Mecanica solidelor deformabile. Rezistenta materialului
Probleme ale științei
Aceasta este știința forței și a conformității (rigidității) elementelor structuri de inginerie. Folosind metodele mecanicii unui corp deformabil, se efectuează calcule practice și se determină dimensiuni fiabile (puternice, stabile) ale pieselor de mașină și ale diferitelor structuri ale clădirii. Partea introductivă, inițială, a mecanicii unui corp deformabil este un curs numit rezistența materialelor. Principiile de bază ale rezistenței materialelor se bazează pe legile mecanicii generale solidși mai ales asupra legilor staticii, a căror cunoaștere este absolut necesară pentru studierea mecanicii unui corp deformabil. Mecanica corpurilor deformabile include și alte secțiuni, cum ar fi teoria elasticității, teoria plasticității și teoria fluajului, unde se consideră aceleași probleme ca și în rezistența materialelor, dar într-o formulare mai completă și mai riguroasă.
Rezistența materialelor își propune să creeze metode practic acceptabile și simple pentru calcularea rezistenței și rigidității elementelor structurale tipice, cel mai frecvent întâlnite. În acest caz, sunt utilizate pe scară largă diverse metode aproximative. Necesitatea de a aduce soluția fiecărei probleme practice la un rezultat numeric obligă să recurgă în mai multe cazuri la ipoteze și ipoteze simplificatoare, care sunt justificate în continuare prin compararea datelor calculate cu experimentul.
Abordare generală
Este convenabil să luăm în considerare multe fenomene fizice folosind diagrama prezentată în Figura 13:
Prin X aceasta indică o anumită influență (control) aplicată intrării sistemului O(mașină, eșantion de test de material etc.), și prin Y– reacția (răspunsul) sistemului la acest impact. Vom presupune că reacţiile Y sunt eliminate din ieșirea sistemului O.
Sub sistem gestionat O Să fim de acord să înțelegem orice obiect capabil să răspundă determinist la o anumită influență. Aceasta înseamnă că toate copiile sistemului Oîn aceleași condiții, adică sub aceleasi influente x(t), să se comporte strict la fel, adică da la fel y(t). Această abordare, desigur, este doar o aproximare, deoarece este practic imposibil să se obțină fie două sisteme complet identice, fie două efecte identice. Prin urmare, strict vorbind, ar trebui să se ia în considerare mai degrabă sistemele probabiliste decât deterministe. Cu toate acestea, pentru o serie de fenomene este convenabil să ignorăm acest fapt evident și să considerăm sistemul ca fiind determinist, înțelegând toate relațiile cantitative dintre mărimile luate în considerare în sensul relațiilor dintre așteptările lor matematice.
Comportamentul oricărui sistem controlat determinist poate fi determinat de o anumită relație care conectează ieșirea la intrare, adică X Cu la. Vom numi această relație ecuație stat sisteme. Simbolic este scris asa
unde este scrisoarea O, folosit mai devreme pentru a desemna sistemul, poate fi interpretat ca un anumit operator care ne permite să determinăm y(t), dacă este specificat x(t).
Conceptul introdus de sistem determinist cu intrare și ieșire este foarte general. Iată câteva exemple de astfel de sisteme: un gaz ideal, ale cărui caracteristici sunt legate de ecuația Mendeleev-Clapeyron, schema electrica, respectând una sau alta ecuație diferențială, o paletă de abur sau turbină cu gaz, deformându-se în timp, prin forțele care acționează asupra acestuia etc. Scopul nostru nu este studierea unui sistem controlat arbitrar și, prin urmare, în procesul de prezentare vom introduce ipotezele suplimentare necesare, care, limitând generalitatea, ne vor permite a lua în considerare un sistem de un anumit tip care este cel mai potrivit pentru modelarea comportamentului unui corp deformat sub sarcină.
Analiza oricărui sistem controlat poate fi efectuată, în principiu, în două moduri. Primul microscopic, se bazează pe un studiu detaliat al structurii sistemului și al funcționării tuturor elementelor sale constitutive. Dacă toate acestea pot fi realizate, atunci devine posibil să scrieți ecuația de stare a întregului sistem, deoarece comportamentul fiecăruia dintre elementele sale și metodele de interacțiune a acestora sunt cunoscute. Deci, de exemplu, teoria cinetică gazele vă permit să scrieți ecuația Mendeleev-Clapeyron; cunoștințe despre dispozitiv circuit electric iar toate caracteristicile sale fac posibilă scrierea ecuațiilor sale pe baza legile ingineriei electrice (legea lui Ohm, Kirchhoff etc.). Astfel, abordarea microscopică a analizei unui sistem controlat se bazează pe luarea în considerare a proceselor elementare care alcătuiesc un anumit fenomen și, în principiu, este capabilă să ofere o descriere directă, cuprinzătoare a sistemului în cauză.
Cu toate acestea, micro-abordarea nu poate fi întotdeauna implementată din cauza structurii complexe sau încă neexplorate a sistemului. De exemplu, în prezent nu se poate scrie ecuația de stare a unui corp deformabil, oricât de atent a fost studiat. Același lucru este valabil și pentru fenomenele mai complexe care apar într-un organism viu. În astfel de cazuri, așa-numitul macroscopic abordare fenomenologică (funcțională), în care nu se interesează structura detaliată a sistemului (de exemplu, structura microscopică a unui corp deformabil) și elementele acestuia, ci studiază funcționarea sistemului în ansamblu, care este considerat ca fiind o conexiune între intrare și ieșire. În general, această legătură poate fi arbitrară. Cu toate acestea, pentru fiecare clasă specifică de sisteme, se impun restricții generale asupra acestei conexiuni, iar efectuarea unui anumit minim de experimente poate fi suficientă pentru a clarifica această legătură în detaliul necesar.
