Ordinea de descompunere. Cazuri complexe de factorizare a polinoamelor

Factorizarea polinoamelor este o transformare de identitate, în urma căreia un polinom este transformat în produsul mai multor factori - polinoame sau monomii.

Există mai multe moduri de factorizare a polinoamelor.

Metoda 1. Scoaterea factorului comun din paranteze.

Această transformare se bazează pe legea distributivă a înmulțirii: ac + bc = c(a + b). Esența transformării este de a izola factorul comun din cele două componente luate în considerare și de a-l „scoate din paranteze”.

Să factorizăm polinomul 28x 3 – 35x 4.

Soluţie.

1. Găsiți un divizor comun pentru elementele 28x3 și 35x4. Pentru 28 și 35 va fi 7; pentru x 3 și x 4 – x 3. Cu alte cuvinte, factorul nostru comun este 7x 3.

2. Reprezentăm fiecare dintre elemente ca un produs de factori, dintre care unul
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x.

3. Scoatem factorul comun din paranteze
7x 3: 28x 3 – 35x 4 = 7x 3 ∙ 4 – 7x 3 ∙ 5x = 7x 3 (4 – 5x).

Metoda 2. Utilizarea formulelor de înmulțire abreviate. „Maiestria” folosirii acestei metode este de a observa una dintre formulele de multiplicare prescurtate din expresie.

Să factorizăm polinomul x 6 – 1.

Soluţie.

1. Putem aplica formula diferenței de pătrate acestei expresii. Pentru a face acest lucru, imaginați-vă x 6 ca (x 3) 2 și 1 ca 1 2, adică. 1. Expresia va lua forma:
(x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1).

2. Putem aplica formula pentru suma și diferența de cuburi la expresia rezultată:
(x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Aşa,
x 6 – 1 = (x 3) 2 – 1 = (x 3 + 1) ∙ (x 3 – 1) = (x + 1) ∙ (x 2 – x + 1) ∙ (x – 1) ∙ (x 2 + x + 1).

Metoda 3. Gruparea. Metoda grupării presupune combinarea componentelor unui polinom în așa fel încât să fie ușor de efectuat operații asupra acestora (adunarea, scăderea, scăderea unui factor comun).

Să factorizăm polinomul x 3 – 3x 2 + 5x – 15.

Soluţie.

1. Să grupăm componentele astfel: 1 cu al 2-lea și al 3-lea cu al 4-lea
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15).

2. În expresia rezultată, scoatem factorii comuni din paranteze: x 2 în primul caz și 5 în al doilea.
(x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3).

3. Luăm factorul comun x – 3 din paranteze și obținem:
x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3)(x 2 + 5).

Aşa,
x 3 – 3x 2 + 5x – 15 = (x 3 – 3x 2) + (5x – 15) = x 2 (x – 3) + 5(x – 3) = (x – 3) ∙ (x 2 + 5) ).

Să asigurăm materialul.

Factorizați polinomul a 2 – 7ab + 12b 2 .

Soluţie.

1. Să reprezentăm monomul 7ab ca sumă 3ab + 4ab. Expresia va lua forma:
a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2.

Să deschidem parantezele și să obținem:
a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2.

2. Să grupăm componentele polinomului astfel: 1 cu 2 și 3 cu 4. Primim:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2).

3. Să luăm factorii comuni din paranteze:
(a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) = a(a – 3b) – 4b(a – 3b).

4. Să luăm factorul comun (a – 3b) din paranteze:
a(a – 3b) – 4b(a – 3b) = (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

Aşa,
a 2 – 7ab + 12b 2 =
= a 2 – (3ab + 4ab) + 12b 2 =
= a 2 – 3ab – 4ab + 12b 2 =
= (a 2 – 3ab) – (4ab – 12b 2) =
= a(a – 3b) – 4b(a – 3b) =
= (a – 3 b) ∙ (a – 4b).

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

În general, această sarcină necesită o abordare creativă, deoarece nu există o metodă universală de rezolvare. Dar să încercăm să dăm câteva sfaturi.

