Cum să adăugați matrici de diferite dimensiuni. Acțiuni cu matrice

Anul I, superioare matematică, studiu matriciși acțiuni de bază asupra acestora. Aici sistematizăm principalele operații care pot fi efectuate cu matrice. Cum să începeți cu matrice? Desigur, din cele mai simple - definiții, concepte de bază și cele mai simple operații. Vă asigurăm că matricele vor fi înțelese de toți cei care le dedică măcar puțin timp!

Definiția matricei

Matrice este un tabel dreptunghiular de elemente. Ei bine dacă limbaj simplu- tabelul numerelor.

Matricele sunt de obicei notate cu majuscule. cu litere latine. De exemplu, matrice A , matrice B și așa mai departe. Matricele pot fi de diferite dimensiuni: dreptunghiulare, pătrate, există și matrici de rând și matrici de coloane numite vectori. Mărimea matricei este determinată de numărul de rânduri și coloane. De exemplu, să scriem o matrice dreptunghiulară de dimensiune m pe n , Unde m este numărul de linii și n este numărul de coloane.

Elemente pentru care i=j (a11, a22, .. ) formează diagonala principală a matricei și se numesc diagonală.

Ce se poate face cu matrice? Adăugați/Scădeți, inmultiti cu un numar, se inmultesc intre ei, transpune. Acum despre toate aceste operații de bază pe matrice în ordine.

Operații de adunare și scădere pe matrice

Vă avertizăm imediat că puteți adăuga doar matrici de aceeași dimensiune. Rezultatul este o matrice de aceeași dimensiune. Adăugarea (sau scăderea) matricelor este ușoară − adăugați doar elementele corespunzătoare . Să luăm un exemplu. Să efectuăm adăugarea a două matrice A și B de mărime două câte două.

Scăderea se face prin analogie, doar cu semnul opus.

Orice matrice poate fi înmulțită cu un număr arbitrar. Pentru a face acest lucru, trebuie să înmulțiți cu acest număr fiecare dintre elementele sale. De exemplu, să înmulțim matricea A din primul exemplu cu numărul 5:

Operația de înmulțire a matricei

Nu toate matricele pot fi multiplicate între ele. De exemplu, avem două matrice - A și B. Ele pot fi înmulțite între ele numai dacă numărul de coloane ale matricei A este egal cu numărul de rânduri ale matricei B. Mai mult, fiecare element al matricei rezultate, care se află în rândul i și coloana j, va fi este egală cu suma produse ale elementelor corespunzătoare în I-a linie primul factor și a j-a coloană a celui de-al doilea. Pentru a înțelege acest algoritm, să scriem cum sunt înmulțite două matrici pătrate:

Și un exemplu cu numere reale. Să înmulțim matricele:

Operația de transpunere a matricei

Transpunerea matricei este o operație în care rândurile și coloanele corespunzătoare sunt schimbate. De exemplu, transpunem matricea A din primul exemplu:

Determinant de matrice

Determinantul, oh determinantul, este unul dintre conceptele de bază ale algebrei liniare. Cândva, oamenii au venit cu ecuații liniare, iar după ele au fost nevoiți să inventeze un determinant. Până la urmă, depinde de tine să te ocupi de toate acestea, deci ultima împingere!

Determinantul este o caracteristică numerică a unei matrice pătrate, care este necesară pentru a rezolva multe probleme.
Pentru a calcula determinantul celei mai simple matrice pătrate, trebuie să calculați diferența dintre produsele elementelor diagonalei principale și secundare.

Determinantul unei matrice de ordinul întâi, adică format dintr-un element, este egal cu acest element.

Ce se întâmplă dacă matricea este trei câte trei? Acest lucru este mai dificil, dar se poate face.

Pentru o astfel de matrice, valoarea determinantului este egală cu suma produselor elementelor diagonalei principale și a produselor elementelor situate pe triunghiuri cu fața paralelă cu diagonala principală, din care produsul elementelor. a diagonalei secundare și produsul elementelor situate pe triunghiuri cu fața paralelă cu diagonala secundară se scad.

Din fericire, pentru a calcula determinanții matricilor dimensiuni mari se întâmplă rar în practică.

Aici am luat în considerare operațiile de bază pe matrice. Desigur, în viata reala nu poți întâlni nici măcar un indiciu de sistem matriceal de ecuații, sau invers - pentru a face față mult mai mult cazuri dificile când chiar trebuie să-ți rupi capul. Pentru astfel de cazuri există un serviciu profesional pentru studenți. Cere ajutor, obține calitate și soluție detaliată, bucurați-vă de succes academic și de timp liber.

Dat Trusa de instrumente te va ajuta să înveți cum operații cu matrice: adunarea (scăderea) matricelor, transpunerea unei matrici, înmulțirea matricelor, aflarea inversului unei matrici. Tot materialul este prezentat într-o formă simplă și accesibilă, sunt date exemple relevante, astfel încât chiar și o persoană nepregătită poate învăța cum să efectueze acțiuni cu matrice. Pentru autocontrol și autotest, puteți descărca gratuit un calculator matrice >>>.

Voi încerca să minimizez calculele teoretice, în unele locuri sunt posibile explicații „pe degete” și utilizarea unor termeni neștiințifici. Iubitori de teorie solidă, vă rugăm să nu vă implicați în critici, sarcina noastră este învață cum să lucrezi cu matrice.

Pentru pregătirea SUPER-RAPIDĂ pe tema (cine „arde”) există un curs intensiv pdf Matrice, determinant și offset!

O matrice este un tabel dreptunghiular al unora elemente. La fel de elemente vom lua în considerare numerele, adică matrice numerice. ELEMENT este un termen. Este de dorit să ne amintim termenul, va apărea adesea, nu întâmplător am folosit bold pentru a-l evidenția.

Desemnare: matricele sunt de obicei notate cu majuscule latine

Exemplu: Luați în considerare o matrice de două câte trei:

Această matrice este formată din șase elemente:

Toate numerele (elementele) din interiorul matricei există singure, adică nu se pune problema vreunei scăderi:

Este doar un tabel (set) de numere!

Vom fi și noi de acord nu rearanja număr, cu excepția cazului în care se specifică altfel în explicație. Fiecare număr are propria sa locație și nu le poți amesteca!

Matricea în cauză are două rânduri:

si trei coloane:

STANDARD: când vorbim despre dimensiunile matricei, atunci la început indicați numărul de rânduri și numai atunci - numărul de coloane. Tocmai am defalcat matricea de două câte trei.

Dacă numărul de rânduri și coloane ale unei matrice este același, atunci matricea este numită pătrat, De exemplu: este o matrice de trei câte trei.

Dacă matricea are o coloană sau un rând, atunci se mai numesc și astfel de matrice vectori.

De fapt, cunoaștem conceptul de matrice încă din școală, luăm în considerare, de exemplu, un punct cu coordonatele „x” și „y”: . În esență, coordonatele unui punct sunt scrise într-o matrice una câte două. Apropo, iată un exemplu pentru tine de ce contează ordinea numerelor: și sunt două puncte complet diferite ale planului.

Acum să trecem la studiu. operații cu matrice:

1) Acțiunea unu. Eliminarea unui minus dintr-o matrice (Introducerea unui minus într-o matrice).

Înapoi la matricea noastră . După cum probabil ați observat, există prea multe numere negative în această matrice. Acest lucru este foarte incomod în ceea ce privește implementarea. diverse activitati cu o matrice, este incomod să scrii atât de multe minusuri și pur și simplu arată urât în ​​design.

Să mutăm minusul în afara matricei prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:

La zero, după cum înțelegeți, semnul nu se schimbă, zero - este și zero în Africa.

Exemplu invers: . Arată urât.

Introducem un minus în matrice prin schimbarea semnului fiecărui element al matricei:

Ei bine, este mult mai frumos. Și, cel mai important, va fi MAI UȘOR să efectuați orice acțiuni cu matricea. Pentru că există o astfel de matematică prevestire populară: cu cât mai multe minusuri - cu atât mai multe confuzii și erori.

2) Acțiunea a doua. Înmulțirea unei matrice cu un număr.

Exemplu:

Este simplu, pentru a înmulți o matrice cu un număr, ai nevoie fiecareînmulțiți elementul matricei cu numărul dat. În acest caz, trei.

O alta exemplu util:

– înmulțirea unei matrice cu o fracție

Să ne uităm mai întâi la ce să facem NU ESTE NEVOIE:

NU ESTE NECESAR să introduceți o fracție în matrice, în primul rând, face doar dificile acțiunile ulterioare cu matricea și, în al doilea rând, îngreunează profesorul să verifice soluția (mai ales dacă - răspunsul final al sarcinii).

