Discriminant la o valoare negativă. Discriminant de ordin superior

În societatea modernă, capacitatea de a opera pe ecuații care conțin o variabilă pătrată poate fi utilă în multe domenii de activitate și este utilizată pe scară largă în practică în dezvoltările științifice și tehnice. Acest lucru poate fi evidențiat prin proiectarea navelor maritime și fluviale, aeronavelor și rachetelor. Cu ajutorul unor astfel de calcule, se determină traiectorii de mișcare a diferitelor corpuri, inclusiv a obiectelor spațiale. Exemple de soluții ecuații pătratice sunt utilizate nu numai în prognoza economică, în proiectarea și construcția clădirilor, ci și în cele mai obișnuite circumstanțe cotidiene. Acestea pot fi necesare în excursii în camping, la evenimente sportive, în magazine la cumpărături și în alte situații foarte frecvente.

Să împărțim expresia în factori componente

Gradul unei ecuații este determinat de valoarea maximă a gradului variabilei pe care o conține expresia dată. Dacă este egală cu 2, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică.

Dacă vorbim în limbajul formulelor, atunci aceste expresii, indiferent de cum arată, pot fi întotdeauna aduse la forma când partea stângă a expresiei este formată din trei termeni. Printre acestea: ax 2 (adică o variabilă pătrat cu coeficientul său), bx (o necunoscută fără pătrat cu coeficientul său) și c (componentă liberă, adică un număr obișnuit). Toate acestea sunt egale pe partea dreaptă cu 0. În cazul în care un astfel de polinom nu are niciunul dintre termenii săi constitutivi, cu excepția axei 2, se numește ecuație pătratică incompletă. Exemplele cu rezolvarea unor astfel de probleme, în care valoarea variabilelor nu este greu de găsit, ar trebui luate în considerare mai întâi.

Dacă expresia pare că are doi termeni în partea dreaptă a expresiei, mai precis ax 2 și bx, este cel mai ușor să găsiți x prin parantezele variabilei. Acum ecuația noastră va arăta astfel: x(ax+b). Mai mult, devine evident că fie x=0, fie problema se reduce la găsirea unei variabile din următoarea expresie: ax+b=0. Acest lucru este dictat de una dintre proprietățile înmulțirii. Regula spune că produsul a doi factori are ca rezultat 0 numai dacă unul dintre ei zero.

Exemplu

x=0 sau 8x - 3 = 0

Ca rezultat, obținem două rădăcini ale ecuației: 0 și 0,375.

Ecuațiile de acest fel pot descrie mișcarea corpurilor sub acțiunea gravitației, care au început să se miște dintr-un anumit punct, luat drept origine. Aici ia notația matematică următoarea formă: y = v 0 t + gt 2 /2. Înlocuind valorile necesare, echivalând partea dreaptă cu 0 și găsind posibile necunoscute, puteți afla timpul scurs din momentul în care corpul se ridică până în momentul în care acesta cade, precum și multe alte cantități. Dar despre asta vom vorbi mai târziu.

Factorizarea unei expresii

Regula descrisă mai sus face posibilă rezolvarea acestor probleme și în multe altele cazuri dificile. Luați în considerare exemple cu soluția ecuațiilor pătratice de acest tip.

X2 - 33x + 200 = 0

Acest trinom pătrat este complet. În primul rând, transformăm expresia și o descompunem în factori. Există două dintre ele: (x-8) și (x-25) = 0. Ca rezultat, avem două rădăcini 8 și 25.

Exemplele cu rezolvarea ecuațiilor pătratice din clasa a 9-a permit acestei metode să găsească o variabilă în expresii nu numai de ordinul doi, ci chiar de ordinul al treilea și al patrulea.

De exemplu: 2x 3 + 2x 2 - 18x - 18 = 0. Când factorii din partea dreaptă în factori cu o variabilă, există trei dintre ei, adică (x + 1), (x-3) și (x + 3).

Ca urmare, devine evident că această ecuație are trei rădăcini: -3; -1; 3.

Extragerea rădăcinii pătrate

Un alt caz ecuație incompletă al doilea ordin este o expresie exprimată în limbajul literelor în așa fel încât partea dreaptă să fie construită din componentele ax 2 și c. Aici, pentru a obține valoarea variabilei, termenul liber este transferat partea dreapta, iar după aceea, din ambele părți ale egalității, Rădăcină pătrată. Trebuie remarcat faptul că în acest caz există de obicei două rădăcini ale ecuației. Singurele excepții sunt egalitățile care nu conțin deloc termenul c, unde variabila este egală cu zero, precum și variantele de expresii când partea dreaptă se dovedește a fi negativă. În acest din urmă caz, nu există deloc soluții, deoarece acțiunile de mai sus nu pot fi efectuate cu rădăcini. Ar trebui luate în considerare exemple de soluții la ecuații pătratice de acest tip.

În acest caz, rădăcinile ecuației vor fi numerele -4 și 4.

Calculul suprafeței de teren

Necesitatea acestui gen de calcule a apărut în antichitate, deoarece dezvoltarea matematicii în acele vremuri îndepărtate s-a datorat în mare măsură necesității de a determina suprafețele și perimetrele terenurilor cu cea mai mare acuratețe.

Ar trebui să luăm în considerare și exemple cu soluția ecuațiilor pătratice compilate pe baza unor probleme de acest fel.

Deci, să presupunem că există o bucată de pământ dreptunghiulară, a cărei lungime este cu 16 metri mai mult decât lățimea. Ar trebui să găsiți lungimea, lățimea și perimetrul sitului, dacă se știe că suprafața acestuia este de 612 m 2.

Trecând la treabă, la început vom face ecuația necesară. Să notăm lățimea secțiunii ca x, apoi lungimea acesteia va fi (x + 16). Din ceea ce s-a scris rezultă că aria este determinată de expresia x (x + 16), care, conform condiției problemei noastre, este 612. Aceasta înseamnă că x (x + 16) \u003d 612.

Rezolvarea ecuațiilor pătratice complete, iar această expresie este doar atât, nu se poate face în același mod. De ce? Deși partea stângă a acesteia conține încă doi factori, produsul lor nu este deloc egal cu 0, așa că aici sunt folosite alte metode.

Discriminant

În primul rând, facem transformările necesare, apoi aspect această expresie va arăta astfel: x 2 + 16x - 612 = 0. Aceasta înseamnă că am primit o expresie în forma corespunzătoare standardului specificat anterior, unde a=1, b=16, c=-612.

Acesta poate fi un exemplu de rezolvare a ecuațiilor pătratice prin discriminant. Aici se fac calculele necesare conform schemei: D = b 2 - 4ac. Această valoare auxiliară nu numai că face posibilă găsirea valorilor dorite în ecuația de ordinul doi, ci determină numărul Opțiuni. În cazul D>0, sunt două dintre ele; pentru D=0 există o rădăcină. În cazul D<0, никаких шансов для решения у уравнения вообще не имеется.

Despre rădăcini și formula lor

În cazul nostru, discriminantul este: 256 - 4(-612) = 2704. Aceasta indică faptul că problema noastră are un răspuns. Dacă știți, soluția ecuațiilor pătratice trebuie continuată folosind formula de mai jos. Vă permite să calculați rădăcinile.

Aceasta înseamnă că în cazul prezentat: x 1 =18, x 2 =-34. A doua opțiune în această dilemă nu poate fi o soluție, deoarece dimensiunea terenului nu poate fi măsurată în valori negative, ceea ce înseamnă că x (adică lățimea terenului) este de 18 m. De aici calculăm lungimea: 18+16=34, iar perimetrul 2(34+ 18) = 104 (m 2).

Exemple și sarcini

Continuăm studiul ecuațiilor pătratice. Mai jos vor fi date exemple și o soluție detaliată a câtorva dintre ele.

1) 15x2 + 20x + 5 = 12x2 + 27x + 1

Să mutăm totul la partea stanga egalitate, vom face o transformare, adică vom obține forma ecuației, care se numește de obicei cea standard, și o vom echivala cu zero.

