Formula sumei derivate. Derivată de funcție

Dacă urmărim definiția, atunci derivata unei funcții într-un punct este limita raportului de creștere a funcției Δ y la incrementul argumentului Δ X:

Totul pare a fi clar. Dar încercați să calculați prin această formulă, să zicem, derivata funcției f(X) = X 2 + (2X+ 3) · e X păcat X. Dacă faci totul prin definiție, atunci după câteva pagini de calcule vei adormi pur și simplu. Prin urmare, există modalități mai simple și mai eficiente.

Pentru început, observăm că așa-numitele funcții elementare pot fi distinse de întreaga varietate de funcții. Acestea sunt expresii relativ simple, ale căror derivate au fost mult timp calculate și introduse în tabel. Astfel de funcții sunt destul de ușor de reținut, împreună cu derivatele lor.

Derivate ale funcţiilor elementare

Funcțiile elementare sunt toate enumerate mai jos. Derivatele acestor funcții trebuie cunoscute pe de rost. Mai mult, nu este greu să le memorezi - de aceea sunt elementare.

Deci, derivatele funcțiilor elementare:

Dacă o funcție elementară este înmulțită cu o constantă arbitrară, atunci derivata noii funcție este de asemenea ușor de calculată:

(C · f)’ = C · f ’.

În general, constantele pot fi scoase din semnul derivatei. De exemplu:

(2X 3)' = 2 ( X 3)' = 2 3 X 2 = 6X 2 .

Evident, funcțiile elementare pot fi adăugate între ele, multiplicate, împărțite și multe altele. Așa vor apărea funcții noi, nu prea elementare, dar și diferențiabile după anumite reguli. Aceste reguli sunt discutate mai jos.

Derivată a sumei și diferenței

Lasă funcțiile f(X) Și g(X), ale căror derivate ne sunt cunoscute. De exemplu, puteți lua funcțiile elementare discutate mai sus. Apoi puteți găsi derivata sumei și diferenței acestor funcții:

1. (f + g)’ = f ’ + g ’
2. (f − g)’ = f ’ − g ’

Deci, derivata sumei (diferența) a două funcții este egală cu suma (diferența) derivatelor. Pot exista mai mulți termeni. De exemplu, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Strict vorbind, nu există un concept de „scădere” în algebră. Există un concept de „element negativ”. Prin urmare, diferența f − g poate fi rescris ca o sumă f+ (−1) g, iar apoi rămâne o singură formulă - derivata sumei.

f(X) = X 2 + sinx; g(X) = X 4 + 2X 2 − 3.

Funcţie f(X) este suma a două funcții elementare, deci:

f ’(X) = (X 2+ păcat X)’ = (X 2)' + (păcat X)’ = 2X+ cosx;

Argumentăm în mod similar pentru funcție g(X). Numai că există deja trei termeni (din punct de vedere al algebrei):

g ’(X) = (X 4 + 2X 2 − 3)’ = (X 4 + 2X 2 + (−3))’ = (X 4)’ + (2X 2)’ + (−3)’ = 4X 3 + 4X + 0 = 4X · ( X 2 + 1).

Răspuns:
f ’(X) = 2X+ cosx;
g ’(X) = 4X · ( X 2 + 1).

Derivatul unui produs

Matematica este o știință logică, așa că mulți oameni cred că, dacă derivata sumei este egală cu suma derivatelor, atunci derivata produsului grevă„\u003e egal cu produsul derivatelor. Dar smochine pentru tine! Derivatul produsului este calculat folosind o formulă complet diferită. Și anume:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formula este simplă, dar adesea uitată. Și nu numai școlari, ci și elevi. Rezultatul este probleme rezolvate incorect.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = X 3 cosx; g(X) = (X 2 + 7X− 7) · e X .

Funcţie f(X) este un produs al două funcții elementare, deci totul este simplu:

f ’(X) = (X 3 cos X)’ = (X 3)' cos X + X 3 (cos X)’ = 3X 2 cos X + X 3 (−sin X) = X 2 (3cos X − X păcat X)

Funcţie g(X) primul multiplicator este ceva mai complicat, dar schema generala asta nu se schimba. Evident, primul multiplicator al funcției g(X) este un polinom, iar derivata sa este derivata sumei. Avem:

g ’(X) = ((X 2 + 7X− 7) · e X)’ = (X 2 + 7X− 7)' · e X + (X 2 + 7X− 7) ( e X)’ = (2X+ 7) · e X + (X 2 + 7X− 7) · e X = e X(2 X + 7 + X 2 + 7X −7) = (X 2 + 9X) · e X = X(X+ 9) · e X .

Răspuns:
f ’(X) = X 2 (3cos X − X păcat X);
g ’(X) = X(X+ 9) · e X .

Vă rugăm să rețineți că pe ultimul pas derivata este factorizată. Formal, acest lucru nu este necesar, dar majoritatea derivatelor nu sunt calculate singure, ci pentru a explora funcția. Aceasta înseamnă că în continuare derivata va fi egalată cu zero, semnele sale vor fi găsite și așa mai departe. Pentru un astfel de caz, este mai bine să aveți o expresie descompusă în factori.

Dacă există două funcții f(X) Și g(X), și g(X) ≠ 0 pe mulțimea care ne interesează, putem defini o nouă funcție h(X) = f(X)/g(X). Pentru o astfel de funcție, puteți găsi și derivata:

Nu slab, nu? De unde a venit minusul? De ce g 2? Și așa! Aceasta este una dintre cele mai complexe formule - nu vă puteți da seama fără o sticlă. Prin urmare, este mai bine să-l studiați cu exemple specifice.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor:

Există funcții elementare în numărătorul și numitorul fiecărei fracții, deci tot ce ne trebuie este formula pentru derivata coeficientului:

Prin tradiție, factorăm numărătorul în factori - acest lucru va simplifica foarte mult răspunsul:

O funcție complexă nu este neapărat o formulă lungă de jumătate de kilometru. De exemplu, este suficient să luăm funcția f(X) = păcat Xși înlocuiți variabila X, să zicem, pe X 2+ln X. Se dovedește f(X) = păcat ( X 2+ln X) - Asta e functie complexa. Ea are și un derivat, dar nu va funcționa să-l găsești conform regulilor discutate mai sus.

Cum să fii? În astfel de cazuri, înlocuirea unei variabile și formula pentru derivata unei funcții complexe ajută:

f ’(X) = f ’(t) · t', Dacă X este înlocuit cu t(X).

De regulă, situația cu înțelegerea acestei formule este și mai tristă decât cu derivata coeficientului. Prin urmare, este, de asemenea, mai bine să o explicați cu exemple specifice, cu descriere detaliata fiecare pas.

Sarcină. Găsiți derivate ale funcțiilor: f(X) = e 2X + 3 ; g(X) = păcat ( X 2+ln X)

Rețineți că dacă în funcție f(X) în loc de expresia 2 X+ 3 va fi ușor X, atunci obținem o funcție elementară f(X) = e X. Prin urmare, facem o substituție: fie 2 X + 3 = t, f(X) = f(t) = e t. Căutăm derivata unei funcții complexe prin formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

Și acum - atenție! Efectuarea unei înlocuiri inverse: t = 2X+ 3. Obținem:

f ’(X) = e t · t ’ = e 2X+ 3 (2 X + 3)’ = e 2X+ 3 2 = 2 e 2X + 3

Acum să ne uităm la funcția g(X). Evident că trebuie înlocuit. X 2+ln X = t. Avem:

g ’(X) = g ’(t) · t' = (păcat t)’ · t' = cos t · t ’

Înlocuire inversă: t = X 2+ln X. Apoi:

g ’(X) = cos( X 2+ln X) · ( X 2+ln X)' = cos ( X 2+ln X) · (2 X + 1/X).

Asta e tot! După cum se poate observa din ultima expresie, întreaga problemă a fost redusă la calcularea derivatei sumei.

Răspuns:
f ’(X) = 2 e 2X + 3 ;
g ’(X) = (2X + 1/X) cos( X 2+ln X).

Foarte des în lecțiile mele, în loc de termenul „derivat”, folosesc cuvântul „accident vascular cerebral”. De exemplu, un accident vascular cerebral din suma este egală cu suma lovituri. Este mai clar? Asta e bine.

Astfel, calculul derivatei se rezumă la a scăpa chiar de aceste lovituri conform regulilor discutate mai sus. Ca exemplu final, să revenim la puterea derivată cu un exponent rațional:

(X n)’ = n · X n − 1

Puțini știu asta în rol n poate fi un număr fracționar. De exemplu, rădăcina este X 0,5 . Dar dacă există ceva complicat sub rădăcină? Din nou, se va dovedi o funcție complexă - le place să dea astfel de construcții munca de control si examene.

Sarcină. Aflați derivata unei funcții:

Mai întâi, să rescriem rădăcina ca o putere cu un exponent rațional:

f(X) = (X 2 + 8X − 7) 0,5 .

Acum facem o înlocuire: let X 2 + 8X − 7 = t. Găsim derivata prin formula:

f ’(X) = f ’(t) · t ’ = (t 0,5)' t' = 0,5 t−0,5 t ’.

Facem o înlocuire inversă: t = X 2 + 8X− 7. Avem:

f ’(X) = 0,5 ( X 2 + 8X− 7) −0,5 ( X 2 + 8X− 7)’ = 0,5 (2 X+ 8) ( X 2 + 8X − 7) −0,5 .

În sfârșit, înapoi la rădăcini:

datorită căruia egalitatea (3.10) joacă un rol important atât în ​​studiile teoretice, cât şi în calculele aproximative.

Operațiile de găsire a derivatei și diferențialei unei funcții se numesc diferenţiere această funcție. Denumirea comună ambele operaţii se explică prin dependenţa lor evidentă. În virtutea formulei (3.8), diferența unei funcții se obține prin simpla înmulțire a produsului ei

erori relative care apar atunci când incrementul unei funcții este înlocuit cu diferenţialul acesteia.

