Numerele iraționale: ce sunt și la ce sunt folosite? Numere iraționale, definiție, exemple Este rădăcina lui 1 6 irațională.

Ce sunt numerele iraționale? De ce se numesc asa? Unde se folosesc si ce sunt? Puțini oameni pot răspunde la aceste întrebări fără să se gândească. Dar, de fapt, răspunsurile la ele sunt destul de simple, deși nu toată lumea are nevoie de ele și în situații foarte rare

Esența și denumirea

Numerele iraționale sunt numere infinite neperiodice.Necesitatea introducerii acestui concept se datorează faptului că pentru a rezolva probleme noi care apar, conceptele existente anterior de numere reale sau reale, întreg, naturale și rațional nu mai erau suficiente. De exemplu, pentru a calcula ce cantitate este pătratul lui 2, trebuie să utilizați zecimale infinite neperiodice. În plus, multe ecuații simple nu au nicio soluție fără a introduce conceptul de număr irațional.

Această mulțime este desemnată cu I. Și, după cum este deja clar, aceste valori nu pot fi reprezentate ca o fracție simplă, al cărei numărător va fi un număr întreg, iar numitorul va fi

Pentru prima dată, într-un fel sau altul, matematicienii indieni au întâlnit acest fenomen în secolul al VII-lea când s-a descoperit că rădăcinile pătrate ale unor cantități nu pot fi indicate în mod explicit. Și prima dovadă a existenței unor astfel de numere este atribuită lui Hippasus pitagoreian, care a făcut acest lucru în timp ce studia un triunghi dreptunghic isoscel. Alți oameni de știință care au trăit înaintea erei noastre au adus o contribuție serioasă la studiul acestui set. Introducerea conceptului de numere iraționale a presupus o revizuire a sistemului matematic existent, motiv pentru care sunt atât de importante.

originea numelui

Dacă raportul tradus din latină este „fracție”, „raport”, atunci prefixul „ir”
dă acestui cuvânt sensul opus. Astfel, denumirea mulțimii acestor numere indică faptul că acestea nu pot fi corelate cu un întreg sau cu o fracție și au un loc separat. Acest lucru rezultă din esența lor.

Locul în clasamentul general

Numerele iraționale, împreună cu numerele raționale, aparțin grupului numerelor reale sau reale, care la rândul lor aparțin numerelor complexe. Nu există submulțimi, dar există varietăți algebrice și transcendentale, care vor fi discutate mai jos.

Proprietăți

Deoarece numerele iraționale fac parte din mulțimea numerelor reale, li se aplică toate proprietățile lor care sunt studiate în aritmetică (se mai numesc și legi algebrice de bază).

a + b = b + a (comutativitate);

(a + b) + c = a + (b + c) (asociativitate);

a + (-a) = 0 (existența numărului opus);

ab = ba (legea comutativă);

(ab)c = a(bc) (distributivitate);

a(b+c) = ab + ac (legea distribuției);

a x 1/a = 1 (existența unui număr reciproc);

Comparația se realizează, de asemenea, în conformitate cu legile și principiile generale:

Dacă a > b și b > c, atunci a > c (tranzitivitatea relației) și. etc.

Desigur, toate numerele iraționale pot fi convertite folosind aritmetica de bază. Nu există reguli speciale pentru asta.

În plus, axioma lui Arhimede se aplică numerelor iraționale. Afirmă că pentru oricare două cantități a și b, este adevărat că dacă luați a ca termen de suficient de multe ori, puteți învinge b.

Utilizare

În ciuda faptului că nu le întâlniți foarte des în viața de zi cu zi, numerele iraționale nu pot fi numărate. Există un număr mare de ele, dar sunt aproape invizibile. Numerele iraționale sunt peste tot în jurul nostru. Exemple care sunt familiare tuturor sunt numărul pi, egal cu 3,1415926..., sau e, care este în esență baza logaritmului natural, 2,718281828... În algebră, trigonometrie și geometrie, acestea trebuie utilizate constant. Apropo, faimoasa semnificație a „raportului de aur”, adică raportul dintre părțile mai mari și partea mai mică și invers, de asemenea

aparține acestui set. De asemenea, cel mai puțin cunoscut „argint”.

Pe linia numerică ele sunt situate foarte dens, astfel încât între oricare două mărimi clasificate drept raționale, cu siguranță va apărea una irațională.

Există încă o mulțime de probleme nerezolvate asociate cu acest set. Există criterii precum măsura iraționalității și normalitatea unui număr. Matematicienii continuă să studieze cele mai semnificative exemple pentru a determina dacă aparțin unui grup sau altuia. De exemplu, se crede că e este un număr normal, adică probabilitatea ca diferite cifre să apară în notația sa este aceeași. În ceea ce privește pi, cercetările sunt încă în desfășurare cu privire la acesta. Măsura iraționalității este o valoare care arată cât de bine poate fi aproximat un anumit număr prin numere raționale.

Algebric și transcendental

După cum sa menționat deja, numerele iraționale sunt împărțite în mod convențional în algebrice și transcendentale. Condițional, deoarece, strict vorbind, această clasificare este folosită pentru a împărți mulțimea C.

Această desemnare ascunde numere complexe, care includ numere reale sau reale.

Deci, algebricul este o valoare care este rădăcina unui polinom care nu este identic egal cu zero. De exemplu, rădăcina pătrată a lui 2 ar fi în această categorie deoarece este o soluție a ecuației x 2 - 2 = 0.

Toate celelalte numere reale care nu îndeplinesc această condiție se numesc transcendentale. Această varietate include cele mai faimoase și deja menționate exemple - numărul pi și baza logaritmului natural e.

Interesant este că nici una, nici alta nu au fost dezvoltate inițial de matematicieni în această calitate; iraționalitatea și transcendența lor au fost dovedite la mulți ani după descoperirea lor. Pentru pi, dovada a fost dată în 1882 și simplificată în 1894, punând capăt unei dezbateri de 2.500 de ani despre problema pătrarii cercului. Încă nu a fost studiat pe deplin, așa că matematicienii moderni au la ce să lucreze. Apropo, primul calcul destul de precis al acestei valori a fost efectuat de Arhimede. Înaintea lui, toate calculele erau prea aproximative.

Pentru e (numărul lui Euler sau Napier), dovada transcendenței sale a fost găsită în 1873. Este folosit în rezolvarea ecuațiilor logaritmice.

Alte exemple includ valorile sinusului, cosinusului și tangentei pentru orice valoare algebrică diferită de zero.

Ce numere sunt iraționale? Număr irațional nu este un număr real rațional, adică nu poate fi reprezentat ca o fracție (ca un raport de două numere întregi), unde m- întreg, n- numar natural . Număr irațional poate fi reprezentat ca o fracție zecimală neperiodică infinită.

Număr irațional poate să nu aibă un sens exact. Doar în format 3.333333…. De exemplu, rădăcina pătrată a lui doi este un număr irațional.

Care număr este irațional? Număr irațional(spre deosebire de rațional) se numește fracție neperiodică zecimală infinită.

Set de numere iraționale adesea notat cu o literă latină majusculă în stil îndrăzneț fără umbrire. Acea.:

Acestea. Mulțimea numerelor iraționale este diferența dintre mulțimile numerelor reale și raționale.

Proprietățile numerelor iraționale.

• Suma a 2 numere iraționale nenegative poate fi un număr rațional.
• Numerele iraționale definesc tăieturile Dedekind în mulțimea numerelor raționale, în clasa inferioară a cărora nu există cel mai mare număr, iar în clasa superioară nu există unul mai mic.
• Fiecare număr transcendental real este un număr irațional.
• Toate numerele iraționale sunt fie algebrice, fie transcendentale.
• Mulțimea numerelor iraționale este densă peste tot pe linia numerică: între fiecare pereche de numere există un număr irațional.
• Ordinea în mulțimea numerelor iraționale este izomorfă cu ordinea în mulțimea numerelor reale transcendentale.
• Mulțimea numerelor iraționale este infinită și este o mulțime din categoria a 2-a.
• Rezultatul fiecărei operații aritmetice cu numere raționale (cu excepția împărțirii cu 0) este un număr rațional. Rezultatul operațiilor aritmetice asupra numerelor iraționale poate fi fie un număr rațional, fie un număr irațional.
• Suma unui număr rațional și a unui număr irațional va fi întotdeauna un număr irațional.
• Suma numerelor iraționale poate fi un număr rațional. De exemplu, lăsa X irațional atunci y=x*(-1) de asemenea irațional; x+y=0, si numarul 0 rațional (dacă, de exemplu, adunăm rădăcina oricărui grad de 7 și minus rădăcina aceluiași grad de șapte, obținem numărul rațional 0).

Numere iraționale, exemple.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ

Și și-au derivat rădăcinile din cuvântul latin „ratio”, care înseamnă „rațiune”. Pe baza traducerii literale:

• Un număr rațional este un „număr rezonabil”.
• Un număr irațional este, în consecință, un „număr nerezonabil”.

