Dovada paralelismului liniei mediane a trapezului. N.Nikitin Geometrie

Confidențialitatea dumneavoastră este importantă pentru noi. Din acest motiv, am dezvoltat o Politică de confidențialitate care descrie modul în care folosim și stocăm informațiile dumneavoastră. Vă rugăm să citiți politica noastră de confidențialitate și să ne spuneți dacă aveți întrebări.

Colectarea și utilizarea informațiilor personale

Informațiile personale se referă la date care pot fi folosite pentru a identifica sau contacta o anumită persoană.

Vi se poate cere să furnizați informațiile dumneavoastră personale în orice moment când ne contactați.

Următoarele sunt câteva exemple de tipuri de informații personale pe care le putem colecta și modul în care putem folosi aceste informații.

Ce informații personale colectăm:

Când trimiteți o cerere pe site, este posibil să colectăm diverse informații, inclusiv numele, numărul de telefon, adresa dvs E-mail etc.

Cum folosim informațiile dumneavoastră personale:

Informațiile personale pe care le colectăm ne permit să vă contactăm și să vă informăm despre oferte unice, promoții și alte evenimente și evenimente viitoare.
Din când în când, putem folosi informațiile dumneavoastră personale pentru a vă trimite notificări și comunicări importante.
De asemenea, putem folosi informații personale în scopuri interne, cum ar fi efectuarea de audituri, analize de date și diverse cercetări pentru a îmbunătăți serviciile pe care le oferim și pentru a vă oferi recomandări cu privire la serviciile noastre.
Dacă participați la o extragere cu premii, un concurs sau un stimulent similar, este posibil să folosim informațiile pe care le furnizați pentru a administra astfel de programe.

Dezvăluirea către terți

Nu dezvăluim informațiile primite de la dumneavoastră către terți.

Excepții:

Dacă este necesar - în conformitate cu legea, ordin judiciar, în proceduri judiciare, și/sau în baza cererilor sau solicitărilor publice de la agentii guvernamentale pe teritoriul Federației Ruse - dezvăluie informațiile tale personale. De asemenea, putem dezvălui informații despre dumneavoastră dacă stabilim că o astfel de dezvăluire este necesară sau adecvată din motive de securitate, aplicarea legii sau alte motive de interes public.
În cazul unei reorganizări, fuziuni sau vânzări, putem transfera informațiile personale pe care le colectăm către succesorul terț relevant.

Protecția informațiilor personale

Luăm măsuri de precauție - inclusiv administrative, tehnice și fizice - pentru a vă proteja informațiile personale împotriva pierderii, furtului și utilizării greșite, precum și împotriva accesului, dezvăluirii, modificării și distrugerii neautorizate.

Menținerea confidențialității la nivel de companie

Pentru a ne asigura că informațiile dumneavoastră personale sunt în siguranță, comunicăm angajaților noștri practicile de confidențialitate și securitate și aplicăm strict practicile de confidențialitate.

În acest articol, vom încerca să reflectăm proprietățile trapezului cât mai complet posibil. În special, vom vorbi despre aspecte comuneși proprietățile unui trapez, precum și despre proprietățile unui trapez înscris și despre un cerc înscris într-un trapez. Vom atinge, de asemenea, proprietățile unui trapez isoscel și dreptunghiular.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind proprietățile luate în considerare vă va ajuta să rezolvați lucrurile în cap și să vă amintiți mai bine materialul.

Trapez și toate-toate-toate

Pentru început, să ne amintim pe scurt ce este un trapez și ce alte concepte sunt asociate cu acesta.

Deci, un trapez este o figură patrulateră, ale cărei două laturi sunt paralele una cu cealaltă (acestea sunt bazele). Și două nu sunt paralele - acestea sunt părțile laterale.

Într-un trapez, înălțimea poate fi omisă - perpendicular pe baze. Se desenează linia de mijloc și diagonalele. Și, de asemenea, din orice unghi al trapezului este posibil să se deseneze o bisectoare.

Pro proprietăți diverse asociate cu toate aceste elemente și combinațiile lor, vom vorbi acum.

Proprietățile diagonalelor unui trapez

Pentru a fi mai clar, în timp ce citiți, schițați trapezul ACME pe o bucată de hârtie și desenați diagonalele în ea.