Să găsim incrementul și diferența funcției

y = 3(x+ x) 2 + (x+ x) − 3 x2 − x= 6 x x+ 3(x) 2 + x= (6 x+ 1) x+ (x) 2 .

Atunci dy = (6 x + 1) x . Calculați y și dy în punctul x = 1 dacă x = 0 , 1 y = 7 0 , 1 + 3 0 , 01 = 0 , 73 ; dy = 7 0 , 1 = 0 , 7 .

Eroarea absolută este y − dy = 0,73 − 0,7 = 0,03 și eroarea relativă

y = 0 0... 03 73 ≈ 0,04.

3.5. Derivată a funcțiilor sumă, produs și coeficient

Să ne amintim regulile de diferențiere cunoscute din cursul gimnazial, care permit în unele cazuri să se găsească derivate ale funcțiilor fără a recurge direct la definiție.

Teorema 3.3. Dacă funcțiile u = u (x) și v = v (x)

diferentiabil

Înmulțind aceste egalități termen cu termen cu dx , obținem aceleași reguli scrise în termeni de diferențe

Dovada. Deoarece demonstrația este realizată într-un mod complet uniform pentru toate părțile teoremei, vom demonstra una dintre ele, de exemplu, a doua.

Se notează y = uv . Să incrementăm x și să fie

este diferențiabilă și, prin urmare, continuă (Teorema 3.2), deci

corpul poate fi scos din semnele derivatei și diferențialei.

Pentru cazul a trei factori, aplicând succesiv formula

(3.12), găsim

(uvw) ′ = ((uv) w) ′ = (uv) ′ w+ (uv) w′+ (u′ v+ uv′ ) w+ uvw′ = = u ′ vw + uv ′ w + uvw ′.

O regulă similară este valabilă atunci când se diferențiază produsul oricărui număr de factori.

În următoarele subsecțiuni se vor obține derivate ale funcțiilor elementare de bază.

3.6. Derivate ale funcţiilor trigonometrice

Găsiți derivate ale funcții trigonometrice, și anume

Să-l luăm pe primul. Creșterea funcției y \u003d sin x în punctul x, cu-

A doua formulă este dovedită în mod similar. A treia și a patra formulă se obțin dacă tangenta și cotangenta sunt exprimate în termeni de sinus și cosinus și se utilizează formula (3.13).

3.7. Diferențierea funcțiilor logaritmice

Să demonstrăm primul dintre ele. Creșterea funcției y = log a x în punctul x ,

(am folosit aici logul de identitate a A = log a e ln A ).

3.8. Diferențierea unei funcții complexe.

Derivate ale puterii și funcții exponențiale

Fie funcția complexă y a argumentului x dată de formulele y = f (u) ,

u = ϕ (x ) (a se vedea paragraful 1.4.3)

Teorema 3.4 (despre derivata unei funcții complexe). Dacă funcţiile

increment y a funcției y = f (u ) . Deoarece funcția y \u003d f (u) este diferențiabilă în punctul considerat u prin ipoteza teoremei, atunci incrementul său în acest punct poate fi reprezentat ca (vezi Definiția 3.4)

x → 0 , ajungem la (3.18).

Înmulțind egalitatea (3.18) termen cu termen cu dx , obținem o expresie pentru diferența unei funcții complexe

dy = f′ (u)du.

Cometariu. Diferența funcției y \u003d f (u) ar avea exact aceeași formă dacă argumentul u nu ar fi o funcție, ci o variabilă independentă. Acesta este așa-numitul proprietatea de invarianță(independenţa) formei diferenţialului faţă de argument. Trebuie avut în vedere că, dacă u este o variabilă independentă, atunci du \u003d u este incrementul său arbitrar, dacă u este un argument intermediar (adică o funcție), atunci du este diferența acestei funcții, adică, o valoare care nu coincide cu incrementul ei u.

Cu ajutorul ultimei teoreme, se obține ușor formule diferențiale

partea stângă a ultimei egalități este o funcție complexă a lui x . Diferențiând ambele părți ale ultimei egalități în raport cu x (partea stângă ca funcție complexă), obținem

1 y y ′ =a 1 x ,

y ′ =ay x =ax x a =ax a − 1 .

Este ușor de arătat că acest rezultat este valabil și pentru x< 0 , если только при

acest x α are sens. Anterior, s-a obținut un rezultat pentru cazul α = n . În mod similar se obține a doua formulă, din care urmează ultima formulă în cazul particular pentru a = e.

Cometariu. Metoda logaritmului preliminar, care a fost folosită la obținerea formulei de diferențiere a unei funcții de putere, are o semnificație independentă și se numește împreună cu constatarea ulterioară a derivatei logaritmului funcției.

lnx ) "= cosx lnx + sin x x .

Prin urmare,

y ′ \u003d x sin x (cos x lnx + sin x x)

Cometariu. Regula de diferențiere a unei funcții complexe poate fi aplicată și pentru a găsi derivata unei funcții dată implicit.

Într-adevăr, dacă relația dintre x și y este dată sub forma F (x, y) = 0 și această ecuație este rezolvabilă în raport cu y , atunci derivata y ′ poate fi găsită din ecuație

3.9. Diferențierea funcției inverse.

Diferențierea funcțiilor trigonometrice inverse

Fie două funcții reciproc inverse y \u003d f (x) și x \u003d ϕ (y)

(a se vedea clauza 1.4.8).

Teorema 3.5 (despre derivata funcției inverse). Dacă funcţiile

Operația de găsire a unei derivate se numește diferențiere.

Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor pentru cele mai simple (și nu foarte simple) funcții, prin definirea derivatei ca limită a raportului incrementului la incrementul argumentului, a apărut un tabel de derivate și exact anumite reguli diferenţiere. Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) au fost primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor.

Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu este necesar să se calculeze limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să se utilizeze tabelul a derivatelor şi regulile de diferenţiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.

Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul stroke descompune funcții simpleși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. În plus, găsim derivatele funcțiilor elementare în tabelul de derivate, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient - în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.

Exemplul 1 Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata sumei funcțiilor este suma derivatelor funcțiilor, adică.

Din tabelul derivatelor, aflăm că derivata lui „X” este egală cu unu, iar derivata sinusului este cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:

Exemplul 2 Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Diferențiați ca derivată a sumei, în care al doilea termen cu un factor constant, poate fi scos din semnul derivatei:

Dacă există încă întrebări despre unde vine ceva, acestea, de regulă, devin clare după citirea tabelului de derivate și a celor mai simple reguli de diferențiere. Mergem la ei chiar acum.

Tabel de derivate ale funcțiilor simple

1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Mereu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des
2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „x”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut
3. Derivat de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile non-pătrate într-o putere.
4. Derivată a unei variabile la puterea lui -1
5. Derivată a rădăcinii pătrate
6. Derivat sinus
7. Derivat de cosinus
8. Derivată tangentă
9. Derivat de cotangente
10. Derivată a arcsinusului
11. Derivată a arccosinusului
12. Derivată de arc tangente
13. Derivată a tangentei inverse
14. Derivată a logaritmului natural
15. Derivata unei functii logaritmice
16. Derivată a exponentului
17. Derivata functiei exponentiale

Reguli de diferențiere

1. Derivată a sumei sau a diferenței
2. Derivat al unui produs
2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant
3. Derivată a coeficientului
4. Derivata unei functii complexe

Regula 1Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, apoi în același punct funcțiile

și

acestea. derivata sumei algebrice a funcţiilor este suma algebrică derivate ale acestor funcţii.

Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-o constantă, atunci derivatele lor sunt, adică

Regula 2Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este, de asemenea, diferențiabil în același punct

și

acestea. derivata produsului a două funcții este egală cu suma produselor fiecăreia dintre aceste funcții și derivata celeilalte.

Consecința 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:

Consecința 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecaruia dintre factori si a tuturor celorlalti.

De exemplu, pentru trei multiplicatori:

Regula 3Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat Și , atunci în acest moment câtul lor este de asemenea diferențiabil.u/v și

acestea. derivata unui cât de două funcții este egală cu o fracție al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul numărătorului anterior .

Unde să te uiți pe alte pagini

La găsirea derivatei produsului și a coeficientului în probleme reale, este întotdeauna necesar să se aplice mai multe reguli de diferențiere simultan, prin urmare mai multe exemple asupra acestor derivate – în articol„Derivata unui produs și a unui coeficient”.

Cometariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen din sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Acest greseala tipica, care are loc pe stadiul inițialînvățarea derivatelor, dar pe măsură ce rezolvă mai multe exemple cu o două componente, elevul obișnuit nu mai face această greșeală.

Și dacă, la diferențierea unui produs sau a unui coeficient, ai un termen u"v, in care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (un astfel de caz este analizat în exemplul 10) .

Alte greseala comuna- rezolvarea mecanică a derivatei unei funcţii complexe ca derivată a unei funcţii simple. De aceea derivata unei functii complexe dedicat unui articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.

Pe parcurs, nu te poți lipsi de transformări ale expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți în noi manuale Windows Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Acțiuni cu fracții .

Dacă cauți soluții la derivate cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca , apoi urmează lecția „Derivată a sumei fracțiilor cu puteri și rădăcini”.

Dacă aveți o sarcină ca , atunci te afli la lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.

Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul

Exemplul 3 Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Determinăm părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă produsul, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii si derivata celeilalte:

În continuare, aplicăm regula de diferențiere a sumei: derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă, al doilea termen cu semnul minus. În fiecare sumă, vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „x” se transformă în unu, iar minus 5 - în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori ale derivatelor:

Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:

Exemplul 4 Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicam formula de diferentiere a unui cat: derivata unui cat de doua functii este egala cu o fractiune al carei numarator este diferenta dintre produsele numitorului si derivata numaratorului si numaratorului si derivata numitorului, si numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:

Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:

Dacă căutați soluții la astfel de probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și grade, cum ar fi, de exemplu, atunci bun venit la curs „Derivata sumei fracțiilor cu puteri și rădăcini” .

Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , atunci ai o lecție „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .

Exemplul 5 Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție, vedem produsul, unul dintre factorii căruia este Rădăcină pătrată dintr-o variabilă independentă, cu derivata căreia ne-am familiarizat în tabelul derivatelor. Conform regulii de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Exemplul 6 Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție, vedem coeficientul, al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. După regula de diferențiere a coeficientului, pe care am repetat-o ​​și aplicat-o în exemplul 4, și valoarea tabelară a derivatei rădăcinii pătrate, obținem.

Întrebări pentru examenul la disciplina academică „Elemente de matematică superioară”

pentru specialitatea 230115 „Programare în sisteme informatice”

anul universitar 2012\2013.

Matrici și acțiuni asupra lor.

(DESPRE. O matrice nulă este o matrice cu toate elementele egale cu 0.

DESPRE. Se numesc două matrice de aceeași dimensiune mxn egal dacă la intersecţie i-a linie iar j-a coloană dintr-una și cealaltă matrice conține același număr; i=1, 2, ..., m; j=1, 2, ..., n.

Lăsa A= (a ij) este o matrice și g este un număr arbitrar, apoi g A= (g a ij), adică la înmulțirea matricei A cu numărul g, toate numerele care alcătuiesc matricea A se înmulțesc cu numărul g.

Fie A și B matrice de aceeași dimensiune A = (a ij), B = (b ij), atunci suma lor A + B este o matrice C = (c ij) de aceeași dimensiune, determinată din formula c ij = a ij + b ij , adică la adunarea a două matrici se adună în perechi numerele situate egal în ele.

Matricea A poate fi înmulțită cu matricea B, adică matricea C = AB poate fi găsită dacă numărul de coloane n din matricea A este egal cu numărul de rânduri al matricei B, în timp ce matricea C va avea atâtea rânduri câte sunt. rânduri în matricea A și atâtea coloane câte coloane există în matricea B. Fiecare element al matricei C este definit printr-o formulă.

Elementul c ij al produsului-matrice C este egal cu suma produselor elementelor rândului i al primului factor-matrice cu elementele corespunzătoare ale coloanei j-a a celui de-al doilea factor-matrice.

Conceptul de determinant și proprietățile acestuia.

Acest termen are și alte semnificații. Determinant (dezambiguizare) .

Determinant(sau determinant) este unul dintre conceptele de bază algebră liniară. Determinant matrici este polinom din elementele unei matrice pătrate (adică una în care numărul de rânduri și coloane este egal). În general matrice poate fi definit peste orice comutativ inel, caz în care determinantul va fi un element al aceluiași inel.

PROPRIETATE 1. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă toate rândurile sale sunt înlocuite cu coloane, iar fiecare rând este înlocuit cu o coloană cu același număr, adică

PROPRIETATE 2. Permutarea a două coloane sau două rânduri ale unui determinant echivalează cu înmulțirea acestuia cu -1.

PROPRIETATE 3. Dacă un determinant are două coloane identice sau două rânduri identice, atunci acesta zero.

PROPRIETATE 4. Înmulțirea tuturor elementelor unei coloane sau ale unui rând al unui determinant cu orice număr k este echivalentă cu înmulțirea determinantului cu acest număr k.

PROPRIETATE 5. Dacă toate elementele unei coloane sau ale unui rând sunt egale cu zero, atunci determinantul în sine este egal cu zero. Această proprietate este un caz special al celei anterioare (pentru k=0).

PROPRIETATE 6. Dacă elementele corespunzătoare din două coloane sau două rânduri ale unui determinant sunt proporționale, atunci determinantul este egal cu zero.

PROPRIETATE 7. Dacă fiecare element al coloanei a n-a sau al n-lea rând al determinantului este suma a doi termeni, atunci determinantul poate fi reprezentat ca suma a doi determinanți, dintre care unul în a n-a coloană sau, respectiv, în a n-a rândul are primul dintre termenii menționați, iar celălalt - al doilea; elementele din locurile rămase sunt aceleași pentru reperele celor trei determinanți.

PROPRIETATE 8. Dacă adăugăm elementelor unei coloane (sau ale unui rând) elementele corespunzătoare unei alte coloane (sau altui rând), înmulțite cu orice factor comun, atunci valoarea determinantului nu se va modifica. De exemplu. Alte proprietăți ale determinanților sunt legate de conceptul de complement algebric și minor. Minorul unui element este determinantul obținut din cel dat prin ștergerea rândului și coloanei la intersecția cărora se află acest element.

Complementul algebric al oricărui element al determinantului este egal cu minorul acestui element, luat cu semnul său, dacă suma numerelor de rând și coloane la intersecția cărora se află elementul este un număr par, iar cu semnul opus dacă acest număr este impar.

Vom nota complementul algebric al unui element printr-o literă majusculă cu același nume și același număr cu litera care denotă elementul în sine.

PROPRIETATE 9. Determinantul este egal cu suma produselor elementelor oricărei coloane (sau rând) și a complementelor lor algebrice. Cu alte cuvinte, sunt valabile următoarele egalități:

Calculul determinanților.

Calculul determinanților se bazează pe proprietățile lor cunoscute, care se aplică determinanților de toate ordinele. Aceste proprietăți sunt:

1. Dacă rearanjați două rânduri (sau două coloane) ale determinantului, atunci determinantul își va schimba semnul.

2. Dacă elementele corespunzătoare din două coloane (sau două rânduri) ale determinantului sunt egale sau proporționale, atunci determinantul este egal cu zero.

3. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă rândurile și coloanele sunt schimbate, păstrând ordinea acestora.

4. Dacă toate elementele oricărui rând (sau coloană) au un factor comun, atunci acesta poate fi scos din semnul determinant.

5. Valoarea determinantului nu se va modifica dacă elementele corespunzătoare dintr-un alt rând (sau coloană) sunt adăugate elementelor unui rând (sau coloană), înmulțite cu același număr. Pentru determinanții de ordinul trei, această proprietate poate fi scrisă, de exemplu, după cum urmează:

6. Determinantul de ordinul doi se calculează prin formula

7. Determinantul de ordinul trei se calculează prin formula

Există o schemă convenabilă pentru calcularea determinantului de ordinul trei (vezi Fig. 1 și Fig. 2).

Conform schemei prezentate în fig. 1, produsele elementelor conectate sunt luate cu semnul propriu, iar conform schemei din Fig. 2 - cu opusul. Valoarea determinantului este egală cu suma algebrică a celor șase produse obținute.

Sisteme de ecuații liniare. Concepte de bază și definiții.

SistemDomnul ecuații algebrice liniare Cun necunoscut(sau, sistem liniar, folosit de asemenea abreviere SLAU) V algebră liniară este un sistem de ecuații de forma

Un sistem de ecuații liniare în trei variabile definește o mulțime avioane. Punctul de intersecție este soluția.

Aici este numărul de ecuații și este numărul de necunoscute. X 1 , X 2 , …, X n sunt necunoscute de stabilit. A 11 , A 12 , …, A mn- coeficienții sistemului - și b 1 , b 2 , … b m- membri liberi - presupus a fi cunoscuți . Indici de coeficienți ( A ij) sistemele denotă numerele ecuației ( i) și necunoscut ( j), la care se situează, respectiv, acest coeficient .

Sistemul (1) este numit omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), în caz contrar - eterogen.

Sistemul (1) este numit pătrat dacă numărul m ecuații este egală cu numărul n necunoscut.

Soluţie sisteme (1) - set n numere c 1 , c 2 , …, c n, astfel încât înlocuirea fiecăruia c iîn loc de X iîn sistemul (1) transformă toate ecuațiile sale în identități.

Sistemul (1) este numit comun dacă are cel puțin o soluție și incompatibil daca nu are solutie.

Un sistem de îmbinare de forma (1) poate avea una sau mai multe soluții.

Soluții c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) și c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) se numesc sisteme de îmbinare de forma (1). variat dacă cel puțin una dintre egalități este încălcată:

Un sistem comun de forma (1) se numește anumit dacă are o soluție unică; dacă are cel puțin două soluții diferite, atunci se numește incert. Dacă există mai multe ecuații decât necunoscute, se numește redefinit .

Metode de rezolvare a sistemelor de ecuații liniare (metoda Cramer și Gauss).

metoda Gauss - metoda clasica de rezolvare sisteme de ecuații algebrice liniare(SLAU). Aceasta este o metodă de eliminare secvenţială variabile, când, cu ajutorul transformărilor elementare, sistemul de ecuații se reduce la un sistem triunghiular echivalent, din care toate celelalte variabile se regăsesc secvenţial, începând de la ultimele (după număr) variabile. .

Metoda lui Cramer (regula lui Cramer)- o modalitate de a rezolva pătratul sisteme de ecuații algebrice liniare cu non-zero determinant matricea principală(mai mult, pentru astfel de ecuații soluția există și este unică). numit după Gabriel Kramer(1704–1752), care a inventat metoda.

Vectori. Operații liniare asupra lor.

Un segment direcționat se numește vector. Dacă începutul vectorului este în punctul A și sfârșitul este în punctul B, atunci vectorul este notat AB. Dacă începutul și sfârșitul vectorului nu sunt indicate, atunci acesta este notat cu o literă mică alfabet latin a, b, c,…. BA reprezintă un vector direcționat opus vectorului AB. Un vector al cărui început și sfârșit coincid se numește vector nul și este notat cu ō. Direcția sa este incertă.

