Volumul corpului format prin rotirea figurii. Integrală în acțiune

Tip de lecție: combinată.

Scopul lecției:învață să calculezi volumele corpurilor de revoluție folosind integrale.

Sarcini:

consolidarea capacității de a selecta trapeze curbilinie dintr-un număr de forme geometrice și dezvoltarea abilității de a calcula zonele trapezelor curbilinie;
familiarizează-te cu conceptul de figură tridimensională;
învață să calculezi volumele corpurilor de revoluție;
contribuie la dezvoltare gandire logica, vorbire matematică competentă, acuratețe în construcția desenelor;
să cultive interesul pentru subiect, să opereze cu concepte și imagini matematice, să cultive voința, independența, perseverența în obținerea rezultatului final.

În timpul orelor

I. Moment organizatoric.

Salut de grup. Comunicarea elevilor a obiectivelor lecției.

Reflecţie. Melodie calmă.

Aș vrea să încep lecția de astăzi cu o pildă. „A fost un om înțelept care știa totul. O persoană a vrut să demonstreze că înțeleptul nu știe totul. Strângând fluturele în mâini, a întrebat: „Spune-mi, înțelept, care fluture este în mâinile mele: mort sau viu?” Și el însuși se gândește: „Dacă cel viu zice, o voi omorî, dacă cel mort zice, o voi da afară”. Înțeleptul, gândindu-se, a răspuns: „Totul în mâinile tale”. (Prezentare.Slide)

- Prin urmare, să muncim fructuos astăzi, să dobândim un nou depozit de cunoștințe și vom aplica abilitățile și abilitățile dobândite în viața ulterioară și în activități practice. „Totul în mâinile tale”.

II. Repetarea materialului învățat anterior.

Să trecem în revistă punctele principale ale materialului studiat anterior. Pentru a face acest lucru, să facem sarcina „Elimină cuvântul redundant”.(Diapozitiv.)

(Elevul merge la ID cu ajutorul unei radiere, elimină cuvântul în plus.)

- Dreapta "Diferenţial". Încercați să numiți cuvintele rămase într-un singur cuvânt comun. (Calcul integral.)

- Să ne amintim principalele etape și concepte legate de calculul integral ..

„Grupul de matematică”.

Exercițiu. Restabiliți permisele. (Elevul iese și scrie cuvintele necesare cu un pix.)

- Vom auzi un raport despre aplicarea integralelor mai târziu.

Lucrați în caiete.

– Formula Newton-Leibniz a fost dezvoltată de fizicianul englez Isaac Newton (1643–1727) și de filozoful german Gottfried Leibniz (1646–1716). Și acest lucru nu este surprinzător, deoarece matematica este limba pe care o vorbește însăși natura.

– Luați în considerare modul în care această formulă este utilizată în rezolvarea sarcinilor practice.

Exemplul 1: Calculați aria unei figuri delimitate de linii

Soluție: Să construim grafice ale funcțiilor pe planul de coordonate . Selectați zona figurii care trebuie găsită.

III. Învățarea de materiale noi.

- Fii atent la ecran. Ce se arată în prima poză? (Diapozitiv) (Figura arată o figură plată.)

Ce se arată în a doua imagine? Această cifră este plată? (Diapozitiv) (Figura arată o figură tridimensională.)

în spațiu, pe pământ și în Viata de zi cu zi ne întâlnim nu numai cu figuri plate, ci și cu cele tridimensionale, dar cum să calculăm volumul unor astfel de corpuri? De exemplu, volumul unei planete, al unei comete, al unui meteorit etc.

– Gândiți-vă la volum și construirea caselor și turnarea apei dintr-un vas în altul. Ar fi trebuit să apară reguli și metode de calcul al volumelor, un alt lucru este cât de exacte și justificate au fost.

Mesajul studentului. (Tyurina Vera.)

Anul 1612 a fost foarte fructuos pentru locuitorii orașului austriac Linz, unde a locuit pe atunci celebrul astronom Johannes Kepler, în special pentru struguri. Oamenii pregăteau butoaie de vin și doreau să știe să-și determine practic volumele. (Diapozitivul 2)

- Astfel, lucrările considerate ale lui Kepler au marcat începutul unui întreg flux de cercetare, care a culminat în ultimul sfert al secolului al XVII-lea. design în lucrările lui I. Newton și G.V. Calcul diferențial și integral Leibniz. De atunci, matematica variabilelor de magnitudine a ocupat un loc de frunte în sistemul cunoștințelor matematice.

- Așadar, astăzi vom fi angajați în astfel de activități practice, prin urmare,

Tema lecției noastre: „Calculul volumelor corpurilor de revoluție folosind o integrală definită”. (Diapozitiv)

- Veți învăța definiția unui corp de revoluție completând următoarea sarcină.

"Labirint".

Labirint (cuvânt grecesc) înseamnă trecere în temniță. Un labirint este o rețea complicată de poteci, pasaje, încăperi care comunică între ele.

Dar definiția „s-a prăbușit”, au existat indicii sub formă de săgeți.

Exercițiu. Găsiți o cale de a ieși din situația confuză și scrieți definiția.

Slide. „Fișă de instrucțiuni” Calculul volumelor.

Folosind o integrală definită, puteți calcula volumul unui corp, în special al unui corp de revoluție.

Un corp de revoluție este un corp obținut prin rotirea unui trapez curbiliniu în jurul bazei sale (Fig. 1, 2)

Volumul unui corp de revoluție se calculează cu una dintre formulele:

1. în jurul axei x.

2. , dacă rotația trapezului curbiliniu în jurul axei y.

Fiecare elev primește un card de instrucțiuni. Profesorul evidențiază punctele principale.

Profesorul explică pe tablă soluția exemplelor.

Luați în considerare un extras din faimos basm A. S. Pușkin „Povestea țarului Saltan, gloriosul și puternicul său fiu prințul Gvidon Saltanovici și frumoasa prințesă Lebed” (Diapozitivul 4):

…..
Și a adus un mesager beat
În aceeași zi, comanda este:
„Țarul poruncește boierilor săi,
Nu pierde timpul
Și regina și urmașii
Aruncat în secret în abisul apelor.”
Nu e nimic de făcut: boierii,
După ce s-a plâns de suveran
Și tânăra regină
O mulțime a venit în dormitorul ei.
A declarat testamentul regal -
Ea și fiul ei au o soartă rea,
Citiți decretul cu voce tare
Și regina în același timp
M-au băgat într-un butoi cu fiul meu,
S-a rugat, s-a rostogolit
Și m-au lăsat să intru în okian -
Așa a poruncit țarul Saltan.

Care ar trebui să fie volumul butoiului pentru ca regina și fiul ei să încapă în el?

– Luați în considerare următoarele sarcini

1. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei y a unui trapez curbiliniu delimitat de drepte: x 2 + y 2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Răspuns: 1163 cm 3 .

Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unui trapez parabolic în jurul abscisei y = , x = 4, y = 0.

IV. Fixarea de material nou

Exemplul 2. Calculați volumul corpului format prin rotația petalei în jurul axei x y \u003d x 2, y 2 \u003d x.

Să reprezentăm graficele funcției. y=x2, y2=x. Programa y 2 = x transforma la forma y= .

Avem V \u003d V 1 - V 2 Să calculăm volumul fiecărei funcții

- Acum, să ne uităm la turnul pentru un post de radio din Moscova pe Shabolovka, construit după proiectul unui minunat inginer rus, academicianul onorific V. G. Shukhov. Este format din părți - hiperboloizi ai revoluției. Mai mult, fiecare dintre ele este făcută din tije metalice rectilinii care leagă cercurile adiacente (Fig. 8, 9).

- Luați în considerare problema.

Aflați volumul corpului obținut prin rotirea arcelor hiperbolei în jurul axei sale imaginare, așa cum se arată în fig. 8, unde

cub unitati

Misiuni de grup. Elevii trag la sorți cu sarcini, se fac desene pe hârtie whatman, unul dintre reprezentanții grupei apără lucrarea.

grupa 1.

Lovit! Lovit! Un alt hit!
O minge zboară în poartă - MINGE!
Și aceasta este o minge de pepene verde
Verde, rotund, delicios.
Arată mai bine - ce minge!
Este format din cercuri.
Tăiați în cercuri pepenele verde
Și gustă-le.

Aflați volumul unui corp obținut prin rotație în jurul axei OX a unei funcții mărginite de

Eroare! Marcajul nu este definit.

- Spune-mi, te rog, unde ne întâlnim cu această figură?

Casa. sarcina pentru grupa 1. CILINDRU (diapozitiv) .

"Cilidru - ce este?" l-am întrebat pe tatăl meu.
Părintele a râs: Pălăria de sus este o pălărie.
Pentru a avea o idee corectă,
Cilindrul, să zicem, este o cutie de tablă.
Țeava vaporului este un cilindru,
Conducta de pe acoperișul nostru, de asemenea,

Toate țevile sunt similare cu un cilindru.
Și am dat un exemplu ca acesta -
Caleidoscop Dragul meu,
Nu-ți poți lua ochii de la el.
De asemenea, arată ca un cilindru.

- Exercițiu. Teme pentru acasă trasează funcția și calculează volumul.

a 2-a grupă. CON (diapozitiv).

Mama a spus: Și acum
Despre con va fi povestea mea.
Stargazer cu capac înalt
Numărează stelele pe tot parcursul anului.
CON - pălărie de observator de stele.
Asta este el. Înțeles? Asta este.
Mama era la masă
Ea a turnat ulei în sticle.
- Unde este pâlnia? Fără pâlnie.
Uite. Nu sta pe margine.
- Mamă, nu mă voi mut de acolo,
Spune-mi mai multe despre con.
- Pâlnia este sub forma unui con de udator.
Haide, găsește-mă repede.
Nu am găsit pâlnia
Dar mama a făcut o geantă,
Înfășurați carton în jurul degetului
Și fixat cu îndemânare cu o agrafă.
Se toarnă ulei, mama e fericită
Conul a ieșit corect.

Exercițiu. Calculați volumul corpului obținut prin rotație în jurul axei x

Casa. sarcina pentru grupa a 2-a. PIRAMIDĂ(diapozitiv).

Am văzut poza. In aceasta poza
Există o PYRAMIDĂ în deșertul de nisip.
Totul în piramidă este extraordinar,
Există ceva mister și mister în ea.
Turnul Spasskaya din Piața Roșie
Atât copiii, cât și adulții sunt bine cunoscuți.
Uită-te la turn - obișnuit în aparență,
Ce e peste ea? Piramidă!

Exercițiu. Temele pentru acasă trasează o funcție și calculează volumul piramidei

- Am calculat volumele diferitelor corpuri pe baza formulei de bază pentru volumele corpurilor folosind integrala.

Aceasta este o altă confirmare că integrala definită este o bază pentru studiul matematicii.

— Acum hai să ne odihnim puțin.

Găsiți un cuplu.

Joc de melodie matematică de domino.

„Drumul pe care el însuși îl căuta nu va fi niciodată uitat...”

Muncă de cercetare. Aplicarea integralului în economie și tehnologie.

Teste pentru elevi puternici și fotbal la matematică.

Simulator de matematică.

2. Se numește mulțimea tuturor antiderivatelor unei funcții date

A) o integrală nedefinită

B) funcția,

B) diferențiere.

7. Aflați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor unui trapez curbiliniu delimitat de linii:

D/Z. Calculați volumele corpurilor de revoluție.

Reflecţie.

Acceptarea reflectării în formă cinquain(cinci rânduri).

Prima linie - numele subiectului (un substantiv).

Rândul 2 - o descriere a subiectului pe scurt, două adjective.

3rd line - o descriere a acțiunii din acest subiect în trei cuvinte.

Al 4-lea rând - o frază de patru cuvinte, arată atitudinea față de subiect (o propoziție întreagă).

A 5-a linie este un sinonim care repetă esența subiectului.

Volum.
Funcție integrală definită, integrabilă.
Construim, rotim, calculăm.
Un corp obținut prin rotirea unui trapez curbiliniu (în jurul bazei sale).
Corpul revoluției (corp geometric 3D).

Concluzie (diapozitiv).

O integrală definită este un fel de fundație pentru studiul matematicii, care aduce o contribuție indispensabilă la rezolvarea problemelor cu conținut practic.
Subiectul „Integral” demonstrează clar legătura dintre matematică și fizică, biologie, economie și tehnologie.
Dezvoltare stiinta moderna de neconceput fără folosirea integralei. În acest sens, este necesar să începem studiul lui în cadrul învățământului secundar de specialitate!

Notare. (Cu comentarii.)

Marele Omar Khayyam este un matematician, poet și filozof. El cheamă să fie stăpâni pe destinul său. Ascultă un fragment din lucrarea lui:

Spui că această viață este doar un moment.
Apreciază-l, inspiră-te din el.
Pe măsură ce o cheltuiți, așa va trece.
Nu uita: ea este creația ta.

I. Volume de corpuri de revoluție. Studiați preliminar capitolul XII, p°p° 197, 198, după manualul lui G. M. Fikhtengol'ts* Analizați în detaliu exemplele date la p° 198.

508. Calculați volumul corpului format prin rotația elipsei În jurul axei x.

Prin urmare,

530. Aflați aria suprafeței formate prin rotația în jurul axei Ox a arcului sinusoidei y \u003d sin x de la punctul X \u003d 0 până la punctul X \u003d It.

531. Calculați aria suprafeței unui con cu înălțimea h și raza r.

532. Calculaţi aria suprafeţei formate de

rotația astroidului x3 -) - y* - a3 în jurul axei x.

533. Calculați aria suprafeței formate prin inversarea buclei curbei 18 y-x(6-x)r în jurul axei x.

534. Aflați suprafața torului produsă de rotația cercului X2 - j - (y-3)2 = 4 în jurul axei x.

535. Calculați aria suprafeței formate prin rotația cercului X = a cost, y = asint în jurul axei Ox.

536. Calculați aria suprafeței formate prin rotația buclei curbei x = 9t2, y = St - 9t3 în jurul axei Ox.

537. Aflați aria suprafeței formate prin rotația arcului curbei x = e * sint, y = el cost în jurul axei Ox

de la t = 0 la t = -.

538. Arătaţi că suprafaţa produsă de rotaţia arcului cicloidei x = a (q> - sin φ), y = a (I - cos φ) în jurul axei Oy, este egală cu 16 u2 o2.

539. Aflați suprafața obținută prin rotirea cardioidului în jurul axei polare.

540. Aflați aria suprafeței formate prin rotația lemniscatei în jurul axei polare.

Sarcini suplimentare pentru Capitolul IV

Arii figurilor plane

541. Aflați întreaga zonă a unei regiuni delimitate de o curbă Și axa Oh.

542. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Oh.

543. Aflați partea din aria regiunii situată în primul cadran și delimitată de curbă

l axele de coordonate.

544. Găsiți aria zonei conținute în interior

bucle:

545. Aflați aria regiunii delimitată de o buclă a curbei:

546. Găsiți aria ariei conținute în interiorul buclei:

547. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Oh.

548. Aflați aria regiunii delimitate de curbă

Și axa Oh.

549. Aflați aria regiunii delimitată de axa Oxr

drept și curbat

Folosirea integralelor pentru a găsi volume de solide de revoluție

Utilitatea practică a matematicii se datorează faptului că fără

cunoștințele matematice specifice fac dificilă înțelegerea principiilor dispozitivului și utilizarea tehnologiei moderne. Fiecare persoană din viața lui trebuie să facă suficient calcule complexe, folosiți echipamente utilizate în mod obișnuit, găsiți în cărțile de referință pentru a aplica formulele necesare, compuneți algoritmi simpli pentru rezolvarea problemelor. În societatea modernă, există din ce în ce mai multe specialități care necesită nivel inalt educația este asociată cu aplicarea directă a matematicii. Astfel, pentru un școlar, matematica devine o materie semnificativă din punct de vedere profesional. Rolul principal îi revine matematicii în formarea gândirii algoritmice, ea aduce în evidență capacitatea de a acționa conform unui anumit algoritm și de a proiecta noi algoritmi.

Studiind subiectul folosirii integralei pentru a calcula volumele corpurilor de revoluție, propun studenților de la orele opționale să ia în considerare tema: „Volumele corpurilor de revoluție folosind integrale”. Iată câteva îndrumări pentru a trata acest subiect:

1. Aria unei figuri plate.

Din cursul algebrei, știm că problemele practice au condus la conceptul de integrală definită..gif" width="88" height="51">.jpg" width="526" height="262 src=">

https://pandia.ru/text/77/502/images/image006_95.gif" width="127" height="25 src=">.

Pentru a afla volumul unui corp de revoluție format prin rotirea unui trapez curbiliniu în jurul axei Ox, delimitat de o linie întreruptă y=f(x), axa Ox, drepte x=a și x=b, calculăm prin formula

https://pandia.ru/text/77/502/images/image008_26.jpg" width="352" height="283 src=">Y

3. Volumul cilindrului.

https://pandia.ru/text/77/502/images/image011_58.gif" width="85" height="51">..gif" width="13" height="25">..jpg" width="401" height="355">Conul se obține prin rotire triunghi dreptunghic ABC(C=90) în jurul axei Ox pe care se află piciorul AC.

Segmentul AB se află pe linia y=kx+c, unde https://pandia.ru/text/77/502/images/image019_33.gif" width="59" height="41 src=">.

Fie a=0, b=H (H este înălțimea conului), apoi Vhttps://pandia.ru/text/77/502/images/image021_27.gif" width="13" height="23 src= „>.

5. Volumul unui trunchi de con.

Un trunchi de con poate fi obținut prin rotirea unui trapez dreptunghiular ABCD (CDOx) în jurul axei Ox.

Segmentul AB se află pe dreapta y=kx+c, unde , c=r.

Deoarece dreapta trece prin punctul A (0; r).

Astfel, linia dreaptă arată ca https://pandia.ru/text/77/502/images/image027_17.gif" width="303" height="291 src=">

Fie a=0, b=H (H este înălțimea trunchiului de con), apoi https://pandia.ru/text/77/502/images/image030_16.gif" width="36" height="17 src ="> = .

6. Volumul mingii.

Bila poate fi obținută prin rotirea unui cerc cu centrul (0;0) în jurul axei x. Semicercul de deasupra axei x este dat de ecuație

https://pandia.ru/text/77/502/images/image034_13.gif" width="13" height="16 src=">x R.

Ca și în cazul problemei găsirii zonei, aveți nevoie de abilități de desen încrezător - acesta este aproape cel mai important lucru (deoarece integralele în sine vor fi adesea ușoare). Puteți stăpâni o tehnică de graficare competentă și rapidă folosind materiale didacticeși Transformări ale graficelor geometrice. Dar, de fapt, am vorbit în repetate rânduri despre importanța desenelor în lecție.

În general, există o mulțime de aplicații interesante în calculul integral, cu ajutorul unei integrale definite, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de revoluție, lungimea arcului, aria suprafeței rotație și multe altele. Așa că va fi distractiv, te rog să fii optimist!

Imaginează-ți o figură plată pe planul de coordonate. Reprezentat? ... Mă întreb cine a prezentat ce ... =))) Am găsit deja zona lui. Dar, în plus, această cifră poate fi, de asemenea, rotită și rotită în două moduri:

- în jurul axei absciselor;
- în jurul axei y.

În acest articol, ambele cazuri vor fi discutate. A doua metodă de rotație este deosebit de interesantă, provoacă cele mai mari dificultăți, dar de fapt soluția este aproape aceeași ca în rotația mai comună în jurul axei x. Ca bonus, voi reveni la problema găsirii ariei unei figuri, și vă spun cum să găsiți zona în a doua cale - de-a lungul axei. Nici măcar un bonus, deoarece materialul se potrivește bine cu tema.

Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

figură plată în jurul unei axe

Exemplul 1

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea figurii delimitate de linii în jurul axei.

Soluţie: Ca și în problema zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică, în plan este necesar să se construiască o figură mărginită de drepte , , fără a uita însă că ecuația definește axa . Cum să faci un desen mai rațional și mai rapid poate fi găsit pe pagini Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementareȘi Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri. Acesta este un memento chinezesc și nu mă opresc în acest moment.

Desenul de aici este destul de simplu:

Figura plată dorită este umbrită în albastru, iar această figură se rotește în jurul axei.Ca urmare a rotației, se obține o astfel de farfurie zburătoare în formă de ou, care este simetrică față de axă. De fapt, corpul are un nume matematic, dar este prea lene să specificați ceva în cartea de referință, așa că mergem mai departe.

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție?

Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat prin formula:

În formulă, trebuie să existe un număr înaintea integralei. S-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.

Cum să stabiliți limitele integrării „a” și „fi”, cred, este ușor de ghicit din desenul finalizat.

Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plată este delimitată de graficul parabolei de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.

În sarcinile practice, o figură plată poate fi uneori situată sub axă. Acest lucru nu schimbă nimic - integrandul din formulă este pătrat: , astfel integrala este întotdeauna nenegativă, ceea ce este destul de logic.

Calculați volumul corpului de revoluție folosind această formulă:

După cum am menționat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspuns, este necesar să se indice dimensiunea - unități cubice. Adică în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce exact cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Poate fi centimetri cubi, pot fi metri cubi, pot fi kilometri cubi etc., așa câți omuleți verzi pot încăpea imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Exemplul 2

Aflați volumul corpului format prin rotație în jurul axei figurii delimitată de liniile , ,

Acesta este un exemplu pentru solutie independenta. Soluție completăși răspunsul la sfârșitul lecției.

Să luăm în considerare două probleme mai complexe, care sunt, de asemenea, des întâlnite în practică.

Exemplul 3

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și

Soluţie: Desenați o figură plată în desen, delimitată de linii , , , , fără a uita că ecuația definește axa:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei, se obține o astfel de gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.

Volumul corpului de revoluție se calculează ca diferența de volum corporală.

Mai întâi, să ne uităm la figura care este încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul axei, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con ca .

Luați în considerare figura care este încercuită în verde. Dacă rotiți această cifră în jurul axei, veți obține și un trunchi de con, doar puțin mai mic. Să notăm volumul acestuia cu .

Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a afla volumul unui corp de revoluție:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de revoluție dorit:

Răspuns:

Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea luată mai scurt, ceva de genul acesta:

Acum să luăm o pauză și să vorbim despre iluzii geometrice.

Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, pe care Perelman (altul) le-a observat în carte Interesanta geometrie. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare a fi mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, o persoană obișnuită în întreaga sa viață bea un lichid cu volumul unei camere cu o suprafață de 18 metri patrati, care, dimpotrivă, pare a fi prea mic.

În general, sistemul de învățământ din URSS a fost într-adevăr cel mai bun. Aceeași carte de Perelman, apărută în 1950, se dezvoltă foarte bine, așa cum spunea umoristul, raționând și te învață să cauți originalul. soluții nestandardizate Probleme. De curand am recitit cateva capitole cu mare interes, il recomand, este accesibil chiar si pentru umanitari. Nu, nu trebuie să zâmbești că am sugerat că o distracție personală, erudiția și o perspectivă largă în comunicare sunt un lucru grozav.

După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:

Exemplul 4

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plane delimitate de liniile , , unde .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Rețineți că toate lucrurile se întâmplă în bandă, cu alte cuvinte, limitele de integrare gata făcute sunt de fapt date. Obțineți grafica corect funcții trigonometrice, amintiți-vă materialul lecției despre transformări geometrice ale graficelor: dacă argumentul este divizibil cu doi: , atunci graficele sunt întinse de-a lungul axei de două ori. Este de dorit să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometrice pentru a completa mai precis desenul. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.

Calculul volumului unui corp format prin rotație
figură plată în jurul unei axe

Al doilea paragraf va fi chiar mai interesant decât primul. Sarcina de a calcula volumul unui corp de revoluție în jurul axei y este, de asemenea, un invitat destul de frecvent în munca de control. În treacăt se va lua în considerare problema găsirii ariei unei figuri a doua cale - integrarea de-a lungul axei, aceasta vă va permite nu numai să vă îmbunătățiți abilitățile, ci și să vă învețe cum să găsiți cea mai profitabilă soluție. Are și o semnificație practică! După cum și-a amintit zâmbind profesoara mea de metode de predare a matematicii, mulți absolvenți i-au mulțumit cu cuvintele: „Materia ta ne-a ajutat foarte mult, acum suntem manageri eficienți și ne gestionăm personalul optim.” Profitând de această ocazie, îi exprim și marea mea recunoștință față de ea, mai ales că folosesc cunoștințele dobândite în scopul propus =).

Îl recomand tuturor să citească, chiar și manechine complete. Mai mult, materialul asimilat al celui de-al doilea paragraf va fi de un ajutor neprețuit în calculul integralelor duble.

Exemplul 5

Dată o figură plată mărginită de linii , , .

1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.
2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Atenţie! Chiar dacă vrei să citești doar al doilea paragraf, mai întâi Neapărat citeste primul!

Soluţie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.

1) Să executăm desenul:

Este ușor de observat că funcția definește ramura superioară a parabolei, iar funcția definește ramura inferioară a parabolei. În fața noastră se află o parabolă banală, care „se întinde pe o parte”.

Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.

Cum să găsiți aria unei figuri? Poate fi găsită în modul „obișnuit”, care a fost luat în considerare în lecție. Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri. În plus, aria figurii se găsește ca suma suprafețelor:
- pe segment ;
- pe segment.

De aceea:

Ce este în neregulă cu soluția obișnuită în acest caz? În primul rând, există două integrale. În al doilea rând, rădăcinile sub integrale și rădăcinile în integrale nu sunt un dar, mai mult, se poate deruta în substituirea limitelor integrării. De fapt, integralele, desigur, nu sunt mortale, dar în practică totul este mult mai trist, doar am luat funcții „mai bune” pentru sarcină.

Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverse și integrarea de-a lungul axei.

Cum se trece la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne ocupăm de parabola:

Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura de jos:

Cu o linie dreaptă, totul este mai ușor:

Acum uitați-vă la axă: vă rugăm să înclinați periodic capul la dreapta cu 90 de grade în timp ce explicați (aceasta nu este o glumă!). Cifra de care avem nevoie se află pe segment, care este indicată de linia punctată roșie. În plus, pe segment, linia dreaptă este situată deasupra parabolei, ceea ce înseamnă că aria figurii ar trebui găsită folosind formula deja familiară: . Ce s-a schimbat în formulă? Doar o scrisoare și nimic mai mult.

! Notă: Limitele de integrare de-a lungul axei trebuie setate strict de jos în sus!

Găsirea zonei:

Prin urmare, pe segment:

Fiți atenți la modul în care am realizat integrarea, acesta este cel mai rațional mod, iar în următorul paragraf al sarcinii va fi clar de ce.

Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate:

Se obține integrandul original, ceea ce înseamnă că integrarea se realizează corect.

Răspuns:

2) Calculați volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.

Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:

Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.

Pentru a găsi volumul corpului de revoluție, vom integra de-a lungul axei. Mai întâi trebuie să trecem la funcțiile inverse. Acest lucru a fost deja făcut și descris în detaliu în paragraful anterior.

Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul corpului de revoluție ar trebui găsit ca diferență între volume.

Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .

Rotim figura, încercuită în verde, în jurul axei și o notăm prin volumul corpului de revoluție rezultat.

Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.

Folosim formula pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:

Cum este diferită de formula din paragraful anterior? Doar cu litere.

Și iată avantajul integrării despre care vorbeam cu puțin timp în urmă, este mult mai ușor de găsit decât să ridice integrandul la puterea a 4-a.

Răspuns:

Totuși, un fluture bolnăvicios.

Rețineți că, dacă aceeași cifră plată este rotită în jurul axei, atunci va rezulta un corp de revoluție complet diferit, cu un volum diferit, în mod natural.

Exemplul 6

Dată o figură plată delimitată de linii și o axă.

1) Accesați funcțiile inverse și găsiți aria unei figuri plate delimitate de aceste linii prin integrarea peste variabila .
2) Calculați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Cei care doresc pot găsi, de asemenea, zona figurii în modul „obișnuit”, completând astfel testul de la punctul 1). Dar dacă, repet, rotiți o figură plată în jurul axei, atunci obțineți un corp de rotație complet diferit cu un volum diferit, apropo, răspunsul corect (și pentru cei cărora le place să rezolve).

Rezolvarea completă a celor două elemente propuse ale sarcinii la sfârșitul lecției.

A, și nu uitați să vă înclinați capul spre dreapta pentru a înțelege corpurile de rotație și în cadrul integrării!

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție
folosind o integrală definită?

În general, există o mulțime de aplicații interesante în calculul integral, cu ajutorul unei integrale definite, puteți calcula aria unei figuri, volumul unui corp de revoluție, lungimea unui arc, suprafața de brotație și multe altele. Așa că va fi distractiv, te rog să fii optimist!

- în jurul axei x;
- în jurul axei y.

Să începem cu cel mai popular tip de rotație.

figură plată în jurul unei axe

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea figurii delimitate de linii în jurul axei.

Soluţie: Ca și în problema zonei, soluția începe cu un desen al unei figuri plate. Adică, în plan este necesar să se construiască o figură mărginită de drepte , , fără a uita însă că ecuația definește axa . Cum să faci un desen mai rațional și mai rapid poate fi găsit pe pagini Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementareȘi . Acesta este un memento chinezesc și nu mă opresc în acest moment.

Desenul de aici este destul de simplu:

Cum se calculează volumul unui corp de revoluție?

Volumul unui corp de revoluție poate fi calculat prin formula:

În formulă, trebuie să existe un număr înaintea integralei. S-a întâmplat - tot ceea ce se învârte în viață este legat de această constantă.

Cum să stabiliți limitele integrării „a” și „fi”, cred, este ușor de ghicit din desenul finalizat.

Funcția... ce este această funcție? Să ne uităm la desen. Figura plată este delimitată de graficul parabolei de sus. Aceasta este funcția care este implicată în formulă.

Calculați volumul corpului de revoluție folosind această formulă:

După cum am menționat deja, integrala se dovedește aproape întotdeauna a fi simplă, principalul lucru este să fii atent.

Răspuns:

În răspuns, este necesar să se indice dimensiunea - unități cubice. Adică în corpul nostru de rotație există aproximativ 3,35 „cuburi”. De ce exact cubic unitati? Pentru că cea mai universală formulare. Pot fi centimetri cubi, pot fi metri cubi, pot fi kilometri cubi, etc., așa câți omuleți verzi pot încăpea imaginația ta într-o farfurie zburătoare.

Aflați volumul corpului format prin rotație în jurul axei figurii delimitată de liniile , ,

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Să luăm în considerare două probleme mai complexe, care sunt, de asemenea, des întâlnite în practică.

Calculați volumul corpului obținut prin rotirea în jurul axei absciselor figurii delimitate de liniile , și

Soluţie: Desenați o figură plată în desen, delimitată de linii , , , , fără a uita că ecuația definește axa:

Figura dorită este umbrită în albastru. Când se rotește în jurul axei, se obține o astfel de gogoașă suprarealistă cu patru colțuri.

Volumul corpului de revoluție se calculează ca diferența de volum corporală.

Mai întâi, să ne uităm la figura care este încercuită cu roșu. Când se rotește în jurul axei, se obține un trunchi de con. Să notăm volumul acestui trunchi de con ca .

Și, evident, diferența de volume este exact volumul „gogoșii” noastre.

Folosim formula standard pentru a afla volumul unui corp de revoluție:

1) Figura încercuită cu roșu este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

2) Figura încercuită cu verde este delimitată de sus de o linie dreaptă, prin urmare:

3) Volumul corpului de revoluție dorit:

Răspuns:

Este curios că în acest caz soluția poate fi verificată folosind formula școlară de calcul al volumului unui trunchi de con.

Decizia în sine este adesea luată mai scurt, ceva de genul acesta:

Acum să luăm o pauză și să vorbim despre iluzii geometrice.

Oamenii au adesea iluzii asociate cu volumele, pe care Perelman (altul) le-a observat în carte Interesanta geometrie. Uită-te la figura plată din problema rezolvată - pare a fi mică ca suprafață, iar volumul corpului de revoluție este puțin peste 50 de unități cubice, ceea ce pare prea mare. Apropo, omul obișnuit în întreaga sa viață bea un lichid cu volumul unei încăperi de 18 metri pătrați, care, dimpotrivă, pare a fi un volum prea mic.

După o digresiune lirică, este potrivit să rezolvi o sarcină creativă:

Calculați volumul unui corp format prin rotație în jurul axei unei figuri plane delimitate de liniile , , unde .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. Rețineți că toate lucrurile se întâmplă în bandă, cu alte cuvinte, limitele de integrare gata făcute sunt de fapt date. Desenați corect grafice ale funcțiilor trigonometrice, vă voi aminti materialul lecției despre transformări geometrice ale graficelor: dacă argumentul este divizibil cu doi: , atunci graficele sunt întinse de-a lungul axei de două ori. Este de dorit să găsiți cel puțin 3-4 puncte conform tabelelor trigonometrice pentru a completa mai precis desenul. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Apropo, sarcina poate fi rezolvată rațional și nu foarte rațional.

Calculul volumului unui corp format prin rotație
figură plată în jurul unei axe

Al doilea paragraf va fi chiar mai interesant decât primul. Sarcina de a calcula volumul unui corp de revoluție în jurul axei y este, de asemenea, un vizitator destul de frecvent în teste. În treacăt se va lua în considerare problema găsirii ariei unei figuri a doua modalitate - prin integrarea de-a lungul axei, aceasta vă va permite nu numai să vă îmbunătățiți abilitățile, ci și să vă învețe cum să găsiți cea mai profitabilă soluție. Are și o semnificație practică! După cum și-a amintit zâmbind profesoara mea de metode de predare a matematicii, mulți absolvenți i-au mulțumit cu cuvintele: „Materia ta ne-a ajutat foarte mult, acum suntem manageri eficienți și ne gestionăm personalul optim.” Profitând de această ocazie, îi exprim și marea mea recunoștință față de ea, mai ales că folosesc cunoștințele dobândite în scopul propus =).

Îl recomand tuturor să citească, chiar și manechine complete. Mai mult, materialul asimilat al celui de-al doilea paragraf va fi de un ajutor neprețuit în calculul integralelor duble.

Dată o figură plată mărginită de linii , , .

1) Aflați aria unei figuri plate delimitate de aceste linii.
2) Aflați volumul corpului obținut prin rotirea unei figuri plane delimitate de aceste linii în jurul axei.

Atenţie! Chiar dacă vrei să citești doar al doilea paragraf, asigură-te că îl citești mai întâi pe primul!

Soluţie: Sarcina constă din două părți. Să începem cu pătratul.

1) Să executăm desenul:

Figura dorită, a cărei zonă se găsește, este umbrită în albastru.

De aceea:

Există o soluție mai rațională: constă în trecerea la funcții inverse și integrarea de-a lungul axei.

Cum se trece la funcțiile inverse? În linii mari, trebuie să exprimați „x” prin „y”. Mai întâi, să ne ocupăm de parabola:

Este suficient, dar să ne asigurăm că aceeași funcție poate fi derivată din ramura de jos:

Cu o linie dreaptă, totul este mai ușor:

! Notă: Limitele de integrare de-a lungul axei trebuie setate strict de jos în sus!

Găsirea zonei:

Prin urmare, pe segment:

Fiți atenți la modul în care am realizat integrarea, acesta este cel mai rațional mod, iar în următorul paragraf al sarcinii va fi clar de ce.

Pentru cititorii care se îndoiesc de corectitudinea integrării, voi găsi derivate:

Se obține integrandul original, ceea ce înseamnă că integrarea se realizează corect.

Răspuns:

2) Calculați volumul corpului format prin rotirea acestei figuri în jurul axei.

Voi redesena desenul într-un design ușor diferit:

Deci, figura umbrită în albastru se rotește în jurul axei. Rezultatul este un „fluture plutitor” care se rotește în jurul axei sale.

Acum înclinăm din nou capul spre dreapta și ne studiem silueta. Evident, volumul corpului de revoluție ar trebui găsit ca diferență între volume.

Rotim figura încercuită cu roșu în jurul axei, rezultând un trunchi de con. Să notăm acest volum cu .

Rotim figura, încercuită în verde, în jurul axei și o notăm prin volumul corpului de revoluție rezultat.

Volumul fluturelui nostru este egal cu diferența de volume.

Folosim formula pentru a găsi volumul unui corp de revoluție:

Cum este diferită de formula din paragraful anterior? Doar cu litere.

Și iată avantajul integrării despre care vorbeam cu puțin timp în urmă, este mult mai ușor de găsit decât să ridice preliminar integrandul la puterea a 4-a.

Răspuns:

Rețineți că, dacă aceeași cifră plată este rotită în jurul axei, atunci va rezulta un corp de revoluție complet diferit, cu un volum diferit, în mod natural.

Dată o figură plată delimitată de linii și o axă.

Rezolvarea completă a celor două elemente propuse ale sarcinii la sfârșitul lecției.

A, și nu uitați să vă înclinați capul spre dreapta pentru a înțelege corpurile de rotație și în cadrul integrării!

Am vrut, era deja, să termin articolul, dar astăzi au adus exemplu interesant doar pentru a găsi volumul unui corp de revoluție în jurul axei y. Proaspăt:

Calculați volumul corpului format prin rotație în jurul axei figurii mărginite de curbele și .

Soluţie: Hai să facem un desen: