Cum se scrie o fracție ca zecimală. Conversia unei fracții obișnuite într-o fracție zecimală și invers, reguli, exemple

În acest articol, vom înțelege ce este o fracție zecimală, ce caracteristici și proprietăți are. Merge! 🙂

Fracția zecimală este un caz special al fracțiilor ordinare (în care numitorul este un multiplu al lui 10).

Definiție

Decimalele sunt fracții ai căror numitori sunt numere formate din unu și un anumit număr de zerouri care le urmează. Adică, acestea sunt fracții cu numitorul 10, 100, 1000 etc. În caz contrar, o fracție zecimală poate fi caracterizată ca o fracție cu numitorul lui 10 sau una dintre puterile lui zece.

Exemple de fracțiuni:

, ,

O fracție zecimală este scrisă diferit de o fracție comună. Operațiile cu aceste fracții sunt, de asemenea, diferite de operațiile cu cele obișnuite. Regulile pentru operațiunile pe ele sunt în mare măsură apropiate de regulile pentru operațiunile pe numere întregi. Acest lucru, în special, determină relevanța lor în rezolvarea problemelor practice.

Reprezentarea unei fracții în notație zecimală

Nu există un numitor în notația zecimală, acesta afișează numărul numărătorului. ÎN vedere generala Fracția zecimală se scrie astfel:

unde X este partea întreagă a fracției, Y este partea sa fracțională, "," este punctul zecimal.

Pentru o prezentare corecta fracție comună sub formă de zecimală, se cere ca aceasta să fie corectă, adică cu o parte întreagă evidențiată (dacă este posibil) și un numărător mai mic decât numitorul. Apoi, în notație zecimală, partea întreagă este scrisă înainte de virgulă zecimală (X), iar numărătorul fracției ordinare este scris după virgulă zecimală (Y).

Dacă numărătorul reprezintă un număr cu un număr de cifre mai mic decât numărul de zerouri din numitor, atunci în partea Y numărul de cifre lipsă din notația zecimală este completat cu zerouri în fața cifrelor numărătorului.

Exemplu:

Dacă fracția obișnuită este mai mică decât 1, adică nu are o parte întreagă, atunci 0 se scrie sub formă zecimală pentru X.

În partea fracționară (Y), după ultima cifră semnificativă (alta decât zero), poate fi introdus un număr arbitrar de zerouri. Nu afectează valoarea fracției. Și invers: toate zerourile de la sfârșitul părții fracționale a fracției zecimale pot fi omise.

Citirea zecimale

Partea X se citește în cazul general după cum urmează: „X numere întregi”.

Partea Y se citește în funcție de numărul din numitor. Pentru numitorul 10, ar trebui să citiți: „Y zecimi”, pentru numitorul 100: „Y sutimi”, pentru numitorul 1000: „Y zecimi” și așa mai departe... 😉

O altă abordare a citirii este considerată mai corectă, bazată pe numărarea numărului de cifre ale părții fracționale. Pentru a face acest lucru, trebuie să înțelegeți că cifrele fracționale sunt situate în imagine in oglindaîn raport cu cifrele părții întregi a fracției.

Numele pentru citirea corectă sunt date în tabel:

Pe baza acestui fapt, citirea ar trebui să se bazeze pe corespondența cu numele categoriei ultimei cifre a părții fracționale.

• 3.5 spune „trei virgulă cinci”
• 0,016 arată ca „zero virgulă șaisprezece miimi”

Conversia unei fracții ordinare arbitrare într-o zecimală

Dacă numitorul unei fracții obișnuite este 10 sau o putere a lui zece, atunci fracția este convertită așa cum este descris mai sus. În alte situații, sunt necesare transformări suplimentare.

Există 2 moduri de a traduce.

Primul mod de traducere

Numătorul și numitorul trebuie înmulțite cu un astfel de număr întreg încât numitorul să fie 10 sau una dintre puterile lui zece. Și apoi fracția este reprezentată în notație zecimală.

Această metodă este aplicabilă fracțiilor, al căror numitor este descompus numai în 2 și 5. Deci, în exemplul anterior . Dacă descompunerea conţine altele factori primi(de exemplu,), atunci va trebui să recurgeți la metoda a 2-a.

Al doilea mod de traducere

A doua metodă este de a împărți numărătorul la numitor într-o coloană sau pe un calculator. Partea întreagă, dacă există, nu este implicată în transformare.

Regula împărțirii lungi care are ca rezultat o fracție zecimală este descrisă mai jos (vezi Împărțirea zecimalelor).

Convertiți zecimal în obișnuit

Pentru a face acest lucru, partea sa fracțională (în dreapta virgulei) ar trebui să fie scrisă ca numărător, iar rezultatul citirii părții fracționale ar trebui să fie scris ca număr corespunzător în numitor. În plus, dacă este posibil, trebuie să reduceți fracția rezultată.

Sfârșit și zecimal infinit

Fracția zecimală se numește finală, a cărei parte fracțională este formată dintr-un număr finit de cifre.

Toate exemplele de mai sus conțin exact fracțiile zecimale finale. Cu toate acestea, nu orice fracție obișnuită poate fi reprezentată ca o zecimală finală. Dacă prima metodă de translație pentru o anumită fracție nu este aplicabilă, iar metoda a 2-a demonstrează că împărțirea nu poate fi finalizată, atunci se poate obține doar o fracție zecimală infinită.

Este imposibil să scrieți o fracție infinită în forma sa completă. Într-o formă incompletă, astfel de fracții pot fi reprezentate:

1. ca urmare a reducerii la numărul dorit de zecimale;
2. sub forma unei fracţiuni periodice.

O fracție se numește periodică, în care, după virgulă, se poate distinge o succesiune de cifre care se repetă la infinit.

Fracțiile rămase se numesc neperiodice. Pentru fracțiile neperiodice, este permisă doar prima metodă de reprezentare (rotunjire).

Un exemplu de fracție periodică: 0,8888888 ... Există o cifră 8 care se repetă aici, care, evident, se va repeta la infinit, deoarece nu există niciun motiv să presupunem altfel. Acest număr este numit perioada de fracție.

Fracțiile periodice sunt pure și amestecate. O fracție zecimală este pură, în care perioada începe imediat după virgulă. La fracție mixtă există 1 sau mai multe cifre înainte de punctul de după virgulă.

54,33333 ... - fracție zecimală pură periodică

2,5621212121 ... - fracție mixtă periodică

Exemple de scriere a zecimale infinite:

Al doilea exemplu arată cum se formează corect o perioadă într-o fracție periodică.

Conversia zecimale periodice în ordinare

Pentru a converti o fracție periodică pură într-o perioadă obișnuită, scrieți-o la numărător și scrieți la numitor un număr format din nouă într-o sumă egală cu numărul de cifre din perioadă.

O zecimală recurentă mixtă este tradusă după cum urmează:

1. trebuie să formați un număr format din numărul după virgulă zecimală înainte de punct și prima perioadă;
2. din numărul rezultat scădeți numărul după virgulă zecimală dinaintea punctului. Rezultatul va fi numărătorul unei fracții ordinare;
3. la numitor, trebuie să introduceți un număr format din numărul de nouă egal cu numărul de cifre ale perioadei, urmat de zerouri, al căror număr este egal cu numărul de cifre ale numărului după virgulă zecimală înainte de prima perioada.

Comparație zecimală

Fracțiile zecimale sunt comparate inițial după părțile lor întregi. Cu cât este mai mare fracția care are partea întreagă mai mare.

Dacă părțile întregi sunt aceleași, atunci cifrele cifrelor corespunzătoare ale părții fracționale sunt comparate, începând de la prima (de la zecimi). Același principiu se aplică și aici: cea mai mare dintre fracții, care are un rang mai mare de zecimi; dacă cifrele zecimiilor sunt egale, cifrele zecimii sunt comparate și așa mai departe.

Deoarece

, deoarece cu părți întregi egale și zecimi egale în partea fracțională, a 2-a fracție are mai multe sutimi.

Adunarea și scăderea zecimalelor

Decimalele se adună și se scad în același mod ca numerele întregi, scriind cifrele corespunzătoare una sub alta. Pentru a face acest lucru, trebuie să aveți puncte zecimale una sub alta. Apoi unitățile (zecile etc.) ale părții întregi, precum și zecimile (sutimele etc.) ale părții fracționale se vor potrivi. Cifrele lipsă ale părții fracționale sunt umplute cu zerouri. Direct Procesul de adunare și scădere se efectuează în același mod ca pentru numerele întregi.

Înmulțirea zecimală

Pentru a înmulți fracțiile zecimale, trebuie să le scrieți una sub alta, aliniate cu ultima cifră și fără să acordați atenție locației punctelor zecimale. Apoi, trebuie să înmulțiți numerele în același mod ca atunci când înmulțiți numerele întregi. După primirea rezultatului, ar trebui să recalculați numărul de cifre după virgulă în ambele fracții și să separați numărul total de cifre fracționale din numărul rezultat cu o virgulă. Dacă nu sunt suficiente cifre, acestea sunt înlocuite cu zerouri.

Înmulțirea și împărțirea zecimalelor cu 10 n

Aceste acțiuni sunt simple și se reduc la mutarea punctului zecimal. P La înmulțire, virgula este mutată la dreapta (fracția crește) cu numărul de cifre egal cu numărul de zerouri din 10 n, unde n este o putere întreagă arbitrară. Adică, un anumit număr de cifre sunt transferate din partea fracțională la întreg. La împărțire, respectiv, virgula este transferată la stânga (numărul scade), iar unele dintre cifre sunt transferate din partea întreagă în partea fracțională. Dacă nu sunt suficiente cifre de transferat, atunci cifrele lipsă sunt umplute cu zerouri.

Împărțirea unei zecimale și a unui întreg la un întreg și o zecimală

Împărțirea unei zecimale la un întreg este același cu împărțirea a două numere întregi. În plus, trebuie luată în considerare doar poziția punctului zecimal: la demolarea cifrei cifrei urmată de virgulă, este necesar să se pună o virgulă după cifra curentă a răspunsului generat. Apoi trebuie să continuați să împărțiți până când obțineți zero. Dacă nu există suficiente semne în dividend pentru împărțirea completă, zerouri ar trebui să fie folosite ca acestea.

În mod similar, 2 numere întregi sunt împărțite într-o coloană dacă toate cifrele dividendului au fost demolate și diviziunea completă nu a fost încă finalizată. În acest caz, după demolarea ultimei cifre a dividendului, în răspunsul rezultat este plasată o zecimală, iar zerouri sunt folosite ca cifre demolate. Acestea. dividendul aici, de fapt, este reprezentat ca o fracție zecimală cu o parte fracțională zero.

Pentru a împărți o fracție zecimală (sau un număr întreg) cu un număr zecimal, este necesar să înmulțiți dividendul și divizorul cu numărul 10 n, în care numărul de zerouri este egal cu numărul de cifre după virgulă zecimală din divizor. În acest fel, ei scapă de punctul zecimal din fracția cu care doriți să împărțiți. În plus, procesul de împărțire este același cu cel descris mai sus.

Reprezentarea grafică a zecimalelor

Grafic, fracțiile zecimale sunt reprezentate prin intermediul unei linii de coordonate. Pentru aceasta, segmentele individuale sunt împărțite suplimentar în 10 părți egale, la fel cum centimetrii și milimetrii sunt depuși pe o riglă în același timp. Acest lucru asigură că zecimale sunt afișate cu acuratețe și pot fi comparate în mod obiectiv.

Pentru ca diviziunile longitudinale pe segmente individuale să fie aceleași, ar trebui să luați în considerare cu atenție lungimea singurului segment în sine. Ar trebui să fie astfel încât să poată fi asigurată comoditatea divizării suplimentare.

număr fracționar.

Notarea zecimală a unui număr fracționar este un set de două sau mai multe cifre de la $0$ la $9$, între care se află așa-numitul \textit (punct zecimal).

Exemplul 1

De exemplu, 35,02 USD; 100,7 USD; 123 $ \ 456,5 $; 54,89 USD.

Cifra cea mai din stânga din reprezentarea zecimală a unui număr nu poate fi zero, cu excepția cazului în care punctul zecimal este imediat după prima cifră $0$.

Exemplul 2

De exemplu, 0,357 USD; 0,064 USD.

Adesea punctul zecimal este înlocuit cu un punct zecimal. De exemplu, 35,02 USD; 100,7 USD; 123 $ \ 456,5 $; 54,89 USD.

Definiție zecimală

Definiția 1

zecimale sunt numere fracționale care sunt reprezentate în notație zecimală.

De exemplu, 121,05 USD; 67,9 USD; 345,6700 USD.

Decimale sunt folosite pentru o reprezentare mai compactă a fracțiilor regulate ai căror numitori sunt numerele $10$, $100$, $1\000$ etc. și numere mixte ai căror numitori sunt $10$, $100$, $1\000$ etc.

De exemplu, fracția comună $\frac(8)(10)$ poate fi scrisă ca zecimală $0,8$, iar numărul mixt $405\frac(8)(100)$ ca zecimală $405,08$.

Citirea zecimale

Decimale care corespund fracțiilor obișnuite se citesc la fel ca fracțiile obișnuite, doar expresia „număr întregi” este adăugată în față. De exemplu, fracția comună $\frac(25)(100)$ (a se citi „douăzeci și cinci de sutimi”) corespunde fracțiunii zecimale $ 0,25$ (a se citi „zero virgulă douăzeci și cinci de sutimi”).

Decimale care corespund numerelor mixte sunt citite în același mod ca și numerelor mixte. De exemplu, numărul mixt $43\frac(15)(1000)$ corespunde fracțiunii zecimale $43,015$ (a se citi „patruzeci și trei virgulă cincisprezece miimi”).

Locurile în zecimale

În notație zecimală, valoarea fiecărei cifre depinde de poziția sa. Acestea. în fracții zecimale are loc și conceptul deversare.

Cifrele din fracții zecimale până la virgulă sunt numite la fel ca și cifrele din numere naturale. Cifrele în fracții zecimale după virgulă sunt enumerate în tabel:

Poza 1.

Exemplul 3

De exemplu, în fracția zecimală $56.328$, $5$ este pe locul zecilor, $6$ este pe locul unităților, $3$ este pe locul zece, $2$ este pe locul al sutei, $8$ este pe locul al miile.

Cifrele din fracții zecimale se disting prin vechime. Când citesc o fracție zecimală, se deplasează de la stânga la dreapta - de la senior descarcare la Junior.

Exemplul 4

De exemplu, în zecimală $ 56,328 $, cea mai semnificativă cifră (cea mai mare) este cifra zecilor, iar cea mai puțin semnificativă (cea mai mică) cifră este cifra miilor.

O fracție zecimală poate fi extinsă în cifre în același mod ca și extinderea în cifre ale unui număr natural.

Exemplul 5

De exemplu, să extindem fracția zecimală $37.851$ în cifre:

$37,851=30+7+0,8+0,05+0,001$

Sfârșit zecimale

Definiția 2

Sfârșit zecimale se numesc fracții zecimale, ale căror înregistrări conțin un număr finit de caractere (cifre).

De exemplu, 0,138 USD; 5,34 USD; 56,123456 USD; 350.972,54 USD.

Orice fracție zecimală finală poate fi convertită într-o fracție comună sau într-un număr mixt.

Exemplul 6

De exemplu, fracția zecimală finală $7,39$ corespunde numărului fracționar $7\frac(39)(100)$, iar fracția zecimală finală $0,5$ corespunde fracției adecvate $\frac(5)(10)$ (sau oricare fracție, care este egală cu aceasta, de exemplu, $\frac(1)(2)$ sau $\frac(10)(20)$.

Transformarea unei fracții obișnuite într-o fracție zecimală

Convertiți fracțiile comune cu numitori $10, 100, \dots$ în zecimale

Înainte de a converti unele fracții ordinare adecvate în zecimale, acestea trebuie mai întâi „pregătite”. Rezultatul unei astfel de pregătiri ar trebui să fie același număr de cifre la numărător și numărul de zerouri la numitor.

Esența „pregătirii preliminare” a fracțiilor ordinare corecte pentru conversia în fracții zecimale este de a adăuga în stânga la numărător un astfel de număr de zerouri, încât numărul total de cifre să devină egal cu numărul de zerouri din numitor.

Exemplul 7

De exemplu, să pregătim fracția comună $\frac(43)(1000)$ pentru conversia în zecimală și să obținem $\frac(043)(1000)$. Iar fracția obișnuită $\frac(83)(100)$ nu trebuie pregătită.

Să formulăm regula pentru conversia unei fracții comune adecvate cu numitorul $10$, sau $100$, sau $1\000$, $\dots$ într-o fracție zecimală:

scrie $0$;

pune un punct zecimal după el;

notează numărul de la numărător (împreună cu zerourile adăugate după preparare, dacă este necesar).

Exemplul 8

Convertiți fracția proprie $\frac(23)(100)$ în zecimală.

Soluţie.

Numitorul este numărul $100$, care conține $2$ două zerouri. Numărătorul conține numărul $23$, care conține $2$.cifre. aceasta înseamnă că pregătirea pentru această fracție pentru conversia în zecimală nu este necesară.

Să scriem $0$, să punem un punct zecimal și să scriem numărul $23$ de la numărător. Obținem fracția zecimală $0,23$.

Răspuns: $0,23$.

Exemplul 9

Scrieți fracția potrivită $\frac(351)(100000)$ ca zecimală.

Soluţie.

Numărătorul acestei fracții are $3$ cifre, iar numărul de zerouri din numitor este $5$, așa că această fracție obișnuită trebuie pregătită pentru conversia în zecimală. Pentru a face acest lucru, adăugați $5-3=2$ zerouri la stânga în numărător: $\frac(00351)(100000)$.

Acum putem forma fracția zecimală dorită. Pentru a face acest lucru, scrieți $0$, apoi puneți o virgulă și scrieți numărul de la numărător. Obținem fracția zecimală $0,00351$.

Răspuns: $0,00351$.

Să formulăm regula pentru conversia fracțiilor comune improprii cu numitori $10$, $100$, $\dots$ în zecimale:

scrieți un număr de la numărător;

separați cu virgulă zecimală atâtea cifre în dreapta câte zerouri sunt în numitorul fracției inițiale.

Exemplul 10

Convertiți fracția comună improprie $\frac(12756)(100)$ în zecimală.

Soluţie.

Să scriem numărul de la numărătorul $12756$, apoi să despărțim cifrele din dreapta cu o virgulă zecimală $2$, deoarece numitorul fracției inițiale $2$ este zero. Obținem fracția zecimală $127.56$.

La fel de:

± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 …

unde ± este semnul fracției: fie + sau -,

, - virgulă zecimală, care servește ca separator între părțile întregi și fracționale ale numărului,

dk- cifre zecimale.

În același timp, ordinea cifrelor înainte de virgulă (în stânga acesteia) are un sfârșit (cum ar fi min 1-per cifră), iar după virgulă (în dreapta) poate fi finită (opțional, este posibil să nu existe cifre după virgulă deloc) și infinit.

Valoare zecimală ± d m … d 1 d 0 , d -1 d -2 … este un numar real:

care este egală cu suma unui număr finit sau infinit de termeni.

Reprezentarea numerelor reale folosind fracții zecimale este o generalizare a notării numerelor întregi în sistemul numeric zecimal. Reprezentarea zecimală a unui număr întreg nu are cifre după virgulă zecimală și, prin urmare, această reprezentare arată astfel:

± d m … d 1 d 0 ,

Și aceasta coincide cu înregistrarea numărului nostru în sistemul numeric zecimal.

Zecimal- acesta este rezultatul împărțirii lui 1 în 10, 100, 1000 și așa mai departe. Aceste fracții sunt destul de convenabile pentru calcule, deoarece se bazează pe același sistem pozițional pe care se construiesc numărarea și notarea numerelor întregi. Din acest motiv, notația și regulile pentru fracțiile zecimale sunt aproape aceleași ca pentru numerele întregi.

Când scrieți fracții zecimale, nu trebuie să marcați numitorul, acesta este determinat de locul ocupat de cifra corespunzătoare. Mai întâi, scrieți partea întreagă a numărului, apoi puneți un punct zecimal în dreapta. Prima cifră după virgulă indică numărul de zecimi, a doua - numărul de sutimi, a treia - numărul de miimi și așa mai departe. Numerele de după virgulă sunt zecimale.

De exemplu:

Unul dintre avantajele fracțiilor zecimale este că pot fi convertite foarte ușor în fracții obișnuite: numărul după virgulă zecimală (al nostru este 5047) este numărător; numitor egală n gradul 10, unde n- numărul de zecimale (avem asta n=4):

Când nu există o parte întreagă în fracția zecimală, atunci punem zero în fața punctului zecimal:

Proprietățile fracțiilor zecimale.

1. Decimalul nu se schimbă atunci când se adaugă zerouri la dreapta:

13.6 =13.6000.

2. Decimala nu se schimbă atunci când zerourile care se află la sfârșitul zecimalei sunt eliminate:

0.00123000 = 0.00123.

Atenţie! Zerourile care NU sunt la sfârșitul unei zecimale nu trebuie eliminate!

3. Fracția zecimală crește cu 10, 100, 1000 și așa mai departe oricând mutam punctul zecimal în pozițiile 1-godeu, 2, 2 și așa mai departe la dreapta, respectiv:

3,675 → 367,5 (fracția a crescut de o sută de ori).

4. Fracția zecimală devine mai mică de zece, o sută, o mie și așa mai departe când mutăm punctul zecimal în pozițiile 1-bine, 2, 3 și așa mai departe la stânga, respectiv:

1536,78 → 1,53678 (fracția a devenit de o mie de ori mai mică).

Tipuri de zecimale.

Decimalele sunt împărțite la final, fără sfârşitȘi zecimale periodice.

Sfârșit zecimală - aceasta este o fracție care conține un număr finit de cifre după virgulă zecimală (sau nu există deloc), adică arata asa:

Un număr real poate fi reprezentat ca o fracție zecimală finită numai dacă acest număr este rațional și când este scris ca o fracție ireductibilă p/q numitor q nu are divizori primi alții decât 2 și 5.

Decimală infinită.

Conține un grup de cifre care se repetă la infinit perioadă. Perioada este scrisă între paranteze. De exemplu, 0,12345123451234512345... = 0.(12345).

Decimală periodică- aceasta este o astfel de fracție zecimală infinită în care succesiunea de cifre după virgulă, începând de la un anumit loc, este un grup de cifre care se repetă periodic. Cu alte cuvinte, fracție periodică este o zecimală care arată astfel:

O astfel de fracție este de obicei scrisă pe scurt astfel:

Grup de numere b 1 … b l, care se repetă, este perioada de fracție, numărul de cifre din acest grup este durata perioadei.

Când într-o fracție periodică perioada vine imediat după virgulă, atunci fracția este periodic pur. Când există numere între virgulă și prima perioadă, atunci fracția este periodic mixt, și un grup de cifre după virgulă zecimală până la semnul primei perioade - preperioada de fracție.

De exemplu, fracția 1,(23) = 1,2323... este periodică pură, iar fracția 0,1(23)=0,12323... este periodică mixtă.

Principala proprietate a fracțiilor periodice, datorită căruia se deosebesc de întregul set de fracții zecimale, constă în faptul că fracțiile periodice și numai ele reprezintă numere raționale. Mai precis, au loc următoarele:

Orice fracție zecimală periodică infinită reprezintă Numar rational. În schimb, atunci când un număr rațional este descompus într-o fracție zecimală infinită, atunci această fracție va fi periodică.

Lecția: De-Xia-Tich-Scrierea numerelor fracționale

Numerele fracționale

Numitorul fracției poate fi exprimat prin orice număr de pe numărul tu-ral. Numere fracționale, în unele zna-me-on-tel you-ra-women numărul 10; 100; 1000; ... conditionat pentru-pi-sy-vat fara sa ma cunoasca pe-te-la. Orice număr fracționar, în semnul-pe-le-ceva-ro-go 10; 100; 1000 etc. (adica unul cu cateva well-la-mi), il poti prezenta sub forma de-sya-tich-noy for-pi-si (sub forma de-sya-tich- fractii). Mai întâi, ei scriu întreaga parte, apoi num-li-tel al părții fracționale și întreaga parte a fracționalului din de la-yut în spatele celei de-a cincea.

De exemplu,

Dacă întreaga parte este absentă, de ex. fracția este corectă, atunci întreaga parte este pentru-pi-sy-va-yut sub formă de 0.

Notație zecimală

Pentru a scrie corect o fracție de-sya-tică, numărul părții fracționale trebuie să aibă atâtea semne câte zerouri sunt în partea fracțională.

1. Za-pi-shi-te sub forma unei fracțiuni de-sya-tich.

2. Prezentați o fracție de-tich sub forma unei fracții sau a unui număr mixt.

3. Fracții pro-chi-tai-te de-sya-tich.

12,4 - 12 întregi 4 deci-ți;

0,3 - 0 întregi 3 decimi;

1,14 - 1 întreg 14 sutimi;

2,07 - 2 întregi 7 sutimi;

0,06 - 0 punct 6;

0,25 - 0 întreg 25 sutimi;

1,234 - 1 întreg 234 miimi;

1.230 - 1 întreg 230 miimi;

1.034 - 1 întreg 34 mii;

1,004 - 1 întreg 4 miimi;

1.030 - 1 întreg 30 de miimi;

0,010101 - 0 întreg 10101 miliarde.

4. Pe-re-not-si-cele pentru a cincea din fiecare cifră 1 rând de timp la stânga și pro-chi-tai-cele numere.

34,1; 310,2; 11,01; 10,507; 2,7; 3,41; 31,02; 1,101; 1,0507; 0,27.

5. Pe-re-not-si-te pentru al cincilea din fiecare dintre numere pentru 1 rând de timp la dreapta și pro-chi-tai-te în cel mai bun număr de chiv-she-e-sya.

1,37; 0,1401; 3,017; 1,7; 350,4; 13,7; 1,401; 30,17; 17; 3504.

6. You-ra-zi-te in metri si san-ti-metri.

3,28 m = 3 m + .

7. You-ra-zi-te in tone si ki-lo-grame.

24,030 t = 24 t.

8. Za-pi-shi-te sub formă de fracții de-sya-tich-noy.

1710: 100 = ;

64: 10000 =

803: 100 =

407: 10 =

În acest articol, vom analiza cum conversia fracțiilor comune în zecimale, și luați în considerare, de asemenea, procesul invers - conversia fracțiilor zecimale în fracții obișnuite. Aici vom exprima regulile pentru inversarea fracțiilor și vom da soluții detaliate exemple tipice.

Navigare în pagină.

Conversia fracțiilor comune în zecimale

Să notăm succesiunea în care ne vom ocupa conversia fracțiilor comune în zecimale.

În primul rând, ne vom uita la modul de reprezentare a fracțiilor obișnuite cu numitorii 10, 100, 1000, ... ca fracții zecimale. Acest lucru se datorează faptului că zecimale sunt în esență formă compactă scrierea fracțiilor ordinare cu numitorii 10, 100, ....

După aceea, vom merge mai departe și vom arăta cum orice fracție obișnuită (nu numai cu numitorii 10, 100, ...) poate fi scrisă ca fracție zecimală. Cu această conversie a fracțiilor ordinare se obțin atât fracții zecimale finite, cât și fracții zecimale periodice infinite.

Acum despre totul în ordine.

Conversia fracțiilor obișnuite cu numitorii 10, 100, ... în fracții zecimale

Unele fracții obișnuite au nevoie de „pregătire preliminară” înainte de a fi convertite în zecimale. Acest lucru se aplică fracțiilor obișnuite, numărul de cifre al căror numărător este mai mic decât numărul de zerouri din numitor. De exemplu, fracția comună 2/100 trebuie mai întâi pregătită pentru conversia într-o fracție zecimală, dar fracția 9/10 nu trebuie pregătită.

„Pregătirea preliminară” a fracțiilor ordinare corecte pentru conversia în fracții zecimale constă în adăugarea atât de multe zerouri la stânga în numărător, astfel încât numărul total de cifre de acolo să devină egal cu numărul de zerouri din numitor. De exemplu, o fracție după adăugarea zerourilor va arăta ca .

După ce ați pregătit fracția obișnuită corectă, puteți începe să o convertiți într-o fracție zecimală.

Să dăm regula pentru transformarea unei fracții comune propriu-zise cu un numitor de 10, sau 100, sau 1.000, ... într-o fracție zecimală. Acesta constă din trei etape:

• noteaza 0;
• pune un punct zecimal după el;
• notează numărul de la numărător (împreună cu zerourile adăugate, dacă le-am adăugat).

Luați în considerare aplicarea acestei reguli în rezolvarea exemplelor.

Exemplu.

Transformați fracția proprie 37/100 în zecimală.

Soluţie.

Numitorul conține numărul 100, care are două zerouri în intrare. Numătorul conține numărul 37, există două cifre în înregistrarea sa, prin urmare, această fracție nu trebuie să fie pregătită pentru conversia într-o fracție zecimală.

Acum scriem 0, punem virgulă zecimală și scriem numărul 37 de la numărător, în timp ce obținem fracția zecimală 0,37.

Răspuns:

0,37 .

Pentru a consolida abilitățile de a traduce fracțiile ordinare obișnuite cu numărătorii 10, 100, ... în fracții zecimale, vom analiza soluția unui alt exemplu.

Exemplu.

Scrieți fracția proprie 107/10.000.000 ca zecimală.

Soluţie.

Numărul de cifre din numărător este 3, iar numărul de zerouri din numitor este 7, așa că această fracție obișnuită trebuie pregătită pentru conversia în zecimală. Trebuie să adăugăm 7-3=4 zerouri la stânga în numărător, astfel încât numărul total de cifre de acolo să devină egal cu numărul de zerouri din numitor. Primim .

Rămâne să se formeze fracția zecimală dorită. Pentru a face acest lucru, în primul rând, notăm 0, în al doilea rând, punem o virgulă, în al treilea rând, notăm numărul de la numărător împreună cu zerourile 0000107 , ca urmare avem o fracție zecimală 0,0000107 .

Răspuns:

0,0000107 .

Fracțiile comune improprii nu necesită pregătire atunci când se convertesc în fracții zecimale. Ar trebui respectate următoarele reguli pentru conversia fracțiilor comune improprie cu numitorii 10, 100, ... în fracții zecimale:

• notează numărul de la numărător;
• separăm cu virgulă zecimală atâtea cifre în dreapta câte zerouri sunt în numitorul fracției inițiale.

Să analizăm aplicarea acestei reguli atunci când rezolvăm un exemplu.

Exemplu.

Transformați fracția comună improprie 56 888 038 009/100 000 în zecimală.

Soluţie.

În primul rând, notăm numărul de la numărătorul 56888038009, iar în al doilea rând, separăm 5 cifre din dreapta cu un punct zecimal, deoarece există 5 zerouri în numitorul fracției inițiale. Ca rezultat, avem o fracție zecimală 568 880,38009.

Răspuns:

568 880,38009 .

Pentru a converti un număr mixt într-o fracție zecimală, al cărei numitor al părții fracționale este numărul 10, sau 100, sau 1.000, ..., puteți converti numărul mixt într-o fracție ordinară improprie, după care fracția rezultată poate fi convertit într-o fracție zecimală. Dar puteți folosi și următoarele regula pentru conversia numerelor mixte cu un numitor al părții fracționale 10, sau 100, sau 1.000, ... în fracții zecimale:

• dacă este necesar, efectuați pregătire preliminară» a părții fracționale a numărului mixt original prin adunare suma necesară zerouri în stânga în numărător;
• notează partea întreagă a numărului mixt original;
• pune virgulă zecimală;
• scriem numarul de la numarator impreuna cu zerourile adaugate.

Să luăm în considerare un exemplu, în soluția căruia le îndeplinim pe toate pașii necesari pentru a reprezenta un număr mixt ca zecimală.

Exemplu.

Convertiți numărul mixt în zecimal.

Soluţie.

Există 4 zerouri în numitorul părții fracționale și numărul 17 în numărător, format din 2 cifre, prin urmare, trebuie să adăugăm două zerouri la stânga în numărător, astfel încât numărul de caractere de acolo să devină egal cu numărul de zerouri la numitor. Procedând astfel, numărătorul va fi 0017 .

Acum notăm partea întreagă a numărului inițial, adică numărul 23, punem un punct zecimal, după care scriem numărul de la numărător împreună cu zerourile adăugate, adică 0017, în timp ce obținem zecimala dorită. fracția 23,0017.

Să scriem pe scurt întreaga soluție: .

Fără îndoială, a fost posibil să se reprezinte mai întâi numărul mixt ca o fracție improprie și apoi să-l convertească într-o fracție zecimală. Cu această abordare, soluția arată astfel:

Răspuns:

23,0017 .

Conversia fracțiilor ordinare în fracții zecimale periodice finite și infinite

Nu doar fracțiile obișnuite cu numitorii 10, 100, ... pot fi convertite într-o fracție zecimală, ci și fracțiile obișnuite cu alți numitori. Acum ne vom da seama cum se face acest lucru.

În unele cazuri, fracția obișnuită inițială este ușor redusă la unul dintre numitorii 10, sau 100, sau 1000, ... (vezi reducerea unei fracții obișnuite la un nou numitor), după care nu este dificil să se prezinte fracția rezultată ca fracție zecimală. De exemplu, este evident că fracția 2/5 poate fi redusă la o fracție cu numitorul 10, pentru aceasta trebuie să înmulțiți numărătorul și numitorul cu 2, ceea ce va da o fracție 4/10, care, conform regulile discutate în paragraful anterior, pot fi ușor convertite într-o fracție zecimală 0, 4 .

În alte cazuri, trebuie să utilizați o modalitate diferită de a converti o fracție obișnuită într-o zecimală, pe care o vom lua în considerare acum.

Pentru a converti o fracție obișnuită într-o fracție zecimală, numărătorul fracției este împărțit la numitor, numărătorul este mai întâi înlocuit cu o fracție zecimală egală cu orice număr de zerouri după virgulă (am vorbit despre asta în secțiunea egal și fracții zecimale inegale). În acest caz, împărțirea se realizează în același mod ca și împărțirea printr-o coloană de numere naturale, iar un punct zecimal este plasat în coeficient atunci când se termină împărțirea părții întregi a dividendului. Toate acestea vor deveni clare din soluțiile exemplelor date mai jos.

Exemplu.

Transformați fracția comună 621/4 în zecimală.

Soluţie.

Reprezentăm numărul din numărătorul 621 ca o fracție zecimală adăugând un punct zecimal și câteva zerouri după acesta. Pentru început, vom adăuga 2 cifre 0, mai târziu, dacă este necesar, putem adăuga oricând mai multe zerouri. Deci, avem 621.00 .

Acum să împărțim numărul 621.000 la 4 la o coloană. Primii trei pași nu diferă de împărțirea pe o coloană numere naturale, după care ajungem la următoarea poză:

Deci am ajuns la punctul zecimal al dividendului, iar restul este diferit de zero. În acest caz, punem un punct zecimal în coeficient și continuăm împărțirea cu o coloană, ignorând virgulele:

Această împărțire este finalizată și, ca rezultat, am obținut fracția zecimală 155,25, care corespunde fracției ordinare inițiale.

Răspuns:

155,25 .

Pentru a consolida materialul, luați în considerare soluția unui alt exemplu.

Exemplu.

Transformați fracția comună 21/800 în zecimală.

Soluţie.

Pentru a converti această fracție comună într-o zecimală, să împărțim fracția zecimală 21.000 ... la 800 la o coloană. După primul pas, va trebui să punem o virgulă zecimală în coeficient și apoi să continuăm împărțirea:

În cele din urmă, am primit restul 0, pe aceasta se completează conversia fracției ordinare 21/400 în fracția zecimală și am ajuns la fracția zecimală 0,02625.

Răspuns:

0,02625 .

Se poate întâmpla ca atunci când împărțim numărătorul la numitorul unei fracții obișnuite, să nu obținem niciodată un rest de 0. În aceste cazuri, împărțirea poate fi continuată atât timp cât se dorește. Totuși, începând de la un anumit pas, resturile încep să se repete periodic, în timp ce cifrele din coeficient se repetă și ele. Aceasta înseamnă că fracția comună inițială se traduce într-o zecimală periodică infinită. Să arătăm asta cu un exemplu.

Exemplu.

Scrieți fracția comună 19/44 ca zecimală.

Soluţie.

Pentru a converti o fracție obișnuită într-o zecimală, facem împărțirea pe o coloană:

Este deja clar că la împărțire, resturile 8 și 36 au început să se repete, în timp ce în cât se repetă numerele 1 și 8. Astfel, fracția ordinară inițială 19/44 este tradusă într-o fracție zecimală periodică 0,43181818…=0,43(18) .

Răspuns:

0,43(18) .

În încheierea acestui paragraf, ne vom da seama ce fracții obișnuite pot fi convertite în fracții zecimale finale și care pot fi convertite doar în fracții periodice.

Să avem în fața noastră o fracție obișnuită ireductibilă (dacă fracția este reductibilă, atunci efectuăm mai întâi reducerea fracției) și trebuie să aflăm în ce fracție zecimală poate fi convertită - finită sau periodică.

Este clar că dacă o fracție obișnuită poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1000, ..., atunci fracția rezultată poate fi ușor convertită într-o fracție zecimală finală conform regulilor discutate în paragraful anterior. Dar la numitorii 10, 100, 1.000 etc. nu sunt date toate fracțiile obișnuite. Doar fracțiile pot fi reduse la astfel de numitori, ai căror numitori sunt cel puțin unul dintre numerele 10, 100, ... Și ce numere pot fi divizori ai lui 10, 100, ...? Numerele 10, 100, … ne vor permite să răspundem la această întrebare și sunt următoarele: 10=2 5 , 100=2 2 5 5 , 1 000=2 2 2 5 5 5, … . Rezultă că divizorii lui 10, 100, 1.000 etc. nu pot exista decât numere ale căror descompunere în factori primi conţin doar numerele 2 şi (sau) 5 .

Acum putem face o concluzie generală despre conversia fracțiilor obișnuite în fracții zecimale:

• dacă numai numerele 2 și (sau) 5 sunt prezente în descompunerea numitorului în factori primi, atunci această fracție poate fi convertită într-o fracție zecimală finală;
• dacă, pe lângă doi și cinci, mai sunt și altele în extinderea numitorului numere prime, atunci această fracție este translată într-o fracție periodică zecimală infinită.

Exemplu.

Fără a converti fracțiile obișnuite în zecimale, spuneți-mi care dintre fracțiile 47/20, 7/12, 21/56, 31/17 poate fi convertită într-o fracție zecimală finală și care poate fi convertită doar într-una periodică.

Soluţie.

Descompunerea în factori primi a numitorului fracției 47/20 are forma 20=2 2 5 . Există doar doi și cinci în această expansiune, astfel încât această fracție poate fi redusă la unul dintre numitorii 10, 100, 1000, ... (în acest exemplu, la numitorul 100), prin urmare, poate fi convertită la o zecimală finală. fracțiune.

Descompunerea în factori primi a numitorului fracției 7/12 are forma 12=2 2 3 . Deoarece conține un factor simplu 3 diferit de 2 și 5, această fracție nu poate fi reprezentată ca o fracție zecimală finită, ci poate fi convertită într-o fracție zecimală periodică.

Fracțiune 21/56 - contractibil, după reducere ia forma 3/8. Descompunerea numitorului în factori primi conține trei factori egali cu 2, prin urmare, fracția obișnuită 3/8 și, prin urmare, fracția egală cu aceasta 21/56, poate fi transpusă într-o fracție zecimală finală.

În cele din urmă, expansiunea numitorului fracției 31/17 este ea însăși 17, prin urmare, această fracție nu poate fi convertită într-o fracție zecimală finită, dar poate fi convertită într-una periodică infinită.

Răspuns:

47/20 și 21/56 pot fi convertite într-o zecimală finală, în timp ce 7/12 și 31/17 pot fi convertite doar într-o zecimală periodică.

Fracțiile comune nu se convertesc în zecimale infinite care nu se repetă

Informațiile din paragraful anterior ridică întrebarea: „Se poate obține o fracție neperiodică infinită la împărțirea numărătorului unei fracții la numitor”?

Raspuns: nu. La traducerea unei fracții obișnuite, se poate obține fie o fracție zecimală finită, fie o fracție zecimală periodică infinită. Să explicăm de ce este așa.

Din teorema de divizibilitate cu rest este clar că restul este întotdeauna mai mic decât divizorul, adică dacă împărțim un număr întreg la un număr întreg q, atunci doar unul dintre numerele 0, 1, 2, ..., q −1 poate fi restul. Rezultă că, după ce se completează împărțirea părții întregi a numărătorului unei fracții ordinare la numitorul q, după cel mult q pași, va apărea una dintre următoarele două situații:

• fie obținem restul 0 , aceasta va încheia împărțirea și vom obține fracția zecimală finală;
• sau vom obține un rest care a apărut deja înainte, după care resturile vor începe să se repete ca în exemplul anterior (deoarece la împărțirea numerelor egale la q se obțin resturi egale, ceea ce reiese din teorema deja menționată de divizibilitate), deci se va obţine o fracţie zecimală periodică infinită.

Nu pot exista alte opțiuni, prin urmare, atunci când convertiți o fracție obișnuită într-o fracție zecimală, nu poate fi obținută o fracție zecimală neperiodică infinită.

De asemenea, din raționamentul dat în acest paragraf rezultă că lungimea perioadei unei fracții zecimale este întotdeauna mai mică decât valoarea numitorului fracției ordinare corespunzătoare.

Convertiți zecimale în fracții comune

Acum să ne dăm seama cum să convertim o fracție zecimală într-una obișnuită. Să începem prin a converti zecimalele finale în fracții comune. După aceea, luați în considerare metoda de inversare a fracțiilor zecimale periodice infinite. În concluzie, să spunem despre imposibilitatea transformării fracțiilor zecimale neperiodice infinite în fracții obișnuite.

Conversia zecimalelor finale în fracții comune

Obținerea unei fracții obișnuite, care este scrisă ca o fracție zecimală finală, este destul de simplă. Regula pentru conversia unei fracții zecimale finale într-o fracție obișnuită constă din trei etape:

• în primul rând, scrieți fracția zecimală dată în numărător, după ce ați aruncat anterior punctul zecimal și toate zerourile din stânga, dacă există;
• în al doilea rând, scrieți unul la numitor și adăugați-i atâtea zerouri câte cifre sunt după punctul zecimal în fracția zecimală originală;
• în al treilea rând, dacă este necesar, reduceți fracția rezultată.

Să luăm în considerare exemple.

Exemplu.

Convertiți zecimala 3,025 într-o fracție comună.

Soluţie.

Dacă eliminăm punctul zecimal din fracția zecimală inițială, atunci obținem numărul 3025. Nu are zerouri în stânga pe care le-am arunca. Deci, în numărătorul fracției necesare scriem 3025.

Scriem numărul 1 la numitor și adăugăm 3 zerouri în dreapta acestuia, deoarece există 3 cifre în fracția zecimală inițială după virgulă.

Deci avem o fracție obișnuită 3 025/1 000. Această fracție poate fi redusă cu 25, obținem .

Răspuns:

.

Exemplu.

Convertiți zecimalul 0,0017 în fracție comună.

Soluţie.

Fără virgulă zecimală, fracția zecimală inițială arată ca 00017, eliminând zerourile din stânga, obținem numărul 17, care este numărătorul fracției ordinare dorite.

La numitor scriem o unitate cu patru zerouri, deoarece în fracția zecimală inițială sunt 4 cifre după virgulă.

Ca urmare, avem o fracție obișnuită 17/10.000. Această fracție este ireductibilă, iar conversia unei fracții zecimale în una obișnuită este finalizată.

Răspuns:

.

Când partea întreagă a fracției zecimale finale originale este diferită de zero, atunci poate fi convertită imediat într-un număr mixt, ocolind fracția obișnuită. Să dăm regula pentru conversia unei zecimale finale într-un număr mixt:

• numărul înainte de virgulă zecimală trebuie scris ca parte întreagă a numărului mixt dorit;
• în numărătorul părții fracționale, trebuie să scrieți numărul obținut din partea fracțională a fracției zecimale originale după ce ați aruncat toate zerourile din stânga în ea;
• în numitorul părții fracționale, trebuie să scrieți numărul 1, la care, în dreapta, adăugați atâtea zerouri câte cifre sunt în intrarea fracției zecimale originale după virgulă;
• dacă este necesar, reduceți partea fracțională a numărului mixt rezultat.

Luați în considerare un exemplu de conversie a unei fracții zecimale într-un număr mixt.

Exemplu.

Exprimați zecimalul 152,06005 ca număr mixt