În majoritatea covârșitoare a cazurilor, factorizarea unui polinom se bazează pe un corolar al teoremei lui Bezout, adică rădăcina este găsită sau selectată și gradul polinomului este redus cu unu prin împărțirea la . Se caută rădăcina polinomului rezultat și procesul se repetă până la extinderea completă.

Dacă rădăcina nu poate fi găsită, atunci se folosesc metode specifice de extindere: de la grupare până la introducerea de termeni suplimentari care se exclud reciproc.

Prezentarea ulterioară se bazează pe abilitățile de a rezolva ecuații de grade superioare cu coeficienți întregi.

Excluderea factorului comun.

Să începem cu cel mai simplu caz, când termenul liber egal cu zero, adică polinomul are forma .

Evident, rădăcina unui astfel de polinom este , adică putem reprezenta polinomul sub forma .

Această metodă nu este altceva decât scotând factorul comun dintre paranteze.

Exemplu.

Factorizați un polinom de gradul trei.

Soluţie.

Evident, care este rădăcina polinomului, adică X poate fi scos din paranteze:

Să găsim rădăcinile trinomului pătratic

Astfel,

Începutul paginii

Factorizarea unui polinom cu rădăcini raționale.

În primul rând, să luăm în considerare o metodă de extindere a unui polinom cu coeficienți întregi de forma , coeficientul de cel mai înalt grad este egal cu unu.

În acest caz, dacă un polinom are rădăcini întregi, atunci ele sunt divizori ai termenului liber.

Exemplu.

Soluţie.

Să verificăm dacă există rădăcini intacte. Pentru a face acest lucru, notați divizorii numărului -18 : . Adică, dacă un polinom are rădăcini întregi, atunci acestea sunt printre numerele scrise. Să verificăm aceste numere succesiv folosind schema lui Horner. Comoditatea sa constă și în faptul că în final obținem coeficienții de expansiune ai polinomului:

adica x=2Şi x=-3 sunt rădăcinile polinomului original și îl putem reprezenta ca un produs:

Tot ce rămâne este să se descompună trinom pătratic.

Discriminantul acestui trinom este negativ, prin urmare nu are rădăcini reale.

Răspuns:

Comentariu:

În loc de schema lui Horner, s-ar putea folosi selecția rădăcinii și împărțirea ulterioară a polinomului cu un polinom.

Acum luați în considerare expansiunea unui polinom cu coeficienți întregi de forma , iar coeficientul de cel mai înalt grad nu este egal cu unu.

În acest caz, polinomul poate avea rădăcini fracționale raționale.

Exemplu.

Factorizați expresia.

Soluţie.

Prin efectuarea unei modificări variabile y=2x, să trecem la un polinom cu un coeficient egal cu unu la cel mai înalt grad. Pentru a face acest lucru, mai întâi înmulțiți expresia cu 4 .

Dacă funcția rezultată are rădăcini întregi, atunci acestea sunt printre divizorii termenului liber. Să le scriem:

Să calculăm secvențial valorile funcției g(y)în aceste puncte până când se ajunge la zero.

Factorizarea unei ecuații este procesul de găsire a acelor termeni sau expresii care, atunci când sunt înmulțite, conduc la ecuația inițială. Factorizarea este o abilitate utilă pentru rezolvarea problemelor algebrice de bază și devine aproape esențială atunci când lucrați cu ecuații pătratice și alte polinoame. Factorizarea este utilizată pentru a simplifica ecuațiile algebrice pentru a le face mai ușor de rezolvat. Factorizarea vă poate ajuta să eliminați anumite răspunsuri posibile mai rapid decât ați face-o prin rezolvarea manuală a unei ecuații.

Pași

Factorizarea numerelor și a expresiilor algebrice de bază

1. Factorizarea numerelor. Conceptul de factoring este simplu, dar în practică, factoring poate fi o provocare (dacă este dată o ecuație complexă). Prin urmare, mai întâi, să ne uităm la conceptul de factorizare folosind numerele ca exemplu și să continuăm cu ecuații simple, apoi treceți la ecuații complexe. Factorii unui număr dat sunt numerele care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii numărului 12 sunt numerele: 1, 12, 2, 6, 3, 4, deoarece 1*12=12, 2*6=12, 3*4=12.

