Logaritm natural, funcție ln x. Logaritm

Sunt date principalele proprietăți ale logaritmului natural, graficul, domeniul de definire, mulțimea de valori, formulele de bază, derivata, integrala, expansiunea într-o serie de puteri și reprezentarea funcției ln x prin intermediul numerelor complexe.

Definiție

logaritmul natural este funcția y = ln x, invers exponentului, x \u003d e y , și care este logaritmul la baza numărului e: ln x = log e x.

Logaritmul natural este utilizat pe scară largă în matematică deoarece derivata sa are cea mai simplă formă: (ln x)′ = 1/ x.

Bazat definiții, baza logaritmului natural este numărul e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graficul funcției y = ln x.

Graficul logaritmului natural (funcțiile y = ln x) se obține din graficul exponentului reflexie în oglindă relativ la dreapta y = x .

Logaritmul natural este definit pentru valorile pozitive ale lui x. Ea crește monoton pe domeniul său de definire.

Ca x → 0 limita logaritmului natural este minus infinitul ( - ∞ ).

Ca x → + ∞, limita logaritmului natural este plus infinitul ( + ∞ ). Pentru x mare, logaritmul crește destul de lent. Orice funcție de putere x a cu exponent pozitiv a crește mai repede decât logaritmul.

Proprietățile logaritmului natural

Domeniu de definire, set de valori, extrema, crestere, scadere

Logaritmul natural este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele proprietăți ale logaritmului natural sunt prezentate în tabel.

ln x valori

log 1 = 0

Formule de bază pentru logaritmi naturali

Formule care rezultă din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia

Formula de înlocuire a bazei

Orice logaritm poate fi exprimat în termeni de logaritmi naturali folosind formula de schimbare a bazei:

Demonstrațiile acestor formule sunt prezentate în secțiunea „Logaritm”.

Funcție inversă

Reciproca logaritmului natural este exponentul.

Daca atunci

Daca atunci .

Derivată ln x

Derivată a logaritmului natural:
.
Derivată a logaritmului natural al modulo x:
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Integral

Integrala se calculează prin integrare pe părți:
.
Asa de,

Expresii în termeni de numere complexe

Considerăm o funcție a unei variabile complexe z:
.
Să exprimăm variabila complexă z prin modul r si argument φ :
.
Folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Sau
.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. Dacă punem
, unde n este un număr întreg,
atunci va fi același număr pentru n diferit.

Prin urmare, logaritmul natural, în funcție de o variabilă complexă, nu este o funcție cu o singură valoare.

Extinderea seriei de putere

Pentru , expansiunea are loc:

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

logaritmul natural

Graficul funcției logaritmului natural. Funcția se apropie încet de infinitul pozitiv ca Xși se apropie rapid de infinitul negativ când X tinde spre 0 („încet” și „rapid” în comparație cu orice funcție de putere a X).

logaritmul natural este logaritmul de bază , Unde e este o constantă irațională egală cu aproximativ 2,718281 828 . Logaritmul natural este de obicei notat ca ln( X), Buturuga e (X) sau uneori doar log( X) dacă baza e subînțeles.

Logaritmul natural al unui număr X(scris ca log(x)) este exponentul la care doriți să creșteți numărul e, A obtine X. De exemplu, ln(7.389...) este egal cu 2 deoarece e 2 =7,389... . Logaritmul natural al numărului însuși e (ln(e)) este egal cu 1 deoarece e 1 = e, iar logaritmul natural 1 ( jurnal(1)) este 0 deoarece e 0 = 1.

Logaritmul natural poate fi definit pentru orice număr real pozitiv A ca aria de sub curbă y = 1/X de la 1 la A. Simplitatea acestei definiții, care este în concordanță cu multe alte formule care folosesc logaritmul natural, a condus la denumirea de „natural”. Această definiție poate fi extinsă la numerele complexe, care vor fi discutate mai jos.

Dacă considerăm logaritmul natural ca o funcție reală a unei variabile reale, atunci este funcția inversă a funcției exponențiale, care conduce la identitățile:

Ca toți logaritmii, logaritmul natural mapează înmulțirea cu adunarea:

Astfel, funcția logaritmică este un izomorfism al grupului de numere reale pozitive în raport cu înmulțirea cu grupul de numere reale prin adunare, care poate fi reprezentat ca o funcție:

Logaritmul poate fi definit pentru orice bază pozitivă, alta decât 1, nu doar e, dar logaritmii pentru alte baze diferă de logaritmul natural doar printr-un factor constant și sunt de obicei definiți în termeni de logaritmul natural. Logaritmii sunt utili pentru rezolvarea ecuațiilor în care necunoscutele sunt prezente ca exponent. De exemplu, logaritmii sunt utilizați pentru a găsi constanta de dezintegrare pentru un timp de înjumătățire cunoscut sau pentru a găsi timpul de dezintegrare în rezolvarea problemelor de radioactivitate. Ele joacă un rol important în multe domenii ale matematicii și științelor aplicate, sunt utilizate în domeniul finanțelor pentru a rezolva multe probleme, inclusiv găsirea interesului compus.

Poveste

Prima mențiune despre logaritmul natural a fost făcută de Nicholas Mercator în lucrarea sa Logaritmotehnie, publicat în 1668, deși profesorul de matematică John Spydell a întocmit un tabel de logaritmi naturali încă din 1619. Anterior, a fost numit logaritm hiperbolic deoarece corespunde zonei de sub hiperbolă. Uneori este numit logaritmul Napier, deși sensul inițial al acestui termen era oarecum diferit.

Convenții de notație

Logaritmul natural este de obicei notat cu „ln( X)”, logaritm de bază 10 prin „lg( X)", și se obișnuiește să se indice în mod explicit alte motive cu simbolul „jurnal”.

În multe lucrări despre matematică discretă, cibernetică, informatică, autorii folosesc notația „log( X)" pentru logaritmi la baza 2, dar această convenție nu este universal acceptată și necesită clarificare, fie într-o listă de notații utilizate, fie (dacă nu există o astfel de listă) printr-o notă de subsol sau un comentariu la prima utilizare.

Parantezele din jurul argumentului logaritmilor (dacă acest lucru nu duce la o citire eronată a formulei) sunt de obicei omise, iar la ridicarea unui logaritm la o putere, exponentul este atribuit direct semnului logaritmului: ln 2 ln 3 4 X 5 = [ ln ( 3 )] 2 .

sistem anglo-american

Matematicienii, statisticienii și unii ingineri folosesc de obicei fie „log( X)", sau "ln( X)" și pentru a desemna logaritmul la baza 10 - "log 10 ( X)».

Unii ingineri, biologi și alți profesioniști scriu întotdeauna „ln( X)" (sau ocazional "log e ( X)") când înseamnă logaritmul natural și notația "log( X)" înseamnă jurnalul 10 ( X).

Buturuga e este logaritmul „natural” deoarece apare automat și apare foarte des în matematică. De exemplu, luați în considerare problema derivatei unei funcții logaritmice:

Dacă baza b egală e, atunci derivata este pur și simplu 1/ X, și atunci când X= 1 această derivată este egală cu 1. O altă justificare pentru care baza e logaritmul este cel mai natural, este că poate fi definit pur și simplu în termeni de integrală simplă sau serie Taylor, ceea ce nu se poate spune despre alți logaritmi.

Alte argumentări ale naturaleței nu sunt legate de număr. Deci, de exemplu, există mai multe serii simple cu logaritmi naturali. Pietro Mengoli și Nicholas Mercator i-au numit logaritmul naturalis câteva decenii până când Newton și Leibniz au dezvoltat calculul diferențial și integral.

Definiție

Formal ln( A) poate fi definită ca aria de sub curba graficului 1/ X de la 1 la A, adică ca o integrală:

Este într-adevăr un logaritm, deoarece satisface proprietatea fundamentală a unui logaritm:

Acest lucru poate fi demonstrat presupunând următoarele:

Valoare numerică

Pentru a calcula valoarea numerică a logaritmului natural al unui număr, puteți utiliza expansiunea sa într-o serie Taylor sub forma:

A obtine cea mai buna viteza convergență, putem folosi următoarea identitate:

Pentru ln( X), Unde X> 1 decât sens mai apropiat X la 1, cu atât rata de convergență este mai rapidă. Identitățile asociate cu logaritmul pot fi utilizate pentru a atinge obiectivul:

Aceste metode au fost folosite chiar înainte de apariția calculatoarelor, pentru care s-au folosit tabele numerice și s-au efectuat manipulări similare celor descrise mai sus.

