Formula probabilității totale. formula bayes

Adesea ne începem analiza probabilităților cu preliminare, a priori valorile probabilităților evenimentelor care ne interesează. Apoi din surse de informații precum un eșantion, raport, experiență etc. primim informații suplimentare despre evenimentul care ne interesează. Având asta informație nouă, putem clarifica, recalcula valorile probabilităților a priori. Noile probabilități pentru aceleași evenimente de interes pentru noi vor fi mai restrânse. a posteriori probabilități (postexperimentale). Teorema lui Bayes ne oferă o regulă pentru calcularea unor astfel de probabilități.

Lasă evenimentul A se poate întâmpla doar cu unul dintre evenimente B 1 , B 2 , B 3 ,…, B n, formând un grup complet. Să fie cunoscute probabilitățile P (B 1), P (B 2), P (B 3), ..., P (B n). De la evenimente În i formați un grup complet, apoi . Sunt cunoscute și probabilitățile condiționate ale evenimentului A: P (A / B 1), P (A / B 2), ..., P (A / B i), ..., P (A / B n). Din moment ce nu se știe dinainte cu care dintre evenimente În i se va întâmpla un eveniment A, apoi evenimentele În i numite ipoteze.

Este necesar să se determine probabilitatea unui eveniment Ași supraestimează probabilitățile evenimentelor În iținând cont de informațiile complete despre eveniment A.

Probabilitatea evenimentului A definit ca:

. (5.1)

Această probabilitate se numește probabilitate deplină.

Dacă evenimentul A se poate produce numai cu unul dintre evenimentele B 1 , B 2 , B 3 ,…, B n , formând un grup complet de evenimente incompatibile numite ipoteze, atunci probabilitatea evenimentului A este egală cu suma produselor lui probabilitățile fiecăruia dintre evenimentele B 1 , B 2 , B 3 ,…,B n, pe probabilitatea condiționată corespunzătoare a evenimentului A.

Probabilitățile condiționate ale ipotezelor sunt calculate prin formula:

Acestea sunt formulele Bayes (numite după matematicianul englez T. Bayes, care le-a publicat în 1764), unde numitorul P(A) este probabilitatea totală.

Exemplul 1 Economistul consideră că probabilitatea unei creșteri a valorii acțiunilor unei anumite companii în anul următor este de 0,75 dacă economia țării este în creștere; iar aceeași probabilitate este egală cu 0,30 dacă economia țării nu se dezvoltă cu succes. În opinia sa, probabilitatea unei redresări economice anul viitor este de 0,80. Folosind ipotezele economistului, cât de probabil este acțiunile companiei să crească în preț anul viitor?

Soluţie. Să definim evenimentele: A„Acțiunile companiei vor crește în preț anul viitor.” Eveniment A- „acțiunile companiei vor crește în preț anul viitor” - se poate întâmpla numai împreună cu una dintre următoarele ipoteze: B1- economia ţării va fi în creştere şi B2 Economia țării nu se va dezvolta cu succes.

După condiție, probabilitățile ipotezelor sunt cunoscute: P(B1)=0,8; P(B2)=0,2

și probabilitățile condiționate ale evenimentului A: P(A/B 1)=0,75; P (A / B 2) \u003d 0,3.

Ipotezele formează un grup complet, suma probabilităților lor este egală cu 1. Luați în considerare evenimentul A- aceasta (sau B 1 A sau B 2 A). Evenimente B 1 AȘi B 2 A -B1Și B2- sunt incompatibile.

Evenimente B1Și A, B 2Și A- dependent.

Cele de mai sus ne permit să aplicăm pentru a determina probabilitatea dorită a unui eveniment A formula probabilitatii totale:

Răspuns: 0,66.

Exemplul 2 Economistul consideră că în perioada de creștere economică activă, dolarul american va crește cu o probabilitate de 0,7; într-o perioadă de creștere economică moderată, dolarul va crește cu o probabilitate de 0,4; iar la rate scăzute de creștere economică, dolarul va crește în preț cu o probabilitate de 0,2. Pe o anumită perioadă de timp, probabilitatea unei creșteri economice puternice este de 0,3, de creștere economică moderată de 0,5 și de creștere scăzută de 0,2. Să presupunem că dolarul se apreciază în perioada curentă. Care este probabilitatea ca perioada analizată să coincidă cu o perioadă de creștere economică activă?

Soluţie. Să definim evenimentele: A- Dolarul crește. Poate apărea numai împreună cu una dintre ipotezele: B1– „creștere economică activă”; B2– „creștere economică moderată”; B3- creştere economică scăzută.

După condiție, sunt cunoscute probabilitățile pre-experimentale (a priori) ale ipotezelor și probabilitățile condiționate ale evenimentului A:

P(B1)=0,3; P(B2)=0,5; P(B3)=0,2.

P(A/B 1)=0,7; P (A / B 2) \u003d 0,4; P (A / B 3) \u003d 0,2.

Ipotezele formează un grup complet, suma probabilităților lor este egală cu 1. 1. Eveniment A- aceasta (sau B 1 A, sau B 2 A, sau B 3 A). Evenimente B 1 AȘi B 2 AȘi B 3 A - incompatibil în perechi, din moment ce evenimentele B1, B2Și B3– incompatibil.Evenimente B1Și A, B 2Și A, AȘi B2– dependent.După condiţie se cere găsirea probabilităţii rafinate (post-experimentale, a posteriori) a primei ipoteze, i.e. este necesar să se găsească probabilitatea creșterii economice active, cu condiția ca dolarul să se aprecieze (evenimentul A sa întâmplat deja), adică P (B 1 / A) -?

Folosind formula Bayes (5.2) și înlocuind probabilitățile date, avem:

Astăzi vom vorbi despre FXCN - ETF-fond de acțiuni ale companiilor chineze.

Amintiți-vă că principalul lucru în orice fond ETF este umplerea acestuia. Cumpărând acțiunile fondului, cumpărăm, parcă, un portofoliu de titluri care fac parte din activele fondului. Compoziția portofoliului este determinată de un indice alcătuit de un participant profesionist independent - furnizorul de index. Pentru mai multe informații despre indici și structura fondurilor ETF, consultați.

În același timp, în 2013, China a depășit Statele Unite în ceea ce privește exporturile de bunuri și servicii:

(Datele Băncii Mondiale )

Potrivit prognozei Băncii Mondiale, în următorii ani, China este de așteptat să aibă o rată de creștere a PIB-ului mai mare decât Rusia sau Statele Unite:

(Datele Băncii Mondiale )

Toate acestea fac din China o piață de investiții interesantă, atât în ​​ceea ce privește creșterea economică, cât și diversificarea.

Asta înseamnă că este mai puțin riscant să investești în acțiuni chinezești decât în ​​cele rusești, dar mai riscant decât în ​​cele americane. Graficul de mai sus arată că graficul index piata ruseasca„vorbește” cel mai mult. China este mai mică. Și piața americană pe fundalul vecinilor săi aproape arată ca o linie dreaptă care crește încet, dar sigur.

Dividende, taxe și comision de fond

Dividendele pe care fondul le primește pe acțiunile companiilor chineze sunt reinvestite. Adică, pentru suma dividendelor primite, fondul cumpără acțiuni suplimentare pentru dvs. în proporții conform indicelui MSCI China.

Când vindeți acțiuni de fond printr-un broker rus cu indivizii impozitul pe venitul persoanelor fizice se reține în cuantum de 13% din diferența pozitivă dintre prețul de cumpărare și prețul de vânzare. Aceasta înseamnă că atâta timp cât nu vindeți acțiuni ale fondului, nu se reține impozit. Pentru a nu plăti impozitul pe venitul personal la vânzare, acțiunile fondului pot fi cumpărate într-un cont individual de investiții care oferă o deducere fiscală.

Comisionul în fondul FXCN este de 0,9% pe an. Nu plătiți separat și nu vă ocupați niciodată direct de el. Comisionul este perceput de fond din active și doar „încetinește” creșterea activelor nete ale fondului.

prețul acțiunilor

Un portofoliu de 152 de acțiuni chineze este proprietatea comună a fondului FXCN. Împărțind valoarea activelor la numărul de acțiuni emise, obținem valoarea unei acțiuni a fondului FXCN. De regulă, prețul unei acțiuni la bursă și valoarea activelor pe acțiune sunt foarte apropiate.

În ciuda faptului că proprietatea fondului este evaluată în dolari, pentru comoditatea investitorilor, acțiunile fondului FXCN pot fi cumpărate și vândute la Bursa din Moscova pentru ruble la egalitate cu acțiunile Sberbank sau Gazprom. Puteți cumpăra și în dolari - pentru aceasta trebuie să cumpărați fie printr-o tranzacție la ghișeu, fie în modul tranzacții negociate (NPP).

Începând cu 18 iulie 2017, valoarea estimată a unei acțiuni FXCN era de 37,3657 USD. Prețul mediu ponderat al tranzacțiilor cu acțiunile fondului la Bursa din Moscova pentru 18 iulie a fost de 2.220 de ruble.

Cum să cumpere

Pentru a cumpăra și vinde acțiuni ale fondului FXCN, puteți contacta orice bancă sau companie financiară care oferă servicii de brokeraj.

Revenire așteptată și abatere standard. Acest exemplu vă va permite să calculați practic performanța la care ne putem aștepta de la un portofoliu de investiții. Având în vedere două tipuri de stocuri și trei stări ale economiei:

Calculați abaterea standard și randamentul așteptat pentru fiecare tip de stoc.

Riscul și rentabilitatea portofoliului. Să ne întoarcem la Exemplul 11.1 și să presupunem că aveți 20.000 USD în total. Dacă investești 6000 USD în acțiuni A, iar restul în B, care va fi rentabilitatea așteptată și abaterea standard a portofoliului dvs.?

Risc și întoarcere. Să presupunem că luați în considerare următoarea situație:

Dacă rata fără risc este de 8%, aceste titluri sunt evaluate corect? Care ar fi rata fără risc dacă titlurile de valoare ar fi evaluate corect?

CAPM. Să presupunem că rata fără risc este de 8%. Randamentul așteptat pe piață este de 14%. Dacă un anumit tip de activ are (3 = 0,6), atunci care este randamentul așteptat al activului respectiv, pe baza CAPM? Dacă un alt activ are o rentabilitate așteptată de 20%, care ar trebui să fie (al treilea coeficient?

Răspunsuri

Randamentele așteptate sunt calculate ca produsul dintre randamentele posibile și probabilitățile acestora:

E( R A) = 0,1 x (-0,2) + 0,6 x (0,1) + 0,3 x (0,7) = 25% E(RB) = 0,1 x (0,3) + 0,6 x (0,2) + 0,3 x (0,5) = 30%

Volatilitatea este calculată ca suma produselor pătratelor abaterii randamentelor așteptate și a probabilităților acestora:

Od \u003d 0,1 x (-0,2 - 0,25) 2 + 0,6 x (0,1 - 0,25) 2 + 0,3 x (0,7 - 0,25) 2 \u003d \u003d 0,1 x (-0,45)2 + 0,15 x (-0,15) 2 + 0,3 x (0,45)2 = = 0,1 x 0,2025 + 0,6 x 0,0225 + 0,3 x 0,2025 = 0,0945

a2, \u003d 0,1 x (0,3 - 0,3) 2 + 0,6 x (0,2 - 0,3) 2 + 0,3 x (0,5 - 0,3) 2 \u003d

0,1 x (0,0)2 + 0,6 x (-0,1)2 + 0,3 x (0,2)2 =

0,1 x 0,0 + 0,6 x 0,01 + 0,3 x 0,04 = 0,0180 Abaterile standard sunt: ​​aA ​​= VO.0945 = 30.74% aB = VO.0180 = 13.42 %

Greutatea fiecărui tip de stoc din portofoliu este: 6.000 USD/20.000 = 0,3 și 14.000 USD/20.000 = 0,7. Randamentul așteptat al portofoliului este atunci:

W / Y \u003d 0,3 x E (RA) + 0,7 x E (RB) \u003d 0,3 x 25% + 0,7 x 30% \u003d 28,50%

Atunci randamentul portofoliului este

E( Rp) = 0,1 x (0,15) + 0,6 x (0,17) - 0 3 x (0,56) = 28,50%.

Acesta este același rezultat pe care l-am obținut mai devreme.

Calculați volatilitatea portofoliului

Op \u003d 0,1 x (0,15 - 0,285) 2 + 0,6 x (0,17 - 0,285) 2 + 0,3 x (0,56 - 0,285) 2 \u003d 0,03245

Atunci abaterea standard este rădăcina pătrată de 0,03245 și este egală cu 18,01%

Dacă calculăm raportul risc-recompensă pentru titlurile de valoare ale fiecărei companii, vom ajunge cu (19% - 8%)/1,6 = 6,875% pentru Cooley și 6,67% pentru Myer. În ceea ce privește Cooley, randamentul așteptat al lui Myer este prea scăzut , deci prețurile sale sunt prea mari

Dacă titlurile de valoare ale ambelor companii sunt corect evaluate, atunci acestea ar trebui să ofere același raport risc-recompensă. Astfel, putem formula ecuația

(19% - Rj)/],6 = (16% - Rf)/l,2

După ce am făcut transformări algebrice mici, obținem /? y \u003d 7%

(19% - Rf) \u003d (16% - OTRAVĂ 1,6 / 1,2) 19% - 16% x (4/3) \u003d Rf - Rf x (4/3) yu \u003d 7%

Întrucât randamentul așteptat al pieței este de 14%, atunci prima de risc de piață, respectiv (14% - 8%) = 6% (rata fără risc este de 8%) Primul tip de titluri are P = 0,6, ceea ce înseamnă valoarea așteptată. rentabilitatea este de 8% + 0,6x6%= 11,6%

Pentru al doilea tip, prima de risc este de 20% - 8% = 12% Deoarece aceasta este exact de două ori mai mare decât prima de risc de piață, coeficientul p trebuie să fie exact 2. Putem verifica acest lucru folosind teoria CAPM

20% \u003d 8% + x p P, \u003d 12% / 6% \u003d 2,0

Întrebări și sarcini

Rentabilitatea preconizată a portofoliului. Dacă un portofoliu are investiții pozitive în fiecare tip de activ, poate rentabilitatea așteptată a unui astfel de portofoliu să fie mai mare decât rentabilitatea fiecărui activ din acest portofoliu? Mai puțin? Dacă ați răspuns afirmativ la una sau ambele întrebări, vă rugăm să oferiți un exemplu care să vă susțină decizia.

Volatilitatea și diversificarea activelor individuale. Adevărat sau fals: majoritatea caracteristică importantă la determinarea randamentului așteptat al unui portofoliu bine diversificat se ia în considerare volatilitatea activelor individuale ale portofoliului. Explica.

riscul de portofoliu. Dacă un portofoliu are investiții pozitive în fiecare tip de activ, poate abaterea standard a unui astfel de portofoliu să fie mai mică decât abaterea standard a fiecărui activ din acel portofoliu? Ce poți spune despre b dintr-un astfel de portofoliu?

randamente de portofoliu. Folosind informațiile din capitolul anterior despre istoria pieței de valori, care a fost randamentul unui portofoliu împărțit în mod egal între acțiuni comune și obligațiuni guvernamentale pe termen lung? Care este distribuit în mod egal între acțiunile mici și bonurile de trezorerie?

CAPM. Folosind CAPM, dovediți că coeficientul primei de risc a două active este egal cu coeficienții acestora p.

Rentabilitatea portofoliului și variațiile. Având în vedere următoarele informații despre un portofoliu de trei tipuri de valori mobiliare, determinați:

Dacă ai investit 30% în AȘi B, 40% în C Care este randamentul așteptat al portofoliului? Impermanenta? Deviație standard?

Dacă rata de rentabilitate aşteptată Billet de stat este 5,25%, care este prima de risc de portofoliu?

Dacă rata inflației așteptată este de 5%, care este randamentul real așteptat al portofoliului? Care este prima de risc reală pentru portofoliu?

Analiza portofoliului. Doriți să creați un portofoliu cu același nivel de risc ca și piața de valori în ansamblu. Ai 200.000 USD. Cu informațiile de mai jos, completați posturile lipsă:

Analiza portofoliului. Aveți 100.000 USD de investit în titluri de valoare, cum ar fi D, fie în F, fie într-un activ fără risc. Trebuie să-ți investești toți banii. Scopul tau este sa creezi un portofoliu cu o rentabilitate asteptata de 10% si doar 60% risc in comparatie cu restul pietei. Dacă D are un randament așteptat de 20% și P = 1,50, F are un randament așteptat de 15% și P = 1,15, rata fără risc este de 5%, câți bani vei pune în F?

Riscul sistematic versus riscul nesistematic. Aveți următoarele informații:

Prima de risc de piață este de 8%, iar rata fără risc este de 6%. Ce tip de titluri prezintă cel mai mare risc sistematic? Care specie prezintă cel mai mare risc non-sistemic? Ce fel de titluri de valoare sunt cele mai riscante? Explica.

Întrebări avansate

Coeficienți b. Poate un activ riscant să aibă b = 0? Explica. Folosind modelul CAPM Care este rentabilitatea așteptată a unui astfel de activ? Poate un activ riscant să aibă un coeficient b negativ? Ce prezice CAPM despre nivelul rentabilității așteptate pentru un astfel de activ? Puteți clarifica răspunsul dvs.?

Linia de stare a pieței de valori ( SML). Să presupunem că luați în considerare următoarea situație:

Să presupunem că aceste titluri sunt evaluate corect. Bazat pe CAPM Care este rentabilitatea așteptată de pe piață? Care este rata fără risc?

Examen CFA- un examen pentru un certificat de analist financiar, care se eliberează specialiștilor în domeniul investițiilor din Statele Unite.

Luați în considerare problema maximizării profitului așteptat din acțiuni.

Să presupunem că deținem acțiuni în valoare de 1.000 USD. Trebuie să decidem dacă deținem acțiunile, le vindem pe toate sau cumpărăm mai multe acțiuni pentru 500 USD.

Probabilitatea unei creșteri cu 20% a valorii de piață a unei acțiuni este de 0,6, iar probabilitatea unei scăderi a valorii de piață cu 20% este de 0,4. Ce decizie ar trebui luată pentru a maximiza profitul așteptat?

Mai întâi trebuie să decideți ce să faceți cu acțiunile: cumpărați mai multe, vindeți totul sau păstrați totul. Acest lucru este prezentat folosind arborele de decizie din Fig. 3.2. Diagrama conține valoarea veniturilor sau cheltuielilor în cazul luării unei decizii. De exemplu, opțiunea „vânzare” va oferi un venit de 1000 USD. (indicat ca +1000 pe copac). În schimb, opțiunea „cumpără” ar implica costuri de 500 USD. (afișat ca -500 pe copac). Dacă vindem acțiuni, atunci vom avea zero acțiuni. Dacă

Dacă deținem doar acțiunile, atunci în cazul unei creșteri de 20% a pieței, valoarea acestora va fi de 1200 USD, iar în cazul unei scăderi de 20% - 800 USD. În alt caz, după cumpărarea de acțiuni cu încă 500 USD, dacă piața crește, vom fi proprietarii acțiunilor în valoare de 1800 USD, iar dacă piața scade, vom avea acțiuni în valoare de 1200 USD. Aceste valori sunt enumerate la sfârșitul fiecărei ramuri din partea dreaptă a arborelui de decizie (Figura 3.3). Arborele arată, de asemenea, probabilitățile de evenimente posibile (adică, creșterea sau scăderea prețului acțiunilor), precum și banii cheltuiți sau primiți în acest caz. De exemplu, cumpărarea unei acțiuni costă 500 USD. (adică în acest punct al diagramei este indicat - 500 USD). La fel, vânzarea acțiunilor va genera un randament de 1.000 USD, iar acest lucru este indicat lângă ramura corespunzătoare a arborelui.

Incepand cu partea dreaptași deplasând spre stânga, se calculează valorile așteptate, așa cum se arată în Fig. 3.4. Astfel, valoarea așteptată în blocul evenimentelor probabilistice A se calculează prin înmulțirea fiecărei probabilități cu valoarea.

la capatul ramului, i.e. valoarea aşteptată în blocul A este

6 x 1800 + 0,4 x 1200 = 1560 c.u. În mod similar, valoarea așteptată pentru blocul B este 0,6 x 1200 + 0,4 x 800 = 1040 USD.

valorea estimata

Creșterea valorii de piață

valorea estimata

Creșterea valorii de piață

Și, în sfârșit, puteți lua o decizie bazată pe ieșirea valorilor așteptate de-a lungul ramurilor corespunzătoare înapoi la bloc.
bloc de decizie B. Trei căi posibile înapoi la blocul B dau următoarele valori:

Opțiunea 1: 1560 - 500 = 1060 c.u.

Opțiunea 2: 0 + 1000 = 1000 USD

Opțiunea 3: 1040 + 0 = 1040 c.u.

Așadar, pe baza acestui criteriu, pentru a maximiza valoarea așteptată a acțiunilor, preferăm opțiunea 1. Astfel, decidem să cumpărăm mai multe acțiuni în valoare de 500 USD, ceea ce ne va oferi un profit net așteptat de 1060 USD. Această valoare este afișată în blocul B, iar calea soluției este evidențiată așa cum se arată în fig. 3.4. Trebuie remarcat faptul că acest mod simplu de a lua decizii bazate pe maximizarea profiturilor așteptate poate să nu fie întotdeauna acceptabil. De exemplu, este necesar să se țină cont și de factorii de risc, despre care vom vorbi în exemplul următor.