   • De asemenea, vă puteți gândi la factorii unui număr ca fiind divizorii săi, adică numerele cu care numărul este divizibil.
   • Găsiți toți factorii numărului 60. Folosim adesea numărul 60 (de exemplu, 60 de minute într-o oră, 60 de secunde într-un minut etc.) și acest număr are destul de număr mare multiplicatori.
     • 60 de multiplicatori: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 și 60.

2. Amintiți-vă: termenii unei expresii care conțin un coeficient (număr) și o variabilă pot fi de asemenea factorizați. Pentru a face acest lucru, găsiți factorii coeficienți pentru variabilă. Știind cum să factorizați termenii ecuațiilor, puteți simplifica cu ușurință această ecuație.

   • De exemplu, termenul 12x poate fi scris ca produsul dintre 12 și x. De asemenea, puteți scrie 12x ca 3(4x), 2(6x), etc., împărțind 12 în factorii care funcționează cel mai bine pentru dvs.
     • Puteți trata de 12 ori de mai multe ori la rând. Cu alte cuvinte, nu ar trebui să vă opriți la 3(4x) sau 2(6x); continuați expansiunea: 3(2(2x)) sau 2(3(2x)) (evident 3(4x)=3(2(2x)), etc.)

3. Aplicați proprietatea distributivă a înmulțirii la factorizarea ecuațiilor algebrice.Știind cum să factorizați numerele și termenii de expresie (coeficienți cu variabile), puteți simplifica ecuații algebrice simple prin găsirea factorului comun al unui număr și al unui termen de expresie. De obicei, pentru a simplifica o ecuație, trebuie să găsiți cel mai mare factor comun (GCD). Această simplificare este posibilă datorită proprietății distributive a înmulțirii: pentru orice numere a, b, c, egalitatea a(b+c) = ab+ac este adevărată.

   • Exemplu. Factorizați ecuația 12x + 6. Mai întâi, găsiți mcd-ul lui 12x și 6. 6 este cel mai mare număr care împarte atât 12x, cât și 6, așa că puteți factoriza această ecuație cu: 6(2x+1).
   • Acest proces este valabil și pentru ecuațiile care au termeni negativi și fracționari. De exemplu, x/2+4 poate fi factorizat în 1/2(x+8); de exemplu, -7x+(-21) poate fi factorizat în -7(x+3).

   Factorizarea ecuațiilor pătratice

   1. Asigurați-vă că ecuația este dată în formă pătratică (ax 2 + bx + c = 0). Ecuațiile pătratice au forma: ax 2 + bx + c = 0, unde a, b, c sunt coeficienți numerici alții decât 0. Dacă vi se oferă o ecuație cu o variabilă (x) și în această ecuație există unul sau mai mulți termeni cu o variabilă de ordinul doi, puteți muta toți termenii ecuației într-o parte a ecuației și o puteți seta egală cu zero.

      • De exemplu, având în vedere ecuația: 5x 2 + 7x - 9 = 4x 2 + x – 18. Aceasta poate fi convertită în ecuația x 2 + 6x + 9 = 0, care este o ecuație pătratică.
      • Ecuații cu variabila x de ordine mare, de exemplu, x 3, x 4 etc. nu sunt ecuații pătratice. Acestea sunt ecuații cubice, ecuații de ordinul al patrulea și așa mai departe (cu excepția cazului în care astfel de ecuații pot fi simplificate în ecuații pătratice cu variabila x ridicată la puterea lui 2).

   2. Ecuațiile cuadratice, unde a = 1, sunt extinse în (x+d)(x+e), unde d*e=c și d+e=b. Dacă ecuația pătratică care ți-a fost dată are forma: x 2 + bx + c = 0 (adică coeficientul lui x 2 este 1), atunci o astfel de ecuație poate (dar nu este garantată) să fie extinsă în factorii de mai sus. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți două numere care, atunci când sunt înmulțite, dau „c”, iar când sunt adăugate, „b”. Odată ce găsiți aceste două numere (d și e), înlocuiți-le în următoarea expresie: (x+d)(x+e), care, la deschiderea parantezelor, duce la ecuația inițială.

      • De exemplu, având în vedere o ecuație pătratică x 2 + 5x + 6 = 0. 3*2=6 și 3+2=5, deci puteți factoriza această ecuație în (x+3)(x+2).
      • Pentru termeni negativi, faceți următoarele modificări minore în procesul de factorizare:
        • Dacă o ecuație pătratică are forma x 2 -bx+c, atunci se extinde în: (x-_)(x-_).
        • Dacă o ecuație pătratică are forma x 2 -bx-c, atunci se extinde în: (x+_)(x-_).
      • Notă: spațiile pot fi înlocuite cu fracții sau numere zecimale. De exemplu, ecuația x 2 + (21/2)x + 5 = 0 este extinsă în (x+10)(x+1/2).

   3. Factorizarea prin încercare și eroare. Ecuațiile pătratice simple pot fi factorizate prin simpla înlocuire a numerelor în solutii posibile pana gasesti decizia corectă. Dacă ecuația are forma ax 2 +bx+c, unde a>1, soluțiile posibile se scriu sub forma (dx +/- _)(ex +/- _), unde d și e sunt coeficienți numerici nenuli , care la înmulțire dau a. Fie d sau e (sau ambii coeficienți) pot fi egali cu 1. Dacă ambii coeficienți sunt egali cu 1, atunci utilizați metoda descrisă mai sus.

      • De exemplu, având în vedere ecuația 3x 2 - 8x + 4. Aici 3 are doar doi factori (3 și 1), deci soluțiile posibile sunt scrise ca (3x +/- _)(x +/- _). În acest caz, înlocuind spațiile cu -2, veți găsi răspunsul corect: -2*3x=-6x și -2*x=-2x; - 6x+(-2x)=-8x și -2*-2=4, adică o astfel de extindere la deschiderea parantezelor va duce la termenii ecuației inițiale.

Orice polinom algebric de gradul n poate fi reprezentat ca un produs al factorilor n-liniari de forma și un număr constant, care este coeficienții polinomului la gradul cel mai înalt x, adică.

Unde - sunt rădăcinile polinomului.

Rădăcina unui polinom este numărul (real sau complex) care face ca polinomul să dispară. Rădăcinile unui polinom pot fi fie rădăcini reale, fie rădăcini complexe conjugate, apoi polinomul poate fi reprezentat sub următoarea formă:

Să luăm în considerare metodele de descompunere a polinoamelor de gradul „n” în produsul factorilor de gradul I și II.

Metoda numărul 1.Metoda coeficienților nedeterminați.

Coeficienții unei astfel de expresii transformate sunt determinați prin metoda coeficienților nedeterminați. Esența metodei este că tipul de factori în care este descompus un anumit polinom este cunoscut în prealabil. Când se utilizează metoda coeficienților incerti, următoarele afirmații sunt adevărate:

P.1. Două polinoame sunt identic egale dacă coeficienții lor sunt egali pentru aceleași puteri ale lui x.

P.2. Orice polinom de gradul trei este descompus în produsul factorilor liniari și pătratici.

P.3. Orice polinom de gradul al patrulea poate fi descompus în produsul a două polinoame de gradul doi.

Exemplul 1.1. Este necesară factorizarea expresiei cubice:

P.1. În conformitate cu afirmațiile acceptate, egalitatea identică este valabilă pentru expresia cubică:

P.2. Partea dreaptă a expresiei poate fi reprezentată ca termeni după cum urmează:

P.3. Compunem un sistem de ecuații din condiția de egalitate a coeficienților la puterile corespunzătoare expresiei cubice.

Acest sistem de ecuații poate fi rezolvat prin selectarea coeficienților (dacă este o problemă academică simplă) sau pot fi folosite metode de rezolvare sisteme neliniare ecuații. Hotărând acest sistem ecuații, constatăm că coeficienții incerti sunt determinați după cum urmează:

Astfel, expresia originală este factorizată în următoarea formă:

Această metodă poate fi folosită atât în ​​calcule analitice, cât și în programarea computerelor pentru a automatiza procesul de găsire a rădăcinii unei ecuații.

