Logaritm. logaritmul natural

Sunt date principalele proprietăți ale logaritmului natural, graficul, domeniul de definire, mulțimea de valori, formulele de bază, derivata, integrala, expansiunea într-o serie de puteri și reprezentarea funcției ln x prin intermediul numerelor complexe.

Definiție

logaritmul natural este funcția y = ln x, invers exponentului, x \u003d e y , și care este logaritmul la baza numărului e: ln x = log e x.

Logaritmul natural este utilizat pe scară largă în matematică deoarece derivata sa are cea mai simplă formă: (ln x)′ = 1/ x.

Bazat definiții, baza logaritmului natural este numărul e:
e ≅ 2,718281828459045...;
.

Graficul funcției y = ln x.

Graficul logaritmului natural (funcțiile y = ln x) se obține din graficul exponentului reflexie în oglindă relativ la dreapta y = x .

Logaritmul natural este definit pentru valorile pozitive ale lui x. Ea crește monoton pe domeniul său de definire.

Ca x → 0 limita logaritmului natural este minus infinitul ( - ∞ ).

Ca x → + ∞, limita logaritmului natural este plus infinitul ( + ∞ ). Pentru x mare, logaritmul crește destul de lent. Orice funcție de putere x a cu exponent pozitiv a crește mai repede decât logaritmul.

Proprietățile logaritmului natural

Domeniu de definire, set de valori, extrema, crestere, scadere

Logaritmul natural este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme. Principalele proprietăți ale logaritmului natural sunt prezentate în tabel.

ln x valori

log 1 = 0

Formule de bază pentru logaritmi naturali

Formule care rezultă din definiția funcției inverse:

Principala proprietate a logaritmilor și consecințele acesteia

Formula de înlocuire a bazei

Orice logaritm poate fi exprimat în termeni de logaritmi naturali folosind formula de schimbare a bazei:

Demonstrațiile acestor formule sunt prezentate în secțiunea „Logaritm”.

Funcție inversă

Reciproca logaritmului natural este exponentul.

Daca atunci

Daca atunci .

Derivată ln x

Derivată a logaritmului natural:
.
Derivată a logaritmului natural al modulo x:
.
Derivată de ordinul al n-lea:
.
Derivarea formulelor > > >

Integral

Integrala se calculează prin integrare pe părți:
.
Asa de,

Expresii în termeni de numere complexe

Considerăm o funcție a unei variabile complexe z:
.
Să exprimăm variabila complexă z prin modul r si argument φ :
.
Folosind proprietățile logaritmului, avem:
.
Sau
.
Argumentul φ nu este definit în mod unic. Dacă punem
, unde n este un număr întreg,
atunci va fi același număr pentru n diferit.

Prin urmare, logaritmul natural, în funcție de o variabilă complexă, nu este o funcție cu o singură valoare.

Extinderea seriei de putere

Pentru , expansiunea are loc:

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți ai instituțiilor de învățământ superior, Lan, 2009.

ia adesea un număr e = 2,718281828 . Logaritmii din această bază se numesc natural. Când se efectuează calcule cu logaritmi naturali, este obișnuit să se opereze cu semnul ln, dar nu Buturuga; în timp ce numărul 2,718281828 , definind baza, nu indica.

Cu alte cuvinte, formularea va arăta astfel: logaritmul natural numere X este exponentul la care se ridică numărul e, A obtine X.

Asa de, ln(7.389...)= 2 pentru că e 2 =7,389... . Logaritmul natural al numărului însuși e= 1 deoarece e 1 =e, și logaritmul natural al unității zero, deoarece e 0 = 1.

Numărul în sine e definește limita unei secvențe mărginite monotone

calculat că e = 2,7182818284... .

Destul de des, pentru a fixa un număr în memorie, cifrele numărului necesar sunt asociate cu o dată restantă. Viteza de memorare a primelor nouă cifre ale unui număr e după punctul zecimal va crește dacă observați că 1828 este anul nașterii lui Lev Tolstoi!

