Rădăcina pătrată a lui 10 este. Formule de rădăcină

Rădăcina pătrată nenegativă a unui număr pozitiv se numește rădăcină pătrată aritmeticăși se notează folosind semnul radical.

Numere complexe

Există întotdeauna două soluții în câmpul numerelor complexe, care diferă doar prin semn (cu excepția lui rădăcină pătrată de la zero). Rădăcina unui număr complex este adesea notată ca , dar această notație trebuie folosită cu grijă. Greseala comuna:

Pentru a extrage rădăcina pătrată a unui număr complex, este convenabil să folosiți notația exponențială a unui număr complex: dacă

unde rădăcina modulo este înțeleasă în sensul unei valori aritmetice, iar k poate lua valorile k=0 și k=1, deci rezultatul este două rezultate diferite în răspuns.

Generalizări

Rădăcinile pătrate sunt introduse ca soluții de ecuații de formă și pentru alte obiecte: matrice, funcții, operatori etc. În acest caz, operații multiplicative destul de arbitrare pot fi folosite ca operație, de exemplu, suprapunerea.

Rădăcină pătrată în informatică

În multe limbaje de programare la nivel funcțional (precum și limbaje de marcare precum LaTeX), funcția rădăcină pătrată este desemnată ca sqrt(din engleza. rădăcină pătrată"Rădăcină pătrată").

Algoritmi pentru găsirea rădăcinii pătrate

Găsirea sau calcularea rădăcinii pătrate a unui număr dat se numește extracţie(rădăcină pătrată.

Extinderea seriei Taylor

Rădăcina pătrată aritmetică

Pentru pătratele numerelor, următoarele egalități sunt adevărate:

Adică, puteți afla partea întreagă a rădăcinii pătrate a unui număr scăzând din ea toate numerele impare în ordine, până când restul este mai mic decât următorul număr scăzut, sau zero, și numărarea numărului de acțiuni efectuate. De exemplu, așa:

Efectuați 3 pași, rădăcina pătrată a lui 9 este 3.

Dezavantajul acestei metode este că, dacă rădăcina extrasă nu este un număr întreg, atunci puteți afla doar partea sa întreagă, dar nu mai precis. În același timp, această metodă este destul de accesibilă copiilor care rezolvă cele mai simple probleme. probleme de matematică, necesitând extragerea rădăcinii pătrate.

estimare aproximativa

Mulți algoritmi de calcul rădăcini pătrate dintr-un număr real pozitiv S necesită o valoare inițială. Dacă valoarea inițială este prea departe de valoarea reală a rădăcinii, calculele încetinesc. Prin urmare, este util să aveți o estimare aproximativă care poate fi foarte inexactă, dar care este ușor de calculat. În cazul în care un S≥ 1, fie D va fi numărul de cifre S la stânga punctului zecimal. În cazul în care un S < 1, пусть D va fi numărul de zerouri consecutive la dreapta punctului zecimal, luate cu semnul minus. Apoi o estimare aproximativă arată astfel:

În cazul în care un D ciudat, D = 2n+ 1, apoi folosim În cazul în care un D chiar, D = 2n+ 2, apoi folosim

Două și șase sunt folosite pentru că și

Când lucrați într-un sistem binar (cum ar fi în interiorul computerelor), ar trebui utilizată o estimare diferită (aici D este numărul de cifre binare).

Rădăcină pătrată geometrică

Pentru a extrage manual rădăcina, se folosește o notație similară cu împărțirea coloanei. Numărul a cărui rădăcină o căutăm este scris. În dreapta acesteia, vom obține treptat numerele rădăcinii dorite. Să fie extrasă rădăcina dintr-un număr cu un număr finit de zecimale. Pentru început, mental sau cu etichete, împărțim numărul N în grupuri de două cifre la stânga și la dreapta punctului zecimal. Dacă este necesar, grupurile sunt umplute cu zerouri - partea întreagă este adăugită în stânga, fracțională în dreapta. Deci 31234,567 poate fi reprezentat ca 03 12 34 . 56 70. Spre deosebire de divizare, demolarea se realizează în astfel de grupuri de 2 cifre.

Descrierea vizuală a algoritmului:

Înainte de apariția calculatoarelor, elevii și profesorii calculau manual rădăcinile pătrate. Există mai multe moduri de a calcula manual rădăcina pătrată a unui număr. Unele dintre ele oferă doar o soluție aproximativă, altele oferă un răspuns exact.

Pași

factorizare primara

Factorizați numărul rădăcinii în factori care sunt numere pătrate.În funcție de numărul rădăcinii, veți obține un răspuns aproximativ sau exact. Numerele pătrate sunt numere din care poate fi luată întreaga rădăcină pătrată. Factorii sunt numere care, atunci când sunt înmulțite, dau numărul inițial. De exemplu, factorii numărului 8 sunt 2 și 4, deoarece 2 x 4 = 8, numerele 25, 36, 49 sunt numere pătrate, deoarece √25 = 5, √36 = 6, √49 = 7. Factori pătrați sunt factori, care sunt numere pătrate. Mai întâi, încercați să factorizați numărul rădăcinii în factori pătrați.

• De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 400 (manual). Mai întâi încercați să factorizați 400 în factori pătrați. 400 este un multiplu al lui 100, adică divizibil cu 25 - acesta este un număr pătrat. Împărțirea a 400 la 25 dă 16. Numărul 16 este, de asemenea, un număr pătrat. Astfel, 400 poate fi factorizat în factori pătrați de 25 și 16, adică 25 x 16 = 400.
• Aceasta poate fi scrisă după cum urmează: √400 = √(25 x 16).

1. Rădăcina pătrată a produsului unor termeni este egală cu produsul rădăcinilor pătrate ale fiecărui termen, adică √(a x b) = √a x √b. Utilizați această regulă și luați rădăcina pătrată a fiecărui factor pătrat și înmulțiți rezultatele pentru a găsi răspunsul.

   • În exemplul nostru, luați rădăcina pătrată a lui 25 și 16.
     • √(25 x 16)
     • √25 x √16
     • 5 x 4 = 20

2. Dacă numărul radical nu se descompune în două multiplicator pătrat(ceea ce se întâmplă de cele mai multe ori), nu veți putea găsi răspunsul exact ca număr întreg. Dar puteți simplifica problema prin descompunerea numărului rădăcinii într-un factor pătrat și un factor obișnuit (un număr din care nu poate fi luată întreaga rădăcină pătrată). Apoi veți lua rădăcina pătrată a factorului pătrat și veți lua rădăcina factorului obișnuit.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a numărului 147. Numărul 147 nu poate fi factorizat în doi factori pătrați, dar poate fi factorizat în următorii factori: 49 și 3. Rezolvați problema după cum urmează:
     • = √(49 x 3)
     • = √49 x √3
     • = 7√3

3. Dacă este necesar, evaluați valoarea rădăcinii. Acum puteți evalua valoarea rădăcinii (găsiți o valoare aproximativă) comparând-o cu valorile rădăcinilor numerelor pătrate care sunt cel mai apropiate (pe ambele părți ale dreptei numerice) de numărul rădăcinii. Veți obține valoarea rădăcinii ca o fracție zecimală, care trebuie înmulțită cu numărul din spatele semnului rădăcinii.

   • Să revenim la exemplul nostru. Numărul rădăcină este 3. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta sunt numerele 1 (√1 = 1) și 4 (√4 = 2). Astfel, valoarea lui √3 se află între 1 și 2. Deoarece valoarea lui √3 este probabil mai aproape de 2 decât de 1, estimarea noastră este: √3 = 1,7. Înmulțim această valoare cu numărul de la semnul rădăcinii: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Dacă faceți calculele pe un calculator, obțineți 12,13, care este destul de aproape de răspunsul nostru.
     • Această metodă funcționează și cu numere mari. De exemplu, luați în considerare √35. Numărul rădăcină este 35. Cele mai apropiate numere pătrate de acesta sunt numerele 25 (√25 = 5) și 36 (√36 = 6). Astfel, valoarea lui √35 se află între 5 și 6. Deoarece valoarea lui √35 este mult mai aproape de 6 decât de 5 (deoarece 35 este doar cu 1 mai mic decât 36), putem afirma că √35 este puțin mai mic decât 6. Verificarea cu un calculator ne dă răspunsul 5.92 - am avut dreptate.

4. O altă modalitate este de a descompune numărul rădăcină în factori primi. Factorii primi sunt numere care sunt divizibile doar cu 1 și cu ele însele. Scrieți factorii primi pe rând și găsiți perechi de factori identici. Astfel de factori pot fi scoși din semnul rădăcinii.

   • De exemplu, calculați rădăcina pătrată a lui 45. Descompunem numărul rădăcinii în factori primi: 45 \u003d 9 x 5 și 9 \u003d 3 x 3. Astfel, √45 \u003d √ (3 x 3 x 5). 3 poate fi scos din semnul rădăcinii: √45 = 3√5. Acum putem estima √5.
   • Luați în considerare un alt exemplu: √88.
     • = √(2 x 44)
     • = √ (2 x 4 x 11)
     • = √ (2 x 2 x 2 x 11). Ai trei multiplicatori 2; ia câteva dintre ele și scoate-le din semnul rădăcinii.
     • = 2√(2 x 11) = 2√2 x √11. Acum putem evalua √2 și √11 și găsim un răspuns aproximativ.

   Calcularea manuală a rădăcinii pătrate

   Folosind divizarea coloanelor

   1. Această metodă implică un proces similar cu diviziunea lungă și oferă un răspuns precis. Mai întâi, trageți o linie verticală care împarte foaia în două jumătăți, apoi trageți o linie orizontală la dreapta și puțin sub marginea superioară a foii până la linia verticală. Acum împărțiți numărul rădăcină în perechi de numere, începând cu partea fracțională după virgulă zecimală. Deci, numărul 79520789182.47897 este scris „7 95 20 78 91 82, 47 89 70”.

      • De exemplu, să calculăm rădăcina pătrată a numărului 780,14. Desenați două linii (cum se arată în imagine) și scrieți numărul din stânga sus ca „7 80, 14”. Este normal ca prima cifră din stânga să fie o cifră nepereche. Răspunsul (rădăcina numărului dat) va fi scris în dreapta sus.

   2. Având în vedere prima pereche de numere (sau un număr) din stânga, găsiți cel mai mare număr întreg n al cărui pătrat este mai mic sau egal cu perechea de numere (sau un număr) în cauză. Cu alte cuvinte, găsiți numărul pătrat care este cel mai aproape de, dar mai mic decât, prima pereche de numere (sau un singur număr) din stânga și luați rădăcina pătrată a acelui număr pătrat; veți obține numărul n. Scrieți n găsit în dreapta sus și notați pătratul n în dreapta jos.

      • În cazul nostru, primul număr din stânga va fi numărul 7. În continuare, 4< 7, то есть 2 2 < 7 и n = 2. Напишите 2 сверху справа - это первая цифра в искомом квадратном корне. Напишите 2×2=4 справа снизу; вам понадобится это число для последующих вычислений.

   3. Scădeți pătratul numărului n pe care tocmai l-ați găsit din prima pereche de numere (sau un număr) din stânga. Scrieți rezultatul calculului sub subtraend (pătratul numărului n).

      • În exemplul nostru, scădeți 4 din 7 pentru a obține 3.

   4. Luați a doua pereche de numere și scrieți-o lângă valoarea obținută la pasul anterior. Apoi dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu „_×_=" atașat.

      • În exemplul nostru, a doua pereche de numere este „80”. Scrieți „80” după 3. Apoi, dublarea numărului din dreapta sus dă 4. Scrieți „4_×_=" din dreapta jos.

   5. Completați spațiile libere din dreapta.

      • În cazul nostru, dacă în loc de liniuțe punem numărul 8, atunci 48 x 8 \u003d 384, care este mai mult de 380. Prin urmare, 8 este un număr prea mare, dar 7 este bine. Scrieți 7 în loc de liniuțe și obțineți: 47 x 7 \u003d 329. Scrieți 7 din dreapta sus - aceasta este a doua cifră din rădăcina pătrată dorită a numărului 780,14.

   6. Scădeți numărul rezultat din numărul curent din stânga. Scrieți rezultatul de la pasul anterior sub numărul curent din stânga, găsiți diferența și scrieți-o sub cel scăzut.

      • În exemplul nostru, scădeți 329 din 380, care este egal cu 51.

   7. Repetați pasul 4. Dacă perechea de numere demolată este partea fracțională a numărului inițial, atunci puneți separatorul (virgulă) dintre părțile întregi și fracționale în rădăcina pătrată dorită din dreapta sus. În stânga, duceți în jos următoarea pereche de numere. Dublați numărul din dreapta sus și scrieți rezultatul în dreapta jos cu „_×_=" atașat.

      • În exemplul nostru, următoarea pereche de numere care va fi demolată va fi partea fracțională a numărului 780,14, așa că puneți separatorul întregului și al părților fracționale în rădăcina pătrată dorită din dreapta sus. Demolați 14 și scrieți în stânga jos. Dublul din dreapta sus (27) este 54, așa că scrieți „54_×_=" în dreapta jos.

   8. Repetați pașii 5 și 6. Găsiți cel mai mare număr în locul liniuțelor din dreapta (în loc de liniuțe trebuie să înlocuiți același număr), astfel încât rezultatul înmulțirii să fie mai mic sau egal cu numărul curent din stânga.

      • În exemplul nostru, 549 x 9 = 4941, care este mai mic decât numărul curent din stânga (5114). Scrieți 9 în dreapta sus și scădeți rezultatul înmulțirii din numărul curent din stânga: 5114 - 4941 = 173.

   9. Dacă trebuie să găsiți mai multe zecimale pentru rădăcina pătrată, scrieți o pereche de zerouri lângă numărul curent din stânga și repetați pașii 4, 5 și 6. Repetați pașii până când obțineți exactitatea răspunsului de care aveți nevoie (număr de zecimale).

      Înțelegerea procesului

      1. Pentru asimilare aceasta metoda gândiți-vă la numărul a cărui rădăcină pătrată doriți să o găsiți ca aria unui pătrat S. În acest caz, veți căuta lungimea laturii L a unui astfel de pătrat. Calculați valoarea lui L pentru care L² = S.

         Introduceți o literă pentru fiecare cifră din răspunsul dvs. Notați cu A prima cifră din valoarea lui L (rădăcina pătrată dorită). B va fi a doua cifră, C a treia și așa mai departe.

         Specificați o literă pentru fiecare pereche de cifre de început. Notăm cu S a prima pereche de cifre din valoarea S, cu S b a doua pereche de cifre și așa mai departe.

         Explicați legătura acestei metode cu diviziunea lungă. Ca și în operația de împărțire, unde de fiecare dată ne interesează doar o cifră următoare a numărului divizibil, atunci când calculăm rădăcina pătrată, lucrăm cu o pereche de cifre în succesiune (pentru a obține următoarea cifră din valoarea rădăcinii pătrate) .

      2. Luați în considerare prima pereche de cifre Sa a numărului S (Sa = 7 în exemplul nostru) și găsiți-i rădăcina pătrată.În acest caz, prima cifră A a valorii căutate a rădăcinii pătrate va fi o astfel de cifră, al cărei pătrat este mai mic sau egal cu S a (adică căutăm un astfel de A care să satisfacă inegalitatea A² ≤ Sa< (A+1)²). В нашем примере, S1 = 7, и 2² ≤ 7 < 3²; таким образом A = 2.

         • Să presupunem că trebuie să împărțim 88962 la 7; aici primul pas va fi similar: luăm în considerare prima cifră a numărului divizibil 88962 (8) și selectăm cel mai mare număr care, înmulțit cu 7, dă o valoare mai mică sau egală cu 8. Adică căutăm un număr d pentru care inegalitatea este adevărată: 7 × d ≤ 8< 7×(d+1). В этом случае d будет равно 1.

      3. Imaginează-ți mental pătratul a cărui zonă trebuie să o calculezi. Căutați L, adică lungimea laturii unui pătrat a cărui zonă este S. A, B, C sunt numere din numărul L. Puteți scrie diferit: 10A + B \u003d L (pentru număr din două cifre) sau 100A + 10B + C \u003d L (pentru un număr din trei cifre) și așa mai departe.

         • Lăsa (10A+B)² = L² = S = 100A² + 2×10A×B + B². Amintiți-vă că 10A+B este un număr al cărui B reprezintă unități și A reprezintă zeci. De exemplu, dacă A=1 și B=2, atunci 10A+B este egal cu numărul 12. (10A+B)² este aria întregului pătrat, 100A² este aria pătratului interior mare, B² este aria pătratului interior mic, 10A×B este aria fiecăruia dintre cele două dreptunghiuri. Adăugând zonele figurilor descrise, veți găsi aria pătratului original.

În acest articol vă vom prezenta conceptul de rădăcină a unui număr. Vom acţiona secvenţial: vom începe cu rădăcina pătrată, de la ea se trece la descrierea rădăcinii cubice, după care vom generaliza conceptul de rădăcină prin definirea rădăcinii de gradul al n-lea. În același timp, vom introduce definiții, notație, vom da exemple de rădăcini și vom oferi explicațiile și comentariile necesare.

Rădăcină pătrată, rădăcină pătrată aritmetică

Pentru a înțelege definiția rădăcinii unui număr, și în special a rădăcinii pătrate, trebuie să aveți . În acest moment, vom întâlni adesea a doua putere a unui număr - pătratul unui număr.

Sa incepem cu definiții de rădăcină pătrată.

Definiție

Rădăcina pătrată a lui a este numărul al cărui pătrat este un .

Pentru a aduce exemple de rădăcini pătrate, luați mai multe numere, de exemplu, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 și pătrați-le, obținem numerele 25 , 0.09 , 0.09 și respectiv 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (−0,3) 2 =(−0,3) (−0,3)=0,09, (0,3)2 =0,3 0,3=0,09 şi 02 =00=0). Apoi, după definiția de mai sus, 5 este rădăcina pătrată a lui 25, -0,3 și 0,3 sunt rădăcinile pătrate a lui 0,09 și 0 este rădăcina pătrată a lui zero.

Trebuie remarcat faptul că nu pentru niciun număr există a , al cărui pătrat este egal cu a . Și anume, pentru orice număr negativ a, nu există un număr real b al cărui pătrat să fie egal cu a. Într-adevăr, egalitatea a=b 2 este imposibilă pentru orice a negativ, deoarece b 2 este un număr nenegativ pentru orice b . În acest fel, pe mulțimea numerelor reale nu există rădăcină pătrată a unui număr negativ. Cu alte cuvinte, pe mulțimea numerelor reale, rădăcina pătrată a unui număr negativ nu este definită și nu are sens.

Aceasta duce la o întrebare logică: „Există o rădăcină pătrată a lui a pentru orice a nenegativ”? Raspunsul este da. Rațiunea acestui fapt poate fi considerată o metodă constructivă folosită pentru a găsi valoarea rădăcinii pătrate.

Atunci apare următoarea întrebare logică: „Care este numărul tuturor rădăcinilor pătrate ale unui număr nenegativ dat a - unu, doi, trei sau chiar mai mult”? Iată răspunsul la acesta: dacă a este zero, atunci singura rădăcină pătrată a lui zero este zero; dacă a este un număr pozitiv, atunci numărul de rădăcini pătrate din numărul a este egal cu doi, iar rădăcinile sunt . Să argumentăm acest lucru.

Să începem cu cazul a=0 . Să arătăm mai întâi că zero este într-adevăr rădăcina pătrată a lui zero. Aceasta rezultă din egalitatea evidentă 0 2 =0·0=0 și din definiția rădăcinii pătrate.

Acum să demonstrăm că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero. Să folosim metoda opusă. Să presupunem că există un număr diferit de zero b care este rădăcina pătrată a lui zero. Atunci trebuie îndeplinită condiția b 2 =0, ceea ce este imposibil, deoarece pentru orice b diferit de zero valoarea expresiei b 2 este pozitivă. Am ajuns la o contradicție. Acest lucru demonstrează că 0 este singura rădăcină pătrată a lui zero.

Să trecem la cazurile în care a este un număr pozitiv. Mai sus am spus că există întotdeauna o rădăcină pătrată a oricărui număr nenegativ, fie b rădăcina pătrată a lui a. Să presupunem că există un număr c , care este și rădăcina pătrată a lui a . Atunci, prin definiția rădăcinii pătrate, sunt valabile egalitățile b 2 =a și c 2 =a, din care rezultă că b 2 −c 2 =a−a=0, dar întrucât b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , atunci (b−c) (b+c)=0 . Egalitatea rezultată în vigoare proprietățile acțiunilor cu numere reale posibil numai când b−c=0 sau b+c=0 . Astfel numerele b și c sunt egale sau opuse.

Dacă presupunem că există un număr d, care este o altă rădăcină pătrată a numărului a, atunci prin raționamente similare celor deja date, se demonstrează că d este egal cu numărul b sau cu numărul c. Deci, numărul de rădăcini pătrate ale unui număr pozitiv este două, iar rădăcinile pătrate sunt numere opuse.

Pentru confortul lucrului cu rădăcini pătrate, rădăcina negativă este „separată” de cea pozitivă. În acest scop, introduce definiția rădăcinii pătrate aritmetice.

Definiție

Rădăcina pătrată aritmetică a unui număr nenegativ a este un număr nenegativ al cărui pătrat este egal cu a .

Pentru rădăcina pătrată aritmetică a numărului a se acceptă notația. Semnul se numește semnul rădăcinii pătrate aritmetice. Se mai numește și semnul radicalului. Prin urmare, puteți auzi parțial atât „rădăcină”, cât și „radical”, ceea ce înseamnă același obiect.

Numărul de sub semnul rădăcinii pătrate aritmetice se numește numărul rădăcinii, și expresia de sub semnul rădăcinii - expresie radicală, în timp ce termenul „număr radical” este adesea înlocuit cu „expresie radicală”. De exemplu, în notație, numărul 151 este un număr radical, iar în notație, expresia a este o expresie radicală.

Când citiți, cuvântul „aritmetică” este adesea omis, de exemplu, intrarea este citită ca „rădăcină pătrată a șapte virgulă douăzeci și nouă sutimi”. Cuvântul „aritmetică” este folosit doar atunci când vor să sublinieze asta vorbim despre rădăcina pătrată pozitivă a unui număr.

În lumina notației introduse, din definiția rădăcinii pătrate aritmetice rezultă că pentru orice număr nenegativ a .

Rădăcinile pătrate ale unui număr pozitiv a se scriu folosind semnul aritmetic al rădăcinii pătrate ca și . De exemplu, rădăcinile pătrate ale lui 13 sunt și . Rădăcina pătrată aritmetică a lui zero este zero, adică . Pentru numerele negative a, nu vom atașa semnificații intrărilor până când nu studiem numere complexe. De exemplu, expresiile și sunt lipsite de sens.

Pe baza definiției rădăcinii pătrate, sunt dovedite proprietățile rădăcinilor pătrate, care sunt adesea folosite în practică.

Pentru a încheia această subsecțiune, observăm că rădăcinile pătrate ale unui număr sunt soluții de forma x 2 =a față de variabila x .

rădăcină cub de

Definiția rădăcinii cubice al numărului a este dat în mod similar cu definiția rădăcinii pătrate. Numai că se bazează pe conceptul de cub al unui număr, nu de pătrat.

Definiție

Rădăcina cubă a lui a se numește un număr al cărui cub este egal cu a.

Să aducem exemple de rădăcini cubice. Pentru a face acest lucru, luați mai multe numere, de exemplu, 7 , 0 , −2/3 , și cubează-le: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Apoi, pe baza definiției rădăcinii cubice, putem spune că numărul 7 este rădăcina cubă a lui 343, 0 este rădăcina cubă a lui zero și −2/3 este rădăcina cubă a lui −8/27.

Se poate demonstra că rădăcina cubă a numărului a, spre deosebire de rădăcina pătrată, există întotdeauna și nu numai pentru a nenegativ, ci și pentru orice număr real a. Pentru a face acest lucru, puteți folosi aceeași metodă pe care am menționat-o atunci când studiem rădăcina pătrată.

Mai mult, există o singură rădăcină cubă a unui număr dat a. Să demonstrăm ultima afirmație. Pentru a face acest lucru, luați în considerare trei cazuri separat: a este un număr pozitiv, a=0 și a este un număr negativ.

Este ușor de arătat că pentru a pozitiv, rădăcina cubă a lui a nu poate fi nici negativă, nici zero. Într-adevăr, fie b rădăcina cubă a lui a , atunci prin definiție putem scrie egalitatea b 3 =a . Este clar că această egalitate nu poate fi adevărată pentru b negativ și pentru b=0, deoarece în aceste cazuri b 3 =b·b·b va fi un număr negativ sau, respectiv, zero. Deci rădăcina cubă a unui număr pozitiv a este un număr pozitiv.

Acum să presupunem că în plus față de numărul b mai există o rădăcină cubică din numărul a, să o notăm c. Atunci c 3 =a. Prin urmare, b 3 −c 3 =a−a=0 , dar b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(aceasta este formula de înmulțire prescurtată diferenta de cuburi), de unde (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 . Egalitatea rezultată este posibilă numai când b−c=0 sau b 2 +b c+c 2 =0 . Din prima egalitate avem b=c , iar a doua egalitate nu are soluții, deoarece partea stângă este un număr pozitiv pentru orice numere pozitive b și c ca suma a trei termeni pozitivi b 2 , b c și c 2 . Aceasta dovedește unicitatea rădăcinii cubice a unui număr pozitiv a.

Pentru a=0, singura rădăcină cubă a lui a este zero. Într-adevăr, dacă presupunem că există un număr b , care este o rădăcină cubă diferită de zero a lui zero, atunci egalitatea b 3 =0 trebuie să fie valabilă, ceea ce este posibil numai când b=0 .

Pentru negativ a , se poate argumenta similar cu cazul pentru pozitiv a . În primul rând, arătăm că rădăcina cubă a unui număr negativ nu poate fi egală nici cu un număr pozitiv, nici cu zero. În al doilea rând, presupunem că există o a doua rădăcină cubă a unui număr negativ și arătăm că va coincide în mod necesar cu primul.

Deci, există întotdeauna o rădăcină cubă a oricărui număr real dat a și numai unul.

Să dăm Definiția rădăcinii cubice aritmetice.

Definiție

Rădăcină cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ al cărui cub este egal cu a.

Rădăcina cubă aritmetică a unui număr nenegativ a se notează ca , semnul se numește semnul rădăcinii cubice aritmetice, numărul 3 din această notație se numește indicator de rădăcină. Numărul de sub semnul rădăcinii este numărul rădăcinii, expresia de sub semnul rădăcinii este expresie radicală.

Deși rădăcina cubă aritmetică este definită numai pentru numere nenegative a, este, de asemenea, convenabil să se utilizeze intrări în care numerele negative sunt sub semnul rădăcinii cubice aritmetice. Le vom înțelege astfel: , unde a este un număr pozitiv. De exemplu, .

Vom vorbi despre proprietățile rădăcinilor cubice în articolul general proprietățile rădăcinilor.

Calcularea valorii unei rădăcini cubice se numește extragerea unei rădăcini cubice, această acțiune este discutată în articolul extragerea rădăcinilor: metode, exemple, soluții.

Pentru a încheia această subsecțiune, spunem că rădăcina cubă a lui a este o soluție de forma x 3 =a.

Rădăcina a N-a, rădăcina aritmetică a lui n

Generalizăm conceptul de rădăcină dintr-un număr - introducem determinarea rădăcinii a n-a pentru n.

Definiție

a n-a rădăcină a lui a este un număr a cărui putere a n-a este egală cu a.

Din această definiție este clar că rădăcina primului grad din numărul a este numărul a însuși, deoarece atunci când studiem gradul cu un indicator natural, am luat un 1 \u003d a.

Mai sus, am luat în considerare cazuri speciale ale rădăcinii de gradul al n-lea pentru n=2 și n=3 - rădăcina pătrată și rădăcina cubă. Adică rădăcina pătrată este rădăcina gradului al doilea, iar rădăcina cubă este rădăcina gradului al treilea. Pentru a studia rădăcinile gradului al n-lea pentru n=4, 5, 6, ..., este convenabil să le împărțiți în două grupuri: primul grup - rădăcinile de grade pare (adică pentru n=4, 6 , 8, ...), al doilea grup - rădăcinile puteri impare (adică pentru n=5, 7, 9, ... ). Acest lucru se datorează faptului că rădăcinile de grade pare sunt similare cu rădăcina pătrată, iar rădăcinile de grade impare sunt similare cu rădăcina cubică. Să ne ocupăm de ei pe rând.

Să începem cu rădăcinile, ale căror puteri sunt numerele pare 4, 6, 8, ... După cum am spus deja, ele sunt similare cu rădăcina pătrată a numărului a. Adică, rădăcina oricărui grad par din numărul a există numai pentru a nenegativ. Mai mult, dacă a=0, atunci rădăcina lui a este unică și egală cu zero, iar dacă a>0, atunci există două rădăcini de grad par din numărul a și sunt numere opuse.

Să justificăm ultima afirmație. Fie b o rădăcină de grad par (o notăm ca 2 m, unde m este ceva numar natural) de la numărul a . Să presupunem că există un număr c - o altă rădăcină de 2 m a lui a . Atunci b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Dar știm de forma b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), atunci (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Din această egalitate rezultă că b−c=0 , sau b+c=0 , sau b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Primele două egalități înseamnă că numerele b și c sunt egale sau b și c sunt opuse. Și ultima egalitate este valabilă numai pentru b=c=0, deoarece partea stângă conține o expresie care este nenegativă pentru orice b și c ca sumă de numere nenegative.

În ceea ce privește rădăcinile de gradul al n-lea pentru n impar, ele sunt similare cu rădăcina cubă. Adică, rădăcina oricărui grad impar din numărul a există pentru orice număr real a, iar pentru un număr dat a este unică.

Unicitatea rădăcinii de grad impar 2·m+1 din numărul a se dovedește prin analogie cu demonstrarea unicității rădăcinii cubice din a . Doar aici în loc de egalitate a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) o egalitate de forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Expresia din ultima paranteză poate fi rescrisă ca b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). De exemplu, pentru m=2 avem b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b−c) (b 4 +c 4 +b c (b 2 +c 2 +b c)). Când a și b sunt ambele pozitive sau ambele negative, produsul lor este un număr pozitiv, atunci expresia b 2 +c 2 +b·c , care se află în parantezele celui mai înalt grad de imbricare, este pozitivă ca sumă pozitivă. numerele. Acum, trecând succesiv la expresiile din paranteze ale gradelor anterioare de imbricare, ne asigurăm că acestea sunt și pozitive ca sume de numere pozitive. Ca rezultat, obținem că egalitatea b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 posibil numai când b−c=0 , adică atunci când numărul b este egal cu numărul c .

Este timpul să ne ocupăm de notarea rădăcinilor gradului al n-lea. Pentru aceasta, este dat determinarea rădăcinii aritmetice a gradului al n-lea.

Definiție

Rădăcina aritmetică a gradului al n-lea al unui număr nenegativ a se numește un număr nenegativ, a cărui putere a n-a este egală cu a.

Este timpul să dezasamblați metode de extragere a rădăcinilor. Ele se bazează pe proprietățile rădăcinilor, în special pe egalitate, ceea ce este valabil pentru orice număr nenegativ b.

Mai jos vom analiza pe rând principalele metode de extragere a rădăcinilor.

Să începem cu cel mai simplu caz - extragerea rădăcinilor din numere naturale folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

Dacă tabelele de pătrate, cuburi etc. nu este la îndemână, este logic să folosiți metoda de extragere a rădăcinii, care presupune descompunerea numărului rădăcinii în factori simpli.

Separat, merită să insistăm asupra, ceea ce este posibil pentru rădăcini cu exponenți ciudați.

În cele din urmă, luați în considerare o metodă care vă permite să găsiți secvențial cifrele valorii rădăcinii.

Să începem.

Folosind un tabel de pătrate, un tabel de cuburi etc.

În cele mai simple cazuri, tabele de pătrate, cuburi etc permit extragerea rădăcinilor. Ce sunt aceste tabele?

Tabelul de pătrate de numere întregi de la 0 la 99 inclusiv (prezentat mai jos) este format din două zone. Prima zonă a tabelului este situată pe un fundal gri; selectând un anumit rând și o anumită coloană, vă permite să creați un număr de la 0 la 99. De exemplu, să selectăm un rând de 8 zeci și o coloană de 3 unități, cu aceasta am fixat numărul 83. A doua zonă ocupă restul tabelului. Fiecare dintre celulele sale este situată la intersecția unui anumit rând și a unei anumite coloane și conține pătratul numărului corespunzător de la 0 la 99. La intersecția rândului nostru de 8 zeci și coloana 3 a unu, există o celulă cu numărul 6889, care este pătratul numărului 83.

Tabelele de cuburi, tabelele de puteri a patra ale numerelor de la 0 la 99 și așa mai departe sunt similare cu tabelul de pătrate, doar că conțin cuburi, puteri a patra etc. în zona a doua. numerele corespunzătoare.

Tabele de pătrate, cuburi, puteri a patra etc. vă permit să extrageți rădăcini pătrate, rădăcini cubice, rădăcini a patra etc. respectiv din numerele din aceste tabele. Să explicăm principiul aplicării lor în extragerea rădăcinilor.

Să presupunem că trebuie să extragem rădăcina gradului al n-lea din numărul a, în timp ce numărul a este conținut în tabelul cu al n-lea grad. Conform acestui tabel, găsim numărul b astfel încât a=b n . Apoi , prin urmare, numărul b va fi rădăcina dorită a gradului al n-lea.

Ca exemplu, să arătăm cum este extrasă rădăcina cubă a lui 19683 folosind tabelul cub. Găsim numărul 19 683 în tabelul cuburilor, din acesta aflăm că acest număr este un cub al numărului 27, prin urmare, .

Este clar că tabelele de grade n sunt foarte convenabile la extragerea rădăcinilor. Cu toate acestea, adesea nu sunt la îndemână, iar compilarea lor necesită o anumită perioadă de timp. Mai mult decât atât, este adesea necesar să se extragă rădăcini din numere care nu sunt conținute în tabelele corespunzătoare. În aceste cazuri, trebuie să recurgem la alte metode de extragere a rădăcinilor.

Descompunerea numărului rădăcină în factori primi

Suficient mod convenabil, care permite extragerea rădăcinii dintr-un număr natural (dacă, desigur, se extrage rădăcina) este descompunerea numărului rădăcinii în factori primi. A lui esența este următoarea: după ce este destul de ușor să-l reprezinte ca un grad cu indicatorul dorit, ceea ce vă permite să obțineți valoarea rădăcinii. Să explicăm acest punct.

Să se extragă rădăcina gradului al n-lea dintr-un număr natural a, iar valoarea lui este egală cu b. În acest caz, egalitatea a=b n este adevărată. Numărul b ca orice număr natural poate fi reprezentat ca un produs al tuturor factorilor săi primi p 1 , p 2 , …, p m sub forma p 1 p 2 p m , iar numărul rădăcină a în acest caz este reprezentat ca (p 1 p 2 ... p m) n . Deoarece descompunerea numărului în factori primi este unică, descompunerea rădăcinii a în factori primi va arăta ca (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , ceea ce face posibilă calcularea valorii rădăcinii ca .

Rețineți că dacă factorizarea numărului rădăcină a nu poate fi reprezentată sub forma (p 1 ·p 2 ·…·p m) n , atunci rădăcina gradului al n-lea dintr-un astfel de număr a nu este complet extrasă.

Să ne ocupăm de asta atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Luați rădăcina pătrată a lui 144 .

Soluţie.

Dacă ne întoarcem la tabelul de pătrate dat în paragraful precedent, se vede clar că 144=12 2 , din care rezultă clar că rădăcina pătrată a lui 144 este 12 .

Dar în lumina acestui punct, ne interesează modul în care este extrasă rădăcina prin descompunerea numărului rădăcinii 144 în factori primi. Să aruncăm o privire la această soluție.

Să ne descompunem 144 la factori primi:

Adică 144=2 2 2 2 3 3 . Pe baza descompunerii rezultate, pot fi efectuate următoarele transformări: 144=2 2 2 2 3 3=(2 2) 2 3 2 =(2 2 3) 2 =12 2. Prin urmare, .

Folosind proprietățile gradului și proprietățile rădăcinilor, soluția ar putea fi formulată puțin diferit: .

Răspuns:

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluțiile din încă două exemple.

Exemplu.

Calculați valoarea rădăcinii.

Soluţie.

Descompunerea în factori primi a rădăcinii numărului 243 este 243=3 5 . În acest fel, .

Răspuns:

Exemplu.

Este valoarea rădăcinii un număr întreg?

Soluţie.

Pentru a răspunde la această întrebare, să descompunăm numărul rădăcină în factori primi și să vedem dacă poate fi reprezentat ca un cub al unui număr întreg.

Avem 285 768=2 3 3 6 7 2 . Descompunerea rezultată nu este reprezentată ca un cub al unui număr întreg, deoarece gradul factor prim 7 nu este un multiplu de trei. Prin urmare, rădăcina cubă a lui 285.768 nu este luată complet.

Răspuns:

Nu.

Extragerea rădăcinilor din numere fracționale

Este timpul să ne dăm seama cum este extrasă rădăcina dintr-un număr fracționar. Să se scrie numărul rădăcinii fracționare ca p/q . Conform proprietății rădăcinii coeficientului, următoarea egalitate este adevărată. Din această egalitate rezultă regula rădăcinii fracțiunii: Rădăcina unei fracții este egală cu câtul împărțirii rădăcinii numărătorului la rădăcina numitorului.

Să ne uităm la un exemplu de extragere a unei rădăcini dintr-o fracție.

Exemplu.

Care este rădăcina pătrată a fracție comună 25/169 .

Soluţie.

Conform tabelului cu pătrate, aflăm că rădăcina pătrată a numărătorului fracției inițiale este 5, iar rădăcina pătrată a numitorului este 13. Apoi . Aceasta completează extragerea rădăcinii dintr-o fracție obișnuită 25/169.

Răspuns:

Rădăcina unei fracții zecimale sau a unui număr mixt este extrasă după înlocuirea numerelor rădăcinii cu fracții obișnuite.

Exemplu.

Luați rădăcina cubă a zecimalei 474,552.

Soluţie.

Imaginează-ți originalul zecimal sub forma unei fracții ordinare: 474,552=474552/1000. Apoi . Rămâne să extragem rădăcinile cubice care se află la numărătorul și numitorul fracției rezultate. pentru că 474 552=2 2 2 3 3 3 13 13 13=(2 3 13) 3 =78 3 și 1 000=10 3 , atunci și . Rămâne doar să finalizați calculele .

Răspuns:

.

Extragerea rădăcinii unui număr negativ

Separat, merită să ne gândim la extragerea rădăcinilor din numerele negative. Când studiem rădăcinile, am spus că atunci când exponentul rădăcinii este un număr impar, atunci un număr negativ poate fi sub semnul rădăcinii. Am dat astfel de notații următorul sens: pentru un număr negativ −a și un exponent impar al rădăcinii 2 n−1, avem . Această egalitate dă regula pentru extragerea rădăcinilor impare din numerele negative: pentru a extrage rădăcina unui număr negativ, trebuie să extrageți rădăcina numărului pozitiv opus și să puneți semnul minus în fața rezultatului.

Să luăm în considerare un exemplu de soluție.

Exemplu.

Găsiți valoarea rădăcină.

Soluţie.

Să transformăm expresia originală astfel încât un număr pozitiv să apară sub semnul rădăcinii: . Acum înlocuim numărul mixt cu o fracție obișnuită: . Aplicam regula extragerii radacinii dintr-o fractiune obisnuita: . Rămâne de calculat rădăcinile în numărătorul și numitorul fracției rezultate: .

Iată un rezumat al soluției: .

Răspuns:

.

Găsirea valorii rădăcină pe biți

În cazul general, sub rădăcină există un număr care, folosind tehnicile discutate mai sus, nu poate fi reprezentat ca puterea a n-a a vreunui număr. Dar este nevoie să cunoaștem sensul rădăcină dată, cel putin pana la vreun semn. În acest caz, pentru a extrage rădăcina, puteți utiliza un algoritm care vă permite să obțineți în mod constant un număr suficient de valori ale cifrelor numărului dorit.

Primul pas al acestui algoritm este de a afla care este bitul cel mai semnificativ al valorii rădăcină. Pentru a face acest lucru, numerele 0, 10, 100, ... sunt ridicate succesiv la puterea n până când se obține un număr care depășește numărul rădăcinii. Apoi, numărul pe care l-am ridicat la puterea lui n în pasul anterior va indica ordinea superioară corespunzătoare.

De exemplu, luați în considerare acest pas al algoritmului atunci când extrageți rădăcina pătrată a lui cinci. Luăm numerele 0, 10, 100, ... și le pătram până obținem un număr mai mare decât 5 . Avem 0 2 =0<5 , 10 2 =100>5 , ceea ce înseamnă că cea mai semnificativă cifră va fi cifra unităților. Valoarea acestui bit, precum și a celor mai mici, vor fi găsite în următorii pași ai algoritmului de extracție a rădăcinii.

Toți următorii pași ai algoritmului vizează rafinarea succesivă a valorii rădăcinii datorită faptului că se găsesc valorile următoarelor cifre ale valorii dorite a rădăcinii, începând de la cea mai mare și trecând la cea mai mică. . De exemplu, valoarea rădăcinii din primul pas este 2 , în al doilea - 2,2 , în al treilea - 2,23 și așa mai departe 2,236067977 ... . Să descriem cum sunt găsite valorile biților.

Găsirea biților se realizează prin enumerarea valorilor lor posibile 0, 1, 2, ..., 9 . În acest caz, puterile a n-a ale numerelor corespunzătoare sunt calculate în paralel și sunt comparate cu numărul rădăcină. Dacă la un moment dat valoarea gradului depășește numărul radical, atunci valoarea cifrei corespunzătoare valorii anterioare este considerată găsită și se face trecerea la pasul următor al algoritmului de extracție a rădăcinii, dacă acest lucru nu se întâmplă, atunci valoarea acestei cifre este 9 .

Să explicăm toate aceste puncte folosind același exemplu de extragere a rădăcinii pătrate a lui cinci.

Mai întâi, găsiți valoarea cifrei unităților. Vom itera peste valorile 0, 1, 2, …, 9 , calculând respectiv 0 2 , 1 2 , …, 9 2 până când obținem o valoare mai mare decât radicalul 5 . Toate aceste calcule sunt prezentate convenabil sub forma unui tabel:

Deci valoarea cifrei unităților este 2 (deoarece 2 2<5 , а 2 3 >5). Să trecem la găsirea valorii locului zece. În acest caz, vom pătrat numerele 2.0, 2.1, 2.2, ..., 2.9, comparând valorile obținute cu numărul rădăcină 5:

Din 2.2 2<5 , а 2,3 2 >5 , atunci valoarea locului al zecelea este 2 . Puteți trece la găsirea valorii locului sutimilor:

Deci următoarea valoare a rădăcinii lui cinci este găsită, este egală cu 2,23. Și astfel puteți continua să găsiți valori în continuare: 2,236, 2,2360, 2,23606, 2,236067, … .

Pentru a consolida materialul, vom analiza extragerea rădăcinii cu o precizie de sutimi folosind algoritmul considerat.

În primul rând, definim cifra senior. Pentru a face acest lucru, cubăm numerele 0, 10, 100 etc. până când obținem un număr mai mare de 2.151,186 . Avem 0 3 =0<2 151,186 , 10 3 =1 000<2151,186 , 100 3 =1 000 000>2 151.186 , deci cea mai semnificativă cifră este cifra zecilor.

Să-i definim valoarea.

Din 10 3<2 151,186 , а 20 3 >2.151,186 , atunci valoarea cifrei zecilor este 1 . Să trecem la unități.

Astfel, valoarea locului celor este 2 . Să trecem la zece.

Deoarece chiar și 12,9 3 este mai mic decât numărul radical 2 151,186 , valoarea locului al zecelea este 9 . Rămâne de efectuat ultimul pas al algoritmului, ne va oferi valoarea rădăcinii cu precizia necesară.

În această etapă, valoarea rădăcinii este găsită până la sutimi: .

În încheierea acestui articol, aș dori să spun că există multe alte modalități de a extrage rădăcini. Dar pentru majoritatea sarcinilor, cele pe care le-am studiat mai sus sunt suficiente.

Bibliografie.

• Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebră: manual pentru 8 celule. institutii de invatamant.
• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. şi alţii.Algebra şi începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 ale instituţiilor de învăţământ general.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice).