Denumiri și simboluri. Cele mai simple forme geometrice: punct, linie dreaptă, segment, rază, linie întreruptă

În geometrie, principalele figuri geometrice sunt punctul și linia. Pentru a desemna puncte, se obișnuiește să se folosească litere mari latine: A, B, C, D, E, F .... Pentru a desemna linii drepte, se folosesc litere latine mici: a, b, c, d, e, f .... Figura de mai jos arată o dreaptă a și mai multe puncte A, B, C, D.

Pentru a reprezenta o linie dreaptă în figură, folosim o riglă, dar nu descriem întreaga linie, ci doar o bucată din ea. Deoarece linia din punctul nostru de vedere se extinde la infinit în ambele direcții, linia este infinită.

În figura de mai sus, vedem că punctele A și C sunt situate pe o linie dreaptă. A. În astfel de cazuri, spunem că punctele A și C aparțin dreptei a. Sau spun că linia trece prin punctele A și C. La scriere, apartenența unui punct la o dreaptă este indicată printr-o pictogramă specială. Iar faptul că punctul nu aparține liniei este marcat cu aceeași pictogramă, doar tăiat.

În cazul nostru, punctele B și D nu aparțin dreptei a.

După cum sa menționat mai sus, în figură, punctele A și C aparțin dreptei a. Se numește partea unei linii care constă din toate punctele de pe acea linie care se află între două puncte date segment. Cu alte cuvinte, un segment este o parte a unei linii drepte delimitată de două puncte.

În cazul nostru, avem un segment AB. Punctele A și B se numesc capetele segmentului. Pentru a desemna un segment, capetele acestuia sunt indicate, în cazul nostru, AB. Una dintre principalele proprietăți ale apartenenței punctelor și liniilor este următoarea proprietate: prin oricare două puncte poți trage o linie și, în plus, doar una.

Dacă două drepte au un punct comun, atunci se spune că cele două drepte se intersectează. În figură, liniile a și b se intersectează în punctul A. Liniile a și c nu se intersectează.

Orice două linii au un singur punct comun sau nici un punct comun. Dacă presupunem contrariul, că două drepte au două puncte în comun, atunci două drepte ar trece prin ele. Dar acest lucru este imposibil, deoarece doar o singură linie poate fi trasă prin două puncte.

În ciuda faptului că geometria este una dintre științele exacte, oamenii de știință nu pot defini fără ambiguitate termenul „linie dreaptă”. În chiar vedere generala i se poate da această definiție: „O linie dreaptă este o linie de-a lungul căreia drumul este egal cu distanța dintre două puncte”.

Ce este o linie dreaptă în matematică? Definiția dreptei în matematică: o linie dreaptă nu are capete și poate continua în ambele direcții până la infinit.

Conceptele de bază ale geometriei includ punct, linie și plan, acestea sunt date fără definiție, dar definițiile altor forme geometrice sunt date prin aceste concepte. Un plan, ca o linie dreaptă, este un concept primar care nu are definiție. Această afirmație este stabilită prin următoarea axiomă: dacă două puncte ale unei linii se află într-un anumit plan, atunci toate punctele acestei drepte se află în acest plan. Și afirmația în sine, care este dovedită, se numește teoremă. Enunțul teoremei constă de obicei din două părți.

Sarcină: unde este linia, raza, segmentul, curba? Vârfurile poliliniei (asemănătoare cu vârfurile munților) sunt punctul de la care începe polilinia, punctele în care sunt conectate segmentele care formează polilinia, punctul în care se termină polilinia. Sarcină: care polilinie este mai lungă și care are mai multe vârfuri? Laturile adiacente ale unui poligon sunt legături adiacente ale unei linii întrerupte. Vârfurile poligonului sunt vârfurile poliliniei. Vârfurile învecinate sunt punctele finale ale unei laturi ale poligonului.

În lecțiile de matematică, puteți auzi următoarea explicație: un segment matematic are o lungime și se termină. Un segment în matematică este un set de toate punctele situate pe o linie dreaptă între capetele unui segment.

