Cum să găsești panta. Coeficientul unghiular al unei tangente ca tangente a unghiului de înclinare

Învață să iei derivate ale funcțiilor. Derivata caracterizează rata de schimbare a unei funcții la un anumit punct situat pe graficul acestei funcții. În acest caz, graficul poate fi fie o linie dreaptă, fie o linie curbă. Adică, derivata caracterizează rata de schimbare a unei funcții la un anumit moment în timp. Amintiți-vă de regulile generale după care sunt luate instrumentele derivate și abia apoi treceți la pasul următor.

• Citiți articolul.
• Este descris cum să luăm cele mai simple derivate, de exemplu, derivata unei ecuații exponențiale. Calculele prezentate în următorii pași se vor baza pe metodele descrise în acestea.

Învățați să distingeți problemele în care coeficientul de pantă trebuie calculat prin derivata unei funcții. Problemele nu vă cer întotdeauna să găsiți panta sau derivata unei funcții. De exemplu, vi se poate cere să găsiți rata de schimbare a unei funcții în punctul A(x,y). De asemenea, vi se poate cere să găsiți panta tangentei în punctul A(x,y). În ambele cazuri este necesar să se ia derivata funcției.

Luați derivata funcției care vi se oferă. Nu este nevoie să construiți un grafic aici - aveți nevoie doar de ecuația funcției. În exemplul nostru, luăm derivata funcției f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x). Luați derivatul conform metodelor prezentate în articolul menționat mai sus:

Înlocuiți coordonatele punctului dat în derivata găsită pentru a calcula panta. Derivata unei functii este egala cu panta intr-un anumit punct. Cu alte cuvinte, f"(x) este panta funcției în orice punct (x,f(x)). În exemplul nostru:

În coordonatele carteziene, fiecare linie dreaptă este determinată de o ecuație de gradul I și, invers, fiecare ecuație de gradul I determină o linie dreaptă.

Ecuația formei

se numește ecuația generală a unei drepte.

Unghiul determinat așa cum se arată în figură se numește unghi de înclinare a dreptei față de axa Ox. Tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axa Ox se numește coeficientul unghiular al dreptei; este de obicei notat cu litera k:

Ecuația se numește ecuația unei drepte cu pantă; k este coeficientul unghiular, b este valoarea segmentului care este tăiat de linia dreaptă pe axa Oy, numărând de la origine.

Dacă o dreaptă este dată de ecuația generală

,

atunci coeficientul său unghiular este determinat de formula

Ecuaţie este ecuația unei drepte care trece prin punctul (, ) și are un coeficient unghiular k.

Dacă o dreaptă trece prin punctele (, ), (, ), atunci panta ei este determinată de formulă

Ecuaţie

este ecuația unei drepte care trece prin două puncte (, ) și (, ).

Dacă se cunosc coeficienții unghiulari ai două drepte, atunci unul dintre unghiurile dintre aceste drepte este determinat de formula

.

Un semn de paralelism a două drepte este egalitatea coeficienților lor unghiulari:.

Un semn de perpendicularitate a două drepte este raportul sau.

Cu alte cuvinte, coeficienții unghiulari ai dreptelor perpendiculare sunt inversi în valoare absolută și opuși în semn.

4. Ecuația generală a unei drepte

Ecuaţie

Ah+Bu+C=0

(Unde A, B, C poate avea orice valoare, atâta timp cât coeficienții A, B nu au fost ambele zerouri deodată) reprezintă linie dreaptă. Orice linie dreaptă poate fi reprezentată printr-o ecuație de acest tip. De aceea îl cheamă ecuația generală a dreptei.

Dacă OX, atunci reprezintă o linie dreaptă, paralel cu axa OX.

Dacă ÎN=0, adică ecuația nu conține la, atunci reprezintă o linie dreaptă, paralel cu axa OY.

Kogla ÎN nu este egal cu zero, atunci ecuația generală a unei drepte poate fi rezolvă relativ la ordonatăla , apoi este convertit în formular

(Unde a=-A/B; b=-C/B).

La fel, când O diferit de zero, ecuația generală a unei linii drepte poate fi rezolvată în raport cu X.

Dacă CU=0, adică ecuația generală a unei linii nu conține un termen liber, atunci reprezintă o dreaptă care trece prin origine

5. Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat cu o pantă dată

Ecuația unei drepte care trece printr-un punct dat O(x 1 , y 1) într-o direcție dată, determinată de pantă k,

y - y 1 = k(x - x 1). (1)

Această ecuație definește un creion de linii care trec printr-un punct O(x 1 , y 1), care se numește centrul fasciculului.

