Pentru o funcție dată, găsiți valoarea ei extremă. Extreme ale funcției

Să trecem la graficul funcției y = x 3 – 3x 2. Să considerăm vecinătatea punctului x = 0, adică. un interval care conține acest punct. Este logic că există o vecinătate a punctului x = 0 astfel încât cea mai mare valoare funcția y = x 3 – 3x 2 din această vecinătate ia punctul x = 0. De exemplu, pe intervalul (-1; 1), funcția ia cea mai mare valoare egală cu 0 în punctul x = 0. punctul x = 0 se numește punctul maxim al acestei funcții.

În mod similar, punctul x = 2 se numește punctul minim al funcției x 3 - 3x 2, deoarece în acest moment valoarea funcției nu este mai mare decât valoarea acesteia în alt punct din vecinătatea punctului x = 2, pt. exemplu, cartierul (1,5; 2,5).

Astfel, punctul maxim al funcției f(x) se numește punctul x 0 dacă există o vecinătate a punctului x 0 astfel încât inegalitatea f(x) ≤ f(x 0) să fie valabilă pentru tot x din această vecinătate.

De exemplu, punctul x 0 = 0 este punctul maxim al funcției f(x) = 1 – x 2, deoarece f(0) = 1 și inegalitatea f(x) ≤ 1 este adevărată pentru toate valorile lui x.

Punctul minim al funcției f(x) este un punct x 0 dacă există o astfel de vecinătate a punctului x 0 încât inegalitatea f(x) ≥ f(x 0) să fie satisfăcută pentru tot x din această vecinătate.

De exemplu, punctul x 0 = 2 este punctul minim al funcției f(x) = 3 + (x – 2) 2, deoarece f(2) = 3 și f(x) ≥ 3 pentru tot x.

Punctele extreme se numesc puncte minime și maxime.

Să ne întoarcem la funcția f(x), care este definită într-o anumită vecinătate a punctului x 0 și are o derivată în acest punct.

Dacă x 0 este punctul extrem al funcției diferențiabile f(x), atunci f "(x 0) = 0. Această afirmație se numește teorema lui Fermat.

Teorema lui Fermat are o semnificație geometrică clară: în punctul extremum, tangenta este paralelă cu axa absciselor și, prin urmare, panta ei.
f „(x 0) este egal cu zero.

De exemplu, funcția f(x) = 1 – 3x2 are un maxim în punctul x0 = 0, derivata sa f „(x) = -2x, f „(0) = 0.

Funcția f(x) = (x – 2) 2 + 3 are un minim în punctul x 0 = 2, f „(x) = 2(x – 2), f „(2) = 0.

Rețineți că dacă f "(x 0) = 0, atunci acest lucru nu este suficient pentru a afirma că x 0 este în mod necesar punctul extremum al funcției f (x).

De exemplu, dacă f(x) = x 3, atunci f "(0) = 0. Totuși, punctul x = 0 nu este un punct extrem, deoarece funcția x 3 crește de-a lungul întregii axe numerice.

Deci, punctele extreme ale funcției diferențiabile trebuie căutate numai printre rădăcinile ecuației
f "(x) = 0, dar rădăcina acestei ecuații nu este întotdeauna un punct extrem.

Punctele staționare sunt puncte în care derivata unei funcții este zero.

Astfel, pentru ca punctul x 0 să fie un punct extremum, este necesar ca acesta să fie un punct staționar.

Să considerăm condiții suficiente pentru ca punctul staționar să fie un punct extremum, i.e. condiţiile în care un punct staţionar este un punct de minim sau maxim al unei funcţii.

Dacă derivata din stânga punctului staționar este pozitivă, iar la dreapta – negativă, adică. derivata schimbă semnul „+” în semnul „–” la trecerea prin acest punct, atunci acest punct staționar este punctul maxim.

Într-adevăr, în acest caz, la stânga punctului staționar funcția crește, iar la dreapta scade, adică. punct dat– acesta este punctul maxim.

Dacă derivata schimbă semnul „–” în semnul „+” atunci când trece printr-un punct staționar, atunci acest punct staționar este un punct minim.

Dacă derivata nu își schimbă semnul la trecerea printr-un punct staționar, i.e. la stânga și la dreapta punctului staționar derivata este pozitivă sau negativă, atunci acest punct nu este un punct extremum.

Să luăm în considerare una dintre probleme. Aflați punctele extreme ale funcției f(x) = x 4 – 4x 3.

Soluţie.

1) Aflați derivata: f "(x) = 4x 3 – 12x 2 = 4x 2 (x – 3).

2) Aflați puncte staționare: 4x 2 (x – 3) = 0, x 1 = 0, x 2 = 3.

3) Utilizând metoda intervalului, stabilim că derivata f "(x) = 4x 2 (x – 3) este pozitivă pentru x > 3, negativă pentru x< 0 и при 0 < х < 3.

4) Deoarece la trecerea prin punctul x 1 = 0 semnul derivatei nu se schimbă, acest punct nu este un punct extremum.

5) Derivata schimbă semnul „–” în semnul „+” la trecerea prin punctul x 2 = 3. Prin urmare, x 2 = 3 este punctul minim.

site-ul web, atunci când copiați materialul integral sau parțial, este necesar un link către sursă.

Foarte informatii importante despre comportamentul funcției oferă intervale de creștere și scădere. Găsirea acestora face parte din procesul de examinare a funcției și de trasare a graficului. În plus, sunt date punctele extreme în care există o schimbare de la creștere la descreștere sau de la descreștere la creștere o atenție deosebită atunci când se găsesc cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții pe un anumit interval.

În acest articol vom oferi definiţiile necesare, să formulăm un criteriu suficient pentru creșterea și scăderea unei funcții pe un interval și condiții suficiente pentru existența unui extremum și să aplicăm toată această teorie la rezolvarea de exemple și probleme.

Navigare în pagină.

Funcția crescătoare și descrescătoare pe un interval.

Definiția unei funcții crescătoare.

Funcția y=f(x) crește pe intervalul X dacă pentru oricare și inegalitatea este valabilă. Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției.

Definiția unei funcții descrescătoare.

Funcția y=f(x) scade pe intervalul X dacă pentru oricare și inegalitatea este valabilă . Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției.

NOTĂ: dacă funcția este definită și continuă la capetele intervalului crescător sau descrescător (a;b), adică la x=a și x=b, atunci aceste puncte sunt incluse în intervalul crescător sau descrescător. Acest lucru nu contrazice definițiile unei funcții crescătoare și descrescătoare pe intervalul X.

De exemplu, din proprietățile principale functii elementareștim că y=sinx este definit și continuu pentru toate valorile reale ale argumentului. Prin urmare, din creșterea funcției sinus pe interval, putem afirma că aceasta crește pe interval.

Puncte extreme, extreme ale unei funcții.

Punctul se numește punct maxim funcția y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul maxim maxima functieiși notează .

Punctul se numește punct minim funcția y=f(x) dacă inegalitatea este adevărată pentru tot x din vecinătatea lui. Se numește valoarea funcției în punctul minim functie minimași notează .

Vecinătatea unui punct este înțeleasă ca interval , unde este un număr pozitiv suficient de mic.

Se numesc punctele minime și maxime puncte extremum, iar valorile funcției corespunzătoare punctelor extreme sunt numite extreme ale funcției.

Nu confundați extremele unei funcții cu cele mai mari și mai mici valori ale funcției.

În prima figură, cea mai mare valoare a funcției de pe segment se realizează în punctul maxim și este egală cu maximul funcției, iar în a doua figură, cea mai mare valoare a funcției se realizează în punctul x=b , care nu este punctul maxim.

Condiții suficiente pentru creșterea și scăderea funcțiilor.

Pe baza unor conditii (semne) suficiente pentru cresterea si scaderea unei functii se gasesc intervale de crestere si scadere a functiei.

Iată formulările semnelor funcțiilor crescătoare și descrescătoare pe un interval:

• dacă derivata funcției y=f(x) este pozitivă pentru orice x din intervalul X, atunci funcția crește cu X;
• dacă derivata funcției y=f(x) este negativă pentru orice x din intervalul X, atunci funcția scade pe X.

Astfel, pentru a determina intervalele de creștere și scădere a unei funcții, este necesar:

Să luăm în considerare un exemplu de găsire a intervalelor de funcții crescătoare și descrescătoare pentru a explica algoritmul.

Exemplu.

Aflați intervalele funcțiilor crescătoare și descrescătoare.

Soluţie.

