Numiți metode aproximative pentru studierea sistemelor neliniare. Analiza sistemelor de control automat neliniar

• Metoda de liniarizare armonică în proiectare nu este sisteme liniare control automat.[Djv-10.7M] Editat de Yu.I. Topcheeva. Echipa de autori.
  (Moscova: Editura Mashinostroenie, 1970. - Seria „Sisteme de control automat neliniar”)
  Scanare: AAW, procesare, format Djv: Ilya Sytnikov, 2014
• CUPRINS SCURT:
  Prefață (5).
  Capitolul I. Fundamentele teoretice ale metodei liniarizării armonice (E.P. Popov) (13).
  Capitolul II. O nouă formă de liniarizare armonică pentru sistemele de control cu ​​caracteristici de histerezis neliniar (E.I. Khlypalo) (58).
  Capitolul III. Metoda de liniarizare armonică bazată pe evaluarea sensibilității unei soluții periodice la armonici superioare și parametri mici (A.A. Vavilov) (88).
  Capitolul IV. Determinarea caracteristicilor de amplitudine și frecvență de fază ale sistemelor neliniare (Yu.I. Topcheev) (117).
  Capitolul V. Metode de frecvență aproximativă pentru analiza calității sistemelor de control neliniar (Yu.I. Topcheev) (171).
  Capitolul VI. Îmbunătățirea acurateței metodei de liniarizare armonică (V.V. Pavlov) (186).
  Capitolul VII. Aplicarea metodei liniarizării armonice la sisteme de control neliniar discret (S.M. Fedorov) (219).
  Capitolul VIII. Aplicarea metodei asimptotice N.M. Krylova și N.N. Bogolyubov în analiza sistemelor de control neliniar (A.D. Maksimov) (236).
  Capitolul IX. Aplicarea liniarizării armonice la sistemele de control neliniare cu auto-ajustare (Yu.M. Kozlov, S.I. Markov) (276).
  Capitolul X. Aplicarea metodei liniarizării armonice la sisteme automate neliniare cu mașini cu stări finite (M.V. Starikova) (306).
  Capitolul XI. O metodă aproximativă pentru studierea proceselor oscilatorii și a modurilor de alunecare în sisteme automate cu structură variabilă (M.V. Starikova) (390).
  Capitolul XII. Studiu aproximativ al unui sistem de control cu ​​releu de impulsuri (M.V. Starikova) (419).
  Capitolul XIII. Determinarea proceselor oscilatorii în sisteme neliniare complexe cu diverse abateri inițiale (M.V. Starikova) (419).
  Capitolul XIV. Aplicarea metodei liniarizării armonice la sisteme cu neliniarități periodice (L.I. Semenko) (444).
  Capitolul XV. Aplicarea metodei liniarizării armonice la sisteme cu două neliniarități (V.M. Khlyamov) (467).
  Capitolul XVI. Caracteristicile amplitudine-fază ale mecanismelor relee cu motoare DC și DC AC, obţinut prin metoda liniarizării armonice (V.V. Tsvetkov) (485).
  Aplicații (518).
  Literatură (550).
  Index alfabetic (565).

Rezumatul editorului: Această carte face parte dintr-o serie de monografii dedicate sistemelor de control automat neliniar.
Acesta stabilește sistematic, destul de cuprinzător, teoria sistemelor de control automat neliniar, bazată pe metoda liniarizării armonice. Se acordă atenția principală fundamente teoretice metoda liniarizării armonice și a acesteia aplicatii practice la sisteme continue, discrete, auto-ajustabile, precum și la sisteme cu mașini cu stări finite și o structură reglabilă. Sunt luate în considerare modalități de îmbunătățire a acurateței metodei de liniarizare armonică prin luarea în considerare a influenței armonicilor superioare. Metodele propuse sunt ilustrate cu numeroase exemple.
Cartea este destinată oamenilor de știință, inginerilor, profesorilor și studenților absolvenți ai instituțiilor de învățământ superior care se ocupă de probleme de control automat.

Să luăm în considerare un obiect chimic-tehnologic, a cărui intrare primește un semnal aleatoriu Şi(/), iar la ieșire se observă un proces aleatoriu la(/). Când se utilizează metode de corelare pentru a identifica obiecte liniare cu parametri constanți, se presupune de obicei (sau semnalul de testare este selectat special în acest fel) că funcțiile aleatoare și (t)Şi la (t) sunt legate de perechi staționari și staționari într-un sens larg, adică așteptările lor matematice sunt constante, iar funcțiile de auto- și corelație încrucișată sunt funcții nu a două, ci a unui singur argument egal cu diferența lor.

La identificarea sistemelor dinamice neliniare, condițiile pentru normalitatea densităților de probabilitate ale funcțiilor și (t)Şi y(t) iar densitățile lor de probabilitate comune, de regulă, nu sunt satisfăcute, adică caracteristicile unui obiect sunt determinate în condițiile în care densitățile de probabilitate comune ale funcțiilor și (t)Şi la(/) nu sunt gaussiene.

Prin urmare, funcția de densitate de probabilitate condiționată y(t) relativ și (t) va fi, de asemenea, non-Gauss. Ieșire de regresie variabilă aleatoareîn ceea ce privește funcția aleatoare de intrare pentru valorile date ale argumentelor, este în general neliniară, iar corelația funcțiilor Şi(0 și la (t) heteroscedastic.

Astfel, pentru identificarea obiectelor neliniare, metodele de corelare care funcționează cu așteptări matematice și funcțiile de corelare ale proceselor aleatoare nu mai sunt suficiente. Eroarea în rezolvarea problemei identificării unui obiect neliniar folosind metode de corelare utilizate pentru sistemele liniare este mai mare, cu cât regresia funcțiilor este mai puternică. y(t) relativ și (t) diferă de liniară și cu cât denivelările sunt mai mari așteptări matematice variații condiționate.

Problema identificării obiectelor neliniare care funcționează în condiții de perturbații aleatorii este o problemă matematică foarte complexă, care este în prezent în dezvoltare și este încă departe de a fi finalizată. Cu toate acestea, este deja posibil să se numească o serie de metode care, deși nu pot fi considerate exhaustive, oferă o soluție aproximativă destul de bună la problema identificării obiectelor neliniare. metode statistice. Aceste metode includ: 1) metode bazate pe utilizarea funcțiilor de dispersie și interdispersive ale proceselor aleatorii; 2) metoda liniarizării regresie neliniarăîn zonele de homoscedasticitate a așteptării matematice a varianței condiționate a funcției y(t) relativ și (t) 3) Abordarea Wiener pentru identificarea sistemelor neliniare; 4) o metodă de identificare a sistemelor neliniare bazată pe utilizarea aparatului de procese Markov condiționate.

Să ne uităm pe scurt la fiecare dintre metodele enumerate.

1. Dacă dependența dintre valorile funcțiilor aleatoare Şi(0 și la (t) neliniar, atunci coeficientul de corelație dintre valorile funcției aleatoare nu mai poate servi suficient criteriu bun pentru a măsura puterea conexiunii dintre ele. Prin urmare, pentru a caracteriza legătura dintre ŞiŞi la sunt folosite

relaţii de dispersie, care sunt determinate prin functii de dispersie (2, 3].

Funcția de dispersie reciprocă 0 yU (*, t) pentru funcții aleatoare reale y(t)Şi și (t)Şi funcția de auto-dispersie (dispersie). G„ K (*, m) pentru un proces aleator Şi(t) sunt determinate de relații

Unde M( ) - simbol al așteptării matematice; M.

Pe baza valorilor definite mai sus p ui, t| uk și R puteți construi un criteriu TV special pentru a testa ipoteza despre liniaritatea relației dintre semnale y și și:

Unde n- numărul de experimente; La- numărul de intervale din tabelul de corelare. Să verificăm ipoteza despre liniaritatea relației dintre y tŞi etc pentru obiectul discutat în §6.4. Funcţie

N(t), construit din implementările de intrare și de ieșire ale sistemului, este prezentat în Fig. 8.2. În acest caz, sarcina de identificare se reduce la căutarea parametrilor necunoscuți ai obiectului, care sunt coeficienții operatorului în spațiul Hilbert. Semnalul de la intrarea sistemului este extins într-o serie de subfuncții Laguerre:

cu cote

Orez. 8.3.

Orez. 8.4.

Aici n--a funcție Laguerre g n (t) este construit ca produs al polinomului Laguerre ln(t) a exponent:

Rețineți că imaginea Laplace a polinoamelor Laguerre bazate pe (8.19) are forma

Aceasta arată că coeficienții Laguerre necesari pot fi obținuți prin trecerea semnalului și (t) printr-un lanț de legături dinamice liniare (vezi Fig. 8.3).

Operatorul unui sistem neliniar este reprezentat ca o expansiune în polinoame Ermnt:

care sunt ortogonale pe axa reală - oo t. Funcțiile Hermite sunt construite din polinoame Hermite:

cu ajutorul căruia operatorul de tranziție de la coeficienții Laguerre ai semnalului de intrare la semnalul de ieșire este scris sub forma

Relația (8.20) este valabilă pentru orice obiect neliniar și poate fi folosită ca bază pentru identificarea acestuia. Metoda de identificare este mult simplificată dacă la intrare este aplicat un semnal special sub formă de zgomot alb gaussian. În acest caz, funcțiile Laguerre sunt procese aleatoare gaussiene necorelate cu varianțe egale. În acest caz, determinarea coeficienților... La se reduce la găsirea funcției de corelație încrucișată a ieșirii sistemului și a polinoamelor Hermite:

Determinarea cotelor b(j... La completează soluția problemei de identificare. Schema generala calculele sunt prezentate în fig. 8.4.

La rezolvarea problemelor de identificare a obiectelor tehnologice chimice, metoda luată în considerare are o aplicare limitată din mai multe motive. Acestea din urmă includ, de exemplu, dificultățile apărute la trecerea de la coeficienți b tj k la parametrii tehnologici ai obiectului. Metoda nu este potrivită pentru sistemele non-staționare. Dificultățile în implementarea acestei proceduri în timpul funcționării normale a unității reduc, de asemenea, eficacitatea metodei. În cele din urmă, necesitatea trunchierii la limită a tuturor operațiilor asociate cu trecerile și înlocuirea seriilor cu sume finite sunt surse de erori de calcul suplimentare.

4. O altă abordare posibilă pentru construirea filtrelor optime pentru sistemele neliniare se bazează pe utilizarea aparatului de procese Markov condiționate. Să luăm în considerare esența acestei abordări folosind un exemplu specific.

EXEMPLU Să fie semnalul util un impuls dreptunghiular

momentul de apariție al cărui t pe segmentul 0 x T trebuie determinat. Înălțimea pulsului A 0 iar durata sa h se presupune a fi cunoscută. Semnalul care ajunge la obiect este și (t)=s(*)+m> (*) este suma componentei utile s(0 și zgomot alb w(*), care este descris de integrala de probabilitate)