Cum se construiește un unghi diedru. Unghiul diedric perpendicular pe plan

„Unghiul diedric” - Găsiți distanța de la punctul B la plan. Unghiul C este acut. Triunghiul ABC este obtuz. Unghiul C este obtuz. Distanța de la un punct la o dreaptă. În tetraedrul DАВС toate muchiile sunt egale. Unghiul dintre cele înclinate. Distanța dintre bazele înclinate. Unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale. Algoritm pentru construirea unui unghi liniar.

„Geometria unghiului diedric” - unghi RSV - liniar pentru un unghi diedru cu muchia AC. Găsiți (vezi) muchia și fețele unghiului diedric. Modelul poate fi fie voluminos, fie pliabil. Secțiunea unui unghi diedru printr-un plan perpendicular pe muchie. Margini. dreapta CP este perpendiculară pe muchia CA (prin teorema a trei perpendiculare). unghi RKV - liniar pentru un unghi diedru cu RSAV.

„Unghiul triedral” - Semne de egalitate a unghiurilor triedrice. Dat: Оabc – unghi triedric; ?(b; c) = ?; ?(a; c) = ?; ?(a; b) = ?. Lecția 6. Consecințe. 1) Pentru a calcula unghiul dintre o dreaptă și un plan, se aplică formula: Formula a trei cosinusuri. . Dat un unghi triedric Oabc. Unghi triunghiular. Teorema. Într-o piramidă triunghiulară obișnuită, unghiul plan la vârf este mai mic de 120?.

„Unghiuri triedrice și poliedrice” - Unghiuri triedrice ale dodecaedrului. Unghiurile triedrice și tetraedrice ale dodecaedrului rombic. Unghiurile tetraedrice ale octaedrului. Colțurile triedrice ale unui tetraedru. Măsurarea unghiurilor poliedrice. Sarcină. Unghiuri poliedrice. Unghiurile pentagonale ale icosaedrului. Unghiuri poliedrice verticale. Colțul triunghiular al unei piramide. Fie SA1…An un unghi convex cu n fațete.

„Unghiul dintre o dreaptă și un plan” - În prisma obișnuită A...F1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți unghiul dintre dreapta AC1 și planul ADE1. În prisma a 6-a regulată A...F1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți unghiul dintre dreapta AA1 și planul ACE1. Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan. În prisma a 6-a regulată A...F1, ale cărei muchii sunt egale cu 1, găsiți unghiul dintre dreapta AB1 și planul ADE1.

„Unghi poliedric” - Unghiuri poliedrice convexe. Unghiuri poliedrice. În funcţie de numărul de feţe, unghiurile poliedrice sunt triedrice, tetraedrice, pentaedrice etc. C) icosaedru. Cele două unghiuri plane ale unui unghi triedric sunt 70° și 80°. Prin urmare, ? ASB+? BSC+? A.S.C.< 360° . Сумма плоских углов трехгранного угла меньше 360°.

Sunt 9 prezentări în total

În geometrie, două sunt folosite pentru a studia figurile. caracteristici importante: lungimile laturilor și unghiurile dintre ele. În cazul figurilor spațiale, la aceste caracteristici se adaugă unghiuri diedrice. Să ne uităm la ce este și să descriem, de asemenea, metoda de determinare a acestor unghiuri folosind exemplul unei piramide.

Conceptul de unghi diedru

Toată lumea știe că două drepte care se intersectează formează un anumit unghi cu vârful în punctul de intersecție. Acest unghi poate fi măsurat folosind un raportor sau funcții trigonometrice pentru a o calcula. Un unghi format din două unghiuri drepte se numește liniar.

Acum să ne imaginăm că în spatiu tridimensional Există două planuri care se intersectează în linie dreaptă. Sunt prezentate în imagine.

Un unghi diedru este unghiul dintre două plane care se intersectează. La fel ca și liniar, se măsoară în grade sau radiani. Dacă în orice punct al liniei de-a lungul căreia planele se intersectează, restabilim două perpendiculare situate în aceste plane, atunci unghiul dintre ele va fi diedrul dorit. Cel mai simplu mod de a determina acest unghi este să folosiți ecuațiile plane în vedere generală.