Primul pas este găsirea domeniului de definire al funcției. În exemplul nostru, expresia din numitor nu ar trebui să meargă la zero, prin urmare, .

Să trecem la găsirea derivatei funcției:

Pentru a determina intervalele de creștere și scădere ale unei funcții pe baza unui criteriu suficient, rezolvăm inegalități pe domeniul definiției. Să folosim o generalizare a metodei intervalului. Singura rădăcină adevărată numărătorul este x = 2 iar numitorul ajunge la zero la x=0 . Aceste puncte împart domeniul definiției în intervale în care derivata funcției își păstrează semnul. Să notăm aceste puncte pe linia numerică. În mod convențional notăm cu plusuri și minus intervalele la care derivata este pozitivă sau negativă. Săgețile de mai jos arată schematic creșterea sau scăderea funcției pe intervalul corespunzător.

Astfel, Şi .

La punctul Funcția x=2 este definită și continuă, așa că ar trebui adăugată atât la intervalele crescătoare, cât și la cele descrescătoare. La punctul x=0 functia nu este definita, deci nu includem acest punct in intervalele cerute.

Prezentăm un grafic al funcției pentru a compara rezultatele obținute cu aceasta.

Răspuns:

Funcția crește pe măsură ce , scade pe intervalul (0;2] .

Condiții suficiente pentru extremul unei funcții.

Pentru a găsi maximele și minimele unei funcții, puteți folosi oricare dintre cele trei semne ale extremului, desigur, dacă funcția le îndeplinește condițiile. Cel mai comun și convenabil este primul dintre ele.

Prima condiție suficientă pentru un extremum.

Fie funcția y=f(x) diferențiabilă în vecinătatea punctului și continuă în punctul însuși.

Cu alte cuvinte:

Algoritm pentru găsirea punctelor extreme pe baza primului semn al extremului unei funcții.

• Găsim domeniul de definire al funcției.
• Găsim derivata funcției pe domeniul definiției.
• Determinăm zerourile numărătorului, zerourile numitorului derivatei și punctele domeniului de definiție în care derivata nu există (toate punctele enumerate se numesc puncte de extremum posibil, trecând prin aceste puncte, derivata își poate schimba doar semnul).
• Aceste puncte împart domeniul de definire al funcției în intervale în care derivata își păstrează semnul. Determinăm semnele derivatei pe fiecare dintre intervale (de exemplu, calculând valoarea derivatei unei funcții în orice punct dintr-un anumit interval).
• Selectăm puncte în care funcția este continuă și, trecând prin care, derivata își schimbă semnul - acestea sunt punctele extreme.

Sunt prea multe cuvinte, să ne uităm mai bine la câteva exemple de găsire a punctelor extreme și a extremelor unei funcții folosind prima condiție suficientă pentru extremul unei funcții.

Exemplu.

Găsiți extremele funcției.

Soluţie.

Domeniul unei funcții este întregul set numere reale, cu excepția x=2 .

Găsirea derivatei:

Zerourile numărătorului sunt punctele x=-1 și x=5, numitorul ajunge la zero la x=2. Marcați aceste puncte pe axa numerelor

Determinăm semnele derivatei la fiecare interval, pentru a face acest lucru, calculăm valoarea derivatei în oricare dintre punctele fiecărui interval, de exemplu, în punctele x=-2, x=0, x=3 și; x=6.

Prin urmare, pe interval derivata este pozitivă (în figură punem semnul plus peste acest interval). De asemenea

Prin urmare, punem un minus deasupra celui de-al doilea interval, un minus deasupra celui de-al treilea și un plus deasupra celui de-al patrulea.

Rămâne să selectați punctele în care funcția este continuă și derivata ei își schimbă semnul. Acestea sunt punctele extreme.

La punctul x=-1 funcția este continuă și derivata își schimbă semnul din plus în minus, prin urmare, conform primului semn de extremum, x=-1 este punctul maxim, maximul funcției îi corespunde .

La punctul x=5 funcția este continuă și derivata își schimbă semnul din minus în plus, prin urmare, x=-1 este punctul minim, minimul funcției îi corespunde .

Ilustrație grafică.

Răspuns:

Vă rugăm să rețineți: primul criteriu suficient pentru un extremum nu necesită diferențierea funcției în punctul însuși.

Exemplu.

Găsiți punctele extreme și extremele funcției .

Soluţie.

Domeniul unei funcții este întregul set de numere reale. Funcția în sine poate fi scrisă ca:

Să găsim derivata funcției:

La punctul x=0 derivata nu există, deoarece valorile limitelor unilaterale nu coincid atunci când argumentul tinde spre zero:

În același timp, funcția inițială este continuă în punctul x=0 (vezi secțiunea privind studierea funcției pentru continuitate):

Să găsim valoarea argumentului la care derivata ajunge la zero:

Să notăm toate punctele obținute pe dreapta numerică și să determinăm semnul derivatei pe fiecare dintre intervale. Pentru a face acest lucru, calculăm valorile derivatei în puncte arbitrare ale fiecărui interval, de exemplu, la x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6.

adica

Astfel, conform primului semn al unui extremum, punctele minime sunt , punctele maxime sunt .

Calculăm minimele corespunzătoare ale funcției

Calculăm maximele corespunzătoare ale funcției

Ilustrație grafică.

Răspuns:

.

Al doilea semn al unui extremum al unei funcții.

După cum puteți vedea, acest semn al unui extremum al unei funcții necesită existența unei derivate cel puțin de ordinul doi la punct.

Pentru a determina natura unei funcții și a vorbi despre comportamentul acesteia, este necesar să găsim intervale de creștere și scădere. Acest proces se numește cercetare a funcției și graficare. Punctul extremum este folosit la găsirea celui mai mare și cea mai mică valoare funcții, deoarece în ele funcția crește sau scade din interval.

Acest articol dezvăluie definițiile, formulează un semn suficient de creștere și scădere a intervalului și o condiție pentru existența unui extremum. Acest lucru este valabil pentru rezolvarea de exemple și probleme. Secțiunea privind diferențierea funcțiilor ar trebui repetată, deoarece soluția va trebui să folosească găsirea derivatei.

Funcția y = f (x) va crește pe intervalul x când, pentru orice x 1 ∈ X și x 2 ∈ X, x 2 > x 1, inegalitatea f (x 2) > f (x 1) este satisfăcută. Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției.

Definiția 2

Funcția y = f (x) este considerată descrescătoare pe intervalul x atunci când, pentru orice x 1 ∈ X, x 2 ∈ X, x 2 > x 1, egalitatea f (x 2) > f (x 1) este considerat adevărat. Cu alte cuvinte, o valoare mai mare a funcției corespunde unei valori mai mici a argumentului. Luați în considerare figura de mai jos.

Comentariu: Când funcția este definită și continuă la capetele intervalului de creștere și scădere, adică (a; b), unde x = a, x = b, punctele sunt incluse în intervalul de creștere și scădere. Acest lucru nu contrazice definiția, înseamnă că are loc pe intervalul x.

Principalele proprietăți ale funcțiilor elementare de tip y = sin x sunt certitudinea și continuitatea la valori reale argumente. De aici rezultă că sinusul crește pe intervalul - π 2; π 2, atunci creșterea pe segment are forma - π 2; π 2.

Punctul x 0 este numit punct maxim pentru funcția y = f (x), când pentru toate valorile lui x este valabilă inegalitatea f (x 0) ≥ f (x). Funcție maximă este valoarea funcției într-un punct și se notează cu y m a x .

Punctul x 0 se numește punctul minim pentru funcția y = f (x), când pentru toate valorile lui x este valabilă inegalitatea f (x 0) ≤ f (x). Funcții minime este valoarea funcției într-un punct și are o desemnare de forma y m i n .

Se consideră vecinătăți ale punctului x 0 puncte extreme,și valoarea funcției care corespunde punctelor extreme. Luați în considerare figura de mai jos.

Extreme ale unei funcții cu cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției. Luați în considerare figura de mai jos.

Prima figură spune că este necesar să se găsească cea mai mare valoare a funcției din segmentul [a; b ] . Se găsește folosind puncte maxime și este egală cu valoarea maximă a funcției, iar a doua cifră seamănă mai mult cu găsirea punctului maxim la x = b.

Condiții suficiente pentru ca o funcție să crească și să scadă

Pentru a găsi maximele și minimele unei funcții, este necesar să se aplice semne de extremum în cazul în care funcția îndeplinește aceste condiții. Primul semn este considerat cel mai des folosit.

Prima condiție suficientă pentru un extremum

Fie dată o funcție y = f (x), care este diferențiabilă într-o vecinătate ε a punctului x 0 și are continuitate în punctul dat x 0. De aici obținem asta

• când f " (x) > 0 cu x ∈ (x 0 - ε ; x 0) și f " (x)< 0 при x ∈ (x 0 ; x 0 + ε) , тогда x 0 является точкой максимума;
• când f "(x)< 0 с x ∈ (x 0 - ε ; x 0) и f " (x) >0 pentru x ∈ (x 0 ; x 0 + ε), atunci x 0 este punctul minim.

Cu alte cuvinte, obținem condițiile lor pentru stabilirea semnului:

• când funcția este continuă în punctul x 0, atunci are o derivată cu semn schimbător, adică de la + la -, ceea ce înseamnă că punctul se numește maxim;
• când funcția este continuă în punctul x 0, atunci are o derivată cu semn care se schimbă de la - la +, ceea ce înseamnă că punctul se numește minim.

Pentru a determina corect punctele maxime și minime ale unei funcții, trebuie să urmați algoritmul de găsire a acestora:

• găsiți domeniul definiției;
• găsiți derivata funcției pe această zonă;
• identifica zerouri și puncte în care funcția nu există;
• determinarea semnului derivatei pe intervale;
• selectați punctele în care funcția își schimbă semnul.

Să luăm în considerare algoritmul prin rezolvarea mai multor exemple de găsire a extremelor unei funcții.

Exemplul 1

Aflați punctele maxime și minime ale funcției date y = 2 (x + 1) 2 x - 2 .

Soluţie

Domeniul de definire al acestei funcții este reprezentat de toate numerele reale, cu excepția x = 2. Mai întâi, să găsim derivata funcției și să obținem:

y " = 2 x + 1 2 x - 2 " = 2 x + 1 2 " (x - 2) - (x + 1) 2 (x - 2) " (x - 2) 2 = = 2 2 (x + 1) (x + 1) " (x - 2) - (x + 1) 2 1 (x - 2) 2 = 2 2 (x + 1) (x - 2 ) - (x + 2) 2 (x - 2) 2 = = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2

De aici vedem că zerourile funcției sunt x = - 1, x = 5, x = 2, adică fiecare paranteză trebuie egalată cu zero. Să-l marchem pe axa numerelor și să obținem:

Acum determinăm semnele derivatei din fiecare interval. Este necesar să selectați un punct inclus în interval și să îl înlocuiți în expresie. De exemplu, punctele x = - 2, x = 0, x = 3, x = 6.

Înțelegem asta

y " (- 2) = 2 · (x + 1) · (x - 5) (x - 2) 2 x = - 2 = 2 · (- 2 + 1) · (- 2 - 5) (- 2 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0, ceea ce înseamnă că intervalul - ∞ - 1 are o derivată pozitivă.

y " (0) = 2 · (0 + 1) · 0 - 5 0 - 2 2 = 2 · - 5 4 = - 5 2< 0 y " (3) = 2 · (3 + 1) · (3 - 5) (3 - 2) 2 = 2 · - 8 1 = - 16 < 0 y " (6) = 2 · (6 + 1) · (6 - 5) (6 - 2) 2 = 2 · 7 16 = 7 8 > 0

De când s-a dovedit al doilea interval mai putin de zero, ceea ce înseamnă că derivata de pe segment va fi negativă. Al treilea cu un minus, al patrulea cu un plus. Pentru a determina continuitatea, trebuie să acordați atenție semnului derivatului, dacă acesta se schimbă, atunci acesta este un punct extrem.

Constatăm că în punctul x = - 1 funcția va fi continuă, ceea ce înseamnă că derivata își va schimba semnul din + în -. Conform primului semn, avem că x = - 1 este un punct maxim, ceea ce înseamnă că obținem

y m a x = y (- 1) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = - 1 = 2 (- 1 + 1) 2 - 1 - 2 = 0

Punctul x = 5 indică faptul că funcția este continuă, iar derivata își va schimba semnul de la – la +. Aceasta înseamnă că x = -1 este punctul minim, iar determinarea lui are forma

y m i n = y (5) = 2 (x + 1) 2 x - 2 x = 5 = 2 (5 + 1) 2 5 - 2 = 24

Reprezentare grafică

Răspuns: y m a x = y (- 1) = 0, y m i n = y (5) = 24.

Merită să fiți atenți la faptul că utilizarea primului criteriu suficient pentru un extremum nu necesită ca funcția să fie diferențiabilă în punctul x 0, ceea ce simplifică calculul.

Exemplul 2

Aflați punctele maxime și minime ale funcției y = 1 6 x 3 = 2 x 2 + 22 3 x - 8.

Soluţie.

Domeniul unei funcții este reprezentat de toate numerele reale. Acesta poate fi scris ca un sistem de ecuații de forma:

1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 , x ≥ 0

Apoi trebuie să găsiți derivata:

y " = 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 " , x< 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 " , x >0 y " = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0

Punctul x = 0 nu are o derivată, deoarece valorile limitelor unilaterale sunt diferite. Primim ca:

lim y " x → 0 - 0 = lim y x → 0 - 0 - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 = - 1 2 (0 - 0) 2 - 4 (0 - 0) - 22 3 = - 22 3 lim y "x → 0 + 0 = lim y x → 0 - 0 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 = 1 2 (0 + 0) 2 - 4 (0 + 0) + 22 3 = + 22 3

Rezultă că funcția este continuă în punctul x = 0, apoi calculăm

lim y x → 0 - 0 = lim x → 0 - 0 - 1 6 x 3 - 2 x 2 - 22 3 x - 8 = = - 1 6 · (0 - 0) 3 - 2 · (0 - 0) 2 - 22 3 (0 - 0) - 8 = - 8 lim y x → 0 + 0 = lim x → 0 - 0 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 = = 1 6 (0 + 0) 3 - 2 · (0 + 0) 2 + 22 3 · (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = 1 6 x 3 - 2 x 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = 1 6 · 0 3 - 2 0 2 + 22 3 0 - 8 = - 8

Este necesar să se facă calcule pentru a găsi valoarea argumentului când derivata devine egal cu zero:

1 2 x 2 - 4 x - 22 3 , x< 0 D = (- 4) 2 - 4 · - 1 2 · - 22 3 = 4 3 x 1 = 4 + 4 3 2 · - 1 2 = - 4 - 2 3 3 < 0 x 2 = 4 - 4 3 2 · - 1 2 = - 4 + 2 3 3 < 0

1 2 x 2 - 4 x + 22 3 , x > 0 D = (- 4) 2 - 4 1 2 22 3 = 4 3 x 3 = 4 + 4 3 2 1 2 = 4 + 2 3 3 > 0 x 4 = 4 - 4 3 2 1 2 = 4 - 2 3 3 > 0

Toate punctele obținute trebuie marcate pe o linie dreaptă pentru a determina semnul fiecărui interval. Prin urmare, este necesar să se calculeze derivata în puncte arbitrare pentru fiecare interval. De exemplu, putem lua puncte cu valorile x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6. Înțelegem asta

y " (- 6) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 6 = - 1 2 · - 6 2 - 4 · (- 6) - 22 3 = - 4 3< 0 y " (- 4) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 4 = - 1 2 · (- 4) 2 - 4 · (- 4) - 22 3 = 2 3 >0 y "(- 1) = - 1 2 x 2 - 4 x - 22 3 x = - 1 = - 1 2 (- 1) 2 - 4 (- 1) - 22 3 = 23 6< 0 y " (1) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 1 = 1 2 · 1 2 - 4 · 1 + 22 3 = 23 6 >0 y "(4) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 4 = 1 2 4 2 - 4 4 + 22 3 = - 2 3< 0 y " (6) = 1 2 x 2 - 4 x + 22 3 x = 6 = 1 2 · 6 2 - 4 · 6 + 22 3 = 4 3 > 0

Imaginea de pe linia dreaptă arată ca

Aceasta înseamnă că ajungem la concluzia că este necesar să se recurgă la primul semn al unui extremum. Să calculăm și să găsim asta

x = - 4 - 2 3 3 , x = 0 , x = 4 + 2 3 3 , atunci de aici punctele maxime au valorile x = - 4 + 2 3 3 , x = 4 - 2 3 3

Să trecem la calculul minimelor:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 0 = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 + 2 3 3 = - 8 27 3

Să calculăm maximele funcției. Înțelegem asta

y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 1 6 x 3 - 2 2 + 22 3 x - 8 x = 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Reprezentare grafică

Răspuns:

y m i n = y - 4 - 2 3 3 = - 8 27 3 y m i n = y (0) = - 8 y m i n = y 4 + 2 3 3 = - 8 27 3 y m a x = y - 4 + 2 3 3 = 8 27 3 y m a x = y 4 - 2 3 3 = 8 27 3

Dacă este dată o funcție f " (x 0) = 0, atunci dacă f "" (x 0) > 0, obținem că x 0 este un punct minim dacă f "" (x 0)< 0 , то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x 0 .

Exemplul 3

Aflați maximele și minimele funcției y = 8 x x + 1.

Soluţie

În primul rând, găsim domeniul definiției. Înțelegem asta

D(y) : x ≥ 0 x ≠ - 1 ⇔ x ≥ 0

Este necesar să diferențiem funcția, după care obținem

y " = 8 x x + 1 " = 8 x " (x + 1) - x (x + 1) " (x + 1) 2 = = 8 1 2 x (x + 1) - x 1 (x + 1) 2 = 4 x + 1 - 2 x (x + 1) 2 x = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x

La x = 1, derivata devine zero, ceea ce înseamnă că punctul este un posibil extremum. Pentru a clarifica, este necesar să găsiți derivata a doua și să calculați valoarea la x = 1. Primim:

y "" = 4 - x + 1 (x + 1) 2 x " = = 4 (- x + 1) " (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 (- 1) (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 " x + (x + 1) 2 x " (x + 1) 4 x = = 4 - (x + 1) 2 x - (- x + 1) 2 x + 1 (x + 1) " x + (x + 1) 2 2 x (x + 1) 4 x = = - (x + 1) 2 x - (- x + 1) x + 1 2 x + x + 1 2 x (x + 1) 4 x = = 2 3 x 2 - 6 x - 1 x + 1 3 x 3 ⇒ y "" (1 ) = 2 3 1 2 - 6 1 - 1 (1 + 1) 3 (1) 3 = 2 · - 4 8 = - 1< 0

Aceasta înseamnă că folosind condiția 2 suficientă pentru un extrem, obținem că x = 1 este un punct maxim. În caz contrar, intrarea arată ca y m a x = y (1) = 8 1 1 + 1 = 4.

Reprezentare grafică

Răspuns: y m a x = y (1) = 4 ..

Funcția y = f (x) are derivata până la ordinul n în vecinătatea ε a unui punct dat x 0 și derivata până la ordinul n + 1 în punctul x 0 . Atunci f " (x 0) = f "" (x 0) = f " " " (x 0) = . . . = f n (x 0) = 0 .

Rezultă că atunci când n este un număr par, atunci x 0 este considerat un punct de inflexiune, când n este un număr impar, atunci x 0 este un punct extremum, iar f (n + 1) (x 0) > 0, atunci x 0 este un punct minim, f (n + 1) (x 0)< 0 , тогда x 0 является точкой максимума.

Exemplul 4

Aflați punctele maxime și minime ale funcției y y = 1 16 (x + 1) 3 (x - 3) 4.

Soluţie

Funcția originală este o funcție rațională întreagă, ceea ce înseamnă că domeniul de definiție este toate numerele reale. Este necesar să se diferențieze funcția. Înțelegem asta

y " = 1 16 x + 1 3 " (x - 3) 4 + (x + 1) 3 x - 3 4 " = = 1 16 (3 (x + 1) 2 (x - 3) 4 + (x + 1) 3 4 (x - 3) 3) = = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (3 x - 9 + 4 x + 4) = 1 16 (x + 1) 2 (x - 3) 3 (7 x - 5)

Această derivată va ajunge la zero la x 1 = - 1, x 2 = 5 7, x 3 = 3. Adică, punctele pot fi puncte extreme posibile. Este necesar să se aplice a treia condiție suficientă pentru extremum. Găsirea derivatei a doua vă permite să determinați cu precizie prezența unui maxim și minim al unei funcții. Derivata a doua este calculată în punctele extremului său posibil. Înțelegem asta

y "" = 1 16 x + 1 2 (x - 3) 3 (7 x - 5) " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) y "" (- 1) = 0 y "" 5 7 = - 36864 2401< 0 y "" (3) = 0

Aceasta înseamnă că x 2 = 5 7 este punctul maxim. Aplicând al 3-lea criteriu suficient, constatăm că pentru n = 1 și f (n + 1) 5 7< 0 .

Este necesar să se determine natura punctelor x 1 = - 1, x 3 = 3. Pentru a face acest lucru, trebuie să găsiți a treia derivată și să calculați valorile în aceste puncte. Înțelegem asta

y " " " = 1 8 (x + 1) (x - 3) 2 (21 x 2 - 30 x - 3) " = = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) y " " " (- 1) = 96 ≠ 0 y " " " (3) = 0

Aceasta înseamnă că x 1 = - 1 este punctul de inflexiune al funcției, deoarece pentru n = 2 și f (n + 1) (- 1) ≠ 0. Este necesar să se investigheze punctul x 3 = 3. Pentru a face acest lucru, găsim derivata a 4-a și efectuăm calcule în acest punct:

y (4) = 1 8 (x - 3) (105 x 3 - 225 x 2 - 45 x + 93) " = = 1 2 (105 x 3 - 405 x 2 + 315 x + 57) y (4) ( 3) = 96 > 0

Din cele hotărâte mai sus concluzionăm că x 3 = 3 este punctul minim al funcției.

Reprezentare grafică

Răspuns: x 2 = 5 7 este punctul maxim, x 3 = 3 este punctul minim al funcției date.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

2) găsiți prima derivată;

3) găsirea punctelor critice;

2) Aflați derivata

5) Calculați valoarea funcției

2) Aflați derivata

5) Calculați extremul funcției

2) Calculați derivata

Vezi materiale:

Este dată o definiție a extremului unei funcții și este dat un exemplu despre cum să găsiți extremul unei funcții folosind un calculator online.

Exemplu

Există o funcție (x^3 -exp(x) + x)/(1+x^2).

Să-l introducem în calculator prin cercetarea funcției online:

Obtinem urmatorul rezultat:

Pentru a găsi extremele, trebuie să rezolvați ecuația $$\frac(d)(d x) f(\left (x \right)) = 0$$ (derivata este zero), iar rădăcinile acestei ecuații vor fi extremele acestei funcții: $ $\frac(d)(d x) f(\left (x \right)) = $$ Derivată prima $$- \frac(2 x)(\left(x^(2) ) + 1\right)^(2 )) \left(x + x^(3) — e^(x)\right) + \frac(3 x^(2) — e^(x) + 1)( x^(2) + 1) = 0$$ Rezolvați această ecuație
Rădăcinile acestei ecuații $$x_(1) = 0$$ $$x_(2) = 3,28103090528$$ $$x_(3) = -0,373548376565$$ Valoare. extreme în puncte:
(0, -1)
(3.28103090528, 1.01984828342285)
(-0.373548376565, -0.977554081645009)
Intervalele funcției crescătoare și descrescătoare:
Să găsim intervalele în care funcția crește și descrește, precum și minimele și maximele funcției, pentru a face acest lucru ne uităm la modul în care funcția se comportă la extreme la cea mai mică abatere de la extrem:
Minima funcției în puncte: $$x_(3) = 0$$ Maxima funcției în puncte: $$x_(3) = 3,28103090528$$ $$x_(3) = -0,373548376565$$ Scăderi pe intervale
(-oo, -0,373548376565] U U

Găsirea maximelor și minimelor locale nu se poate face fără diferențiere și este necesară atunci când se studiază o funcție și se construiește graficul acesteia.

Un punct se numește punct de maxim (sau minim) local al unei funcții dacă există o vecinătate a acestui punct care aparține domeniului de definire al funcției și pentru toată această vecinătate inegalitatea (sau) este valabilă.

Punctele maxime și minime sunt numite puncte extreme ale funcției, iar valorile funcției la punctele extreme sunt valorile sale extreme.

CONDIȚIE NECESARĂ PENTRU UN EXTREM LOCAL:

Dacă o funcție are un extremum local într-un punct, atunci fie derivata este zero, fie nu există.

Punctele care îndeplinesc cerințele de mai sus se numesc puncte critice.

Cu toate acestea, în fiecare punct critic funcția are un extremum.

Conceptul de extremum al unei funcții

Răspunsul la întrebarea: va fi un punct critic un punct extrem este dat de următoarea teoremă.

O CONDIȚIE SUFICIENTĂ PENTRU EXISTENȚA UNUI EXTREM DE FUNCȚIE

Teorema I. Fie ca funcția să fie continuă într-un anumit interval care conține punctul critic și diferențiată în toate punctele acestui interval (cu posibila excepție a punctului însuși).

Atunci pentru un punct funcția are un maxim dacă argumentele îndeplinesc condiția ca derivata să fie mai mare decât zero, iar pentru condiția derivata este mai mică decât zero.

Dacă derivata pentru este mai mică decât zero și pentru este mai mare decât zero, atunci funcția are un minim pentru punct.

Teorema II. Fie funcția să fie de două ori diferențiabilă într-o vecinătate a unui punct și derivata egală cu zero. Atunci, la un punct, funcția are un maxim local dacă derivata a doua este mai mică decât zero și un minim local dacă invers.

Dacă derivata a doua este egală cu zero, atunci punctul poate să nu fie un punct extremum.

Când se studiază funcțiile pentru extreme, se folosesc ambele teoreme. Prima este mai simplă în practică, deoarece nu necesită găsirea derivatei a doua.

REGULI PENTRU GĂSIREA EXTREMULUI (MAXIMUL ȘI MINIMULUI) CU PRIMUL DERIVAT

1) găsiți domeniul definiției;

2) găsiți prima derivată;

3) găsirea punctelor critice;

4) investigați semnul derivatei pe intervalele care au fost obținute din împărțirea domeniului de definiție în puncte critice.

În acest caz, punctul critic este un punct minim dacă, la trecerea prin el de la stânga la dreapta, derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv, în caz contrar este un punct maxim.

În loc de această regulă, puteți determina derivata a doua și o puteți studia conform celei de-a doua teoreme.

5) calculați valorile funcției la punctele extreme.

Să luăm acum în considerare studiul funcțiilor pentru extreme folosind exemple specifice.

Colecție de V.Yu. Klepko, V.L. Golets „Matematică superioară în exemple și probleme”

1) Domeniul de definiție va fi mulțimea numerelor reale

2) Aflați derivata

3) Calculați punctele critice

Ele împart domeniul definiției în următoarele intervale

4) Investigam semnul derivatei pe intervalele gasite folosind metoda substituirii valorilor

Astfel, primul punct este punctul minim, iar al doilea este punctul maxim.

5) Calculați valoarea funcției

1) Domeniul de definiție va fi mulțimea numerelor reale, deci rădăcina este întotdeauna mai mare decât unu

iar funcția arctangentă este definită pe toată axa reală.

2) Aflați derivata

3) Din condiția ca derivata să fie egală cu zero, găsim punctul critic

Împarte domeniul definiției în două intervale

4) Determinați semnul derivatei în fiecare dintre regiuni

Astfel constatăm că în punctul critic funcția ia valoarea minima.

5) Calculați extremul funcției

1) Funcția este definită atunci când numitorul nu ajunge la zero

De aici rezultă că domeniul definiției este format din trei intervale

2) Calculați derivata

3) Echivalăm derivata cu zero și găsim punctele critice.

4) Setați semnul derivatei în fiecare dintre zone prin înlocuirea valorilor corespunzătoare.

Astfel, punctul este un punct de maxim local și minim local. Avem un punct de inflexiune în funcție, dar va fi mai mult material despre el în articolele următoare.

5) Găsiți valoarea în punctele critice

În ciuda faptului că valoarea funcției este , primul punct este punctul de maxim local, iar arcul este punctul de minim. Nu vă fie teamă dacă obțineți rezultate similare atunci când determinați extreme locale, astfel de situații sunt acceptabile.

Vezi materiale:

Literatură

1. Bogomolov N.V. Lecții practice de matematică. – M.: Mai sus. scoala, 2009

2. P.T.Apanasov, M.I.Orlov. Culegere de probleme de matematică. – M.: Mai sus. scoala, 2009

Orientări

Studierea funcțiilor folosind derivate. Găsirea intervalelor de monotonitate

Teorema 1. Dacă funcția f(x) este definită și continuă pe intervalul (a;b) și f '(x) este pozitivă peste tot (f '(x)>0), atunci funcția este crescătoare pe intervalul (a;b). ).

Teorema 2. Dacă funcția f(x) este definită și continuă pe intervalul (a;b) și f ‘(x) este negativă peste tot (f ‘(x)<0), тогда функция убывает на промежутке (а;b).

Exemplul 1. Examinați monotonitatea y= .

Rezolvare: y’=2x-1

Axa numerelor este împărțită în două intervale

Aceasta înseamnă că funcția scade în intervalul (-;5) și funcția crește în intervalul (5;).

Găsirea extremelor unei funcții

Funcția f(x) are un maxim (minim) în punctul x0 dacă acest punct are o vecinătate în care f(x) f(x0)) pentru xx0.

Maximul și minimul sunt combinate sub denumirea de extremum.

Teorema 1. (condiție necesară pentru extremum). Dacă punctul x0 este punctul extrem al funcției y=f(x) și în acest punct există o derivată f '(x0), atunci este egal cu zero: f '(x)=0.

Punctele în care f '(x)=0 sau nu există sunt numite critice.

Teorema 2. (condiție suficientă). Fie funcția f(x) continuă în punctul x0 și în vecinătatea ei să aibă o derivată, cu excepția, poate, a punctului x0 însuși. Apoi

a) dacă derivata f ‘(x) își schimbă semnul din plus în minus la trecerea prin punctul x0, atunci punctul x0 este punctul maxim al funcției f(x);

b) dacă derivata f ‘(x) își schimbă semnul din minus în plus la trecerea prin punctul x0, atunci punctul x0 este punctul minim al funcției f(x);

c) dacă există o vecinătate (x0-; x0+) a punctului x0 în care derivata f ‘(x) își păstrează semnul, atunci în punctul x0 această funcție f(x) nu are un extremum.

Exemplul 2. Investigați extremul funcției y = 3 -5x - .

Rezolvare: y’= -5-2x

La trecerea prin punctul x = - 2,5, derivata y’ își schimbă semnul din „+” în „-” ==> x = -2,5 punct maxim.

Condiții suficiente pentru extremul unei funcții.

xmax= — 2,5; уmax = 9,25.

Nu ați găsit ceea ce căutați? Utilizați căutarea:

Citeste si:

Găsirea maximelor și minimelor locale nu se poate face fără diferențiere și este necesară atunci când se studiază o funcție și se construiește graficul acesteia.

Un punct se numește punct de maxim (sau minim) local al unei funcții dacă există o vecinătate a acestui punct care aparține domeniului de definire al funcției și pentru toată această vecinătate inegalitatea (sau) este valabilă.

Punctele maxime și minime sunt numite puncte extreme ale funcției, iar valorile funcției la punctele extreme sunt valorile sale extreme.

CONDIȚIE NECESARĂ PENTRU UN EXTREM LOCAL:

Dacă o funcție are un extremum local într-un punct, atunci fie derivata este zero, fie nu există.

Punctele care îndeplinesc cerințele de mai sus se numesc puncte critice.

Cu toate acestea, în fiecare punct critic funcția are un extremum. Răspunsul la întrebarea: va fi un punct critic un punct extrem este dat de următoarea teoremă.

O CONDIȚIE SUFICIENTĂ PENTRU EXISTENȚA UNUI EXTREM DE FUNCȚIE

Teorema I. Fie ca funcția să fie continuă într-un anumit interval care conține punctul critic și diferențiată în toate punctele acestui interval (cu posibila excepție a punctului însuși).

Atunci pentru un punct funcția are un maxim dacă argumentele îndeplinesc condiția ca derivata să fie mai mare decât zero, iar pentru condiția derivata este mai mică decât zero.

Dacă derivata pentru este mai mică decât zero și pentru este mai mare decât zero, atunci funcția are un minim pentru punct.

Teorema II. Fie funcția să fie de două ori diferențiabilă într-o vecinătate a unui punct și derivata egală cu zero.

Extreme ale unei funcții: semne de existență, exemple de soluții

Atunci, la un punct, funcția are un maxim local dacă derivata a doua este mai mică decât zero și un minim local dacă invers.

Dacă derivata a doua este egală cu zero, atunci punctul poate să nu fie un punct extremum.

Când se studiază funcțiile pentru extreme, se folosesc ambele teoreme. Prima este mai simplă în practică, deoarece nu necesită găsirea derivatei a doua.

REGULI PENTRU GĂSIREA EXTREMULUI (MAXIMUL ȘI MINIMULUI) CU PRIMUL DERIVAT

1) găsiți domeniul definiției;

2) găsiți prima derivată;

3) găsirea punctelor critice;

4) investigați semnul derivatei pe intervalele care au fost obținute din împărțirea domeniului de definiție în puncte critice.

În acest caz, punctul critic este un punct minim dacă, la trecerea prin el de la stânga la dreapta, derivata își schimbă semnul din negativ în pozitiv, în caz contrar este un punct maxim.

În loc de această regulă, puteți determina derivata a doua și o puteți studia conform celei de-a doua teoreme.

5) calculați valorile funcției la punctele extreme.

Să luăm acum în considerare studiul funcțiilor pentru extreme folosind exemple specifice.

Colecție de V.Yu. Klepko, V.L. Golets „Matematică superioară în exemple și probleme”

1) Domeniul de definiție va fi mulțimea numerelor reale

2) Aflați derivata

3) Calculați punctele critice

Ele împart domeniul definiției în următoarele intervale

4) Investigam semnul derivatei pe intervalele gasite folosind metoda substituirii valorilor

Astfel, primul punct este punctul minim, iar al doilea este punctul maxim.

5) Calculați valoarea funcției

1) Domeniul de definiție va fi mulțimea numerelor reale, deci rădăcina este întotdeauna mai mare decât unu

iar funcția arctangentă este definită pe toată axa reală.

2) Aflați derivata

3) Din condiția ca derivata să fie egală cu zero, găsim punctul critic

Împarte domeniul definiției în două intervale

4) Determinați semnul derivatei în fiecare dintre regiuni

Astfel, constatăm că în punctul critic funcția ia o valoare minimă.

5) Calculați extremul funcției

1) Funcția este definită atunci când numitorul nu ajunge la zero

De aici rezultă că domeniul definiției este format din trei intervale

2) Calculați derivata

3) Echivalăm derivata cu zero și găsim punctele critice.

4) Setați semnul derivatei în fiecare dintre zone prin înlocuirea valorilor corespunzătoare.

Astfel, punctul este un punct de maxim local și minim local. Avem un punct de inflexiune în funcție, dar va fi mai mult material despre el în articolele următoare.

5) Găsiți valoarea în punctele critice

În ciuda faptului că valoarea funcției este , primul punct este punctul de maxim local, iar arcul este punctul de minim. Nu vă fie teamă dacă obțineți rezultate similare atunci când determinați extreme locale, astfel de situații sunt acceptabile.

Vezi materiale:

Matematică superioară » Funcții ale mai multor variabile » Extremul unei funcții a două variabile

Extremul unei funcții a două variabile. Exemple de studiere a funcțiilor pentru extremum.

Fie definită funcția $z=f(x,y)$ într-o vecinătate a punctului $(x_0,y_0)$. Ei spun că $(x_0,y_0)$ este un punct maxim (local) dacă pentru toate punctele $(x,y)$ dintr-o vecinătate a punctului $(x_0,y_0)$ inegalitatea $f(x,y) este mulțumit< f(x_0,y_0)$. Если же для всех точек этой окрестности выполнено условие $f(x,y)>f(x_0,y_0)$, atunci punctul $(x_0,y_0)$ se numește punctul minim (local).

Punctele maxime și minime sunt adesea numite termenul general - puncte extremum.

Dacă $(x_0,y_0)$ este un punct maxim, atunci valoarea funcției $f(x_0,y_0)$ în acest punct se numește maximul funcției $z=f(x,y)$. În consecință, valoarea funcției în punctul minim se numește minimul funcției $z=f(x,y)$. Minimele și maximele unei funcții sunt unite printr-un termen comun - extrema unei funcții.

Algoritm pentru studierea funcției $z=f(x,y)$ pentru extremum

1. Găsiți derivatele parțiale $\frac(\partial z)(\partial x)$ și $\frac(\partial z)(\partial y)$. Compuneți și rezolvați sistemul de ecuații $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0 . \ end(aligned) \right.$ Punctele ale căror coordonate satisfac sistemul specificat sunt numite staționare.
2. Găsiți $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$, $\frac(\partial^2z)(\partial x\partial y)$, $\frac(\partial^2z)(\partial y^2)$ și calculați valoarea lui $\Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left( \frac (\partial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2$ la fiecare punct staționar. După aceasta, utilizați următoarea schemă:

1. Dacă $\Delta > 0$ și $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$ (sau $\frac(\partial^2z)(\partial^2) > 0$), atunci punctul studiat este punctul minim.
2. Dacă $\Delta > 0$ și $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)< 0$ (или $\frac{\partial^2z}{\partial y^2} < 0$), то в исследуемая точка есть точкой максимума.
3. Dacă $\Delta< 0$, то в расматриваемой стационарной точке экстремума нет.
4. Dacă $\Delta = 0$, atunci nu se poate spune nimic cert despre prezența unui extremum; sunt necesare cercetări suplimentare.

Notă (de dorit pentru o înțelegere mai completă a textului): show\hide

Dacă $\Delta > 0$, atunci $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\ parțial^2z)(\partial x\partial y) \right)^2 > 0$. Și rezultă că $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > \left(\frac(\partial^2z) ( \partial x\partial y)\right)^2 ≥ 0$. Aceste. $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Dacă produsul anumitor cantități este mai mare decât zero, atunci aceste cantități sunt de același semn. Adică, de exemplu, dacă $\frac(\partial^2z)(\partial x^2) > 0$, atunci $\frac(\partial^2z)(\partial y^2) > 0$. Pe scurt, dacă $\Delta > 0$, atunci semnele lui $\frac(\partial^2z)(\partial x^2)$ și $\frac(\partial^2z)(\partial^2)$ coincid .

Exemplul nr. 1

Examinați funcția $z=4x^2-6xy-34x+5y^2+42y+7$ pentru extrema ei.

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=8x-6y-34; \frac(\partial z)(\partial y)=-6x+10y+42. $$

$$ \left \( \begin(aligned) & 8x-6y-34=0;\\ & -6x+10y+42=0. \end(aligned) \right. $$

Să reducem fiecare ecuație a acestui sistem cu $2$ și să mutăm numerele în partea dreaptă a ecuațiilor:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x-3y=17;\\ & -3x+5y=-21. \end(aligned) \right. $$

Am obținut un sistem de ecuații algebrice liniare. În această situație, mi se pare cel mai convenabil să folosești metoda Cramer pentru a rezolva sistemul rezultat.

$$ \begin(aligned) & \Delta=\left| \begin(array) (cc) 4 & -3\\ -3 & 5 \end(array)\right|=4\cdot 5-(-3)\cdot (-3)=20-9=11;\ \& \Delta_x=\left| \begin(array) (cc) 17 & -3\\ -21 & 5 \end(array)\right|=17\cdot 5-(-3)\cdot (-21)=85-63=22;\ \& \Delta_y=\left| \begin(array) (cc) 4 & 17\\ -3 & -21 \end(array)\right|=4\cdot (-21)-17\cdot (-3)=-84+51=-33 .\end(aliniat) \\ x=\frac(\Delta_(x))(\Delta)=\frac(22)(11)=2; \; y=\frac(\Delta_(y))(\Delta)=\frac(-33)(11)=-3. $$

Valorile $x=2$, $y=-3$ sunt coordonatele punctului staționar $(2;-3)$.

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=8; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=10; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=-6. $$

Să calculăm valoarea lui $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 8\cdot 10-(-6)^2=80-36=44. $$

Deoarece $\Delta > 0$ și $\frac(\partial^2 z)(\partial x^2) > 0$, atunci, conform algoritmului, punctul $(2;-3)$ este punctul minim al funcția $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $(2;-3)$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(2;-3)=4\cdot 2^2-6\cdot 2 \cdot (-3)-34\cdot 2+5\cdot (-3)^2+42\ cdot (-3)+7=-90. $$

Răspuns: $(2;-3)$ - punct minim; $z_(min)=-90$.

Exemplul nr. 2

Examinați funcția $z=x^3+3xy^2-15x-12y+1$ pentru extrema ei.

Vom urma algoritmul de mai sus. Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=3x^2+3y^2-15; \frac(\partial z)(\partial y)=6xy-12. $$

Să creăm un sistem de ecuații $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end( aliniat) \right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 3x^2+3y^2-15=0;\\ & 6xy-12=0. \end(aligned) \right. $$

Să reducem prima ecuație cu 3, iar a doua cu 6.

$$ \left \( \begin(aligned) & x^2+y^2-5=0;\\ & xy-2=0. \end(aligned) \right. $$

Dacă $x=0$, atunci a doua ecuație ne va conduce la o contradicție: $0\cdot y-2=0$, $-2=0$. De aici concluzia: $x\neq 0$. Atunci din a doua ecuație avem: $xy=2$, $y=\frac(2)(x)$. Înlocuind $y=\frac(2)(x)$ în prima ecuație, vom avea:

$$ x^2+\left(\frac(2)(x) \right)^2-5=0;\\ x^2+\frac(4)(x^2)-5=0;\\ x^4-5x^2+4=0. $$

Avem o ecuație biquadratică. Facem înlocuirea $t=x^2$ (adică $t > 0$):

$$ t^2-5t+4=0;\\ \begin(aligned) & D=(-5)^2-4\cdot 1 \cdot 4=9;\\ & t_1=\frac(-(- 5)-\sqrt(9))(2)=\frac(5-3)(2)=1;\\ & t_2=\frac(-(-5)+\sqrt(9))(2)= \frac(5+3)(2)=4.\end(aligned) $$

Dacă $t=1$, atunci $x^2=1$. Prin urmare, avem două valori ale lui $x$: $x_1=1$, $x_2=-1$. Dacă $t=4$, atunci $x^2=4$, adică. $x_3=2$, $x_4=-2$. Reținând că $y=\frac(2)(x)$, obținem:

\begin(aligned) & y_1=\frac(2)(x_1)=\frac(2)(1)=2;\\ & y_2=\frac(2)(x_2)=\frac(2)(-1 )=-2;\\ & y_3=\frac(2)(x_3)=\frac(2)(2)=1;\\ & y_4=\frac(2)(x_4)=\frac(2)( -2)=-1. \end(aliniat)

Deci, avem patru puncte staționare: $M_1(1;2)$, $M_2(-1;-2)$, $M_3(2;1)$, $M_4(-2;-1)$. Aceasta completează primul pas al algoritmului.

Acum să trecem la a doua etapă a algoritmului. Să găsim derivatele parțiale de ordinul doi:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=6x; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=6y. $$

Să găsim $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= 6x\cdot 6x-(6y)^2=36x^2-36y^2=36(x^2-y^2). $$

Acum vom calcula valoarea $\Delta$ la fiecare dintre punctele staționare găsite anterior. Să începem de la punctul $M_1(1;2)$. În acest moment avem: $\Delta(M_1)=36(1^2-2^2)=-108$. De la $\Delta(M_1)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_1$ экстремума нет.

Să examinăm punctul $M_2(-1;-2)$. În acest moment avem: $\Delta(M_2)=36((-1)^2-(-2)^2)=-108$. Din moment ce $\Delta(M_2)< 0$, то согласно алгоритму в точке $M_2$ экстремума нет.

Să examinăm punctul $M_3(2;1)$. În acest moment obținem:

$$ \Delta(M_3)=36(2^2-1^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=6\cdot 2=12. $$

Deoarece $\Delta(M_3) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, atunci conform algoritmului $M_3( 2 ;1)$ este punctul minim al funcției $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $M_3$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(2;1)=2^3+3\cdot 2\cdot 1^2-15\cdot 2-12\cdot 1+1=-27. $$

Rămâne de explorat punctul $M_4(-2;-1)$. În acest moment obținem:

$$ \Delta(M_4)=36((-2)^2-(-1)^2)=108;\;\; \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)=6\cdot (-2)=-12. $$

Deoarece $\Delta(M_4) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_4)< 0$, то согласно алгоритму $M_4(-2;-1)$ есть точкой максимума функции $z$. Максимум функции $z$ найдём, подставив в заданную функцию координаты точки $M_4$:

$$ z_(max)=z(-2;-1)=(-2)^3+3\cdot (-2)\cdot (-1)^2-15\cdot (-2)-12\cdot (-1)+1=29. $$

Studiul extremum este finalizat. Rămâne doar să scrieți răspunsul.

• $(2;1)$ - punct minim, $z_(min)=-27$;
• $(-2;-1)$ - punct maxim, $z_(max)=29$.

Nota

În cazul general, nu este nevoie să calculăm valoarea lui $\Delta$, deoarece ne interesează doar semnul, și nu valoarea specifică a acestui parametru. De exemplu, de exemplu nr. 2 considerat mai sus, la punctul $M_3(2;1)$ avem $\Delta=36\cdot(2^2-1^2)$. Aici este evident că $\Delta > 0$ (deoarece ambii factori $36$ și $(2^2-1^2)$ sunt pozitivi) și este posibil să nu găsiți o anumită valoare a $\Delta$. Adevărat, pentru calculele standard, această remarcă este inutilă - vă cer să aduceți calculele la un număr :)

Exemplul nr. 3

Examinați funcția $z=x^4+y^4-2x^2+4xy-2y^2+3$ pentru extrema ei.

Vom urma algoritmul. Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi:

$$ \frac(\partial z)(\partial x)=4x^3-4x+4y; \frac(\partial z)(\partial y)=4y^3+4x-4y. $$

Să creăm un sistem de ecuații $ \left \( \begin(aligned) & \frac(\partial z)(\partial x)=0;\\ & \frac(\partial z)(\partial y)=0. \end( aliniat) \right.$:

$$ \left \( \begin(aligned) & 4x^3-4x+4y=0;\\ & 4y^3+4x-4y=0. \end(aligned) \right. $$

Să reducem ambele ecuații cu $4$:

$$ \left \( \begin(aligned) & x^3-x+y=0;\\ & y^3+x-y=0. \end(aligned) \right. $$

Să adăugăm prima ecuație la a doua și să exprimăm $y$ în termeni de $x$:

$$ y^3+x-y+(x^3-x+y)=0;\\ y^3+x^3=0; y^3=-x^3; y=-x. $$

Înlocuind $y=-x$ în prima ecuație a sistemului, vom avea:

$$ x^3-x-x=0;\\ x^3-2x=0;\\ x(x^2-2)=0. $$

Din ecuația rezultată avem: $x=0$ sau $x^2-2=0$. Din ecuația $x^2-2=0$ rezultă că $x=-\sqrt(2)$ sau $x=\sqrt(2)$. Deci, se găsesc trei valori ale lui $x$ și anume: $x_1=0$, $x_2=-\sqrt(2)$, $x_3=\sqrt(2)$. Deoarece $y=-x$, atunci $y_1=-x_1=0$, $y_2=-x_2=\sqrt(2)$, $y_3=-x_3=-\sqrt(2)$.

Primul pas al soluției este finalizat.

Cum să găsiți extremul (punctele minime și maxime) ale unei funcții

Avem trei puncte staționare: $M_1(0;0)$, $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ .

Acum să trecem la a doua etapă a algoritmului. Să găsim derivatele parțiale de ordinul doi:

$$ \frac(\partial^2 z)(\partial x^2)=12x^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial y^2)=12y^2-4; \frac(\partial^2 z)(\partial x \partial y)=4. $$

Să găsim $\Delta$:

$$ \Delta=\frac(\partial^2z)(\partial x^2)\cdot \frac(\partial^2z)(\partial y^2)-\left(\frac(\partial^2z)( \partial x\partial y) \right)^2= (12x^2-4)(12y^2-4)-4^2=\\ =4(3x^2-1)\cdot 4(3y^2 -1)-16=16(3x^2-1)(3y^2-1)-16=16\cdot((3x^2-1)(3y^2-1)-1). $$

Acum vom calcula valoarea $\Delta$ la fiecare dintre punctele staționare găsite anterior. Să începem de la punctul $M_1(0;0)$. În acest moment avem: $\Delta(M_1)=16\cdot((3\cdot 0^2-1)(3\cdot 0^2-1)-1)=16\cdot 0=0$. Deoarece $\Delta(M_1) = 0$, atunci, conform algoritmului, sunt necesare cercetări suplimentare, deoarece nu se poate spune nimic cert despre prezența unui extremum în punctul luat în considerare. Să lăsăm acest punct în pace pentru moment și să trecem la alte puncte.

Să examinăm punctul $M_2(-\sqrt(2),\sqrt(2))$. În acest moment obținem:

\begin(aligned) & \Delta(M_2)=16\cdot((3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2)=12\cdot (-\sqrt(2) )^2-4=24-4=20. \end(aliniat)

Deoarece $\Delta(M_2) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_2) > 0$, atunci conform algoritmului $M_2( - \sqrt(2),\sqrt(2))$ este punctul minim al funcției $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $M_2$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(-\sqrt(2),\sqrt(2))=(-\sqrt(2))^4+(\sqrt(2))^4-2(-\sqrt( 2))^2+4\cdot (-\sqrt(2))\sqrt(2)-2(\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Similar punctului anterior, examinăm punctul $M_3(\sqrt(2),-\sqrt(2))$. În acest moment obținem:

\begin(aligned) & \Delta(M_3)=16\cdot((3\cdot (\sqrt(2))^2-1)(3\cdot (-\sqrt(2))^2-1)- 1)=16\cdot 24=384;\\ & \left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3)=12\cdot (\sqrt(2)) ^2-4=24-4=20. \end(aliniat)

Deoarece $\Delta(M_3) > 0$ și $\left.\frac(\partial^2 z)(\partial x^2)\right|_(M_3) > 0$, atunci conform algoritmului $M_3( \ sqrt(2),-\sqrt(2))$ este punctul minim al funcției $z$. Găsim minimul funcției $z$ înlocuind coordonatele punctului $M_3$ în funcția dată:

$$ z_(min)=z(\sqrt(2),-\sqrt(2))=(\sqrt(2))^4+(-\sqrt(2))^4-2(\sqrt(2) ))^2+4\cdot \sqrt(2)(-\sqrt(2))-2(-\sqrt(2))^2+3=-5. $$

Este timpul să revenim la punctul $M_1(0;0)$, la care $\Delta(M_1) = 0$. Conform algoritmului, sunt necesare cercetări suplimentare. Această expresie evazivă înseamnă „fă ce vrei” :). Metoda generala Nu există o soluție pentru astfel de situații, iar acest lucru este de înțeles. Dacă ar fi existat o astfel de metodă, ar fi fost inclusă în toate manualele cu mult timp în urmă. Între timp, trebuie să căutăm o abordare specială pentru fiecare punct în care $\Delta = 0$. Ei bine, să examinăm comportamentul funcției în vecinătatea punctului $M_1(0;0)$. Să observăm imediat că $z(M_1)=z(0;0)=3$. Să presupunem că $M_1(0;0)$ este punctul minim. Atunci pentru orice punct $M$ dintr-o vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ obținem $z(M) > z(M_1)$, adică. $z(M) > 3$. Ce se întâmplă dacă orice vecinătate conține puncte în care $z(M)< 3$? Тогда в точке $M_1$ уж точно не будет минимума.

Să luăm în considerare punctele pentru care $y=0$, adică. puncte de forma $(x,0)$. În aceste puncte funcția $z$ va lua următoarele valori:

$$ z(x,0)=x^4+0^4-2x^2+4x\cdot 0-2\cdot 0^2+3=x^4-2x^2+3=x^2(x ^2-2)+3. $$

În toate cartierele suficient de mici $M_1(0;0)$ avem $x^2-2< 0$, посему $x^2(x^2-2) < 0$, откуда следует $x^2(x^2-2)+3 < 3$. Вывод: любая окрестность точки $M_1(0;0)$ содержит точки, в которых $z < 3$, посему точка $M_1(0;0)$ не может быть точкой минимума.

Dar poate punctul $M_1(0;0)$ este punctul maxim? Dacă este așa, atunci pentru orice punct $M$ dintr-o vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ obținem $z(M)< z(M_1) $, т.е. $z(M) < 3$. А вдруг любая окрестность содержит точки, в которых $z(M) >3$? Atunci cu siguranță nu va exista maxim în punctul $M_1$.

Să luăm în considerare punctele pentru care $y=x$, adică. puncte de forma $(x,x)$. În aceste puncte funcția $z$ va lua următoarele valori:

$$ z(x,x)=x^4+x^4-2x^2+4x\cdot x-2\cdot x^2+3=2x^4+3. $$

Deoarece în orice vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ avem $2x^4 > 0$, atunci $2x^4+3 > 3$. Concluzie: orice vecinătate a punctului $M_1(0;0)$ conține puncte la care $z > 3$, deci punctul $M_1(0;0)$ nu poate fi un punct maxim.

Punctul $M_1(0;0)$ nu este nici un punct maxim, nici un punct minim. Concluzie: $M_1$ nu este deloc un punct extrem.

Răspuns: $(-\sqrt(2),\sqrt(2))$, $(\sqrt(2),-\sqrt(2))$ sunt punctele minime ale funcției $z$. În ambele puncte $z_(min)=-5$.

Cursuri online de matematică superioară

Din acest articol cititorul va afla despre ce este un extremum de valoare funcțională, precum și despre caracteristicile utilizării sale în activități practice. Învățarea unui astfel de concept este esențială pentru înțelegerea elementelor fundamentale ale matematicii superioare. Acest subiect este fundamental pentru un studiu mai profund al cursului.

Ce este un extremum?

În cursul școlar, sunt date multe definiții ale conceptului „extremum”. Acest articol are scopul de a oferi cea mai profundă și mai clară înțelegere a termenului pentru cei care nu cunosc problema. Deci, termenul este înțeles în ce măsură intervalul funcțional capătă o valoare minimă sau maximă pe o anumită mulțime.

Un extremum este atât valoarea minimă a unei funcții, cât și valoarea maximă în același timp. Există un punct minim și un punct maxim, adică valorile extreme ale argumentului de pe grafic. Principalele științe care folosesc acest concept sunt:

• statistici;
• controlul mașinii;
• econometrie.

Jocul de puncte extreme rol importantîn determinarea succesiunii unei funcţii date. Sistemul de coordonate de pe grafic în la cel mai bun mod arată schimbarea poziției extreme în funcție de modificarea funcționalității.

Extreme ale funcției derivate

Există, de asemenea, un astfel de fenomen ca „derivat”. Este necesar să se determine punctul extremum. Este important să nu confundați punctele minime sau maxime cu cele mai mari și cele mai mici valori. Acestea sunt concepte diferite, deși pot părea similare.

Valoarea funcției este factorul principal în determinarea modului de găsire a punctului maxim. Derivata nu se formează din valori, ci exclusiv din poziția sa extremă într-una sau alta ordine.

Derivata în sine este determinată pe baza acestor puncte extreme, și nu pe cea mai mare sau mai mică valoare. În școlile rusești, linia dintre aceste două concepte nu este clar trasată, ceea ce afectează înțelegerea acestui subiect în general.

Să considerăm acum un astfel de concept drept „extremul acut”. Astăzi, există o valoare minimă acută și o valoare maximă acută. Definiția este dată în conformitate cu clasificare rusă punctele critice ale funcției. Conceptul de punct extremum este baza pentru găsirea punctelor critice pe un grafic.

Pentru a defini un astfel de concept, ei recurg la utilizarea teoremei lui Fermat. Este cel mai important în studiul punctelor extreme și oferă o idee clară a existenței lor într-o formă sau alta. Pentru a asigura extremitatea, este important să se creeze anumite condiții pentru o scădere sau creștere pe grafic.

Pentru a răspunde cu exactitate la întrebarea „cum să găsiți punctul maxim”, trebuie să urmați aceste instrucțiuni:

1. Găsirea domeniului exact de definiție pe grafic.
2. Căutați derivata unei funcții și punctul extremum.
3. Rezolvați inegalitățile standard pentru domeniul în care se găsește argumentul.
4. Să fie capabil să demonstreze în ce funcții este definit și continuu un punct dintr-un grafic.

Atenţie! Căutare punct critic funcția este posibilă numai în cazul existenței unei derivate de cel puțin ordinul doi, care este asigurată de o proporție mare a prezenței unui punct extremum.

Condiție necesară pentru extremul unei funcții

Pentru ca un extremum să existe, este important să existe atât puncte minime, cât și maxime. Dacă această regulă este respectată doar parțial, atunci condiția existenței unui extremum este încălcată.

Fiecare funcție în orice poziție trebuie diferențiată pentru a-și identifica noile semnificații. Este important de înțeles că cazul unui punct care merge la zero nu este principiul principal pentru găsirea unui punct diferențiabil.

Extremul ascuțit, precum și minimul funcției, este un aspect extrem de important al soluției problema matematica folosind valori extreme. Pentru a înțelege mai bine această componentă, este important să vă referiți la valorile tabelare pentru specificarea funcționalității.

Extremul funcționalului

Pentru a găsi valoarea de mai sus, trebuie să respectați următoarele reguli:

• determinați condiția necesară pentru o relație extremă;
• luați în considerare starea suficientă a punctelor extreme de pe grafic;
• efectuați calculul extremului acut.

Sunt folosite și concepte precum minim slab și minim puternic. Acest lucru trebuie luat în considerare la determinarea extremului și calculul precis al acestuia. În același timp, funcționalitatea acută este căutarea și crearea tuturor conditiile necesare pentru lucrul cu graficul unei funcții.