Si in special, NU ESTE NEVOIEîmpărțiți fiecare element al matricei la minus șapte:

Din articol Matematică pentru manechin sau de unde să încep, ne amintim asta fracții zecimale cu virgulă la matematică superioară ei încearcă în toate modurile posibile să evite.

Singurul lucru de dorit a face în acest exemplu este să inserați un minus în matrice:

Dar dacă TOATE elementele matricei au fost împărțite la 7 fără urmă, atunci ar fi posibil (și necesar!) să se împartă.

Exemplu:

În acest caz, puteți TREBUIE SAînmulțiți toate elementele matricei cu , deoarece toate numerele din matrice sunt divizibile cu 2 fără urmă.

Notă: în teoria matematicii superioare nu există un concept școlar de „diviziune”. În loc de expresia „acest lucru este împărțit cu aceasta”, puteți spune întotdeauna „acest lucru este înmulțit cu o fracție”. Adică împărțirea este un caz special de înmulțire.

3) Acțiunea trei. Transpunerea matricei.

Pentru a transpune o matrice, trebuie să scrieți rândurile acesteia în coloanele matricei transpuse.

Exemplu:

Transpose Matrix

Există un singur rând aici și, conform regulii, trebuie scris într-o coloană:

este matricea transpusă.

Matricea transpusă este de obicei indicată printr-un superscript sau un accident vascular cerebral în dreapta sus.

Exemplu pas cu pas:

Transpose Matrix

Mai întâi, rescriem primul rând în prima coloană:

Apoi rescriem al doilea rând în a doua coloană:

Și, în sfârșit, rescriem al treilea rând în a treia coloană:

Gata. În linii mari, a transpune înseamnă a întoarce matricea pe o parte.

4) Acțiunea patru. Suma (diferența) matricelor.

Suma matricelor este o operație simplă.
NU TOATE MATRIXELE POT FI POLIATE. Pentru a efectua adunarea (scăderea) matricelor, este necesar ca acestea să aibă ACEEAȘI DIMENSIUNE.

De exemplu, dacă se dă o matrice două câte două, atunci aceasta poate fi adăugată doar la o matrice două câte două și nu alta!

Exemplu:

Adăugați matrici Și

Pentru a adăuga matrice, trebuie să adăugați elementele corespunzătoare ale acestora:

Pentru diferența de matrice, regula este similară, este necesar să se găsească diferența elementelor corespunzătoare.

Exemplu:

Găsiți diferența de matrici ,

Cum să decizi exemplu dat mai ușor de evitat confuzia? Este recomandabil să scăpați de minusurile inutile, pentru aceasta vom adăuga un minus matricei:

Notă: în teoria matematicii superioare nu există un concept școlar de „scădere”. În loc de expresia „scădeți acest lucru din aceasta”, puteți spune întotdeauna „adăugați un număr negativ la acesta”. Adică scăderea este un caz special de adunare.

5) Acțiunea cinci. Înmulțirea matricei.

Ce matrice pot fi multiplicate?

Pentru ca o matrice să fie înmulțită cu o matrice, astfel încât numărul de coloane ale matricei să fie egal cu numărul de rânduri ale matricei.

Exemplu:
Este posibil să înmulțim o matrice cu o matrice?

Deci, puteți înmulți datele matricei.

Dar dacă matricele sunt rearanjate, atunci, în acest caz, înmulțirea nu mai este posibilă!

Prin urmare, înmulțirea este imposibilă:

Nu este neobișnuit pentru sarcinile cu truc, atunci când unui elev i se cere să înmulțească matrici, a căror înmulțire este evident imposibilă.

Trebuie remarcat faptul că în unele cazuri este posibilă multiplicarea matricelor în ambele moduri.
De exemplu, pentru matrice, și înmulțirea și înmulțirea sunt posibile

Adăugarea matricei:

Scăderea și adunarea matricei se reduce la operaţiile corespunzătoare asupra elementelor acestora. Operație de adăugare a matricei intrat doar pentru matrici aceeași dimensiune, adică pt matrici, care au același număr de rânduri și, respectiv, de coloane. suma de matrici A și B se numesc matrice C, ale cărei elemente sunt egale cu suma elementelor corespunzătoare. C \u003d A + B c ij \u003d a ij + b ij diferenta de matrice.

Înmulțirea unei matrice cu un număr:

Operație de înmulțire (diviziune) a matricei de orice dimensiune cu un număr arbitrar se reduce la înmulțirea (împărțirea) fiecărui element matrici pentru acest număr. Produs MatrixȘi se numește numărul k matrice B, astfel încât

b ij = k × a ij . B \u003d k × A b ij \u003d k × a ij. Matrice- A \u003d (-1) × A se numește opusul matrice A.