Conceptul general de număr rațional

Un număr rațional este un număr care poate fi scris astfel:

1. O fracție pozitivă obișnuită.
2. Fracție comună negativă.
3. Ca număr zero (0).

Cu alte cuvinte, următoarele definiții se aplică unui număr rațional:

• Orice număr natural este în mod inerent rațional, deoarece orice număr natural poate fi reprezentat ca o fracție obișnuită.
• Orice număr întreg, inclusiv numărul zero, deoarece orice număr întreg poate fi scris fie ca o fracție ordinară pozitivă, fie ca o fracție ordinară negativă, fie ca număr zero.
• Orice fracție obișnuită, și nu contează dacă este pozitivă sau negativă, se apropie direct de definiția unui număr rațional.
• Definiția poate include și un număr mixt, o fracție zecimală finită sau o fracție periodică infinită.

Exemple de numere raționale

Să ne uităm la exemple de numere raționale:

• Numerele naturale - „4”, „202”, „200”.
• Numerele întregi - „-36”, „0”, „42”.
• Fracții ordinare.

Din exemplele de mai sus este destul de evident că numerele raționale pot fi atât pozitive, cât și negative. Desigur, numărul 0 (zero), care la rândul său este și un număr rațional, în același timp nu aparține categoriei unui număr pozitiv sau negativ.

Prin urmare, aș dori să reamintesc programului de educație generală folosind următoarea definiție: „Numere raționale” sunt acele numere care pot fi scrise ca o fracție x/y, unde x (numărătorul) este un număr întreg și y (numitorul) este un numar natural.

Conceptul general și definiția unui număr irațional

Pe lângă „numere raționale”, mai cunoaștem și așa-numitele „numere iraționale”. Să încercăm pe scurt să definim aceste numere.

Chiar și matematicienii antici, dorind să calculeze diagonala unui pătrat de-a lungul laturilor sale, au aflat despre existența unui număr irațional.
Pe baza definiției numerelor raționale, puteți construi un lanț logic și puteți da o definiție a unui număr irațional.
Deci, în esență, acele numere reale care nu sunt raționale sunt pur și simplu numere iraționale.
Fracțiile zecimale, care exprimă numere iraționale, nu sunt periodice și infinite.

Exemple de număr irațional

Pentru claritate, să luăm în considerare un mic exemplu de număr irațional. După cum am înțeles deja, fracțiile zecimale neperiodice infinite sunt numite iraționale, de exemplu:

• Numărul „-5.020020002... (este clar că cei doi sunt despărțiți printr-o succesiune de unu, doi, trei, etc. zerouri)
• Numărul „7.040044000444... (aici este clar că numărul de patru și numărul de zerouri crește cu unul de fiecare dată într-un lanț).
• Toată lumea știe numărul Pi (3,1415...). Da, da - este și irațional.

În general, toate numerele reale sunt atât raționale, cât și iraționale. În termeni simpli, un număr irațional nu poate fi reprezentat ca o fracție comună x/y.

Concluzie generală și scurtă comparație între numere

Ne-am uitat la fiecare număr separat, dar diferența dintre un număr rațional și un număr irațional rămâne:

1. Un număr irațional apare la extragerea rădăcinii pătrate, la împărțirea unui cerc la diametrul său etc.
2. Un număr rațional reprezintă o fracție comună.

Să încheiem articolul nostru cu câteva definiții:

• O operație aritmetică efectuată pe un număr rațional, altul decât împărțirea cu 0 (zero), va duce în cele din urmă la un număr rațional.
• Rezultatul final, la efectuarea unei operații aritmetice pe un număr irațional, poate duce atât la o valoare rațională, cât și la o valoare irațională.
• Dacă ambele numere iau parte la o operație aritmetică (cu excepția împărțirii sau înmulțirii cu zero), atunci rezultatul va fi un număr irațional.

Vechii matematicieni știau deja despre un segment de unitate de lungime: cunoșteau, de exemplu, incomensurabilitatea diagonalei și a laturii pătratului, ceea ce este echivalent cu iraționalitatea numărului.

Iraționale sunt:

Exemple de dovezi de iraționalitate

Rădăcina lui 2

Să presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat sub forma unei fracții ireductibile, unde și sunt numere întregi. Să punem la pătrat presupusa egalitate:

Rezultă că chiar este par și . Să fie acolo unde este întregul. Apoi

Prin urmare, chiar înseamnă par și . Am constatat că și sunt pare, ceea ce contrazice ireductibilitatea fracției . Aceasta înseamnă că presupunerea inițială a fost incorectă și este un număr irațional.

Logaritmul binar al numărului 3

Să presupunem contrariul: este rațional, adică este reprezentat ca o fracție, unde și sunt numere întregi. Din moment ce , și pot fi alese să fie pozitive. Apoi

Dar par și ciudat. Primim o contradicție.

e

Poveste

Conceptul de numere iraționale a fost adoptat implicit de matematicienii indieni în secolul al VII-lea î.Hr., când Manava (c. 750 î.Hr. - c. 690 î.Hr.) și-a dat seama că rădăcinile pătrate ale unor numere naturale, cum ar fi 2 și 61, nu pot fi exprimate în mod explicit. .

Prima dovadă a existenței numerelor iraționale este de obicei atribuită lui Hippasus din Metapontus (c. 500 î.Hr.), un pitagoreian care a găsit această dovadă studiind lungimile laturilor pentagramei. Pe vremea pitagoreenilor, se credea că există o singură unitate de lungime, suficient de mică și indivizibilă, care intra în orice segment de un număr întreg de ori. Cu toate acestea, Hippasus a susținut că nu există o singură unitate de lungime, deoarece presupunerea existenței sale duce la o contradicție. El a arătat că dacă ipotenuza unui triunghi dreptunghic isoscel conține un număr întreg de segmente unitare, atunci acest număr trebuie să fie atât par, cât și impar. Dovada arăta astfel:

• Raportul dintre lungimea ipotenuzei și lungimea catetei unui triunghi dreptunghic isoscel poate fi exprimat ca A:b, Unde AȘi b ales ca cel mai mic posibil.
• Conform teoremei lui Pitagora: A² = 2 b².
• Deoarece A- chiar, A trebuie să fie par (deoarece pătratul unui număr impar ar fi impar).
• Deoarece A:b ireductibil b trebuie să fie ciudat.
• Deoarece A chiar, notăm A = 2y.
• Apoi A² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², prin urmare b- chiar si atunci b chiar.
• S-a dovedit însă că b ciudat. Contradicţie.

Matematicienii greci au numit acest raport de cantități incomensurabile alogos(de nespus), dar conform legendelor nu i-au adus respectul cuvenit lui Hippasus. Există o legendă conform căreia Hippasus a făcut descoperirea în timpul unei călătorii pe mare și a fost aruncat peste bord de alți pitagoreeni „pentru că a creat un element al universului care neagă doctrina conform căreia toate entitățile din univers pot fi reduse la numere întregi și rapoartele lor”. Descoperirea lui Hippasus a pus o problemă serioasă pentru matematica pitagoreică, distrugând ipoteza care stă la baza că numerele și obiectele geometrice sunt una și inseparabile.

Vezi si

Note

1.Dovezile sunt exemple de raționament deductiv și sunt diferite de argumentele inductive sau empirice. O dovadă trebuie să demonstreze că afirmația care se dovedește este întotdeauna adevărată, uneori prin enumerarea tuturor cazurilor posibile și arătând că afirmația este valabilă în fiecare dintre ele. O dovadă se poate baza pe fenomene sau cazuri evidente sau general acceptate cunoscute sub numele de axiome. Spre deosebire de aceasta, iraționalitatea „rădăcinii pătrate a doi” este dovedită.
2. Intervenția topologiei aici se explică prin însăși natura lucrurilor, ceea ce înseamnă că nu există o modalitate pur algebrică de a demonstra iraționalitatea, în special bazată pe numere raționale.Iată un exemplu, alegerea este a ta: 1 + 1/ 2 + 1/4 + 1/8 ….= 2 sau 1+1/2 + 1/4 + 1/8 …≠ 2 ???
Dacă acceptați 1+1/2 + 1/4 + 1/8 +…= 2, care este considerată abordarea „algebrică”, atunci nu este deloc dificil să arătați că există n/m ∈ ℚ, care pe o secvență infinită este un număr irațional și finit, ceea ce sugerează că numerele iraționale sunt închiderea câmpului ℚ, dar aceasta se referă la o singularitate topologică.
Deci, pentru numerele Fibonacci, F(k): 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377, … lim(F(k+1)/F(k)) = φ
Aceasta arată doar că există un homomorfism continuu ℚ → I, și se poate demonstra riguros că existența unui astfel de izomorfism nu este o consecință logică a axiomelor algebrice.