de parcă ar fi naturale;

separați cu virgulă atâtea cifre câte erau în partea fracționară a numărului original.

Un caz special este un exemplu în care un număr natural este egal cu 10 la orice putere. Apoi, pentru a obține un răspuns, trebuie doar să mutați virgula la dreapta cu atâtea poziții câte zerouri există într-un alt factor. Cu alte cuvinte, atunci când înmulțiți cu 10, virgula se deplasează cu o cifră, cu 100 - vor fi două dintre ele și așa mai departe. Dacă nu există suficiente cifre în partea fracțională, atunci trebuie să scrieți zerouri în poziții goale.

Regula care este folosită atunci când în sarcină trebuie să înmulțiți fracții zecimale cu alta de același număr:

notează-le una sub alta, ignorând virgulele;

înmulțiți de parcă ar fi numere naturale;

separați cu virgulă atâtea cifre câte au existat în părțile fracționale ale ambelor fracții originale împreună.

Ca caz special, se disting exemple în care unul dintre factori este egal cu 0,1 sau 0,01 și așa mai departe. În ele, trebuie să mutați virgula la stânga cu numărul de cifre din factorii prezentați. Adică, dacă este înmulțită cu 0,1, atunci virgula este deplasată cu o poziție.

Cum se împarte o fracție zecimală în diferite sarcini?

Împărțirea fracțiilor zecimale cu un număr natural se face după următoarea regulă:

notează-le pentru împărțire într-o coloană, ca și cum ar fi naturale;

împărțiți după regula obișnuită până se termină întreaga parte;

pune virgulă în răspuns;

continuă împărțirea componentei fracționale până când restul este zero;

dacă este necesar, puteți atribui numărul necesar de zerouri.

Dacă partea întreagă este egală cu zero, atunci nu va fi nici în răspuns.

Separat, există o împărțire în numere egale cu zece, o sută și așa mai departe. În astfel de probleme, trebuie să mutați virgula la stânga cu numărul de zerouri din divizor. Se întâmplă că nu există suficiente cifre în partea întreagă, apoi sunt folosite zerouri. Se poate observa că această operație este similară cu înmulțirea cu 0,1 și cu numere similare.

Pentru a efectua împărțirea zecimalelor, trebuie să utilizați această regulă:

transformați divizorul într-un număr natural și, pentru a face acest lucru, mutați virgula din el la dreapta până la sfârșit;

mutați virgula și în divizibil cu același număr de cifre;

urmați scenariul anterior.

Se evidențiază împărțirea cu 0,1; 0,01 și alte numere similare. În astfel de exemple, virgula este deplasată la dreapta cu numărul de cifre din partea fracțională. Dacă s-au terminat, atunci trebuie să atribuiți numărul de zerouri lipsă. Este de remarcat faptul că această acțiune repetă împărțirea cu 10 și numere similare.



Concluzie: totul ține de practică

Nimic în învățare nu este ușor sau fără efort. Este nevoie de timp și practică pentru a stăpâni material nou în mod fiabil. Matematica nu face excepție.

Pentru ca subiectul fracțiilor zecimale să nu creeze dificultăți, trebuie să rezolvați cât mai multe exemple cu ele. La urma urmei, a existat o perioadă în care adăugarea numerelor naturale era confuză. Și acum totul este bine.

Prin urmare, parafrazând frază celebră: decide, decide și decide din nou. Apoi sarcinile cu astfel de numere vor fi efectuate ușor și natural, ca un alt puzzle.

Apropo, puzzle-urile sunt greu de rezolvat la început, iar apoi trebuie să faci mișcările obișnuite. Același lucru este valabil și în exemplele matematice: după ce mergi pe aceeași cale de mai multe ori, atunci nu te vei mai gândi unde să te întorci.