Ecuația planelor și formula pentru unghiul dintre ele

Ecuația oricărui plan din spațiu se scrie în general după cum urmează:

A × x + B × y + C × z + D = 0.

Aici x, y, z sunt coordonatele punctelor aparținând planului, coeficienții A, B, C, D sunt niște numere cunoscute. Comoditatea acestei egalități pentru calcularea unghiurilor diedrice este că conține în mod explicit coordonatele vectorului de direcție al planului. O vom nota n¯. Apoi:

Vectorul n¯ este perpendicular pe plan. Unghiul dintre două plane egal cu unghiulîntre n 1 ¯ şi n 2 ¯ lor. Din matematică se știe că unghiul format din doi vectori este determinat în mod unic din produsul lor scalar. Acest lucru ne permite să scriem o formulă pentru calcularea unghiului diedric dintre două plane:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)).

Dacă înlocuim coordonatele vectorilor, formula va fi scrisă explicit:

φ = arccos (|A 1 × A 2 + B 1 × B 2 + C 1 × C 2 | / (√(A 1 2 + B 1 2 + C 1 2) × √(A 2 2 + B 2 2 + C 2 2))).

Semnul modulului din numărător este folosit doar pentru a determina unghi ascuțit, deoarece unghiul diedrul este întotdeauna mai mic sau egal cu 90 o.

Piramida și colțurile ei

O piramidă este o figură care este formată dintr-un n-gon și n triunghiuri. Aici n este un număr întreg egal cu numărul de laturi ale poligonului care este baza piramidei. Această figură spațială este un poliedru sau poliedru, deoarece constă din fețe plate (laturi).

Poliedrele piramidale pot fi de două tipuri:

între bază și latură (triunghi);
intre cele doua laturi.

Dacă luăm în considerare o piramidă obișnuită, atunci unghiurile numite pentru aceasta nu sunt dificil de determinat. Pentru a face acest lucru, folosind coordonatele a trei puncte cunoscute, ar trebui să creați o ecuație a planurilor și apoi să utilizați formula dată în paragraful de mai sus pentru unghiul φ.

Mai jos dăm un exemplu în care arătăm cum să găsim unghiuri diedrice la baza unei piramide patruunghiulare regulate.

Patraunghiular și unghiul de la baza acestuia

Să presupunem că ni se oferă o piramidă regulată cu bază pătrată. Lungimea laturii pătratului este a, înălțimea figurii este h. Să găsim unghiul dintre baza piramidei și latura ei.

Să plasăm originea sistemului de coordonate în centrul pătratului. Atunci coordonatele punctelor A, B, C, D prezentate în figură vor fi egale:

A = (a/2; -a/2; 0);
B = (a/2; a/2; 0);
C = (-a/2; a/2; 0);

Să luăm în considerare avioanele ACB și ADB. Evident, vectorul direcție n 1 ¯ pentru planul ACB va fi egal cu:

Pentru a determina vectorul de direcție n 2 ¯ al planului ADB, procedăm astfel: găsim arbitrar doi vectori care îi aparțin, de exemplu, AD¯ și AB¯, apoi le calculăm produsul vectorial. Rezultatul său va da coordonatele n 2 ¯. Avem:

AD¯ = D - A = (0; 0; h) - (a/2; -a/2; 0) = (-a/2; a/2; h);
AB¯ = B - A = (a/2; a/2; 0) - (a/2; -a/2; 0) = (0; a; 0);
n 2 ¯ = = [(-a/2; a/2; h) × (0; a; 0)] = (-a × h; 0; -a 2 /2).

Deoarece înmulțirea și împărțirea unui vector cu un număr nu îi schimbă direcția, transformăm rezultatul n 2 ¯ împărțind coordonatele sale la -a, obținem:

Am definit vectorii de direcție n 1 ¯ și n 2 ¯ pentru planurile de bază ACB și planul lateral ADB. Rămâne să folosiți formula pentru unghiul φ:

φ = arccos (|(n 1 ¯ × n 2 ¯)| / (|n 1 ¯| × |n 2 ¯|)) = arccos (a / (2 × √h 2 + a 2 /4)).

