Volumul unei piramide patruunghiulare. Forme geometrice

Piramidele

Considerăm un plan arbitrar α, un n-gon convex arbitrar O 1 O 2 ... A n , situat în acest plan, și un punct S, care nu se află în planul α.

Definiție 1. Piramidă ( n - piramida cărbunelui) numiți o figură formată din segmente care leagă punctul S de toate punctele poligonului O 1 O 2 ... A n (Fig. 1) .

Observație 1. Amintiți-vă că un poligon O 1 O 2 ... A n constă dintr-o linie întreruptă închisă O 1 O 2 ... A n și partea de avion limitată de acesta.

Definiția 2.

Tetraedre. Tetraedre regulate

Definiție 5. O piramidă triunghiulară arbitrară se numește tetraedru.

Declaraţie. Pentru orice piramidă triunghiulară regulată, muchiile opuse sunt perpendiculare în perechi.

Dovada. Luați în considerare o piramidă triunghiulară regulată SABC și o pereche de marginile sale opuse, de exemplu AC și BS. Să notăm mijlocul muchiei AC cu litera D. Deoarece segmentele BD și SD sunt mediane în triunghiuri isoscele ABC și ASC, atunci BD și SD sunt perpendiculare pe muchia AC (Fig. 4).

unde litera D indică mijlocul muchiei AC (Fig. 6).

Folosind teorema lui Pitagora, din triunghiul BSO găsim

Răspuns.

Formule pentru volumul, suprafața laterală și totală a unei piramide

Să introducem următoarea notație

Atunci următoarele sunt adevărate formule pentru calcularea volumului, suprafeței laterale și totale a unei piramide:

Piramida patruunghiulara este un poliedru a cărui bază este un pătrat, iar toate fețele sale laterale sunt triunghiuri isoscele identice.

Acest poliedru are multe proprietăți diferite:

• Coastele sale laterale și cele adiacente acestora unghiuri diedrice sunt egali unul cu celălalt;
• Zonele fețelor laterale sunt aceleași;
• La baza unei piramide patruunghiulare regulate se află un pătrat;
• Înălțimea coborâtă din vârful piramidei intersectează punctul în care se intersectează diagonalele bazei.

Toate aceste proprietăți îl fac ușor de găsit. Cu toate acestea, destul de des, pe lângă aceasta, este necesar să se calculeze volumul poliedrului. Pentru a face acest lucru, utilizați formula pentru volumul unei piramide patruunghiulare:

Adică, volumul piramidei este egal cu o treime din produsul dintre înălțimea piramidei și aria bazei. Deoarece este egal cu produsul laturilor sale egale, introducem imediat formula pentru aria unui pătrat în expresia pentru volum.
Să luăm în considerare un exemplu de calcul al volumului unei piramide patrulatere.

Să fie dată o piramidă patruunghiulară, a cărei bază este un pătrat cu latura a = 6 cm Fața laterală a piramidei este b = 8 cm.

Pentru a găsi volumul unui poliedru dat, avem nevoie de lungimea înălțimii acestuia. Prin urmare, îl vom găsi prin aplicarea teoremei lui Pitagora. Mai întâi, să calculăm lungimea diagonalei. În triunghiul albastru va fi ipotenuza. De asemenea, merită să ne amintim că diagonalele unui pătrat sunt egale între ele și sunt împărțite la jumătate în punctul de intersecție:


Acum din triunghiul roșu găsim înălțimea h de care avem nevoie. Acesta va fi egal cu:

Să înlocuim valorile necesare și să găsim înălțimea piramidei:

Acum, cunoscând înălțimea, putem înlocui toate valorile în formula pentru volumul piramidei și putem calcula valoarea necesară:

În acest fel, cunoscând câteva formule simple, am putut calcula volumul unei piramide patruunghiulare obișnuite. Amintiți-vă că această valoare se măsoară în unități cubice.

Aici puteți găsi informații de bază despre piramide și formule și concepte aferente. Toate sunt studiate cu un tutore de matematică în pregătirea pentru examenul de stat unificat.

Luați în considerare un plan, un poligon , culcat în el și un punct S, nu întins în el. Să conectăm S la toate vârfurile poligonului. Poliedrul rezultat se numește piramidă. Segmentele se numesc coaste laterale. Poligonul se numește bază, iar punctul S este vârful piramidei. În funcție de numărul n, piramida se numește triunghiulară (n=3), pătrangulară (n=4), pentagonală (n=5) și așa mai departe. Titlu alternativ piramida triunghiulara - tetraedru. Înălțimea unei piramide este perpendiculara care coboară din vârful ei până în planul bazei.

O piramidă se numește regulată dacă poligon regulat, iar baza înălțimii piramidei (baza perpendicularei) este centrul acesteia.

Comentariul tutorelui:
Nu confundați conceptele de „piramidă obișnuită” și „tetraedru obișnuit”. Într-o piramidă obișnuită, marginile laterale nu sunt neapărat egale cu marginile bazei, dar într-un tetraedru obișnuit, toate cele 6 margini sunt egale. Aceasta este definiția lui. Este ușor de demonstrat că egalitatea implică faptul că centrul P al poligonului coincide cu o înălțime de bază, deci un tetraedru obișnuit este o piramidă obișnuită.

Ce este o apotema?
Apotema unei piramide este înălțimea feței sale laterale. Dacă piramida este regulată, atunci toate apotemele ei sunt egale. Reversul nu este adevărat.

Un tutore de matematică despre terminologia sa: 80% din munca cu piramide este construită prin două tipuri de triunghiuri:
1) Conținând apotema SK și înălțimea SP
2) Conținând marginea laterală SA și proiecția ei PA

Pentru a simplifica referințele la aceste triunghiuri, este mai convenabil ca un profesor de matematică să îl numească pe primul dintre ele apotemal, iar al doilea costal. Din păcate, această terminologie nu o veți găsi în niciunul dintre manuale, iar profesorul trebuie să o introducă unilateral.

Formula de volum piramidală:
1), unde este aria bazei piramidei și este înălțimea piramidei
2), unde este raza sferei înscrise și este aria suprafeței totale a piramidei.
3), unde MN este distanța oricăror două muchii care se încrucișează și este aria paralelogramului format din punctele de mijloc ale celor patru muchii rămase.

Proprietatea bazei înălțimii unei piramide:

Punctul P (vezi figura) coincide cu centrul cercului înscris la baza piramidei dacă este îndeplinită una dintre următoarele condiții:
1) Toate apotemele sunt egale
2) Toate fețele laterale sunt înclinate în mod egal față de bază
3) Toate apotemele sunt înclinate în mod egal față de înălțimea piramidei
4) Înălțimea piramidei este înclinată în mod egal față de toate fețele laterale

Comentariul profesorului de matematică: Vă rugăm să rețineți că toate punctele au un lucru în comun proprietate generală: într-un fel sau altul, fețele laterale sunt implicate peste tot (apotemele sunt elementele lor). Prin urmare, tutorele poate oferi o formulare mai puțin precisă, dar mai convenabilă pentru învățare: punctul P coincide cu centrul cercului înscris, baza piramidei, dacă există informații egale despre fețele sale laterale. Pentru a dovedi, este suficient să arătăm că toate triunghiurile apotemelor sunt egale.

Punctul P coincide cu centrul unui cerc circumscris lângă baza piramidei dacă una dintre cele trei condiții este adevărată:
1) Toate marginile laterale sunt egale
2) Toate nervurile laterale sunt înclinate în mod egal față de bază
3) Toate nervurile laterale sunt înclinate în mod egal pe înălțime

Când o persoană aude cuvântul „piramidă”, își amintește imediat de maiestuoasele structuri egiptene. Cu toate acestea, giganții antici de piatră sunt doar unul dintre reprezentanții clasei piramidelor. În acest articol vom lua în considerare din punct de vedere geometric proprietățile unei piramide patruunghiulare obișnuite.

Ce este o piramidă în general?

În geometrie, este înțeleasă ca o figură tridimensională, care poate fi obținută prin conectarea tuturor vârfurilor unui poligon plat cu un singur punct situat într-un plan diferit de acest poligon. Imaginea de mai jos prezintă 4 forme care satisfac această definiție.

Vedem că prima figură are o bază triunghiulară, a doua - una patruunghiulară. Ultimele două sunt reprezentate de o bază pentagonală și hexagonală. Cu toate acestea suprafata laterala Toate piramidele sunt formate din triunghiuri. Numărul lor este exact egal cu numărul de laturi sau vârfuri ale poligonului de la bază.

Un tip special de piramidă, care diferă de alți reprezentanți ai clasei prin simetria sa ideală, este piramida obișnuită. Pentru ca cifra să fie corectă, trebuie îndeplinite următoarele două condiții preliminare:

• baza trebuie să aibă un poligon regulat;
• suprafața laterală a figurii ar trebui să fie formată din triunghiuri isoscele egale.

Rețineți că a doua condiție obligatorie poate fi înlocuită cu alta: o perpendiculară trasată la bază din vârful piramidei (punctul de intersecție al triunghiurilor laterale) trebuie să intersecteze această bază în centrul ei geometric.

Acum să trecem la subiectul articolului și să luăm în considerare ce proprietăți ale unei piramide patruunghiulare obișnuite o caracterizează. Mai întâi, să arătăm în figură cum arată această figură.

Baza sa este un pătrat. Laturile reprezintă 4 triunghiuri isoscele identice (pot fi și echilaterale la un anumit raport dintre lungimea laturii pătratului și înălțimea figurii). Înălțimea coborâtă din vârful piramidei va intersecta pătratul din centrul acestuia (punctul de intersecție al diagonalelor).

Această piramidă are 5 fețe (un pătrat și patru triunghiuri), 5 vârfuri (patru dintre ele aparțin bazei) și 8 muchii. ordinul al patrulea, trecând prin înălțimea piramidei, o transformă în sine prin rotirea cu 90 o.

Piramidele egipteneîn Giza sunt patruunghiulare obișnuite.

Patru parametri liniari de bază

Să începem examinarea proprietăților matematice ale unei piramide patrulatere obișnuite cu formulele pentru înălțime, lungimea laturii bazei, marginea laterală și apotema. Să spunem imediat că toate aceste cantități sunt legate între ele, așa că este suficient să cunoaștem doar două dintre ele pentru a calcula fără ambiguitate pe celelalte două.

Să presupunem că înălțimea h a piramidei și lungimea a laturii bazei pătrate sunt cunoscute, atunci muchia laterală b va fi egală cu:

b = √(a 2 / 2 + h 2)

Acum dăm formula pentru lungimea a b a apotemului (înălțimea triunghiului coborât pe partea bazei):

a b = √(a 2 / 4 + h 2)

Evident, muchia laterală b este întotdeauna mai mare decât apotema a b .

Ambele expresii pot fi utilizate pentru a determina toate cele patru caracteristici liniare dacă ceilalți doi parametri sunt cunoscuți, de exemplu a b și h.

Aria și volumul unei figuri

Acestea sunt două proprietăți mai importante ale unei piramide patruunghiulare obișnuite. Baza figurii are următoarea zonă:

Fiecare școlar cunoaște această formulă. Aria suprafeței laterale, care este formată din patru triunghiuri identice, poate fi determinată prin apotema a b a piramidei după cum urmează:

Dacă a b este necunoscut, atunci poate fi determinat folosind formulele din paragraful anterior prin înălțimea h sau muchia b.

Suprafața totală a figurii luate în considerare este suma ariilor S o și S b:

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

Aria calculată a tuturor fețelor piramidei este prezentată în figura de mai jos sub forma dezvoltării acesteia.

O descriere a proprietăților unei piramide patruunghiulare obișnuite nu va fi completă fără a lua în considerare formula pentru determinarea volumului acesteia. Această valoare pentru piramida în cauză se calculează după cum urmează:

Adică, V este egal cu a treia parte a produsului dintre înălțimea figurii și aria bazei acesteia.

Proprietățile unei piramide patruunghiulare trunchiate obișnuite

Puteți obține această cifră din piramida originală. Pentru a face acest lucru, trebuie să tăiați partea de sus piramidele sunt plate. Figura rămasă sub planul tăiat va fi numită piramidă trunchiată.

Cel mai convenabil este să studiezi caracteristicile unei piramide trunchiate dacă bazele sale sunt paralele între ele. În acest caz, bazele inferioare și superioare vor fi poligoane similare. Din moment ce într-un patruunghi piramida corecta baza este un pătrat, atunci secțiunea formată în timpul tăierii va reprezenta și un pătrat, dar de dimensiuni mai mici.

Suprafața laterală a figurii trunchiate este formată nu din triunghiuri, ci din trapeze isoscele.

Una dintre proprietățile importante ale acestei piramide este volumul său, care este calculat prin formula:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))

Aici h este distanța dintre bazele figurii, S o1, S o2 sunt zonele bazelor inferioare și superioare.