Tabel cu formule trigonometrice de bază. Toate formulele de trigonometrie

Pe această pagină veți găsi toate formulele trigonometrice de bază care vă vor ajuta să rezolvați multe exerciții, simplificând foarte mult expresia în sine.

Formulele trigonometrice sunt egalități matematice pentru funcțiile trigonometrice care sunt satisfăcute pentru toate valorile valide ale argumentului.

Formulele specifică relațiile dintre funcțiile trigonometrice de bază - sinus, cosinus, tangentă, cotangentă.

Sinusul unui unghi este coordonata y a unui punct (ordonata) de pe cercul unitar. Cosinusul unui unghi este coordonata x a unui punct (abscisa).

Tangenta și cotangenta sunt, respectiv, rapoartele dintre sinus și cosinus și invers.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

Și două care sunt folosite mai rar - secante, cosecante. Ele reprezintă rapoartele dintre 1 și cosinus și sinus.

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

Din definițiile funcțiilor trigonometrice este clar ce semne au acestea în fiecare cadran. Semnul funcției depinde numai de cadranul în care se află argumentul.

Când se schimbă semnul argumentului de la „+” la „-”, numai funcția cosinus nu își schimbă valoarea. Se numește chiar. Graficul său este simetric față de axa y.

Funcțiile rămase (sinus, tangentă, cotangentă) sunt impare. Când se schimbă semnul argumentului de la „+” la „-”, valoarea lor se schimbă și în negativă. Graficele lor sunt simetrice față de origine.

`sin(-\alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Identități trigonometrice de bază

Identitățile trigonometrice de bază sunt formule care stabilesc o legătură între funcțiile trigonometrice ale unui unghi (`sin\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) și care vă permit să găsiți valoarea lui fiecare dintre aceste funcții prin oricare alta cunoscută.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

Formule pentru suma și diferența de unghiuri ale funcțiilor trigonometrice

Formulele de adunare și scădere a argumentelor exprimă funcții trigonometrice ale sumei sau diferenței a două unghiuri în termeni de funcții trigonometrice ale acestor unghiuri.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Formule cu unghi dublu

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha) )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Formule cu unghi triplu

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Formule cu jumătate de unghi

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alpha)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alpha)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

Formulele pentru jumătăți, duble și triple argumente exprimă funcțiile `sin, \cos, \tg, \ctg` ale acestor argumente (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,...` ) prin aceste funcții argumentul `\alpha`.

Concluzia lor poate fi obținută din grupul anterior (adunarea și scăderea argumentelor). De exemplu, identitățile cu unghi dublu sunt ușor de obținut prin înlocuirea `\beta` cu `\alpha`.

Formule de reducere a gradului

Formulele de pătrate (cuburi etc.) ale funcțiilor trigonometrice vă permit să treceți de la 2,3,... grade la funcții trigonometrice de gradul I, dar unghiuri multiple (`\alpha, \3\alpha, \... ` sau `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alpha-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Formule pentru suma și diferența funcțiilor trigonometrice

Formulele sunt transformări ale sumei și diferenței funcțiilor trigonometrice ale diferitelor argumente într-un produs.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \\beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Aici are loc transformarea adunării și scăderii funcțiilor unui argument într-un produs.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

Următoarele formule transformă suma și diferența dintre unu și o funcție trigonometrică într-un produs.

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

Formule pentru conversia produselor funcțiilor

Formule pentru conversia produsului funcțiilor trigonometrice cu argumente `\alpha` și `\beta` în suma (diferența) acestor argumente.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))`

Substituție trigonometrică universală

Aceste formule exprimă funcții trigonometrice în termenii tangentei unui jumătate de unghi.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Formule de reducere

Formulele de reducere pot fi obținute folosind astfel de proprietăți ale funcțiilor trigonometrice precum periodicitatea, simetria și proprietatea de deplasare cu un unghi dat. Ele permit ca funcțiile cu un unghi arbitrar să fie convertite în funcții al căror unghi este între 0 și 90 de grade.

Pentru unghiul (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) sau (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;`` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pentru unghi (`\pi \pm \alpha`) sau (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;`` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Pentru unghiul (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) sau (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;`` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pentru unghi (`2\pi \pm \alpha`) sau (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;`` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;`` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;`` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;`` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Exprimarea unor funcții trigonometrice în termenii altora

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \ \alpha)`

Trigonometria se traduce literal prin „măsurarea triunghiurilor”. Începe să fie studiat la școală și continuă mai detaliat la universități. Prin urmare, sunt necesare formule de bază în trigonometrie începând cu nota 10, precum și pentru promovarea Examenului Unificat de Stat. Ele denotă conexiuni între funcții și, deoarece există multe dintre aceste conexiuni, există și o mulțime de formule în sine. Nu este ușor să le amintiți pe toate și nu este necesar - dacă este necesar, toate pot fi afișate.

Formulele trigonometrice sunt utilizate în calculul integral, precum și în simplificări, calcule și transformări trigonometrice.

Identități trigonometrice- acestea sunt egalități care stabilesc o relație între sinus, cosinus, tangentă și cotangentă a unui unghi, ceea ce vă permite să găsiți oricare dintre aceste funcții, cu condiția ca oricare alta să fie cunoscută.

\[ \sin^(2)\alpha + \cos^(2) \alpha = 1 \]

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha), \enspace ctg \alpha = \dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha = 1 \]

Relația dintre sinus și cosinus

\[ \sin^(2) \alpha+\cos^(2) \alpha=1 \]

Această identitate spune că suma pătratului sinusului unui unghi și pătratul cosinusului unui unghi este egală cu unu, ceea ce face posibilă calcularea sinusului unui unghi atunci când cosinusul lui este cunoscut și invers. .

La conversia expresiilor trigonometrice, se folosește foarte des această identitate, ceea ce vă permite să înlocuiți suma pătratelor cosinusului și sinusului unui unghi cu unul și, de asemenea, să efectuați operația de înlocuire în ordine inversă.

Găsirea tangentei și cotangentei folosind sinus și cosinus

\[ tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha),\enspace ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \]

Aceste identități sunt formate din definițiile sinusului, cosinusului, tangentei și cotangentei. La urma urmei, dacă te uiți la el, atunci prin definiție ordonată \(\dfrac(y)(x)=\dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \), și raportul \(\dfrac(x)(y)=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- va fi o cotangentă.

Să adăugăm că numai pentru astfel de unghiuri \(\alpha \) la care funcțiile trigonometrice incluse în ele au sens vor identitățile , .

De exemplu: \(tg \alpha = \dfrac(\sin \alpha)(\cos \alpha) \) este valabilă pentru unghiurile \(\alpha \) care sunt diferite de \(\dfrac(\pi)(2)+\pi z \) și \(ctg \alpha=\dfrac(\cos \alpha)(\sin \alpha) \)- pentru un unghi \(\alpha \) altul decât \(\pi z \) , \(z \) este un număr întreg.

Relația dintre tangentă și cotangentă

\[ tg \alpha \cdot ctg \alpha=1 \]

Această identitate este valabilă numai pentru unghiurile \(\alpha \) care sunt diferite de \(\dfrac(\pi)(2) z \) . În caz contrar, nici cotangenta, fie tangenta nu vor fi determinate.

Pe baza punctelor de mai sus, obținem că \(tg \alpha = \dfrac(y)(x) \) și \(ctg \alpha=\dfrac(x)(y) \) . Rezultă că \(tg \alpha \cdot ctg \alpha = \dfrac(y)(x) \cdot \dfrac(x)(y)=1 \). Astfel, tangenta și cotangenta aceluiași unghi la care au sens sunt numere reciproc inverse.

Relații dintre tangentă și cosinus, cotangentă și sinus

\(tg^(2) \alpha + 1=\dfrac(1)(\cos^(2) \alpha) \)- suma tangentei pătrate a unghiului \(\alpha \) și \(\alpha \) altul decât \(\dfrac(\pi)(2)+ \pi z \) .

\(1+ctg^(2) \alpha=\dfrac(1)(\sin^(2)\alpha) \)- suma \(\alpha \) este egală cu pătratul invers al sinusului unghiului dat. Această identitate este valabilă pentru orice \(\alpha \) diferit de \(\pi z \) .

Formulele de trigonometrie de bază sunt formule care stabilesc conexiuni între funcțiile trigonometrice de bază. Sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta sunt interconectate prin multe relații. Mai jos vă prezentăm principalele formule trigonometrice, iar pentru comoditate le vom grupa după scop. Folosind aceste formule puteți rezolva aproape orice problemă dintr-un curs standard de trigonometrie. Să observăm imediat că mai jos sunt doar formulele în sine, și nu concluzia lor, care vor fi discutate în articole separate.

Identități de bază ale trigonometriei

Identitățile trigonometrice oferă o relație între sinusul, cosinusul, tangenta și cotangenta unui unghi, permițând unei funcții să fie exprimată în termenii altuia.

Identități trigonometrice

sin 2 a + cos 2 a = 1 t g α = sin α cos α , c t g α = cos α sin α t g α c t g α = 1 t g 2 α + 1 = 1 cos 2 α , c t g 2 α + 1 = 1 sin 2 α

Aceste identități rezultă direct din definițiile cercului unitar, sinus (sin), cosinus (cos), tangente (tg) și cotangente (ctg).

Formule de reducere

Formulele de reducere vă permit să treceți de la lucrul cu unghiuri arbitrare și arbitrar mari la lucrul cu unghiuri cuprinse între 0 și 90 de grade.

Formule de reducere

sin α + 2 π z = sin α , cos α + 2 π z = cos α t g α + 2 π z = t g α , c t g α + 2 π z = c t g α sin - α + 2 π z = - sin α , cos - α + 2 π z = cos α t g - α + 2 π z = - t g α , c t g - α + 2 π z = - c t g α sin π 2 + α + 2 π z = cos α , cos π 2 + α + 2 π z = - sin α t g π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g π 2 + α + 2 π z = - t g α sin π 2 - α + 2 π z = cos α , cos π 2 - α + 2 π z = sin α t g π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g π 2 - α + 2 π z = t g α sin π + α + 2 π z = - sin α , cos π + α + 2 π z = - cos α t g π + α + 2 π z = t g α , c t g π + α + 2 π z = c t g α sin π - α + 2 π z = sin α , cos π - α + 2 π z = - cos α t g π - α + 2 π z = - t g α , c t g π - α + 2 π z = - c t g α sin 3 π 2 + α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 + α + 2 π z = sin α t g 3 π 2 + α + 2 π z = - c t g α , c t g 3 π 2 + α + 2 π z = - t g α sin 3 π 2 - α + 2 π z = - cos α , cos 3 π 2 - α + 2 π z = - sin α t g 3 π 2 - α + 2 π z = c t g α , c t g 3 π 2 - α + 2 π z = t g α

Formulele de reducere sunt o consecință a periodicității funcțiilor trigonometrice.

Formule trigonometrice de adunare

Formulele de adunare în trigonometrie vă permit să exprimați funcția trigonometrică a sumei sau diferenței unghiurilor în termeni de funcții trigonometrice ale acestor unghiuri.

Formule trigonometrice de adunare

sin α ± β = sin α · cos β ± cos α · sin β cos α + β = cos α · cos β - sin α · sin β cos α - β = cos α · cos β + sin α · sin β t g α ± β = t g α ± t g β 1 ± t g α t g β c t g α ± β = - 1 ± c t g α c t g β c t g α ± c t g β

Pe baza formulelor de adunare, sunt derivate formule trigonometrice pentru unghiuri multiple.

Formule pentru unghiuri multiple: dublu, triplu etc.

sin 2 α = 2 · sin α · cos α cos 2 α = cos 2 α - sin 2 α , cos 2 α = 1 - 2 sin 2 α , cos 2 α = 2 cos 2 α - 1 t g 2 α = 2 · t g α 1 - t g 2 α cu t g 2 α = cu t g 2 α - 1 2 · cu t g α sin 3 α = 3 sin α · cos 2 α - sin 3 α , sin 3 α = 3 sin α - 4 sin 3 α cos 3 α = cos 3 α - 3 sin 2 α · cos α , cos 3 α = - 3 cos α + 4 cos 3 α t g 3 α = 3 t g α - t g 3 α 1 - 3 t g 2 α c t g 3 α = c t g 3 α - 3 c t g α 3 c t g 2 α - 1

Formule cu jumătate de unghi

Formulele cu semiunghi în trigonometrie sunt o consecință a formulelor cu dublu unghi și exprimă relația dintre funcțiile de bază ale unui semiunghi și cosinusul unui unghi întreg.

