Cum se rezolvă ecuații fracționale egale cu zero. Ecuații raționale

Mai simplu spus, acestea sunt ecuații în care există cel puțin una cu o variabilă la numitor.

De exemplu:

\(\frac(9x^2-1)(3x)\) \(=0\)
\(\frac(1)(2x)+\frac(x)(x+1)=\frac(1)(2)\)
\(\frac(6)(x+1)=\frac(x^2-5x)(x+1)\)

Exemplu Nu ecuații raționale fracționale:

\(\frac(9x^2-1)(3)\) \(=0\)
\(\frac(x)(2)\) \(+8x^2=6\)

Cum se rezolvă ecuațiile raționale fracționale?

Principalul lucru de reținut despre ecuațiile raționale fracționale este că trebuie să scrieți în ele. Și după ce găsiți rădăcinile, asigurați-vă că le verificați pentru admisibilitate. În caz contrar, pot apărea rădăcini străine, iar întreaga soluție va fi considerată incorectă.

Algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale:

Scrieți și „rezolvați” ODZ.

Înmulțiți fiecare termen din ecuație cu un numitor comun și reduceți fracțiile rezultate. Numitorii vor dispărea.

Scrieți ecuația fără a deschide paranteze.

Rezolvați ecuația rezultată.

Verificați rădăcinile găsite cu ODZ.

Scrieți ca răspuns rădăcinile care au trecut testul de la pasul 7.

Nu memorați algoritmul, 3-5 ecuații rezolvate - și va fi reținut de la sine.

Exemplu . Rezolvați ecuația rațională fracțională \(\frac(x)(x-2) - \frac(7)(x+2)=\frac(8)(x^2-4)\)

Soluţie:

Răspuns: \(3\).

Exemplu . Găsiți rădăcinile ecuației raționale fracționale \(=0\)

Soluţie:

Răspuns: \(\frac(1)(2)\).

Am învățat deja cum să rezolvăm ecuații patratice. Să extindem acum metodele studiate la ecuații raționale.

Ce este o expresie rațională? Am întâlnit deja acest concept. Expresii raționale numite expresii alcătuite din numere, variabile, gradele acestora și semnele operațiilor matematice.

În consecință, ecuațiile raționale sunt ecuații de forma: , unde - expresii raţionale.

Anterior, am luat în considerare doar acele ecuații raționale care se reduc la cele liniare. Acum să luăm în considerare acele ecuații raționale care pot fi reduse la ecuații pătratice.

Exemplul 1

Rezolvați ecuația: .

Soluţie:

O fracție este 0 dacă și numai dacă numărătorul ei este 0 și numitorul ei nu este 0.

Obtinem urmatorul sistem:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică. Înainte de a o rezolva, împărțim toți coeficienții săi la 3. Obținem:

Obținem două rădăcini: ; .

Deoarece 2 nu este niciodată egal cu 0, trebuie îndeplinite două condiții: . Deoarece niciuna dintre rădăcinile ecuației obținute mai sus nu se potrivește cu valorile invalide ale variabilei care au fost obținute la rezolvarea celei de-a doua inegalități, ambele sunt soluții ale acestei ecuații.

Răspuns:.

Deci, să formulăm un algoritm pentru rezolvarea ecuațiilor raționale:

1. Mutați toți termenii în partea stângă, astfel încât să se obțină 0 în partea dreaptă.

2. Transformați și simplificați partea stângă, aduceți toate fracțiile la un numitor comun.

3. Echivalează fracția rezultată cu 0, conform următorului algoritm: .

4. Notați acele rădăcini care sunt obținute în prima ecuație și satisfaceți a doua inegalitate ca răspuns.

Să ne uităm la un alt exemplu.

Exemplul 2

Rezolvați ecuația: .

Soluţie

La început, transferăm toți termenii către partea stanga astfel încât 0 rămâne în dreapta. Se obține:

Acum aducem partea stângă a ecuației la un numitor comun:

Această ecuație este echivalentă cu sistemul:

Prima ecuație a sistemului este o ecuație pătratică.

Coeficienții acestei ecuații: . Calculăm discriminantul:

Obținem două rădăcini: ; .

Acum rezolvăm a doua inegalitate: produsul factorilor nu este egal cu 0 dacă și numai dacă niciunul dintre factori nu este egal cu 0.

Trebuie îndeplinite două condiții: . Obținem că dintre cele două rădăcini ale primei ecuații, doar una este potrivită - 3.

Răspuns:.

În această lecție, ne-am amintit ce este o expresie rațională și, de asemenea, am învățat cum să rezolvăm ecuații raționale, care sunt reduse la ecuații patratice.

În lecția următoare, vom considera ecuațiile raționale ca modele de situații reale și vom lua în considerare, de asemenea, problemele de mișcare.

Bibliografie

1. Bashmakov M.I. Algebră, clasa a VIII-a. - M.: Iluminismul, 2004.
2. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovici E.A. et al., Algebra, 8. Ed. a 5-a. - M.: Educație, 2010.
3. Nikolsky S.M., Potapov M.A., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Algebră, clasa a VIII-a. Manual pentru instituțiile de învățământ. - M.: Educație, 2006.

1. Festival idei pedagogice "Lecție publică" ().
2. School.xvatit.com().
3. Rudocs.exdat.com().

Teme pentru acasă

În primul rând, pentru a învăța cum să lucrezi cu fracții raționale fără erori, trebuie să înveți formulele de înmulțire abreviată. Și nu doar pentru a învăța - ele trebuie recunoscute chiar și atunci când sinusurile, logaritmii și rădăcinile acționează ca termeni.

Cu toate acestea, instrumentul principal este factorizarea numărătorului și numitorului unei fracții raționale. Acest lucru poate fi realizat în trei moduri diferite:

1. De fapt, conform formulei de înmulțire prescurtată: vă permit să restrângeți un polinom în unul sau mai mulți factori;
2. Prin factorizarea unui trinom pătrat în factori prin discriminant. Aceeași metodă face posibilă verificarea faptului că orice trinom nu poate fi factorizat deloc;
3. Metoda de grupare este cel mai complex instrument, dar este singurul care funcționează dacă cele două anterioare nu au funcționat.

După cum probabil ați ghicit din titlul acestui videoclip, vom vorbi din nou despre fracțiile raționale. Literal acum câteva minute, am terminat o lecție cu un elev de clasa a zecea și acolo am analizat tocmai aceste expresii. Prin urmare, această lecție va fi destinată special elevilor de liceu.

Cu siguranță mulți vor avea acum o întrebare: „De ce elevii din clasele 10-11 învață lucruri atât de simple precum fracțiile raționale, pentru că asta se face în clasa a 8-a?”. Dar asta e necazul, că majoritatea oamenilor doar „trec prin” acest subiect. Ei din clasa a 10-a-11-a nu-și mai amintesc cum se fac înmulțirea, împărțirea, scăderea și adunarea fracțiilor raționale din clasa a 8-a și tocmai pe această simplă cunoaștere, mai departe, mai multe structuri complexe, ca soluție la ecuații logaritmice, trigonometrice și multe alte expresii complexe, deci practic nu este nimic de făcut în liceu fără fracții raționale.

Formule pentru rezolvarea problemelor

Sa trecem la treaba. În primul rând, avem nevoie de două fapte - două seturi de formule. În primul rând, trebuie să cunoașteți formulele pentru înmulțirea prescurtată:

• $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ este diferența de pătrate;
• $((a)^(2))\pm 2ab+((b)^(2))=((\left(a\pm b \right))^(2))$ este pătratul sumei sau al diferenței ;
• $((a)^(3))+((b)^(3))=\left(a+b \right)\left(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ este suma cuburilor;
• $((a)^(3))-((b)^(3))=\left(a-b \right)\left(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ este diferența de cuburi.

ÎN formă pură nu se găsesc în nici un exemplu și în expresii serioase reale. Prin urmare, sarcina noastră este să învățăm să vedem construcții mult mai complexe sub literele $a$ și $b$, de exemplu, logaritmi, rădăcini, sinusuri etc. Poate fi învățat doar printr-o practică constantă. De aceea rezolvarea fracțiilor raționale este absolut necesară.

A doua formulă, destul de evidentă, este factorizarea unui trinom pătrat:

$((x)_(1))$; $((x)_(2))$ sunt rădăcini.

Ne-am ocupat de partea teoretică. Dar cum să rezolvi fracțiile raționale reale, care sunt luate în considerare în clasa a 8-a? Acum mergem să exersăm.

Sarcina 1

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(3))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Să încercăm să aplicăm formulele de mai sus la rezolvarea fracțiilor raționale. În primul rând, vreau să explic de ce este necesară factorizarea. Cert este că, la prima vedere la prima parte a sarcinii, vreau să reduc cubul cu pătratul, dar acest lucru este absolut imposibil, deoarece sunt termeni la numărător și la numitor, dar în niciun caz nu sunt factori. .

Ce este mai exact o abreviere? Reducerea este utilizarea regulii de bază pentru lucrul cu astfel de expresii. Principala proprietate a unei fracții este că putem înmulți numărătorul și numitorul cu același număr, altul decât „zero”. În acest caz, când reducem, atunci, dimpotrivă, împărțim la același număr, altul decât „zero”. Cu toate acestea, trebuie să împărțim toți termenii din numitor la același număr. Nu poți face asta. Și avem dreptul să reducem numărătorul cu numitorul numai atunci când ambele sunt factorizate. Hai să o facem.

Acum trebuie să vedeți câți termeni sunt într-un anumit element, în conformitate cu acesta, aflați ce formulă trebuie să utilizați.

Să transformăm fiecare expresie într-un cub exact:

Să rescriem numărătorul:

\[((\left(3a \right))^(3))-((\left(4b \right))^(3))=\left(3a-4b \right)\left(((\left) (3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)) \right)\]

Să ne uităm la numitor. Îl extindem conform formulei diferenței de pătrate:

\[((b)^(2))-4=((b)^(2))-((2)^(2))=\left(b-2 \right)\left(b+2 \ dreapta)\]

Acum să ne uităm la a doua parte a expresiei:

Numărător:

Rămâne să ne ocupăm de numitorul:

\[((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\left(b+2 \right))^(2))\]

Să rescriem întreaga construcție, ținând cont de faptele de mai sus:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2)))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Nuanțe ale înmulțirii fracțiilor raționale

Concluzia cheie a acestor construcții este următoarea:

• Nu orice polinom poate fi factorizat.
• Chiar dacă este descompus, este necesar să ne uităm cu atenție la ce formulă specială pentru înmulțirea prescurtată.

Pentru a face acest lucru, mai întâi, trebuie să estimăm câți termeni există (dacă sunt doi, atunci tot ce putem face este să-i extindem fie prin suma diferenței pătratelor, fie prin suma sau diferența cuburilor; și dacă sunt trei dintre ele, apoi aceasta , în mod unic, fie pătratul sumei, fie pătratul diferenței). Se întâmplă adesea ca fie numărătorul, fie numitorul să nu necesite factorizare deloc, poate fi liniar sau discriminantul său va fi negativ.

Sarcina #2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

În general, schema de rezolvare a acestei probleme nu este diferită de cea anterioară - pur și simplu vor exista mai multe acțiuni și vor deveni mai diverse.

Să începem cu prima fracție: uită-te la numărătorul ei și fă posibile transformări:

Acum să ne uităm la numitor:

Cu a doua fracție: nu se poate face nimic la numărător, deoarece este o expresie liniară și este imposibil să scoți vreun factor din ea. Să ne uităm la numitor:

\[((x)^(2))-4x+4=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^(2))=((\left(x-2 \right) ))^(2))\]

Trecem la a treia fracțiune. Numărător:

Să ne ocupăm de numitorul ultimei fracții:

Să rescriem expresia ținând cont de faptele de mai sus:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+4 \right))\cdot \frac(2x+1)((( \left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+2x+((x)^( 2)) \right))(\left(2x-1 \right)\left(2x+1 \right))=\]

\[=\frac(-3)(2\left(2-x \right))=-\frac(3)(2\left(2-x \right))=\frac(3)(2\left (x-2 \dreapta))\]

Nuanțe ale soluției

După cum puteți vedea, nu totul și nu întotdeauna se bazează pe formulele de înmulțire abreviate - uneori este suficient pentru a pune o constantă sau o variabilă. Există însă și situația inversă, când există atât de mulți termeni sau sunt construiți în așa fel încât formula de înmulțire prescurtată la ei este în general imposibilă. În acest caz, venim în ajutor unealtă universală, și anume metoda grupării. Aceasta este ceea ce vom aplica acum în următoarea problemă.

Sarcina #3

\[\frac(((a)^(2))+ab)(5a-((a)^(2))+((b)^(2))-5b)\cdot \frac(((a) )^(2))-((b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Să aruncăm o privire la prima parte:

\[((a)^(2))+ab=a\stanga(a+b\dreapta)\]

\[=5\left(a-b \right)-\left(a-b \right)\left(a+b \right)=\left(a-b \right)\left(5-1\left(a+b \right) ) )\dreapta)=\]

\[=\stanga(a-b\dreapta)\stanga(5-a-b\dreapta)\]

Să rescriem expresia originală:

\[\frac(a\left(a+b\right))(\left(a-b \right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(((a)^(2))-( (b)^(2))+25-10a)(((a)^(2))-((b)^(2)))\]

Acum să ne ocupăm de a doua paranteză:

\[((a)^(2))-((b)^(2))+25-10a=((a)^(2))-10a+25-((b)^(2))= \left(((a)^(2))-2\cdot 5a+((5)^(2)) \right)-((b)^(2))=\]

\[=((\left(a-5 \right))^(2))-((b)^(2))=\left(a-5-b \right)\left(a-5+b \dreapta)\]

Deoarece două elemente nu au putut fi grupate, am grupat trei. Rămâne să ne ocupăm doar de numitorul ultimei fracții:

\[((a)^(2))-((b)^(2))=\stanga(a-b \dreapta)\stanga(a+b \dreapta)\]

Acum să rescriem întreaga noastră structură:

\[\frac(a\left(a+b\right))(\left(a-b\right)\left(5-a-b \right))\cdot \frac(\left(a-5-b \right) \left(a-5+b \right))(\left(a-b \right)\left(a+b \right))=\frac(a\left(b-a+5 \right))((( \stanga(a-b \dreapta))^(2)))\]

Problema este rezolvată și nu se mai poate simplifica nimic aici.

Nuanțe ale soluției

Ne-am dat seama de grupare și am primit un alt instrument foarte puternic care extinde posibilitățile de factorizare. Dar problema este că în viata reala nimeni nu ne va da exemple atât de rafinate, în care există mai multe fracții, pentru care trebuie doar să factorizați numărătorul și numitorul și apoi, dacă este posibil, să le reduceți. Expresiile reale vor fi mult mai complicate.

Cel mai probabil, pe lângă înmulțire și împărțire, vor exista scăderi și adunări, tot felul de paranteze - în general, va trebui să țineți cont de ordinea acțiunilor. Dar cel mai rău lucru este că atunci când se scad și se adună fracții cu numitori diferiți, acestea vor trebui reduse la una comună. Pentru a face acest lucru, fiecare dintre ele va trebui să fie descompus în factori, iar apoi aceste fracții vor fi transformate: dați altele similare și multe altele. Cum să o faci corect, rapid și, în același timp, să obții răspunsul corect fără ambiguități? Despre aceasta vom vorbi acum folosind exemplul construcției următoare.

Sarcina #4

\[\left(((x)^(2))+\frac(27)(x) \right)\cdot \left(\frac(1)(x+3)+\frac(1)((( x)^(2))-3x+9) \dreapta)\]

Să scriem prima fracție și să încercăm să o rezolvăm separat:

\[((x)^(2))+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(2)))(1)+\frac(27)(x)=\frac( ((x)^(3)))(x)+\frac(27)(x)=\frac(((x)^(3))+27)(x)=\frac(((x)^ (3))+((3)^(3)))(x)=\]

\[=\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\]

Să trecem la al doilea. Să calculăm discriminantul numitorului:

Nu se factorizează, așa că scriem următoarele:

\[\frac(1)(x+3)+\frac(1)(((x)^(2))-3x+9)=\frac(((x)^(2))-3x+9 +x+3)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right)) \]

Scriem separat numeratorul:

\[((x)^(2))-2x+12=0\]

Prin urmare, acest polinom nu poate fi factorizat.

Maximul pe care l-am putut face și descompune, l-am făcut deja.

În total, rescriem construcția noastră originală și obținem:

\[\frac(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))(x)\cdot \frac(((x)^(2) )-2x+12)(\left(x+3 \right)\left(((x)^(2))-3x+9 \right))=\frac(((x)^(2))- 2x+12)(x)\]

Totul, sarcina este rezolvată.

Sincer să fiu, nu a fost atât de grozav. sarcină dificilă: acolo totul s-a descompus cu ușurință în factori, s-au dat rapid termeni similari și totul a fost frumos redus. Deci acum să încercăm să rezolvăm problema mai serios.

Sarcina numărul 5

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \dreapta)\]

În primul rând, să ne ocupăm de prima paranteză. De la bun început, factorăm separat numitorul celei de-a doua fracții:

\[((x)^(3))-8=((x)^(3))-((2)^(3))=\left(x-2 \right)\left(((x) ^(2))+2x+4 \dreapta)\]

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3))-8 )-\frac(1)(((x)^(2)))=\]

\[=\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(\left(x-2 \right)\ stânga(((x)^(2))+2x+4 \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(2))+8-\left(((x)^(2))+2x+4 \right))( \left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\left(x-2) \dreapta)\stanga(((x)^(2))+2x+4 \dreapta))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-4x+4)(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right)) =\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+4 \right ))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Acum să lucrăm cu a doua fracție:

\[\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2 )))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))-\frac(2)(2-x)=\frac(((x)^(2))+2\ stânga (x-2 \ dreapta))(\ stânga (x-2 \ dreapta) \ stânga (x+2 \ dreapta)) =\]

\[=\frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))\]

Revenim la designul nostru original și scriem:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \right)\left(x+2 \right))=\frac(1)(x+2)\]

Puncte cheie

Încă o dată, faptele cheie ale tutorialului video de astăzi:

1. Trebuie să știi pe de rost formulele de înmulțire prescurtată – și nu doar să știi, ci să poți vedea în acele expresii pe care le vei întâlni în probleme reale. O regulă minunată ne poate ajuta cu asta: dacă există doi termeni, atunci aceasta este fie diferența de pătrate, fie diferența sau suma de cuburi; dacă trei, poate fi doar pătratul sumei sau al diferenței.
2. Dacă orice construcție nu poate fi descompusă folosind formule de înmulțire prescurtate, atunci ne vine în ajutor fie formula standard pentru factorizarea trinoamelor în factori, fie metoda grupării.
3. Dacă ceva nu funcționează, priviți cu atenție expresia originală - și dacă sunt necesare transformări cu ea. Poate că va fi suficient doar să scoateți multiplicatorul din paranteză, iar aceasta este deseori doar o constantă.
4. În expresiile complexe în care trebuie să efectuați mai multe acțiuni la rând, nu uitați să aduceți la un numitor comun și numai după aceea, când toate fracțiile sunt reduse la acesta, asigurați-vă că aduceți același lucru în noul numărător și apoi factorizează din nou noul numărător - este posibil ca - să fie redus.

