Când poți folosi metoda intervalului? Inegalități raționale fracționale

Metoda intervalului– o modalitate simplă de rezolvare a inegalităților raționale fracționale. Acesta este numele pentru inegalitățile care conțin expresii raționale (sau fracționale-rationale) care depind de o variabilă.

1. Luați în considerare, de exemplu, următoarea inegalitate

Metoda intervalului vă permite să o rezolvați în câteva minute.

În partea stângă a acestei inegalități se află o funcție rațională fracțională. Rațional pentru că nu conține rădăcini, sinusuri sau logaritmi - doar expresii raționale. În dreapta este zero.

Metoda intervalului se bazează pe următoarea proprietate a unei funcții raționale fracționale.

O funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există.

Să ne amintim cum este factorizat un trinom pătratic, adică o expresie de forma .

Unde și sunt rădăcinile ecuație pătratică.

Desenăm o axă și plasăm punctele în care numărătorul și numitorul merg la zero.

Zerourile numitorului și sunt puncte perforate, deoarece în aceste puncte funcția din partea stângă a inegalității nu este definită (nu puteți împărți la zero). Zerourile numărătorului și - sunt umbrite, deoarece inegalitatea nu este strictă. Când și inegalitatea noastră este satisfăcută, deoarece ambele laturi sunt egale cu zero.

Aceste puncte despart axa în intervale.

Să determinăm semnul funcției raționale fracționale din partea stângă a inegalității noastre pe fiecare dintre aceste intervale. Ne amintim că o funcție rațională fracțională poate schimba semnul numai în acele puncte în care este egală cu zero sau nu există.

Aceasta înseamnă că la fiecare dintre intervalele dintre punctele în care numărătorul sau numitorul ajunge la zero, semnul expresiei din partea stângă a inegalității va fi constant - fie „plus”, fie „minus”.
Prin urmare, pentru a determina semnul funcției pe fiecare astfel de interval, luăm orice punct aparținând acestui interval. Cel care ne este convenabil.

. Luați, de exemplu, și verificați semnul expresiei din partea stângă a inegalității. Fiecare dintre „paranteze” este negativ. Partea stângă are un semn. Următorul interval: . Să verificăm semnul de la . Înțelegem asta partea stângă

a schimbat semnul în .

Să o luăm. Când expresia este pozitivă - prin urmare, este pozitivă pe întreg intervalul de la până la.

Când partea stângă a inegalității este negativă."> . Подставим и проверим знак выражения в левой части неравенства. Каждая "скобочка" положительна. Следовательно, левая часть имеет знак .!}

Și, în sfârșit, class="tex" alt="x>7

Am aflat la ce intervale expresia este pozitivă. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

Raspuns: . la trecerea prin fiecare punct, exact unul dintre factorii liniari și-a schimbat semnul, în timp ce restul l-a păstrat neschimbat.

Vedem că metoda intervalului este foarte simplă. Pentru a rezolva inegalitatea fracționară-rațională folosind metoda intervalului, o reducem la forma:

Sau class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle P\left(x\right))(\displaystyle Q\left(x\right)) > 0"> !}, sau , sau .

(în partea stângă este o funcție rațională fracțională, în partea dreaptă este zero).

Apoi marchem pe linia numerica punctele in care numaratorul sau numitorul merge la zero.
Aceste puncte împart întreaga dreaptă numerică în intervale, pe fiecare dintre ele funcția fracționară-rațională își păstrează semnul.
Rămâne doar să-i aflăm semnul la fiecare interval.
Facem acest lucru verificând semnul expresiei în orice punct aparținând unui interval dat. După aceea, scriem răspunsul. Asta este.

Dar se pune întrebarea: semnele alternează întotdeauna? Nu, nu întotdeauna! Trebuie să fii atent și să nu așezi semne mecanic și fără gânduri.

2. Să luăm în considerare o altă inegalitate.

Class="tex" alt="\genfrac())()(0)(\displaystyle \left(x-2 \right)^2)(\displaystyle \left(x-1 \right) \ stânga(x-3 \dreapta))>0"> !}

Așezați din nou punctele pe axă. Punctele și sunt perforate pentru că sunt zerouri ale numitorului. Punctul este, de asemenea, tăiat, deoarece inegalitatea este strictă.

Când numărătorul este pozitiv, ambii factori din numitor sunt negativi. Acest lucru poate fi verificat cu ușurință luând orice număr dintr-un interval dat, de exemplu, . Partea stângă are semnul:

Când numărătorul este pozitiv; Primul factor din numitor este pozitiv, al doilea factor este negativ. Partea stângă are semnul:

Situația este aceeași! Numătorul este pozitiv, primul factor din numitor este pozitiv, al doilea este negativ. Partea stângă are semnul:

În cele din urmă, cu class="tex" alt="x>3"> все множители положительны, и левая часть имеет знак :!}

Am aflat la ce intervale expresia este pozitivă. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

De ce a fost întreruptă alternanța semnelor? Pentru că atunci când trece printr-un punct, multiplicatorul este „responsabil” pentru acesta nu a schimbat semnul. În consecință, toată partea stângă a inegalității noastre nu și-a schimbat semnul.

Concluzie: dacă multiplicatorul liniar este o putere pară (de exemplu, pătrat), atunci când trece printr-un punct semnul expresiei din partea stângă nu se schimbă. În cazul unui grad impar, semnul, desigur, se schimbă.

3. Să luăm în considerare mai multe caz dificil. Diferă de precedentul prin faptul că inegalitatea nu este strictă:

Partea stângă este aceeași ca în problema anterioară. Imaginea semnelor va fi aceeași:

Poate răspunsul va fi același? Nu! Se adaugă o soluție. Acest lucru se întâmplă deoarece ambele părți din stânga și din dreapta inegalității sunt egale cu zero - prin urmare, acest punct este o soluție.

Am aflat la ce intervale expresia este pozitivă. Rămâne doar să scrieți răspunsul:

Această situație apare adesea în problemele de la examenul unificat de stat la matematică. Aici candidații cad într-o capcană și pierd puncte. Atenție!

4. Ce trebuie să faceți dacă numărătorul sau numitorul nu poate fi factorizat în factori liniari? Luați în considerare această inegalitate:

Un trinom pătrat nu poate fi factorizat: discriminantul este negativ, nu există rădăcini. Dar asta e bine! Aceasta înseamnă că semnul expresiei pentru toți este același și, în mod specific, pozitiv. Puteți citi mai multe despre acest lucru în articolul despre proprietățile funcțiilor pătratice.

Și acum putem împărți ambele părți ale inegalității noastre la o valoare care este pozitivă pentru toți. Să ajungem la o inegalitate echivalentă:

Ceea ce se rezolvă ușor folosind metoda intervalului.

Vă rugăm să rețineți că am împărțit ambele părți ale inegalității la o valoare despre care știam cu siguranță că este pozitivă. Desigur, în general, nu trebuie să înmulțiți sau să împărțiți o inegalitate cu o variabilă al cărei semn este necunoscut.

5 . Să luăm în considerare o altă inegalitate, aparent destul de simplă:

Vreau doar să o înmulțesc cu . Dar suntem deja inteligenți și nu vom face asta. La urma urmei, poate fi atât pozitiv, cât și negativ. Și știm că dacă ambele părți ale inegalității sunt înmulțite cu o valoare negativă, semnul inegalității se schimbă.

O vom face diferit - vom colecta totul într-o singură parte și o vom aduce la un numitor comun. Partea dreaptă va rămâne zero:

Class="tex" alt="\genfrac())()()(0)(\displaystyle x-2)(\displaystyle x)>0"> !}

Și după aceea - aplicați metoda intervalului.

Metoda intervalului este un algoritm special conceput pentru a rezolva inegalitățile complexe de forma f(x) > 0. Algoritmul constă din 5 pași:

1. Rezolvați ecuația f(x) = 0. Astfel, în loc de o inegalitate, obținem o ecuație care este mult mai simplu de rezolvat;
2. Marcați toate rădăcinile obținute pe linia de coordonate. Astfel, linia dreaptă va fi împărțită în mai multe intervale;
3. Aflați multiplicitatea rădăcinilor. Dacă rădăcinile sunt de multiplicitate uniformă, atunci trageți o buclă deasupra rădăcinii. (O rădăcină este considerată multiplu dacă există număr par solutii identice)
4. Aflați semnul (plus sau minus) al funcției f(x) în intervalul din dreapta. Pentru a face acest lucru, este suficient să înlocuiți în f(x) orice număr care va fi în dreapta tuturor rădăcinilor marcate;
5. Marcați semnele la intervalele rămase, alternându-le.

După aceasta, nu mai rămâne decât să notăm intervalele care ne interesează. Ele sunt marcate cu semnul „+” dacă inegalitatea a fost de forma f(x) > 0 sau cu semnul „−” dacă inegalitatea a fost de forma f(x)< 0.

În cazul inegalităților nestricte (≤ , ≥), este necesar să se includă în intervale puncte care sunt o soluție a ecuației f(x) = 0;

Exemplul 1:

Rezolvați inegalitatea:

(x - 2)(x + 7)< 0

Lucrăm folosind metoda intervalului.

Pasul 1: înlocuiți inegalitatea cu o ecuație și rezolvați-o:

(x - 2)(x + 7) = 0

Produsul este zero dacă și numai dacă cel puțin unul dintre factori este zero:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Avem două rădăcini.

Pasul 2: Marcam aceste rădăcini pe linia de coordonate. Avem:

Pasul 3: găsim semnul funcției pe intervalul din dreapta (în dreapta punctului marcat x = 2). Pentru a face acest lucru, trebuie să luați orice număr mai mult număr x = 2. De exemplu, să luăm x = 3 (dar nimeni nu interzice să luăm x = 4, x = 10 și chiar x = 10.000).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Obținem că f(3) = 10 > 0 (10 este un număr pozitiv), așa că punem un semn plus în intervalul din dreapta.

Pasul 4: trebuie să notați semnele de pe intervalele rămase. Ne amintim că la trecerea prin fiecare rădăcină semnul trebuie să se schimbe. De exemplu, în dreapta rădăcinii x = 2 există un plus (ne-am asigurat de acest lucru în pasul anterior), deci trebuie să fie un minus la stânga. Acest minus se extinde la întreg intervalul (−7; 2), deci există un minus la dreapta rădăcinii x = −7. Prin urmare, la stânga rădăcinii x = −7 există un plus. Rămâne să marcați aceste semne pe axa de coordonate.

Să revenim la inegalitatea inițială, care avea forma:

(x - 2)(x + 7)< 0

Deci funcția ar trebui să fie mai putin de zero. Aceasta înseamnă că ne interesează semnul minus, care apare doar pe un interval: (−7; 2). Acesta va fi răspunsul.

Exemplul 2:

Rezolvați inegalitatea:

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

Soluţie:

Mai întâi trebuie să găsiți rădăcinile ecuației

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

Să restrângem prima paranteză și să obținem:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Rezolvând aceste ecuații obținem:

Să reprezentăm punctele pe dreapta numerică:

Deoarece x 2 și x 3 sunt rădăcini multiple, atunci va fi un punct pe linie și deasupra lui „ buclă”.

Să luăm orice număr mai mic decât punctul din stânga și să îl înlocuim în inegalitatea inițială. Să luăm numărul -1.

Nu uitați să includeți soluția ecuației (găsit X), deoarece inegalitatea noastră nu este strictă.

Răspuns: () U ∪(3)∪ (nu definim semnul pe intervalul (−6, 4), deoarece nu face parte din domeniul de definire al funcției). Pentru a face acest lucru, luați un punct din fiecare interval, de exemplu, 16, 8, 6 și −8 și calculați valoarea funcției f din ele:

Dacă aveți întrebări despre cum s-a aflat care sunt valorile calculate ale funcției, pozitive sau negative, atunci studiați materialul din articol compararea numerelor.

Plasăm semnele tocmai definite și aplicăm umbrire peste spațiile cu semnul minus:

În răspuns scriem unirea a două intervale cu semnul −, avem (−∞, −6]∪(7, 12). Rețineți că −6 este inclus în răspuns (punctul corespunzător este solid, nu perforat) Cert este că acesta nu este zero al funcției (pe care, atunci când rezolvăm o inegalitate strictă, nu l-am include în răspuns), ci punctul limită al domeniului de definiție (este colorat, nu negru) și valoarea funcției în acest punct este negativă (așa cum se evidențiază prin semnul minus pe intervalul corespunzător), adică satisface inegalitatea, dar 4 nu trebuie inclus în răspuns (precum și întregul interval). ∪(7, 12) .

Referințe.

1. Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
2. Mordkovich A.G. Algebră. clasa a IX-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
3. Algebră iar începutul analizei: Proc. pentru clasele 10-11. educatie generala instituții / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu P. Dudnitsyn și alții; Ed. A. N. Kolmogorov - ed. a XIV-a - M.: Educație, 2004. - 384 p. - ISBN 5-09-013651-3.
4. Kudryavtsev L.D. Curs de analiză matematică (în două volume): Manual pentru studenți și studenți. – M.: Mai sus. şcoală, 1981, vol. 1. – 687 p., ill.

Metoda intervalului este o metodă universală pentru rezolvarea inegalităților, în special, vă permite să rezolvați inegalitățile pătratice cu o variabilă. În acest articol vom acoperi în detaliu toate nuanțele rezolvării inegalităților pătratice folosind metoda intervalului. În primul rând, prezentăm algoritmul, după care vom analiza în detaliu soluții gata făcute pentru exemple tipice.

Navigare în pagină.

Algoritm

Prima cunoaștere cu metoda intervalului are loc de obicei în lecțiile de algebră, când învață să rezolve inegalitățile pătratice. În acest caz, algoritmul metodei intervalului este dat într-o formă adaptată special pentru rezolvarea inegalităților pătratice. Acordând un omagiu simplității, o vom oferi și în această formă și puteți vedea algoritmul general al metodei intervalului la linkul de la începutul acestui articol.

Aşa, algoritm de rezolvare a inegalităților pătratice folosind metoda intervalului este:

• Aflarea zerourilor unui trinom pătratic a·x 2 +b·x+c din partea stângă a inegalității pătratice.
• O desenăm și, dacă există rădăcini, le marchem pe ea. Mai mult, dacă rezolvăm o inegalitate strictă, atunci le notăm cu puncte goale (perforate), iar dacă rezolvăm o inegalitate nestrictă, atunci cu puncte obișnuite. Ele împart axa de coordonate în intervale.
• Determinăm ce semne au valorile trinomului pe fiecare interval (dacă s-au găsit zerouri în primul pas) sau pe întreaga linie numerică (dacă nu există zerouri), vă vom spune mai jos cum să faceți acest lucru. Și punem + sau - peste aceste intervale în conformitate cu anumite semne.
• Dacă rezolvăm o inegalitate pătratică cu semn > sau ≥, atunci aplicăm umbrirea intervalelor cu semne +, dar dacă rezolvăm o inegalitate cu semn< или ≤, то наносим штриховку над промежутками со знаком −. В результате получаем , которое и является искомым решением неравенства.
• Scriem răspunsul.

După cum am promis, explicăm al treilea pas al algoritmului anunțat. Există mai multe abordări de bază pentru a găsi semne pe intervale. Le vom studia cu exemple și vom începe cu o metodă fiabilă, dar nu cea mai rapidă, care constă în calcularea valorilor trinomului în puncte individuale ale intervalelor.

Să luăm trinomul x 2 +4·x−5, rădăcinile sale sunt numerele −5 și 1, ele împart linia numerică în trei intervale (−∞, −5), (−5, 1) și (1, + ∞).

Să determinăm semnul trinomului x 2 +4·x−5 pe intervalul (1, +∞) . Pentru a face acest lucru, calculăm valoarea acestui trinom pentru o anumită valoare a lui x din acest interval. Este indicat să luați valoarea variabilei astfel încât calculele să fie simple. În cazul nostru, de exemplu, putem lua x=2 (cu acest număr este mai ușor să efectuați calcule decât, de exemplu, cu 1,3, 74 sau). O substituim în trinom în loc de variabila x, ca rezultat obținem 2 2 +4·2−5=7. 7 este un număr pozitiv, ceea ce înseamnă că orice valoare a trinomului pătratic din intervalul (1, +∞) va fi pozitivă. Așa am definit semnul +.

Pentru a consolida abilitățile, vom determina semnele pe celelalte două spații rămase. Să începem cu semnul de pe intervalul (−5, 1) . Din acest interval cel mai bine este să luăm x=0 și să calculăm valoarea trinomului pătratic pentru această valoare a variabilei, avem 0 2 +4·0−5=−5. Deoarece −5 este un număr negativ, atunci pe acest interval toate valorile trinomului vor fi negative, prin urmare, am definit semnul minus.

Rămâne de aflat semnul pe intervalul (−∞, −5) . Să luăm x=−6, înlocuiți-l cu x, obținem (−6) 2 +4·(−6)−5=7, prin urmare, semnul necesar va fi plus.

Dar următoarele fapte vă permit să plasați semne mai repede:

• Când un trinom pătrat are două rădăcini (cu un discriminant pozitiv), atunci semnele valorilor sale pe intervalele în care aceste rădăcini împart linia numerică se alternează (ca în exemplul anterior). Adică este suficient să determinați semnul pe unul dintre cele trei intervale și să plasați semnele peste intervalele rămase, alternându-le. Ca rezultat, una dintre cele două secvențe de caractere este posibilă: +, -, + sau -, +, -. Mai mult decât atât, în general, puteți să nu calculați valoarea trinomului pătratic în punctul intervalului și să trageți concluzii despre semne pe baza valorii coeficientului principal a: dacă a>0, atunci avem o succesiune de semne + , −, + și dacă a<0 – то −, +, −.
• Dacă trinomul pătrat are o rădăcină (când discriminantul este zero), atunci această rădăcină împarte linia numerică în două intervale, iar semnele de deasupra lor vor fi aceleași. Adică, este suficient să determinați un semn deasupra unuia dintre ele, iar deasupra celuilalt - puneți același. Acest lucru va avea ca rezultat fie +, +, fie -, -. O concluzie bazată pe semne se poate face și pe baza valorii coeficientului a: dacă a>0, atunci va fi +, + și dacă a<0 , то −, −.
• Când un trinom pătrat nu are rădăcini, atunci semnele valorilor sale pe întreaga dreaptă numerică coincid atât cu semnul coeficientului principal a, cât și cu semnul termenului liber c. De exemplu, luăm în considerare trinomul pătrat −4 x 2 −7, nu are rădăcini (discriminantul său este negativ), iar pe intervalul (−∞, +∞) valorile sale sunt negative, deoarece coeficientul lui x 2 este un număr negativ −4, iar termenul liber −7 este, de asemenea, negativ.

Acum au fost analizați toți pașii algoritmului și rămâne să luăm în considerare exemple de rezolvare a inegalităților pătratice folosindu-l.

Exemple cu soluții

Să trecem la practică. Să rezolvăm mai multe inegalități pătratice folosind metoda intervalului și să atingem principalele cazuri caracteristice.

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea 8 x 2 −4 x−1≥0 .

Soluţie.

Să rezolvăm această inegalitate pătratică folosind metoda intervalului. În primul pas, implică căutarea rădăcinilor trinomului pătratic 8 x 2 −4 x −1 . Coeficientul lui x este par, deci este mai convenabil să calculăm nu discriminantul, ci a patra parte a acestuia: D"=(−2) 2 −8·(−1)=12. Deoarece este mai mare decât zero, găsim două rădăcini Şi .

Acum le marcam pe linia de coordonate. Este ușor de observat că x 1

Apoi, folosind metoda intervalului, determinăm semnele pe fiecare dintre cele trei intervale rezultate. Acest lucru este cel mai convenabil și cel mai rapid de făcut pe baza valorii coeficientului la x 2, este egal cu 8, adică pozitiv, prin urmare, succesiunea de semne va fi +, -, +:

Deoarece rezolvăm o inegalitate cu semnul ≥, trasăm umbrirea intervalelor cu semne plus:

Pe baza imaginii rezultate a unui set numeric, nu este dificil să o descriem analitic: sau cam asa ceva . Așa am rezolvat inegalitatea pătratică inițială.

Răspuns:

sau .

Exemplu.

Rezolvați inegalitatea pătratică metoda intervalului.

Soluţie.

Găsiți rădăcinile trinomului pătratic din partea stângă a inegalității:

Deoarece rezolvăm o inegalitate strictă, descriem un punct perforat cu coordonata 7 pe linia de coordonate:

Acum determinăm semnele pe cele două intervale rezultate (−∞, 7) și (7, +∞). Acest lucru este ușor de făcut, având în vedere că discriminantul unui trinom pătratic este egal cu zerouri și coeficientul de conducere este negativ. Avem semnele −, −:

Deoarece rezolvăm o inegalitate cu un semn<, то изображаем штриховку над интервалами со знаками минус:

Se vede clar că ambele intervale (−∞, 7) , (7, +∞) sunt soluții.

Răspuns:

(−∞, 7)∪(7, +∞) sau în altă notație x≠7 .

Exemplu.

Are inegalitatea pătratică x 2 +x+7<0 решения?

Soluţie.

Pentru a răspunde la întrebarea pusă, vom rezolva această inegalitate pătratică și, întrucât analizăm metoda intervalelor, o vom folosi. Ca de obicei, începem prin a găsi rădăcinile trinomului pătrat din partea stângă. Găsim discriminantul: D=1 2 −4·1·7=1−28=−27, acesta este mai mic decât zero, ceea ce înseamnă că nu există rădăcini reale.

Prin urmare, pur și simplu desenăm o linie de coordonate fără a marca niciun punct pe ea:

Acum determinăm semnul valorilor trinomului pătratic. La D<0 он совпадает со знаком коэффициента при x 2 , то есть, со знаком числа 1 , оно положительное, следовательно, имеем знак +:

Rezolvăm inegalitatea cu semne<, поэтому штриховку следует изобразить над промежутками со знаком −, но таковых нет, и в силу этого штриховку не наносим, а чертеж сохраняет свой вид.

Ca rezultat, avem o mulțime goală, ceea ce înseamnă că inegalitatea pătratică originală nu are soluții.

Răspuns:

Referințe.

• Algebră: manual pentru clasa a VIII-a. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebră: Clasa a IX-a: educațională. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editat de S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M.: Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a IX-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a XIII-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Algebra și începuturile analizei matematice. clasa a XI-a. În 2 ore. Partea 1. Manual pentru studenții instituțiilor de învățământ general (nivel de profil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - Ed. a II-a, șters. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Note importante!
1. Dacă vedeți gobbledygook în loc de formule, ștergeți memoria cache. Cum se face acest lucru în browser este scris aici:
2. Înainte de a începe să citiți articolul, acordați atenție navigatorului nostru pentru cele mai utile resurse pt

Trebuie doar să înțelegi această metodă și să o cunoști ca pe dosul mâinii! Fie doar pentru că este folosit pentru rezolvarea inegalităților raționale și pentru că, cunoscând corect această metodă, rezolvarea acestor inegalități este surprinzător de simplă. Puțin mai târziu, vă voi spune câteva secrete despre cum să economisiți timp în rezolvarea acestor inegalități. Ei bine, ești intrigat? Atunci hai să mergem!

Esența metodei este de a factoriza inegalitatea în factori (repetați subiectul) și de a determina ODZ și semnul factorilor acum voi explica totul; Să luăm cel mai simplu exemplu: .

Nu este nevoie să scrieți aici intervalul de valori acceptabile () deoarece nu există nicio diviziune prin variabilă și nu există radicali (rădăcini) observați aici. Totul aici este deja factorizat pentru noi. Dar nu vă relaxați, toate acestea sunt pentru a vă aminti elementele de bază și pentru a înțelege esența!

Să presupunem că nu cunoașteți metoda intervalului, cum ați rezolva această inegalitate? Abordați logic și construiți pe ceea ce știți deja. În primul rând, partea stângă va fi mai mare decât zero dacă ambele expresii dintre paranteze sunt fie mai mari decât zero, fie mai mici decât zero, deoarece „plus” pentru „plus” dă „plus” și „minus” pentru „minus” dă „plus”, nu? Și dacă semnele expresiilor din paranteze sunt diferite, atunci în cele din urmă partea stângă va fi mai mică decât zero. De ce avem nevoie pentru a afla acele valori la care expresiile dintre paranteze vor fi negative sau pozitive?

Trebuie să rezolvăm o ecuație, este exact la fel cu o inegalitate, doar că în loc de semn va fi un semn, rădăcinile acestei ecuații ne vor permite să determinăm acele valori la limită, la plecarea de la care factorii vor fi mai mari. sau mai puțin de zero.

Și acum intervalele în sine. Ce este un interval? Acesta este un anumit interval al dreptei numerice, adică toate numerele posibile cuprinse între două numere - capetele intervalului. Nu este atât de ușor să-ți imaginezi aceste intervale în capul tău, așa că este obișnuit să desenezi intervale, te voi învăța acum.

Desenăm o axă; întreaga serie de numere de la și până la este situată pe ea. Punctele sunt trasate pe axă, așa-numitele zerouri ale funcției, valorile la care expresia este egală cu zero. Aceste puncte sunt „evidențiate”, ceea ce înseamnă că nu se numără printre valorile la care inegalitatea este adevărată. În acest caz, acestea sunt perforate pentru că semnează în inegalitate și nu, adică strict mai mare decât și nu mai mare decât sau egal cu.

Vreau să spun că nu este necesar să se marcheze zero, este aici fără cercuri, ci doar pentru înțelegere și orientare de-a lungul axei. Bine, am desenat axa, am pus punctele (mai precis, cercuri), ce urmează, cum mă va ajuta asta să rezolv? - întrebi tu. Acum luați valoarea pentru x din intervale în ordine și înlocuiți-le în inegalitatea dvs. și vedeți în ce semn rezultă înmulțirea.

Pe scurt, o luăm de exemplu, înlocuim-o aici, se va rezolva, ceea ce înseamnă că inegalitatea va fi valabilă pe tot intervalul (pe întregul interval) de la până la, din care am luat-o. Cu alte cuvinte, dacă x este de la până, atunci inegalitatea este adevărată.

Facem același lucru cu intervalul de la până, luați sau, de exemplu, înlocuiți în, determinăm semnul, semnul va fi „minus”. Și facem același lucru cu ultimul, al treilea interval de la până, unde semnul se dovedește a fi „plus”. Există atât de mult text, dar nu suficientă claritate, nu?

Aruncă o altă privire asupra inegalității.

Acum aplicăm și semnele care se vor obține ca rezultat pe aceeași axă. În exemplul meu, o linie întreruptă denotă secțiunile pozitive și negative ale axei.

Privește inegalitatea - la desen, din nou la inegalitatea - și din nou la desen, este ceva clar? Acum încercați să spuneți la ce intervale X, inegalitatea va fi adevărată. Așa este, de la până la inegalitatea va fi adevărată și de la până la, dar pe intervalul de la până la inegalitatea este zero și acest interval ne interesează puțin, deoarece avem un semn în inegalitate.

Ei bine, acum că v-ați dat seama, singurul lucru care mai rămâne de făcut este să scrieți răspunsul! Ca răspuns, scriem acele intervale pentru care partea stângă este mai mare decât zero, care se citește ca X aparține intervalului de la minus infinit la minus unu și de la doi la plus infinit. Merită clarificat faptul că parantezele înseamnă că valorile prin care intervalul este limitat nu sunt soluții la inegalitate, adică nu sunt incluse în răspuns, ci indică doar că până la, de exemplu, nu este un soluţie.

Acum un exemplu în care nu va trebui doar să desenați intervalul:

Ce crezi că trebuie făcut înainte de a pune puncte pe axă? Da, includeți-l în factori:

Desenăm intervale și plasăm semne, rețineți că avem puncte perforate, deoarece semnul este strict mai mic decât zero:

Este timpul să vă spun un secret pe care l-am promis la începutul acestui topic! Dacă v-aș spune că nu trebuie să înlocuiți valorile din fiecare interval pentru a determina semnul, ci puteți determina semnul într-unul dintre intervale și pur și simplu alternați semnele în restul!

Astfel, am economisit puțin timp la așezarea semnelor - cred că acest timp câștigat la examenul de stat unificat nu va strica!

Scriem răspunsul:

Acum luați în considerare un exemplu de inegalitate fracțională-rațională - o inegalitate, ambele părți din care sunt expresii raționale (vezi).

Ce poți spune despre această inegalitate? Și o priviți ca pe o ecuație fracțională-rațională, ce facem mai întâi? Vedem imediat că nu există rădăcini, ceea ce înseamnă că este cu siguranță rațional, dar apoi este o fracție și chiar cu o necunoscută la numitor!

Așa e, avem nevoie de ODZ!

Deci, să mergem mai departe, aici toți factorii, cu excepția unuia, au o variabilă de gradul întâi, dar există un factor în care x are un grad al doilea. De obicei, semnul nostru s-a schimbat după trecerea printr-unul dintre punctele în care partea stângă a inegalității capătă o valoare zero, pentru care am determinat cu ce ar trebui să fie x în fiecare factor. Dar aici, este întotdeauna pozitiv, pentru că orice număr la pătrat > zero și un termen pozitiv.

Crezi că acest lucru va afecta sensul inegalității? Așa este - nu va afecta! Putem împărți în siguranță inegalitatea în ambele părți și, prin urmare, să eliminăm acest factor, astfel încât să nu fie o criză.

A sosit momentul să desenați intervalele, pentru a face acest lucru, trebuie să determinați acele valori de limită, la plecare de la care multiplicatorii vor fi mai mari și mai mici decât zero. Dar fiți atenți că aici există un semn, ceea ce înseamnă că nu vom alege punctul în care partea stângă a inegalității capătă o valoare zero, este inclusă în numărul de soluții, avem doar un astfel de punct, acesta este punctul în care x este egal cu unu. Să colorăm punctul în care numitorul este negativ? - Desigur că nu!

Numitorul nu trebuie să fie zero, deci intervalul va arăta astfel:

Folosind această diagramă, puteți scrie cu ușurință răspunsul, voi spune doar că acum aveți la dispoziție un nou tip de paranteză - pătrat! Iată o paranteză [ spune că valoarea este inclusă în intervalul de soluție, i.e. face parte din răspuns, această paranteză corespunde unui punct umplut (nu fixat) pe axă.

Deci, ai primit același răspuns?

O includem în factori și mutam totul într-o parte, la urma urmei, trebuie să lăsăm zero pe dreapta pentru a compara cu el:

Vă atrag atenția că în ultima transformare, pentru a obține atât la numărător cât și la numitor, înmulțesc ambele părți ale inegalității cu. Amintiți-vă că atunci când ambele părți ale unei inegalități sunt înmulțite cu, semnul inegalității se schimbă în opus!!!

Scriem ODZ:

În caz contrar, numitorul va ajunge la zero și, după cum vă amintiți, nu puteți împărți la zero!

De acord, inegalitatea rezultată este tentantă să reducă numărătorul și numitorul! Acest lucru nu se poate face, puteți pierde unele decizii sau ODZ!

Acum încercați să puneți singur punctele pe axă. Voi observa doar că atunci când trasați puncte, trebuie să acordați atenție faptului că un punct cu o valoare, care, pe baza semnului, ar părea a fi reprezentat pe axă ca umbrit, nu va fi umbrit, va fi scos! De ce întrebaţi? Și ține minte ODZ, nu vei împărți la zero așa?

Amintiți-vă, ODZ este pe primul loc! Dacă toate inegalitățile și semnele egale spun un lucru, iar ODZ spune altceva, ai încredere în ODZ, mare și puternic!

Ei bine, tu ai construit intervalele, sunt sigur că mi-ai luat aluzie despre alternanță și ai înțeles așa (vezi poza de mai jos) Acum taie-l și nu mai face greșeala asta! Ce eroare? - întrebi tu.

Cert este că în această inegalitate factorul s-a repetat de două ori (vă amintiți cum ați încercat să-l reduceți?). Deci, dacă un factor se repetă în inegalitate de un număr par de ori, atunci când trece printr-un punct de pe axa care transformă acest factor la zero (în acest caz, un punct), semnul nu se va schimba dacă este impar , atunci semnul se schimba!

Următoarea axă cu intervale și semne va fi corectă:

Răspuns:

Și, vă rugăm să rețineți că semnul care ne interesează nu este cel care a fost la început (când am văzut prima dată inegalitatea, semnul era acolo), după transformări, semnul s-a schimbat în, ceea ce înseamnă că ne interesează intervale. cu un semn.

Voi mai spune că sunt situații când există rădăcini ale inegalității care nu se încadrează în niciun interval, ca răspuns sunt scrise între paranteze, așa, de exemplu: . Mai multe despre astfel de situații puteți citi în articolul nivel mediu.

1. Să rezumam cum să rezolvăm inegalitățile folosind metoda intervalului:
2. Mutăm totul în partea stângă, lăsând doar zero în dreapta;
3. Găsim ODZ;
4. Trasăm toate rădăcinile inegalității pe axă;
5. Luăm unul arbitrar dintr-unul dintre intervale și determinăm semnul în intervalul căruia îi aparține rădăcina, alternăm semnele, acordând atenție rădăcinilor care se repetă de mai multe ori în inegalitate depinde dacă semnul se schimbă la trecerea lor; pe uniformitatea sau neregulă a numărului de ori se repetă sau nu;

Ca răspuns, scriem intervale, observând punctele punctate și neperforate (vezi ODZ), plasând între ele tipurile necesare de paranteze.

Și în sfârșit, secțiunea noastră preferată, „fă-o singur”!

Exemple:

Raspunsuri:

METODA INTERVALULUI. NIVEL MEDIU

O funcție a formei se numește liniară. Să luăm ca exemplu o funcție. Este pozitiv la și negativ la. Punctul este zero al funcției (). Să arătăm semnele acestei funcții pe axa numerelor:

Spunem că „funcția își schimbă semnul la trecerea prin punct”.

Se poate observa că semnele funcției corespund poziției graficului funcției: dacă graficul este deasupra axei, semnul este „ ”, dacă sub acesta este „ ”.

Dacă generalizăm regula rezultată la o funcție liniară arbitrară, obținem următorul algoritm:

• Aflarea zeroului funcției;
• O marcam pe axa numerelor;
• Determinăm semnul funcției pe laturile opuse ale zeroului.

Funcția pătratică

Sper că vă amintiți cum să rezolvați inegalitățile pătratice? Daca nu, citeste subiectul. Permiteți-mi să vă reamintesc de viziunea generală funcţie pătratică: .

Acum să ne amintim ce semne are funcția pătratică. Graficul său este o parabolă, iar funcția ia semnul " " pentru cei în care parabola este deasupra axei și " " - dacă parabola este sub axa:

Dacă o funcție are zerouri (valori la care), parabola intersectează axa în două puncte - rădăcinile ecuației pătratice corespunzătoare. Astfel, axa este împărțită în trei intervale, iar semnele funcției se schimbă alternativ la trecerea prin fiecare rădăcină.

Este posibil să determinați cumva semnele fără să desenați o parabolă de fiecare dată?

Amintiți-vă că un trinom pătrat poate fi factorizat:

De exemplu: .

Să marchem rădăcinile pe axă:

Ne amintim că semnul unei funcții se poate schimba doar la trecerea prin rădăcină. Să folosim acest fapt: pentru fiecare dintre cele trei intervale în care axa este împărțită prin rădăcini, este suficient să se determine semnul funcției într-un singur punct ales arbitrar: în punctele rămase ale intervalului semnul va fi același .

În exemplul nostru: la ambele expresii dintre paranteze sunt pozitive (înlocuitor, de exemplu:). Punem semnul „ ” pe axă:

Ei bine, când (înlocuitor, de exemplu), ambele paranteze sunt negative, ceea ce înseamnă că produsul este pozitiv:

Asta este metoda intervalului: cunoscând semnele factorilor pe fiecare interval, determinăm semnul întregului produs.

Să luăm în considerare și cazurile în care funcția nu are zerouri sau doar unul.

Dacă nu sunt acolo, atunci nu există rădăcini. Aceasta înseamnă că nu va exista nicio „trecere prin rădăcină”. Aceasta înseamnă că funcția ia un singur semn pe întreaga linie numerică. Poate fi determinat cu ușurință prin substituirea acesteia într-o funcție.

Dacă există o singură rădăcină, parabola atinge axa, astfel încât semnul funcției nu se schimbă la trecerea prin rădăcină. Cu ce ​​regulă putem veni pentru astfel de situații?

Dacă factorizați o astfel de funcție, obțineți doi factori identici:

Și orice expresie la pătrat este nenegativă! Prin urmare, semnul funcției nu se schimbă. În astfel de cazuri, vom evidenția rădăcina, la trecerea prin care semnul nu se schimbă, încercuind-o cu un pătrat:

O astfel de rădăcină o vom numi multiplu.

Metoda intervalului în inegalități

Acum orice inegalitate pătratică poate fi rezolvată fără a trasa o parabolă. Este suficient doar să plasați semnele funcției pătratice pe axă și să selectați intervale în funcție de semnul inegalității. De exemplu:

Să măsurăm rădăcinile pe axă și să plasăm semnele:

Avem nevoie de partea axei cu semnul " "; deoarece inegalitatea nu este strictă, rădăcinile în sine sunt incluse și în soluție:

Acum luați în considerare o inegalitate rațională - o inegalitate, a cărei ambele părți sunt expresii raționale (vezi).

Exemplu:

Toți factorii, cu excepția unuia, sunt „liniari” aici, adică conțin o variabilă numai pentru prima putere. Avem nevoie de astfel de factori liniari pentru a aplica metoda intervalului - semnul se schimbă atunci când trece prin rădăcinile lor. Dar multiplicatorul nu are deloc rădăcini. Aceasta înseamnă că este întotdeauna pozitiv (verificați acest lucru pentru dvs.) și, prin urmare, nu afectează semnul întregii inegalități. Aceasta înseamnă că putem împărți părțile stânga și dreapta ale inegalității cu aceasta și, astfel, scăpăm de ea:

Acum totul este la fel ca în cazul inegalităților pătratice: determinăm în ce puncte fiecare dintre factori devine zero, marchem aceste puncte pe axă și aranjam semnele. Aș dori să vă atrag atenția asupra unui fapt foarte important:

Raspuns: . Exemplu: .

Pentru a aplica metoda intervalului, una dintre părțile inegalității trebuie să aibă. Prin urmare, să mutam partea dreaptă la stânga:

Numătorul și numitorul au același factor, dar nu vă grăbiți să-l reduceți! La urma urmei, atunci s-ar putea să uităm să scoatem acest punct. Este mai bine să marcați această rădăcină ca multiplu, adică atunci când treceți prin ea, semnul nu se va schimba:

Raspuns: .

Și încă un exemplu foarte ilustrativ:

Din nou, nu anulăm aceiași factori ai numărătorului și numitorului, deoarece, dacă o facem, va trebui să ne amintim în mod special să perforam punctul.

• : ori repetate;
• : ori;
• : ori (la numărător și unul la numitor).

În cazul unui număr par, procedăm la fel ca înainte: încercuim punctul cu un pătrat și nu schimbăm semnul la trecerea prin rădăcină. Dar în cazul unui număr impar, această regulă nu se aplică: semnul se va schimba în continuare la trecerea prin rădăcină. Prin urmare, nu facem nimic suplimentar cu o astfel de rădăcină, de parcă nu ar fi un multiplu. Regulile de mai sus se aplică tuturor puterilor pare și impare.

Ce ar trebui să scriem în răspuns?

Dacă alternarea semnelor este încălcată, trebuie să fii foarte atent, deoarece dacă inegalitatea nu este strictă, răspunsul ar trebui să includă toate punctele umbrite. Dar unele dintre ele sunt adesea separate, adică nu sunt incluse în zona umbrită. În acest caz, le adăugăm la răspuns ca puncte izolate (în acolade):

Exemple (decideți singur):

Exemple:

1. Dacă printre factori este simplă, este o rădăcină, deoarece poate fi reprezentată ca.
   .

METODA INTERVALULUI. SCURT DESPRE LUCRURILE PRINCIPALE

Metoda intervalului este utilizată pentru a rezolva inegalitățile raționale. Constă în determinarea semnului produsului din semnele factorilor pe diverse intervale.

Algoritm pentru rezolvarea inegalităților raționale folosind metoda intervalului.

• Mutăm totul în partea stângă, lăsând doar zero în dreapta;
• Găsim ODZ;
• Trasăm toate rădăcinile inegalității pe axă;
• Luăm unul arbitrar dintr-unul dintre intervale și determinăm semnul în intervalul căruia îi aparține rădăcina, alternăm semnele, acordând atenție rădăcinilor care se repetă de mai multe ori în inegalitate depinde dacă semnul se schimbă la trecerea lor; pe uniformitatea sau neregulă a numărului de ori se repetă sau nu;
• Ca răspuns, scriem intervale, observând punctele punctate și neperforate (vezi ODZ), plasând între ele tipurile necesare de paranteze.

Ei bine, subiectul s-a terminat. Dacă citești aceste rânduri, înseamnă că ești foarte cool.

Pentru că doar 5% dintre oameni sunt capabili să stăpânească ceva pe cont propriu. Și dacă citești până la capăt, atunci ești în acest 5%!

Acum cel mai important lucru.

Ați înțeles teoria pe această temă. Și, repet, asta... asta este pur și simplu super! Ești deja mai bun decât marea majoritate a colegilor tăi.

Problema este că acest lucru poate să nu fie suficient...

Pentru ce?

Pentru promovarea cu succes a Examenului Unificat de Stat, pentru intrarea la facultate cu buget redus și, CEL MAI IMPORTANT, pe viață.

Nu te voi convinge de nimic, o să spun doar un lucru...

Oamenii care au primit o educație bună câștigă mult mai mult decât cei care nu au primit-o. Aceasta este statistica.

Dar acesta nu este principalul lucru.

Principalul lucru este că sunt MAI FERICIȚI (există astfel de studii). Poate pentru că mai multe oportunități se deschid în fața lor și viața devine mai strălucitoare? nu stiu...

Dar gandeste-te singur...

Ce este nevoie pentru a fi sigur că ești mai bun decât alții la examenul de stat unificat și, în cele din urmă, fii... mai fericit?

CĂGAȚI-VĂ MÂNĂ PRIN REZOLVAREA PROBLEMELOR PE ACEST TEMA.

Nu ți se va cere teorie în timpul examenului.

vei avea nevoie rezolva problemele in timp.

Și, dacă nu le-ați rezolvat (MULTE!), cu siguranță veți face o greșeală stupidă undeva sau pur și simplu nu veți avea timp.

Este ca în sport - trebuie să o repeți de multe ori pentru a câștiga cu siguranță.

Găsiți colecția oriunde doriți, neaparat cu solutii, analiza detaliatași decide, decide, decide!

Puteți folosi sarcinile noastre (opțional) și noi, bineînțeles, le recomandăm.

Pentru a folosi mai bine sarcinile noastre, trebuie să contribuiți la prelungirea duratei de viață a manualului YouClever pe care îl citiți în prezent.

Cum? Există două opțiuni:

1. Deblocați toate sarcinile ascunse din acest articol -
2. Deblocați accesul la toate sarcinile ascunse din toate cele 99 de articole ale manualului - Cumpărați un manual - 499 RUR

Da, avem 99 de astfel de articole în manualul nostru și accesul la toate sarcinile și toate textele ascunse din ele poate fi deschis imediat.

Accesul la toate sarcinile ascunse este asigurat pe toată durata de viață a site-ului.

Si in concluzie...

Dacă nu vă plac sarcinile noastre, găsiți altele. Doar nu te opri la teorie.

„Înțeles” și „Pot rezolva” sunt abilități complet diferite. Ai nevoie de amândouă.

Găsiți probleme și rezolvați-le!