Până în prezent, există tabele destul de complete de logaritmi naturali.

grafic log natural(funcții y=ln x) este o consecință a graficului exponentului ca imagine în oglindă în raport cu linia dreaptă y = x si arata ca:

Logaritmul natural poate fi găsit pentru fiecare număr real pozitiv A ca aria de sub curbă y = 1/X din 1 inainte de A.

Caracterul elementar al acestei formulări, care se potrivește cu multe alte formule în care este implicat logaritmul natural, a fost motivul formării denumirii „naturale”.

Dacă analizăm logaritmul natural, ca functie reala a unei variabile reale, atunci actioneaza funcție inversă la o funcție exponențială, care se reduce la identitățile:

ln(a)=a (a>0)

ln(e a)=a

Prin analogie cu toți logaritmii, logaritmul natural transformă înmulțirea în adunare, împărțirea în scădere:

ln(X y) = ln(X) + ln(y)

ln(x/y)= lnx - lny

Logaritmul poate fi găsit pentru fiecare bază pozitivă care nu este egală cu unu, nu doar pentru e, dar logaritmii pentru alte baze diferă de logaritmul natural doar printr-un factor constant și sunt de obicei definiți în termeni de logaritmul natural.

După ce a analizat grafic log natural, obținem că există pentru valori pozitive ale variabilei X. Ea crește monoton pe domeniul său de definire.

La X → 0 limita logaritmului natural este minus infinitul ( -∞ ).La x → +∞ limita logaritmului natural este plus infinitul ( + ∞ ). În mare X logaritmul crește destul de lent. Orice funcție de putere x a cu exponent pozitiv A crește mai repede decât logaritmul. Logaritmul natural este o funcție crescătoare monoton, deci nu are extreme.

Utilizare logaritmi naturali foarte raţional în trecerea la matematică superioară. Astfel, utilizarea logaritmului este convenabilă pentru găsirea răspunsului la ecuațiile în care necunoscutele apar ca exponent. Utilizarea logaritmilor naturali în calcule face posibilă facilitarea mult un numar mare de formule matematice. logaritmi de bază e sunt prezente în rezolvarea unui număr semnificativ de probleme fizice și sunt incluse în mod natural în descriere matematică procese chimice, biologice și alte procese individuale. Astfel, logaritmii sunt utilizați pentru a calcula constanta de dezintegrare pentru un timp de înjumătățire cunoscut sau pentru a calcula timpul de dezintegrare în rezolvarea problemelor de radioactivitate. Ei performează în rol principalîn multe ramuri ale matematicii și științelor practice, acestea sunt utilizate în domeniul finanțelor pentru a rezolva un număr mare de probleme, inclusiv în calculul dobânzii compuse.

Logaritmul unui număr pozitiv b la baza a (a>0, a nu este egal cu 1) este un număr c astfel încât a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Rețineți că logaritmul unui număr nepozitiv nu este definit. De asemenea, baza logaritmului trebuie să fie un număr pozitiv, nu egal cu 1. De exemplu, dacă pătratăm -2, obținem numărul 4, dar asta nu înseamnă că baza -2 logaritmului lui 4 este 2.

Identitatea logaritmică de bază

Este important ca domeniile de definire ale părților din dreapta și din stânga acestei formule să fie diferite. Partea stanga este definită numai pentru b>0, a>0 și a ≠ 1. Partea dreaptă este definită pentru orice b și nu depinde deloc de a. Astfel, aplicarea „identității” logaritmice de bază în rezolvarea ecuațiilor și inegalităților poate duce la o modificare a DPV.

Două consecințe evidente ale definiției logaritmului

Într-adevăr, când ridicăm numărul a la prima putere, obținem același număr, iar când îl ridicăm la puterea zero, obținem unul.

Logaritmul produsului și logaritmul coeficientului

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Aș dori să îi avertizez pe școlari împotriva folosirii necugetate a acestor formule atunci când rezolvă ecuații și inegalități logaritmice. Când sunt folosite „de la stânga la dreapta”, ODZ se îngustează, iar când se trece de la suma sau diferența de logaritmi la logaritmul produsului sau al coeficientului, ODZ se extinde.

Într-adevăr, expresia log a (f (x) g (x)) este definită în două cazuri: când ambele funcții sunt strict pozitive sau când f(x) și g(x) sunt ambele mai mici decât zero.

Transformând această expresie în suma log a f (x) + log a g (x) , suntem forțați să ne restrângem doar la cazul în care f(x)>0 și g(x)>0. Există o restrângere a intervalului de valori admisibile, iar acest lucru este categoric inacceptabil, deoarece poate duce la pierderea soluțiilor. O problemă similară există pentru formula (6).

Gradul poate fi scos din semnul logaritmului

Și din nou aș dori să fac apel la acuratețe. Luați în considerare următorul exemplu:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Partea stângă a egalității este în mod evident definită pentru toate valorile lui f(x), cu excepția zero. Partea dreaptă este doar pentru f(x)>0! Luând puterea din logaritm, restrângem din nou ODZ. Procedura inversă duce la o extindere a intervalului de valori admisibile. Toate aceste observații se aplică nu numai puterii lui 2, ci și oricărei puteri par.

Formula pentru mutarea la o nouă bază

Acel caz rar în care ODZ nu se schimbă în timpul conversiei. Dacă ați ales cu înțelepciune baza c (pozitivă și nu egală cu 1), formula pentru trecerea la o nouă bază este perfect sigură.

Dacă alegem numărul b ca bază nouă c, obținem un important caz special formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Câteva exemple simple cu logaritmi

Exemplul 1 Calculați: lg2 + lg50.
Soluţie. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Am folosit formula pentru suma logaritmilor (5) și definiția logaritmului zecimal.

Exemplul 2 Calculați: lg125/lg5.
Soluţie. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Am folosit noua formulă de tranziție de bază (8).

Tabel de formule legate de logaritmi

logaritm al unui număr dat se numește exponentul la care trebuie ridicat un alt număr, numit bază logaritm pentru a obține numărul dat. De exemplu, logaritmul numărului 100 la baza 10 este 2. Cu alte cuvinte, 10 trebuie să fie pătrat pentru a obține numărul 100 (10 2 = 100). Dacă n- un număr dat, b- fundație și l este logaritmul, atunci bl = n. Număr n numit și antilogaritmul de bază b numere l. De exemplu, antilogaritmul de la 2 la baza 10 este 100. Acesta poate fi scris ca log b n = lși antilog b l = n.

Principalele proprietăți ale logaritmilor:

Orice număr pozitiv, altul decât unu, poate fi baza logaritmilor, dar, din păcate, se dovedește că dacă bȘi n sunt numere raționale, atunci în cazuri rare există un astfel de număr rațional l, Ce bl = n. Cu toate acestea, este posibil să se definească număr irațional l, de exemplu, astfel încât 10 l= 2; este un număr irațional l poate fi aproximată cu orice precizie necesară numere rationale. Se dovedește că în acest exemplu l este de aproximativ 0,3010, iar acest logaritm aproximativ de bază 10 de 2 poate fi găsit în tabelele cu patru cifre ale logaritmilor zecimal. Logaritmii de bază 10 (sau logaritmii zecimal) sunt folosiți atât de des în calcule încât sunt numiți comun logaritmi și scris ca log2 = 0,3010 sau log2 = 0,3010, omițând indicarea explicită a bazei logaritmului. logaritmi de bază e, un număr transcendental aproximativ egal cu 2,71828, se numesc natural logaritmi. Ele apar în principal în lucrările de analiză matematică și aplicațiile acesteia la diverse stiinte. Logaritmii naturali se scriu, de asemenea, fără a indica în mod explicit baza, dar folosind notația specială ln: de exemplu, ln2 = 0,6931, deoarece e 0,6931 = 2.

Folosind tabele de logaritmi obișnuiți.

Logaritmul obișnuit al unui număr este exponentul la care trebuie să ridicați 10 pentru a obține numărul dat. Deoarece 10 0 = 1, 10 1 = 10 și 10 2 = 100, obținem imediat acel log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 și așa mai departe. pentru creșterea puterilor întregi de 10. În mod similar, 10 -1 = 0,1, 10 -2 = 0,01 și, prin urmare, log0,1 = -1, log0,01 = -2 și așa mai departe. pentru toate puterile întregi negative de 10. Logaritmii obișnuiți ai numerelor rămase sunt încadrați între logaritmii celor mai apropiate puteri întregi de 10; log2 trebuie să fie cuprins între 0 și 1, log20 între 1 și 2 și log0,2 între -1 și 0. Astfel, logaritmul are două părți, un întreg și fracție zecimalăîntre 0 și 1. Se numește partea întreagă caracteristică logaritm și este determinată de numărul însuși, se numește partea fracțională mantisași pot fi găsite din tabele. De asemenea, log20 = log(2´10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Logaritmul lui 2 este 0,3010, deci log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. În mod similar, log0,2 = log(2ё10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0,3010 - 1. Prin scădere, obținem log0,2 = -0,6990. Cu toate acestea, este mai convenabil să reprezentați log0,2 ca 0,3010 - 1 sau ca 9,3010 - 10; poate fi formulat şi regula generala: toate numerele obținute dintr-un număr dat prin înmulțirea cu o putere de 10 au aceeași mantise egală cu mantisa numărului dat. În majoritatea tabelelor, sunt date mantisele numerelor cuprinse între 1 și 10, deoarece mantisele tuturor celorlalte numere pot fi obținute din cele date în tabel.

Majoritatea tabelelor oferă logaritmi cu patru sau cinci zecimale, deși există tabele cu șapte cifre și tabele cu și mai multe zecimale. A învăța cum să folosești astfel de tabele este cel mai ușor cu exemple. Pentru a găsi log3.59, în primul rând, rețineți că numărul 3.59 este între 10 0 și 10 1, deci caracteristica lui este 0. Găsim numărul 35 (în stânga) în tabel și trecem de-a lungul rândului la coloană care are cifra 9 deasupra; intersecția acestei coloane cu rândul 35 este 5551, deci log3,59 = 0,5551. Pentru a găsi mantisa unui număr cu patru cifre semnificative, este necesar să se recurgă la interpolare. În unele tabele, interpolarea este facilitată de părțile proporționale date în ultimele nouă coloane din partea dreaptă a fiecărei pagini de tabel. Găsiți acum log736.4; numărul 736,4 se află între 10 2 și 10 3, deci caracteristica logaritmului său este 2. În tabel găsim rândul din stânga căruia este 73 și coloana 6. La intersecția acestui rând și această coloană se află numărul 8669. Printre părțile liniare găsim coloana 4 La intersecția rândului 73 cu coloana 4 este numărul 2. Adăugând 2 la 8669, obținem mantisa - este egală cu 8671. Astfel, log736,4 = 2,8671.

logaritmi naturali.

Tabelele și proprietățile logaritmilor naturali sunt similare cu tabelele și proprietățile logaritmilor obișnuiți. Principala diferență dintre cele două este că partea întreagă a logaritmului natural nu este semnificativă în determinarea poziției punctului zecimal și, prin urmare, diferența dintre mantise și caracteristică nu joacă un rol special. Logaritmi naturali ai numerelor 5,432; 54,32 și 543,2 sunt, respectiv, 1,6923; 3,9949 și 6,2975. Relația dintre acești logaritmi devine evidentă dacă luăm în considerare diferențele dintre ele: log543,2 - log54,32 = 6,2975 - 3,9949 = 2,3026; ultimul număr nu este altceva decât logaritmul natural al numărului 10 (scris astfel: ln10); log543,2 - log5,432 = 4,6052; ultimul număr este 2ln10. Dar 543,2 \u003d 10ґ54,32 \u003d 10 2 ґ5,432. Astfel, prin logaritmul natural al unui număr dat A puteți găsi logaritmii naturali ai numerelor, egali cu produsele numărului Aîn orice grad n numărul 10 dacă k ln A se adună ln10 înmulțit cu n, adică ln( Aґ10n) = jurnal A + n ln10 = ln A + 2,3026n. De exemplu, ln0,005432 = ln(5,432´10 -3) = ln5,432 - 3ln10 = 1,6923 - (3´2,3026) = - 5,2155. Prin urmare, tabelele de logaritmi naturali, ca și tabelele de logaritmi obișnuiți, conțin de obicei doar logaritmii numerelor de la 1 la 10. În sistemul logaritmilor naturali, se poate vorbi de antilogaritmi, dar mai des se vorbește de o funcție exponențială sau de o exponențială. . Dacă X=ln y, Acea y = ex, Și y numit exponent X(pentru comoditatea compoziției tipografice, ei scriu adesea y=exp X). Exponentul joacă rolul antilogaritmului numărului X.

Cu ajutorul tabelelor de logaritmi zecimali și naturali, puteți crea tabele de logaritmi în orice bază, alta decât 10 și e. Dacă log b a = X, Acea b x = A, și, prin urmare, log c b x= jurnal c a sau X Buturuga c b= jurnal c a, sau X= jurnal c a/Buturuga c b= jurnal b a. Prin urmare, folosind această formulă de inversare de la tabelul de logaritmi la bază c puteți construi tabele de logaritmi în orice altă bază b. Multiplicator 1/log c b numit modul de tranziție de la pamant c până la bază b. Nimic nu împiedică, de exemplu, folosirea formulei de inversare, sau trecerea de la un sistem de logaritmi la altul, pentru a găsi logaritmi naturali din tabelul logaritmilor obișnuiți sau pentru a face tranziția inversă. De exemplu, log105,432 = log e 5.432/log e 10 \u003d 1,6923 / 2,3026 \u003d 1,6923´0,4343 \u003d 0,7350. Numărul 0,4343, cu care trebuie înmulțit logaritmul natural al unui număr dat pentru a obține logaritmul obișnuit, este modulul trecerii la sistemul de logaritmi obișnuiți.

Mese speciale.

Logaritmii au fost inventați inițial pentru a-și folosi jurnalul de proprietăți ab= jurnal A+jurnal bși log A/b= jurnal A-Buturuga b, transformă produsele în sume, iar coeficientii în diferențe. Cu alte cuvinte, dacă log Ași log b sunt cunoscute, apoi cu ajutorul adunării și scăderii putem găsi cu ușurință logaritmul produsului și coeficientul. În astronomie, totuși, adesea pentru valori date de log Ași log b trebuie să găsesc jurnalul ( A + b) sau log( A – b). Desigur, s-ar putea găsi mai întâi din tabele de logaritmi AȘi b, apoi efectuați adunarea sau scăderea specificată și, referindu-vă din nou la tabele, găsiți logaritmii necesari, dar o astfel de procedură ar necesita trei călătorii la tabele. Z. Leonelli a publicat în 1802 tabelele așa-zisului. logaritmi gaussieni- logaritmi de adunare a sumelor și diferențelor - care au făcut posibilă restricționarea unui acces la tabele.

În 1624, I. Kepler a propus tabele de logaritmi proporționali, adică. logaritmi de numere A/X, Unde A este o constantă pozitivă. Aceste tabele sunt folosite în principal de astronomi și navigatori.

Logaritmi proporționali la A= 1 sunt numite logaritmiși sunt folosite în calcule atunci când se are de-a face cu produse și coeficienti. Logaritmul unui număr n egal cu logaritmul reciprocului; acestea. colg n= log1/ n= - jurnal n. Dacă log2 = 0,3010, atunci colog2 = - 0,3010 = 0,6990 - 1. Avantajul utilizării logaritmilor este că atunci când se calculează valoarea logaritmului expresiilor de forma pq/r suma triplă a zecimalelor pozitive log p+jurnal q+ colo r este mai ușor de găsit decât suma mixtă și diferența de jurnal p+jurnal q-Buturuga r.

Poveste.

