Și chiar distribuție în proces. Legile uniforme și exponențiale ale distribuției unei variabile aleatoare continue

Să ne amintim definiția densității de probabilitate.

Să introducem acum conceptul de distribuție uniformă de probabilitate:

Definiția 2

Distribuția se numește uniformă dacă, în intervalul care conține toate valorile posibile ale variabilei aleatoare, densitatea distribuției este constantă, adică:

Figura 1.

Să găsim valoarea constantei $\C$ folosind următoarea proprietate a densității distribuției: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)= 1 $

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Astfel, funcția de densitate de distribuție uniformă are forma:

Figura 2.

Graficul arată astfel (Fig. 1):

Figura 3. Densitatea uniformă a distribuției probabilităților

Funcția uniformă de distribuție a probabilității

Să găsim acum funcția de distribuție pentru distribuția uniformă.

Pentru a face acest lucru, vom folosi următoarea formulă: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. Pentru $x ≤ a$, conform formulei, obținem:

1. La $a

1. Pentru $x> 2$, conform formulei, obținem:

Astfel, funcția de distribuție arată astfel:

Figura 4.

Graficul arată astfel (Fig. 2):

Figura 5. Funcția uniformă de distribuție a probabilității.

Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să se încadreze în intervalul $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ cu o distribuție uniformă de probabilitate

Pentru a afla probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze în intervalul $(\alpha ,\beta)$ cu o distribuție uniformă a probabilității, vom folosi următoarea formulă:

Așteptări matematice:

Abatere standard:

Exemple de rezolvare a problemei distribuției uniforme de probabilitate

Exemplul 1

Intervalul dintre troleibuze este de 9 minute.

Compuneți funcția de distribuție și densitatea de distribuție a variabilei aleatoare $X$ de așteptare a pasagerilor de troleibuz.

Găsiți probabilitatea ca un pasager să aștepte un troleibuz în mai puțin de trei minute.

Găsiți probabilitatea ca un pasager să aștepte un troleibuz în cel puțin 4 minute.

Găsi așteptări matematice, varianța și abaterea standard

1. Deoarece variabila aleatoare continuă a așteptării unui troleibuz $X$ este distribuită uniform, atunci $a=0,\ b=9$.

Astfel, densitatea distribuției, conform formulei funcției de densitate a distribuției de probabilitate uniformă, are forma:

Figura 6.

Conform formulei funcției de distribuție uniformă a probabilității, în cazul nostru funcția de distribuție are forma:

Figura 7.

1. Această întrebare poate fi reformulată astfel: găsiți probabilitatea ca o variabilă aleatorie a unei distribuții uniforme să se încadreze în intervalul $\left(6,9\right).$

Primim:

\ \ \

Astfel, funcția de densitate de distribuție uniformă are forma:

Figura 2.

Graficul arată astfel (Fig. 1):

Figura 3. Densitatea uniformă a distribuției probabilităților

Funcția uniformă de distribuție a probabilității

Să găsim acum funcția de distribuție pentru distribuția uniformă.

Pentru a face acest lucru, vom folosi următoarea formulă: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. Pentru $x ≤ a$, conform formulei, obținem:

1. La $a

1. Pentru $x> 2$, conform formulei, obținem:

Astfel, funcția de distribuție arată astfel:

Figura 4.

Graficul arată astfel (Fig. 2):

Figura 5. Funcția uniformă de distribuție a probabilității.

Probabilitatea ca o variabilă aleatoare să se încadreze în intervalul $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ cu o distribuție uniformă de probabilitate

Pentru a afla probabilitatea ca o variabilă aleatorie să se încadreze în intervalul $(\alpha ,\beta)$ cu o distribuție uniformă a probabilității, vom folosi următoarea formulă:

Așteptări matematice:

Abatere standard:

Exemple de rezolvare a problemei distribuției uniforme de probabilitate

Exemplul 1

Intervalul dintre troleibuze este de 9 minute.

Compuneți funcția de distribuție și densitatea de distribuție a variabilei aleatoare $X$ de așteptare a pasagerilor de troleibuz.

Găsiți probabilitatea ca un pasager să aștepte un troleibuz în mai puțin de trei minute.

Găsiți probabilitatea ca un pasager să aștepte un troleibuz în cel puțin 4 minute.

Găsiți valoarea așteptată, varianța și abaterea standard

1. Deoarece variabila aleatoare continuă a așteptării unui troleibuz $X$ este distribuită uniform, atunci $a=0,\ b=9$.

Astfel, densitatea distribuției, conform formulei funcției de densitate a distribuției de probabilitate uniformă, are forma:

Figura 6.

Conform formulei funcției de distribuție uniformă a probabilității, în cazul nostru funcția de distribuție are forma:

Figura 7.

1. Această întrebare poate fi reformulată astfel: găsiți probabilitatea ca o variabilă aleatorie a unei distribuții uniforme să se încadreze în intervalul $\left(6,9\right).$

Primim:

\, dacă pe acest segment densitatea distribuției de probabilitate a variabilei aleatoare este constantă, adică dacă funcția de distribuție diferențială f(x) are următoarea formă:

Această distribuție este uneori numită legea densității uniforme. Despre o cantitate care are o distribuție uniformă pe un anumit segment, vom spune că este distribuită uniform pe acest segment.

Să aflăm valoarea constantei c. Deoarece aria limitată de curba de distribuţie şi de axă Oh, este egal cu 1, atunci

unde Cu=1/(b-o).

Acum funcția f(x)poate fi reprezentat sub formă

Să construim funcția de distribuție F(x ), de ce găsim o expresie pentru F(x) pe intervalul [ a, b]:

Graficele funcțiilor f (x) și F (x) arată astfel:

Să găsim caracteristicile numerice.

Folosind formula de calcul a așteptărilor matematice ale NSV, avem:

Astfel, așteptarea matematică a unei variabile aleatoare distribuită uniform pe intervalul [a, b] coincide cu mijlocul acestui segment.

Să găsim varianța unei variabile aleatoare distribuite uniform:

din care rezultă imediat că abaterea standard:

Să găsim acum probabilitatea ca valoarea unei variabile aleatoare să aibă o distribuție uniformă care se încadrează pe interval(a, b), aparținând în întregime segmentului [o,b ]:

Serviciu online: