Cum se simplifică o expresie matematică. Tutorial video „Simplificarea expresiilor

Observația 1

O funcție logică poate fi scrisă folosind o expresie logică și apoi puteți merge la circuitul logic. Este necesar să se simplifice expresiile logice pentru a obține un circuit logic cât mai simplu (și, prin urmare, mai ieftin). De fapt, o funcție logică, o expresie logică și un circuit logic sunt trei limbaje diferite care vorbesc despre aceeași entitate.

Pentru a simplifica expresiile logice, utilizați legile algebrei logicii.

Unele transformări sunt asemănătoare transformărilor formulelor din algebra clasică (încadrarea în paranteze a factorului comun, folosind legi comutative și combinaționale etc.), în timp ce alte transformări se bazează pe proprietăți pe care operațiile de algebră clasică nu le au (folosind o lege distributivă pentru conjuncție, legi de absorbție, lipire, regulile lui de Morgan etc.).

Legile algebrei logicii sunt formulate pentru operații logice de bază - „NU” - inversare (negație), „ȘI” - conjuncție (înmulțire logică) și „SAU” - disjuncție (adunare logică).

Legea dublei negații înseamnă că operația „NU” este reversibilă: dacă o aplici de două ori, atunci în final valoarea logică nu se va schimba.

Legea mijlocului exclus spune că orice expresie logică este fie adevărată, fie falsă („nu există o treime”). Prin urmare, dacă $A=1$, atunci $\bar(A)=0$ (și invers), ceea ce înseamnă că conjuncția acestor mărimi este întotdeauna egală cu zero, iar disjuncția este egală cu unu.

$((A + B) → C) \cdot (B → C \cdot D) \cdot C.$

Să simplificăm această formulă:

Figura 3

Aceasta implică faptul că $A = 0$, $B = 1$, $C = 1$, $D = 1$.

Răspuns: elevii $B$, $C$ și $D$ joacă șah, dar elevul $A$ nu joacă.

Când simplificați expresiile logice, puteți efectua următoarea secvență de acțiuni:

1. Înlocuiți toate operațiile „nebaze” (echivalență, implicație, XOR etc.) cu expresiile lor prin operațiile de bază de inversare, conjuncție și disjuncție.
2. Extindeți inversiunile expresiilor complexe conform regulilor lui de Morgan, astfel încât numai variabilele individuale să aibă operații de negație.
3. Apoi simplificați expresia folosind extinderea parantezelor, factorii comuni dintre paranteze și alte legi ale algebrei logicii.

Exemplul 2

Aici se folosesc succesiv regula lui de Morgan, legea distributivă, legea mijlocului exclus, legea comutativă, legea repetiției, legea din nou comutativă și legea absorbției.

O expresie literală (sau o expresie cu variabile) este expresie matematică, care constă din numere, litere și semne ale operațiilor matematice. De exemplu, următoarea expresie este literală:

a+b+4

Folosind expresii literale, puteți scrie legi, formule, ecuații și funcții. Abilitatea de a manipula expresii literale este cheia unei bune cunoștințe de algebră și matematică superioară.

Orice problemă serioasă la matematică se rezumă la rezolvarea ecuațiilor. Și pentru a putea rezolva ecuații, trebuie să poți lucra cu expresii literale.

Pentru a lucra cu expresii literale, trebuie să studiați bine aritmetica de bază: adunare, scădere, înmulțire, împărțire, legile de bază ale matematicii, fracții, acțiuni cu fracții, proporții. Și nu doar pentru a studia, ci pentru a înțelege bine.

Variabile

Literele care sunt conținute în expresii literale sunt numite variabile. De exemplu, în expresia a+b+4 literele sunt variabile AȘi b. Dacă în locul acestor variabile înlocuim orice numere, atunci expresia literală a+b+4 se va transforma într-o expresie numerică a cărei valoare poate fi găsită.

Numerele care sunt înlocuite cu variabile sunt numite valori variabile. De exemplu, să schimbăm valorile variabilelor AȘi b. Utilizați semnul egal pentru a modifica valorile

a = 2, b = 3

Am schimbat valorile variabilelor AȘi b. variabil A a atribuit o valoare 2 , variabil b a atribuit o valoare 3 . Ca urmare, expresia literală a+b+4 se convertește într-o expresie numerică normală 2+3+4 a căror valoare poate fi găsită:

2 + 3 + 4 = 9

Când variabilele sunt înmulțite, acestea sunt scrise împreună. De exemplu, intrarea abînseamnă același lucru cu intrarea a×b. Dacă înlocuim în loc de variabile AȘi b numere 2 Și 3 , apoi obținem 6

2 x 3 = 6

Împreună, puteți scrie și înmulțirea unui număr cu o expresie între paranteze. De exemplu, în loc de a×(b + c) poate fi scris a(b + c). Aplicând legea distributivă a înmulțirii obținem a(b + c)=ab+ac.

Cote

În expresiile literale, puteți găsi adesea o notație în care un număr și o variabilă sunt scrise împreună, de exemplu 3a. De fapt, aceasta este o prescurtare pentru înmulțirea numărului 3 cu o variabilă. Ași această intrare arată ca 3×a .

Cu alte cuvinte, expresia 3a este produsul dintre numărul 3 și variabila A. Număr 3 în această lucrare se numește coeficient. Acest coeficient arată de câte ori va fi mărită variabila A. Această expresie poate fi citită ca „ A de trei ori sau de trei ori A", sau "incrementează valoarea variabilei A de trei ori”, dar cel mai adesea citit ca „trei A«

De exemplu, dacă variabila A este egal cu 5 , apoi valoarea expresiei 3a va fi egal cu 15.

3 x 5 = 15

vorbind limbaj simplu, coeficientul este numărul care vine înaintea literei (înaintea variabilei).

Pot exista mai multe litere, de exemplu 5abc. Aici coeficientul este numărul 5 . Acest coeficient arată că produsul variabilelor abc crește de cinci ori. Această expresie poate fi citită ca „ abc de cinci ori” sau „mărește valoarea expresiei abc de cinci ori” sau „de cinci abc«.

Dacă în loc de variabile abcînlocuiți numerele 2, 3 și 4, apoi valoarea expresiei 5abc va fi egal cu 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

Vă puteți imagina mental cum au fost înmulțite mai întâi numerele 2, 3 și 4, iar valoarea rezultată a crescut de cinci ori:

Semnul coeficientului se referă numai la coeficient și nu se aplică variabilelor.