Utilizarea unei abordări macroscopice este, așa cum sa menționat deja, în multe cazuri forțată. Cu toate acestea, chiar și crearea unei microteorii consistente a unui fenomen nu poate invalida complet macroteoria corespunzătoare, deoarece aceasta din urmă se bazează pe experiment și, prin urmare, este mai fiabilă. Microteoria, atunci când construiește un model al unui sistem, este întotdeauna forțată să facă unele ipoteze simplificatoare care duc la diferite tipuri de inexactități. De exemplu, toate ecuațiile de stare „microscopice”. gaz ideal(Ecuațiile Mendeleev-Clapeyron, van der Waals etc.) au discrepanțe de neînlăturat cu datele experimentale privind gazele reale. Ecuațiile „macroscopice” corespunzătoare bazate pe aceste date experimentale pot descrie comportamentul unui gaz real la fel de precis pe cât se dorește. Mai mult, abordarea micro este astfel doar la un anumit nivel - nivelul sistemului luat în considerare. La nivelul părților elementare ale sistemului, este încă o abordare macro, astfel încât microanaliza sistemului poate fi considerată ca o sinteză a acestuia. componente, analizat macroscopic.
Deoarece în prezent abordarea micro nu este încă capabilă să conducă la o ecuație de stare pentru un corp deformabil, este firesc să rezolvăm macroscopic această problemă. Vom adera la acest punct de vedere în viitor.
Deplasari si deformari
Un adevărat corp solid, lipsit de toate gradele de libertate (capacitatea de a se mișca în spațiu) și sub influența forțelor externe, deformat. Prin deformare înțelegem o modificare a formei și dimensiunii unui corp asociată cu mișcarea punctelor și elementelor individuale ale corpului. În rezistența materialelor sunt luate în considerare numai astfel de mișcări.
Există mișcări liniare și unghiulare ale punctelor și elementelor individuale ale corpului. Aceste mișcări corespund deformațiilor liniare și unghiulare (alungire relativă și deplasare relativă).
Deformările se împart în elastic, dispărând după ce sarcina este îndepărtată și rezidual.
Ipoteze despre un corp deformabil. Deformațiile elastice sunt de obicei (cel puțin în materialele structurale precum metale, beton, lemn etc.) nesemnificative, prin urmare sunt acceptate următoarele prevederi simplificatoare:
1. Principiul dimensiunilor initiale. În conformitate cu acesta, se acceptă că ecuațiile de echilibru pentru un corp deformabil pot fi compilate fără a se ține cont de modificările în forma și dimensiunea corpului, de exemplu. cât pentru un corp absolut rigid.
2. Principiul independenței acțiunii forțelor. În conformitate cu acesta, dacă unui corp este aplicat un sistem de forțe (mai multe forțe), atunci acțiunea fiecăruia dintre ele poate fi considerată independent de acțiunea altor forțe.
Tensiuni
Sub influența forțelor externe, în corp apar forțe interne, care sunt distribuite pe secțiunile corpului. Pentru a determina măsura forțelor interne în fiecare punct, se introduce conceptul Voltaj. Efortul este definit ca forța internă pe unitatea de suprafață a secțiunii transversale a unui corp. Fie ca un corp deformat elastic să fie într-o stare de echilibru sub acțiunea unui sistem de forțe externe (Fig. 1). printr-un punct (de exemplu, k), în care dorim să determinăm stresul, desenăm mental o secțiune arbitrară și aruncăm o parte a corpului (II) Pentru ca partea rămasă a corpului să fie în echilibru, trebuie aplicate forțe interne în locul celor aruncate. parte. Interacțiunea a două părți ale corpului are loc în toate punctele secțiunii transversale și, prin urmare, forțele interne acționează pe întreaga suprafață a secțiunii transversale. În vecinătatea punctului studiat, selectăm o zonă dA. Să notăm rezultanta forțelor interne pe această zonă dF. Atunci tensiunea din vecinătatea punctului va fi (prin definiție)
N/m2.
Tensiunea are dimensiunea forței împărțită la suprafață, N/m2.
Într-un punct dat al corpului, tensiunea are multe valori, în funcție de direcția secțiunilor, dintre care multe pot fi trase prin punct. Prin urmare, atunci când vorbim despre tensiune, este necesar să indicați secțiunea transversală.
În general, tensiunea este direcționată la un anumit unghi față de secțiune. Această tensiune totală poate fi descompusă în două componente:
1. Perpendicular pe plan secțiuni - tensiune normală s.
2. Culcat în planul secțiunii – efort de forfecare t.
Determinarea tensiunilor. Problema este rezolvată în trei etape.
1. Se trasează o secțiune prin punctul luat în considerare, în care se dorește determinarea tensiunii. O parte a corpului este aruncată și acțiunea sa este înlocuită cu forțe interne. Dacă întregul corp este în echilibru, atunci și restul corpului trebuie să fie în echilibru. Prin urmare, se pot întocmi ecuații de echilibru pentru forțele care acționează asupra părții corpului luate în considerare. Aceste ecuații vor include atât forțe interne (stresuri) externe, cât și forțe interne necunoscute. Prin urmare, le scriem sub formă
Primii termeni sunt sumele proiecțiilor și sumele momentelor tuturor forțelor externe care acționează asupra părții corpului rămase după secțiune, iar ceilalți termeni sunt sumele proiecțiilor și momentelor tuturor forțelor interne care acționează în secțiune. După cum sa menționat deja, aceste ecuații includ forțe interne necunoscute (stresuri). Cu toate acestea, pentru a le determina ecuațiile de statică nu suficient, deoarece altfel diferența dintre un corp absolut solid și unul deformabil dispare. Astfel, sarcina de a determina tensiunile este static nedeterminat.
2. Pentru alcătuirea unor ecuații suplimentare se iau în considerare deplasările și deformațiile corpului, în urma cărora se obține legea distribuției tensiunilor pe secțiune.
3. Prin rezolvarea împreună a ecuațiilor statice și a ecuațiilor de deformare se pot determina tensiuni.
Factori de putere. Să fim de acord să numim suma proiecțiilor și suma momentelor forțelor externe sau interne factori de putere. În consecință, factorii de forță din secțiunea luată în considerare sunt definiți ca suma proiecțiilor și suma momentelor tuturor forțelor externe situate pe o parte a acestei secțiuni. În același mod, factorii de forță pot fi determinați de forțele interne care acționează în secțiunea luată în considerare. Factorii de forță determinați de forțele externe și interne sunt egale ca mărime și opus ca semn. De obicei, în probleme se cunosc forțe externe prin care se determină factorii de forță, iar din aceștia se determină deja tensiunile.
Model de corp deformabil
În rezistența materialelor, se ia în considerare modelul unui corp deformabil. Se presupune că corpul este deformabil, continuu și izotrop. În rezistența materialelor, sunt luate în considerare în principal corpurile sub formă de tije (uneori plăci și cochilii). Acest lucru se explică prin faptul că în multe probleme practice diagrama de proiectare se reduce la o tijă dreaptă sau la un sistem de astfel de tije (ferme, rame).
Principalele tipuri de stare deformată a tijelor. O tijă (grindă) este un corp în care două dimensiuni sunt mici în comparație cu a treia (Fig. 15).
Să considerăm o tijă care se află în echilibru sub acțiunea forțelor aplicate acesteia, situată arbitrar în spațiu (Fig. 16).
Desenăm o secțiune 1-1 și aruncăm o parte a tijei. Să luăm în considerare echilibrul părții rămase. Vom folosi un sistem de coordonate dreptunghiular, a cărui origine va fi centrul de greutate al secțiunii transversale. Axă X direct de-a lungul tijei spre normala exterioară a secțiunii, axa YŞi Z– principalele axe centrale ale secțiunii. Folosind ecuații statice vom găsi factorii de forță
trei forțe
trei momente sau trei perechi de forţe
Astfel, în cazul general, în secțiunea transversală a tijei apar șase factori de forță. În funcție de natura forțelor externe care acționează asupra tijei, este posibil diverse tipuri deformarea tijei. Principalele tipuri de deformari ale tijei sunt întinderea, comprimare, schimbare, torsiune, îndoi. În consecință, cele mai simple scheme de încărcare arată astfel.
Tensiune-compresie. Forțele sunt aplicate de-a lungul axei tijei. După ce am aruncat partea dreaptă a tijei, evidențiem factorii de forță bazați pe forțele externe din stânga (Fig. 17)
Avem un factor diferit de zero - forța longitudinală F.
Construim o diagramă a factorilor de forță (diagrama).
Torsiunea tijei.În planurile secțiunilor de capăt ale tijei se aplică două perechi de forțe egale și opuse cu un moment M cr =T, numit cuplu (Fig. 18).
După cum puteți vedea, în secțiunea transversală a tijei răsucite există un singur factor de forță - momentul T = F h.
îndoire transversală. Este cauzată de forțe (concentrate și distribuite) perpendiculare pe axa grinzii și situate într-un plan care trece prin axa grinzii, precum și de perechi de forțe care acționează într-unul din planurile principale ale tijei.
Grinzile au suporturi, de ex. sunt corpuri nelibere, un suport tipic este un suport mobil cu balamale (Fig. 19).
Uneori se folosește o grindă cu un capăt încorporat și celălalt capăt liber - o grindă în consolă (Fig. 20).
Să luăm în considerare definiția factorilor de forță folosind exemplul din Fig. 21a. Mai întâi trebuie să găsiți reacțiile suporturilor R A și .
Prelegerea nr. 1
Rezistența materialelor ca disciplină științifică.
Scheme ale elementelor structurale și sarcinilor exterioare.
Ipoteze despre proprietățile materiale ale elementelor structurale.
Forțe și tensiuni interne
Metoda secțiunii
Mișcări și deformații.
Principiul suprapunerii.
Concepte de bază.
Rezistența materialelor ca disciplină științifică: rezistență, rigiditate, stabilitate. Diagrama de calcul, model fizic și matematic al funcționării unui element sau a unei părți dintr-o structură.
Scheme ale elementelor structurale și sarcinilor exterioare: cherestea, tijă, grindă, placă, carcasă, corp masiv.
Forțe externe: volumetrice, de suprafață, distribuite, concentrate; statica si dinamica.
Ipoteze despre proprietățile materialelor elementelor structurale: materialul este continuu, omogen, izotrop. Deformarea corpului: elastică, reziduală. Material: liniar elastic, neliniar elastic, elastoplastic.
Forțe și tensiuni interne: forțe interne, tensiuni normale și tangenţiale, tensor de tensiuni. Exprimarea forțelor interne în secțiunea transversală a tijei prin efort eu.
Metoda secțiunilor: determinarea componentelor forțelor interne în secțiunea transversală a unei tije din ecuațiile de echilibru ale părții separate.
Deplasari si deformatii: deplasarea punctului si componentele sale; deformații liniare și unghiulare, tensor de deformare.
Principiul suprapunerii: sisteme geometric liniare și geometric neliniare.
Rezistența materialelor ca disciplină științifică.
Disciplinele ciclului de rezistență: rezistența materialelor, teoria elasticității, mecanica structurală sunt unite sub denumirea generală „ Mecanica unui corp solid deformabil».
Rezistența materialelor este știința forței, rigidității și stabilității elemente structuri de inginerie.
Proiecta se obișnuiește să se numească un sistem mecanic de elemente neschimbabile din punct de vedere geometric, mișcarea relativă a punctelor ceea ce este posibil doar ca urmare a deformării sale.
Sub forța structurilor înțelegeți capacitatea lor de a rezista distrugerii - separarea în părți, precum și modificarea ireversibilă a formei sub influența sarcinilor externe .
Deformare este o schimbare poziţia relativă a particulelor corpului asociat cu mișcarea lor.
Rigiditate este capacitatea unui corp sau a unei structuri de a rezista la deformare.
Stabilitatea sistemului elastic numiți proprietatea sa de a reveni la o stare de echilibru după mici abateri de la această stare .
Elasticitate – aceasta este proprietatea unui material de a restabili complet forma geometrică și dimensiunile unui corp după îndepărtarea sarcinii externe.
Plastic - aceasta este proprietatea solidelor de a-și schimba forma și dimensiunea sub influența sarcinilor externe și de a o menține după îndepărtarea acestor sarcini. Mai mult, modificarea formei corpului (deformarea) depinde doar de sarcina externă aplicată și nu se întâmplă de la sine în timp.
Creep - aceasta este proprietatea solidelor de a se deforma sub influența unei sarcini constante (deformațiile cresc cu timpul).
Mecanica structurala numită știință despre metodele de calcul structuri pentru rezistență, rigiditate și stabilitate .
1.2 Scheme ale elementelor structurale și sarcinilor exterioare.
Model de design se obișnuiește să se numească un obiect auxiliar care înlocuiește structura reală, prezentată în forma cea mai generală.
Rezistența materialelor utilizează scheme de calcul.
Schema de calcul - aceasta este o imagine simplificată a unei structuri reale, care este eliberată de caracteristicile sale neesențiale, secundare și care acceptat pentru descriere matematică si calcul.
Printre principalele tipuri de elemente care schema de proiectareÎntreaga structură este subdivizată, incluzând: cherestea, tijă, placă, cochilie, corp masiv.
Orez. 1.1 Principalele tipuri de elemente structurale
cherestea este un corp rigid obținut prin deplasarea unei figuri plane de-a lungul unui ghidaj astfel încât lungimea acestuia să fie semnificativ mai mare decât celelalte două dimensiuni.
Lanseta numit fascicul drept, care lucrează în tensiune/compresiune (depășește semnificativ dimensiunile caracteristice secțiunii transversale h,b).
Se va numi locul geometric al punctelor care sunt centrele de greutate ale secțiunilor transversale axa tijei .
Placă - acesta este un corp a cărui grosime este semnificativ mai mică decât dimensiunile sale oŞi bîn plan.
Se numește o placă curbată natural (curba înainte de încărcare). coajă .
Corp masiv caracterizat prin faptul că toate dimensiunile sale o ,b, Și c au aceeasi ordine.
Orez. 1.2 Exemple de structuri cu tije.
Grinda numită grindă care experimentează îndoirea ca metodă principală de încărcare.
Fermoy numit un set de tije legate prin balamale .
Cadru – Acesta este un set de grinzi conectate rigid între ele.
Sarcinile externe sunt împărțite pe concentrat Şi distribuite .
Fig. 1.3 Schema schematică a funcționării grinzii macaralei.
Forță sau moment, care sunt considerate în mod convențional a fi aplicate la un punct, sunt numite concentrat .
Figura 1.4 Sarcini volumetrice, de suprafață și distribuite.
O sarcină care este constantă sau variază foarte lent în timp, când putem neglija vitezele și accelerațiile mișcării rezultate, numit static.
Se numește o sarcină care se schimbă rapid dinamic , calcul ținând cont de mișcarea oscilativă rezultată - calcul dinamic.
Ipoteze despre proprietățile materiale ale elementelor structurale.
În rezistența materialelor se folosește un material condiționat, dotat cu anumite proprietăți idealizate.
În fig. 1.5 prezintă trei diagrame de deformare caracteristice relaționând valorile forțelor F si deformare in timpul încărcareŞi descărcare.
Orez. 1.5 Diagrame caracteristice ale deformarii materialului
Deformarea totală constă din două componente: elastică și plastică.
Se numește partea din deformația totală care dispare după îndepărtarea sarcinii elastic .
Se numește deformația rămasă după descărcare rezidual sau plastic .
Elastic - material plastic - Acesta este un material care prezintă proprietăți elastice și plastice.
Un material în care apar doar deformații elastice se numește ideal elastic .
Dacă diagrama de deformare este exprimată printr-o relație neliniară, atunci materialul se numește elastic neliniar, dacă dependență liniară , apoi liniar elastic .
Vom lua în considerare în continuare materialul elementelor structurale continuu, omogen, izotrop și liniar elastic.
Proprietate continuitate înseamnă că materialul umple continuu întregul volum al elementului structural.
Proprietate uniformitate înseamnă că întregul volum de material are aceleași proprietăți mecanice.
Materialul se numește izotrop dacă acesta proprietăți mecanice identice în toate direcțiile (în caz contrar anizotrop ).
Corespondența materialului condiționat cu materialele reale se realizează prin introducerea unor caracteristici cantitative medii obținute experimental ale proprietăților mecanice ale materialelor în calculul elementelor structurale.
1.4 Forțe și tensiuni interne
Forțele interioare – creșterea forțelor de interacțiune între particulele unui corp care apar atunci când este încărcat .
Orez. 1.6 Tensiuni normale și forfecare într-un punct
Corpul este disecat printr-un plan (Fig. 1.6 a) iar în această secțiune la punctul luat în considerare M este selectată o zonă mică, orientarea ei în spațiu este determinată de normal n. Notăm forța rezultantă pe site cu . Medie Vom determina intensitatea la fața locului folosind formula. Definim intensitatea forțelor interne într-un punct ca limită
(1.1) Se numește intensitatea forțelor interne transmise într-un punct printr-o zonă selectată tensiune pe acest site .