Dacă găsiți punctele medii ale fiecăreia dintre diagonale (să numim aceste puncte X și T) și le conectați, obțineți un segment. Una dintre proprietățile diagonalelor unui trapez este aceea că se află segmentul XT linia de mijloc. Și lungimea sa poate fi obținută prin împărțirea diferenței bazelor la două: XT \u003d (a - b) / 2.
În fața noastră este același trapez ACME. Diagonalele se intersectează în punctul O. Să considerăm triunghiurile AOE și IOC formate din segmentele diagonalelor împreună cu bazele trapezului. Aceste triunghiuri sunt asemănătoare. Coeficientul de similitudine al k triunghiuri este exprimat prin raportul bazelor trapezului: k = AE/KM.
Raportul ariilor triunghiurilor AOE și IOC este descris de coeficientul k 2 .
Tot același trapez, aceleași diagonale care se intersectează în punctul O. Numai de această dată vom lua în considerare triunghiuri pe care segmentele diagonale le-au format împreună cu laturile trapezului. Zonele triunghiurilor AKO și EMO sunt egale - ariile lor sunt aceleași.
O altă proprietate a unui trapez include construcția diagonalelor. Deci, dacă continuăm părțile laterale ale AK și ME în direcția bazei mai mici, atunci mai devreme sau mai târziu se vor intersecta până la un punct. Apoi, trageți o linie dreaptă prin punctele medii ale bazelor trapezului. Intersectează bazele în punctele X și T.
Dacă extindem acum dreapta XT, atunci aceasta va uni punctul de intersecție al diagonalelor trapezului O, punctul în care se intersectează prelungirile laturilor și punctele mijlocii ale bazelor lui X și T.
Prin punctul de intersecție al diagonalelor, desenăm un segment care va conecta bazele trapezului (T se află pe baza mai mică a lui KM, X - pe AE mai mare). Punctul de intersecție al diagonalelor împarte acest segment în următorul raport: TO/OH = KM/AE.
Și acum prin punctul de intersecție al diagonalelor desenăm un segment paralel cu bazele trapezului (a și b). Punctul de intersecție îl va împărți în două părți egale. Puteți găsi lungimea unui segment folosind formula 2ab/(a + b).

Proprietățile liniei mediane a unui trapez

Desenați linia de mijloc în trapez paralel cu bazele sale.

Lungimea liniei mediane a unui trapez poate fi calculată adunând lungimile bazelor și împărțindu-le la jumătate: m = (a + b)/2.
Dacă desenați orice segment (înălțime, de exemplu) prin ambele baze ale trapezului, linia de mijloc îl va împărți în două părți egale.

Proprietatea bisectoarei unui trapez

Alegeți orice unghi al trapezului și trageți o bisectoare. Luați, de exemplu, unghiul KAE al ACME nostru trapez. După ce ați finalizat construcția pe cont propriu, puteți vedea cu ușurință că bisectoarea taie de la bază (sau continuarea ei pe o linie dreaptă în afara figurii în sine) un segment de aceeași lungime ca și latura.

Proprietățile unghiului trapezului

Oricare dintre cele două perechi de unghiuri adiacente laturii pe care o alegeți, suma unghiurilor dintr-o pereche este întotdeauna 180 0: α + β = 180 0 și γ + δ = 180 0 .
Conectați punctele medii ale bazelor trapezului cu un segment TX. Acum să ne uităm la unghiurile de la bazele trapezului. Dacă suma unghiurilor pentru oricare dintre ele este 90 0, lungimea segmentului TX este ușor de calculat pe baza diferenței dintre lungimile bazelor, împărțită la jumătate: TX \u003d (AE - KM) / 2.
Dacă sunt trasate linii paralele prin laturile unghiului unui trapez, acestea vor împărți laturile unghiului în segmente proporționale.

Proprietățile unui trapez isoscel (isoscel).

