Cum să găsiți punctele extreme ale unei funcții exemple. Ce sunt extremele unei funcții: punctele critice de maxim și minim

Prin utilizarea a acestui serviciu Can găsiți cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții o variabilă f(x) cu soluția formatată în Word. Dacă funcția f(x,y) este dată, deci, este necesar să găsim extremul funcției a două variabile. De asemenea, puteți găsi intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare.

Reguli de intrare în funcții:

Condiție necesară pentru extremul unei funcții a unei variabile

Condiție suficientă pentru extremul unei funcții a unei variabile

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *) > 0

Atunci punctul x * este punctul minim local (global) al funcției.

Dacă la punctul x * este îndeplinită condiția:

F" 0 (x *) = 0
f"" 0 (x *)< 0

Atunci punctul x * este un maxim local (global).

Exemplul nr. 1. Găsiți cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției: pe segment.
Soluţie.

Punctul critic este unul x 1 = 2 (f’(x)=0). Acest punct aparține segmentului. (Punctul x=0 nu este critic, deoarece 0∉).
Calculăm valorile funcției la capetele segmentului și în punctul critic.
f(1)=9, f(2)= 5 / 2 , f(3)=3 8 / 81
Răspuns: f min = 5 / 2 la x=2; f max =9 la x=1

Exemplul nr. 2. Folosind derivate de ordin superior, găsiți extremul funcției y=x-2sin(x) .
Soluţie.
Aflați derivata funcției: y’=1-2cos(x) . Să găsim punctele critice: 1-cos(x)=2, cos(x)=½, x=± π / 3 +2πk, k∈Z. Găsim y’’=2sin(x), calculați , ceea ce înseamnă x= π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele minime ale funcției; , ceea ce înseamnă x=- π / 3 +2πk, k∈Z sunt punctele maxime ale funcției.

Exemplul nr. 3. Investigați funcția extremum în vecinătatea punctului x=0.
Soluţie. Aici este necesar să găsiți extremele funcției. Dacă extrema x=0, atunci aflați tipul său (minim sau maxim). Dacă printre punctele găsite nu există x = 0, atunci calculați valoarea funcției f(x=0).
De remarcat că atunci când derivata de pe fiecare parte a unui punct dat nu își schimbă semnul, situațiile posibile nu sunt epuizate nici măcar pentru funcții diferențiabile: se poate întâmpla ca pentru o vecinătate arbitrar mică de pe o parte a punctului x 0 sau pe ambele părți derivata își schimbă semnul. În aceste puncte este necesar să se utilizeze alte metode pentru a studia funcțiile pentru extremum.

Definitii:

Extremum numit maxim sau valoarea minima funcții pe un anumit set.

Punct extrem este punctul în care se atinge valoarea maximă sau minimă a funcției.

Punct maxim este punctul în care se atinge valoarea maximă a funcției.

Punct minim este punctul în care se atinge valoarea minimă a funcției.

Explicaţie.

În figură, în vecinătatea punctului x = 3, funcția atinge valoarea maximă (adică în vecinătatea acestui punct anume nu există niciun punct mai mare). În vecinătatea lui x = 8, are din nou o valoare maximă (să lămurim din nou: în această vecinătate nu există niciun punct mai mare). În aceste puncte, creșterea face loc unei scăderi. Sunt punctele maxime:

x max = 3, x max = 8.

În vecinătatea punctului x = 5 se atinge valoarea minimă a funcției (adică în vecinătatea lui x = 5 nu există niciun punct dedesubt). În acest moment scăderea face loc unei creșteri. Este punctul minim:

Punctele maxime și minime sunt punctele extreme ale funcției, iar valorile funcției în aceste puncte sunt ale acesteia extreme.

Punctele critice și staționare ale funcției:

Condiție necesară pentru un extremum:

Condiție suficientă pentru un extremum:

Pe un segment funcția y = f(x) poate atinge cea mai mică sau cea mai mare valoare fie în punctele critice , fie la capetele segmentului .

Algoritm pentru studierea unei funcții continuey = f(x) pentru monotonitate și extreme:

Creșterea, descreșterea și extremele unei funcții

Găsirea intervalelor de creștere, descreștere și extreme ale unei funcții este după cum urmează: o sarcină independentă, deci partea cea mai importantă alte sarcini, în special studiu complet al funcției. Informațiile inițiale despre creșterea, scăderea și extremele funcției sunt date în capitol teoretic despre derivată, pe care îl recomand cu căldură pentru studiu preliminar (sau repetare)– și pentru motivul că următorul material se bazează pe foarte în esență derivată, fiind o continuare armonioasă a acestui articol. Deși, dacă timpul este scurt, atunci este posibilă și o practică pur formală a exemplelor din lecția de astăzi.

Și astăzi există un spirit de unanimitate rară în aer și pot simți direct că toți cei prezenți arde de dorință învață să explorezi o funcție folosind derivata ei. Prin urmare, terminologia rezonabilă, bună, eternă apare imediat pe ecranele monitorului dumneavoastră.

Pentru ce? Unul dintre motive este cel mai practic: astfel încât să fie clar ce ți se cere în general într-o anumită sarcină!

Monotonitatea funcției. Punctele extreme și extremele unei funcții

Să luăm în considerare o funcție. Pentru a spune simplu, presupunem că ea continuu pe întreaga linie numerică:

Pentru orice eventualitate, să scăpăm imediat de eventualele iluzii, mai ales pentru acei cititori care s-au familiarizat recent cu intervale de semn constant ale funcției. Acum noi NU ESTE INTERESAT, cum este situat graficul funcției în raport cu axa (deasupra, dedesubt, unde se intersectează axa). Pentru a fi convingător, ștergeți mental axele și lăsați un grafic. Pentru că acolo este interesul.

Funcţie crește pe un interval dacă pentru oricare două puncte ale acestui interval conectate prin relația , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției, iar graficul său merge „de jos în sus”. Funcția demonstrativă crește pe interval.

La fel, funcția scade pe un interval dacă pentru oricare două puncte dintr-un interval dat, astfel încât , inegalitatea este adevărată. Adică, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției, iar graficul acesteia merge „de sus în jos”. Funcția noastră scade pe intervale .

Dacă o funcție crește sau scade pe un interval, atunci se numește strict monoton la acest interval. Ce este monotonia? Înțelege în literalmente– monotonie.

De asemenea, puteți defini nedescrescătoare funcția (condiție relaxată în prima definiție) și necrescătoare funcția (condiție înmuiată în a 2-a definiție). O funcție care nu descrește sau nu crește pe un interval se numește funcție monotonă pe un interval dat (monotonie strictă - caz special„doar” monotonie).

Teoria are în vedere și alte abordări pentru determinarea creșterii/scăderii unei funcții, inclusiv pe semiintervale, segmente, dar pentru a nu vă turna ulei-ulei-ulei pe cap, vom fi de acord să operam cu intervale deschise cu definiții categorice. - acest lucru este mai clar și pentru rezolvarea multor probleme practice destul de mult.

Astfel, în articolele mele formularea „monotonitatea unei funcții” va fi aproape întotdeauna ascunsă intervale monotonie strictă(funcție strict crescătoare sau strict descrescătoare).

Vecinătatea unui punct. Cuvinte după care elevii fug oriunde pot și se ascund îngroziți în colțuri. ...Deși după postare Limitele Cauchy Probabil că nu se mai ascund, ci doar tremură puțin =) Nu vă faceți griji, acum nu vor exista dovezi ale teoremelor de analiză matematică - aveam nevoie de împrejurimi pentru a formula definițiile mai strict puncte extremum. Să ne amintim:

Vecinătatea unui punct numit intervalul care contine acest punct, în timp ce, pentru comoditate, intervalul este adesea considerat a fi simetric. De exemplu, un punct și vecinătatea sa standard:

De fapt, definițiile:

Punctul se numește punct maxim strict, Dacă există cartierul ei, pentru toată lumea valori ale căror, cu excepția punctului în sine, inegalitatea . În exemplul nostru specific, acesta este un punct.

Punctul se numește punct minim strict, Dacă există cartierul ei, pentru toată lumea valori ale căror, cu excepția punctului în sine, inegalitatea . În desen există punctul „a”.

Nota : cerința simetriei vecinătății nu este deloc necesară. În plus, este important însuşi faptul existenţei cartier (fie mic sau microscopic) care satisface conditiile specificate

Punctele sunt numite puncte strict extremum sau doar puncte extremum funcții. Adică este un termen generalizat pentru puncte maxime și puncte minime.

Cum înțelegem cuvântul „extrem”? Da, la fel de direct ca monotonia. Puncte extreme de roller coaster.

Ca și în cazul monotonității, postulate libere există și sunt chiar mai frecvente în teorie (în care, desigur, se încadrează cazurile stricte luate în considerare!):

Punctul se numește punct maxim, Dacă existăîmprejurimile sale sunt astfel încât pentru toată lumea
Punctul se numește punct minim, Dacă existăîmprejurimile sale sunt astfel încât pentru toată lumea valorile acestui cartier, inegalitatea este valabilă.

Rețineți că, conform ultimelor două definiții, orice punct al unei funcții constante (sau o „secțiune plată” a unei funcții) este considerat atât un punct maxim, cât și un punct minim! Funcția, apropo, este atât necreștere, cât și nedescrescătoare, adică monotonă. Cu toate acestea, vom lăsa aceste considerații în seama teoreticienilor, deoarece în practică aproape întotdeauna contemplăm „dealurile” și „golurile” tradiționale (vezi desenul) cu un „rege al dealului” sau „prințesa mlaștinii” unic. Ca varietate, apare sfat, direcționat în sus sau în jos, de exemplu, minimul funcției în punct.

Da, apropo, oh regalitate:
– se numește sensul maxim funcții;
– se numește sensul minim funcții.

Nume comun – extreme funcții.

Vă rog să aveți grijă la cuvintele voastre!

Puncte extreme– acestea sunt valori „X”.
Extreme– semnificații „joc”.

! Nota : uneori termenii enumerați se referă la punctele „X-Y” care se află direct pe GRAFUL funcției ÎNSEȘI.

Câte extreme poate avea o funcție?

Niciuna, 1, 2, 3, ... etc. la infinit. De exemplu, sinusul are infinit de minime și maxime.

IMPORTANT! Termenul „maxim de funcție” nu identice termenul „valoarea maximă a unei funcții”. Este ușor de observat că valoarea este maximă doar într-un cartier local, iar în stânga sus sunt „tovarăși mai cool”. La fel, „minimul unei funcții” nu este același cu „valoarea minimă a unei funcții”, iar în desen vedem că valoarea este minimă doar într-o anumită zonă. În acest sens, se mai numesc puncte extremum punctele extreme locale, iar extrema - extreme locale. Se plimbă și se plimbă prin apropiere și globală fraţi. Deci, orice parabolă are la vârf minim global sau maxim global. În plus, nu voi face distincția între tipurile de extreme, iar explicația este exprimată mai mult în scopuri educaționale generale - adjectivele suplimentare „local”/„global” nu ar trebui să vă ia prin surprindere.

Să rezumăm scurta noastră excursie în teorie cu un test: ce înseamnă sarcina „găsește intervalele de monotonitate și punctele extreme ale funcției”?

Formularea vă încurajează să găsiți:

– intervale de funcție crescătoare/descrescătoare (nedescrescătoare, necrescătoare apare mult mai rar);

– puncte maxime și/sau minime (dacă există). Ei bine, pentru a evita eșecul, este mai bine să găsiți ei înșiși minimele/maximurile ;-)

Cum să determine toate acestea? Folosind funcția derivată!

Cum să găsiți intervale de creștere, scădere,
punctele extreme și extremele funcției?

Multe reguli, de fapt, sunt deja cunoscute și înțelese din lecție despre semnificația unui derivat.

Derivată tangentă aduce vestea veselă că funcția crește pe tot parcursul domeniul definirii.

Cu cotangentă și derivatul său situatia este exact inversa.

Arcsinusul crește pe interval - derivata aici este pozitivă: .
Când funcția este definită, dar nu este diferențiabilă. Cu toate acestea, în punctul critic există o derivată de dreapta și o tangentă de dreapta, iar la cealaltă margine sunt omologii lor stângaci.

Cred că nu vă va fi prea dificil să efectuați un raționament similar pentru arccosinus și derivata sa.

Toate cazurile de mai sus, dintre care multe sunt derivate tabulare, vă reamintesc, urmăriți direct de la definiții derivate.

De ce să explorezi o funcție folosind derivata ei?

Pentru a înțelege mai bine cum arată graficul acestei funcții: unde merge „de jos în sus”, unde „de sus în jos”, unde ajunge la minime și maxime (dacă ajunge deloc). Nu toate funcțiile sunt atât de simple - în majoritatea cazurilor nu avem nicio idee despre graficul unei anumite funcții.