Atât am vrut să vă spun astăzi despre fracțiile raționale. Dacă ceva nu este clar, există încă o mulțime de tutoriale video pe site, precum și o mulțime de sarcini pentru decizie independentă. Asa ca ramai cu noi!

În acest articol vă voi arăta algoritmi pentru rezolvarea a șapte tipuri de ecuații raționale, care se reduc la pătrate prin modificarea variabilelor. În cele mai multe cazuri, transformările care duc la înlocuire sunt foarte netriviale și este destul de dificil să le ghiciți singur.

Pentru fiecare tip de ecuație, voi explica cum să faceți o modificare a variabilei în ea, iar apoi voi arăta o soluție detaliată în tutorialul video corespunzător.

Aveți ocazia să continuați să rezolvați singuri ecuațiile și apoi să vă verificați soluția cu tutorialul video.

Deci, să începem.

1 . (x-1)(x-7)(x-4)(x+2)=40

Rețineți că produsul dintre cele patru paranteze este în partea stângă a ecuației, iar numărul este în partea dreaptă.

1. Să grupăm parantezele cu două, astfel încât suma termenilor liberi să fie aceeași.

2. Înmulțiți-le.

3. Să introducem o schimbare de variabilă.

În ecuația noastră, grupăm prima paranteză cu a treia, iar a doua cu a patra, deoarece (-1) + (-4) \u003d (-7) + 2:

În acest moment, modificarea variabilei devine evidentă:

Obținem ecuația

Răspuns:

2 .

O ecuație de acest tip este similară cu cea anterioară cu o diferență: în partea dreaptă a ecuației se află produsul unui număr prin. Și se rezolvă într-un mod complet diferit:

1. Grupăm parantezele câte două, astfel încât produsul termenilor liberi să fie același.

2. Înmulțim fiecare pereche de paranteze.

3. Din fiecare factor, scoatem x din paranteză.

4. Împărțiți ambele părți ale ecuației la .

5. Introducem o schimbare de variabilă.

În această ecuație, grupăm prima paranteză cu a patra, iar a doua cu a treia, deoarece:

Rețineți că în fiecare paranteză coeficientul la și termenul liber sunt aceleași. Să scoatem multiplicatorul din fiecare paranteză:

Deoarece x=0 nu este rădăcina ecuației originale, împărțim ambele părți ale ecuației la . Primim:

Obtinem ecuatia:

Răspuns:

3 .

Rețineți că numitorii ambelor fracții conțin trinoame pătrate, al cărui coeficient de conducere și termen liber sunt aceleași. Scoatem, ca în ecuația celui de-al doilea tip, x din paranteză. Primim:

Împărțiți numărătorul și numitorul fiecărei fracții la x:

Acum putem introduce o schimbare de variabilă:

Obținem ecuația pentru variabila t:

4 .

Rețineți că coeficienții ecuației sunt simetrici față de cel central. O astfel de ecuație se numește returnabil .

Pentru a o rezolva

1. Împărțiți ambele părți ale ecuației la (Putem face acest lucru deoarece x=0 nu este rădăcina ecuației.) Obținem:

2. Grupați termenii în acest fel:

3. În fiecare grup, scoatem factorul comun:

4. Să introducem un înlocuitor:

5. Să exprimăm expresia în termeni de t:

De aici

Obținem ecuația pentru t:

Răspuns:

5. Ecuații omogene.

Ecuațiile care au o structură omogenă pot fi întâlnite la rezolvarea ecuațiilor exponențiale, logaritmice și trigonometrice, așa că trebuie să le poți recunoaște.

Ecuațiile omogene au următoarea structură:

În această egalitate, A, B și C sunt numere, iar aceleași expresii sunt indicate printr-un pătrat și un cerc. Adică, în partea stângă a ecuației omogene se află suma monomiilor care au același grad (în acest caz, gradul monomiilor este 2) și nu există termen liber.

Pentru a rezolva ecuația omogenă, împărțim ambele părți la

Atenţie! Când împărțiți părțile drepte și stângi ale ecuației la o expresie care conține o necunoscută, puteți pierde rădăcinile. Prin urmare, este necesar să verificăm dacă rădăcinile expresiei prin care împărțim ambele părți ale ecuației sunt rădăcinile ecuației originale.

Să mergem pe primul drum. Obtinem ecuatia:

Acum introducem o substituție de variabilă:

Simplificați expresia și obțineți o ecuație biquadratică pentru t:

Răspuns: sau

7 .

Această ecuație are următoarea structură:

Pentru a o rezolva, trebuie să selectați pătratul complet din partea stângă a ecuației.

Pentru a selecta un pătrat complet, trebuie să adăugați sau să scădeți produsul dublu. Apoi obținem pătratul sumei sau al diferenței. Acest lucru este esențial pentru o înlocuire reușită a variabilei.

Să începem prin a găsi produsul dublu. Va fi cheia pentru a înlocui variabila. În ecuația noastră, produsul dublu este

Acum să ne dăm seama ce este mai convenabil să avem - pătratul sumei sau al diferenței. Luați în considerare, pentru început, suma expresiilor:

Grozav! această expresie este exact egală cu dublul produsului. Apoi, pentru a obține pătratul sumei între paranteze, trebuie să adăugați și să scădeți produsul dublu:

Continuăm să vorbim despre rezolvarea ecuatiilor. În acest articol, ne vom concentra asupra ecuații raționaleși principii pentru rezolvarea ecuațiilor raționale cu o variabilă. Mai întâi, să ne dăm seama ce fel de ecuații sunt numite raționale, să dăm o definiție a ecuațiilor raționale întregi și a ecuațiilor raționale fracționale și să dăm exemple. În plus, vom obține algoritmi pentru rezolvarea ecuațiilor raționale și, desigur, vom lua în considerare soluțiile exemplelor tipice cu toate explicațiile necesare.

Navigare în pagină.

Pe baza definițiilor sunate, dăm câteva exemple de ecuații raționale. De exemplu, x=1 , 2 x−12 x 2 y z 3 =0 , , sunt toate ecuații raționale.

Din exemplele prezentate, se poate observa că ecuațiile raționale, precum și ecuațiile de alte tipuri, pot fi fie cu o variabilă, fie cu două, trei etc. variabile. În paragrafele următoare, vom vorbi despre rezolvarea ecuațiilor raționale într-o variabilă. Rezolvarea ecuațiilor cu două variabileși ei un numar mare merită o atenție specială.

Pe lângă împărțirea ecuațiilor raționale la numărul de variabile necunoscute, ele sunt, de asemenea, împărțite în întregi și fracționale. Să dăm definițiile corespunzătoare.

Definiție.

Ecuația rațională se numește întreg, dacă ambele părți din stânga și din dreapta sunt expresii raționale întregi.

Definiție.

Dacă cel puțin una dintre părțile unei ecuații raționale este o expresie fracțională, atunci o astfel de ecuație se numește fracționat rațional(sau rațional fracțional).

Este clar că ecuațiile întregi nu conțin împărțirea printr-o variabilă; dimpotrivă, ecuațiile raționale fracționale conțin în mod necesar împărțirea printr-o variabilă (sau o variabilă în numitor). Deci 3 x+2=0 și (x+y) (3 x 2 −1)+x=−y+0,5 sunt ecuații raționale întregi, ambele părți sunt expresii întregi. A și x:(5 x 3 +y 2)=3:(x−1):5 sunt exemple de ecuații raționale fracționale.

Încheind acest paragraf, să acordăm atenție faptului că ecuațiile liniare și ecuațiile pătratice cunoscute până în acest moment sunt ecuații raționale întregi.

Rezolvarea ecuațiilor întregi

Una dintre principalele abordări pentru rezolvarea ecuațiilor întregi este reducerea lor la echivalent ecuații algebrice. Acest lucru se poate realiza întotdeauna prin efectuarea următoarelor transformări echivalente ale ecuației:

• mai întâi, expresia din partea dreaptă a ecuației întregi originale este transferată în partea stângă cu semnul opus pentru a obține zero în partea dreaptă;
• după aceea, în partea stângă a ecuației, rezultatul vedere standard.

Rezultatul este o ecuație algebrică care este echivalentă cu întreaga ecuație originală. Deci, în cele mai simple cazuri, soluția ecuațiilor întregi se reduce la soluția ecuațiilor liniare sau pătratice, iar în cazul general - la soluția unei ecuații algebrice de gradul n. Pentru claritate, să analizăm soluția exemplului.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile întregii ecuații 3 (x+1) (x−3)=x (2 x−1)−3.

Soluţie.

Să reducem soluția întregii ecuații la soluția unei ecuații algebrice echivalente. Pentru a face acest lucru, în primul rând, transferăm expresia din partea dreaptă în stânga, ca urmare ajungem la ecuație 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3=0. Și, în al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă într-un polinom al formei standard făcând ceea ce este necesar: 3 (x+1) (x−3)−x (2 x−1)+3= (3 x+3) (x−3)−2 x 2 +x+3= 3 x 2 −9 x+3 x−9−2 x 2 +x+3=x 2 −5 x−6. Astfel, soluția ecuației întregi originale se reduce la soluție ecuație pătratică x 2 −5 x−6=0 .

Calculați discriminantul acestuia D=(−5) 2 −4 1 (−6)=25+24=49, este pozitiv, ceea ce înseamnă că ecuația are două rădăcini reale, pe care le găsim prin formula rădăcinilor ecuației pătratice:

Pentru a fi complet sigur, hai să facem verificarea rădăcinilor găsite ale ecuației. În primul rând, verificăm rădăcina 6, înlocuim-o în loc de variabila x din ecuația întregă originală: 3 (6+1) (6−3)=6 (2 6−1)−3, care este același, 63=63 . Aceasta este o ecuație numerică validă, deci x=6 este într-adevăr rădăcina ecuației. Acum verificăm rădăcina −1 , avem 3 (−1+1) (−1−3)=(−1) (2 (−1)−1)−3, de unde, 0=0 . Pentru x=−1, ecuația originală s-a transformat de asemenea într-o egalitate numerică adevărată, prin urmare, x=−1 este și rădăcina ecuației.

Răspuns:

6 , −1 .

Aici trebuie remarcat și faptul că termenul „putere a unei ecuații întregi” este asociat cu reprezentarea unei ecuații întregi sub forma unei ecuații algebrice. Dăm definiția corespunzătoare:

Definiție.

Gradul întregii ecuații numiți gradul unei ecuații algebrice echivalent cu acesta.

Conform acestei definiții, întreaga ecuație din exemplul precedent are gradul doi.

Pe aceasta s-ar putea termina cu rezolvarea unor ecuații raționale întregi, dacă nu pentru una, dar .... După cum se știe, soluția ecuațiilor algebrice de grad mai mare decât al doilea este asociată cu dificultăți semnificative, iar pentru ecuațiile de grad mai mare decât a patra, nu există deloc formule generale pentru rădăcini. Prin urmare, pentru a rezolva ecuații întregi de gradul al treilea, al patrulea și de gradul superior, de multe ori trebuie să recurgem la alte metode de rezolvare.

În astfel de cazuri, uneori abordarea de a rezolva ecuații raționale întregi pe baza metoda factorizării. În același timp, se urmărește următorul algoritm:

• mai întâi ei caută să aibă zero în partea dreaptă a ecuației, pentru aceasta transferă expresia din partea dreaptă a întregii ecuații la stânga;
• apoi, expresia rezultată din partea stângă este prezentată ca un produs al mai multor factori, ceea ce vă permite să mergeți la un set de mai multe ecuații mai simple.

Algoritmul de mai sus pentru rezolvarea întregii ecuații prin factorizare necesită o explicație detaliată folosind un exemplu.

Exemplu.

Rezolvați întreaga ecuație (x 2 −1) (x 2 −10 x+13)= 2 x (x 2 −10 x+13) .

Soluţie.

Mai întâi, ca de obicei, transferăm expresia din partea dreaptă în partea stângă a ecuației, fără a uita să schimbăm semnul, obținem (x 2 −1) (x 2 −10 x+13) − 2 x (x 2 −10 x+13)=0 . Este destul de evident aici că nu este recomandabil să transformați partea stângă a ecuației rezultate într-un polinom de forma standard, deoarece aceasta va da o ecuație algebrică de gradul al patrulea al formei. x 4 −12 x 3 +32 x 2 −16 x−13=0, a cărui soluție este dificilă.

Pe de altă parte, este evident că x 2 −10·x+13 poate fi găsit în partea stângă a ecuației rezultate, reprezentând-o astfel ca un produs. Avem (x 2 −10 x+13) (x 2 −2 x−1)=0. Ecuația rezultată este echivalentă cu întreaga ecuație originală și, la rândul său, poate fi înlocuită cu un set de două ecuații pătratice x 2 −10·x+13=0 și x 2 −2·x−1=0 . Găsirea rădăcinilor lor folosind formulele rădăcinilor cunoscute prin discriminant nu este dificilă, rădăcinile sunt egale. Ele sunt rădăcinile dorite ale ecuației originale.

Răspuns:

De asemenea, este util pentru rezolvarea ecuațiilor raționale întregi. metoda de introducere a unei noi variabile. În unele cazuri, permite trecerea la ecuații al căror grad este mai mic decât gradul ecuației întregi originale.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile reale ale unei ecuații raționale (x 2 +3 x+1) 2 +10=−2 (x 2 +3 x−4).

Soluţie.

Reducerea acestei ecuații raționale la o ecuație algebrică este, ca să spunem ușor, nu o idee foarte bună, deoarece în acest caz vom ajunge la necesitatea de a rezolva o ecuație de gradul al patrulea care nu are rădăcini raționale. Prin urmare, va trebui să cauți o altă soluție.

Este ușor de observat aici că puteți introduce o nouă variabilă y și puteți înlocui expresia x 2 +3 x cu ea. O astfel de înlocuire ne conduce la întreaga ecuație (y+1) 2 +10=−2 (y−4) , care după transferarea expresiei −2 (y−4) în partea stângă și transformarea ulterioară a expresiei formate acolo , se reduce la ecuația y 2 +4 y+3=0 . Rădăcinile acestei ecuații y=−1 și y=−3 sunt ușor de găsit, de exemplu, ele pot fi găsite pe baza teoremei inverse a teoremei lui Vieta.

Acum să trecem la a doua parte a metodei de introducere a unei noi variabile, adică la efectuarea unei substituții inverse. După efectuarea substituției inverse, obținem două ecuații x 2 +3 x=−1 și x 2 +3 x=−3 , care pot fi rescrise ca x 2 +3 x+1=0 și x 2 +3 x+3 =0 . După formula rădăcinilor ecuației pătratice, găsim rădăcinile primei ecuații. Și a doua ecuație pătratică nu are rădăcini reale, deoarece discriminantul ei este negativ (D=3 2 −4 3=9−12=−3 ).

Răspuns:

În general, atunci când avem de-a face cu ecuații întregi de grade mari, trebuie să fim întotdeauna gata să căutăm metoda non-standard sau un dispozitiv artificial pentru soluția lor.

Rezolvarea ecuațiilor fracționale raționale

În primul rând, va fi util să înțelegem cum să rezolvăm ecuații fracționale raționale de forma , unde p(x) și q(x) sunt expresii întregi raționale. Și apoi vom arăta cum să reducem soluția ecuațiilor raționale fracționale rămase la soluția ecuațiilor de forma indicată.

Una dintre abordările de rezolvare a ecuației se bazează pe următoarea afirmație: fracția numerică u/v, unde v este un număr diferit de zero (altfel vom întâlni , care nu este definit), este egală cu zero dacă și numai dacă numărătorul său este egal cu zero, atunci este, dacă și numai dacă u=0 . În virtutea acestei afirmații, soluția ecuației se reduce la îndeplinirea a două condiții p(x)=0 și q(x)≠0 .

Această concluzie este în concordanță cu următoarele algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale. Pentru a rezolva o ecuație rațională fracțională de forma

• rezolvați întreaga ecuație rațională p(x)=0 ;
• și verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru fiecare rădăcină găsită, în timp ce
• dacă este adevărată, atunci această rădăcină este rădăcina ecuației originale;
• dacă nu, atunci această rădăcină este străină, adică nu este rădăcina ecuației originale.

Să analizăm un exemplu de utilizare a algoritmului vocal atunci când rezolvăm o ecuație rațională fracțională.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Aceasta este o ecuație fracțională rațională de forma , unde p(x)=3 x−2 , q(x)=5 x 2 −2=0 .

Conform algoritmului de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale de acest fel, trebuie mai întâi să rezolvăm ecuația 3·x−2=0 . Aceasta este o ecuație liniară a cărei rădăcină este x=2/3 .

Rămâne să verificăm această rădăcină, adică să verificăm dacă îndeplinește condiția 5·x 2 −2≠0 . Inlocuim numarul 2/3 in loc de x in expresia 5 x 2 −2, obtinem . Condiția este îndeplinită, deci x=2/3 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

2/3 .

Soluția unei ecuații raționale fracționale poate fi abordată dintr-o poziție ușor diferită. Această ecuație este echivalentă cu întreaga ecuație p(x)=0 pe variabila x a ecuației inițiale. Adică poți urmări asta algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale :

• se rezolva ecuatia p(x)=0 ;
• găsiți variabila ODZ x ;
• luați rădăcinile care aparțin regiunii valorilor admisibile - sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale.

De exemplu, să rezolvăm o ecuație rațională fracțională folosind acest algoritm.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Mai întâi, rezolvăm ecuația pătratică x 2 −2·x−11=0 . Rădăcinile sale pot fi calculate folosind formula rădăcinii pentru un al doilea coeficient chiar, avem D 1 =(−1) 2 −1 (−11)=12, Și .

În al doilea rând, găsim ODZ a variabilei x pentru ecuația originală. Este format din toate numerele pentru care x 2 +3 x≠0 , care este același x (x+3)≠0 , de unde x≠0 , x≠−3 .

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite la primul pas sunt incluse în ODZ. Evident ca da. Prin urmare, ecuația rațională fracțională originală are două rădăcini.

Răspuns:

Rețineți că această abordare este mai profitabilă decât prima dacă ODZ este ușor de găsit și este deosebit de benefică dacă rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt iraționale, de exemplu, , sau raționale, dar cu o valoare destul de mare. numărător și/sau numitor, de exemplu, 127/1101 și -31/59 . Acest lucru se datorează faptului că, în astfel de cazuri, verificarea condiției q(x)≠0 va necesita eforturi de calcul semnificative și este mai ușor să excludeți rădăcinile străine din ODZ.

În alte cazuri, la rezolvarea ecuației, mai ales când rădăcinile ecuației p(x)=0 sunt numere întregi, este mai avantajos să se folosească primul algoritm de mai sus. Adică, este recomandabil să găsiți imediat rădăcinile întregii ecuații p(x)=0 și apoi să verificați dacă condiția q(x)≠0 este îndeplinită pentru ele și să nu găsiți ODZ, apoi să rezolvați ecuația p(x)=0 pe acest ODZ. Acest lucru se datorează faptului că în astfel de cazuri este de obicei mai ușor să faceți o verificare decât să găsiți ODZ.

Luați în considerare soluția a două exemple pentru a ilustra nuanțele stipulate.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Mai întâi găsim rădăcinile întregii ecuații (2 x−1) (x−6) (x 2 −5 x+14) (x+1)=0, compilat folosind numărătorul fracției. Partea stanga a acestei ecuații este produsul, iar cea dreaptă este zero, prin urmare, conform metodei de rezolvare a ecuațiilor prin factorizare, această ecuație este echivalentă cu mulțimea de patru ecuații 2 x−1=0 , x−6=0 , x 2 −5 x+14= 0 , x+1=0 . Trei dintre aceste ecuații sunt liniare și una pătratică, le putem rezolva. Din prima ecuație găsim x=1/2, din a doua - x=6, din a treia - x=7, x=−2, din a patra - x=−1.

Cu rădăcinile găsite, este destul de ușor să le verificați pentru a vedea dacă numitorul fracției situate în partea stângă a ecuației inițiale nu dispare și nu este atât de ușor să determinați ODZ, deoarece aceasta va trebui rezolvată. o ecuație algebrică de gradul cinci. Prin urmare, vom refuza să găsim ODZ în favoarea verificării rădăcinilor. Pentru a face acest lucru, le înlocuim pe rând în loc de variabila x din expresie x 5 −15 x 4 +57 x 3 −13 x 2 +26 x+112, obținut după înlocuire și comparați-le cu zero: (1/2) 5 −15 (1/2) 4 + 57 (1/2) 3 −13 (1/2) 2 +26 (1/2)+112= 1/32−15/16+57/8−13/4+13+112= 122+1/32≠0 ;
6 5 −15 6 4 +57 6 3 −13 6 2 +26 6+112= 448≠0 ;
7 5 −15 7 4 +57 7 3 −13 7 2 +26 7+112=0;
(−2) 5 −15 (−2) 4 +57 (−2) 3 −13 (−2) 2 + 26 (−2)+112=−720≠0 ;
(−1) 5 −15 (−1) 4 +57 (−1) 3 −13 (−1) 2 + 26·(−1)+112=0 .

Astfel, 1/2, 6 și -2 sunt rădăcinile dorite ale ecuației raționale fracționale originale, iar 7 și -1 sunt rădăcini străine.

Răspuns:

1/2 , 6 , −2 .

Exemplu.

Găsiți rădăcinile unei ecuații raționale fracționale.

Soluţie.

Mai întâi găsim rădăcinile ecuației (5x2 −7x−1)(x−2)=0. Această ecuație este echivalentă cu o mulțime de două ecuații: pătratul 5·x 2 −7·x−1=0 și liniarul x−2=0 . După formula rădăcinilor ecuației pătratice, găsim două rădăcini, iar din a doua ecuație avem x=2.

Verificarea dacă numitorul nu dispare la valorile găsite ale lui x este destul de neplăcută. Și pentru a determina intervalul de valori acceptabile ale variabilei x în ecuația originală este destul de simplu. Prin urmare, vom acționa prin intermediul ODZ.

În cazul nostru, ODZ a variabilei x a ecuației raționale fracționale inițiale este alcătuită din toate numerele, cu excepția celor pentru care condiția x 2 +5·x−14=0 este îndeplinită. Rădăcinile acestei ecuații pătratice sunt x=−7 și x=2, din care concluzionăm despre ODZ: este alcătuită din tot x astfel încât .

Rămâne de verificat dacă rădăcinile găsite și x=2 aparțin regiunii valorilor admisibile. Rădăcinile - aparțin, prin urmare, sunt rădăcinile ecuației originale, iar x=2 nu aparține, prin urmare, este o rădăcină străină.

Răspuns:

De asemenea, va fi util să ne oprim separat asupra cazurilor în care o ecuație rațională fracțională de formă conține un număr la numărător, adică atunci când p (x) este reprezentat de un număr. în care

• dacă acest număr este diferit de zero, atunci ecuația nu are rădăcini, deoarece fracția este zero dacă și numai dacă numărătorul ei este zero;
• dacă acest număr este zero, atunci rădăcina ecuației este orice număr din ODZ.

Exemplu.

Soluţie.

Deoarece există un număr diferit de zero în numărătorul fracției din partea stângă a ecuației, pentru nu x valoarea acestei fracții poate fi egală cu zero. Prin urmare, această ecuație nu are rădăcini.

Răspuns:

fara radacini.

Exemplu.

Rezolvați ecuația.

Soluţie.

Numătorul fracției din partea stângă a acestei ecuații raționale fracționale este zero, deci valoarea acestei fracții este zero pentru orice x pentru care are sens. Cu alte cuvinte, soluția acestei ecuații este orice valoare a lui x din DPV a acestei variabile.

Rămâne de determinat acest interval de valori acceptabile. Include toate astfel de valori x pentru care x 4 +5 x 3 ≠0. Soluțiile ecuației x 4 +5 x 3 \u003d 0 sunt 0 și -5, deoarece această ecuație este echivalentă cu ecuația x 3 (x + 5) \u003d 0 și, la rândul său, este echivalentă cu combinația a două ecuații x 3 \u003d 0 și x +5=0 , de unde sunt vizibile aceste rădăcini. Prin urmare, intervalul dorit de valori acceptabile este orice x, cu excepția x=0 și x=−5.

Astfel, o ecuație rațională fracțională are infinit de soluții, care sunt orice numere, cu excepția zero și minus cinci.

Răspuns:

În cele din urmă, este timpul să vorbim despre rezolvarea ecuațiilor raționale fracționale arbitrare. Ele pot fi scrise ca r(x)=s(x) , unde r(x) și s(x) sunt expresii raționale și cel puțin una dintre ele este fracțională. Privind în perspectivă, spunem că soluția lor se reduce la rezolvarea ecuațiilor de formă deja familiară nouă.

Se știe că transferul unui termen dintr-o parte a ecuației în alta cu semnul opus duce la o ecuație echivalentă, deci ecuația r(x)=s(x) este echivalentă cu ecuația r(x)−s (x)=0.

De asemenea, știm că orice poate fi identic egal cu această expresie. Astfel, putem transforma întotdeauna expresia rațională din partea stângă a ecuației r(x)−s(x)=0 într-o fracție rațională identic egală de forma .

Deci trecem de la ecuația rațională fracțională inițială r(x)=s(x) la ecuația , iar soluția ei, așa cum am aflat mai sus, se reduce la rezolvarea ecuației p(x)=0 .

Dar aici este necesar să se țină seama de faptul că la înlocuirea r(x)−s(x)=0 cu , și apoi cu p(x)=0 , intervalul de valori admisibile ale variabilei x se poate extinde .

Prin urmare, ecuația inițială r(x)=s(x) și ecuația p(x)=0 , la care am ajuns, pot să nu fie echivalente, iar prin rezolvarea ecuației p(x)=0 , putem obține rădăcini care vor fi rădăcini străine ale ecuației originale r(x)=s(x) . Este posibil să se identifice și să nu includă rădăcini străine în răspuns, fie prin verificare, fie prin verificarea apartenenței acestora la ODZ a ecuației inițiale.

Rezum aceste informații în algoritm pentru rezolvarea unei ecuații raționale fracționale r(x)=s(x). Pentru a rezolva ecuația rațională fracțională r(x)=s(x) , trebuie

• Obțineți zero în partea dreaptă mutând expresia din partea dreaptă cu semnul opus.
• Efectuați acțiuni cu fracții și polinoame din partea stângă a ecuației, transformând-o astfel într-o fracție rațională a formei.
• Rezolvați ecuația p(x)=0 .
• Identificați și excludeți rădăcinile străine, ceea ce se face prin înlocuirea lor în ecuația originală sau prin verificarea apartenenței lor la ODZ a ecuației originale.

Pentru o mai mare claritate, vom arăta întregul lanț de rezolvare a ecuațiilor raționale fracționale:
.

Să parcurgem soluțiile mai multor exemple cu o explicație detaliată a soluției pentru a clarifica blocul de informații dat.

Exemplu.

Rezolvați o ecuație rațională fracțională.

Soluţie.

Vom acționa în conformitate cu algoritmul de soluție tocmai obținut. Și mai întâi transferăm termenii din partea dreaptă a ecuației în partea stângă, ca rezultat trecem la ecuația .

În al doilea pas, trebuie să convertim expresia rațională fracțională din partea stângă a ecuației rezultate în forma unei fracții. Pentru a face acest lucru, efectuăm reducerea fracțiilor raționale la un numitor comun și simplificăm expresia rezultată: . Așa că ajungem la ecuație.

Pe urmatorul pas trebuie să rezolvăm ecuația −2 x−1=0 . Aflați x=−1/2 .

Rămâne de verificat dacă numărul găsit −1/2 este o rădăcină străină a ecuației originale. Pentru a face acest lucru, puteți verifica sau găsi variabila ODZ x a ecuației originale. Să demonstrăm ambele abordări.

Să începem cu o verificare. Înlocuim numărul −1/2 în loc de variabila x în ecuația originală, obținem , care este același, −1=−1. Substituția dă egalitatea numerică corectă, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației originale.

Acum vom arăta cum se realizează ultimul pas al algoritmului prin ODZ. Gama de valori admisibile ale ecuației originale este mulțimea tuturor numerelor, cu excepția −1 și 0 (când x=−1 și x=0, numitorii fracțiilor dispar). Rădăcina x=−1/2 găsită la pasul anterior aparține ODZ, prin urmare, x=−1/2 este rădăcina ecuației inițiale.

Răspuns:

−1/2 .

Să luăm în considerare un alt exemplu.

Exemplu.

Găsiți rădăcinile ecuației.

Soluţie.

Trebuie să rezolvăm o ecuație fracțională rațională, să parcurgem toți pașii algoritmului.

Mai întâi, transferăm termenul din partea dreaptă în stânga, obținem .

În al doilea rând, transformăm expresia formată în partea stângă: . Ca rezultat, ajungem la ecuația x=0 .

Rădăcina sa este evidentă - este zero.

La al patrulea pas, rămâne să aflăm dacă rădăcina găsită nu este una exterioară pentru ecuația rațională fracțională inițială. Când este substituită în ecuația originală, se obține expresia. Evident, nu are sens, deoarece conține împărțirea la zero. De unde concluzionăm că 0 este o rădăcină străină. Prin urmare, ecuația originală nu are rădăcini.

7 , ceea ce duce la ecuația . Din aceasta putem trage concluzia că expresia din numitorul laturii stângi trebuie să fie egală cu din partea dreaptă, adică . Acum scădem din ambele părți ale tripluului: . Prin analogie, de unde și mai departe.

Verificarea arată că ambele rădăcini găsite sunt rădăcinile ecuației raționale fracționale originale.

Răspuns:

Bibliografie.

• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Mordkovich A.G. Algebră. clasa a 8-a. La 14:00 Partea 1. Un manual pentru studenții instituțiilor de învățământ / A. G. Mordkovich. - Ed. a XI-a, șters. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 p.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Algebră: Clasa a 9-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educație, 2009. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-021134-5.