Formule cu jumătate de unghi

sin 2 α 2 = 1 - cos α 2 cos 2 α 2 = 1 + cos α 2 t g 2 α 2 = 1 - cos α 1 + cos α c t g 2 α 2 = 1 + cos α 1 - cos α

Formule de reducere a gradului

sin 2 α = 1 - cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 α = 3 sin α - sin 3 α 4 cos 3 α = 3 cos α + cos 3 α 4 sin 4 α = 3 - 4 cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8

Este adesea incomod să lucrezi cu puteri greoaie atunci când faci calcule. Formulele de reducere a gradului vă permit să reduceți gradul unei funcții trigonometrice de la arbitrar mare la prima. Iată viziunea lor generală:

Vedere generală a formulelor de reducere a gradului

pentru chiar n

sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 (- 1) n 2 - k · C k n · cos ((n - 2 k) α) cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n 2 - 1 C k n cos ((n - 2 k) α)

pentru n. impar

sin n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 (- 1) n - 1 2 - k C k n sin ((n - 2 k) α) cos n α = 1 2 n - 1 ∑ k = 0 n - 1 2 C k n cos ((n - 2 k) α)

Suma și diferența funcțiilor trigonometrice

Diferența și suma funcțiilor trigonometrice pot fi reprezentate ca produs. Factorizarea diferențelor de sinusuri și cosinus este foarte convenabilă de utilizat atunci când rezolvați ecuații trigonometrice și simplificați expresii.

Suma și diferența funcțiilor trigonometrice

sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2 cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 sin β - α 2

Produsul funcțiilor trigonometrice

Dacă formulele pentru suma și diferența funcțiilor permit să mergem la produsul lor, atunci formulele pentru produsul funcțiilor trigonometrice efectuează tranziția inversă - de la produs la sumă. Sunt luate în considerare formulele pentru produsul dintre sinusuri, cosinus și sinus cu cosinus.

Formule pentru produsul funcțiilor trigonometrice

sin α · sin β = 1 2 · (cos (α - β) - cos (α + β)) cos α · cos β = 1 2 · (cos (α - β) + cos (α + β)) sin α cos β = 1 2 (sin (α - β) + sin (α + β))

Substituție trigonometrică universală

Toate funcțiile trigonometrice de bază - sinus, cosinus, tangentă și cotangentă - pot fi exprimate în termenii tangentei unui jumătate de unghi.

Substituție trigonometrică universală

sin α = 2 t g α 2 1 + t g 2 α 2 cos α = 1 - t g 2 α 2 1 + t g 2 α 2 t g α = 2 t g α 2 1 - t g 2 α 2 c t g α = 1 - t g 2 α 2 2 t g α 2

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Puteți comanda o soluție detaliată la problema dvs.!!!

Formulele cu unghi dublu fac posibilă exprimarea funcțiilor trigonometrice (sinus, cosinus, tangentă, cotangentă) ale unghiului `2\alpha` prin chiar aceste funcții ale unghiului `\alpha`.

Lista de mai jos este formulele de bază ale unghiului dublu cel mai frecvent utilizate în trigonometrie. Pentru cosinus sunt trei dintre ele, toate sunt echivalente și la fel de importante.

`sin \ 2\alpha=` `2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha`, `cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)`

Următoarele identități exprimă toate funcțiile trigonometrice ale unghiului `2\alpha` prin funcțiile tangentă și cotangentă ale unghiului `\alpha`.

`sin \ 2\alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha)(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=` `\frac(1-tg^2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1) =` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha)(ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=` `\frac(2 \ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac ( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

Formulele pentru cosinus și sinus ale unui unghi dublu funcționează pentru orice unghi `\alpha`. Formulele pentru tangentei unui unghi dublu sunt valabile pentru acele `\alpha` pentru care este definit `tg\2\alpha`, adică pentru ` \alpha\ne\frac\pi4+\frac\pi2 n, \n \în Z`. În mod similar, pentru cotangentă ele apar pentru acele `\alpha` pentru care este definit `ctg \2\alpha`, adică pentru ` \alpha\ne\frac\pi2 n, \n \in Z`.

Dovada formulelor cu unghi dublu

Toate formulele unghiului dublu sunt derivate din formulele pentru suma și diferența de unghiuri ale funcțiilor trigonometrice.

Să luăm două formule pentru suma unghiurilor sinusului și cosinusului:

`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta` și `cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`. Luați `\beta=\alpha`, apoi `sin(\alpha+\alpha)=` `sin \ \alpha\ cos \ \alpha+cos \ \alpha\ sin \ \alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha`, similar cu `cos(\alpha+\alpha)=` `cos \ \alpha\ cos \ \alpha-sin \ \alpha\ sin \ \alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`, care și demonstrează formule cu unghi dublu pentru sinus și cosinus.