Luați în considerare expresia −6b. Minus în fața coeficientului 6 , se aplică numai coeficientului 6 , și nu se aplică variabilei b. Înțelegerea acestui fapt vă va permite să nu faceți greșeli în viitor cu semnele.

Găsiți valoarea expresiei −6b la b = 3.

−6b −6×b. Pentru claritate, scriem expresia −6bîn formă extinsă și înlocuiți valoarea variabilei b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Exemplul 2 Găsiți valoarea unei expresii −6b la b = −5

Să scriem expresia −6bîn formă extinsă

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Exemplul 3 Găsiți valoarea unei expresii −5a+b la a = 3Și b = 2

−5a+b este forma scurtă pentru −5 × a + b, prin urmare, pentru claritate, scriem expresia −5×a+bîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor AȘi b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Uneori literele sunt scrise fără coeficient, de exemplu A sau ab. În acest caz, coeficientul este unul:

dar unitatea nu este în mod tradițional scrisă, așa că ei scriu doar A sau ab

Dacă înaintea literei este un minus, atunci coeficientul este un număr −1 . De exemplu, expresia -A de fapt arata ca −1a. Acesta este produsul dintre minus unu și variabilă A. A iesit asa:

−1 × a = −1a

Aici se află un mic truc. În expresie -A minus înainte de variabilă A se referă de fapt la „unitatea invizibilă” și nu la variabilă A. Prin urmare, atunci când rezolvați probleme, ar trebui să fiți atenți.

De exemplu, având în vedere expresia -Ași ni se cere să îi găsim valoarea la a = 2, apoi la școală am înlocuit un deuce în loc de o variabilă Ași obțineți un răspuns −2 , fără a se concentra cu adevărat pe cum a ieșit. De fapt, a existat o înmulțire a minus unu cu un număr pozitiv 2

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Dacă este dată o expresie -Ași se cere să-și găsească valoarea la a = −2, apoi înlocuim −2 în loc de o variabilă A

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

Pentru a evita greșelile, la început unitățile invizibile pot fi scrise explicit.

Exemplul 4 Găsiți valoarea unei expresii abc la a=2 , b=3Și c=4

Expresie abc 1×a×b×c. Pentru claritate, scriem expresia abc a, bȘi c

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Exemplul 5 Găsiți valoarea unei expresii abc la a=−2 , b=−3Și c=−4

Să scriem expresia abcîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor a, bȘi c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Exemplul 6 Găsiți valoarea unei expresii − abc la a=3, b=5 și c=7

Expresie − abc este forma scurtă pentru −1×a×b×c. Pentru claritate, scriem expresia − abcîn formă extinsă și înlocuiți valorile variabilelor a, bȘi c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Exemplul 7 Găsiți valoarea unei expresii − abc la a=−2 , b=−4 și c=−3

Să scriem expresia − abc extins:

−abc = −1 × a × b × c

Înlocuiți valoarea variabilelor A , bȘi c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Cum se determină coeficientul

Uneori se cere rezolvarea unei probleme în care se cere determinarea coeficientului unei expresii. În principiu, această sarcină este foarte simplă. Este suficient să poți înmulți corect numerele.

Pentru a determina coeficientul dintr-o expresie, trebuie să înmulțiți separat numerele incluse în această expresie și să înmulțiți separat literele. Factorul numeric rezultat va fi coeficientul.

Exemplul 1 7m×5a×(−3)×n

Expresia constă din mai mulți factori. Acest lucru poate fi văzut clar dacă expresia este scrisă în formă extinsă. Adică funcționează 7mȘi 5a scrie in formular 7×mȘi 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Aplicăm legea asociativă a înmulțirii, care ne permite să înmulțim factorii în orice ordine. Și anume, înmulțiți separat numerele și înmulțiți separat literele (variabile):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105om

Coeficientul este −105 . După finalizare, partea de litere este de preferință aranjată în ordine alfabetică:

−105 dimineața

Exemplul 2 Determinați coeficientul în expresia: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Coeficientul este 6.

Exemplul 3 Determinați coeficientul în expresia:

Să înmulțim separat numerele și literele:

Coeficientul este −1. Vă rugăm să rețineți că unitatea nu este înregistrată, deoarece coeficientul 1 nu este de obicei înregistrat.

Aceste sarcini aparent simple pot face o glumă foarte crudă cu noi. Se dovedește adesea că semnul coeficientului este setat incorect: fie este omis un minus, fie, dimpotrivă, este stabilit în zadar. Pentru a evita aceste greșeli enervante, trebuie studiat la un nivel bun.

Termeni în expresii literale

Când adăugați mai multe numere, obțineți suma acelor numere. Numerele care se adună se numesc termeni. Pot exista mai mulți termeni, de exemplu:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Când o expresie constă din termeni, este mult mai ușor să o calculezi, deoarece este mai ușor să adunăm decât să scădem. Dar expresia poate conține nu numai adunare, ci și scădere, de exemplu:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

În această expresie, numerele 3 și 5 se scad, nu se adună. Dar nimic nu ne împiedică să înlocuim scăderea cu adunarea. Apoi obținem din nou o expresie formată din termeni:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Nu contează că numerele -3 și -5 sunt acum cu semnul minus. Principalul lucru este că toate numerele din această expresie sunt conectate prin semnul de adunare, adică expresia este o sumă.

Ambele expresii 1 + 2 − 3 + 4 − 5 Și 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) sunt egale cu aceeași valoare - minus unu

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Astfel, valoarea expresiei nu va avea de suferit din cauza faptului că înlocuim undeva scăderea cu adunarea.

De asemenea, puteți înlocui scăderea cu adunarea în expresiile literale. De exemplu, luați în considerare următoarea expresie:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

Pentru orice valori ale variabilelor a, b, c, dȘi s expresii 7a + 6b - 3c + 2d - 4s Și 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) va fi egală cu aceeași valoare.

Trebuie să fii pregătit pentru faptul că un profesor de la școală sau un profesor de la un institut poate numi termeni chiar și acele numere (sau variabile) care nu sunt ele.

De exemplu, dacă diferența este scrisă pe tablă a-b, atunci profesorul nu va spune asta A este minuend și b- deductibil. El va numi ambele variabile un cuvânt comun - termeni. Și totul pentru că expresia formei a-b matematicianul vede cum suma a + (−b). În acest caz, expresia devine o sumă, iar variabilele AȘi (−b) devin componente.

Termeni similari

Termeni similari sunt termeni care au aceeași parte de literă. De exemplu, luați în considerare expresia 7a + 6b + 2a. Termeni 7aȘi 2a au aceeași parte de literă - variabilă A. Deci termenii 7aȘi 2a Sunt asemănătoare.

De obicei, termeni similari sunt adăugați pentru a simplifica o expresie sau pentru a rezolva o ecuație. Această operație se numește reducerea termenilor similari.

Pentru a aduce termeni similari, trebuie să adăugați coeficienții acestor termeni și să înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei.

De exemplu, dăm termeni similari în expresie 3a + 4a + 5a. În acest caz, toți termenii sunt similari. Adăugăm coeficienții lor și înmulțim rezultatul cu partea comună cu literă - cu variabilă A

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Astfel de termeni sunt de obicei dați în minte și rezultatul este înregistrat imediat:

3a + 4a + 5a = 12a

De asemenea, puteți argumenta astfel:

Au fost adăugate 3 variabile a, încă 4 variabile a și încă 5 variabile a. Ca rezultat, am obținut 12 variabile a

Să luăm în considerare câteva exemple de reducere a termenilor similari. Avand in vedere ca acest subiect este foarte important, la inceput vom nota fiecare detaliu in detaliu. În ciuda faptului că aici totul este foarte simplu, majoritatea oamenilor fac multe greșeli. Mai ales din cauza neatenției, nu a ignoranței.

Exemplul 1 3a + 2a + 6a + 8 A

Adăugăm coeficienții din această expresie și înmulțim rezultatul cu partea comună a literei:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

proiecta (3 + 2 + 6 + 8)×a nu poți nota, așa că vom nota imediat răspunsul

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Exemplul 2 Aduceți termeni similari în expresie 2a+a

Al doilea mandat A scris fără coeficient, dar de fapt este precedat de un coeficient 1 , pe care nu o vedem din cauza faptului că nu este înregistrată. Deci expresia arată astfel:

2a + 1a

Acum prezentăm termeni similari. Adică, adăugăm coeficienții și înmulțim rezultatul cu partea comună a literei:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

Să scriem soluția pe scurt:

2a + a = 3a

2a+a, puteți argumenta în alt mod:

Exemplul 3 Aduceți termeni similari în expresie 2a - a

Să înlocuim scăderea cu adunarea:

2a + (−a)

Al doilea mandat (−a) scris fără coeficient, dar de fapt pare (−1a). Coeficient −1 din nou invizibil datorită faptului că nu este înregistrat. Deci expresia arată astfel:

2a + (−1a)

Acum prezentăm termeni similari. Adăugăm coeficienții și înmulțim rezultatul cu partea comună a literei:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

De obicei scris mai scurt:

2a − a = a

Aducerea unor termeni asemănători în expresie 2a−a Puteți argumenta și în alt mod:

Au fost 2 variabile a, scăzând o variabilă a, ca urmare a fost o singură variabilă a

Exemplul 4 Aduceți termeni similari în expresie 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Acum prezentăm termeni similari. Adăugăm coeficienții și înmulțim rezultatul cu partea comună a literei

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

Să scriem soluția pe scurt:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Există expresii care conțin mai multe grupuri diferite de termeni similari. De exemplu, 3a + 3b + 7a + 2b. Pentru astfel de expresii se aplică aceleași reguli ca și pentru restul, și anume, adăugarea coeficienților și înmulțirea rezultatului cu partea comună a literei. Dar pentru a evita greșelile, este convenabil să subliniați diferite grupuri de termeni cu linii diferite.

De exemplu, în expresia 3a + 3b + 7a + 2b acei termeni care conțin o variabilă A, poate fi subliniat cu o singură linie și acei termeni care conțin o variabilă b, poate fi subliniat cu două rânduri:

Acum putem aduce condiții similare. Adică, adăugați coeficienții și înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei. Acest lucru trebuie făcut pentru ambele grupuri de termeni: pentru termeni care conțin o variabilă A iar pentru termenii care conțin variabila b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Din nou, repetăm, expresia este simplă și termeni similari pot fi dați în minte:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Exemplul 5 Aduceți termeni similari în expresie 5a - 6a - 7b + b

Înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Subliniați termeni similari cu linii diferite. Termeni care conțin variabile A subliniați cu un rând, iar termenii conținut sunt variabile b, subliniat cu două rânduri:

Acum putem aduce condiții similare. Adică, adăugați coeficienții și înmulțiți rezultatul cu partea comună a literei:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Dacă expresia conține numere obișnuite fără factori alfabetici, atunci acestea sunt adăugate separat.

Exemplul 6 Aduceți termeni similari în expresie 4a + 3a − 5 + 2b + 7

Să înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

Să prezentăm termeni similari. Numerele −5 Și 7 nu au factori literali, dar sunt termeni similari - trebuie doar să-i adunați. Și termenul 2b va rămâne neschimbat, deoarece este singurul din această expresie care are un factor de litere b,și nu există nimic cu care să-l adaugi:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

Să scriem soluția pe scurt:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termenii pot fi ordonați astfel încât acei termeni care au aceeași parte de literă să fie localizați în aceeași parte a expresiei.

Exemplul 7 Aduceți termeni similari în expresie 5t+2x+3x+5t+x

Deoarece expresia este suma mai multor termeni, acest lucru ne permite să o evaluăm în orice ordine. Prin urmare, termenii care conțin variabila t, se pot scrie la începutul expresiei, iar termenii care conțin variabila X la sfârșitul expresiei:

5t+5t+2x+3x+x

Acum putem adăuga termeni similari:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

Să scriem soluția pe scurt:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Suma numerelor opuse este zero. Această regulă funcționează și pentru expresiile literale. Dacă expresia conține aceiași termeni, dar cu semne opuse, apoi pot fi eliminate în etapa de reducere a termenilor similari. Cu alte cuvinte, eliminați-le din expresie deoarece suma lor este zero.

Exemplul 8 Aduceți termeni similari în expresie 3t − 4t − 3t + 2t

Să înlocuim scăderea cu adunarea acolo unde este posibil:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Termeni 3tȘi (−3t) sunt opuse. Suma termenilor opuși este egală cu zero. Dacă eliminăm acest zero din expresie, atunci valoarea expresiei nu se va modifica, așa că o vom elimina. Și îl vom elimina prin ștergerea obișnuită a termenilor 3tȘi (−3t)

Ca rezultat, vom avea expresia (−4t) + 2t. În această expresie, puteți adăuga termeni similari și puteți obține răspunsul final:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

Să scriem soluția pe scurt:

Simplificarea expresiei

„simplificați expresia” iar următoarea este expresia de simplificat. Simplificați expresiaînseamnă să o faci mai simplă și mai scurtă.

De fapt, ne-am ocupat deja de simplificarea expresiilor la reducerea fracțiilor. După reducere, fracția a devenit mai scurtă și mai ușor de citit.

Luați în considerare următorul exemplu. Simplificați expresia.

Această sarcină poate fi înțeleasă literal după cum urmează: „Fă tot ce poți face cu această expresie, dar simplifică-l” .

În acest caz, puteți reduce fracția, și anume, împărțiți numărătorul și numitorul fracției la 2:

Ce altceva se mai poate face? Puteți calcula fracția rezultată. Apoi obținem zecimala 0,5

Ca rezultat, fracția a fost simplificată la 0,5.

Prima întrebare pe care să ți-o pui atunci când rezolvi astfel de probleme ar trebui să fie "ce se poate face?" . Pentru că există lucruri pe care le poți face și sunt lucruri pe care nu le poți face.

O alta punct important Lucrul de reținut este că valoarea unei expresii nu trebuie să se schimbe după ce expresia este simplificată. Să revenim la expresie. Această expresie este o diviziune care poate fi efectuată. După efectuarea acestei împărțiri, obținem valoarea acestei expresii, care este egală cu 0,5

Dar am simplificat expresia și am obținut o nouă expresie simplificată. Valoarea noii expresii simplificate este încă 0,5

Dar am încercat și să simplificăm expresia calculând-o. Ca urmare, răspunsul final a fost 0,5.

Astfel, indiferent de modul în care simplificăm expresia, valoarea expresiilor rezultate este tot 0,5. Aceasta înseamnă că simplificarea a fost efectuată corect în fiecare etapă. Acesta este ceea ce trebuie să ne străduim atunci când simplificăm expresii - sensul expresiei nu ar trebui să sufere de pe urma acțiunilor noastre.

Este adesea necesară simplificarea expresiilor literale. Pentru ei se aplică aceleași reguli de simplificare ca și pentru expresiile numerice. Puteți efectua orice acțiune validă, atâta timp cât valoarea expresiei nu se modifică.

Să ne uităm la câteva exemple.

Exemplul 1 Simplificați expresia 5,21s × t × 2,5

Pentru a simplifica această expresie, puteți înmulți numerele separat și înmulți literele separat. Această sarcină este foarte asemănătoare cu cea pe care am considerat-o când am învățat să determinăm coeficientul:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025

Deci expresia 5,21s × t × 2,5 simplificat la 13.025st.

Exemplul 2 Simplificați expresia −0,4×(−6,3b)×2

A doua lucrare (−6.3b) poate fi tradus într-o formă pe care o putem înțelege, și anume, scrisă sub forma ( −6,3)×b , apoi înmulțiți separat numerele și înmulțiți separat literele:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Deci expresia −0,4×(−6,3b)×2 simplificat la 5.04b

Exemplul 3 Simplificați expresia

Să scriem această expresie mai detaliat pentru a vedea clar unde sunt numerele și unde sunt literele:

Acum înmulțim numerele separat și înmulțim literele separat:

Deci expresia simplificat la −abc. Această soluție poate fi scrisă mai scurt:

La simplificarea expresiilor, fracțiile pot fi reduse în procesul de rezolvare și nu la sfârșit, așa cum am făcut cu fracții comune. De exemplu, dacă în cursul rezolvării întâlnim o expresie de forma , atunci nu este deloc necesar să calculăm numărătorul și numitorul și să facem ceva de genul acesta:

O fracție poate fi redusă alegând atât factorul la numărător, cât și la numitor și reducând acești factori cu cel mai mare divizor comun al lor. Cu alte cuvinte, folosiți , în care nu descriem în detaliu în ce au fost împărțite numărătorul și numitorul.

De exemplu, la numărător, factorul 12 și la numitor, factorul 4 poate fi redus cu 4. Tinem cont de cele patru, iar împărțind 12 și 4 la aceste patru, scriem răspunsurile lângă aceste numere, având le-a bifat anterior

Acum puteți înmulți factorii mici rezultați. În acest caz, nu sunt multe dintre ele și le poți înmulți în minte:

În timp, s-ar putea să descoperi că atunci când rezolvi o anumită problemă, expresiile încep să „se îngrașă”, așa că este indicat să te obișnuiești cu calculele rapide. Ceea ce poate fi calculat în minte trebuie calculat în minte. Ceea ce poate fi tăiat rapid trebuie tăiat rapid.

Exemplul 4 Simplificați expresia

Deci expresia simplificat la

Exemplul 5 Simplificați expresia

Înmulțim numerele separat și literele separat:

Deci expresia simplificat la mn.

Exemplul 6 Simplificați expresia

Să scriem această expresie mai detaliat pentru a vedea clar unde sunt numerele și unde sunt literele:

Acum înmulțim separat numerele și literele separat. Pentru comoditatea calculelor, fracția zecimală −6,4 și număr mixt pot fi convertite în fracții obișnuite:

Deci expresia simplificat la

Soluția pentru acest exemplu poate fi scrisă mult mai scurt. Va arata asa:

Exemplul 7 Simplificați expresia

Înmulțim numerele separat și literele separat. Pentru comoditatea calculului, numărul mixt și fracțiile zecimale 0,1 și 0,6 pot fi convertite în fracții obișnuite:

Deci expresia simplificat la abcd. Dacă sări peste detalii, atunci această soluție poate fi scrisă mult mai scurt:

Observați cum a fost redusă fracția. Multiplicatorii noi, care se obțin prin reducerea multiplicatorilor anteriori, pot fi, de asemenea, reduse.

Acum hai să vorbim despre ce să nu faci. La simplificarea expresiilor, este strict interzisă înmulțirea numerelor și literelor dacă expresia este o sumă și nu un produs.

De exemplu, dacă doriți să simplificați expresia 5a + 4b, atunci nu se poate scrie astfel:

Acest lucru este echivalent cu faptul că dacă ni s-ar cere să adunăm două numere și le-am înmulți în loc să le adunăm.

La înlocuirea oricăror valori ale variabilelor AȘi b expresie 5a+4b se transformă într-o expresie numerică simplă. Să presupunem variabilele AȘi b au urmatoarele semnificatii:

a = 2, b = 3

Atunci valoarea expresiei va fi 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Mai întâi se efectuează înmulțirea, apoi se adună rezultatele. Și dacă am încerca să simplificăm această expresie prin înmulțirea numerelor și literelor, am obține următoarele:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Se dovedește un sens complet diferit al expresiei. În primul caz s-a dovedit 22 , în al doilea caz 120 . Aceasta înseamnă că simplificarea expresiei 5a + 4b a fost efectuat incorect.

După simplificarea expresiei, valoarea acesteia nu ar trebui să se schimbe cu aceleași valori ale variabilelor. Dacă, la înlocuirea oricăror valori variabile în expresia originală, se obține o valoare, atunci după simplificarea expresiei, ar trebui să se obțină aceeași valoare ca înainte de simplificare.

Cu expresie 5a + 4b de fapt nimic nu se poate face. Nu devine mai ușor.

Dacă expresia conține termeni similari, atunci aceștia pot fi adăugați dacă scopul nostru este de a simplifica expresia.

Exemplul 8 Simplificați expresia 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

sau mai scurt: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Deci expresia 0,3a−0,4a+a simplificat la 0,9a

Exemplul 9 Simplificați expresia −7,5a − 2,5b + 4a

Pentru a simplifica această expresie, puteți adăuga termeni similari:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

sau mai scurt −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

termen (−2,5b) a rămas neschimbat, deoarece nu avea cu ce să-l plieze.

Exemplul 10 Simplificați expresia

Pentru a simplifica această expresie, puteți adăuga termeni similari:

Coeficientul a fost pentru comoditatea calculului.

Deci expresia simplificat la

Exemplul 11. Simplificați expresia

Pentru a simplifica această expresie, puteți adăuga termeni similari:

Deci expresia simplificat la .

ÎN acest exemplu ar fi mai logic să adăugați mai întâi primul și ultimul coeficient. În acest caz, vom obține o soluție scurtă. Ar arata asa:

Exemplul 12. Simplificați expresia

Pentru a simplifica această expresie, puteți adăuga termeni similari:

Deci expresia simplificat la .

Termenul a rămas neschimbat, deoarece nu era nimic de adăugat.

Această soluție poate fi scrisă mult mai scurt. Va arata asa:

Soluția scurtă omite pașii de înlocuire a scăderii cu adunarea și o înregistrare detaliată a modului în care fracțiile au fost reduse la un numitor comun.

O altă diferență este că în decizie detaliată răspunsul arată ca , dar pe scurt ca . De fapt, este aceeași expresie. Diferența este că, în primul caz, scăderea este înlocuită cu adunarea, deoarece la început când am scris soluția în vedere detaliată, am înlocuit scăderea cu adunarea ori de câte ori este posibil, iar această înlocuire a fost păstrată pentru răspuns.

Identități. Expresii identice egale

După ce am simplificat orice expresie, aceasta devine mai simplă și mai scurtă. Pentru a verifica dacă o expresie este simplificată corect, este suficient să înlocuiți orice valori ale variabilelor mai întâi în expresia anterioară, care urma să fie simplificată, și apoi în cea nouă, care a fost simplificată. Dacă valoarea din ambele expresii este aceeași, atunci expresia este simplificată corect.

Considera cel mai simplu exemplu. Să fie necesar pentru a simplifica expresia 2a × 7b. Pentru a simplifica această expresie, puteți înmulți separat numerele și literele:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

Să verificăm dacă am simplificat corect expresia. Pentru a face acest lucru, înlocuiți orice valoare a variabilelor AȘi b mai întâi la prima expresie, care trebuia simplificată, iar apoi la a doua, care a fost simplificată.

Lasă valorile variabilelor A , b va fi după cum urmează:

a = 4, b = 5

Înlocuiește-le în prima expresie 2a × 7b

Acum să substituim aceleași valori ale variabilelor în expresia care a rezultat în urma simplificării 2a×7b, și anume în expresia 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Vedem asta la a=4Și b=5 valoarea primei expresii 2a×7bși valoarea celei de-a doua expresii 14ab egal

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Același lucru se va întâmpla pentru orice alte valori. De exemplu, lasa a=1Și b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Astfel, pentru orice valoare a variabilelor, expresiile 2a×7bȘi 14ab sunt egale cu aceeași valoare. Astfel de expresii sunt numite identic egale.

Conchidem că între expresii 2a×7bȘi 14ab puteți pune un semn egal, deoarece sunt egale cu aceeași valoare.

2a × 7b = 14ab

O egalitate este orice expresie care este unită printr-un semn egal (=).

Și egalitatea formei 2a×7b = 14ab numit identitate.

O identitate este o egalitate care este adevărată pentru orice valoare a variabilelor.

Alte exemple de identități:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Da, legile matematicii pe care le-am studiat sunt identități.

Egalitățile numerice adevărate sunt și identități. De exemplu:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Hotărând sarcină dificilă, pentru a facilita calculul, expresia complexă este înlocuită cu o expresie mai simplă care este identic egală cu cea anterioară. Un astfel de înlocuitor se numește transformare identică a expresiei sau pur și simplu conversia expresiei.

De exemplu, am simplificat expresia 2a × 7b, și obțineți o expresie mai simplă 14ab. Această simplificare poate fi numită transformarea identităţii.

Puteți găsi adesea o sarcină care spune „demonstrează că egalitatea este identitate” iar apoi se dă egalitatea de demonstrat. De obicei, această egalitate constă din două părți: părțile din stânga și din dreapta ale egalității. Sarcina noastră este să efectuăm transformări identice cu una dintre părțile egalității și să obținem cealaltă parte. Sau efectuați transformări identice cu ambele părți ale egalității și asigurați-vă că ambele părți ale egalității conțin aceleași expresii.

De exemplu, să demonstrăm că egalitatea 0,5a × 5b = 2,5ab este o identitate.

Simplificați partea stângă a acestei egalități. Pentru a face acest lucru, înmulțiți separat numerele și literele:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Ca rezultat al unei mici transformări identice, partea stanga egalitatea a devenit egală cu partea dreaptă a egalității. Deci am demonstrat că egalitatea 0,5a × 5b = 2,5ab este o identitate.

Din transformări identice, am învățat să adunăm, să scădem, să înmulțim și să împărțim numere, să reducem fracții, să aducem termeni similari și, de asemenea, să simplificăm unele expresii.

Dar acestea sunt departe de toate transformările identice care există în matematică. Există mult mai multe transformări identice. Vom vedea asta din nou și din nou în viitor.

Sarcini pentru soluție independentă:

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noului nostru grup Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

Simplificarea expresiilor algebrice este una dintre cheile învățării algebrei și o abilitate extrem de utilă pentru toți matematicienii. Simplificarea vă permite să reduceți o expresie complexă sau lungă la o expresie simplă cu care este ușor de lucrat. Abilitățile de bază de simplificare sunt bune chiar și pentru cei care nu sunt entuziaști de matematică. Păstrând câteva reguli simple, puteți simplifica multe dintre cele mai comune tipuri de expresii algebrice fără cunoștințe matematice speciale.