Precizie ridicată

Pentru a calcula logaritmul natural cu o cantitate mare cifre de precizie, seria Taylor nu este eficientă deoarece convergența sa este lentă. O alternativă este să folosiți metoda lui Newton pentru a inversa într-o funcție exponențială, a cărei serie converge mai repede.

O alternativă pentru o precizie foarte mare de calcul este formula:

Unde M denotă media aritmetică-geometrică a 1 și 4/s, și

m ales astfel încât p se obțin semne de precizie. (În majoritatea cazurilor, o valoare de 8 pentru m este suficientă.) Într-adevăr, dacă se folosește această metodă, inversarea lui Newton a logaritmului natural poate fi aplicată pentru a calcula eficient funcția exponențială. (Constantele ln 2 și pi pot fi precalculate cu precizia dorită folosind oricare dintre seriile cunoscute rapid convergente.)

Complexitatea computațională

Complexitatea de calcul a logaritmilor naturali (folosind media aritmetică-geometrică) este O( M(n)ln n). Aici n este numărul de cifre de precizie pentru care urmează să fie evaluat logaritmul natural și M(n) este complexitatea de calcul a înmulțirii doi n- numere de cifre.

Fracții continuate

Deși nu există fracții continue simple pentru a reprezenta logaritmul, pot fi utilizate mai multe fracții continuate generalizate, inclusiv:

Logaritmi complexe

Funcția exponențială poate fi extinsă la o funcție care dă un număr complex al formei e X pentru orice număr complex arbitrar X, în timp ce se folosește o serie infinită cu un complex X. Această funcție exponențială poate fi inversată pentru a forma un logaritm complex care va avea majoritatea proprietăților logaritmilor obișnuiți. Există, totuși, două dificultăți: nu există X, pentru care e X= 0 și se dovedește că e 2pi = 1 = e 0 . Deoarece proprietatea multiplicativității este valabilă pentru o funcție exponențială complexă, atunci e z = e z+2npi pentru toate complexele zși întreg n.

Logaritmul nu poate fi definit pe întregul plan complex și, chiar și așa, este multivaloric - orice logaritm complex poate fi înlocuit cu un logaritm „echivalent” prin adăugarea oricărui multiplu întreg de 2 pi. Logaritmul complex poate fi o singură valoare doar pe o secțiune a planului complex. De exemplu ln i = 1/2 pi sau 5/2 pi sau −3/2 pi, etc., şi deşi i 4 = 1,4log i poate fi definit ca 2 pi, sau 10 pi sau -6 pi, și așa mai departe.

Vezi si

• John Napier - inventatorul logaritmilor

Note

1. Matematică pentru chimie fizică. - al 3-lea. - Academic Press, 2005. - P. 9. - ISBN 0-125-08347-5, Extras de la pagina 9
2. J J O „Connor și EF Robertson Numărul e. Arhiva MacTutor History of Mathematics (septembrie 2001). arhivat
3. Cajori Florian O istorie a matematicii, ed. a 5-a. - Librăria AMS, 1991. - P. 152. - ISBN 0821821024
4. Flashman, Martin Estimarea integralelor folosind polinoame . Arhivat din original pe 12 februarie 2012.

Acesta poate fi, de exemplu, un calculator din setul de bază de programe de operație. sisteme Windows. Linkul de lansare este ascuns destul de în meniul principal al sistemului de operare - deschideți-l făcând clic pe butonul „Start”, apoi deschideți secțiunea „Programe”, accesați subsecțiunea „Accesorii”, apoi la „Utilități” secțiunea și, în cele din urmă, faceți clic pe elementul „Calculator””. Puteți folosi tastatura și dialogul de lansare a programului în loc de mouse și navigați prin meniu - apăsați combinația de taste WIN + R, tastați calc (acesta este numele fișierului executabil al calculatorului) și apăsați tasta Enter.

Comutați interfața calculatorului în modul avansat, permițându-vă să . În mod implicit, se deschide în forma „normală” și aveți nevoie de „inginerie” sau „” (în funcție de versiunea sistemului de operare pe care o utilizați). Extindeți secțiunea „Vizualizare” din meniu și selectați linia corespunzătoare.

Introduceți argumentul a cărui valoare naturală urmează să fie calculată. Acest lucru se poate face atât de la tastatură, cât și făcând clic pe butoanele corespunzătoare din interfața calculatorului de pe ecran.

Faceți clic pe butonul etichetat ln - programul va calcula logaritmul la baza e și va afișa rezultatul.