Alte două egalități pentru cosinusul ` cos \ 2\alpha=1-2 \ sin^2 \alpha ` și ` cos \ 2\alpha=2 \ cos^2 \alpha-1` sunt reduse la ceea ce a fost deja dovedit dacă înlocuim 1 în ele cu `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`. Deci `1-2 \sin^2 \alpha=` `sin^2 \alpha+cos^2 \alpha-2 \sin^2 \alpha=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha` și ` 2 \cos^2 \alpha-1=` `2 \cos^2 \alpha-(sin^2 \alpha+cos^2 \alpha)=` `cos^2 \alpha-sin^2 \alpha`.

Pentru a demonstra formulele pentru tangentei unui unghi dublu și cotangentei, vom folosi definiția acestor funcții. Să scriem `tg \ 2\alpha` și `ctg \ 2\alpha` ca `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)` și `ctg \ 2\alpha= \frac (cos\2\alpha)(sin\2\alpha)`. Aplicând formulele deja dovedite de unghi dublu pentru sinus și cosinus, obținem `tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha )(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)` și `ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha -sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)`.

În cazul tangentei, împărțim numărătorul și numitorul fracției finale la `cos^2 \alpha`, pentru cotangente, la rândul său, la `sin^2 \alpha`.

`tg \ 2\alpha=\frac (sin \ 2\alpha)(cos \ 2\alpha)=\frac (2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)(cos^2 \alpha-sin^2 \ alpha)=` `\frac (\frac(2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha)(cos^2 \alpha))(\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(cos^ 2 \alpha))=` `\frac (2 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha))(1-\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=\frac (2\tg\\alpha)(1-tg^2\alpha)`.

`ctg \ 2\alpha=\frac (cos \ 2\alpha)(sin \ 2\alpha)=` `\frac (cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha)=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha)(sin^2 \alpha))(\frac(2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha)( sin^2 \alpha))=` `\frac (\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)(2 \cdot \frac(cos \alpha)( sin \alpha ))= \frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)`.

De asemenea, vă recomandăm să vizionați videoclipul pentru a consolida mai bine materialul teoretic:

Exemple de utilizare a formulelor pentru rezolvarea problemelor

Formulele cu unghi dublu sunt cel mai adesea folosite pentru a converti expresii trigonometrice. Să ne uităm la câteva dintre cazuri și la modul în care acestea pot fi aplicate în practică atunci când rezolvăm probleme specifice.

Exemplul 1. Verificați validitatea identităților unghiului dublu pentru `\alpha=30^\circ`.

Soluţie. Formulele noastre folosesc două unghiuri `\alpha` și `2\alpha`. Valoarea primului unghi este specificată în condiție, al doilea în consecință va fi `2\alpha=60^\circ`. De asemenea, cunoaștem valorile numerice pentru toate funcțiile trigonometrice ale acestor unghiuri. Să le scriem:

`sin 30^\circ=\frac 1 2`, `cos 30^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `tg 30^\circ=\frac (\sqrt 3)3`, `ctg 30 ^\circ=\sqrt 3` și

`sin 60^\circ=\frac (\sqrt 3)2`, `cos 60^\circ=\frac 1 2`, `tg 60^\circ=\sqrt 3`, `ctg 60^\circ=\ frac (\sqrt 3)3`.

Atunci vom avea

`sin 60^\circ=2 sin 30^\circ cos 30^\circ=` `2 \cdot \frac 1 2 \cdot \frac (\sqrt 3)2=\frac (\sqrt 3)2`,

`cos 60^\circ=cos^2 30^\circ-sin^2 30^\circ=` `(\frac (\sqrt 3)2)^2 \cdot (\frac 1 2)^2=\frac 1 2`,

`tg 60^\circ=\frac(2 tg 30^\circ)(1-tg^2 30^\circ)=` `\frac(2 \cdot \frac (\sqrt 3)3)(1-( \frac (\sqrt 3)3)^2)=\sqrt 3`,

`ctg 60^\circ=\frac(ctg^2 30^\circ-1)(2 \ctg 30^\circ)=` `\frac((\sqrt 3)^2-1)(2 \cdot \ sqrt 3)=\frac (\sqrt 3)3`.

Ceea ce demonstrează validitatea egalităților pentru unghiul specificat în condiție.