Pași

Definiții importante

1. Membri similari. Aceștia sunt membri cu o variabilă de aceeași ordine, membri cu aceleași variabile sau membri liberi (membri care nu conțin o variabilă). Cu alte cuvinte, termeni similari includ o variabilă în aceeași măsură, includ mai multe variabile identice sau nu includ deloc o variabilă. Ordinea termenilor din expresie nu contează.

   • De exemplu, 3x 2 și 4x 2 sunt termeni asemănători deoarece conțin variabila „x” de ordinul doi (în a doua putere). Cu toate acestea, x și x 2 nu sunt membri similari, deoarece conțin variabila „x” de ordine diferite (primul și al doilea). În mod similar, -3yx și 5xz nu sunt membri similari, deoarece conțin variabile diferite.

2. Factorizarea. Aceasta înseamnă găsirea unor astfel de numere, al căror produs duce la numărul inițial. Orice număr original poate avea mai mulți factori. De exemplu, numărul 12 poate fi descompus în următoarea serie de factori: 1 × 12, 2 × 6 și 3 × 4, deci putem spune că numerele 1, 2, 3, 4, 6 și 12 sunt factori ai numărul 12. Factorii sunt la fel ca divizorii , adică numerele cu care numărul inițial este divizibil.

   • De exemplu, dacă doriți să factorizați numărul 20, scrieți-l astfel: 4×5.
   • Rețineți că la factorizare, variabila este luată în considerare. De exemplu, 20x = 4(5x).
   • Numerele prime nu pot fi factorizate, deoarece sunt divizibile doar cu ele însele și cu 1.

3. Amintiți-vă și urmați ordinea operațiunilor pentru a evita greșelile.

   • Paranteze
   • grad
   • Multiplicare
   • Divizia
   • Plus
   • Scădere

   Casting Like Members

   1. Notează expresia. Protozoare expresii algebrice(care nu conțin fracții, rădăcini și așa mai departe) pot fi rezolvate (simplificate) în doar câțiva pași.

      • De exemplu, simplificați expresia 1 + 2x - 3 + 4x.

   2. Definiți membri similari (membri cu o variabilă de aceeași ordine, membri cu aceleași variabile sau membri liberi).

      • Găsiți termeni similari în această expresie. Termenii 2x și 4x conțin o variabilă de același ordin (primul). De asemenea, 1 și -3 sunt membri liberi (nu conțin o variabilă). Astfel, în această expresie, termenii 2x și 4x sunt similare, iar membrii 1 și -3 sunt de asemenea asemănătoare.

   3. Dați termeni similari. Aceasta înseamnă adăugarea sau scăderea lor și simplificarea expresiei.

      • 2x+4x= 6x
      • 1 - 3 = -2

   4. Rescrieți expresia ținând cont de termenii dați. Veți obține o expresie simplă cu mai puțini termeni. Noua expresie este egală cu cea originală.

      • În exemplul nostru: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, adică expresia originală este simplificată și mai ușor de lucrat.

   5. Observați ordinea în care sunt efectuate operațiunile atunci când turnați termeni similari.În exemplul nostru, a fost ușor să aducem termeni similari. Cu toate acestea, în cazul expresiilor complexe în care membrii sunt încadrați între paranteze și sunt prezente fracții și rădăcini, nu este atât de ușor să aduceți astfel de termeni. În aceste cazuri, urmați ordinea operațiilor.

      • De exemplu, luați în considerare expresia 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Aici ar fi o greșeală să definiți imediat 3x și 2x ca termeni similari și să îi citați, deoarece mai întâi trebuie să extindeți parantezele. Prin urmare, efectuați operațiunile în ordinea lor.
        • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
        • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Acum, când expresia conține doar operații de adunare și scădere, puteți arunca termeni similari.
        • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
        • x 2 + 12x + 3

   Parantezărea multiplicatorului

   1. Aflați cel mai mare divizor comun (mcd) al tuturor coeficienților expresiei. GCD este cel mai mare număr cu care toți coeficienții expresiei sunt divizibili.

      • De exemplu, luați în considerare ecuația 9x 2 + 27x - 3. În acest caz, mcd=3, deoarece orice coeficient al acestei expresii este divizibil cu 3.

   2. Împărțiți fiecare termen al expresiei la mcd. Termenii rezultați vor conține coeficienți mai mici decât în ​​expresia originală.

      • În exemplul nostru, împărțiți fiecare termen de expresie la 3.
        • 9x2/3=3x2
        • 27x/3=9x
        • -3/3 = -1
        • Sa dovedit expresia 3x2 + 9x-1. Nu este egal cu expresia originală.

   3. Scrieți expresia originală ca fiind egală cu produsul mcd înmulțit cu expresia rezultată. Adică, includeți expresia rezultată între paranteze și scoateți GCD-ul dintre paranteze.

      • În exemplul nostru: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

   4. Simplificarea expresiilor fracționale prin scoaterea multiplicatorului din paranteze. De ce pur și simplu scoateți multiplicatorul din paranteze, așa cum sa făcut mai devreme? Apoi, pentru a învăța cum să simplificați expresii complexe, cum ar fi expresiile fracționale. În acest caz, scoaterea factorului dintre paranteze poate ajuta la eliminarea fracției (de la numitor).

      • De exemplu, luați în considerare expresia fracțională (9x 2 + 27x - 3)/3. Utilizați paranteze pentru a simplifica această expresie.
        • Factorizați factorul 3 (cum ați făcut înainte): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
        • Rețineți că atât numărătorul, cât și numitorul au acum numărul 3. Acesta poate fi redus și obțineți expresia: (3x 2 + 9x - 1) / 1
        • Deoarece orice fracție care are numărul 1 la numitor este doar egală cu numărătorul, expresia fracțională inițială este simplificată la: 3x2 + 9x-1.

   Tehnici suplimentare de simplificare

4. Luați în considerare un exemplu simplu: √(90). Numărul 90 poate fi descompus în următorii factori: 9 și 10, iar din 9 extrage Rădăcină pătrată(3) și scoateți 3 de sub rădăcină.
   • √(90)
   • √(9×10)
   • √(9)×√(10)
   • 3×√(10)
   • 3√(10)

5. Simplificarea expresiilor cu puteri.În unele expresii, există operații de înmulțire sau împărțire a termenilor cu grad. În cazul înmulțirii termenilor cu o singură bază, se adună gradele acestora; în cazul împărțirii termenilor cu aceeași bază, se scad gradele acestora.

   • De exemplu, luați în considerare expresia 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15). În cazul înmulțirii, se adună exponenții, iar în cazul împărțirii, se scad.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 / x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x7+x2
   • Mai jos este o explicație a regulii de înmulțire și împărțire a termenilor cu un grad.
     • Înmulțirea termenilor cu puteri este echivalentă cu înmulțirea termenilor prin ei înșiși. De exemplu, deoarece x 3 = x × x × x și x 5 = x × x × x × x × x, atunci x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), sau x8.
     • În mod similar, împărțirea termenilor cu puteri este echivalentă cu împărțirea termenilor la ei înșiși. x 5 /x 3 \u003d (x × x × x × x × x) / (x × x × x). Deoarece termeni similari care sunt atât în ​​numărător, cât și în numitor pot fi reduceți, produsul a doi „x”, sau x 2, rămâne în numărător.

• Fiți întotdeauna conștienți de semnele (plus sau minus) din fața termenilor unei expresii, deoarece mulți oameni au dificultăți în a alege semnul potrivit.
• Cere ajutor dacă e nevoie!
• Simplificarea expresiilor algebrice nu este ușoară, dar dacă puneți mâna pe ea, puteți folosi această abilitate pentru o viață întreagă.

Orice limbă poate exprima aceleași informații cuvinte diferiteși cifrele de afaceri. Limbajul matematic nu face excepție. Dar aceeași expresie poate fi scrisă în mod echivalent în moduri diferite. Și în unele situații, una dintre intrări este mai simplă. Vom vorbi despre simplificarea expresiilor în această lecție.

Oamenii comunică mai departe limbi diferite. Pentru noi, o comparație importantă este perechea „Limba rusă – limba matematică”. Aceleași informații pot fi raportate în diferite limbi. Dar, pe lângă aceasta, poate fi pronunțat diferit într-o singură limbă.

De exemplu: „Peter este prieten cu Vasya”, „Vasya este prieten cu Petya”, „Peter și Vasya sunt prieteni”. Spus diferit, dar unul și același. Prin oricare dintre aceste fraze, am înțelege ce este în joc.

Să ne uităm la această frază: „Băiatul Petya și băiatul Vasya sunt prieteni”. Înțelegem ce în cauză. Cu toate acestea, nu ne place cum sună această frază. Nu putem să o simplificăm, să spunem la fel, dar mai simplu? „Băiat și băiat” - puteți spune o dată: „Băieții Petya și Vasya sunt prieteni”.

„Băieți”... Nu se vede din numele lor că nu sunt fete. Îndepărtăm „băieții”: „Petia și Vasya sunt prieteni”. Și cuvântul „prieteni” poate fi înlocuit cu „prieteni”: „Petia și Vasya sunt prieteni”. Drept urmare, prima frază lungă și urâtă a fost înlocuită cu o afirmație echivalentă, care este mai ușor de spus și mai ușor de înțeles. Am simplificat această expresie. A simplifica înseamnă a spune mai ușor, dar a nu pierde, a nu denatura sensul.

Același lucru se întâmplă și în limbajul matematic. Același lucru poate fi spus diferit. Ce înseamnă simplificarea unei expresii? Aceasta înseamnă că pentru expresia originală există multe expresii echivalente, adică cele care înseamnă același lucru. Și din toată această mulțime, trebuie să alegem cel mai simplu, după părerea noastră, sau cel mai potrivit pentru scopurile noastre ulterioare.

De exemplu, luați în considerare o expresie numerică. Va fi echivalent cu .

De asemenea, va fi echivalent cu primele două: .

Se pare că ne-am simplificat expresiile și am găsit cea mai scurtă expresie echivalentă.

Pentru expresiile numerice, trebuie întotdeauna să faceți toată munca și să obțineți expresia echivalentă ca un singur număr.

Luați în considerare un exemplu de expresie literală . Evident, va fi mai simplu.

Când simplificați expresiile literale, trebuie să efectuați toate acțiunile posibile.

Este întotdeauna necesar să simplificați o expresie? Nu, uneori o notație echivalentă, dar mai lungă, va fi mai convenabilă pentru noi.

Exemplu: Scădeți numărul din număr.

Este posibil să se calculeze, dar dacă primul număr ar fi reprezentat prin notația sa echivalentă: , atunci calculele ar fi instantanee: .

Adică, o expresie simplificată nu este întotdeauna benefică pentru noi pentru calcule ulterioare.

Cu toate acestea, de foarte multe ori ne confruntăm cu o sarcină care sună ca „simplificați expresia”.

Simplificați expresia: .

Soluţie

1) Efectuați acțiuni în prima și a doua paranteză: .

2) Calculați produsele: .

Evident, ultima expresie are o formă mai simplă decât cea inițială. Am simplificat-o.

Pentru a simplifica expresia, aceasta trebuie înlocuită cu un echivalent (egal).

Pentru a determina expresia echivalentă, trebuie:

1) efectuați toate acțiunile posibile,

2) folosiți proprietățile de adunare, scădere, înmulțire și împărțire pentru a simplifica calculele.

Proprietăți de adunare și scădere:

1. Proprietatea comutativă a adunării: suma nu se modifică din rearanjarea termenilor.

2. Proprietatea asociativă a adunării: pentru a adăuga un al treilea număr la suma a două numere, puteți adăuga suma celui de-al doilea și al treilea număr la primul număr.

3. Proprietatea de a scădea o sumă dintr-un număr: pentru a scădea suma dintr-un număr, puteți scădea fiecare termen individual.

Proprietăți de înmulțire și împărțire

1. Proprietatea comutativă a înmulțirii: produsul nu se modifică dintr-o permutare a factorilor.

2. Proprietate asociativă: pentru a înmulți un număr cu produsul a două numere, îl poți înmulți mai întâi cu primul factor, iar apoi să înmulți produsul rezultat cu al doilea factor.

3. Proprietatea distributivă a înmulțirii: pentru a înmulți un număr cu o sumă, trebuie să-l înmulțiți separat cu fiecare termen.

Să vedem cum facem de fapt calcule mentale.

Calculati:

Soluţie

1) Imaginează-ți cum

2) Să reprezentăm primul factor ca sumă de termeni de biți și să efectuăm înmulțirea:

3) vă puteți imagina cum și efectuați înmulțirea:

4) Înlocuiți primul factor cu o sumă echivalentă:

Legea distributivă poate fi folosită și în sens invers: .

Urmați acești pași:

1) 2)

Soluţie

1) Pentru comoditate, puteți folosi legea distribuției, doar utilizați-o în direcția opusă - scoateți factorul comun din paranteze.

2) Să scoatem factorul comun din paranteze

Este necesar să cumpărați linoleum în bucătărie și hol. Zona de bucatarie - hol -. Există trei tipuri de linoleum: pentru și ruble pentru. Cât va fi fiecare dintre trei tipuri linoleum? (Fig. 1)

Orez. 1. Ilustrație pentru starea problemei

Soluţie

Metoda 1. Puteți găsi separat câți bani va fi nevoie pentru a cumpăra linoleum în bucătărie, apoi adăugați-l pe hol și adăugați lucrările rezultate.

Se știe că în matematică nu se poate face fără simplificarea expresiilor. Acest lucru este necesar pentru corectă și decizie rapidă o mare varietate de probleme, precum și diverse tipuri de ecuații. Simplificarea discutată presupune o reducere a numărului de acțiuni necesare atingerii scopului. În consecință, calculele sunt considerabil facilitate, iar timpul este economisit semnificativ. Dar cum simplificăm expresia? Pentru aceasta, sunt folosite relații matematice stabilite, denumite adesea formule sau legi care vă permit să faceți expresii mult mai scurte, simplificând astfel calculele.

Nu este un secret pentru nimeni că astăzi nu este greu să simplificăm expresia online. Iată link-uri către unele dintre cele mai populare:

Cu toate acestea, acest lucru nu este posibil cu fiecare expresie. Prin urmare, vom lua în considerare metode mai tradiționale mai detaliat.

Scoaterea unui divizor comun

În cazul în care într-o expresie există monomii care au aceiași factori, puteți găsi suma coeficienților cu ei și apoi înmulțiți cu factorul comun pentru ei. Această operație se mai numește și „scăderea unui divizor comun”. Folosind în mod constant aceasta metoda, uneori este posibilă simplificarea semnificativă a expresiei. La urma urmei, algebra, în general, în ansamblu, este construită pe gruparea și regruparea factorilor și divizorilor.

Cele mai simple formule pentru înmulțirea prescurtată

Una dintre consecințele metodei descrise anterior sunt formulele de înmulțire redusă. Cum să simplificați expresiile cu ajutorul lor este mult mai clar pentru cei care nici măcar nu au învățat aceste formule pe de rost, dar știu cum sunt derivate, adică de unde provin și, în consecință, natura lor matematică. În principiu, afirmația anterioară rămâne valabilă în toată matematica modernă, de la clasa I până la cursurile superioare ale catedrelor de Mecanică și Matematică. Diferența de pătrate, pătratul diferenței și suma, suma și diferența de cuburi - toate aceste formule sunt utilizate pe scară largă în matematica elementară, precum și în cea superioară, în cazurile în care este necesară simplificarea expresiei pentru a rezolva problemele . Exemple de astfel de transformări pot fi găsite cu ușurință în orice manual școlar de algebră sau, și mai simplu, pe vastitatea rețelei mondiale.

Rădăcini de grad

Matematica elementară, dacă o priviți în ansamblu, este înarmată cu nu atât de multe moduri în care puteți simplifica expresia. Gradele și acțiunile cu ele, de regulă, sunt relativ ușoare pentru majoritatea studenților. Abia acum, mulți școlari și elevi moderni au dificultăți considerabile atunci când este necesară simplificarea expresiei cu rădăcini. Și este complet nefondat. Pentru că natura matematică a rădăcinilor nu este diferită de natura acelorași grade, cu care, de regulă, există mult mai puține dificultăți. Se știe că rădăcina pătrată a unui număr, variabilă sau expresie nu este altceva decât același număr, variabilă sau expresie la puterea „o secundă”, rădăcina cubă este aceeași cu puterea „o treime”, și așadar pe prin corespondență.

Simplificarea expresiilor cu fracții

Luați în considerare, de asemenea, un exemplu comun despre cum să simplificați o expresie cu fracții. În cazurile în care expresiile sunt fracții naturale, ar trebui să selectați un factor comun de la numitor și numărător, apoi reduceți fracția cu acesta. Când monomiile au aceiași multiplicatori ridicați la puteri, este necesar să se monitorizeze egalitatea puterilor la însumarea acestora.

Simplificarea celor mai simple expresii trigonometrice

Unele în afară este conversația despre cum să simplificați expresia trigonometrică. Cea mai amplă secțiune a trigonometriei este, poate, prima etapă în care studenții la matematică vor întâlni concepte, probleme și metode oarecum abstracte de rezolvare a acestora. Aici există formule corespunzătoare, prima dintre acestea fiind identitatea trigonometrică de bază. Având o mentalitate matematică suficientă, se poate urmări derivarea sistematică din această identitate a tuturor principalelor identități trigonometriceși formule, inclusiv formule pentru diferența și suma argumentelor, argumente duble, triple, formule de reducere și multe altele. Desigur, nu trebuie să uităm aici chiar primele metode, cum ar fi eliminarea unui factor comun, care sunt utilizate pe deplin împreună cu metode și formule noi.

Pentru a rezuma, iată câteva sfaturi generale pentru cititor:

• Polinoamele ar trebui factorizate, adică ar trebui reprezentate sub forma unui produs al unui anumit număr de factori - monomii și polinoame. Dacă există o astfel de posibilitate, este necesar să scoateți factorul comun din paranteze.
• Este mai bine să memorați toate formulele de înmulțire abreviate fără excepție. Nu sunt atât de multe, dar sunt baza pentru simplificarea expresiilor matematice. De asemenea, nu trebuie să uitați de metoda de evidențiere a pătratelor perfecte în trinoame, care este acțiunea inversă uneia dintre formulele de înmulțire prescurtate.
• Toate fracțiile existente în expresie ar trebui reduse cât mai des posibil. Procedând astfel, nu uitați că doar multiplicatorii sunt redusi. Când numitorul și numărătorul fracții algebriceînmulțit cu același număr care este diferit de zero, valorile fracțiilor nu se modifică.
• În general, toate expresiile pot fi transformate prin acțiuni, sau printr-un lanț. Prima metodă este mai de preferat, deoarece. rezultatele acţiunilor intermediare se verifică mai uşor.
• Destul de des, în expresii matematice, trebuie să extragi rădăcinile. Trebuie amintit că rădăcinile gradelor pare pot fi extrase numai dintr-un număr sau expresie nenegativă, iar rădăcinile gradelor impare pot fi extrase complet din orice expresii sau numere.

Sperăm că articolul nostru vă va ajuta, în viitor, să înțelegeți formulele matematice și să vă învețe cum să le aplicați în practică.