Adunarea matricei și proprietățile înmulțirii matricei:

Operații de adunare a matriceiȘi inmultirile matriceale asupra unui număr au următoarele proprietăți: 1. A + B = B + A; 2. A + (B + C) = (A + B) + C; 3. A + 0 = A; 4. A - A \u003d 0; 5. 1 × A = A; 6. α × (A + B) = αA + αB; 7. (α + β) × A = αA + βA; 8. α × (βА) = (αβ) × А; , unde A, B și C sunt matrici, α și β sunt numere.

Înmulțire matrice (produs matrice):

Operația de înmulțire a două matrici se introduce numai pentru cazul în care numărul de coloane din primul matrici este egal cu numărul de rânduri ale celui de-al doilea matrici. Produs MatrixȘi m × n pe matriceÎn n×p , se numește matriceС m×p astfel încât с ik = a i1 × b 1k + a i2 × b 2k + ... + a in × b nk , adică găsiți suma produselor elementelor rândului i matriciȘi pe elementele corespunzătoare ale coloanei j -a matrici B. Dacă matrici A și B sunt pătrați de aceeași dimensiune, atunci produsele AB și BA există întotdeauna. Este ușor de arătat că A × E = E × A = A, unde A este un pătrat matrice, E - single matrice aceeasi dimensiune.

Proprietăți de multiplicare a matricei:

Înmulțirea matricei nu comutativă, adică AB ≠ BA chiar dacă ambele produse sunt definite. Cu toate acestea, dacă pentru vreunul matrici relația AB = BA este satisfăcută, atunci așa matrici se numesc permutări. Cel mai tipic exemplu este single-ul matrice, care este permutabil cu oricare altul matrice aceeasi dimensiune. Permutarea poate fi doar pătrată matrici de aceeasi ordine. A × E = E × A = A

Înmulțirea matricei are următoarele proprietăți: 1. A × (B × C) = (A × B) × C; 2. A × (B + C) = AB + AC; 3. (A + B) × C = AC + BC; 4. α × (AB) = (αA) × B; 5. A × 0 = 0; 0 × A = 0; 6. (AB) T = B T A T; 7. (ABC) T = C T B T A T; 8. (A + B) T = A T + B T;

2. Determinanți ai ordinului 2 și 3. Proprietățile determinanților.

determinant matriceal ordinul doi, sau determinant de ordinul doi, numit număr, care se calculează prin formula:

determinant matriceal ordinul al treilea, sau determinant al treilea ordin, numit număr, care se calculează prin formula:

Acest număr reprezintă o sumă algebrică formată din șase termeni. Fiecare termen conține exact un element din fiecare rând și fiecare coloană matrici. Fiecare termen este format din produsul a trei factori.

Semne cu care membrii determinant matriceal sunt incluse în formulă găsirea determinantului matriceal al treilea ordin poate fi determinat folosind schema de mai sus, care se numește regula triunghiurilor sau regula Sarrus. Primii trei termeni sunt luați cu semnul plus și sunt determinați din cifra din stânga, iar următorii trei termeni sunt luați cu semnul minus și sunt determinați din cifra din dreapta.

Determinați numărul de termeni de găsit determinant matriceal, V suma algebrică, se poate calcula factorialul: 2! = 1 × 2 = 2 3! = 1 x 2 x 3 = 6

Proprietățile determinante ale matricei

Proprietățile determinante ale matricei:

Proprietatea #1:

Determinant de matrice nu se va schimba dacă rândurile sale sunt înlocuite cu coloane, fiecare rând cu o coloană cu același număr și invers (Transpunere). |A| = |A| T

Consecinţă:

Coloane și rânduri determinant matriceal sunt egale, prin urmare, proprietățile inerente rândurilor sunt realizate și pentru coloane.

Proprietatea #2:

Când schimbați 2 rânduri sau coloane determinant matriceal va schimba semnul opus, păstrând valoarea absolută, adică:

Proprietatea #3:

Determinant de matrice, care are două rânduri identice, este egal cu zero.

Proprietatea #4:

Factorul comun al elementelor oricărei serii determinant matriceal poate fi scos din semn determinant.