6. ecuația unei drepte care trece prin două puncte date.

. Ecuația unei drepte care trece prin două puncte: O(x 1 , y 1) și B(x 2 , y 2), scris astfel:

Coeficientul unghiular al unei drepte care trece prin două puncte date este determinat de formula

7. Ecuația unei drepte în segmente

Dacă în ecuația generală a unei drepte , atunci împărțind (1) la , obținem ecuația dreptei în segmente

Unde, . Linia dreaptă intersectează axa în punct , axa în punct .

8. Formula: Unghiul dintre liniile drepte pe un plan

U Scop α între două drepte date de ecuațiile: y=k 1 x+b 1 (prima linie) și y=k 2 x+b 2 (a doua linie dreaptă), poate fi calculată folosind formula (unghiul se măsoară de la prima linie dreaptă la a doua în sens invers acelor de ceasornic ):

9. Poziția relativă a două drepte pe un plan.

Lasă-le pe amândouă acum ecuații liniile drepte sunt scrise în formă generală.

Teorema. Lasă

– generală ecuații două linii drepte coordona avion Oxy. Apoi

1) dacă , atunci Dreptși coincid;

2) dacă , atunci drept și

paralel;

3) dacă , atunci Drept se intersectează.

Dovada. Condiția este echivalentă cu coliniaritatea normală vectori date directe:

Prin urmare, dacă , atunci Drept se intersectează.

Dacă , apoi , , și ecuaţie direct ia forma:

Sau , adică Drept meci. Rețineți că coeficientul de proporționalitate, altfel toți coeficienții generale ecuații ar fi egal cu zero, ceea ce este imposibil.

Dacă Drept nu coincid si nu se intersecteaza, atunci ramane cazul, i.e. Drept paralel.

Teorema a fost demonstrată.

Subiectul „Coeficientul unghiular al unei tangente ca tangentă a unghiului de înclinare” din examenul de certificare are mai multe sarcini simultan. În funcție de starea lor, absolventului i se poate cere să ofere fie un răspuns complet, fie un răspuns scurt. Când se pregătește pentru a susține examenul de stat unificat la matematică, elevul ar trebui să repete cu siguranță sarcinile în care este necesar să se calculeze panta unei tangente.

Portalul educațional Shkolkovo vă va ajuta să faceți acest lucru. Specialiștii noștri au pregătit și au prezentat materiale teoretice și practice în cel mai accesibil mod posibil. Familiarizându-se cu acesta, absolvenții cu orice nivel de pregătire vor putea rezolva cu succes probleme legate de derivate în care este necesară găsirea tangentei unghiului tangentei.

Repere

Pentru a găsi soluția corectă și rațională la astfel de sarcini în cadrul examenului de stat unificat, este necesar să ne amintim definiția de bază: derivata reprezintă rata de schimbare a unei funcții; este egală cu tangentei unghiului tangentei trasat la graficul funcției într-un anumit punct. Este la fel de important să finalizați desenul. Vă va permite să găsiți soluția corectă pentru problemele USE pe derivată, în care trebuie să calculați tangentei unghiului tangentei. Pentru claritate, cel mai bine este să reprezentați graficul pe planul OXY.

Dacă v-ați familiarizat deja cu materialul de bază pe tema derivatelor și sunteți gata să începeți să rezolvați problemele privind calcularea tangentei unghiului tangentei, similar sarcinilor Examenului de stat unificat, puteți face acest lucru online. Pentru fiecare sarcină, de exemplu, probleme pe tema „Relația unei derivate cu viteza și accelerația unui corp”, am notat răspunsul corect și algoritmul de rezolvare. În același timp, elevii pot exersa îndeplinirea sarcinilor de diferite niveluri de complexitate. Dacă este necesar, exercițiul poate fi salvat în secțiunea „Favorite”, astfel încât să puteți discuta mai târziu cu profesorul soluția.

Problemele privind găsirea derivatei unei tangente sunt incluse în examenul de stat unificat la matematică și se găsesc acolo în fiecare an. În același timp, statisticile din ultimii ani arată că astfel de sarcini provoacă anumite dificultăți absolvenților. Prin urmare, dacă un student se așteaptă să obțină scoruri decente după ce a promovat examenul de stat unificat, atunci cu siguranță ar trebui să învețe cum să facă față problemelor din secțiunea „Coeficientul unghiului unei tangente ca valoare a derivatei în punctul de tangență”. pregătit de specialiștii portalului educațional Shkolkovo. După ce a înțeles algoritmul de rezolvare a acestora, studentul va putea depăși cu succes testul de certificare.

Repere

Când începeți să rezolvați problemele USE pe această temă, este necesar să rețineți definiția de bază: derivata unei funcții într-un punct este egală cu panta tangentei la graficul funcției în acest punct. Acesta este sensul geometric al derivatului.

Există o altă definiție importantă care trebuie reîmprospătată. Sună așa: coeficientul unghiular este egal cu tangentei unghiului de înclinare a tangentei la axa absciselor.

Ce alte puncte importante merită remarcate în acest subiect? La rezolvarea problemelor privind găsirea derivatei în examenul de stat unificat, este necesar să ne amintim că unghiul format de tangentă poate fi mai mic, mai mare de 90 de grade sau egal cu zero.

Cum să te pregătești pentru examen?

Pentru a vă asigura că sarcinile din examenul de stat unificat cu tema „Coeficientul unghiular al unei tangente ca valoare a derivatei în punctul de tangență” vă sunt date destul de ușor, atunci când vă pregătiți pentru testul final, utilizați informațiile de pe acest secțiunea de pe portalul educațional Shkolkovo. Aici veți găsi materialul teoretic necesar, adunat și prezentat clar de specialiștii noștri, și veți putea, de asemenea, să exersați efectuarea exercițiilor.

Pentru fiecare sarcină, de exemplu, probleme pe tema „Coeficientul unghiular al unei tangente ca tangentă a unghiului de înclinare”, am notat răspunsul corect și algoritmul de rezolvare. În același timp, elevii pot efectua online exerciții de diferite niveluri de dificultate. Dacă este necesar, sarcina poate fi salvată în secțiunea „Preferate”, astfel încât să puteți discuta ulterior soluția cu profesorul.

În capitolul anterior s-a arătat că, prin alegerea unui anumit sistem de coordonate pe plan, putem exprima proprietățile geometrice care caracterizează punctele dreptei luate în considerare analitic printr-o ecuație între coordonatele curente. Astfel obținem ecuația dreptei. Acest capitol va analiza ecuațiile în linie dreaptă.

Pentru a crea o ecuație pentru o linie dreaptă în coordonate carteziene, trebuie să stabiliți cumva condițiile care determină poziția acesteia față de axele de coordonate.

În primul rând, vom introduce conceptul de coeficient unghiular al unei linii, care este una dintre mărimile care caracterizează poziția unei linii pe un plan.

Să numim unghiul de înclinare al liniei drepte față de axa Ox unghiul cu care axa Ox trebuie să fie rotită astfel încât să coincidă cu linia dată (sau să fie paralelă cu aceasta). Ca de obicei, vom lua în considerare unghiul ținând cont de semn (semnul este determinat de sensul de rotație: în sens invers acelor de ceasornic sau în sensul acelor de ceasornic). Deoarece o rotație suplimentară a axei Ox printr-un unghi de 180° o va alinia din nou cu linia dreaptă, unghiul de înclinare a liniei drepte față de axă nu poate fi ales fără ambiguitate (în cadrul unui termen, un multiplu de ).

Tangenta acestui unghi este determinată în mod unic (deoarece schimbarea unghiului nu schimbă tangenta acestuia).

Tangenta unghiului de înclinare a dreptei la axa Ox se numește coeficient unghiular al dreptei.

Coeficientul unghiular caracterizează direcția dreptei (nu distingem aici între două direcții reciproc opuse ale dreptei). Dacă panta unei drepte este zero, atunci linia este paralelă cu axa x. Cu un coeficient unghiular pozitiv, unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox va fi acut (aici se consideră cea mai mică valoare pozitivă a unghiului de înclinare) (Fig. 39); Mai mult, cu cât coeficientul unghiular este mai mare, cu atât este mai mare unghiul de înclinare a acestuia față de axa Ox. Dacă coeficientul unghiular este negativ, atunci unghiul de înclinare al dreptei față de axa Ox va fi obtuz (Fig. 40). Rețineți că o dreaptă perpendiculară pe axa Ox nu are un coeficient unghiular (tangenta unghiului nu există).