Într-un trapez isoscel, unghiurile la oricare dintre baze sunt egale.
Acum construiți din nou un trapez pentru a vă face mai ușor să vă imaginați despre ce este vorba. Privește cu atenție baza lui AE - vârful bazei opuse a lui M este proiectat într-un anumit punct pe linia care conține AE. Distanța de la vârful A până la punctul de proiecție al vârfului M și linia mediană a unui trapez isoscel sunt egale.
Câteva cuvinte despre proprietatea diagonalelor unui trapez isoscel - lungimile lor sunt egale. Și, de asemenea, unghiurile de înclinare ale acestor diagonale față de baza trapezului sunt aceleași.
Numai lângă un trapez isoscel poate fi descris un cerc, deoarece suma unghiurilor opuse ale unui patrulater 180 0 este o condiție prealabilă pentru aceasta.
Proprietatea unui trapez isoscel rezultă din paragraful anterior - dacă un cerc poate fi descris lângă un trapez, acesta este isoscel.
Din caracteristicile unui trapez isoscel, urmează proprietatea înălțimii unui trapez: dacă diagonalele sale se intersectează în unghi drept, atunci lungimea înălțimii este egală cu jumătate din suma bazelor: h = (a + b)/2.
Desenați din nou linia TX prin punctele medii ale bazelor trapezului - într-un trapez isoscel este perpendicular pe baze. Și, în același timp, TX este axa de simetrie a unui trapez isoscel.
De data aceasta coborâți la baza mai mare (să-i spunem a) înălțimea de la vârful opus al trapezului. Veți obține două tăieturi. Lungimea uneia poate fi găsită dacă lungimile bazelor sunt adăugate și împărțite la jumătate: (a+b)/2. O obținem pe a doua când scădem pe cea mai mică din baza mai mare și împărțim diferența rezultată la două: (a – b)/2.

Proprietățile unui trapez înscris într-un cerc

Deoarece vorbim deja despre un trapez înscris într-un cerc, să ne oprim asupra acestei probleme mai detaliat. În special, unde este centrul cercului în raport cu trapezul. Și aici este recomandat să nu fii prea leneș să ridici un creion și să desenezi ce va fi discutat de mai jos. Deci vei înțelege mai repede și vei aminti mai bine.

Locația centrului cercului este determinată de unghiul de înclinare al diagonalei trapezului față de latura sa. De exemplu, o diagonală poate ieși din partea superioară a unui trapez în unghi drept față de lateral. În acest caz, baza mai mare intersectează centrul cercului circumscris exact în mijloc (R = ½AE).
Diagonala și laterala se pot întâlni sub unghi ascutit- atunci centrul cercului se află în interiorul trapezului.
Centrul cercului circumscris poate fi în afara trapezului, dincolo de baza sa mare, dacă există un unghi obtuz între diagonala trapezului și latura laterală.
Unghiul format de diagonala și baza mare a trapezului ACME (unghiul înscris) este jumătate din unghiul central care îi corespunde: MAE = ½ MY.
Pe scurt, despre două moduri de a găsi raza cercului circumscris. Metoda unu: uită-te cu atenție la desenul tău - ce vezi? Veți observa cu ușurință că diagonala împarte trapezul în două triunghiuri. Raza poate fi găsită prin raportul dintre latura triunghiului și sinusul unghiului opus, înmulțit cu doi. De exemplu, R \u003d AE / 2 * sinAME. În mod similar, formula poate fi scrisă pentru oricare dintre laturile ambelor triunghiuri.
Metoda a doua: găsim raza cercului circumscris prin aria triunghiului format din diagonala, latura și baza trapezului: R \u003d AM * ME * AE / 4 * S AME.

Proprietățile unui trapez circumscris unui cerc

Puteți înscrie un cerc într-un trapez dacă este îndeplinită o condiție. Mai multe despre asta mai jos. Și împreună această combinație de cifre are o serie de proprietăți interesante.

Dacă un cerc este înscris într-un trapez, lungimea liniei sale mediane poate fi găsită cu ușurință adunând lungimile laturilor și împărțind suma rezultată la jumătate: m = (c + d)/2.
Pentru un ACME trapez, circumscris unui cerc, suma lungimilor bazelor este egală cu suma lungimilor laturilor: AK + ME = KM + AE.
Din această proprietate a bazelor unui trapez rezultă afirmația inversă: în acel trapez poate fi înscris un cerc, a cărui suma bazelor este egală cu suma laturilor.
Punctul tangent al unui cerc cu raza r înscris într-un trapez împarte latura laterală în două segmente, să le numim a și b. Raza unui cerc poate fi calculată folosind formula: r = √ab.
Și încă o proprietate. Pentru a nu fi confuz, desenați singur acest exemplu. Avem vechiul trapez ACME, circumscris în jurul unui cerc. În ea sunt desenate diagonale, intersectându-se în punctul O. Triunghiurile AOK și EOM formate din segmentele diagonalelor și ale laturilor sunt dreptunghiulare.
Înălțimile acestor triunghiuri, coborâte la ipotenuze (adică laturile trapezului), coincid cu razele cercului înscris. Și înălțimea trapezului este aceeași cu diametrul cercului înscris.

