Găsiți două puncte comune diferite ale avioanelor. Avion în spațiu - informații necesare

Întrebarea 7.

Două planuri din spațiu pot fi fie reciproc paralele și, într-un caz particular, coincid unul cu celălalt, fie intersectându-se. Planurile reciproc perpendiculare sunt un caz special de planuri care se intersectează și vor fi discutate mai jos.

Planuri paralele. Planurile sunt paralele dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează ale altui plan. Când se rezolvă diverse probleme, este adesea necesară trasarea unui plan β printr-un punct dat A, paralel cu un plan dat α.

În fig. 81 planul α este definit de două drepte care se intersectează a și b. Planul necesar β este definit de drepte a1 și b1, respectiv paralele cu a și b și care trec printr-un punct dat A1.

Planuri care se intersectează. Linia de intersecție a două plane este o dreaptă, pentru a construi este suficient să se determine două puncte comune ambelor plane, sau un punct și direcția dreptei de intersecție a planurilor.

Înainte de a lua în considerare construcția dreptei de intersecție a două plane, vom analiza o problemă importantă și auxiliară: vom găsi punctul K de intersecție a unei drepte generale cu planul proiectant.

Să fie, de exemplu, o dreaptă a și un plan α proiectat orizontal (Fig. 82). Atunci proiecția orizontală K1 a punctului dorit trebuie să se afle simultan pe proiecția orizontală α1 a planului α și pe proiecția orizontală a1 a dreptei a, adică. în punctul de intersecţie al lui a1 cu α1 (Fig. 83). Proiecția frontală K2 a punctului K este situată pe linia de legătură a proiecției și pe proiecția frontală a2 a dreptei a.

Acum să ne uităm la unul dintre cazurile speciale de planuri care se intersectează, când unul dintre ele se proiectează.

În fig. 84 prezintă planul de poziție generală definit de triunghiul ABC și planul proiectat orizontal α. Să găsim două puncte comune pentru aceste două planuri. Evident, aceste puncte comune pentru planele ∆ABC și α vor fi punctele de intersecție ale laturilor AB și BC ale triunghiului ABC cu planul proiectant α. Construcția unor astfel de puncte D și E atât pe desenul spațial (Fig. 84) cât și pe diagramă (Fig. 85) nu provoacă dificultăți după exemplul discutat mai sus.

Conectând aceleași proiecții ale punctelor D și E, obținem proiecțiile dreptei de intersecție a planului ∆ ABC și a planului α.

Astfel, proiecția orizontală D1E1 a dreptei de intersecție a planurilor date coincide cu proiecția orizontală a planului proiectant α - cu urmele sale orizontale α1.

Să luăm acum în considerare cazul general. Să fie date două plane generale α și β în spațiu (Fig. 86). Pentru a construi linia de intersecție a acestora, este necesar, după cum sa menționat mai sus, să găsiți două puncte comune ambelor plane.

Pentru a determina aceste puncte, planurile date sunt intersectate de două plane auxiliare. Este mai convenabil să luați avioane proiectante și, în special, planuri de nivel ca astfel de planuri. În fig. 86, primul plan auxiliar de nivel γ intersectează fiecare dintre aceste planuri de-a lungul orizontalelor h și h1, care definesc punctul 1, comun planurilor α și β. Acest punct este determinat de intersecția dreptelor orizontale h2 și h3, de-a lungul cărora planul auxiliar δ intersectează fiecare dintre aceste planuri.

Să fie date două avioane

Primul plan are un vector normal (A 1;B 1;C 1), al doilea plan (A 2;B 2;C 2).

Dacă planurile sunt paralele, atunci vectorii sunt coliniari, adică. = l pentru un număr l. De aceea

─ condiția paralelismului planului.

Condiție pentru potrivirea avioanelor:

,

întrucât în ​​acest caz, înmulțind a doua ecuație cu l =, obținem prima ecuație.

Dacă nu este îndeplinită condiția de paralelism, atunci planurile se intersectează. În special, dacă planele sunt perpendiculare, atunci vectorii , . Prin urmare, produsul lor scalar este egal cu 0, i.e. = 0 sau

A 1 A 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0.

Aceasta este o condiție necesară și suficientă pentru ca planurile să fie perpendiculare.

Unghiul dintre două plane.

Unghiul dintre două plane

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

este unghiul dintre vectorii lor normali și , deci

cosj = =
.

Direct în spațiu.

Ecuația vectorială-parametrică a unei linii drepte.

Definiţie. Vectorul de direcție este drept Orice vector situat pe sau paralel cu o linie este numit.

Să creăm o ecuație pentru o dreaptă care trece prin punctul M 0 (x 0;y 0;z 0) și având un vector de direcție = (a 1;a 2;a 3).

Să trasăm vectorul 0 din punctul M . Fie M(x;y;z) ─ un punct arbitrar pe o dreaptă dată și ─ raza sa este vectorul punctului M 0. Apoi , , De aceea . Această ecuație se numește ecuația vectorială-parametrică a unei linii drepte.

Ecuații parametrice ale unei linii drepte.

În ecuația vector-parametrică a dreptei va merge la relațiile de coordonate (x;y;z) = (x 0;y 0;z 0) + (a 1;a 2;a 3)t. De aici ajungem ecuații parametrice ale dreptei

x = x 0 + a 1 t,

y = y 0 +a 2 t, (4)

Ecuații canonice ale dreptei.

Din ecuațiile (4) exprimăm t:

t = , t = , t = ,

de unde o luăm ecuații canonice ale dreptei

= = (5)

Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

Să fie date două puncte M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1) și M 2 (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2). Ca vector de direcție al unei linii drepte, putem lua vectorul = (x 2 – x 1; y 2 ​​​​– y 1; z 2 – z 1). Deoarece linia dreaptă trece prin punctul M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), ecuațiile ei canonice în conformitate cu (5) se vor scrie sub forma

(6)

Unghiul dintre două linii drepte.

Se consideră două drepte cu vectori de direcție = (a 1;a 2;a 3) și .

Prin urmare, unghiul dintre linii este egal cu unghiul dintre vectorii lor de direcție

cosj = =
(7)

Condiția de perpendicularitate a liniilor:

un 1 în 1 + un 2 în 2 + un 3 în 3 = 0.

Condiții pentru linii paralele:

eu

. (8)

Poziția relativă a liniilor în spațiu.

Să fie date două linii
Şi
.

În mod evident, liniile se află în același plan dacă și numai dacă vectorii , și coplanare, adică

= 0 (9)

Dacă în (9) primele două drepte sunt proporționale, atunci liniile sunt paralele. Dacă toate cele trei linii sunt proporționale, atunci liniile coincid. Dacă condiția (9) este îndeplinită și primele două linii nu sunt proporționale, atunci liniile se intersectează.

Dacă
¹ 0, atunci liniile sunt oblice.

Probleme pe linii drepte și plane în spațiu.

O linie dreaptă este intersecția a două plane.

Să fie date două avioane

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0,

A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

Dacă planurile nu sunt paralele, atunci condiția este încălcată

.

Fie, de exemplu, ¹.

Să găsim ecuația dreptei de-a lungul căreia se intersectează planele.

Ca vector de direcție al dreptei dorite, putem lua vectorul

= × = =
.

Pentru a găsi un punct aparținând dreptei dorite, fixăm o anumită valoare

z = z 0 și rezolvarea sistemului

,

obținem valorile x = x 0, y = y 0. Deci, punctul dorit este M(x 0;y 0;z 0).

Ecuația necesară

.

Poziția relativă a unei drepte și a unui plan.

Să fie dată linia x = x 0 + a 1 t, y = y 0 + a 2 t, z = z 0 + a 3 t

si avionul

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0.

Pentru a găsi puncte comune ale unei drepte și ale unui plan, este necesar să se rezolve sistemul de ecuații ale acestora

A 1 (x 0 + a 1 t) + B 1 (y 0 + a 2 t) + C 1 (z 0 + a 3 t) + D 1 = 0,

(A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3)t + (A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1) = 0.

Dacă A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 ¹ 0, atunci sistemul are o soluție unică

t = t 0 = -
.

În acest caz, linia dreaptă și planul se intersectează într-un singur punct M 1 (x 1 ; y 1 ; z 1), unde

x 1 = x 0 + a 1 t 0, y 1 = y 0 + a 2 t 0, z 1 = z 0 + a 3 t 0.

Dacă A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 = 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 ¹ 0, atunci linia dreaptă și planul nu au puncte comune, adică . paralel.

Dacă A 1 a 1 + B 1 a 2 + C 1 a 3 = 0, A 1 x 0 + B 1 y 0 + C 1 z 0 + D 1 = 0, atunci linia dreaptă aparține planului.

Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan.

Două plane din spațiu pot fi fie reciproc paralele, fie intersectându-se.

Planurile sunt paralele dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează ale altui plan.

Alegerea laturilor triunghiurilor este arbitrară, deoarece numai prin construcție se poate determina cu precizie care latură a triunghiului intersectează de fapt planul celuilalt. Alegerea planului auxiliar este de asemenea arbitrară, deoarece linia dreaptă este în poziție generală, care sunt toate laturile ∆ ABCși ∆ DEF, poate fi închis într-un plan proiectat orizontal sau frontal.

1. A reprezenta un punct M se foloseşte un plan auxiliar proiectat orizontal F (F AB triunghi ABC (AB Î F).

2. Construim o linie de intersecție (în desen este specificată de punctele 1 și 2) a planului auxiliar F (F 2) și planul ∆ DEF.

Un punct găsit M linia de intersecție dorită.

4. A reprezenta un punct N se foloseşte un plan de proiecţie orizontal R (R 2), în care este inclusă partea E.F. triunghi DEF.

Constructia este asemanatoare celor anterioare.

5. Determinarea vizibilității elementelor în plan P 2 se realizează folosind punctele concurente frontal 1=2 și 5=2.

Punctul 5 (5О AB) se află mai departe de axă X decât punctul 1 (1О DF), deci în avion P A doua parte a triunghiului ABC, situat spre punctul 1, acoperă o parte a triunghiului DEF, situat de la linia de intersecție spre punctul 5.

Cursul video „Obțineți A” include toate subiectele necesare pentru a promova cu succes Examenul de stat unificat la matematică cu 60-65 de puncte. Complet toate sarcinile 1-13 ale Examenului de stat Profil unificat la matematică. De asemenea, potrivit pentru promovarea examenului de stat unificat de bază la matematică. Dacă vrei să promovezi examenul de stat unificat cu 90-100 de puncte, trebuie să rezolvi partea 1 în 30 de minute și fără greșeli!

Curs de pregătire pentru Examenul Unificat de Stat pentru clasele 10-11, precum și pentru profesori. Tot ce aveți nevoie pentru a rezolva partea 1 a examenului de stat unificat la matematică (primele 12 probleme) și problema 13 (trigonometrie). Și acesta este mai mult de 70 de puncte la examenul de stat unificat și nici un student cu 100 de puncte, nici un student la științe umaniste nu se pot descurca fără ele.

Toată teoria necesară. Soluții rapide, capcane și secrete ale examenului de stat unificat. Au fost analizate toate sarcinile curente ale părții 1 din Banca de activități FIPI. Cursul respectă pe deplin cerințele Examenului de stat unificat 2018.

Cursul conține 5 subiecte mari, câte 2,5 ore fiecare. Fiecare subiect este dat de la zero, simplu și clar.

Sute de sarcini de examen de stat unificat. Probleme cu cuvinte și teoria probabilității. Algoritmi simpli și ușor de reținut pentru rezolvarea problemelor. Geometrie. Teorie, material de referință, analiza tuturor tipurilor de sarcini de examinare unificată de stat. Stereometrie. Soluții complicate, cheat sheets utile, dezvoltarea imaginației spațiale. Trigonometrie de la zero la problema 13. Înțelegerea în loc de înghesuială. Explicații clare ale conceptelor complexe. Algebră. Rădăcini, puteri și logaritmi, funcție și derivată. O bază pentru rezolvarea problemelor complexe din partea 2 a examenului de stat unificat.

Două planuri din spațiu pot fi fie reciproc paralele, într-un caz particular coincid unul cu celălalt, fie se intersectează. Planurile reciproc perpendiculare sunt un caz special de planuri care se intersectează.

1. Planuri paralele. Planurile sunt paralele dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează ale altui plan.

Această definiție este bine ilustrată de problema trasării unui plan prin punctul B paralel cu planul definit de două drepte care se intersectează ab (Fig. 61).

Sarcină. Dat: un plan general definit de două drepte care se intersectează ab și punctul B.

Este necesar să se deseneze un plan prin punctul B paralel cu planul ab și să-l definească prin două drepte care se intersectează c și d.

Conform definiției, dacă două drepte care se intersectează ale unui plan sunt, respectiv, paralele cu două drepte care se intersectează ale altui plan, atunci aceste plane sunt paralele între ele.

Pentru a desena linii paralele pe o diagramă, este necesar să folosiți proprietatea proiecției paralele - proiecțiile liniilor paralele sunt paralele între ele

d//a, c//b Þ d1//a1, c1//b1; d2//a2 ,с2//b2; d3//a3, c3//b3.

Figura 61. Planuri paralele

2. Planuri care se intersectează, un caz special este planurile reciproc perpendiculare. Linia de intersecție a două plane este o dreaptă, pentru construcția căreia este suficient să se determine cele două puncte ale sale comune ambelor plane, sau un punct și direcția dreptei de intersecție a planurilor.

Să luăm în considerare construirea liniei de intersecție a două plane atunci când unul dintre ele este proiectat (Fig. 62).

Sarcină. Având în vedere: planul general este dat de triunghiul ABC, iar al doilea plan este un plan proiectat orizontal a.

Este necesar să construiți o linie de intersecție a planurilor.

Soluția problemei constă în găsirea a două puncte comune acestor planuri prin care se poate trasa o linie dreaptă. Planul definit de triunghiul ABC poate fi reprezentat ca drepte (AB), (AC), (BC). Punctul de intersecție al dreptei (AB) cu planul a este punctul D, linia dreaptă (AC) este F. Segmentul definește linia de intersecție a planurilor. Deoarece a este un plan care se proiectează orizontal, proiecția D1F1 coincide cu urma planului aP1, deci tot ce rămâne este să construim proiecțiile lipsă pe P2 și P3.

Figura 62. Intersecția unui plan de poziție generală cu un plan proiectat orizontal

Să trecem la cazul general. Să fie date două plane generice a(m,n) și b (ABC) în spațiu (Fig. 63)

Figura 63. Intersecția planurilor generice

Să considerăm șirul de construire a dreptei de intersecție a planelor a(m//n) și b(ABC). Prin analogie cu sarcina anterioară, pentru a găsi linia de intersecție a acestor plane, desenăm planuri de tăiere auxiliare g și d. Să găsim liniile de intersecție ale acestor planuri cu planurile luate în considerare. Planul g intersectează planul a într-o linie dreaptă (12), iar planul b se intersectează într-o linie dreaptă (34). Punctul K - punctul de intersecție al acestor drepte aparține simultan la trei plane a, b și g, fiind astfel un punct aparținând dreptei de intersecție a planurilor a și b. Planul d intersectează planele a și b de-a lungul liniilor drepte (56) și respectiv (7C), punctul lor de intersecție M este situat simultan în trei plane a, b, d și aparține dreptei de intersecție a planelor a și b. Astfel, s-au găsit două puncte aparținând dreptei de intersecție a planelor a și b - o dreaptă (KS).

O oarecare simplificare la construirea liniei de intersecție a planurilor poate fi realizată dacă planurile de tăiere auxiliare sunt trasate prin linii drepte care definesc planul.

Planuri reciproc perpendiculare. Din stereometrie se știe că două plane sunt reciproc perpendiculare dacă unul dintre ele trece prin perpendiculară pe celălalt. Prin punctul A puteți desena multe plane perpendiculare pe un plan dat a(f,h). Aceste plane formează un mănunchi de planuri în spațiu, a cărui axă este perpendiculara coborâtă din punctul A în planul a. Pentru a desena un plan din punctul A perpendicular pe planul dat de două drepte care se intersectează hf, este necesar să se traseze o dreaptă n din punctul A perpendicular pe planul hf (proiecția orizontală n este perpendiculară pe proiecția orizontală a dreptei orizontale h, proiecția frontală n este perpendiculară pe proiecția frontală a frontalului f). Orice plan care trece prin linia n va fi perpendicular pe planul hf, prin urmare, pentru a defini un plan prin punctele A, trageți o dreaptă arbitrară m. Planul definit de două drepte care se intersectează mn va fi perpendicular pe planul hf (Fig. 64).

Figura 64. Planuri reciproc perpendiculare