Dimensiunea tensiunii .
Vectorul determină tensiunea totală la un loc dat. Să-l descompunem în componente (Fig. 1.6 b) astfel încât , unde și respectiv – normal Şi tangentă stres pe zona cu normalul n.
La analiza tensiunilor din vecinătatea punctului luat în considerare M(Fig. 1.6 c) selectați un element infinitezimal în formă de paralelipiped cu laturile dx, dy, dz (se execută 6 secțiuni). Tensiunile totale care acţionează asupra feţelor sale sunt descompuse în tensiuni normale şi două tangenţiale. Ansamblul tensiunilor care actioneaza asupra fetelor este prezentat sub forma unei matrice (tabel), care se numeste tensor de stres
Primul indice este tensiunea, de exemplu , arată că acţionează pe o zonă cu o paralelă normală cu axa x, iar al doilea arată că vectorul de stres este paralel cu axa y. Pentru tensiune normală, ambii indici coincid, deci se utilizează un singur indice.
Factorii de forță în secțiunea transversală a tijei și exprimarea lor prin efort.
Să luăm în considerare secțiunea transversală a tijei încărcate (Fig. 1.7a). Să reducem forțele interne distribuite pe secțiune la vectorul principal R, aplicat la centrul de greutate al secțiunii și momentul principal M. Apoi, le descompunem în șase componente: trei forțe N,Qy,Qz și trei momente Mx,My,Mz, numite forțe interne în secțiunea transversală.
Orez. 1.7 Forțe și tensiuni interne în secțiunea transversală a tijei.
Componentele vectorului principal și momentul principal al forțelor interne distribuite pe secțiune se numesc forțe interne în secțiune ( N- forță longitudinală ; Qy,Qz- forțe tăietoare , Mz, al meu- momente de încovoiere , Mx- cuplu) .
Să exprimăm forțele interne în termeni de tensiuni care acționează în secțiune transversală, presupunând că sunt cunoscute în fiecare punct(Fig. 1.7, c)
Exprimarea eforturilor interne prin tensiune eu.
(1.3)
1.5 Metoda secțiunii
Când forțele externe acționează asupra unui corp, acesta se deformează. În consecință, aranjarea relativă a particulelor corpului se modifică; Ca rezultat, apar forțe suplimentare de interacțiune între particule. Aceste forțe de interacțiune într-un corp deformat sunt eforturi interne. Este necesar să se poată determina sensul şi direcţia eforturilor interne prin forţe externe care acţionează asupra corpului. În acest scop este folosit
metoda secțiunii.
Orez. 1.8 Determinarea forțelor interne prin metoda secțiunii.
Ecuații de echilibru pentru partea rămasă a tijei.
Din ecuațiile de echilibru determinăm forțele interne în secțiunea a-a.
1.6 Mișcări și deformații. M Sub influența forțelor externe, corpul este deformat, adică. îşi modifică dimensiunea şi forma (Fig. 1.9). Un punct arbitrar
se mută într-o nouă poziție M 1. Deplasarea totală MM 1 va fi
se descompune în componente u, v, w, paralele cu axele de coordonate.
Dar mișcarea unui punct dat nu caracterizează încă gradul de deformare a elementului material în acest punct ( exemplu de îndoire a unei grinzi cu o consolă) .
Să introducem conceptul deformații la un punct ca măsură cantitativă a deformării materialului în vecinătatea acestuia . Să selectăm un paralelipiped elementar în vecinătatea T.M (Fig. 1.10). Datorită deformării lungimii nervurilor sale, acestea vor primi alungire.
Figura 1.10 Deformații liniare și unghiulare ale unui element material.
Deformații relative liniare într-un punct va fi definit astfel():
Pe lângă deformațiile liniare, deformatii unghiulare sau unghiuri de forfecare, reprezentând mici modificări ale unghiurilor iniţial drepte ale paralelipipedului(de exemplu, în planul xy ar fi ). Unghiurile de forfecare sunt foarte mici și de ordinul mărimii.
Reducem deformațiile relative introduse într-un punct într-o matrice
. (1.6)
Valorile (1.6) determină cantitativ deformarea materialului în vecinătatea unui punct și constituie tensorul de deformare.
Principiul suprapunerii.
Un sistem în care forțele interne, tensiunile, deformațiile și deplasările sunt direct proporționale cu sarcina care acționează se numește deformabil liniar (materialul acționează ca elastic liniar).
Limitată de două suprafețe curbate, distanța...
Definiția 1
Mecanica corpului rigid este o ramură largă a fizicii care studiază mișcarea unui corp solid sub influența factorilor și forțelor externe.
Figura 1. Mecanica solidelor. Avtor24 - schimb online de lucrări ale studenților
Dat direcție științifică acoperă o gamă foarte largă de probleme din fizică - studiază diverse obiecte, precum și pe cele mai mici particule elementare substante. În aceste cazuri limitative, concluziile mecanicii sunt pur interes teoretic, al cărui subiect este și proiectarea multor modele și programe fizice.
Astăzi, există 5 tipuri de mișcare ale unui corp rigid:
- mișcare înainte;
- mișcare plan-paralelă;
- mișcare de rotație în jurul unei axe fixe;
- rotație în jurul unui punct fix;
- mișcare uniformă liberă.
Orice mișcare complexă a unei substanțe materiale poate fi în cele din urmă redusă la o combinație de mișcări de rotație și translație. Fundamentală și importantă pentru întreg acest subiect este mecanica mișcării corpului rigid, care implică descriere matematică modificări probabile ale mediului și dinamicii, care ia în considerare mișcarea elementelor sub influența forțelor date.
Caracteristicile mecanicii solide
Un corp solid care preia sistematic o varietate de orientări în orice spațiu poate fi considerat a fi format dintr-un număr mare de puncte materiale. Este simplu metoda matematica, care ajută la extinderea aplicabilității teoriilor mișcării particulelor, dar nu are nimic de-a face cu teoria structura atomica substanta reala. Întrucât punctele materiale ale corpului studiat vor fi îndreptate spre directii diferite cu viteze diferite, este necesar să se aplice o procedură de însumare.
În acest caz, nu este dificil să se determine energia cinetică a cilindrului dacă parametrul care se rotește în jurul unui vector staționar cu viteză unghiulară este cunoscut dinainte. Momentul de inerție poate fi calculat prin integrare, iar pentru un obiect omogen, echilibrul tuturor forțelor este posibil dacă placa nu s-a deplasat, prin urmare, componentele mediului îndeplinesc condiția de stabilitate vectorială. Ca urmare, relația derivată în etapa inițială de proiectare este îndeplinită. Ambele principii formează baza teoriei mecanicii structurale și sunt necesare în construcția de poduri și clădiri.
Cele de mai sus pot fi generalizate în cazul în care nu există linii fixe și corpul fizic se rotește liber în orice spațiu. Într-un astfel de proces, există trei momente de inerție legate de „axele cheie”. Postulate în mecanică solid sunt simplificate dacă folosim notația existentă de analiză matematică, care presupune trecerea la limita $(t → t0)$, deci nu este nevoie să ne gândim constant la modul de rezolvare a acestei probleme.
Este interesant că Newton a fost primul care a aplicat principiile calculului integral și diferențial pentru a rezolva probleme fizice complexe, iar dezvoltarea ulterioară a mecanicii ca știință complexă a fost opera unor matematicieni remarcabili precum J. Lagrange, L. Euler, P. . Laplace şi C. Jacobi. Fiecare dintre acești cercetători a găsit în predarea lui Newton o sursă de inspirație pentru cercetarea lor matematică universală.
Moment de inerție
Când studiază rotația unui corp rigid, fizicienii folosesc adesea conceptul de moment de inerție.
Definiția 2
Se numește momentul de inerție al unui sistem (corp material) față de axa de rotație mărime fizică, care este egal cu suma produselor indicatorilor punctelor sistemului și a pătratelor distanțelor acestora față de vectorul în cauză.
Însumarea se realizează peste toate masele elementare în mișcare în care este împărțit corpul fizic. Dacă momentul de inerție al obiectului studiat în raport cu axa care trece prin centrul său de masă este inițial cunoscut, atunci întregul proces față de orice altă linie paralelă este determinat de teorema lui Steiner.
Teorema lui Steiner afirmă: momentul de inerție al unei substanțe față de vectorul de rotație este egal cu momentul modificării acesteia față de o axă paralelă care trece prin centrul de masă al sistemului, obținut prin înmulțirea masei corpului cu pătratul distanței dintre linii.
Când un corp absolut rigid se rotește în jurul unui vector fix, fiecare punct individual se mișcă de-a lungul unui cerc de rază constantă cu o anumită viteză, iar impulsul intern este perpendicular pe această rază.
Deformarea corpului solid
Figura 2. Deformarea unui corp solid. Avtor24 - schimb online de lucrări ale studenților
Când luăm în considerare mecanica corpului rigid, este adesea folosit conceptul de corp absolut rigid. Cu toate acestea, astfel de substanțe nu există în natură, deoarece toate obiectele reale, sub influența forțelor externe, își schimbă dimensiunea și forma, adică sunt deformate.
Definiția 3
Deformarea se numește permanentă și elastică dacă, după încetarea influenței factorilor străini, organismul revine la parametrii inițiali.
Deformațiile care rămân într-o substanță după încetarea interacțiunii forțelor se numesc reziduale sau plastice.
Deformațiile unui corp real absolut în mecanică sunt întotdeauna plastice, deoarece nu dispar niciodată complet după încetarea influenței suplimentare. Cu toate acestea, dacă modificările reziduale sunt mici, atunci ele pot fi ignorate și pot fi studiate mai multe deformații elastice. Toate tipurile de deformare (compresie sau tensiune, încovoiere, torsiune) pot fi reduse în cele din urmă la transformări care au loc simultan.
Dacă forța se mișcă strict normal pe o suprafață plană, efortul se numește normal, dar dacă se mișcă tangențial la mediu, se numește tangențial.
O măsură cantitativă care caracterizează deformarea caracteristică experimentată de un corp material este modificarea relativă a acestuia.
Dincolo de limita elastică, deformațiile reziduale apar într-un solid și un grafic care descrie în detaliu revenirea substanței la starea inițială după încetarea definitivă a forței este reprezentat nu pe curbă, ci paralel cu aceasta. Diagrama tensiunii pe bune corpuri fizice depinde direct de diverși factori. Același obiect poate, în cazul unei expuneri pe termen scurt la forțe, să se manifeste ca fiind complet fragil, dar sub influență pe termen lung, poate deveni permanent și fluid.
CONCEPTE DE BAZĂ ALE MECANICII
SOLID DEFORMABILE
Acest capitol prezintă concepte de bază predate anterior în cursurile de fizică, mecanică teoretică și rezistența materialelor.
1.1. Subiect de mecanică a solidelor deformabile
Mecanica unui corp solid deformabil este știința echilibrului și mișcării corpurilor solide și a particulelor lor individuale, ținând cont de modificările distanțelor dintre punctele individuale ale corpului care apar ca urmare a influențelor externe asupra corpului solid. Mecanica unui solid deformabil se bazează pe legile mișcării descoperite de Newton, deoarece viteza de mișcare a corpurilor solide reale și a particulelor lor individuale unul față de celălalt este semnificativ mai mică decât viteza luminii. Spre deosebire de mecanica teoretică, aici sunt luate în considerare modificările distanțelor dintre particulele individuale ale unui corp. Această din urmă împrejurare impune anumite restricții asupra principiilor mecanicii teoretice. În special, în mecanica unui corp solid deformabil, transferul punctelor de aplicare a forțelor și momentelor externe este inacceptabil.
Analiza comportării solidelor deformabile sub influența forțelor externe se realizează pe baza unor modele matematice care reflectă cele mai esențiale proprietăți ale corpurilor deformabile și ale materialelor din care sunt realizate. În acest caz, pentru a descrie proprietățile materialului, se folosesc rezultatele studiilor experimentale, care au servit drept bază pentru crearea modelelor materialului. În funcție de modelul materialului, mecanica unui solid deformabil este împărțită în secțiuni: teoria elasticității, teoria plasticității, teoria fluajului și teoria vâscoelasticității. La rândul său, mecanica unui solid deformabil face parte dintr-o parte mai generală a mecanicii - mecanica continuului. Mecanica continuumului, fiind o ramură a fizicii teoretice, studiază legile mișcării mediilor solide, lichide și gazoase, precum și a plasmei și a câmpurilor fizice continue.
Dezvoltarea mecanicii solidelor deformabile este în mare parte asociată cu sarcinile de a crea structuri și mașini fiabile. Fiabilitatea structurii și a mașinii, precum și fiabilitatea tuturor elementelor acestora, este asigurată de rezistență, rigiditate, stabilitate și rezistență pe toată durata de viață. Rezistența este înțeleasă ca fiind capacitatea unei structuri (mașini) și a tuturor elementelor sale (ale sale) de a-și menține integritatea sub influențe externe fără a se diviza în părți neprevăzute anterior. Dacă rezistența este insuficientă, structura sau elementele sale individuale sunt distruse prin împărțirea întregului în părți. Rigiditatea unei structuri este determinată de măsura modificării formei și dimensiunii structurii și a elementelor sale sub influențe externe. Dacă modificările formei și dimensiunii unei structuri și ale elementelor sale nu sunt mari și nu interferează cu funcționarea normală, atunci o astfel de structură este considerată suficient de rigidă. În caz contrar, rigiditatea este considerată insuficientă. Stabilitatea unei structuri se caracterizează prin capacitatea structurii și a elementelor sale de a-și menține forma de echilibru sub acțiunea unor forțe aleatorii neprevăzute de condițiile de funcționare (forțe perturbatoare). O structură este într-o stare stabilă dacă, după îndepărtarea forțelor perturbatoare, revine la forma sa inițială de echilibru. În caz contrar, are loc o pierdere a stabilității formei originale de echilibru, care, de regulă, este însoțită de distrugerea structurii. Rezistenta se refera la capacitatea unei structuri de a rezista efectelor fortelor care variaza in timp. Forțele variabile provoacă creșterea fisurilor microscopice în interiorul materialului structurii, ceea ce poate duce la distrugerea elementelor structurale și a structurii în ansamblu. Prin urmare, pentru a preveni distrugerea, este necesar să se limiteze amploarea forțelor care variază în timp. In plus, frecvente joase Vibrațiile naturale ale structurii și ale elementelor sale nu trebuie să coincidă (sau să fie apropiate) de frecvențele de vibrație ale forțelor externe. În caz contrar, structura sau elementele sale individuale intră în rezonanță, ceea ce poate provoca distrugerea și defecțiunea structurii.
Marea majoritate a cercetării în domeniul mecanicii solide vizează crearea de structuri și mașini fiabile. Aceasta include proiectarea structurilor și mașinilor și problemelor procese tehnologice prelucrarea materialelor. Însă domeniul de aplicare al mecanicii unui solid deformabil nu se limitează doar la științele tehnice. Metodele ei sunt utilizate pe scară largă în stiintele naturii, cum ar fi geofizica, fizica stării solide, geologia, biologia. Astfel, în geofizică, cu ajutorul mecanicii unui solid deformabil, procesele de propagare a undelor seismice și procesele de formare. scoarta terestra, sunt studiate întrebări fundamentale ale structurii scoarței terestre etc.
1.2. Proprietățile generale ale solidelor
Toate solidele sunt realizate din materiale reale care au o mare varietate de proprietăți. Dintre acestea, doar câteva au o importanță semnificativă pentru mecanica unui solid deformabil. Prin urmare, materialul este înzestrat numai cu acele proprietăți care fac posibilă studierea comportării solidelor în cadrul științei în cauză la cel mai mic cost.
Mecanica solidelor deformabile este o știință care studiază legile echilibrului și mișcării solidelor în condițiile deformării lor sub diferite influențe. Deformarea unui corp solid înseamnă că dimensiunea și forma acestuia se schimbă. Un inginer întâlnește constant această proprietate a solidelor ca elemente ale structurilor, structurilor și mașinilor în activitățile sale practice. De exemplu, o tijă se alungește sub acțiunea forțelor de tracțiune, o grindă încărcată cu o sarcină transversală se îndoaie etc.
Sub acțiunea sarcinilor, precum și a influențelor termice, în corpurile solide apar forțe interne, care caracterizează rezistența corpului la deformare. Se numesc forțele interne pe unitatea de suprafață stresuri.
Studiul stărilor tensionate și deformate ale solidelor sub diferite influențe este sarcina principală a mecanicii unui solid deformabil.
Rezistența materialelor, teoria elasticității, teoria plasticității, teoria fluajului sunt secțiuni ale mecanicii solidelor deformabile. În universități tehnice, în special construcții, aceste secțiuni sunt de natură aplicată și servesc la dezvoltarea și fundamentarea metodelor de calcul al structurilor și structurilor inginerești pe rezistență, rigiditateŞi durabilitate. Decizia corectă acestor sarcini stă la baza calculului și proiectării structurilor, mașinilor, mecanismelor etc., deoarece asigură fiabilitatea acestora pe toată perioada de funcționare.
Sub rezistenţă de obicei înțeles ca abilitate munca sigura structuri, structuri și elementele lor individuale, ceea ce ar exclude posibilitatea distrugerii lor. Pierderea (epuizarea) forței este prezentată în Fig. 1.1 folosind exemplul de distrugere a fasciculului sub forță R.
Procesul de epuizare a rezistenței fără a modifica modelul de funcționare al unei structuri sau forma echilibrului acesteia este de obicei însoțit de o creștere a fenomenelor caracteristice, cum ar fi apariția și dezvoltarea fisurilor.
Stabilitatea structurii - aceasta este capacitatea sa de a menține forma originală de echilibru până la distrugere. De exemplu, pentru tija din Fig. 1.2, O la o anumită valoare forța de compresiune, forma rectilinie inițială a echilibrului va fi stabilă. Dacă forța depășește o anumită valoare critică, atunci starea curbată a tijei va fi stabilă (Fig. 1.2, b).În acest caz, tija va funcționa nu numai la compresie, ci și la îndoire, ceea ce poate duce la distrugerea sa rapidă din cauza pierderii stabilității sau la apariția unor deformații inacceptabil de mari.
Flambarea este foarte periculoasă pentru structuri și structuri, deoarece poate apărea într-o perioadă scurtă de timp.
Rigiditate structuralăîşi caracterizează capacitatea de a preveni dezvoltarea deformaţiilor (alungiri, deformări, unghiuri de răsucire etc.). De obicei, rigiditatea structurilor și structurilor este reglementată de standardele de proiectare. De exemplu, deviațiile maxime ale grinzilor (Fig. 1.3) utilizate în construcție ar trebui să fie în /= (1/200 + 1/1000)/, unghiurile de răsucire ale arborilor de obicei nu depășesc 2° pe 1 metru de lungime a arborelui , etc.
Rezolvarea problemelor de fiabilitate structurală este însoțită de căutarea celor mai multe optiuni optime din punct de vedere al eficienţei exploatării sau exploatării structurilor, consumului de materiale, fabricabilităţii construcţiei sau fabricaţiei, esteticii percepţiei etc.
Rezistența materialelor în universitățile tehnice este în esență prima disciplină de inginerie din procesul de învățare în domeniul proiectării și calculului structurilor și mașinilor. Cursul de rezistență a materialelor acoperă în principal metode de calcul cele mai simple elemente structurale- tije (grinzi, grinzi). Totodată, sunt introduse diverse ipoteze simplificatoare, cu ajutorul cărora se derivă formule simple de calcul.
În domeniul rezistenței materialelor, sunt utilizate pe scară largă metodele de mecanică teoretică și matematică superioară, precum și datele experimentale. Rezistența materialelor ca disciplină de bază se bazează foarte mult pe studenții de licență, cum ar fi mecanica structurală, structuri de construcție, testarea structurilor, dinamica și rezistența mașinilor etc.
Teoria elasticității, teoria fluajului și teoria plasticității sunt secțiunile cele mai generale ale mecanicii unui solid deformabil. Ipotezele introduse în aceste secțiuni sunt de natură generală și privesc în principal comportamentul materialului corpului în timpul deformării acestuia sub influența sarcinii.
În teoriile elasticității, plasticității și fluajului, cele mai precise sau suficient de precise metode stricte rezolvarea analitică a problemelor, care necesită implicarea unor ramuri speciale ale matematicii. Rezultatele obţinute aici fac posibilă furnizarea de metode pentru calcularea elementelor structurale mai complexe, cum ar fi plăci şi cochilii, pentru a dezvolta metode de rezolvare a unor probleme speciale, cum ar fi problema concentrării tensiunilor în apropierea găurilor, şi pentru a stabili zone de utilizare pentru soluţii la rezistența materialelor.
În cazurile în care mecanica unui solid deformabil nu poate oferi metode de calcul a structurilor suficient de simple și accesibile practicii inginerești, se folosesc diverse metode experimentale pentru a determina tensiunile și deformațiile în structurile reale sau în modelele acestora (de exemplu, metoda extensometrului). , metoda optică de polarizare, holografia etc.).
Formarea rezistenței materialelor ca știință poate fi datată de la mijlocul secolului trecut, care a fost asociată cu dezvoltarea intensivă a industriei și construcția de căi ferate.
Solicitările practicate de inginerie au dat impuls cercetărilor în domeniul rezistenței și fiabilității structurilor, structurilor și mașinilor. Oamenii de știință și inginerii în această perioadă s-au dezvoltat suficient metode simple calculul elementelor structurale și a pus bazele dezvoltare ulterioară stiinta fortei.
Teoria elasticității a început să se dezvolte la începutul secolului al XIX-lea ca o știință matematică care nu avea natură aplicată. Teoria plasticității și teoria fluajului ca secțiuni independente ale mecanicii solidelor deformabile s-au format în secolul al XX-lea.
Mecanica solidelor deformabile este o știință în continuă dezvoltare în toate ramurile sale. Sunt dezvoltate noi metode pentru determinarea stărilor tensionate și deformate ale corpurilor. Au devenit utilizate pe scară largă diverse metode numerice de rezolvare a problemelor, ceea ce este asociat cu introducerea și utilizarea computerelor în aproape toate domeniile științei și practicii ingineriei.