Metoda numărul 2.formule Vieta

Formulele lui Vieta sunt formule care conectează coeficienții ecuațiilor algebrice de gradul n și rădăcinile sale. Aceste formule au fost prezentate implicit în lucrările matematicianului francez François Vieta (1540 - 1603). Datorită faptului că Vieth a considerat doar rădăcini reale pozitive, el nu a avut, prin urmare, posibilitatea de a scrie aceste formule într-o formă generală explicită.

Pentru orice polinom algebric de grad n care are n rădăcini reale,

Sunt valabile următoarele relații care leagă rădăcinile unui polinom cu coeficienții săi:

Formulele lui Vieta sunt convenabile de utilizat pentru a verifica corectitudinea găsirii rădăcinilor unui polinom, precum și pentru a construi un polinom din rădăcini date.

Exemplul 2.1. Să luăm în considerare modul în care rădăcinile unui polinom sunt legate de coeficienții săi folosind exemplul unei ecuații cubice

În conformitate cu formulele lui Vieta, relația dintre rădăcinile unui polinom și coeficienții săi are următoarea formă:

Relații similare se pot face pentru orice polinom de gradul n.

Metoda nr. 3. Descompunere ecuație pătratică la factori cu rădăcini raţionale

Din ultima formulă a lui Vieta rezultă că rădăcinile unui polinom sunt divizori ai termenului său liber și ai coeficientului de conducere. În acest sens, dacă enunțul problemei specifică un polinom de grad n cu coeficienți întregi

atunci acest polinom are o rădăcină rațională (fracție ireductibilă), unde p este divizorul termenului liber și q este divizorul coeficientului principal. În acest caz, un polinom de grad n poate fi reprezentat ca (teorema lui Bezout):

Un polinom al cărui grad este cu 1 mai mic decât gradul polinomului inițial este determinat prin împărțirea unui polinom de gradul n binom, de exemplu folosind schema lui Horner sau majoritatea într-un mod simplu- „coloană”.

Exemplul 3.1. Este necesar să factorizezi polinomul

P.1. Datorită faptului că coeficientul celui mai mare termen este egal cu unu, rădăcinile raționale ale acestui polinom sunt divizori ai termenului liber al expresiei, i.e. pot fi numere întregi . Înlocuim fiecare dintre numerele prezentate în expresia originală și aflăm că rădăcina polinomului prezentat este egală cu .

Să împărțim polinomul original la un binom:

Să folosim schema lui Horner

Coeficienții polinomului original sunt stabiliți în linia de sus, în timp ce prima celulă a liniei de sus rămâne goală.

În prima celulă a celei de-a doua rânduri, se scrie rădăcina găsită (în exemplul luat în considerare, se scrie numărul „2”), iar următoarele valori din celule sunt calculate într-un anumit mod și sunt coeficienții a polinomului, care se obține prin împărțirea polinomului la binom. Coeficienții necunoscuți se determină după cum urmează:

Valoarea din celula corespunzătoare din primul rând este transferată în a doua celulă a celui de-al doilea rând (în exemplul luat în considerare, este scris numărul „1”).

A treia celulă din al doilea rând conține valoarea produsului primei celule și a doua celulă a celui de-al doilea rând plus valoarea din a treia celulă a primului rând (în exemplul luat în considerare 2 ∙1 -5 = -3 ).

A patra celulă din al doilea rând conține valoarea produsului primei celule și a treia celulă a celui de-al doilea rând plus valoarea din a patra celulă a primului rând (în exemplul luat în considerare 2 ∙ (-3) +7 = 1).

Astfel, polinomul original este factorizat:

Metoda numărul 4.Folosind formule de înmulțire prescurtate

Formulele de înmulțire prescurtate sunt folosite pentru a simplifica calculele, precum și pentru factorizarea polinoamelor. Formulele de multiplicare prescurtate vă permit să simplificați rezolvarea problemelor individuale.

Formule folosite pentru factorizare

Având în vedere înmulțirea polinoamelor, am reținut câteva formule și anume: formule pentru (a + b)², pentru (a – b)², pentru (a + b) (a – b), pentru (a + b)³ și pentru (a – b)³.

Dacă un anumit polinom se dovedește a coincide cu una dintre aceste formule, atunci va fi posibil să-l factorizeze. De exemplu, polinomul a² – 2ab + b², știm, este egal cu (a – b)² [sau (a – b) · (a – b), adică am reușit să factorăm a² – 2ab + b² în 2 factori ]; Asemenea

Să ne uităm la al doilea dintre aceste exemple. Vedem că polinomul dat aici se potrivește cu formula obținută prin pătrarea diferenței a două numere (pătratul primului număr, minus produsul a doi cu primul număr și al doilea, plus pătratul celui de-al doilea număr): x 6 este pătratul primului număr și, prin urmare, primul număr însuși este x 3, pătratul celui de-al doilea număr este ultimul termen al polinomului dat, adică 1, al doilea număr însuși este, prin urmare, tot 1; produsul a doi cu primul număr și al doilea este termenul –2x 3, deoarece 2x 3 = 2 x 3 1. Prin urmare, polinomul nostru a fost obținut prin pătrarea diferenței numerelor x 3 și 1, adică este egal cu (x 3 – 1) 2. Să ne uităm la un al 4-lea exemplu. Vedem că acest polinom a 2 b 2 – 25 poate fi considerat ca diferența dintre pătratele a două numere, și anume pătratul primului număr este a 2 b 2, prin urmare, primul număr în sine este ab, pătratul al doilea număr este 25, de ce al doilea număr în sine este 5. Prin urmare, polinomul nostru poate fi considerat ca obținut din înmulțirea sumei a două numere cu diferența lor, i.e.

(ab + 5) (ab – 5).

Uneori se întâmplă ca într-un polinom dat termenii să nu fie aranjați în ordinea cu care suntem obișnuiți, de exemplu.

9a 2 + b 2 + 6ab – mental putem rearanja al doilea și al treilea termen și atunci ne va deveni clar că trinomul nostru = (3a + b) 2.

... (rearanjam mental primul si al doilea termen).

25a 6 + 1 – 10x 3 = (5x 3 – 1) 2 etc.

Să luăm în considerare un alt polinom

a 2 + 2ab + 4b 2 .

Vedem că primul său termen este pătratul numărului a și al treilea termen este pătratul numărului 2b, dar al doilea termen nu este produsul a doi cu primul număr și al doilea - un astfel de produs ar fi egal cu 2 a 2b = 4ab. Prin urmare, este imposibil să se aplice formula pentru pătratul sumei a două numere la acest polinom. Dacă cineva a scris că a 2 + 2ab + 4b 2 = (a + 2b) 2, atunci acest lucru ar fi incorect - trebuie să luați în considerare cu atenție toți termenii polinomului înainte de a-i aplica factorizarea folosind formule.

40. O combinație a ambelor tehnici. Uneori, atunci când factorizați polinoame, trebuie să combinați atât tehnica de a scoate factorul comun din paranteze, cât și tehnica de utilizare a formulelor. Iată exemple:

1. 2a 3 – 2ab 2. Să scoatem mai întâi factorul comun 2a din paranteze și obținem 2a (a 2 – b 2). Factorul a 2 – b 2, la rândul său, este descompus conform formulei în factori (a + b) și (a – b).

Uneori trebuie să utilizați tehnica de descompunere a formulei de mai multe ori:

1. a 4 – b 4 = (a 2 + b 2) (a 2 – b 2)

Vedem că primul factor a 2 + b 2 nu se potrivește cu niciuna dintre formulele familiare; Mai mult, amintind cazuri speciale de împărțire (articolul 37), vom stabili că a 2 + b 2 (suma pătratelor a două numere) nu poate fi deloc factorizat. Al doilea dintre factorii rezultați a 2 – b 2 (diferența prin pătratul a două numere) se descompune în factori (a + b) și (a – b). Aşa,

41. Aplicarea cazurilor speciale de divizare. Pe baza paragrafului 37, putem scrie imediat că, de exemplu,