Să transformăm expresia rezultată și să o rescriem astfel:

φ = arccos (a / √(a 2 + 4 × h 2)).

Am obținut o formulă pentru unghiul diedric de la bază pentru o piramidă patruunghiulară obișnuită. Cunoscând înălțimea figurii și lungimea laturii acesteia, puteți calcula unghiul φ. De exemplu, pentru piramida Cheops, a cărei latură de bază este de 230,4 metri și înălțimea inițială a fost de 146,5 metri, unghiul φ va fi egal cu 51,8 o.

Puteți determina, de asemenea, unghiul diedric pentru o piramidă regulată patruunghiulară folosind metoda geometrică. Pentru a face acest lucru, este suficient să luăm în considerare un triunghi dreptunghic format din înălțimea h, jumătate din lungimea bazei a/2 și apotema unui triunghi isoscel.

Unghiul diedric. Unghi liniar unghi diedru. Un unghi diedru este o figură formată din două semiplane care nu aparțin aceluiași plan și au o limită comună - dreapta a. Semiplanurile care formează un unghi diedru se numesc fețele sale, iar limita comună a acestor semiplanuri se numește muchia unghiului diedru. Unghiul liniar al unghiului diedric este un unghi ale cărui laturi sunt razele de-a lungul cărora fețele unghiului diedru sunt intersectate de un plan perpendicular pe marginea unghiului diedru. Fiecare unghi diedru are orice număr de unghiuri liniare: prin fiecare punct al unei muchii se poate trasa un plan perpendicular pe această muchie; Razele de-a lungul cărora acest plan intersectează fețele unui unghi diedru formează unghiuri liniare.

Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale între ele. Să demonstrăm că dacă unghiurile diedrice formate de planul bazei piramidei CABC și planurile fețelor sale laterale sunt egale, atunci baza perpendicularei trase din vârful K este centrul cercului înscris în triunghiul ABC.

Dovada. În primul rând, să construim unghiuri liniare cu unghiuri diedrice egale. Prin definiție, planul unui unghi liniar trebuie să fie perpendicular pe marginea unghiului diedru. Prin urmare, muchia unui unghi diedru trebuie să fie perpendiculară pe laturile unghiului liniar. Dacă KO este perpendicular pe planul bazei, atunci putem desena SAU perpendiculară AC, SAU perpendiculară SV, OQ perpendiculară AB și apoi să conectăm punctele P, Q, R CU punctul K. Astfel, vom construi o proiecție a înclinată RK, QK , RK astfel încât muchiile AC, NE, AB să fie perpendiculare pe aceste proiecții. În consecință, aceste muchii sunt perpendiculare pe cele înclinate în sine. Și, prin urmare, planurile triunghiurilor ROK, QOK, ROK sunt perpendiculare pe muchiile corespunzătoare ale unghiului diedru și formează acele unghiuri liniare egale care sunt menționate în condiție. Triunghiurile dreptunghiulare ROK, QOK, ROK sunt congruente (deoarece au un catet comun OK și unghiurile opuse acestui catete sunt egale). Prin urmare, OR = OR = OQ. Dacă desenăm un cerc cu centrul O și raza OP, atunci laturile triunghiului ABC sunt perpendiculare pe razele OP, OR și OQ și, prin urmare, sunt tangente la acest cerc.

Perpendicularitatea planurilor. Planurile alfa și beta se numesc perpendiculare dacă unghiul liniar al unuia dintre unghiurile diedrice formate la intersecția lor este egal cu 90." Semne de perpendicularitate a două plane Dacă unul dintre cele două plane trece printr-o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan, atunci aceste planuri sunt perpendiculare.

Figura prezintă un paralelipiped dreptunghiular. Bazele sale sunt dreptunghiuri ABCD și A1B1C1D1. Și nervurile laterale AA1 BB1, CC1, DD1 sunt perpendiculare pe baze. Rezultă că AA1 este perpendicular pe AB, adică fața laterală este un dreptunghi. Astfel, putem justifica proprietățile unui paralelipiped dreptunghiular: Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri. Într-un paralelipiped dreptunghiular, toate cele șase fețe sunt dreptunghiuri. Toate unghiurile diedrice ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt unghiuri drepte. Toate unghiurile diedrice ale unui paralelipiped dreptunghiular sunt unghiuri drepte.

Teoremă Pătratul diagonalei unui paralelipiped dreptunghic este egal cu suma pătratelor celor trei dimensiuni ale sale. Să ne întoarcem din nou la figură și să demonstrăm că AC12 = AB2 + AD2 + AA12 Deoarece muchia CC1 este perpendiculară pe baza ABCD, unghiul ACC1 este drept. Din triunghi dreptunghic ACC1 folosind teorema lui Pitagora obținem AC12=AC2+CC12. Dar AC este o diagonală a dreptunghiului ABCD, deci AC2 = AB2 + AD2. În plus, CC1 = AA1. Prin urmare AC12= AB2+AD2+AA12 Teorema este demonstrată.

Conceptul de unghi diedru

Pentru a introduce conceptul de unghi diedru, să ne amintim mai întâi una dintre axiomele stereometriei.

Orice plan poate fi împărțit în două semiplane ale liniei $a$ aflate în acest plan. În acest caz, punctele situate în același semiplan sunt pe o parte a dreptei $a$, iar punctele situate în semiplanuri diferite sunt pe aceeași parte. laturi diferite din linia dreaptă $a$ (fig. 1).

Figura 1.

Principiul construirii unui unghi diedric se bazează pe această axiomă.

Definiția 1

Cifra este numită unghi diedru, dacă este format dintr-o dreaptă și două semiplane ale acestei drepte care nu aparțin aceluiași plan.

În acest caz, se numesc semiplanurile unghiului diedru marginile, iar linia dreaptă care separă semiplanurile este marginea diedrului(Fig. 1).

Figura 2. Unghiul diedric

Măsura gradului de unghi diedru

Definiția 2

Să alegem un punct arbitrar $A$ pe margine. Unghiul dintre două drepte situate în semiplane diferite, perpendicular pe o muchie și care se intersectează în punctul $A$ se numește unghi diedru liniar(Fig. 3).

Figura 3.

Evident, fiecare unghi diedru are un număr infinit de unghiuri liniare.

Teorema 1

Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale între ele.

Dovada.

Să considerăm două unghiuri liniare $AOB$ și $A_1(OB)_1$ (Fig. 4).

Figura 4.

Deoarece razele $OA$ și $(OA)_1$ se află în același semiplan $\alpha $ și sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă, atunci ele sunt codirecționale. Deoarece razele $OB$ și $(OB)_1$ se află în același semiplan $\beta $ și sunt perpendiculare pe aceeași dreaptă, atunci ele sunt codirecționale. Prin urmare

\[\angle AOB=\angle A_1(OB)_1\]

Datorită arbitrarului alegerii unghiurilor liniare. Toate unghiurile liniare ale unui unghi diedru sunt egale între ele.

Teorema este demonstrată.

Definiția 3

Gradul de măsurare a unui unghi diedru este gradul de măsurare a unghiului liniar al unui unghi diedru.

Exemple de probleme

Exemplul 1

Să fie date două plane neperpendiculare $\alpha $ și $\beta $ care se intersectează de-a lungul dreptei $m$. Punctul $A$ aparține planului $\beta$. $AB$ este perpendicular pe dreapta $m$. $AC$ este perpendicular pe planul $\alpha $ (punctul $C$ aparține lui $\alpha $). Demonstrați că unghiul $ABC$ este un unghi liniar al unui unghi diedru.

Dovada.

Să desenăm o imagine în funcție de condițiile problemei (Fig. 5).

Figura 5.

Pentru a o demonstra, amintiți-vă următoarea teoremă

Teorema 2: O dreaptă care trece prin baza uneia înclinate este perpendiculară pe aceasta, perpendiculară pe proiecția ei.

Deoarece $AC$ este perpendicular pe planul $\alpha $, atunci punctul $C$ este proiecția punctului $A$ pe planul $\alpha $. Prin urmare, $BC$ este o proiecție a oblicului $AB$. După teorema 2, $BC$ este perpendicular pe marginea unghiului diedric.

Apoi, unghiul $ABC$ satisface toate cerințele pentru definirea unui unghi diedru liniar.

Exemplul 2

Unghiul diedrul este $30^\circ$. Pe una dintre fețe se află un punct $A$, care este situat la o distanță de $4$ cm față de cealaltă față Aflați distanța de la punctul $A$ la marginea unghiului diedrului.

Soluţie.

Să ne uităm la Figura 5.

Prin condiție, avem $AC=4\cm$.

Prin definiția gradului de măsură a unui unghi diedru, avem că unghiul $ABC$ este egal cu $30^\circ$.

Triunghiul $ABC$ este un triunghi dreptunghic. Prin definiția sinusului unui unghi ascuțit

\[\frac(AC)(AB)=sin(30)^0\] \[\frac(5)(AB)=\frac(1)(2)\] \

TEXTUL LECȚIEI:

În planimetrie, obiectele principale sunt liniile, segmentele, razele și punctele. Razele care emană dintr-un punct formează una dintre formele lor geometrice - un unghi.

Știm că unghiul liniar se măsoară în grade și radiani.

În stereometrie, un plan este adăugat obiectelor. O figură formată dintr-o dreaptă a și două semiplane cu o limită comună a care nu aparțin aceluiași plan în geometrie se numește unghi diedru. Semiplanurile sunt fețele unui unghi diedru. Linia dreaptă a este o muchie a unui unghi diedru.

Un unghi diedru, ca un unghi liniar, poate fi numit, măsurat și construit. Aceasta este ceea ce trebuie să aflăm în această lecție.

Să găsim unghiul diedric pe modelul tetraedrului ABCD.

Un unghi diedru cu muchia AB se numește CABD, unde punctele C și D aparțin unor fețe diferite ale unghiului și muchia AB se numește la mijloc

În jurul nostru sunt destul de multe obiecte cu elemente sub formă de unghi diedru.

În multe orașe, în parcuri sunt instalate bănci speciale pentru împăcare. Banca este realizată sub forma a două plane înclinate convergente spre centru.

Când se construiesc case, așa-numitele acoperiș în fronton. Pe aceasta casa acoperisul este realizat sub forma unui unghi diedru de 90 de grade.

Unghiul diedric se măsoară și în grade sau radiani, dar cum se măsoară.

Este interesant de observat că acoperișurile caselor se sprijină pe căpriori. Și învelișul căpriorii formează două pante de acoperiș la un unghi dat.

Să transferăm imaginea în desen. În desen, pentru a găsi un unghi diedru, punctul B este marcat pe marginea acestuia. Din acest punct, două raze BA și BC sunt trasate perpendiculare pe marginea unghiului. Unghiul ABC format de aceste raze se numește unghi diedru liniar.

Gradul de măsurare a unui unghi diedru este egal cu gradul de măsurare a unghiului său liniar.

Să măsurăm unghiul AOB.

Gradul de măsurare a unui unghi diedric dat este de șaizeci de grade.

Un număr infinit de unghiuri liniare pot fi trase pentru un unghi diedru este important să știm că toate sunt egale.

Să considerăm două unghiuri liniare AOB și A1O1B1. Razele OA și O1A1 se află pe aceeași față și sunt perpendiculare pe dreapta OO1, deci sunt codirecționale. Grinzile OB și O1B1 sunt, de asemenea, co-dirijate. Prin urmare, unghiul AOB este egal cu unghiul A1O1B1 ca unghiuri cu laturile co-directionale.

Deci un unghi diedru este caracterizat de un unghi liniar, iar unghiurile liniare sunt acute, obtuze și drepte. Să luăm în considerare modele de unghiuri diedrice.

Un unghi obtuz este dacă unghiul său liniar este între 90 și 180 de grade.

Un unghi drept dacă unghiul său liniar este de 90 de grade.

Un unghi ascuțit, dacă unghiul său liniar este de la 0 la 90 de grade.

Să demonstrăm una dintre proprietățile importante ale unui unghi liniar.

Planul unghiului liniar este perpendicular pe marginea unghiului diedric.

Fie unghiul AOB unghiul liniar al unui unghi diedric dat. Prin construcție, razele AO și OB sunt perpendiculare pe dreapta a.

Planul AOB trece prin două drepte care se intersectează AO și OB conform teoremei: Un plan trece prin două drepte care se intersectează și numai una.

Linia a este perpendiculară pe două drepte care se intersectează situate în acest plan, ceea ce înseamnă, pe baza perpendicularității dreptei și a planului, dreapta a este perpendiculară pe planul AOB.

Pentru a rezolva probleme, este important să poți construi un unghi liniar dintr-un unghi diedric dat. Construiți un unghi liniar al unui unghi diedru cu muchia AB pentru tetraedrul ABCD.

Vorbim despre un unghi diedru, care este format, în primul rând, din muchia AB, o față ABD și a doua față ABC.

Iată o modalitate de a o construi.

Să desenăm o perpendiculară din punctul D pe planul ABC. Marcați punctul M ca bază a perpendicularei. Amintiți-vă că într-un tetraedru baza perpendicularei coincide cu centrul cercului înscris la baza tetraedrului.

Să desenăm o linie înclinată din punctul D perpendicular pe muchia AB, marcați punctul N ca bază a dreptei înclinate.

În triunghiul DMN, segmentul NM va fi proiecția DN-ului înclinat pe planul ABC. Conform teoremei celor trei perpendiculare, muchia AB va fi perpendiculară pe proiecția NM.

Aceasta înseamnă că laturile unghiului DNM sunt perpendiculare pe muchia AB, ceea ce înseamnă că unghiul construit DNM este unghiul liniar dorit.

Să luăm în considerare un exemplu de rezolvare a unei probleme de calcul a unui unghi diedru.

Triunghiul isoscel ABC și triunghiul regulat ADB nu se află în același plan. Segmentul CD este perpendicular pe planul ADB. Aflați unghiul diedru DABC dacă AC=CB=2 cm, AB= 4 cm.

Unghiul diedric al lui DABC este egal cu unghiul său liniar. Să construim acest unghi.

Să desenăm CM înclinat perpendicular pe muchia AB, deoarece triunghiul ACB este isoscel, atunci punctul M va coincide cu mijlocul muchiei AB.

Linia dreaptă CD este perpendiculară pe planul ADB, ceea ce înseamnă că este perpendiculară pe dreapta DM care se află în acest plan. Iar segmentul MD este o proiecție a CM înclinat pe planul ADV.

Linia dreaptă AB este perpendiculară pe CM înclinată prin construcție, ceea ce înseamnă că, prin teorema a trei perpendiculare, este perpendiculară pe proiecția MD.

Deci, două perpendiculare CM și DM se găsesc pe muchia AB. Aceasta înseamnă că formează un unghi liniar CMD al unghiului diedric DABC. Și tot ce trebuie să facem este să-l găsim din triunghiul dreptunghic CDM.

Deci segmentul SM este mediana și altitudinea triunghiului isoscel ACB, apoi conform teoremei lui Pitagora, catetul SM este egal cu 4 cm.

Din triunghiul dreptunghic DMB, conform teoremei lui Pitagora, catetul DM este egal cu două rădăcini a trei.

Cosinusul unui unghi dintr-un triunghi dreptunghic este egal cu raportul catetei adiacente MD la ipotenuza CM și este egal cu trei rădăcini de trei ori două. Aceasta înseamnă că unghiul CMD este de 30 de grade.