Principiul care stă la baza oricărui sistem de logaritmi este cunoscut de foarte mult timp și poate fi urmărit până la matematica antică babiloniană (circa 2000 î.Hr.). În acele zile, interpolarea între valorile întregi din tabel grade pozitive numerele întregi au fost folosite pentru a calcula dobânda compusă. Mult mai târziu, Arhimede (287–212 î.Hr.) a folosit puterile lui 10 8 pentru a găsi o limită superioară a numărului de boabe de nisip necesare pentru a umple complet universul cunoscut la acea vreme. Arhimede a atras atenția asupra proprietății exponenților care stă la baza eficienței logaritmilor: produsul puterilor corespunde sumei exponenților. La sfârșitul Evului Mediu și începutul Erei Noi, matematicienii au început să se refere tot mai mult la relația dintre progresiile geometrice și aritmetice. M. Stiefel în eseul său Aritmetica intregi(1544) a dat un tabel al puterilor pozitive și negative ale numărului 2:

Stiefel a observat că suma celor două numere din primul rând (rândul de exponenți) este egală cu exponentul a doi, care corespunde produsului dintre cele două numere corespunzătoare din rândul de jos (rândul de exponenți). În legătură cu acest tabel, Stiefel a formulat patru reguli, echivalente cu patru regulile moderne operații pe exponenți sau patru reguli pentru operații pe logaritmi: suma din linia de sus corespunde produsului din linia de jos; scăderea din rândul de sus corespunde împărțirii din rândul de jos; înmulțirea în rândul de sus corespunde exponențiației în rândul de jos; diviziunea din rândul de sus corespunde extragerii rădăcinii din rândul de jos.

Aparent, reguli similare regulilor lui Stiefel l-au condus pe J. Naper la introducerea formală a primului sistem de logaritmi în eseu. Descrierea uimitoarei tabele logaritmice, publicată în 1614. Însă gândurile lui Napier s-au ocupat de problema transformării produselor în sume, deoarece cu mai bine de zece ani înainte de publicarea lucrării sale, Napier a primit vești din Danemarca că asistenții săi de la observatorul lui Tycho Brahe aveau o metodă de transformare a lucrărilor în sume. Metoda descrisă în comunicarea lui Napier s-a bazat pe utilizarea lui formule trigonometrice tip

deci tabelele Napier constau în principal din logaritmi funcții trigonometrice. Deși conceptul de bază nu a fost inclus în mod explicit în definiția propusă de Napier, rolul echivalent cu baza sistemului de logaritmi din sistemul său a fost jucat de numărul (1 - 10 -7)ґ10 7, aproximativ egal cu 1/ e.

Independent de Neuper și aproape simultan cu el, un sistem de logaritmi, destul de apropiat ca tip, a fost inventat și publicat de J. Bürgi la Praga, care a publicat în 1620 Tabele de progresie aritmetică și geometrică. Acestea au fost tabele de antilogaritmi în baza (1 + 10 –4) ґ10 4 , o aproximare destul de bună a numărului e.

În sistemul lui Napier, logaritmul numărului 10 7 a fost luat ca zero, iar pe măsură ce numerele au scăzut, logaritmii au crescut. Când G. Briggs (1561-1631) a vizitat Napier, ambii au fost de acord că ar fi mai convenabil să se folosească numărul 10 ca bază și să se ia în considerare logaritmul lui unu egal cu zero. Apoi, pe măsură ce numerele cresc, logaritmii lor ar crește. Așa am ajuns sistem modern logaritmi zecimali, un tabel al căruia Briggs l-a publicat în eseul său Aritmetică logaritmică(1620). logaritmi de bază e, deși nu chiar cele introduse de Napier, sunt adesea denumite ale lui Napier. Termenii „caracteristic” și „mantișă” au fost propuși de Briggs.

Primii logaritmi, din motive istorice, au folosit aproximări ale numerelor 1/ eȘi e. Ceva mai târziu, ideea logaritmilor naturali a început să fie asociată cu studiul zonelor sub o hiperbolă. X y= 1 (Fig. 1). În secolul al XVII-lea s-a arătat că aria delimitată de această curbă, axa X si ordonate X= 1 și X = A(în Fig. 1 această zonă este acoperită cu puncte mai groase și mai rare) crește progresia aritmetică atunci când A crește exponențial. Această dependență apare în regulile pentru acțiunile pe exponenți și logaritmi. Acest lucru a dat motive pentru a numi logaritmii Napier „logaritmi hiperbolici”.

