Plan tangent. Plan tangent la o sferă

DEFINIȚIE. Plan tangent la suprafata intr-un punct
se numeste plan care contine toate tangentele la curbele trasate pe suprafata prin acest punct. Normal se numește dreptă perpendiculară pe planul tangent și care trece prin punctul de tangență.

Să arătăm asta
îndreptată normal la suprafaţă
la punct
­.

Luați în considerare curba , culcat la suprafață și trecând prin punct
(Fig. 15). Fie dat de ecuații parametrice

.

Dacă
– vectorul rază al unui punct
, în mișcare la schimbare de-a lungul , apoi, și
– vectorul rază al unui punct
.

Deoarece se află la suprafață, atunci. Să diferențiem această identitate cu privire la :

. (6.6)

A-prioriu
, A. Prin urmare (6.6) înseamnă că produsul scalar
în toate punctele curbei .

Egalitatea produsului scalar al vectorilor cu zero este o condiție necesară și suficientă pentru perpendicularitatea lor. Deci, la punctul

. Dar vectorul
– vector viteză – direcționat tangențial la traiectoria punctului

, adică tangentă la curbă (Fig. 15). Deoarece ales aleatoriu, atunci
perpendicular pe toate tangentele posibile trasate la liniile aflate pe deasupra
si trecand prin punct
. Și asta prin definiție înseamnă că
perpendicular pe planul tangent, adică este normalul acestuia.

Prin urmare, ecuația planului tangent la o suprafață dată are forma (vezi capitolul 3):

Ecuația normală (vezi capitolul 3):

. (6.8)

În special, dacă suprafața este dată de ecuația explicită
, obținem: – ecuația tangentei

avion, și
– ecuația normală.

EXEMPLU. Scrieți ecuațiile planului tangent și ale normalei sferei
la punct
.

Evident

Ecuația planului tangent (6.7):

Ecuații normale (6.8):

.

Rețineți că această linie trece prin origine, adică prin centrul sferei.

EXEMPLU. Scrieți ecuația planului tangent la un paraboloid eliptic
la punct
.

Această suprafață este dată de o ecuație explicită și
.

Prin urmare, ecuația planului tangent într-un punct dat are forma: or.

Extreme ale unei funcții a două variabile

Lasă funcția
definite în toate punctele unei anumite regiuni
.

DEFINIȚIE. Punct
numit punctul maxim (minim) al funcției
, dacă cartierul său există
, peste tot în care.

Din definiţie rezultă că dacă
este punctul maxim, atunci

; Dacă
este punctul minim, atunci

TEOREMA(o condiție necesară pentru extremul unei funcții diferențiabile a două variabile). Lasă funcția
are la punct
extremum. Dacă în acest moment există derivate de ordinul întâi, atunci

DOVADA. Să stabilim valoarea
. Apoi
– funcția unei variabile . Are un extremum la
și prin conditie necesara extremul unei funcții diferențiabile a unei variabile (vezi capitolul 5)
.

În mod similar, stabilirea valorii
, înțelegem asta
.

Q.E.D.

DEFINIȚIE. Punct staționar funcții
numit un punct
, în care ambele derivate parțiale de ordinul întâi sunt egale cu zero:

.

NOTA 1. Condiția necesară formulată nu este o condiție suficientă pentru un extremum.

Lăsa
. Mijloace,
este punctul staționar al acestei funcții. Luați în considerare un arbitrar - vecinătatea originii.

În această zonă, evident că are semne diferite(Fig. 16). Și asta înseamnă că ideea
prin definiție nu este un punct extremum.

Prin urmare, nu orice punct staționar este un punct extremum.

NOTA 2. O funcție continuă poate avea un extrem, dar nu poate avea un punct staționar.

Luați în considerare funcția
. Graficul său este partea de sus
jumătate de con, și evident
– punct minim (Fig. 17).

DEFINIȚIE. Puncte în care derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției
sunt egale cu zero sau nu există se numesc sale critic puncte.

TEOREMA(condiție suficientă pentru extremul funcției
). Lasă funcția
are derivate parțiale de ordinul doi în anumite vecinătăți staționar puncte
. Să, în plus,

.

Atunci dacă

1)
, Acea
– punctul extremum, și anume: punctul maxim, dacă
, sau punct minim, dacă
;

2)
, apoi extremul la punct
Nu;

3)
, atunci sunt necesare cercetări suplimentare pentru a clarifica natura punctului
.

(Nicio dovadă).

EXEMPLU. Examinați funcția extremum
.

Să găsim puncte staționare:
. Nu există puncte staționare, ceea ce înseamnă că funcția nu are extremum.

EXEMPLU. Examinați funcția extremum.

Pentru a găsi puncte staționare, trebuie să rezolvați sistemul de ecuații:

Acesta este această funcție are patru puncte staţionare.

Să verificăm condiția suficientă pentru extremul pentru fiecare dintre ele:

.

Deoarece
, apoi la puncte
nu exista extrema.

Și
, Mijloace,
– punct minim și
;
Și
, Mijloace,
– punct maxim și
.

Lecția 10. Plan tangent la o sferă.

Scopul lecției: să ia în considerare teoreme despre planul tangent la o sferă, să învețe cum să rezolvi problemele pe această temă.

În timpul orelor

Actualizarea cunoștințelor de bază.

Repetarea informațiilor din planimetrie.

Definiţia tangent.

Proprietatea razei trasate la un punct tangent.

Dacă dintr-un punct situat în afara cercului tragem două tangente la acesta, atunci:

a) lungimile segmentelor de la un punct dat la punctele de contact sunt egale:

b) unghiurile dintre fiecare tangentă și secantă care trec prin centrul cercului sunt egale.

Dacă dintr-un punct situat în afara cercului tragem o tangentă și o secantă la acesta, atunci pătratul tangentei este egal cu produsul secantei și părții sale exterioare.

Dacă două coarde se intersectează într-un punct, atunci produsul segmentelor unei coarde este egal cu produsul segmentelor celuilalt.

Poziția relativă a sferei și a planului.

Explicaţie subiect nou. (Diapozitivul 26 – 32)

Deci, o sferă și un plan se pot intersecta de-a lungul unui cerc, nu se intersectează și au un punct comun.

Să luăm în considerare ultimul caz mai detaliat.

Un plan care are un singur punct comun cu o sferă se numește plan tangent la sferă, iar punctul lor comun se numește punct de tangență.

LA
un plan tangent are o proprietate similară cu cea a unei tangente la un cerc.

Dat: sferă cu centru DESPRE si raza R, α - tangentă la sferă într-un punct A avion.

Dovedi: O.A. A.

Dovada: lasa O.A. nu perpendicular pe plan A, Apoi O.A. este înclinată față de plan, ceea ce înseamnă distanța de la centru la plan d R. Acestea. sfera trebuie să intersecteze planul de-a lungul cercului, dar aceasta nu îndeplinește condițiile teoremei. Mijloace, O.A. A.

Să demonstrăm teorema inversă.

Dat: sferă cu centru DESPRE si raza O.A., A, O.A. A.

Dovedi: A– plan tangent.

Dovada: Pentru că O.A. A, atunci distanța de la centrul sferei la plan este egală cu raza. Aceasta înseamnă că sfera și planul au un punct comun. Prin definiție, un plan este tangent la o sferă.

Formarea deprinderilor și abilităților elevilor.

Cât de departe poate vedea? om pământesc stând pe câmpie? (Fără a ține cont de refracția luminii).

Soluţie: CN 2 = h(h + 2 R) (vezi paragraful I al lecției de mai sus)

Lasă înălțimea unei persoane (până la ochi) 1,6 m, R teren 6400 km.

Vom reveni mai târziu asupra acestei probleme pentru a afla care este zona de vizualizare.

Lucrați conform tabelului 33.

AK Bine(De ce?). Conform teoremei lui Pitagora AK = = 15 . A.M.- cea mai apropiată distanță de punct A la sferă (dacă aveți timp, puteți lăsa elevii să se gândească la întrebarea evidentă - de ce?)

A.M.= AO-OM=9.

Rezumatul lecției.

Teme pentru acasă: paragraful 61, nr. 591, 592.

O suprafață este definită ca un set de puncte ale căror coordonate satisfac un anumit tip de ecuație:

Dacă funcţia F (x, y, z) (\displaystyle F(x,\,y,\,z)) este continuă la un moment dat și are derivate parțiale continue, dintre care cel puțin una nu dispare, atunci în vecinătatea acestui punct suprafața dată de ecuația (1) va fi suprafata potrivita.

Pe lângă cele de mai sus mod implicit de precizare, suprafața poate fi definită evident, dacă una dintre variabile, de exemplu, z, poate fi exprimată în termenii celorlalte:

Mai strict suprafata simpla se numește imaginea unei mapări homeomorfe (adică o mapare unu-la-unu și reciproc continuă) a interiorului unui pătrat unitar. Această definiție poate primi o expresie analitică.

Să fie dat un pătrat pe un plan cu un sistem de coordonate dreptunghiular u și v, ale cărui coordonate ale punctelor interne satisfac inegalitățile 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

Exemplu suprafata simpla este o emisferă. Întreaga sferă nu este suprafata simpla. Acest lucru necesită o generalizare suplimentară a conceptului de suprafață.

Un subset de spațiu, fiecare punct al căruia are o vecinătate care este suprafata simpla, numit suprafata potrivita .

Suprafață în geometrie diferențială

Elicoid

Catenoid

Metrica nu determină în mod unic forma suprafeței. De exemplu, metrica unui elicoid și a unui catenoid, parametrizate în consecință, coincid, adică există o corespondență între regiunile lor care păstrează toate lungimile (izometria). Proprietățile care sunt păstrate sub transformări izometrice sunt numite geometria internă suprafete. Geometria internă nu depinde de poziția suprafeței în spațiu și nu se modifică atunci când este îndoită fără tensiune sau compresie (de exemplu, când un cilindru este îndoit într-un con).

Coeficienți metrici E , F , G (\displaystyle E,\F,\G) determinați nu numai lungimile tuturor curbelor, ci și în general rezultatele tuturor măsurătorilor în interiorul suprafeței (unghiuri, zone, curbură etc.). Prin urmare, tot ceea ce depinde numai de metrică se referă la geometria internă.

Secțiune normală și normală

Vectori normali în punctele de suprafață

Una dintre principalele caracteristici ale unei suprafețe este ea normal- vector unitar perpendicular pe planul tangent la un punct dat:

Semnul normalului depinde de alegerea coordonatelor.

O secțiune a unei suprafețe printr-un plan care conține normala suprafeței într-un punct dat formează o anumită curbă numită sectiune normala suprafete. Normala principală pentru o secțiune normală coincide cu normala la suprafață (până la semn).

Dacă curba de pe suprafață nu este o secțiune normală, atunci normala sa principală formează un anumit unghi cu normala suprafeței θ (\displaystyle \theta ). Apoi curbura k (\displaystyle k) curba legata de curbura k n (\displaystyle k_(n)) secțiune normală (cu aceeași tangentă) prin formula lui Meunier:

Coordonatele vectorului unitar normal pentru căi diferite alocațiile de suprafață sunt date în tabel:

Aici D (y, z) D (u, v) = | y u ′ y v ′ z u ′ z v ′ | , D (z , x) D (u , v) = | z u ′ z v ′ x u ′ x v ′ | , D (x, y) D (u, v) = | x u ′ x v ′ y u ′ y v ′ | (\displaystyle (\frac (D(y,z))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)y"_(u)&y"_(v)\\z"_(u) &z"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(z,x))(D(u,v)))=(\begin(vmatrix)z"_(u)&z" _(v)\\x"_(u)&x"_(v)\end(vmatrix)),\quad (\frac (D(x,y))(D(u,v)))=(\ begin(vmatrix)x"_(u)&x"_(v)\\y"_(u)&y"_(v)\end(vmatrix))).

Toate derivatele sunt luate la punctul (x 0 , y 0 , z 0) (\displaystyle (x_(0),y_(0),z_(0))).

Curbură

Pentru directii diferiteîntr-un punct dat de pe suprafață se obțin diferite curburi ale secțiunii normale, care se numește curbură normală; i se atribuie un semn plus dacă normala principală a curbei merge în aceeași direcție cu normala la suprafață sau un semn minus dacă direcțiile normalelor sunt opuse.

În general, în fiecare punct al unei suprafețe există două direcții perpendiculare e 1 (\displaystyle e_(1))Și e 2 (\displaystyle e_(2)), în care curbura normală ia valori minime și maxime; aceste direcții se numesc principal. Excepția este cazul când curbura normală în toate direcțiile este aceeași (de exemplu, lângă o sferă sau la sfârșitul unui elipsoid de revoluție), atunci toate direcțiile dintr-un punct sunt principale.

Suprafețe cu curbură negativă (stânga), zero (centru) și pozitivă (dreapta).

Se numesc curburi normale în direcțiile principale curburi principale; să-i desemnăm κ 1 (\displaystyle \kappa _(1))Și κ 2 (\displaystyle \kappa _(2)). Mărimea:

numită curbură gaussiană, curbură totală sau pur și simplu curbură de suprafață. Există și termenul curbură scalară, care implică rezultatul convoluției tensorului de curbură; în acest caz, curbura scalară este de două ori mai mare decât curbura gaussiană.

Curbura gaussiană poate fi calculată printr-o metrică și, prin urmare, este un obiect al geometriei intrinseci a suprafețelor (rețineți că curburele principale nu aparțin geometriei intrinseci). Puteți clasifica punctele de suprafață pe baza semnului de curbură (vezi figura). Curbura planului este zero. Curbura unei sfere cu raza R este egală peste tot 1 R 2 (\displaystyle (\frac (1)(R^(2)))). Există, de asemenea, o suprafață cu curbură negativă constantă -

Data: 02/02/2016

Subiect: Tangent la o sferă (bilă) a unui plan.

Scopul lecției: Să dezvolte cunoștințele și abilitățile elevilor cu privire la subiect, să ia în considerare teoreme

o, învață cum să rezolvi problemele pe această temă.
Cultivați atenția, atitudinea conștiincioasă față de învățare, acuratețea

Dezvoltați memoria, gândirea, imaginația spațială, vorbirea

Structura lecției

Organizarea timpului

Stabilirea unui obiectiv de lecție

Verificarea temelor

Protejarea prezentărilor de către studenți

Munca individuală independentă

Rezolvarea problemelor în perechi

Rezolvarea problemelor în grup

Joc Mindfulness

Emiterea temelor

Rezumatul lecției
În timpul orelor

La începutul lecției se efectuează lucrări orale. Repetarea conceptelor de bază legate de minge și sferă.

Tema pentru acasă nr. 26 (pag. 61), nr. 34

Cei de serviciu la tablă (în timpul pauzei) completează desene pentru teme. În timpul orei, profesorul cheamă doi elevi la tablă pentru a le verifica temele. După ce au răspuns la tablă, elevii își dau note pe fișele de evaluare.

Protecția prezentării:

Grupa I: Istoricul mingii

Grupa II: Dispunerea reciprocă a sferei și planului

Grupa III: Minge și sferă în natura vie

Muncă independentă

1. Aflați coordonatele centrului și razei sferei date de ecuația:

1 opțiune

(x-2) 2 + (y+3) 2 + z 2 = 25

Opțiunea 2

(x+3) 2 + y 2 + ( z-1) 2 = 16

2. Scrieți ecuația unei sfere cu razăRcu centrul cercului în punctul A, dacă:

1 opțiune

A (2; 0; -1), R = 7

Opțiunea 2

A (-2; 1; 0) , R = 6

3. Verificați dacă punctul A se află pe sfera dată de ecuația:

1 opțiune

(x + 2) 2 + (y – 1) 2 + ( z– 3) 2 = 1 dacă A (-2; 1; 4)

Opțiunea 2

(x - 3) 2 + (y + 1) 2 + ( z- 4) 2 = 4 dacă A (5; - 1; 4)

4. Demonstrați că această ecuație este ecuația unei sfere:

1 opțiune

x 2 + y 2 + z 2 + 2 z- 2у= 2

Lucrul în perechi

Opțiunea 2

x 2 + y 2 + z 2 – 2x + 2 z = 7

Raza sferei este de 112 cm.Un punct situat pe un plan tangent la sferă se află la 15 cm de punctul de tangență.Aflați distanța de la acest punct la punctul sferei cel mai apropiat de acesta.

Lucru de grup

Toate laturile triunghiului ABC ating o sferă cu raza de 5 cm. Aflați distanța de la centrul sferei la planul triunghiului dacă AB = 13 cm, BC = 14 cm, CA = 15 cm

Jocul atenției

Formulele de bază pentru suprafețele poliedrelor și corpurilor de revoluție sunt scrise pe hârtii colorate. Aceste carduri sunt atașate la o placă magnetică. Profesorul vă cere să priviți cu atenție formulele și să le amintiți. Desigur, elevii încep să memoreze ei înșiși formulele. După ce a închis tabla, profesorul pune următoarele întrebări: „Ce culoare este cartonașul pe care este scrisă formula pentru suprafața laterală a piramidei?” etc. Desigur, studenții nu se așteptau la o astfel de întrebare. Profesorul oferă o altă ocazie, dar de data aceasta elevii încearcă să-și amintească culoarea cartonașului.

Rezumatul lecției.

Scala de notare

„5” pentru 8-9 puncte

„4” - pentru 6-7 puncte

„3” - pentru 4-5 puncte

Tema pentru acasă: nr. 28 (pagina 61), nr. 29 (pagina 62)

Povestea originii balului

Într-o zi, rămas singur acasă, chipeșul Semicerc a petrecut mult timp îmbrăcându-se și simulând în fața unei mici oglinzi în rame de tablă și nu s-a putut opri să se admire.

„De ce vor oamenii să proclame că sunt bun?” a spus el. „Oamenii mint, nu sunt deloc bun.” De ce au proclamat fetele că nu a existat niciodată un tip mai bun și că nu va exista niciodată în satul Khatanga?

Semicercul știa și auzea tot ce se spunea despre el și era capricios, ca un bărbat frumos. Se putea admira toată ziua în fața oglinzii, examinându-se din toate părțile. Și dintr-o dată s-a întâmplat un miracol când Semicercul s-a întors în fața oglinzii, și-a văzut propria reflectare în oglindă în formă de Minge.

Din istoria apariţiei

O minge se numește de obicei un corp limitat de o sferă, adică o minge și o sferă sunt corpuri geometrice diferite. Cu toate acestea, atât cuvintele „minge” cât și „sferă” provin din același cuvânt grecesc „sphaira” - minge. Mai mult, cuvântul „minge” a fost format din trecerea consoanelor sf V w.

În Cartea a XI-a a Elementelor, Euclid definește o minge ca o figură descrisă de un semicerc care se rotește în jurul unui diametru fix. În cele mai vechi timpuri, sfera era ținută la mare cinste. Observațiile astronomice ale firmamentului au evocat invariabil imaginea unei sfere.

Sfera a fost întotdeauna utilizată pe scară largă în diverse domenii ale științei și tehnologiei.

Definiție

• O sferă este o suprafață formată din toate punctele din spațiu situate la o distanță dată de un punct dat.
• Un corp delimitat de o sferă se numește minge.

Concepte generale

• Acest punct se numește centrul sferei, iar această distanță se numește raza sferei.
• Un segment care leagă două puncte ale unei sfere și care trece prin centrul acesteia se numește diametrul sferei.
• Centrul, raza, diametrul unei sfere se mai numește și centrul, raza și diametrul unei bile.

Plan tangent la o sferă

Un plan care are un singur punct comun cu o sferă se numește plan tangent la sferă, iar punctul lor comun se numește punctul de tangență dintre plan și sferă.

Secțiunea unei sfere după un plan

• Orice secțiune a unei mingi de către un plan este un cerc. Centrul acestui cerc este baza perpendicularei căzute din centrul mingii pe planul de tăiere.
• Secțiunea care trece prin centrul mingii este un cerc mare. (secțiune diametrală).

Problemă la balul tematic (d/z)

Pe suprafața mingii sunt date trei puncte. Distanțele în linie dreaptă dintre ele sunt de 6 cm, 8 cm, 10 cm.Raza mingii este de 13 cm.Aflați distanța de la centru până la planul care trece prin aceste puncte. (1,7 cm, 2,15 cm, 3,12 cm, 4,20 cm)