Proprietățile unui trapez dreptunghiular

Un trapez se numește dreptunghiular, unul dintre colțurile căruia este drept. Și proprietățile sale provin din această circumstanță.

Un trapez dreptunghiular are una dintre laturile perpendiculare pe baze.
Înălțimea și latura trapezului adiacent unghi drept, sunt egale. Acest lucru vă permite să calculați aria unui trapez dreptunghiular (formula generală S = (a + b) * h/2) nu numai prin înălțime, ci și prin latura adiacentă unghiului drept.
Pentru un trapez dreptunghiular, proprietățile generale ale diagonalelor trapezului deja descrise mai sus sunt relevante.

Dovezi ale unor proprietăți ale unui trapez

Egalitatea unghiurilor la baza unui trapez isoscel:

Probabil ați ghicit deja că aici avem nevoie din nou de trapezul ACME - desenați un trapez isoscel. Desenați o dreaptă MT de la vârful M paralelă cu latura lui AK (MT || AK).

Patrulaterul rezultat AKMT este un paralelogram (AK || MT, KM || AT). Deoarece ME = KA = MT, ∆ MTE este isoscel și MET = MTE.

AK || MT, deci MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Unde AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Acum, pe baza proprietății unui trapez isoscel (egalitatea diagonalelor), demonstrăm că trapezul ACME este isoscel:

Pentru început, să desenăm o linie dreaptă МХ – МХ || KE. Obținem un paralelogram KMHE (bază - MX || KE și KM || EX).

∆AMH este isoscel, deoarece AM = KE = MX și MAX = MEA.

MX || KE, KEA = MXE, deci MAE = MXE.

S-a dovedit că triunghiurile AKE și EMA sunt egale între ele, deoarece AM \u003d KE și AE sunt latura comună a celor două triunghiuri. Și, de asemenea, MAE \u003d MXE. Putem concluziona că AK = ME și, prin urmare, rezultă că trapezul AKME este isoscel.

Sarcina de repetat

Bazele trapezului ACME sunt de 9 cm și 21 cm, latura KA, egală cu 8 cm, formează un unghi de 150 0 cu o bază mai mică. Trebuie să găsiți zona trapezului.

Rezolvare: De la vârful K coborâm înălțimea la teren mai mare trapez. Și să începem să ne uităm la unghiurile trapezului.

Unghiurile AEM și KAN sunt unilaterale. Ceea ce înseamnă că însumează 1800. Prin urmare, KAN = 30 0 (pe baza proprietății unghiurilor trapezului).

Luați în considerare acum ∆ANK dreptunghiular (cred că acest punct este evident pentru cititori fără alte dovezi). Din ea găsim înălțimea trapezului KH - într-un triunghi este un picior, care se află opus unghiului de 30 0. Prin urmare, KN \u003d ½AB \u003d 4 cm.

Aria trapezului se găsește prin formula: S AKME \u003d (KM + AE) * KN / 2 \u003d (9 + 21) * 4/2 \u003d 60 cm 2.

Postfaţă

Dacă ați studiat cu atenție și atent acest articol, nu ați fost prea leneș să desenați trapeze pentru toate proprietățile de mai sus cu un creion în mâini și să le analizați în practică, ar fi trebuit să stăpâniți bine materialul.

Desigur, aici există o mulțime de informații, variate și uneori chiar confuze: nu este atât de greu să confundați proprietățile trapezului descris cu proprietățile celui înscris. Dar tu însuți ai văzut că diferența este uriașă.

Acum aveți un rezumat detaliat al tuturor proprietăți comune trapez. Precum și proprietățile și caracteristicile specifice ale trapezelor isoscele și dreptunghiulare. Este foarte convenabil de utilizat pentru a se pregăti pentru teste și examene. Încearcă-l singur și distribuie link-ul prietenilor tăi!

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Conceptul liniei mediane a trapezului

În primul rând, să ne amintim ce figură se numește trapez.

Definiția 1

Un trapez este un patrulater în care două laturi sunt paralele, iar celelalte două nu sunt paralele.

În acest caz, laturile paralele se numesc bazele trapezului și nu paralele - laturile trapezului.

Definiția 2

Linia mediană a unui trapez este un segment de linie care leagă punctele medii ale laturilor trapezului.

Teorema liniei mediane a trapezului

Introducem acum teorema pe linia mediană a unui trapez și o demonstrăm prin metoda vectorială.

Teorema 1

Linia mediană a trapezului este paralelă cu bazele și egală cu jumătate din suma acestora.

Dovada.

Să ni se dea un trapez $ABCD$ cu bazele $AD\ și\ BC$. Și să fie $MN$ linia mediană a acestui trapez (Fig. 1).

Figura 1. Linia de mijloc a trapezului

Să demonstrăm că $MN||AD\ și\ MN=\frac(AD+BC)(2)$.

Luați în considerare vectorul $\overrightarrow(MN)$. În continuare, folosim regula poligonului pentru adunarea vectorială. Pe de o parte, înțelegem asta

Pe cealaltă parte

Adăugând ultimele două egalități, obținem

Deoarece $M$ și $N$ sunt punctele medii ale laturilor trapezului, avem

Primim:

Prin urmare

Din aceeași egalitate (deoarece $\overrightarrow(BC)$ și $\overrightarrow(AD)$ sunt codirecționale și, prin urmare, coliniare), obținem acel $MN||AD$.

Teorema a fost demonstrată.

Exemple de sarcini pe conceptul liniei mediane a unui trapez

Exemplul 1

Laturile trapezului sunt $15\cm$ și, respectiv, $17\cm$. Perimetrul trapezului este $52\cm$. Aflați lungimea liniei mediane a trapezului.

Soluţie.

Se notează linia mediană a trapezului cu $n$.

Suma laturilor este

Prin urmare, deoarece perimetrul este $52\ cm$, suma bazelor este

Prin urmare, prin teorema 1, obținem

Răspuns:$10\cm$.

Exemplul 2

Capetele diametrului cercului sunt $9$ cm și, respectiv, $5$ cm față de tangenta acestuia.Aflați diametrul acestui cerc.

Soluţie.

Să ni se dă un cerc cu centrul $O$ și diametrul $AB$. Desenați tangenta $l$ și construiți distanțele $AD=9\ cm$ și $BC=5\ cm$. Să desenăm raza $OH$ (Fig. 2).

Figura 2.

Deoarece $AD$ și $BC$ sunt distanțe până la tangentă, atunci $AD\bot l$ și $BC\bot l$ și din moment ce $OH$ este raza, atunci $OH\bot l$, deci $OH | \left|AD\right||BC$. Din toate acestea rezultă că $ABCD$ este un trapez, iar $OH$ este linia sa mediană. Prin teorema 1, obținem

CADRANGURI.

§ 49. TRAPEZIA.

Un patrulater în care două laturi opuse sunt paralele și celelalte două nu sunt paralele se numește trapez.

În desenul 252, patrulaterul ABDC AB || CD, AC || B.D. ABDC - trapez.

Laturile paralele ale unui trapez se numesc sale temeiuri; AB și CD sunt bazele trapezului. Celelalte două părți sunt numite laturi trapez; AC și BD sunt laturile trapezului.

Dacă laturile sunt egale, atunci se numește un trapez isoscel.

ABOM trapezoidul este isoscel, deoarece AM=BO (Fig. 253).

Se numește un trapez în care una dintre laturi este perpendiculară pe bază dreptunghiular(dev. 254).

Linia mediană a unui trapez este un segment care leagă punctele medii ale laturilor trapezului.

Teorema. Linia mediană a unui trapez este paralelă cu fiecare dintre bazele sale și este egală cu jumătatea sumei lor.

Dat: OS - linia de mijloc a trapezului ABDK, adică OK \u003d OA și BC \u003d CD (Fig. 255).

Trebuie să dovedim:

1) OS || KD și OS || AB;
2)

Dovada. Desenați o linie prin punctele A și C care intersectează continuarea bazei KD la un punct E.

În triunghiuri ABC și DCE:
BC \u003d CD - după condiție;
/ 1 = / 2 ca vertical,
/ 4 = / 3, ca interior încrucișat cu AB și KE paralele și BD secante. Prin urmare, /\ ABC = /\ DSE.

Prin urmare, AC = CE, i.e. OS este linia mediană a triunghiului KAE. Prin urmare (§ 48):

1) OS || KE și, prin urmare, OS || KD și OS || AB;
2) , dar DE \u003d AB (din egalitatea triunghiurilor ABC și DCE), deci segmentul DE poate fi înlocuit cu segmentul AB egal cu acesta. Atunci obținem:

Teorema a fost demonstrată.

Exerciții.

1. Demonstrați că suma colțurile interne trapezul adiacent fiecărei părți este 2 d.

2. Demonstrați că unghiurile de la baza unui trapez isoscel sunt egale.

3. Demonstrați că dacă unghiurile de la baza unui trapez sunt egale, atunci acest trapez este isoscel.

4. Demonstrați că diagonalele unui trapez isoscel sunt egale între ele.

5. Demonstrați că dacă diagonalele unui trapez sunt egale, atunci acest trapez este isoscel.

6. Demonstrați că perimetrul figurii format din segmentele care leagă punctele medii ale laturilor patrulaterului este este egală cu suma diagonalele acestui patrulater.

7. Demonstrați că o dreaptă care trece prin mijlocul uneia dintre laturile trapezului paralel cu bazele sale împarte cealaltă parte a trapezului în jumătate.

Se numește patrulater cu doar două laturi paralele trapez.

Laturile paralele ale unui trapez se numesc sale temeiuri, iar acele laturi care nu sunt paralele se numesc laturi. Dacă laturile sunt egale, atunci un astfel de trapez este isoscel. Distanța dintre baze se numește înălțimea trapezului.

Linia de mijloc a trapezului

Linia mediană este un segment care leagă punctele medii ale laturilor trapezului. Linia mediană a unui trapez este paralelă cu bazele sale.

Teorema:

Dacă o linie care intersectează mijlocul unei laturi este paralelă cu bazele trapezului, atunci ea traversează a doua latură a trapezului.

Teorema:

Lungimea liniei mediane este egală cu media aritmetică a lungimilor bazelor sale

MN || AB || DC
AM=MD; BN=NC

Linia mediană MN, AB și CD - baze, AD și BC - laturi

MN=(AB+DC)/2

Teorema:

Lungimea liniei mediane a unui trapez este egală cu media aritmetică a lungimilor bazelor sale.

Sarcina principală: Demonstrați că linia mediană a unui trapez traversează un segment ale cărui capete se află în mijlocul bazelor trapezului.

Linia de mijloc a triunghiului

Segmentul de linie care leagă punctele medii ale celor două laturi ale unui triunghi se numește linia mediană a triunghiului. Este paralel cu a treia latură și lungimea sa este jumătate din lungimea celei de-a treia laturi.
Teorema: Dacă o dreaptă care intersectează mijlocul unei laturi a unui triunghi este paralelă cu cealaltă latură a triunghiului dat, atunci ea traversează a treia latură.

AM = MC și BN = NC =>

Aplicarea proprietăților de linie mediană a triunghiului și a trapezului

Împărțirea unui segment într-un anumit număr de părți egale.
Sarcină: Împărțiți segmentul AB în 5 părți egale.
Soluţie:
Fie p o rază aleatorie a cărei origine este punctul A și care nu se află pe dreapta AB. Punem deoparte secvenţial 5 segmente egale pe p AA 1 = A 1 A 2 = A 2 A 3 = A 3 A 4 = A 4 A 5
Conectăm A 5 la B și trasăm linii prin A 4 , A 3 , A 2 și A 1 care sunt paralele cu A 5 B. Ele intersectează AB la B 4 , B 3 , B 2 și respectiv B 1. Aceste puncte împart segmentul AB în 5 părți egale. Într-adevăr, din trapezul BB 3 A 3 A 5 vedem că BB 4 = B 4 B 3 . În același mod, din trapezul B 4 B 2 A 2 A 4 obținem B 4 B 3 = B 3 B 2

În timp ce din trapez B 3 B 1 A 1 A 3 , B 3 B 2 = B 2 B 1 .
Apoi din B 2 AA 2 rezultă că B 2 B 1 = B 1 A. În concluzie, obținem:
AB 1 = B 1 B 2 = B 2 B 3 = B 3 B 4 = B 4 B
Este clar că pentru a împărți segmentul AB într-un alt număr de părți egale, trebuie să proiectăm același număr de segmente egale pe raza p. Și apoi continuați în modul descris mai sus.