Funcția logaritmică.

A existat o perioadă în care logaritmii erau considerați doar un mijloc de calcul, dar în secolul al XVIII-lea, în principal datorită lucrării lui Euler, s-a format conceptul de funcție logaritmică. Graficul unei astfel de funcții y=ln X, ale căror ordonate cresc în progresie aritmetică, în timp ce abscisele cresc în progresie geometrică, este prezentată în Fig. 2, A. Graficul funcției inverse sau exponențiale (exponențiale). y = e x, ale căror ordonate cresc exponențial, iar abscisele cresc aritmetice, este prezentată, respectiv, în Fig. 2, b. (Curbe y= jurnal XȘi y = 10X asemănătoare ca formă cu curbele y=ln XȘi y = ex.) Au fost propuse și definiții alternative ale funcției logaritmice, de exemplu,

kpi; și, în mod similar, logaritmii naturali ai lui -1 sunt numere complexe de forma (2 k + 1)pi, Unde k este un număr întreg. Afirmații similare sunt valabile și pentru logaritmii generali sau alte sisteme de logaritmi. În plus, definiția logaritmilor poate fi generalizată folosind identitățile Euler pentru a include logaritmii complecși ai numerelor complexe.

O definiție alternativă a funcției logaritmice este oferită de analiza funcțională. Dacă f(X) este o funcție continuă a unui număr real X, care are următoarele trei proprietăți: f (1) = 0, f (b) = 1, f (UV) = f (u) + f (v), Acea f(X) este definit ca logaritmul numărului X prin rațiune b. Această definiție are o serie de avantaje față de definiția dată la începutul acestui articol.

Aplicații.

Logaritmii au fost utilizați inițial doar pentru a simplifica calculele, iar această aplicație este încă una dintre cele mai importante. Calculul produselor, coeficientilor, puterilor și rădăcinilor este facilitat nu numai de disponibilitatea largă a tabelelor publicate de logaritmi, ci și de utilizarea așa-numitelor. regulă de calcul - un instrument de calcul, al cărui principiu se bazează pe proprietățile logaritmilor. Rigla este echipată cu scale logaritmice, adică. distanța de la numărul 1 la orice număr X ales egal cu log X; prin deplasarea unei scale în raport cu alta, este posibilă reprezentarea grafică a sumelor sau diferențelor de logaritmi, ceea ce face posibilă citirea produselor sau parțialelor numerelor corespunzătoare direct din scară. Pentru a profita de prezentarea numerelor într-o formă logaritmică permite așa-numitul. hârtie logaritmică pentru trasare (hârtie cu scale logaritmice imprimate pe ea de-a lungul ambelor axe de coordonate). Dacă funcția îndeplinește o lege a puterii de formă y = kx n, atunci graficul său logaritmic arată ca o linie dreaptă, deoarece Buturuga y= jurnal k + n Buturuga X este o ecuație liniară în raport cu log yși log X. Dimpotrivă, dacă graficul logaritmic al unei dependențe funcționale are forma unei linii drepte, atunci această dependență este o lege de putere. Hârtia semi-logaritmică (unde axa y este pe o scară logaritmică și abscisa este pe o scară uniformă) este utilă atunci când trebuie identificate funcțiile exponențiale. Ecuații de formă y = kb rx apar ori de câte ori o cantitate, cum ar fi populația, materialul radioactiv sau soldul bancar, scade sau crește într-un ritm proporțional cu populația curentă, materialul radioactiv sau banii. Dacă o astfel de dependență este aplicată hârtiei semilogaritmice, atunci graficul va arăta ca o linie dreaptă.

Funcția logaritmică apare în legătură cu o varietate de forme naturale. Florile din inflorescențe de floarea soarelui se aliniază în spirale logaritmice, cochiliile de moluște se răsucesc Nautilus, coarne de oaie de munte și ciocuri de papagali. Toate aceste forme naturale sunt exemple ale curbei cunoscute sub numele de spirală logaritmică, deoarece în coordonate polare ecuația sa este r = ae bq, sau ln r=ln A + bq. O astfel de curbă este descrisă de un punct în mișcare, distanța de la polul căruia crește exponențial, iar unghiul descris de vectorul său rază crește aritmetic. Ubicuitatea unei astfel de curbe, și în consecință a funcției logaritmice, este bine ilustrată prin faptul că apare în regiuni la fel de îndepărtate și destul de diferite precum conturul camei excentrice și traiectoria anumitor insecte care zboară spre lumină.

Lecție și prezentare pe teme: "Logaritmi naturali. Baza unui logaritm natural. Logaritmul unui număr natural"

Materiale suplimentare
Dragi utilizatori, nu uitați să lăsați comentariile, feedback-ul, sugestiile voastre! Toate materialele sunt verificate de un program antivirus.

Mijloace și simulatoare didactice în magazinul online „Integral” pentru clasa a 11-a
Manual interactiv pentru clasele 9-11 „Trigonometrie”
Manual interactiv pentru clasele 10-11 „Logaritmi”

Ce este logaritmul natural

Este de remarcat faptul că panta tangentei la graficul funcției $y=e^x$ în punctul (0;1) este de 45°. Atunci panta tangentei la graficul logaritmului natural în punctul (1; 0) va fi, de asemenea, egală cu 45°. Ambele tangente vor fi paralele cu dreapta $y=x$. Să schițăm tangentele:

Proprietățile funcției $y=\ln(x)$

În cursul matematicii superioare se demonstrează că derivata unei funcții inverse este reciproca derivatei funcției date.
Nu are prea mult sens să aprofundăm în demonstrație, să scriem doar formula: $y"=(\ln(x))"=\frac(1)(x)$.

Exemplu.
Calculați valoarea derivatei funcției: $y=\ln(2x-7)$ în punctul $x=4$.
Soluţie.
ÎN vedere generala funcția noastră reprezintă funcția $y=f(kx+m)$, putem calcula derivatele unor astfel de funcții.
$y"=(\ln((2x-7)))"=\frac(2)((2x-7))$.
Să calculăm valoarea derivatei în punctul necesar: $y"(4)=\frac(2)((2*4-7))=2$.
Raspuns: 2.

Exemplu.
Desenați o tangentă la graficul funcției $y=ln(x)$ în punctul $x=e$.
Soluţie.
Ecuația tangentei la graficul funcției, în punctul $x=a$, ne amintim bine.
$y=f(a)+f"(a)(x-a)$.
Să calculăm secvenţial valorile necesare.
$a=e$.
$f(a)=f(e)=\ln(e)=1$.
$f"(a)=\frac(1)(a)=\frac(1)(e)$.
$y=1+\frac(1)(e)(x-e)=1+\frac(x)(e)-\frac(e)(e)=\frac(x)(e)$.
Ecuația tangentei în punctul $x=e$ este funcția $y=\frac(x)(e)$.
Să reprezentăm grafic logaritmul natural și tangenta.

Exemplu.
Investigați funcția pentru monotonitate și extreme: $y=x^6-6*ln(x)$.
Soluţie.
Domeniul funcției $D(y)=(0;+∞)$.
Aflați derivata funcției date:
$y"=6*x^5-\frac(6)(x)$.
Derivata există pentru tot x din domeniul definiției, atunci puncte critice Nu. Să găsim puncte staționare:
$6*x^5-\frac(6)(x)=0$.
$\frac(6*x^6-6)(x)=0$.
$6*x^6-6=0$.
$x^6-1=0$.
$x^6=1$.
$x=±1$.
Punctul $х=-1$ nu aparține domeniului definiției. Atunci avem un punct staționar $х=1$. Aflați intervalele de creștere și descreștere:

Punctul $x=1$ este punctul minim, apoi $y_min=1-6*\ln(1)=1$.
Răspuns: Funcția este în scădere pe segmentul (0;1], funcția este în creștere pe raza $)