Exemplul 2. Exprimați `sin \frac (2\alpha)3` în termeni de funcții trigonometrice ale unghiului `\frac (\alpha)6`.

Soluţie. Să scriem unghiul sinusoidal astfel: ` \frac (2\alpha)3=4 \cdot \frac (\alpha)6`. Apoi, aplicând formula unghiului dublu de două ori, ne putem rezolva problema.

În primul rând, vom folosi egalitatea sinusului unghiului dublu: ` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3 `, acum vom aplica din nou formulele noastre pentru sinus și, respectiv, cosinus. Ca rezultat obținem:

` sin\frac (2\alpha)3=2 \cdot sin\frac (\alpha)3 \cdot cos\frac (\alpha)3=` `2 \cdot (2 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos\frac (\alpha)6) \cdot (cos^2\frac (\alpha)6-sin^2\frac (\alpha)6)=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.

Răspuns. ` sin\frac (2\alpha)3=` `4 \cdot sin\frac (\alpha)6 \cdot cos^3 \frac (\alpha)6-4 \cdot sin^3\frac (\alpha)6 \cdot cos \frac (\alpha)6`.

Formule cu unghi triplu

Aceste formule, asemănătoare celor anterioare, fac posibilă exprimarea funcțiilor unghiului `3\alpha` prin aceleași funcții ale unghiului `\alpha`.

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Ele pot fi dovedite folosind egalități de sumă și diferențe de unghi, precum și formulele unghiului dublu care ne sunt bine cunoscute.

`sin \ 3\alpha= sin (2\alpha+ \alpha)=` `sin 2\alpha cos \alpha+cos 2\alpha sin \alpha=` `2 sin \alpha cos \alpha cos \alpha+(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) sin \alpha=` `3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha`.

În formula rezultată, înlocuiți `sin \ 3\alpha=3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha` `cos^2\alpha` cu `1-sin^2\alpha` și obțineți `sin \ 3 \alpha=3 \sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`.

De asemenea, pentru cosinusul unui unghi triplu:

`cos \ 3\alpha= cos (2\alpha+ \alpha)=` `cos 2\alpha cos \alpha-sin 2\alpha sin \alpha=` `(cos^2 \alpha-sin^2 \alpha) cos \alpha-2 sin \alpha cos \alpha sin \alpha+=` `cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha`.

Înlocuind `cos \ 3\alpha=cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha` `sin^2\alpha` în egalitatea finală cu `1-cos^2\alpha`, obținem `cos \ 3 \alpha=4cos^3 \alpha-3 \cos \ \alpha`.

Folosind identitățile dovedite pentru sinus și cosinus, putem demonstra pentru tangentă și cotangentă:

`tg \ 3\alpha=\frac (sin \ 3\alpha)(cos \ 3\alpha)=` `\frac (3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \ alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)=` `\frac (\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(cos^3 \alpha))(\frac(cos ^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(cos^3 \alpha))=` `\frac (3 \cdot \frac( sin \alpha )(cos \alpha)-\frac( sin^ 3 \alpha )(cos^3 \alpha))(1-3\frac(sin^2 \alpha)(cos^2 \alpha))=` `\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \ alfa)(1-3tg^2 \alpha)`;

`ctg \ 3\alpha=\frac (cos \ 3\alpha)(sin \ 3\alpha)=` `\frac (cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(3 sin \alpha) cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)=` `\frac (\frac(cos^3 \alpha-3 sin^2 \alpha cos \alpha)(sin^3 \alpha))(\frac(3 sin \alpha cos^2 \alpha-sin^3 \alpha)(sin^3 \alpha))=` `\frac (\frac( cos^3 \alpha )(sin^3 \alpha)-3 \cdot \ frac(cos \alpha)( sin \alpha ))(3\frac(cos^2 \alpha)(sin^2 \alpha)-1)=` `ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha) -3\ctg\\alpha)(3\ctg^2\alpha-1)`.

Pentru a demonstra formulele pentru unghiul ` 4\alpha`, îl puteți reprezenta ca ` 2 \cdot 2\alpha` și încercați formulele unghiului dublu de două ori.

Pentru a obține egalități similare pentru unghiul `5\alpha`, îl puteți scrie ca `3\alpha + 2\alpha` și aplicați identitățile sumei și diferenței unghiurilor și unghiurilor duble și triple.

Toate formulele pentru alte unghiuri multiple sunt derivate în mod similar, dar sunt rareori necesare în practică.