În viitor, vor exista definiții pentru diferite figuri, cu excepția a două - un punct și o linie. Deci uneori putem desemna o linie dreaptă cu două mari cu litere latine, de exemplu, linia\(AB\), deoarece nicio altă linie nu poate fi trasă prin aceste două puncte. Scriem simbolic segmentul \(AB\).

Care este un punct în matematică?

Teorema: Linia mediană a unui triunghi este paralelă cu una dintre laturile sale și egală cu jumătatea acelei laturi. C. Înălțimea unui triunghi dreptunghic trasat dintr-un vârf unghi drept, împarte triunghiul în două similare triunghi dreptunghic, dintre care fiecare este similar cu un triunghi dat. C. Un unghi înscris pe baza unui semicerc este un unghi drept. Aici sunt colectate principalele definiții, teoreme, proprietăți ale figurilor din plan.

Vectorul cu coordonatele punctului se numește vector normal, este perpendicular pe dreapta.

Într-o expunere sistematică a geometriei, o linie dreaptă este de obicei luată ca unul dintre conceptele inițiale, care este determinată doar indirect de axiomele geometriei.

4. Două drepte necoincidente într-un plan fie se intersectează într-un singur punct, fie sunt paralele. O rază este o parte a unei linii drepte mărginită pe o parte. Un segment, ca o linie dreaptă, este indicat fie de o literă, fie de două. În acest din urmă caz, aceste litere indică capetele segmentului.

Ne vom uita la fiecare dintre subiecte, iar la final vor fi teste pe subiecte.

Punct în matematică

Care este un punct în matematică? Un punct matematic nu are dimensiuni și este indicat cu majuscule latine: A, B, C, D, F etc.

În figură, puteți vedea imaginea punctelor A, B, C, D, F, E, M, T, S.

Segment în matematică

Ce este un segment în matematică? În lecțiile de matematică, puteți auzi următoarea explicație: un segment matematic are o lungime și se termină. Un segment în matematică este un set de toate punctele situate pe o linie dreaptă între capetele unui segment. Capetele segmentului sunt două puncte de limită.

În figură vedem următoarele: segmente ,,, și , precum și două puncte B și S.

Linii drepte în matematică

Ce este o linie dreaptă în matematică? Definiția dreptei în matematică: o linie dreaptă nu are capete și poate continua în ambele direcții până la infinit. O linie dreaptă în matematică este notă cu oricare două puncte de pe o linie dreaptă. Pentru a explica unui elev conceptul de linie dreaptă, putem spune că o linie dreaptă este un segment care nu are două capete.

Figura prezintă două linii drepte: CD și EF.

Ray la matematică

Ce este o rază? Definiția unei raze în matematică: O rază este o parte a unei linii care are un început și fără sfârșit. Numele fasciculului conține două litere, de exemplu, DC. Mai mult, prima literă indică întotdeauna punctul de început al fasciculului, așa că nu puteți schimba literele.

Figura prezintă grinzile: DC, KC, EF, MT, MS. Grinzile KC și KD - o grindă, pentru că au o origine comună.

Linia numerică la matematică

Definiția unei drepte numerice în matematică: O linie ale cărei puncte marchează numere se numește dreptă numerică.

Figura prezintă o linie numerică, precum și o rază OD și ED

Pagina 1 din 3

§1. Întrebări de control
Întrebare 1. Dați exemple de forme geometrice.
Răspuns. Exemple de forme geometrice: triunghi, pătrat, cerc.

Intrebarea 2. Care sunt principalele figuri geometrice la suprafata.
Răspuns. Principalele figuri geometrice de pe plan sunt punctul și linia.

Întrebarea 3. Cum sunt definite punctele și liniile?
Răspuns. Punctele sunt indicate cu majuscule latine: A, B, C, D, .... Liniile drepte sunt notate cu litere latine mici: a, b, c, d, ....
O linie poate fi notata cu doua puncte situate pe ea. De exemplu, linia a din figura 4 ar putea fi etichetată AC, iar linia b ar putea fi etichetată BC.

Întrebarea 4. Formulați proprietățile de bază ale apartenenței punctelor și liniilor.
Răspuns. Indiferent de linie, există puncte care aparțin acestei linii și puncte care nu îi aparțin.
Prin oricare două puncte poți trage o linie și doar una.
Întrebarea 5. Explicați ce este un segment cu capete în puncte date.
Răspuns. Un segment este o parte a unei linii drepte care constă din toate punctele acestei linii drepte care se află între două puncte date ale acesteia. Aceste puncte se numesc capetele segmentului. Un segment este indicat prin indicarea capetelor sale. Când spun sau scriu: „segment AB”, înseamnă un segment cu capete în punctele A și B.

Întrebarea 6. Formulați proprietatea principală a locației punctelor pe o dreaptă.
Răspuns. Dintre cele trei puncte de pe o linie, unul și doar unul se află între celelalte două.
Întrebarea 7. Formulați principalele proprietăți ale segmentelor de măsurare.
Răspuns. Fiecare segment are o anumită lungime mai mare decât zero. Lungimea unui segment este egală cu suma lungimilor părților în care este împărțit la oricare dintre punctele sale.
Întrebarea 8. Care este distanța dintre două puncte date?
Răspuns. Lungimea segmentului AB se numește distanța dintre punctele A și B.
Întrebarea 9. Care sunt proprietățile împărțirii unui plan în două semiplane?
Răspuns.Împărțirea unui plan în două semiplane are următoarea proprietate. Dacă capetele oricărui segment aparțin aceluiași semiplan, atunci segmentul nu intersectează dreapta. Dacă capetele unui segment aparțin unor semiplane diferite, atunci segmentul intersectează linia.

În acest articol, ne vom opri în detaliu asupra unuia dintre conceptele primare ale geometriei - asupra conceptului de linie dreaptă pe un plan. Mai întâi, să definim termenii de bază și notația. În continuare, discutăm poziția relativă a unei drepte și a unui punct, precum și a două drepte pe un plan și dăm axiomele necesare. În concluzie, vom lua în considerare modalități de a stabili o linie dreaptă pe un plan și de a oferi ilustrații grafice.

Navigare în pagină.

O linie dreaptă pe un plan este un concept.

Înainte de a da conceptul de linie dreaptă pe un plan, ar trebui să înțelegem clar ce este un plan. Reprezentarea avionului vă permite să obțineți, de exemplu, o suprafață plană a mesei sau a peretelui casei. Cu toate acestea, trebuie avut în vedere că dimensiunile tabelului sunt limitate, iar planul se extinde dincolo de aceste limite până la infinit (ca și cum am avea un tabel arbitrar de mare).

Dacă luăm un creion bine ascuțit și îi atingem miezul de suprafața „mesei”, atunci vom obține o imagine a unui punct. Deci primim reprezentarea unui punct pe un plan.

Acum poți merge la conceptul de linie dreaptă pe un plan.

Să punem pe suprafața mesei (pe avion) ​​o coală de hârtie curată. Pentru a trage o linie dreaptă, trebuie să luăm o riglă și să tragem o linie cu un creion, atât cât ne permite dimensiunea riglei și a foii de hârtie folosite. Trebuie remarcat faptul că în acest fel obținem doar o parte din linia dreaptă. O linie dreaptă în întregime, extinzându-se la infinit, ne putem doar imagina.

Poziția reciprocă a unei linii și a unui punct.

Ar trebui să începeți cu o axiomă: există puncte pe fiecare linie dreaptă și în fiecare plan.

Punctele sunt de obicei notate cu majuscule latine, de exemplu, punctele A și F. La rândul lor, liniile drepte sunt notate cu litere mici latine, de exemplu, liniile drepte a și d.

Posibil două opțiuni pentru poziția relativă a unei drepte și a unui punct pe un plan: fie punctul se află pe o dreaptă (în acest caz, se spune și că linia trece prin punct), fie punctul nu se află pe linie (se mai spune că punctul nu aparține dreptei, fie linia nu trece prin punct).

Pentru a indica faptul că un punct aparține unei anumite linii, se folosește simbolul „”. De exemplu, dacă punctul A se află pe linia a, atunci puteți scrie. Dacă punctul A nu aparține dreptei a, atunci scrieți.

Următoarea afirmație este adevărată: prin oricare două puncte există o singură linie dreaptă.