Lungimea sau modulul unui vector este distanța dintre începutul și sfârșitul acestuia. Înregistrări |AB| și |a| notează modulele vectorilor AB și a.

Vectorii sunt numiți coliniari dacă sunt paraleli cu aceeași dreaptă și coplanari dacă sunt paraleli cu același plan.

Se spune că doi vectori sunt egali dacă sunt coliniari, au aceeași direcție și au lungime egală.

Operațiile liniare pe vectori includ:

1) înmulțirea unui vector cu un număr (Produsul unui vector a și unui număr α este un vector notat cu α∙a. (sau invers a∙α), al cărui modul este |α a| =|α ||a|, iar direcția coincide cu direcția vectorului a dacă α>0 și invers dacă α< 0.

2) adunarea vectorilor (Suma vectorilor este un vector, notat cu , al cărui început este la începutul primului vector a 1, iar sfârșitul este la sfârșitul ultimului vector a n , o polilinie compusă dintr-o succesiune de vectori sumand. Această regulă de adunare se numește regula de închidere a poliliniei. În cazul sumei a doi vectori, este echivalentă cu regula paralelogramului)

O linie dreaptă e cu o direcție dată pe ea, luată ca pozitivă, se numește axa e.

O combinație liniară de vectori a i este un vector a definit de formula , unde sunt unele numere.

Dacă pentru un sistem de n vectori a i egalitatea

este adevărat numai dacă acest sistem este numit liniar independent. Dacă egalitatea (1) este valabilă pentru , dintre care cel puțin unul este diferit de zero, atunci sistemul de vectori ai se numește dependent liniar. De exemplu, orice vector coliniar, trei vectori coplanari, patru sau mai mulți vectori în spațiul tridimensional sunt întotdeauna dependenți liniar.

Trei vectori ordonați liniar independenți ē 1 , ē 2 , ē 3 în spațiu se numesc bază. Un triplu ordonat de vectori necoplanari formează întotdeauna o bază. Orice vector a din spațiu poate fi extins în termenii bazei ē 1 , ē 2 , ē 3 , adică reprezintă a ca o combinație liniară de vectori de bază: a= xē 1 + yē 2 + zē 3 , unde x, y, z sunt vectorul de coordonate a din baza ē 1 , ē 2 , ē 3 . O bază se numește ortonormală dacă vectorii săi sunt reciproc perpendiculari și au lungimea unitară. O astfel de bază este notă cu i, j, k, adică i=(1, 0, 0), j=(0, 1, 0), k=(0, 0, 1).

Exemplul 5. Vectorii sunt dați în baza ortonormală i, j, k cu coordonatele: a=(2;-1;8), e 1 = (1,2,3), e 2 = (1,-1,- 2), e 3 \u003d (1, -6,0). Asigurați-vă că triplul e 1, e 2, e 3 formează o bază și găsiți coordonatele vectorului în această bază.

Soluţie. Dacă determinantul , compus din coordonatele vectorilor e 1, e 2, e 3, nu este egal cu 0, atunci vectorii e 1, e 2, e 3 sunt liniar independenți și, prin urmare, formează o bază. Ne asigurăm că \u003d -18-4 + 3-12 \u003d -31 Astfel, triplul e 1, e 2, e 3 este baza.

Să notăm coordonatele vectorului a în baza e 1 , e 2 , e 3 prin x,y,z. Apoi a \u003d (x, y, z) \u003d xe 1 + ye 2 + ze 3. Deoarece conform condiției a \u003d 2i - j + 8k, e 1 \u003d i + 2j + 3k, e 2 \u003d i - j -2k, e 3 \u003d i - 6j, atunci de la egalitate a \u003d xe1 + ye 2 + ze 3 urmează 2i – j +8k = xi + 2xj + 3xk + yi – yj -2yk +zi -6zj = (x+y+z)i +(2x-y-6z)j +(3x- 2y)k.. După cum puteți vedea, vectorul din partea stângă a egalității rezultate este egal cu vectorul din partea dreaptă și acest lucru este posibil numai dacă coordonatele corespunzătoare sunt egale. De aici obținem un sistem pentru găsirea necunoscutelor x, y, z:

Soluția sa: x = 2, y = -1, z = 1. Deci, a = 2e 1 - e 2 + e 3 = (2,-1,1).

Descompunerea vectorilor. Produsul scalar al vectorilor.

Produs scalar Uneori produs intern- operatie pe doua vectori, al cărui rezultat este numărul ( scalar), care nu depinde de sistemul de coordonate și caracterizează lungimile vectorilor multiplicatori și unghiul dintre ei. Această operație corespunde înmulțirii lungime vector x activ proiecție de la vectorul y la vectorul x. Această operație este de obicei considerată ca comutativȘi liniar pentru fiecare factor.

Se folosește de obicei una dintre următoarele notații:

sau ( desemnare Dirac, adesea folosit în mecanica cuantică pentru vectorii de stat):

De obicei, se presupune că produsul punctual este definit pozitiv, adică

Pentru toți .

Dacă acest lucru nu este presupus, atunci lucrarea este numită nedefinită.

Produs punctual V spațiu vectorial de mai sus camp integrat(sau material) numere este o funcție pentru elemente care ia valori în (sau ), este definită pentru fiecare pereche de elemente și îndeplinește următoarele condiții:

Rețineți că din punctul 2 al definiției rezultă că . Prin urmare, punctul 3 are sens, în ciuda valorilor complexe (în cazul general). produs punctual.

Produs vectorial al vectorilor.

produs vectorial- Acest pseudovector, perpendicular plan construit de doi factori, care este rezultatul operație binară„înmulțirea vectorială” peste vectoriîn 3D Spațiul euclidian. Produsul nu este nici unul comutativ, nici asociativ(este anticomutativ) și diferă de produs scalar al vectorilor. În multe probleme de inginerie și fizică, este necesar să se poată construi un vector perpendicular pe două existente - produsul vectorial oferă această oportunitate. Produsul încrucișat este util pentru „măsurarea” perpendicularității vectorilor - lungimea produsului încrucișat a doi vectori este egală cu produsul lungimii lor dacă sunt perpendiculari și scade la zero dacă vectorii sunt paraleli sau antiparaleli.

Puteți defini un produs vectorial în moduri diferite și, teoretic, într-un spațiu de orice dimensiune n produsul poate fi calculat n-1 vectori, obținându-se astfel un singur vector perpendicular pe toți. Dar dacă produsul este limitat la produse binare non-triviale cu rezultate vectoriale, atunci produsul vectorial tradițional este definit doar în tridimensional și șapte-dimensionale spatii. Rezultatul unui produs vectorial, ca un produs scalar, depinde de metrici Spațiul euclidian.

Spre deosebire de formula de calcul al coordonatelor vectorilor produs punctualîn 3D sistem de coordonate dreptunghiular, formula pentru produsul încrucișat depinde de orientare sistemul de coordonate dreptunghiular sau, cu alte cuvinte, „ chiralitate».

Produs mixt al vectorilor

Produs mixt vectori - produs scalar vector pe produs vectorial vectoriȘi :

Uneori se numește produs scalar triplu vectori, aparent datorită faptului că rezultatul este scalar(mai precis - pseudoscalar).

Sensul geometric: Modulul produsului amestecat este numeric egal cu volumul paralelipiped educat vectori .

produs mixt oblic-simetric cu privire la toate argumentele sale:

adică, o permutare a oricăror doi factori schimbă semnul produsului. De aici rezultă că

În special,

Produsul amestecat este convenabil scris ca simbol (tensor) Levi-Civita:

(în ultima formulă într-o bază ortonormală, toți indicii pot fi scriși ca fiind inferioare; în acest caz, această formulă repetă formula cu un determinant destul de direct, totuși, aceasta rezultă automat într-un factor (-1) pentru bazele din stânga) .

Sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare pe plan.

Să luăm două drepte reciproc perpendiculare pe plan - două axe de coordonate Ox și Oy cu direcții pozitive indicate pe ele (Fig. 1). Liniile Ox și Oy se numesc axe de coordonate, punctul lor de intersecție O este originea coordonatelor.

Axele de coordonate Ox, Oy cu unitatea de scară selectată se numesc sistemul de coordonate cartezian dreptunghiular (sau dreptunghiular) pe plan.

Atribuim două numere unui punct arbitrar M al planului: abscisa x, egală cu distanța de la punctul M la axa Oy, luată cu semnul „+” dacă M se află în dreapta lui Oy și cu „ -” semn dacă M se află în stânga lui Oy; ordonata y egală cu distanța de la punctul M la axa Ox, luată cu semnul „+” dacă M se află deasupra lui Ox și cu semnul „-” dacă M se află sub Ox. Abscisa x și ordonata y se numesc coordonatele dreptunghiulare carteziene ale punctului M(x; y).

Originea coordonatelor are coordonate (0;0). Axele de coordonate împart planul în patru părți numite sferturi sau cadrane (uneori numite și unghiuri de coordonate). Partea de plan cuprinsă între semiaxele pozitive Ox și Oy se numește primul cadran. În plus, numerotarea cadranelor merge în sens invers acelor de ceasornic (Fig. 2). Pentru toate punctele din cadranul I x>0, y>0; pentru punctele I I cadranul x<0, у>0, în cadranul I I I x<0, у<0 и в IV квадранте х>0, y<0.

Coordonate polare.

Sistemul de coordonate polare- un sistem de coordonate bidimensional în care fiecare punct din plan este determinat de două numere - un unghi polar și o rază polară. Sistemul de coordonate polare este util în special atunci când relațiile dintre puncte sunt mai ușor de reprezentat ca raze și unghiuri; în cele mai comune carteziană sau sistem de coordonate dreptunghiulare, astfel de relații pot fi stabilite doar prin aplicare trigonometric ecuații.

Sistemul de coordonate polare este dat de o rază, care se numește axa zero sau polară. Punctul din care iese această rază se numește origine sau pol. Orice punct din plan este definit de două coordonate polare: radială și unghiulară. Coordonata radială (notată de obicei ) corespunde distanței de la punct la origine. Coordonată unghiulară, numită și unghi polar sau azimutși notat cu , este egal cu unghiul cu care trebuie să rotiți axa polară în sens invers acelor de ceasornic pentru a ajunge în acest punct.

Coordonata radială astfel definită poate lua valori de la zero inainte de infinit, iar coordonatele unghiulare variază de la 0° la 360°. Cu toate acestea, pentru comoditate, intervalul de valori ale coordonatei polare poate fi extins dincolo de limită

Ecuația unei drepte pe un plan

Ah + Wu + C = 0,

iar constantele A, B nu sunt egale cu zero în același timp. Această ecuație de ordinul întâi se numește ecuația generală a unei drepte.În funcție de valorile constantelor A, B și C, sunt posibile următoarele cazuri speciale:

C \u003d 0, A ≠ 0, B ≠ 0 - linia trece prin origine

A \u003d 0, B ≠ 0, C ≠ 0 (Prin + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Ox

B \u003d 0, A ≠ 0, C ≠ 0 ( Ax + C \u003d 0) - linia este paralelă cu axa Oy

B \u003d C \u003d 0, A ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Oy

A \u003d C \u003d 0, B ≠ 0 - linia dreaptă coincide cu axa Ox

Ecuația unei linii drepte poate fi prezentată în diferite forme în funcție de orice condiții inițiale date.

Principalele sarcini de utilizare a ecuației unei linii drepte

Nu pot răspunde

Curbe de ordinul doi

Curba de ordinul doi- locusul punctelor ale căror coordonate dreptunghiulare carteziene satisfac o ecuație de formă

în care cel puţin unul dintre coeficienţi este diferit de zero.

Limită și funcții ale secvenței de numere

Limita succesiunii numerice. Să considerăm o succesiune numerică al cărei termen comun se apropie de un anumit număr A prin creșterea numărului de serie n. În acest caz, se spune că șirul de numere are limită. Acest concept are o definiție mai riguroasă.

Această definiție înseamnă că A Există limită succesiune de numere dacă termenul său comun se apropie la infinit A cu creşterea n. Geometric, aceasta înseamnă că pentru orice > 0 se poate găsi un astfel de număr N, care incepand de la n > N toate termenii secvenței sunt localizați în interiorul intervalului ( A A). Se numește o secvență care are o limită convergente; in caz contrar - divergente.

Secvența este numită limitat dacă există un astfel de număr M ce | u n | M  pentru toți n . Se numește o secvență ascendentă sau descendentă monoton.

Teoreme limită de bază și aplicațiile acestora

Teorema 1 . (la trecerea la limita în egalitate) Dacă două funcții iau aceleași valori într-o vecinătate a unui punct, atunci limitele lor în acest punct coincid.

Teorema 2. (la trecerea la limita inegalitatii) Dacă funcţia valorează f(X) într-o vecinătate de un punct nu depășesc valorile corespunzătoare ale funcției g(X) , apoi limita funcției f(X) în acest moment nu depășește limita funcției g(X) .

Teorema 3 . Limita unei constante este egală cu constanta însăși.

Dovada. f(X)=s, vom demonstra că .

Luați un >0 arbitrar. Ca  poți lua orice

număr pozitiv. Apoi la

Teorema 4. Funcţie nu poate avea două limite diferite în

un punct.

Dovada. Să presupunem contrariul. Lăsa

Și .

De teoremă privind legătura dintre limită și o funcție infinitezimală:

f(X)- A= - h.m. la ,

f(X)- B= - h.m. la .

Scăzând aceste egalități, obținem:

B-A= - .

Trecând la limitele în ambele părți ale egalității pentru , avem:

B-A=0, adică B=A. Obținem o contradicție care demonstrează teorema.

Teorema 5. Dacă fiecare termen al sumei algebrice de funcții are o limită la , atunci suma algebrică are o limită la , iar limita sumei algebrice este egală cu suma algebrică a limitelor.

.

Dovada. Lăsa , , .

Apoi prin teorema asupra conexiunii limitei și b.m. funcții:

Unde - h.m. la .

Adunăm algebric aceste egalități:

f(X)+ g(X)- h(X)-(A+B-C)= ,

Unde b.m. la .

Conform teoremei privind legătura dintre limită și b.m. Caracteristici:

A+B-C= .

Teorema 6. Dacă fiecare dintre factorii produsului unui număr finit de funcții are o limită la , atunci produsul are și o limită la , iar limita produsului este egală cu produsul limitelor.

.

Consecinţă. Factorul constant poate fi scos din semnul limită.

.

Teorema 7. Dacă funcţiile f(X) Și g(X) au o limită la ,

și , atunci și câtul lor are o limită la , iar limita coeficientului este egală cu câtul limitelor.

, .

Continuitatea funcției

Pe fig. 15 și este prezentat graficul funcției . Este firesc să-l numim un grafic continuu, deoarece poate fi desenat cu o singură mișcare a creionului fără a lăsa hârtia. Să setăm un punct (număr) arbitrar. Un alt punct apropiat de acesta poate fi scris ca , unde există un număr pozitiv sau negativ, numit increment . Diferență

se numeste increment al functiei in punctul corespunzator incrementului . Ceea ce se înțelege aici este că . Pe fig. 15, precum și lungimea segmentului.

Vom tinde spre zero; atunci pentru funcția luată în considerare, evident, și va tinde spre zero:

. (1)

Luați în considerare acum graficul din Figura 15, b. Este format din două piese continue și . Cu toate acestea, aceste piese nu sunt conectate continuu și, prin urmare, este firesc să numim graficul discontinuu. Pentru ca graficul să ilustreze o funcție cu o singură valoare în punct, suntem de acord că este egală cu lungimea segmentului care leagă și; ca semn al acestui lucru, punctul este reprezentat pe grafic printr-un cerc, în timp ce o săgeată este desenată în apropierea punctului, indicând că nu aparține graficului. Dacă punctul ar aparține graficului, atunci funcția ar avea două valori la punctul respectiv.

Să dăm acum un increment și să determinăm incrementul corespunzător al funcției:

Dacă avem tendința spre zero, atunci nu mai este posibil să spunem ce va tinde spre zero. Pentru negativ tendința spre zero, acest lucru este adevărat, dar pentru cele pozitive nu este deloc așa: se poate observa din figură că dacă, rămânând pozitiv, tinde spre zero, atunci creșterea corespunzătoare tinde către un număr pozitiv egal cu lungimea segmentului.

După aceste considerații, este firesc să se numească o funcție dată pe un segment continuă într-un punct al acestui segment dacă incrementul ei în acest punct, corespunzător incrementului lui , tinde spre zero în orice mod de a tinde spre zero. Aceasta (proprietatea continuității în ) se scrie sub forma relației (1) sau altfel:

Înregistrarea (2) arată astfel: limita este zero atunci când tinde spre zero conform oricărei legi. Cu toate acestea, expresia „după orice lege” este de obicei omisă, implicând-o.

Dacă o funcție definită pe nu este continuă în punctul , adică dacă proprietatea (2) nu este valabilă pentru ea în cel puțin un mod de a tinde spre zero, atunci se numește discontinuă în punctul .

Funcția prezentată în fig. 15, a, este continuă în orice punct, în timp ce funcția prezentată în fig. 15b este evident continuă în orice punct , cu excepția punctului , deoarece pentru acesta din urmă relația (2) nu este satisfăcută atunci când , rămânând pozitivă.

O funcție care este continuă în orice punct al unui segment (interval) se numește continuă pe acest segment (interval).

O funcție continuă exprimă matematic o proprietate pe care o întâlnim adesea în practică, care constă în faptul că unui mic increment al unei variabile independente corespunde unui mic increment al unei variabile (funcție) dependente de aceasta. Exemple excelente de funcție continuă sunt diversele legi ale mișcării corpurilor, care exprimă dependența traseului parcurs de corp în timp. Timpul și spațiul sunt continue. Una sau alta lege a mișcării stabilește între ele o anumită legătură continuă, caracterizată prin faptul că unui mic increment de timp îi corespunde un mic increment al traseului.

Omul a ajuns la abstractizarea continuității observând așa-numitele medii continue care îl înconjoară - solide, lichide sau gazoase, de exemplu, metale, apă, aer. De fapt, orice mediu fizic este o acumulare a unui număr mare de particule în mișcare separate unele de altele. Cu toate acestea, aceste particule și distanțele dintre ele sunt atât de mici în comparație cu volumele mediilor cu care trebuie să ne confruntăm în fenomenele fizice macroscopice, încât multe astfel de fenomene pot fi studiate destul de bine dacă presupunem că masa mediului studiat. este distribuit aproximativ continuu fără goluri în spațiul ocupat de acesta. Multe discipline fizice se bazează pe această presupunere, de exemplu, hidrodinamică, aerodinamică și teoria elasticității. Conceptul matematic de continuitate joacă în mod natural un rol important în aceste discipline, ca și în multe altele.

Funcțiile continue formează clasa principală de funcții cu care funcționează analiza matematică.

Exemple de funcții continue sunt funcțiile elementare (vezi § 3.8 de mai jos). Sunt continue la intervale în care sunt definite.

Funcțiile discontinue din matematică reflectă procesele de salt care au loc în natură. La impact, de exemplu, viteza unui corp se modifică brusc. Multe tranziții calitative sunt însoțite de sărituri. De exemplu, relația dintre temperatura unui gram de apă (gheață) și numărul de calorii de căldură conținute în acesta, atunci când se schimbă între și , dacă presupunem condiționat că atunci când valoarea , este exprimată prin următoarele formule:

Presupunem că capacitatea termică a gheții este de 0,5. Când această funcție se dovedește a fi nedefinită - multivalorică; Pentru comoditate, putem fi de acord că pentru aceasta este nevoie de o valoare bine definită, de exemplu, . Funcția , evident discontinuă la , este prezentată în Fig. 16.

Să dăm o definiție a continuității unei funcții într-un punct.

O funcție este numită continuă într-un punct dacă este definită într-o vecinătate a acestui punct, inclusiv în punctul însuși, și dacă incrementul ei în acest punct, corespunzător incrementului argumentului , tinde spre zero la:

Dacă punem , atunci obținem următoarea definiție echivalentă a continuității la: o funcție este continuă într-un punct dacă este definită într-o vecinătate a acestui punct, inclusiv în punctul însuși, și dacă

; (4)

sau si in limba , : daca pentru fiecare exista asa ca

Egalitatea (4) poate fi scrisă și după cum urmează:

. (4’)

Arată că sub semnul unei funcții continue se poate trece la limită.

Exemplul 1. O constantă este o funcție care este continuă în orice punct. Într-adevăr, punctul corespunde valorii funcției, punctul corespunde aceleiași valori . De aceea

.

Exemplul 2. Funcția este continuă pentru orice valoare a lui , deoarece și, prin urmare, când .

Exemplul 3. Funcția este continuă pentru orice . Într-adevăr,

Dar pentru oricare există o inegalitate

Dacă , atunci aceasta rezultă din Fig. 17, unde este prezentat un cerc cu raza 1 (un arc de lungime mai mare decât coarda pe care o contractă, care are lungimea ). Pentru , inegalitatea (6) devine o egalitate. Daca atunci . În cele din urmă, dacă , atunci . Din (5) pe baza (6) rezultă

,

Dar atunci evident

Se poate spune, de asemenea, că pentru oricine poate găsi , tocmai așa

Observăm o teoremă importantă.

TEOREMA 1. Dacă funcțiile și sunt continue în punctul , atunci suma, diferența, produsul și câtul lor (la ) sunt de asemenea continue în acest punct.

Această teoremă decurge direct din Teorema 6 din §3.2, dacă luăm în considerare că în acest caz

Există și o teoremă importantă privind continuitatea unei funcții a unei funcții (funcție complexă).

TEOREMA 2. Să se dea o funcție care este continuă în punctul și o altă funcție care este continuă în punctul , și fie . Apoi funcția complexă este continuă în punctul .

Dovada. Rețineți că prin definiția continuității unei funcții într-un punct, rezultă că aceasta este definită într-o vecinătate a acestui punct. De aceea

Aici se introduce o substituție și se ia în considerare continuitatea la punct .

Exemplul 4. Funcția

unde sunt coeficienți constanți, se numește polinom de grad. Este continuu pentru orice . La urma urmei, pentru a obține, este necesar, pe baza unor numere și funcții constante, să efectuați un număr finit de operații aritmetice - adunare, scădere și înmulțire. Dar constanta este o funcție continuă (vezi Exemplul 1), iar funcția este, de asemenea, continuă (vezi Exemplul 2), deci continuitatea rezultă din Teorema 1.

EXEMPLU 5. Funcția este continuă. Este o alcătuire din două funcții continue: , .

Exemplul 6. Funcția

este continuă pentru , deoarece (vezi Teorema 1) este egal cu câtul împărțirii funcțiilor continue și, în plus, divizorul nu este egal cu zero (pentru .

Exemplul 7. Funcția

este continuă pentru orice , deoarece este o alcătuire de funcții continue: , , (vezi Teorema 2).

Exemplul 8. Funcția este continuă deoarece

Exemplul 9. Dacă o funcție este continuă într-un punct, atunci funcția este, de asemenea, continuă în acel punct.

Aceasta rezultă din teorema 2 și din exemplul 8, deoarece o funcție este o compoziție a două funcții continue, .

Observăm încă două teoreme care decurg direct din Teoremele 1 și 2 corespunzătoare din §3.2 pentru limita unei funcții.

TEOREMA 3. Dacă o funcție este continuă într-un punct , atunci există o vecinătate a acestui punct pe care este mărginită.

TEOREMA 4. Dacă funcția este continuă în punctul și , atunci există o vecinătate a punctului pe care

.

Mai mult, dacă , atunci

iar dacă, atunci

Conceptul de derivat.

Derivat(funcționează la un punct) - concept de bază calcul diferenţial caracterizarea ratei de schimbare a funcției (la un punct dat). Definit ca limită raportul dintre incrementul unei funcții și incrementul acesteia argument când încercați să creșteți argumentul la zero dacă există o astfel de limită. O funcție care are o derivată finită (la un moment dat) se numește diferențiabilă (la un punct dat).

Procesul de calcul al derivatei se numește diferenţiere. Proces invers - găsire primitiv - integrare.

Semnificația geometrică și mecanică a derivatei..

Reguli de diferențiere.

Derivată a sumei algebrice a funcțiilor

Teorema 1. Derivat suma (diferența) a două funcții diferențiabile este egală cu suma (diferența) derivatelor acestor funcții:

(u±v)" = u"±v"

Consecinţă. Derivata unei sume algebrice finite de funcții diferențiabile este egală cu aceeași sumă algebrică a termenilor derivați. De exemplu,

(u - v + w)" = u" - v" + w"

Derivata produsului de functii este definita de

Teorema 2. Derivata produsului a doua functii diferentiabile este egala cu produsul primei functii si derivata celei de-a doua plus produsul celei de-a doua functii si derivata primei, i.e.

(uv)" = u"v + uv"

Corolar 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei (cv)" = cv" (с = const).

Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecaruia dintre ele si a tuturor celorlalte.

De exemplu, (uvw)" = u"vw + uv"w + uvw"

Derivata coeficientului a doua functii

se exprimă prin următoarea teoremă.

Teorema 3. Derivata coeficientului a doua functii diferentiabile este definita prin formula

Derivata unei functii complexe este exprimata prin

Teorema 4. Dacă y = f(u) și u = (φ(x)) sunt funcții diferențiabile ale argumentelor lor, atunci derivată a unei funcții compuse y \u003d f (φ (x)) există și este egal cu produsul derivatei acestei funcții față de argumentul intermediar cu derivata argumentului intermediar față de variabila independentă, adică.

Foarte des în teste de matematică pentru derivate funcțiile complexe sunt date, de exemplu, y = sin(cos5x). Derivata unei astfel de funcții este -5sin5x*sin(cos5x)

Vedeți un exemplu de calcul al unei funcții complexe în următorul videoclip

Derivate ale funcţiilor elementare.

Primul nivel

Derivată de funcție. Ghid cuprinzător (2019)

Imaginați-vă un drum drept care trece printr-o zonă deluroasă. Adică merge în sus și în jos, dar nu se întoarce la dreapta sau la stânga. Dacă axa este îndreptată orizontal de-a lungul drumului și vertical, atunci linia drumului va fi foarte similară cu graficul unei funcții continue:

Axa este un anumit nivel de înălțime zero, în viață folosim nivelul mării.

Înaintând pe un astfel de drum, ne mișcăm și în sus sau în jos. Mai putem spune: atunci când argumentul se schimbă (deplasarea de-a lungul axei absciselor), valoarea funcției se modifică (deplasarea de-a lungul axei ordonatelor). Acum să ne gândim cum să determinăm „abruptul” drumului nostru? Care ar putea fi această valoare? Foarte simplu: cât de mult se va schimba înălțimea la deplasarea înainte pe o anumită distanță. Într-adevăr, pe diferite secțiuni de drum, înaintând (de-a lungul axei absciselor) timp de un kilometru, ne vom ridica sau vom coborî cu sumă diferită metri în raport cu nivelul mării (de-a lungul axei y).

Notăm progresul înainte (a se citi „delta x”).

Litera greacă (delta) este folosită în mod obișnuit în matematică ca prefix care înseamnă „schimbare”. Adică - aceasta este o schimbare de amploare, - o schimbare; atunci ce este? Așa e, o schimbare de dimensiune.

Important: expresia este o singură entitate, o variabilă. Nu ar trebui să rupeți niciodată „delta” din „x” sau din orice altă literă! Adică, de exemplu, .

Deci, am mers înainte, pe orizontală, mai departe. Dacă comparăm linia drumului cu graficul unei funcții, atunci cum notăm creșterea? Cu siguranță, . Adică, când mergem înainte, ne ridicăm mai sus.

Este ușor de calculat valoarea: dacă la început eram la înălțime, iar după mișcare eram la înălțime, atunci. Dacă punctul final s-a dovedit a fi mai mic decât punctul de început, va fi negativ - asta înseamnă că nu urcăm, ci coborăm.

Înapoi la „abrupte”: aceasta este o valoare care indică cât de mult (abrupt) crește înălțimea atunci când se avansează pe unitate de distanță:

Să presupunem că pe o anumită porțiune de potecă, la înaintarea cu km, drumul urcă cu km. Atunci abruptul în acest loc este egal. Și dacă drumul, la înaintarea cu m, s-a scufundat cu km? Atunci panta este egală.

Acum luați în considerare vârful unui deal. Dacă luați începutul secțiunii la jumătate de kilometru până în vârf, iar sfârșitul - o jumătate de kilometru după ea, puteți vedea că înălțimea este aproape aceeași.

Adică, conform logicii noastre, se dovedește că panta aici este aproape egală cu zero, ceea ce în mod clar nu este adevărat. Multe se pot schimba la doar câteva mile distanță. Zonele mai mici trebuie luate în considerare pentru o estimare mai adecvată și mai precisă a abruptului. De exemplu, dacă măsurați modificarea înălțimii când vă deplasați cu un metru, rezultatul va fi mult mai precis. Dar chiar și această precizie poate să nu fie suficientă pentru noi - la urma urmei, dacă există un stâlp în mijlocul drumului, ne putem strecura pur și simplu prin el. Ce distanță ar trebui să alegem atunci? Centimetru? Milimetru? Mai puțin este mai bine!

ÎN viata reala măsurarea distanței la cel mai apropiat milimetru este mai mult decât suficientă. Dar matematicienii luptă întotdeauna spre perfecțiune. Prin urmare, conceptul a fost infinitezimal, adică valoarea modulo este mai mică decât orice număr pe care îl putem numi. De exemplu, spui: o trilionime! Cu cât mai puțin? Și împărțiți acest număr la - și va fi și mai puțin. Și așa mai departe. Dacă vrem să scriem că valoarea este infinit de mică, scriem astfel: (citim „x tinde spre zero”). Este foarte important de înțeles că acest număr nu este egal cu zero! Dar foarte aproape de ea. Aceasta înseamnă că poate fi împărțit în.

Conceptul opus infinitului mic este infinit de mare (). Probabil l-ați întâlnit deja când lucrați la inegalități: acest număr este mai mare ca modul decât orice număr la care vă puteți gândi. Dacă ai cel mai mare număr posibil, doar înmulțiți-l cu doi și obțineți și mai mult. Iar infinitul este chiar mai mult decât ceea ce se întâmplă. De fapt, infinit de mare și infinit de mici sunt inverse unul față de celălalt, adică la și invers: la.

Acum înapoi la drumul nostru. Panta calculată în mod ideal este panta calculată pentru un segment infinit de mic al traseului, adică:

Observ că, cu o deplasare infinit de mică, modificarea înălțimii va fi, de asemenea, infinit de mică. Dar permiteți-mi să vă reamintesc că infinit mic nu înseamnă egal cu zero. Dacă împărțiți numere infinitezimale între ele, puteți obține un număr complet obișnuit, de exemplu,. Adică, o valoare mică poate fi exact de două ori mai mare decât alta.

De ce toate astea? Drumul, abruptul... Nu mergem într-un miting, dar învățăm matematică. Și în matematică totul este exact la fel, doar numit diferit.

Conceptul de derivat

Derivata unei funcții este raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la o creștere infinitezimală a argumentului.

Creştereîn matematică se numește schimbare. Cât de mult s-a schimbat argumentul () la deplasarea de-a lungul axei se numește increment de argumentși notat cu Cât de mult s-a schimbat funcția (înălțimea) atunci când se deplasează înainte de-a lungul axei cu o distanță se numește creșterea funcției si este marcat.

Deci, derivata unei funcții este relația cu când. Derivata o notăm cu aceeași literă ca și funcția, doar cu o contur din dreapta sus: sau pur și simplu. Deci, să scriem formula derivată folosind aceste notații:

Ca și în analogia cu drumul, aici, când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă.

Dar derivata este egală cu zero? Cu siguranță. De exemplu, dacă conducem pe un drum orizontal plat, abruptul este zero. Într-adevăr, înălțimea nu se schimbă deloc. Deci, cu derivata: derivata unei funcții constante (constante) este egală cu zero:

deoarece incrementul unei astfel de funcții este zero pentru oricare.

Să luăm exemplul din vârful dealului. S-a dovedit că este posibil să se aranjeze capetele segmentului pe părți opuse ale vârfului astfel încât înălțimea la capete să fie aceeași, adică segmentul este paralel cu axa:

Dar segmentele mari sunt un semn de măsurare inexactă. Ne vom ridica segmentul paralel cu el însuși, apoi lungimea acestuia va scădea.

În final, când suntem infinit aproape de vârf, lungimea segmentului va deveni infinit de mică. Dar, în același timp, a rămas paralel cu axa, adică diferența de înălțime la capete este egală cu zero (nu tinde, dar este egală cu). Deci derivata

Acest lucru poate fi înțeles după cum urmează: când stăm în vârf, o mică deplasare la stânga sau la dreapta ne schimbă neglijabil înălțimea.

Există și o explicație pur algebrică: în stânga vârfului, funcția crește, iar în dreapta, scade. După cum am aflat deja mai devreme, atunci când funcția crește, derivata este pozitivă, iar când scade, este negativă. Dar se schimbă lin, fără sărituri (pentru că drumul nu își schimbă brusc panta nicăieri). Prin urmare, trebuie să existe între valori negative și pozitive. Va fi acolo unde funcția nici nu crește, nici nu scade - în punctul de vârf.

Același lucru este valabil și pentru vale (zona în care funcția scade în stânga și crește în dreapta):

Mai multe despre creșteri.

Deci schimbăm argumentul într-o valoare. Ne schimbăm de la ce valoare? Ce a devenit el (argumentul) acum? Putem alege orice punct, iar acum vom dansa din el.

Luați în considerare un punct cu o coordonată. Valoarea funcției din ea este egală. Apoi facem aceeași creștere: creștem coordonatele cu. Care este argumentul acum? Foarte usor: . Care este valoarea funcției acum? Unde merge argumentul, funcția merge acolo: . Cum rămâne cu creșterea funcției? Nimic nou: aceasta este încă suma cu care funcția s-a schimbat:

Exersați găsirea incrementelor:

1. Găsiți incrementul funcției într-un punct cu un increment al argumentului egal cu.
2. Același lucru pentru o funcție într-un punct.

Solutii:

În puncte diferite, cu același increment al argumentului, incrementul funcției va fi diferit. Aceasta înseamnă că derivata din fiecare punct are propria sa (am discutat despre asta chiar de la început - abruptul drumului în diferite puncte este diferit). Prin urmare, atunci când scriem o derivată, trebuie să indicăm în ce moment:

Funcția de putere.

O funcție de putere se numește o funcție în care argumentul este într-o oarecare măsură (logic, nu?).

Și - în orice măsură: .

Cel mai simplu caz este când exponentul este:

Să-i găsim derivata la un punct. Amintiți-vă definiția unei derivate:

Deci argumentul se schimbă de la la. Care este incrementul funcției?

Creșterea este. Dar funcția în orice punct este egală cu argumentul său. De aceea:

Derivata este:

Derivata lui este:

b) Acum luați în considerare funcţie pătratică (): .

Acum să ne amintim asta. Aceasta înseamnă că valoarea incrementului poate fi neglijată, deoarece este infinit de mică și, prin urmare, nesemnificativă pe fundalul unui alt termen:

Deci, avem o altă regulă:

c) Continuăm seria logică: .

Această expresie poate fi simplificată în diferite moduri: deschideți prima paranteză folosind formula pentru înmulțirea abreviată a cubului sumei sau descompuneți întreaga expresie în factori folosind formula pentru diferența de cuburi. Încercați să o faceți singur în oricare dintre modurile sugerate.

Deci, am primit următoarele:

Și să ne amintim asta din nou. Aceasta înseamnă că putem neglija toți termenii care conțin:

Primim: .

d) Reguli similare pot fi obținute pentru puteri mari:

e) Rezultă că această regulă poate fi generalizată pentru o funcție de putere cu un exponent arbitrar, nici măcar un număr întreg:

Puteți formula regula cu cuvintele: „gradul este prezentat ca coeficient, apoi scade cu”.

Vom demonstra această regulă mai târziu (aproape la sfârșit). Acum să ne uităm la câteva exemple. Aflați derivata funcțiilor:

1. (în două moduri: prin formula și folosind definiția derivatei - prin numărarea incrementului funcției);

1. . Credeți sau nu, aceasta este o funcție de putere. Dacă aveți întrebări precum „Cum este? Și unde este gradul? ”, Amintiți-vă subiectul” ”!
   Da, da, rădăcina este și ea un grad, doar unul fracționar:.
   Deci rădăcina noastră pătrată este doar o putere cu un exponent:
   .
   Căutăm derivata folosind formula recent învățată:

   Dacă în acest moment a devenit din nou neclar, repetați subiectul „” !!! (aproximativ un grad cu un indicator negativ)

2. . Acum exponentul:

   Și acum prin definiție (ai uitat încă?):
   ;
   .
   Acum, ca de obicei, neglijăm termenul care conține:
   .

3. . Combinație de cazuri anterioare: .

funcții trigonometrice.

Aici vom folosi un fapt din matematica superioară:

Când expresia.

Dovada o vei invata in primul an de institut (si pentru a ajunge acolo trebuie sa treci bine examenul). Acum o voi arăta doar grafic:

Vedem că atunci când funcția nu există - punctul de pe grafic este perforat. Dar cu cât este mai aproape de valoare, cu atât funcția este mai aproape de aceasta.

În plus, puteți verifica această regulă cu un calculator. Da, da, nu fi timid, ia un calculator, nu suntem încă la examen.

Deci să încercăm: ;

Nu uitați să comutați calculatorul în modul Radians!

etc. Vedem că cu cât este mai mic sens mai apropiat relatie cu.

a) Luați în considerare o funcție. Ca de obicei, găsim creșterea acestuia:

Să transformăm diferența de sinusuri într-un produs. Pentru a face acest lucru, folosim formula (amintiți-vă de subiectul „”):.

Acum derivata:

Să facem o înlocuire: . Apoi, pentru infinit de mic, este și infinit de mic: . Expresia pentru ia forma:

Și acum ne amintim asta cu expresia. Și, de asemenea, ce se întâmplă dacă o valoare infinit de mică poate fi neglijată în sumă (adică la).

Deci obținem următoarea regulă: derivata sinusului este egală cu cosinusul:

Acestea sunt derivate de bază („tabel”). Iată-le într-o singură listă:

Mai târziu le vom adăuga câteva, dar acestea sunt cele mai importante, deoarece sunt folosite cel mai des.

Practică:

1. Aflați derivata unei funcții într-un punct;
2. Aflați derivata funcției.

Solutii:

1. Mai întâi găsim derivata în vedere generala, apoi înlocuiți-i valoarea:
   ;
   .
2. Aici avem ceva similar cu o funcție de putere. Să încercăm să o aducem la
   vedere normală:
   .
   Ok, acum poți folosi formula:
   .
   .
3. . Eeeeeee….. Ce este????

Bine, ai dreptate, încă nu știm cum să găsim astfel de derivate. Aici avem o combinație de mai multe tipuri de funcții. Pentru a lucra cu ei, trebuie să înveți mai multe reguli:

Exponent și logaritm natural.

Există o astfel de funcție în matematică, a cărei derivată pentru oricare este egală cu valoarea funcției în sine pentru aceeași. Se numește „exponent” și este o funcție exponențială

Baza acestei funcții este o constantă - este infinită zecimal, adică un număr irațional (cum ar fi). Se numește „numărul Euler”, motiv pentru care este notat cu o literă.

Deci regula este:

Este foarte ușor de reținut.

Ei bine, nu vom merge departe, vom lua în considerare imediat funcția inversă. Care este inversul funcției exponențiale? Logaritm:

În cazul nostru, baza este un număr:

Un astfel de logaritm (adică un logaritm cu o bază) se numește unul „natural” și folosim o notație specială pentru el: scriem în schimb.

Cu ce ​​este egal? Desigur, .

Derivata logaritmului natural este, de asemenea, foarte simplă:

Exemple:

1. Aflați derivata funcției.
2. Care este derivata functiei?

Raspunsuri: Expozant și logaritmul natural- funcțiile sunt unic simple în ceea ce privește derivata. Funcțiile exponențiale și logaritmice cu orice altă bază vor avea o derivată diferită, despre care vom discuta mai târziu, după hai sa trecem prin reguli diferenţiere.

Reguli de diferențiere

Ce reguli? Un alt termen nou, din nou?!...

Diferenţiere este procesul de găsire a derivatei.

Numai și totul. Care este un alt cuvânt pentru acest proces? Nu proizvodnovanie... Diferenţialul de matematică se numeşte însăşi incrementul funcţiei la. Acest termen provine din latinescul differentia - diferență. Aici.

Când derivăm toate aceste reguli, vom folosi două funcții, de exemplu, și. De asemenea, vom avea nevoie de formule pentru incrementele lor:

Sunt 5 reguli în total.

Constanta este scoasă din semnul derivatei.

Dacă - un număr constant (constant), atunci.

Evident, această regulă funcționează și pentru diferența: .

Să demonstrăm. Lasă, sau mai ușor.

Exemple.

Găsiți derivate ale funcțiilor:

1. la punct;
2. la punct;
3. la punct;
4. la punct.

Solutii:

1. (derivata este aceeași în toate punctele, deoarece este o funcție liniară, vă amintiți?);

Derivatul unui produs

Totul este similar aici: introducem o nouă funcție și găsim incrementul acesteia:

Derivat:

Exemple:

1. Găsiți derivate ale funcțiilor și;
2. Aflați derivata unei funcții într-un punct.

Solutii:

Derivată a funcției exponențiale

Acum cunoștințele tale sunt suficiente pentru a învăța cum să găsești derivata oricărei funcții exponențiale și nu doar exponentul (ai uitat încă ce este?).

Deci unde este un număr.

Știm deja derivata funcției, așa că să încercăm să aducem funcția noastră la o nouă bază:

Pentru aceasta folosim regula simpla: . Apoi:

Ei bine, a funcționat. Acum încercați să găsiți derivata și nu uitați că această funcție este complexă.

S-a întâmplat?

Iată, verifică-te:

Formula s-a dovedit a fi foarte asemănătoare cu derivata exponentului: așa cum a fost, rămâne, a apărut doar un factor, care este doar un număr, dar nu o variabilă.

Exemple:
Găsiți derivate ale funcțiilor:

Raspunsuri:

Acesta este doar un număr care nu poate fi calculat fără un calculator, adică nu poate fi scris într-o formă mai simplă. Prin urmare, în răspuns este lăsat în această formă.

Derivată a unei funcții logaritmice

Aici este similar: știți deja derivata logaritmului natural:

Prin urmare, pentru a găsi un arbitrar din logaritm cu o bază diferită, de exemplu:

Trebuie să aducem acest logaritm la bază. Cum schimbi baza unui logaritm? Sper să vă amintiți această formulă:

Abia acum în loc de noi vom scrie:

Numitorul s-a dovedit a fi doar o constantă (un număr constant, fără o variabilă). Derivatul este foarte simplu:

Derivate ale funcțiilor exponențiale și logaritmice nu se găsesc aproape niciodată în examen, dar nu va fi de prisos să le cunoaștem.

Derivată a unei funcții complexe.

Ce este o „funcție complexă”? Nu, acesta nu este un logaritm și nu o arc tangentă. Aceste funcții pot fi greu de înțeles (deși dacă logaritmul ți se pare dificil, citește subiectul „Logaritmi” și totul va funcționa), dar în ceea ce privește matematica, cuvântul „complex” nu înseamnă „dificil”.

Imaginați-vă un transportor mic: doi oameni stau și fac niște acțiuni cu unele obiecte. De exemplu, primul învelește un baton de ciocolată într-un ambalaj, iar al doilea îl leagă cu o panglică. Se dovedește un astfel de obiect compozit: un baton de ciocolată înfășurat și legat cu o panglică. Pentru a mânca un baton de ciocolată, trebuie să faci invers ordine inversă.

Să creăm o conductă matematică similară: mai întâi vom găsi cosinusul unui număr, apoi vom pătra numărul rezultat. Deci, ei ne dau un număr (ciocolată), îi găsesc cosinusul (învelișul), iar apoi pătrați ce am primit (legați-l cu o panglică). Ce s-a întâmplat? Funcţie. Acesta este un exemplu de funcție complexă: când, pentru a-i găsi valoarea, facem prima acțiune direct cu variabila și apoi o altă a doua acțiune cu ceea ce s-a întâmplat ca urmare a primei.

S-ar putea foarte bine să facem aceleași acțiuni în ordine inversă: mai întâi pătrați și apoi caut cosinusul numărului rezultat:. Este ușor de ghicit că rezultatul va fi aproape întotdeauna diferit. Caracteristică importantă funcții complexe: când modificați ordinea acțiunilor, funcția se schimbă.

Cu alte cuvinte, O funcție complexă este o funcție al cărei argument este o altă funcție: .

Pentru primul exemplu, .

Al doilea exemplu: (la fel). .

Ultima acțiune pe care o facem va fi numită funcția „externă”., și acțiunea efectuată prima - respectiv funcția „internă”.(acestea sunt nume informale, le folosesc doar pentru a explica materialul într-un limbaj simplu).

Încercați să determinați singur ce funcție este externă și care este internă:

Raspunsuri: Separarea funcțiilor interioare și exterioare este foarte asemănătoare cu schimbarea variabilelor: de exemplu, în funcție

1. Ce măsuri vom lua mai întâi? Mai întâi calculăm sinusul și abia apoi îl ridicăm la un cub. Deci este o funcție internă, nu una externă.
   Iar funcția inițială este compoziția lor: .
2. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
3. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
4. Intern: ; extern: .
   Examinare: .
5. Intern: ; extern: .
   Examinare: .

schimbăm variabile și obținem o funcție.

Ei bine, acum ne vom extrage ciocolata - căutați derivatul. Procedura este întotdeauna inversată: mai întâi căutăm derivata funcției exterioare, apoi înmulțim rezultatul cu derivata funcției interioare. Pentru exemplul original, arată astfel:

Alt exemplu:

Deci, să formulăm în sfârșit regula oficială:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Totul pare a fi simplu, nu?

Să verificăm cu exemple:

Solutii:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(doar nu încercați să reduceți până acum! Nu se scoate nimic de sub cosinus, vă amintiți?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Este imediat clar că aici există o funcție complexă pe trei niveluri: la urma urmei, aceasta este deja o funcție complexă în sine și încă extragem rădăcina din ea, adică efectuăm a treia acțiune (punem ciocolată într-un ambalaj și cu o panglică într-o servietă). Dar nu există niciun motiv să ne fie frică: oricum, vom „despacheta” această funcție în aceeași ordine ca de obicei: de la sfârșit.

Adică mai întâi diferențiem rădăcina, apoi cosinusul și abia apoi expresia dintre paranteze. Și apoi înmulțim totul.

În astfel de cazuri, este convenabil să numerotați acțiunile. Adică să ne imaginăm ce știm. În ce ordine vom efectua acțiuni pentru a calcula valoarea acestei expresii? Să ne uităm la un exemplu:

Cu cât acțiunea este efectuată mai târziu, cu atât funcția corespunzătoare va fi mai „externă”. Secvența de acțiuni - ca înainte:

Aici cuibărirea este în general pe 4 niveluri. Să stabilim cursul acțiunii.

1. Exprimarea radicală. .

2. Rădăcină. .

3. Sinusul. .

4. Pătrat. .

5. Punând totul împreună:

DERIVAT. SCURT DESPRE PRINCIPALA

Derivată de funcție- raportul dintre incrementul funcției și incrementul argumentului cu o creștere infinitezimală a argumentului:

Derivate de bază:

Reguli de diferențiere:

Constanta este scoasă din semnul derivatei:

Derivată a sumei:

Produs derivat:

Derivată a coeficientului:

Derivata unei functii complexe:

Algoritm pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

1. Definim funcția „internă”, găsim derivata ei.
2. Definim funcția „externă”, găsim derivata ei.
3. Înmulțim rezultatele primului și celui de-al doilea punct.