Utilizați unul dintre calculatoarele - ca alternativă pentru a calcula valoarea logaritmului natural. De exemplu, cel situat la http://calc.org.ua. Interfața sa este extrem de simplă - există un singur câmp de intrare în care trebuie să introduceți valoarea numărului, al cărui logaritm doriți să îl calculați. Printre butoane, găsiți și faceți clic pe cel care spune ln. Scriptul acestui calculator nu necesită trimiterea datelor către server și a unui răspuns, așa că veți primi rezultatul calculului aproape instantaneu. Singura caracteristică care trebuie luată în considerare este că separatorul dintre părțile fracționale și întregi ale numărului introdus trebuie să fie un punct aici, și nu .

Termenul " logaritm„ provenea din două cuvinte grecești, dintre care unul înseamnă „număr” și celălalt – „relație”. Ele denotă operația matematică de calcul a unei variabile (exponent), la care trebuie crescută o valoare constantă (bază) pentru a obține numărul indicat sub semn logaritm A. Dacă baza este egală cu o constantă matematică, numită numărul „e”, atunci logaritm numită „naturală”.

Vei avea nevoie

• Acces la internet, Microsoft Office Excel sau calculator.

Instruire

Utilizați numeroasele calculatoare prezentate pe Internet - aceasta este, probabil, o modalitate ușoară de a calcula a naturală. Nu va trebui să căutați serviciul potrivit, deoarece mulți motoare de căutareși ei înșiși au calculatoare încorporate cu care sunt destul de potrivite pentru a lucra logaritm ami. De exemplu, accesați pagina de start a celui mai mare motor de căutare online - Google. Nu sunt necesare butoane pentru introducerea valorilor și selectarea funcțiilor aici, trebuie doar să tastați în câmpul de introducere a interogării, cel dorit acţiune matematică. Să zicem să calculăm logaritm iar numerele 457 din baza „e” intră ln 457 – acest lucru va fi suficient pentru ca Google să afișeze cu o precizie de opt zecimale (6,12468339) chiar și fără a apăsa butonul pentru a trimite o solicitare către server.

Utilizați funcția încorporată corespunzătoare dacă trebuie să calculați valoarea unui natural logaritm dar apare atunci când lucrați cu date în editorul popular de foi de calcul Microsoft Office Excel. Această funcție este numită aici folosind notația convențională such logaritm iar cu litere mari - LN. Selectați celula în care ar trebui să fie afișat rezultatul calculului și introduceți un semn egal - așa ar trebui să înceapă în acest tabel intrările din celulele care conțin în subsecțiunea „Standard” a secțiunii „Toate programele” din meniul principal. editor. Comutați calculatorul într-un mod mai funcțional apăsând comanda rapidă de la tastatură Alt + 2. Apoi introduceți valoarea, naturală logaritm pe care doriți să le calculați și faceți clic pe butonul din interfața programului, marcat cu simbolurile ln. Aplicația va efectua calculul și va afișa rezultatul.

Videoclipuri asemănătoare

Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a (a>0, a nu este egal cu 1) este un număr c astfel încât a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Rețineți că logaritmul unui număr nepozitiv nu este definit. De asemenea, baza logaritmului trebuie să fie un număr pozitiv, nu egal cu 1. De exemplu, dacă pătratăm -2, obținem numărul 4, dar asta nu înseamnă că baza -2 logaritmului lui 4 este 2.

Identitatea logaritmică de bază

Este important ca domeniile de definire ale părților din dreapta și din stânga acestei formule să fie diferite. Partea stanga este definită numai pentru b>0, a>0 și a ≠ 1. Partea dreaptă este definită pentru orice b și nu depinde deloc de a. Astfel, aplicarea „identității” logaritmice de bază în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților poate duce la o modificare a DPV.

Două consecințe evidente ale definiției logaritmului

Într-adevăr, când ridicăm numărul a la prima putere, obținem același număr, iar când îl ridicăm la puterea zero, obținem unul.

Logaritmul produsului și logaritmul coeficientului

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Aș dori să îi avertizez pe școlari împotriva folosirii necugetate a acestor formule atunci când rezolvă ecuații și inegalități logaritmice. Când sunt folosite „de la stânga la dreapta”, ODZ se îngustează, iar când se trece de la suma sau diferența de logaritmi la logaritmul produsului sau al coeficientului, ODZ se extinde.

Într-adevăr, expresia log a (f (x) g (x)) este definită în două cazuri: când ambele funcții sunt strict pozitive sau când f(x) și g(x) sunt ambele mai mici decât zero.

Transformând această expresie în suma log a f (x) + log a g (x) , suntem forțați să ne restrângem doar la cazul în care f(x)>0 și g(x)>0. Există o restrângere a intervalului de valori admisibile, iar acest lucru este categoric inacceptabil, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor. O problemă similară există pentru formula (6).

Gradul poate fi scos din semnul logaritmului

Și din nou aș dori să fac apel la acuratețe. Luați în considerare următorul exemplu:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Partea stângă a egalității este în mod evident definită pentru toate valorile lui f(x), cu excepția zero. Partea dreaptă este doar pentru f(x)>0! Luând puterea din logaritm, restrângem din nou ODZ. Procedura inversă duce la o extindere a intervalului de valori admisibile. Toate aceste observații se aplică nu numai puterii lui 2, ci și oricărei puteri par.

Formula pentru mutarea la o nouă bază

Acel caz rar în care ODZ nu se schimbă în timpul conversiei. Dacă ați ales cu înțelepciune baza c (pozitivă și nu egală cu 1), formula pentru trecerea la o nouă bază este perfect sigură.

Dacă alegem numărul b ca bază nouă c, obținem un important caz special formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Câteva exemple simple cu logaritmi

Exemplul 1 Calculați: lg2 + lg50.
Soluţie. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Am folosit formula pentru suma logaritmilor (5) și definiția logaritmului zecimal.

Exemplul 2 Calculați: lg125/lg5.
Soluţie. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Am folosit noua formulă de tranziție de bază (8).

Tabel de formule legate de logaritmi

După cum știți, atunci când înmulțiți expresii cu puteri, exponenții lor se adună întotdeauna (a b * a c = a b + c). Această lege matematică a fost derivată de Arhimede, iar mai târziu, în secolul al VIII-lea, matematicianul Virasen a creat un tabel de indicatori întregi. Ei au fost cei care au servit pentru descoperirea ulterioară a logaritmilor. Exemple de utilizare a acestei funcții pot fi găsite aproape peste tot acolo unde este necesară simplificarea înmulțirii greoaie la adunare simplă. Dacă petreceți 10 minute citind acest articol, vă vom explica ce sunt logaritmii și cum să lucrați cu ei. Limbaj simplu și accesibil.

Definiție în matematică

Logaritmul este o expresie de următoarea formă: log a b=c, adică logaritmul oricărui număr nenegativ (adică orice pozitiv) „b” conform bazei sale „a” este considerat puterea lui „c”. ", la care este necesar să se ridice baza "a", pentru ca în final să se obțină valoarea "b". Să analizăm logaritmul folosind exemple, să presupunem că există o expresie log 2 8. Cum să găsim răspunsul? Este foarte simplu, trebuie să găsești un astfel de grad încât de la 2 la gradul necesar să obții 8. După ce ai făcut niște calcule în minte, obținem numărul 3! Și pe bună dreptate, pentru că 2 la puterea lui 3 dă numărul 8 în răspuns.

Varietăți de logaritmi

Pentru mulți elevi și studenți, acest subiect pare complicat și de neînțeles, dar, de fapt, logaritmii nu sunt atât de înfricoșători, principalul lucru este să le înțelegeți sensul general și să vă amintiți proprietățile și unele reguli. Există trei tipuri distincte de expresii logaritmice:

1. Logaritmul natural ln a, unde baza este numărul Euler (e = 2,7).
2. Decimală a, unde baza este 10.
3. Logaritmul oricărui număr b la baza a>1.

Fiecare dintre ele este rezolvată într-un mod standard, incluzând simplificarea, reducerea și reducerea ulterioară la un logaritm folosind teoreme logaritmice. Pentru a obține valorile corecte ale logaritmilor, trebuie să vă amintiți proprietățile lor și ordinea acțiunilor în deciziile lor.

Reguli și unele restricții

În matematică, există mai multe reguli-limitări care sunt acceptate ca axiomă, adică nu sunt supuse discuției și sunt adevărate. De exemplu, este imposibil să împărțiți numerele la zero și, de asemenea, este imposibil să extrageți rădăcina unui grad par din numerele negative. Logaritmii au, de asemenea, propriile reguli, după care puteți învăța cu ușurință cum să lucrați chiar și cu expresii logaritmice lungi și încăpătoare:

• baza „a” trebuie să fie întotdeauna mai mare decât zero și, în același timp, să nu fie egală cu 1, altfel expresia își va pierde sensul, deoarece „1” și „0” în orice grad sunt întotdeauna egale cu valorile lor;
• dacă a > 0, atunci a b > 0, se dovedește că „c” trebuie să fie mai mare decât zero.

Cum se rezolvă logaritmii?

De exemplu, sarcina a fost dată de a găsi răspunsul la ecuația 10 x \u003d 100. Este foarte ușor, trebuie să alegeți o astfel de putere, ridicând numărul zece la care obținem 100. Acesta, desigur, este 10. 2 \u003d 100.

Acum să reprezentăm această expresie ca una logaritmică. Obținem log 10 100 = 2. La rezolvarea logaritmilor, toate acțiunile converg practic către găsirea gradului în care trebuie introdusă baza logaritmului pentru a obține un număr dat.

Pentru o determinare fără erori a valorii grad necunoscut trebuie să înveți cum să lucrezi cu un tabel de grade. Arata cam asa:

După cum puteți vedea, unii exponenți pot fi ghiciți intuitiv dacă aveți o mentalitate tehnică și cunoștințe despre tabla înmulțirii. Cu toate acestea, valorile mai mari vor necesita o masă de putere. Poate fi folosit chiar și de cei care nu înțeleg absolut nimic în complex subiecte matematice. Coloana din stânga conține numere (baza a), rândul de sus de numere este valoarea puterii c, la care se ridică numărul a. La intersecția din celule, se determină valorile numerelor, care sunt răspunsul (a c =b). Să luăm, de exemplu, prima celulă cu numărul 10 și să o pătratăm, obținem valoarea 100, care este indicată la intersecția celor două celule ale noastre. Totul este atât de simplu și ușor încât până și cel mai adevărat umanist va înțelege!

Ecuații și inegalități

Se pare că, în anumite condiții, exponentul este logaritmul. Prin urmare, orice expresii numerice matematice pot fi scrise ca o ecuație logaritmică. De exemplu, 3 4 =81 poate fi scris ca logaritmul lui 81 la baza 3, care este patru (log 3 81 = 4). Pentru puterile negative, regulile sunt aceleași: 2 -5 = 1/32 scriem ca logaritm, obținem log 2 (1/32) = -5. Una dintre cele mai fascinante secțiuni ale matematicii este subiectul „logaritmilor”. Vom lua în considerare exemple și soluții de ecuații puțin mai jos, imediat după studierea proprietăților acestora. Acum să ne uităm la cum arată inegalitățile și cum să le distingem de ecuații.

Se dă o expresie de următoarea formă: log 2 (x-1) > 3 - este o inegalitate logaritmică, deoarece valoarea necunoscută „x” se află sub semnul logaritmului. Și, de asemenea, în expresie sunt comparate două mărimi: logaritmul numărului dorit în baza doi este mai mare decât numărul trei.

Cea mai importantă diferență dintre ecuațiile logaritmice și inegalități este că ecuațiile cu logaritmi (de exemplu, logaritmul lui 2 x = √9) implică unul sau mai multe specifice valori numerice, în timp ce la rezolvarea inegalității se determină atât intervalul de valori admisibile, cât și punctele de discontinuitate ale acestei funcții. În consecință, răspunsul nu este un simplu set de numere individuale, ca în răspunsul ecuației, ci o serie continuă sau un set de numere.

Teoreme de bază despre logaritmi

La rezolvarea sarcinilor primitive privind găsirea valorilor logaritmului, este posibil să nu fie cunoscute proprietățile acestuia. Cu toate acestea, când vine vorba de ecuații sau inegalități logaritmice, în primul rând, este necesar să înțelegem clar și să aplici în practică toate proprietățile de bază ale logaritmilor. Ne vom familiariza cu exemple de ecuații mai târziu, să analizăm mai întâi fiecare proprietate mai detaliat.

1. Identitatea de bază arată astfel: a logaB =B. Se aplică numai dacă a este mai mare decât 0, nu este egal cu unu și B este mai mare decât zero.
2. Logaritmul produsului poate fi reprezentat în următoarea formulă: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. În acest caz, condiția este: d, s 1 și s 2 > 0; a≠1. Puteți da o demonstrație pentru această formulă de logaritmi, cu exemple și o soluție. Fie log a s 1 = f 1 și log a s 2 = f 2 , apoi a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Obținem că s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (proprietăți de grade) ), și mai departe prin definiție: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log a s 2, ceea ce urma să fie demonstrat.
3. Logaritmul coeficientului arată astfel: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
4. Teorema sub forma unei formule ia următoarea formă: log a q b n = n/q log a b.

Această formulă se numește „proprietatea gradului logaritmului”. Seamănă cu proprietățile gradelor obișnuite și nu este surprinzător, deoarece toată matematica se bazează pe postulate obișnuite. Să ne uităm la dovada.

Să log a b \u003d t, se dovedește a t \u003d b. Dacă ridici ambele părți la puterea m: a tn = b n ;

dar deoarece a tn = (a q) nt/q = b n , prin urmare log a q b n = (n*t)/t, atunci log a q b n = n/q log a b. Teorema a fost demonstrată.

Exemple de probleme și inegalități

Cele mai comune tipuri de probleme de logaritm sunt exemple de ecuații și inegalități. Ele se găsesc în aproape toate cărțile de probleme și sunt incluse și în partea obligatorie a examenelor de matematică. Pentru a intra la universitate sau pentru a trece testele de admitere la matematică, trebuie să știi să rezolvi corect astfel de sarcini.

Din păcate, nu există un plan sau o schemă unică pentru rezolvarea și determinarea valorii necunoscute a logaritmului, cu toate acestea, fiecare inegalitate matematică sau ecuație logaritmică poate fi aplicată anumite reguli. În primul rând, ar trebui să aflați dacă expresia poate fi simplificată sau redusă la vedere generala. Puteți simplifica expresiile logaritmice lungi dacă le folosiți corect proprietățile. Să-i cunoaștem curând.

Când rezolvăm ecuații logaritmice, este necesar să stabilim ce fel de logaritm avem în fața noastră: un exemplu de expresie poate conține un logaritm natural sau unul zecimal.

Iată exemple ln100, ln1026. Soluția lor se rezumă la faptul că trebuie să determinați gradul în care baza 10 va fi egală cu 100 și, respectiv, 1026. Pentru soluțiile logaritmilor naturali, trebuie aplicate identitățile logaritmice sau proprietățile acestora. Să ne uităm la exemple de rezolvare a problemelor logaritmice de diferite tipuri.

Cum să utilizați formulele logaritmice: cu exemple și soluții

Deci, să ne uităm la exemple de utilizare a teoremelor principale pe logaritmi.

1. Proprietatea logaritmului produsului poate fi utilizată în sarcini în care este necesară extinderea mare importanță numerele b în factori mai simpli. De exemplu, log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Răspunsul este 9.
2. log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - după cum puteți vedea, folosind a patra proprietate a gradului logaritmului, am reușit să rezolvăm la prima vedere o expresie complexă și de nerezolvat. Este necesar doar să factorizați baza și apoi să scoateți valorile exponentului din semnul logaritmului.

Sarcini de la examen

Logaritmii se găsesc adesea în examen de admitere, în special o mulțime de probleme logaritmice în Examenul de stat unificat (examen de stat pentru toți absolvenții de școală). De obicei, aceste sarcini sunt prezente nu numai în partea A (cea mai ușoară parte a testului a examenului), ci și în partea C (cele mai dificile și mai voluminoase sarcini). Examenul presupune o cunoaștere exactă și perfectă a temei „Logaritmi naturali”.

Exemplele și soluțiile problemelor sunt preluate din oficial UTILIZAȚI opțiuni. Să vedem cum se rezolvă astfel de sarcini.

Dat log 2 (2x-1) = 4. Rezolvare:
să rescriem expresia, simplificând-o puțin log 2 (2x-1) = 2 2 , prin definiția logaritmului obținem că 2x-1 = 2 4 , deci 2x = 17; x = 8,5.

• Toți logaritmii se reduc cel mai bine la aceeași bază, astfel încât soluția să nu fie greoaie și confuză.
• Toate expresiile sub semnul logaritmului sunt indicate ca pozitive, prin urmare, la scoaterea exponentului exponentului expresiei, care se află sub semnul logaritmului și ca bază, expresia rămasă sub logaritm trebuie să fie pozitivă.