Această afirmație este o axiomă și ar trebui acceptată ca un fapt. În plus, acest lucru este destul de evident: notăm două puncte pe hârtie, le aplicăm o riglă și trasăm o linie dreaptă. O linie dreaptă care trece prin două puncte date (de exemplu, prin punctele A și B) poate fi notă cu aceste două litere (în cazul nostru, linia dreaptă AB sau BA).

Trebuie înțeles că pe o dreaptă dată pe un plan, există infinit de multe puncte diferite și toate aceste puncte se află în același plan. Această afirmație este stabilită de axioma: dacă două puncte ale unei linii se află într-un anumit plan, atunci toate punctele acestei drepte se află în acest plan.

Se numește mulțimea tuturor punctelor situate între două puncte date pe o linie dreaptă, împreună cu aceste puncte linie dreapta sau pur și simplu segment. Punctele care delimitează segmentul se numesc capete ale segmentului. Un segment este notat cu două litere corespunzătoare punctelor capetelor segmentului. De exemplu, punctele A și B sunt capetele unui segment, atunci acest segment poate fi notat AB sau BA. Vă rugăm să rețineți că această desemnare a unui segment este aceeași cu desemnarea unei linii drepte. Pentru a evita confuzia, vă recomandăm să adăugați cuvântul „segment” sau „direct” la denumire.

Pentru o scurtă înregistrare a apartenenței și a nu aparține unui anumit punct la un anumit segment, se folosesc toate aceleași simboluri și. Pentru a arăta că un segment se află sau nu pe o linie dreaptă, se folosesc simbolurile și, respectiv. De exemplu, dacă segmentul AB aparține liniei a, puteți scrie pe scurt.

Ar trebui să ne oprim și asupra cazului în care trei puncte diferite aparțin aceleiași linii. În acest caz, unul, și doar un punct, se află între celelalte două. Această afirmație este o altă axiomă. Fie că punctele A, B și C se află pe aceeași linie dreaptă, iar punctul B se află între punctele A și C. Atunci putem spune că punctele A și C sunt pe părți opuse ale punctului B. De asemenea, puteți spune că punctele B și C se află de aceeași parte a punctului A, iar punctele A și B se află de aceeași parte a punctului C.

Pentru a completa imaginea, observăm că orice punct al unei linii drepte împarte această linie dreaptă în două părți - două grindă. În acest caz, se dă o axiomă: un punct arbitrar O, aparținând unei linii, împarte această linie în două raze și oricare două puncte ale unei raze se află de aceeași parte a punctului O și oricare două puncte de raze diferite. se află pe părțile opuse ale punctului O.

Dispunerea reciprocă a liniilor drepte pe un plan.

Acum să răspundem la întrebarea: „Cum pot fi situate două linii pe un plan una față de alta”?

În primul rând, două linii într-un avion pot coincide.

Acest lucru este posibil atunci când liniile au cel puțin două puncte în comun. Într-adevăr, în virtutea axiomei exprimate în paragraful precedent, o singură linie dreaptă trece prin două puncte. Cu alte cuvinte, dacă două drepte trec prin două puncte date, atunci ele coincid.

În al doilea rând, două linii drepte într-un plan pot cruce.

În acest caz, liniile au un punct comun, care se numește punctul de intersecție al liniilor. Intersecția liniilor este notă cu simbolul „”, de exemplu, înregistrarea înseamnă că liniile a și b se intersectează în punctul M. Liniile care se intersectează ne conduc la conceptul de unghi dintre liniile care se intersectează. Separat, merită să luați în considerare locația liniilor drepte pe un plan atunci când unghiul dintre ele este de nouăzeci de grade. În acest caz, liniile sunt numite perpendicular(recomandăm articolul linii perpendiculare, perpendicularitatea liniilor). Dacă linia a este perpendiculară pe dreapta b, atunci se poate folosi notația scurtă.

În al treilea rând, două drepte dintr-un plan pot fi paralele.

Din punct de vedere practic, este convenabil să se ia în considerare o dreaptă pe un plan împreună cu vectorii. De o importanță deosebită sunt vectorii nenuli care se află pe o linie dată sau pe oricare dintre liniile paralele, ei se numesc vectorii de direcție ai dreptei. Articolul vector de direcție al unei linii drepte pe un plan oferă exemple de vectori de direcție și arată opțiuni pentru utilizarea lor în rezolvarea problemelor.

De asemenea, ar trebui să acordați atenție vectorilor non-zero care se află pe oricare dintre liniile perpendiculare pe cea dată. Astfel de vectori se numesc vectori normali ai dreptei. Utilizarea vectorilor normali ai unei linii drepte este descrisă în articolul vector normal al unei linii drepte pe un plan.

Când trei sau mai multe drepte sunt date pe un plan, atunci apare o mulțime diverse opțiuni poziţia lor relativă. Toate liniile pot fi paralele, altfel unele sau toate se intersectează. În acest caz, toate liniile se pot intersecta într-un singur punct (vezi articolul creion de linii) sau pot avea puncte de intersecție diferite.

Nu ne vom opri asupra acestui lucru în detaliu, dar vom cita câteva fapte remarcabile și foarte des folosite fără dovezi:

• dacă două drepte sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci sunt paralele între ele;
• dacă două drepte sunt perpendiculare pe o a treia dreaptă, atunci sunt paralele între ele;
• dacă într-un plan o dreaptă intersectează una dintre cele două drepte paralele, atunci ea intersectează și a doua dreaptă.

Metode de stabilire a unei linii drepte pe un plan.

Acum vom enumera principalele moduri în care puteți defini o anumită linie în plan. Aceste cunoștințe sunt foarte utile din punct de vedere practic, deoarece soluția atâtor exemple și probleme se bazează pe ea.

În primul rând, o linie dreaptă poate fi definită prin specificarea a două puncte pe plan.

Într-adevăr, din axioma avută în vedere în primul paragraf al acestui articol, știm că o dreaptă trece prin două puncte și, mai mult, doar unul.

Dacă coordonatele a două puncte nepotrivite sunt indicate într-un sistem de coordonate dreptunghiular pe un plan, atunci este posibil să scrieți ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

În al doilea rând, o dreaptă poate fi specificată prin specificarea punctului prin care trece și a dreptei cu care este paralelă. Această metodă este valabilă, deoarece o singură dreaptă trece printr-un punct dat al planului, paralelă cu o dreaptă dată. Dovada acestui fapt a fost făcută la orele de geometrie din liceu.

Dacă o dreaptă pe un plan este stabilită în acest fel față de dreptunghiul introdus Sistemul cartezian coordonate, adică capacitatea de a-și compune ecuația. Aceasta este scrisă în articol ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat paralel cu o dreaptă dată.

În al treilea rând, o linie poate fi definită prin specificarea punctului prin care trece și a vectorului său de direcție.

Dacă o linie dreaptă este dată într-un sistem de coordonate dreptunghiular în acest fel, atunci este ușor să compuneți ecuația sa canonică a unei drepte pe un plan și ecuații parametrice a unei drepte pe un plan.

A patra modalitate de a specifica o linie este de a specifica punctul prin care trece și linia pe care este perpendiculară. Într-adevăr, există o singură dreaptă printr-un punct dat al planului care este perpendiculară pe dreapta dată. Să lăsăm acest fapt fără dovezi.

În cele din urmă, o dreaptă din plan poate fi specificată prin specificarea punctului prin care trece și a vectorului normal al dreptei.

Dacă sunt cunoscute coordonatele unui punct situat pe o dreaptă dată și coordonatele vectorului normal al dreptei, atunci este posibil să scrieți ecuația generală a dreptei.

Bibliografie.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. Geometrie. Clasele 7 - 9: un manual pentru instituțiile de învățământ.
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. Geometrie. Manual pentru clasele 10-11 de liceu.
• Bugrov Ya.S., Nikolsky S.M. Matematică superioară. Volumul unu: Elemente de algebră liniară și geometrie analitică.
• Ilyin V.A., Poznyak E.G. Geometrie analitică.

Drepturi de autor de către studenți inteligenți

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte din www.site-ul web, inclusiv materialele interneȘi design exterior nu poate fi reprodus sub nicio formă sau utilizat fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.