Este timpul să trecem la exemple mai semnificative și să luăm în considerare algoritm pentru găsirea intervalelor de monotonitate și a extremelor unei funcții:

Exemplul 1

Găsiți intervalele de creștere/descreștere și extremele funcției

Soluţie:

1) Primul pas este să găsești domeniul unei funcții, și, de asemenea, luați notă de punctele de întrerupere (dacă există). În acest caz, funcția este continuă pe întreaga linie numerică, iar această acțiune este într-o anumită măsură formală. Dar într-o serie de cazuri, pasiuni serioase izbucnesc aici, așa că să tratăm paragraful fără dispreț.

2) Al doilea punct al algoritmului se datorează

o condiție necesară pentru un extremum:

Dacă există un extremum într-un punct, atunci fie valoarea nu există.

Confuz de final? Extremul funcției „modulu x”. .

Condiția este necesară, dar nu suficient, iar inversul nu este întotdeauna adevărat. Deci, încă nu rezultă din egalitate că funcția să atingă un maxim sau un minim în punctul . Un exemplu clasic a fost deja evidențiat mai sus - aceasta este o parabolă cubică și punctul său critic.

Dar oricum ar fi, condiția necesară pentru un extremum dictează necesitatea de a găsi puncte suspecte. Pentru a face acest lucru, găsiți derivata și rezolvați ecuația:

La începutul primului articol despre graficele de funcțiiȚi-am spus cum să construiești rapid o parabolă folosind un exemplu : „...luăm derivata întâi și o echivalăm cu zero: ...Deci, soluția ecuației noastre: - în acest punct se află vârful parabolei...”. Acum, cred, toată lumea înțelege de ce vârful parabolei este situat exact în acest punct =) În general, ar trebui să începem cu un exemplu similar aici, dar este prea simplu (chiar și pentru un manechin). În plus, există un analog la sfârșitul lecției despre derivata unei functii. Prin urmare, să creștem gradul:

Exemplul 2

Găsiți intervalele de monotonitate și extremele funcției

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Soluție completăși un eșantion final aproximativ al sarcinii la sfârșitul lecției.

A sosit momentul mult așteptat de întâlnire cu funcțiile fracționare-raționale:

Exemplul 3

Explorați o funcție folosind derivata întâi

Acordați atenție cât de variabil poate fi reformulată una și aceeași sarcină.

Soluţie:

1) Funcția suferă discontinuități infinite în puncte.

2) Detectăm punctele critice. Să găsim prima derivată și să o echivalăm cu zero:

Să rezolvăm ecuația. O fracție este egală cu zero când numărătorul ei egal cu zero:

Astfel, obținem trei puncte critice:

3) Trasăm TOATE punctele detectate pe linia numerică și metoda intervalului definim semnele DERIVATULUI:

Vă reamintesc că trebuie să luați un punct în interval și să calculați valoarea derivatei la acesta și determinați-i semnul. Este mai profitabil să nu numărați, ci să „estimați” verbal. Să luăm, de exemplu, un punct aparținând intervalului și să efectuăm înlocuirea: .

Două „plus” și unul „minus” dau un „minus”, prin urmare, ceea ce înseamnă că derivata este negativă pe întreg intervalul.

Acțiunea, după cum înțelegeți, trebuie efectuată pentru fiecare dintre cele șase intervale. Apropo, rețineți că factorul numărător și numitorul sunt strict pozitive pentru orice punct din orice interval, ceea ce simplifică foarte mult sarcina.

Deci, derivata ne-a spus că FUNCȚIA ÎNSĂȘI crește cu si scade cu . Este convenabil să conectați intervale de același tip cu pictograma de alăturare.

În momentul în care funcția atinge maximul:
În momentul în care funcția atinge un minim:

Gândește-te de ce nu trebuie să recalculezi a doua valoare ;-)

Când trece printr-un punct, derivata nu își schimbă semnul, așa că funcția nu are NU EXTREM acolo - a scăzut și a rămas în scădere.

! Să repetăm punct important : punctele nu sunt considerate critice - conțin o funcție nedefinit. În consecință, aici În principiu, nu pot exista extreme(chiar dacă derivata își schimbă semnul).

Răspuns: functia creste cu și scade cu În punctul în care se atinge maximul funcției: , iar la punct – minimul: .

Cunoașterea intervalelor de monotonitate și a extremelor, cuplate cu stabilite asimptote dă deja o idee foarte bună despre aspect grafica functionala. O persoană cu pregătire medie este capabilă să determine verbal că graficul unei funcții are două asimptote verticale și o asimptotă oblică. Iată eroul nostru:

Încercați încă o dată să corelați rezultatele studiului cu graficul acestei funcții.
Nu există extremum în punctul critic, dar există inflexia graficului(ceea ce, de regulă, se întâmplă în cazuri similare).

Exemplul 4

Aflați extremele funcției

Exemplul 5

Găsiți intervalele de monotonitate, maximele și minimele funcției

… este aproape ca un fel de vacanță „X într-un cub” astăzi...
Soooo, cine din galerie s-a oferit să bea pentru asta? =)

Fiecare sarcină are propriile sale nuanțe de fond și detalii tehnice, care sunt comentate la sfârșitul lecției.

Punctul extremum al unei funcții este punctul din domeniul de definire al funcției la care valoarea funcției capătă o valoare minimă sau maximă. Valorile funcției în aceste puncte se numesc extreme (minim și maxim) ale funcției.

Definiţie. Punct x1 domeniul functional f(x) se numește punctul maxim al funcției , dacă valoarea funcției în acest punct este mai mare decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea este valabilă f(x0 ) > f(x 0 + Δ x) x1 maxim.

Definiţie. Punct x2 domeniul functional f(x) se numește punctul minim al funcției, dacă valoarea funcției în acest punct este mai mică decât valorile funcției în puncte suficient de apropiate de ea, situate la dreapta și la stânga acesteia (adică inegalitatea este valabilă f(x0 ) < f(x 0 + Δ x) ). În acest caz spunem că funcția are la punctul x2 minim.

Să spunem punct x1 - punctul maxim al functiei f(x). Apoi în intervalul până la x1 funcția crește, deci derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(x) > 0 ), iar în intervalul de după x1 funcția scade, prin urmare, derivata unei functii mai putin de zero (f "(x) < 0 ). Тогда в точке x1

Să presupunem, de asemenea, că ideea x2 - punctul minim al funcției f(x). Apoi în intervalul până la x2 funcția este în scădere, iar derivata funcției este mai mică decât zero ( f "(x) < 0 ), а в интервале после x2 funcția este în creștere, iar derivata funcției este mai mare decât zero ( f "(x) > 0). În acest caz și la punct x2 derivata functiei este zero sau nu exista.

Teorema lui Fermat (un semn necesar al existenței unui extremum al unei funcții). Dacă punctul x0 - punctul extremum al funcției f(x), atunci în acest moment derivata funcției este egală cu zero ( f "(x) = 0 ) sau nu există.

Definiţie. Sunt numite punctele în care derivata unei funcții este zero sau nu există puncte critice .

Exemplul 1. Să luăm în considerare funcția.

La punctul x= 0 derivata functiei este zero, deci punctul x= 0 este punctul critic. Cu toate acestea, după cum se poate vedea în graficul funcției, aceasta crește pe întregul domeniu de definiție, deci punctul x= 0 nu este punctul extremum al acestei funcții.

Astfel, condițiile ca derivata unei funcții într-un punct să fie egală cu zero sau să nu existe sunt condiții necesare pentru un extremum, dar nu suficiente, deoarece pot fi date și alte exemple de funcții pentru care aceste condiții sunt îndeplinite, dar funcția nu are un extremum în punctul corespunzător. De aceea trebuie să existe suficiente dovezi, permițând cuiva să judece dacă există un extremum într-un anumit punct critic și ce fel de extremum este - maxim sau minim.

Teoremă (primul semn suficient al existenței unui extremum al unei funcții). Punct critic x0 f(x) dacă, la trecerea prin acest punct, derivata funcției își schimbă semnul, iar dacă semnul se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci este un punct maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci este un punct minim.

Dacă aproape de punct x0 , la stânga și la dreapta acesteia, derivata își păstrează semnul, asta înseamnă că funcția fie doar scade, fie crește doar într-o anumită vecinătate a punctului x0 . În acest caz, la punctul x0 nu exista extrema.

Aşa, pentru a determina punctele extreme ale funcției, trebuie să faceți următoarele :

1. Aflați derivata funcției.
2. Echivalează derivata cu zero și determină punctele critice.
3. Mental sau pe hârtie, marcați punctele critice pe dreapta numerică și determinați semnele derivatei funcției în intervalele rezultate. Dacă semnul derivatei se schimbă de la „plus” la „minus”, atunci punctul critic este punctul maxim, iar dacă de la „minus” la „plus”, atunci punctul minim.
4. Calculați valoarea funcției la punctele extreme.

Exemplul 2. Aflați extremele funcției .

Soluţie. Să găsim derivata funcției:

Să echivalăm derivata cu zero pentru a găsi punctele critice:

.

Deoarece pentru orice valoare a lui „x” numitorul nu este egal cu zero, echivalăm numărătorul cu zero:

Am un punct critic x= 3 . Să determinăm semnul derivatei în intervalele delimitate de acest punct:

în intervalul de la minus infinit la 3 - un semn minus, adică funcția scade,

în intervalul de la 3 la plus infinit există un semn plus, adică funcția crește.

Adică punct x= 3 este punctul minim.

Să găsim valoarea funcției în punctul minim:

Astfel, punctul extremum al funcției se găsește: (3; 0), și este punctul minim.

Teoremă (al doilea semn suficient al existenței unui extremum al unei funcții). Punct critic x0 este punctul extremum al funcției f(x) dacă derivata a doua a funcției în acest punct nu este egală cu zero ( f ""(x) ≠ 0 ), iar dacă derivata a doua este mai mare decât zero ( f ""(x) > 0 ), atunci punctul maxim, iar dacă derivata a doua este mai mică decât zero ( f ""(x) < 0 ), то точкой минимума.

Notă 1. Dacă la punct x0 Dacă ambele derivate prima și a doua dispar, atunci în acest moment este imposibil să se judece prezența unui extremum pe baza celui de-al doilea criteriu suficient. În acest caz, trebuie să utilizați primul criteriu suficient pentru extremul unei funcții.

Observația 2. Al doilea criteriu suficient pentru extremul unei funcții nu este aplicabil chiar și atunci când derivata întâi nu există într-un punct staționar (atunci nici derivata a doua nu există). În acest caz, trebuie să utilizați și primul semn suficient al unui extremum al unei funcții.

Natura locală a extremelor funcției

Din definițiile de mai sus rezultă că extremul unei funcții este de natură locală - este cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției în comparație cu valorile apropiate.

Să presupunem că vă uitați la câștigurile dvs. pe o perioadă de un an. Dacă în mai ați câștigat 45.000 de ruble, iar în aprilie 42.000 de ruble și în iunie 39.000 de ruble, atunci câștigurile din mai sunt maximul funcției de câștig în comparație cu valorile din apropiere. Dar în octombrie ai câștigat 71.000 de ruble, în septembrie 75.000 de ruble și în noiembrie 74.000 de ruble, deci câștigurile din octombrie sunt minimul funcției de câștig în comparație cu valorile din apropiere. Și puteți observa cu ușurință că maximul dintre valorile aprilie-mai-iunie este mai mic decât cel minim din septembrie-octombrie-noiembrie.

În general, pe un interval o funcție poate avea mai multe extreme și se poate dovedi că un anumit minim al funcției este mai mare decât orice maxim. Deci, pentru funcția prezentată în figura de mai sus, .

Adică, nu trebuie să credem că maximul și minimul unei funcții sunt, respectiv, valorile sale cele mai mari și cele mai mici pe întregul segment luat în considerare. În punctul maxim funcția are cea mai mare valoare numai în comparație cu acele valori pe care le are în toate punctele suficient de aproape de punctul maxim, iar în punctul minim - cea mai mică valoare numai în comparație cu acele valori pe care le are în toate punctele suficient de aproape de punct minim.

Prin urmare, putem clarifica conceptul de mai sus de puncte extreme ale unei funcții și putem numi puncte minime puncte minime locale și puncte maxime puncte maxime locale.

Căutăm împreună extremele funcției

Exemplul 3.

Soluție: Funcția este definită și continuă pe întreaga linie numerică. Derivatul său există și pe întreaga linie numerică. Prin urmare, în acest caz, punctele critice sunt doar cele în care, i.e. , de unde și . Puncte critice și împărțiți întregul domeniu de definire al funcției în trei intervale de monotonitate: . Să selectăm câte un punct de control în fiecare dintre ele și să găsim semnul derivatei în acest punct.

Pentru interval, punctul de control poate fi: găsi. Luând un punct în interval, obținem, și luând un punct în interval, avem. Deci, în intervalele și , și în intervalul . Conform primului criteriu suficient pentru un extremum, nu există un extremum în punct (deoarece derivata își păstrează semnul în interval), iar în punctul în care funcția are un minim (deoarece derivata își schimbă semnul din minus în plus la trecere). prin acest punct). Să găsim valorile corespunzătoare ale funcției: , a . În interval funcția scade, deoarece în acest interval , iar în interval crește, deoarece în acest interval .

Pentru a clarifica construcția graficului, găsim punctele de intersecție ale acestuia cu axele de coordonate. Când obținem o ecuație ale cărei rădăcini sunt și , adică se găsesc două puncte (0; 0) și (4; 0) ale graficului funcției. Folosind toate informațiile primite, construim un grafic (vezi începutul exemplului).

Exemplul 4. Găsiți extremele funcției și construiți graficul acesteia.

Domeniul de definire al unei funcții este întreaga dreaptă numerică, cu excepția punctului, i.e. .

Pentru a scurta studiul, puteți folosi faptul că această funcție este uniformă, deoarece . Prin urmare, graficul său este simetric față de axă Oi iar studiul poate fi efectuat numai pentru interval.

Găsirea derivatei și punctele critice ale funcției:

1) ;

2) ,

dar funcția suferă o discontinuitate în acest punct, deci nu poate fi un punct extremum.

Astfel, funcţie dată are două puncte critice: și . Ținând cont de paritatea funcției, vom verifica doar punctul folosind al doilea criteriu suficient pentru un extremum. Pentru a face acest lucru, găsim derivata a doua si determinam semnul acesteia la: obtinem . Deoarece și , este punctul minim al funcției, și .

Pentru a obține o imagine mai completă a graficului unei funcții, să aflăm comportamentul acesteia la granițele domeniului de definiție:

(aici simbolul indică dorința x la zero din dreapta și x rămâne pozitiv; în mod similar înseamnă aspirație x la zero din stânga și x rămâne negativ). Astfel, dacă , atunci . În continuare, găsim

,

aceste. daca , atunci .

Graficul unei funcții nu are puncte de intersecție cu axele. Imaginea este la începutul exemplului.

Continuăm să căutăm împreună extremele funcției

Exemplul 8. Găsiți extremele funcției.

Soluţie. Să găsim domeniul de definire al funcției. Deoarece inegalitatea trebuie satisfăcută, obținem din .

Să găsim derivata întâi a funcției:

Să găsim punctele critice ale funcției.

(derivatele din stânga și din dreapta sunt diferite), cu toate acestea, crește pentru toate valorile lui x, inclusiv în punctele = 0.

Observația 2. Pe baza unor condiții „mai blânde”, putem formula o teoremă directă: dacă derivata unei funcții continue pe un interval este nenegativă, atunci funcția pe acest interval nu scade. Atunci teoremele directe și inverse într-un limbaj formalizat sună astfel:

funcția f (x) dacă există o vecinătate a punctului x0 astfel încât pentru tot x din această vecinătate f(x) ≤ f(x0).

Definiţie. Un punct x0 se numește punct minim local al funcției f(x) dacă există o vecinătate a punctului x0 astfel încât pentru tot x din această vecinătate f(x) ≥ f(x0).

Valoarea funcției în punctul maxim se numește maxim local, valoarea funcției în punctul minim se numește minim local al acestei funcții. Maximul și minimul unei funcții se numesc extreme locale

(extremum – extrem).

Definiţie. Un punct x0 se numește punct de maxim (minim) local strict al funcției y= f(x) dacă pentru tot x din vecinătatea punctului x0 este adevărat inegalitate strictă f(x)< f(x0 ) (соответственно

f (x) > f(x0 ) ).

Comentariu. În definiția de mai sus a unui extremum local, nu presupunem continuitatea funcției în punctul x 0.

punct maxim, deoarece există o vecinătate a punctului x = 0, în care f (x)< f (x 0 ).

Se numește cea mai mare (cea mai mică) valoare a unei funcții dintr-un interval extremă globală. Extremul global poate fi atins fie în punctele extremului local, fie la capetele segmentului.

Condiție necesară pentru extremum

Teorema 2. (aproximativ conditie necesara extremum).

Dacă funcția y = f(x) are un extrem în punctul x0, atunci derivata sa f′ (x0) în acest punct este fie zero, fie nu există.

◄Dacă în punctul x 0 funcția are un extrem și este diferențiabilă, atunci la

într-o apropiere a acestui punct, condițiile teoremei lui Fermat sunt îndeplinite, prin urmare, derivata funcției în acest punct este egală cu zero.

Dar funcția y = f (x) poate avea un extrem și să nu fie diferențiabilă în acest moment. Este suficient să dau un exemplu. Un exemplu ar fi

Nota 3. Nu în fiecare dintre punctele sale critice, o funcție are în mod necesar un maxim sau un minim.

Exemplul 4. Se consideră funcția y = x 3 . Critic pentru această funcție

este punctul x = 0, care decurge din ecuația f ′ (x ) = 3x 2 = 0. Totuși, această funcție este crescătoare pentru tot x și nu are extremă.

Dacă, la trecerea de la intervalul din stânga la cel din dreapta, funcția continuă să scadă, atunci în punctul x 0 nu se va atinge valoarea minimă a funcției

(fără extremum).

Existența unui maxim este dovedită în mod similar.

În fig. 2 a-h prezintă cazuri posibile de prezență sau absență a unui extremum al unei funcții continue, a cărei derivată în punctul critic este egală cu zero sau merge la infinit.

punctul x = 0 își schimbă semnul de nenumărate ori. Prin urmare funcția f(x) nu este

este monoton în scădere sau în creștere fie la stânga, fie la dreapta punctului x = 0.

Schema pentru studierea unei funcții pentru un extremum:

1) găsiți derivata f′(x);

2) găsiți punctele critice, de ex. astfel de valori x, în care f ′ (x )= 0 sau

f′(x) = ∞;

3) examinați semnul derivatului din stânga și dreapta fiecărui critic

se modifică, atunci în punctul x 0 funcția f (x) nu are nici maxim, nici minim; 4) găsiți valorile funcției în puncte extreme.

Teorema 4. (a doua condiție suficientă pentru extremum). Fie funcția y = f (x) să îndeplinească următoarele condiții:

1. y = f (x) este continuă în vecinătatea punctului x 0,

2. f ′ (x )= 0 în punctul x 0

3. f ′′ (x )≠ 0 în punctul x 0 .

de aceea există un extremum. Semnul derivatei se schimbă de la minus la plus, ceea ce înseamnă că acesta este un minim. Cazul f ′′ (x 0 ) este demonstrat în mod similar< 0 .

Exemplul 8. Examinați funcția y = x 2 + 2x + 3 pentru un extremum Aflați derivata y ′= 2x + 2 .

1) Găsim punctele critice, pentru care echivalăm derivata cu zero: y ′= 2x + 2= 0,→ x 0 = - 1.

2) Studiem semnul derivatei în stânga și în dreapta acestui punct (Fig. 6).

Deoarece semnul derivatei se schimbă de la minus la plus, se atinge un minim în punctul x = − 1.

3) Aflați valoarea minimă: ymin (− 1)= 2.

3) Examinăm semnul y" în stânga și în dreapta punctului x = 0. Evident, f ′ (x)< 0 ,

minim al acestei funcții.

4) ymin (0)= 1.

Exemplul 10.

Examinați funcția y = e -x 2 pentru un extrem.

1) Găsim prima derivată: y ′= - 2xe -x 2 .

2) Echivalând derivata cu zero, găsim singurul punct critic x = 0.

3) În continuare găsim derivata a doua: y ′′= − 2e - x 2 + 4x 2 e − x 2 . Sensul lui

în punctul x = 0 este egal cu -2.

4) Conchidem că există un maxim al funcției și calculăm: y max (0)= 1.

Cea mai mare și cea mai mică valoare a unei funcții continuă pe un interval

Dacă funcția f (x) este definită și continuă pe intervalul [a;b], atunci

conform teoremei a 2-a a lui Weierstrass, atinge valorile maxime și minime pe acest segment.

Dacă funcția f(x) ia cea mai mare valoare ca punct intern x 0 al segmentului [a;b], atunci M = f (x 0) va fi un maxim local al funcției f (x), deoarece în acest caz există o vecinătate a punctului x 0 astfel încât valorile ​de f (x) pentru toate punctele din această vecinătate nu va fi

mai mare decât f (x 0 ).

Cu toate acestea, valoarea sa cea mai mare este M funcția f (x) poate lua si la capetele segmentului[a;b]. Prin urmare, pentru a găsi cea mai mare valoare M a unei funcții continue f (x) pe segmentul [a;b], trebuie să găsim toate maximele funcției în intervalul (a;b) și valorile de f (x) la capetele segmentului [a;b] și alegeți

dintre ele cel mai mare număr. În loc să ne limităm la găsirea valorilor Cea mai mică valoare m continuu

Cercetare la maximum de funcții posibile în punctele critice. pe segmentul [a;b] al funcţiei f (x) va exista

cel mai mic număr dintre toate minimele funcției f (x) în intervalul (a;b) și valorile f (a) și f (b).