Consecințele proprietăților #3 și #4:

Dacă toate elementele unei anumite serii (rând sau coloană) sunt proporționale cu elementele corespunzătoare ale unei serii paralele, atunci așa determinant matriceal este egal cu zero.

Proprietatea #5:

determinant matriceal sunt egale cu zero, atunci determinant matriceal este egal cu zero.

Proprietatea #6:

Dacă toate elementele oricărui rând sau coloană determinant prezentată ca o sumă de 2 termeni, atunci determinant matrici poate fi reprezentat ca suma de 2 determinanți dupa formula:

Proprietatea #7:

Dacă la orice rând (sau coloană) determinant adăugați elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (sau coloană) înmulțite cu același număr, apoi determinant matriceal nu își va schimba valoarea.

Un exemplu de aplicare a proprietăților unui calcul determinant matriceal:

Adăugarea matricei$ A $ și $ B $ este o operație aritmetică, care ar trebui să aibă ca rezultat o matrice $ C $, fiecare element al cărei element este egal cu suma elementelor corespunzătoare ale matricelor adăugate:

$$ c_(ij) = a_(ij) + b_(ij) $$

In detalii Formula pentru adăugarea a două matrice arată astfel:

$$ A + B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) & a_(33) \end(pmatrix) + \begin(pmatrix) b_(11) & b_(12) & b_(13) \\ b_(21) & b_(22) & b_(23) \\ b_(31) și b_(32) și b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) + b_(11) & a_(12)+b_(12) & a_(13)+b_(13) \\ a_(21)+b_(21) & a_ (22)+b_(22) & a_(23)+b_(23) \\ a_(31)+b_(31) & a_(32)+b_(32) & a_(33)+b_(33) \ end(pmatrix) = C $$

Rețineți că puteți adăuga și scădea doar matrici de aceeași dimensiune. Cu suma sau diferența, matricea $ C $ se va obține cu aceeași dimensiune ca și termenii (scăzuți) ai matricei $ A $ și $ B $. Dacă matricele $ A $ și $ B $ diferă una de cealaltă ca mărime, atunci adunarea (scăderea) unor astfel de matrici va fi o greșeală!

În formulă se adaugă matrice 3 cu 3, ceea ce înseamnă că ar trebui să se obțină o matrice 3 cu 3.

Scăderea matricei complet similar cu algoritmul de adunare, doar semnul minus. Fiecare element al matricei dorite $ C $ se obține prin scăderea elementelor corespunzătoare ale matricelor $ A $ și $ B $:

$$ c_(ij) = a_(ij) - b_(ij) $$

Să scriem detaliile formula pentru scaderea a doua matrici:

$$ A - B = \begin(pmatrix) a_(11) & a_(12) & a_(13) \\ a_(21) & a_(22) & a_(23) \\ a_(31) & a_( 32) și a_(33) \end(pmatrix) - \begin(pmatrix) b_(11) și b_(12) și b_(13) \\ b_(21) și b_(22) și b_(23) \\ b_(31) și b_(32) și b_(33) \end(pmatrix) = $$

$$ = \begin(pmatrix) a_(11) - b_(11) & a_(12)-b_(12) & a_(13)-b_(13) \\ a_(21)-b_(21) & a_ (22)-b_(22) & a_(23)-b_(23) \\ a_(31)-b_(31) & a_(32)-b_(32) & a_(33)-b_(33) \ end(pmatrix) = C $$

De asemenea, merită remarcat faptul că nu puteți adăuga și scădea matrici cu numere obișnuite, precum și cu alte elemente.

Va fi util să cunoaștem proprietățile adunării (scăderii) pentru soluții ulterioare la problemele cu matrice.

Proprietăți

1. Dacă matricele $ A,B,C $ au aceeași dimensiune, atunci li se aplică proprietatea de asociativitate: $$ A + (B + C) = (A + B) + C $$
2. Pentru fiecare matrice, există o matrice zero, notată $ O $, cu care matricea inițială nu se modifică la adunare (scădere): $$ A \pm O = A $$
3. Pentru fiecare matrice diferită de zero $A$ există o matrice opusă $(-A)$ a cărei sumă dispare: $$A + (-A) = 0 $$
4. La adăugarea (scăderea) matricelor este permisă proprietatea comutativității, adică matricele $ A $ și $ B $ pot fi interschimbate: $$ A + B = B + A $$ $$ A - B = B - A $$

Exemple de soluții

În articolul: „Adunarea și scăderea matricelor” definiții, reguli, observații, proprietăți ale operațiilor și exemple practice solutii.