15x 2 + 20x + 5 - 12x 2 - 27x - 1 = 0

Adăugând altele similare, determinăm discriminantul: D \u003d 49 - 48 \u003d 1. Deci, ecuația noastră va avea două rădăcini. Le calculăm conform formulei de mai sus, ceea ce înseamnă că primul dintre ele va fi egal cu 4/3, iar al doilea 1.

2) Acum vom dezvălui ghicitori de alt fel.

Să aflăm dacă există rădăcini x 2 - 4x + 5 = 1 aici? Pentru a obține un răspuns exhaustiv, aducem polinomul la forma familiară corespunzătoare și calculăm discriminantul. În acest exemplu, nu este necesar să se rezolve ecuația pătratică, deoarece esența problemei nu este deloc în aceasta. În acest caz, D \u003d 16 - 20 \u003d -4, ceea ce înseamnă că într-adevăr nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Este convenabil să se rezolve ecuații pătratice prin formulele de mai sus și prin discriminant, când rădăcina pătrată este extrasă din valoarea acestuia din urmă. Dar acest lucru nu se întâmplă întotdeauna. Cu toate acestea, există multe modalități de a obține valorile variabilelor în acest caz. Exemplu: rezolvarea ecuațiilor pătratice folosind teorema lui Vieta. Este numit după un bărbat care a trăit în Franța din secolul al XVI-lea și a avut o carieră strălucitoare datorită talentului său matematic și a legăturilor sale la curte. Portretul lui poate fi văzut în articol.

Modelul pe care l-a observat celebrul francez a fost următorul. El a demonstrat că suma rădăcinilor ecuației este egală cu -p=b/a, iar produsul lor corespunde cu q=c/a.

Acum să ne uităm la sarcini specifice.

3x2 + 21x - 54 = 0

Pentru simplitate, să transformăm expresia:

x 2 + 7x - 18 = 0

Folosind teorema Vieta, aceasta ne va da următoarele: suma rădăcinilor este -7, iar produsul lor este -18. De aici obținem că rădăcinile ecuației sunt numerele -9 și 2. După ce am făcut o verificare, ne vom asigura că aceste valori ale variabilelor se potrivesc cu adevărat în expresie.

Graficul și ecuația unei parabole

Conceptele de funcție pătratică și ecuații pătratice sunt strâns legate. Exemple în acest sens au fost deja date anterior. Acum să ne uităm la câteva puzzle-uri matematice mai detaliat. Orice ecuație de tipul descris poate fi reprezentată vizual. O astfel de dependență, desenată sub forma unui grafic, se numește parabolă. Diferitele sale tipuri sunt prezentate în figura de mai jos.

Orice parabolă are un vârf, adică un punct din care ies ramurile sale. Dacă a>0, ele se ridică la infinit, iar când a<0, они рисуются вниз. Простейшим примером подобной зависимости является функция y = x 2 . В данном случае в уравнении x 2 =0 неизвестное может принимать только одно значение, то есть х=0, а значит существует только один корень. Это неудивительно, ведь здесь D=0, потому что a=1, b=0, c=0. Выходит формула корней (точнее одного корня) квадратного уравнения запишется так: x = -b/2a.

Reprezentările vizuale ale funcțiilor ajută la rezolvarea oricăror ecuații, inclusiv a celor pătratice. Această metodă se numește grafică. Iar valoarea variabilei x este coordonata abscisă în punctele în care linia graficului se intersectează cu 0x. Coordonatele vârfului pot fi găsite prin formula tocmai dată x 0 = -b / 2a. Și, înlocuind valoarea rezultată în ecuația inițială a funcției, puteți afla y 0, adică a doua coordonată a vârfului parabolei aparținând axei y.

Intersecția ramurilor parabolei cu axa absciselor

Există o mulțime de exemple cu soluția ecuațiilor pătratice, dar există și modele generale. Să le luăm în considerare. Este clar că intersecția graficului cu axa 0x pentru a>0 este posibilă numai dacă y 0 ia valori negative. Și pentru a<0 координата у 0 должна быть положительна. Для указанных вариантов D>0. Altfel D<0. А когда D=0, вершина параболы расположена непосредственно на оси 0х.

Din graficul unei parabole, puteți determina și rădăcinile. Este adevărat și invers. Adică, dacă nu este ușor să obțineți o reprezentare vizuală a unei funcții pătratice, puteți echivala partea dreaptă a expresiei cu 0 și puteți rezolva ecuația rezultată. Și cunoscând punctele de intersecție cu axa 0x, este mai ușor de trasat.

Din istorie

Cu ajutorul ecuațiilor care conțin o variabilă pătrată, pe vremuri, nu numai că se făceau calcule matematice și se determina aria formelor geometrice. Anticii aveau nevoie de astfel de calcule pentru descoperiri grandioase în domeniul fizicii și astronomiei, precum și pentru a face prognoze astrologice.

După cum sugerează oamenii de știință moderni, locuitorii Babilonului au fost printre primii care au rezolvat ecuații patratice. S-a întâmplat cu patru secole înainte de apariția erei noastre. Desigur, calculele lor erau fundamental diferite de cele acceptate în prezent și s-au dovedit a fi mult mai primitive. De exemplu, matematicienii mesopotamieni nu aveau idee despre existența numerelor negative. De asemenea, nu erau familiarizați cu alte subtilități ale celor cunoscute oricărui student al timpului nostru.

Poate chiar mai devreme decât oamenii de știință din Babilon, înțeleptul din India, Baudhayama, a preluat soluția ecuațiilor pătratice. Acest lucru s-a întâmplat cu aproximativ opt secole înainte de apariția erei lui Hristos. Adevărat, ecuațiile de ordinul doi, metodele de rezolvare pe care le-a dat, erau cele mai simple. Pe lângă el, matematicienii chinezi erau și ei interesați de întrebări similare pe vremuri. În Europa, ecuațiile pătratice au început să fie rezolvate abia la începutul secolului al XIII-lea, dar mai târziu au fost folosite în lucrările lor de oameni de știință atât de mari precum Newton, Descartes și mulți alții.

Discriminantul, precum și ecuațiile pătratice, încep să fie studiate la cursul de algebră din clasa a VIII-a. Puteți rezolva o ecuație pătratică prin discriminant și folosind teorema Vieta. Metodologia de studiu a ecuațiilor pătratice, precum și formula discriminantă, este insuflată mai degrabă fără succes la școlari, la fel ca mult în educația reală. Prin urmare, anii de școală trec, educația din clasele 9-11 înlocuiește „învățământul superior” și toată lumea caută din nou - „Cum se rezolvă o ecuație pătratică?”, „Cum se găsesc rădăcinile unei ecuații?”, „Cum se găsesc discriminantul?” Și...

Formula discriminantă

Discriminantul D al ecuației pătratice a*x^2+bx+c=0 este D=b^2–4*a*c.
Rădăcinile (soluțiile) ecuației pătratice depind de semnul discriminantului (D):
D>0 - ecuația are 2 rădăcini reale diferite;
D=0 - ecuația are 1 rădăcină (2 rădăcini coincide):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Formula de calcul a discriminantului este destul de simplă, așa că multe site-uri oferă un calculator discriminant online. Nu ne-am dat seama încă de acest tip de scripturi, așa că cine știe cum să implementeze acest lucru, vă rugăm să scrieți la e-mail Această adresă de e-mail este protejată de spamboți. Trebuie să aveți JavaScript activat pentru a vizualiza. .

Formula generală pentru găsirea rădăcinilor unei ecuații pătratice:

Rădăcinile ecuației se găsesc prin formula
Dacă coeficientul variabilei din pătrat este pereche, atunci este recomandabil să se calculeze nu discriminantul, ci a patra parte a acestuia.
În astfel de cazuri, rădăcinile ecuației sunt găsite prin formula

Al doilea mod de a găsi rădăcini este Teorema lui Vieta.

Teorema este formulată nu numai pentru ecuații pătratice, ci și pentru polinoame. Puteți citi acest lucru pe Wikipedia sau alte resurse electronice. Cu toate acestea, pentru a simplifica, luați în considerare acea parte a acesteia care se referă la ecuațiile patratice reduse, adică ecuațiile de forma (a=1)
Esența formulelor Vieta este că suma rădăcinilor ecuației este egală cu coeficientul variabilei, luată cu semnul opus. Produsul rădăcinilor ecuației este egal cu termenul liber. Formulele teoremei lui Vieta au o notație.
Derivarea formulei Vieta este destul de simplă. Să scriem ecuația pătratică în termeni de factori primi
După cum puteți vedea, totul ingenios este simplu în același timp. Este eficient să folosiți formula Vieta atunci când diferența dintre modulul rădăcinilor sau diferența dintre modulul rădăcinilor este 1, 2. De exemplu, următoarele ecuații, conform teoremei Vieta, au rădăcini




Analiza cu până la 4 ecuații ar trebui să arate așa. Produsul rădăcinilor ecuației este 6, deci rădăcinile pot fi valorile (1, 6) și (2, 3) sau perechi cu semnul opus. Suma rădăcinilor este 7 (coeficientul variabilei cu semnul opus). De aici concluzionăm că soluțiile ecuației pătratice sunt egale cu x=2; x=3.
Este mai ușor să selectezi rădăcinile ecuației dintre divizorii termenului liber, corectându-le semnul pentru a îndeplini formulele Vieta. La început, acest lucru pare dificil de realizat, dar cu exersarea unui număr de ecuații pătratice, această tehnică va fi mai eficientă decât calcularea discriminantului și găsirea rădăcinilor ecuației pătratice în mod clasic.
După cum puteți vedea, teoria școlară a studierii discriminanților și a modalităților de a găsi soluții la ecuație este lipsită de sens practic - „De ce au nevoie școlarii de o ecuație pătratică?”, „Care este sensul fizic al discriminantului?”.

Să încercăm să ne dăm seama ce descrie discriminantul?

În cursul algebrei, ei studiază funcții, scheme pentru studierea funcțiilor și trasarea funcțiilor. Dintre toate funcțiile, un loc important este ocupat de o parabolă, a cărei ecuație poate fi scrisă sub forma
Deci sensul fizic al ecuației pătratice este zerourile parabolei, adică punctele de intersecție ale graficului funcției cu axa absciselor Ox
Vă rog să vă amintiți proprietățile parabolelor care sunt descrise mai jos. Va veni timpul să susțineți examene, teste sau examene de admitere și veți fi recunoscători pentru materialul de referință. Semnul variabilei din pătrat corespunde dacă ramurile parabolei de pe grafic vor urca (a>0),

sau o parabolă cu ramurile în jos (a<0) .

Vârful parabolei se află la jumătatea distanței dintre rădăcini

Semnificația fizică a discriminantului:

Dacă discriminantul este mai mare decât zero (D>0), parabola are două puncte de intersecție cu axa Ox.
Dacă discriminantul este egal cu zero (D=0), atunci parabola din partea de sus atinge axa x.
Și ultimul caz când discriminantul mai putin de zero(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ecuații patratice incomplete

Sper că după ce ați studiat acest articol, veți învăța cum să găsiți rădăcinile unei ecuații pătratice complete.

Cu ajutorul discriminantului se rezolvă doar ecuații pătratice complete; pentru rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete se folosesc alte metode, pe care le veți găsi în articolul „Rezolvarea ecuațiilor pătratice incomplete”.

Ce ecuații pătratice se numesc complete? Acest ecuații de forma ax 2 + b x + c = 0, unde coeficienții a, b și c nu sunt egali cu zero. Deci, pentru a rezolva ecuația pătratică completă, trebuie să calculați discriminantul D.

D \u003d b 2 - 4ac.

În funcție de ce valoare are discriminantul, vom nota răspunsul.

Dacă discriminantul este un număr negativ (D< 0),то корней нет.

Dacă discriminantul este zero, atunci x \u003d (-b) / 2a. Când discriminantul este un număr pozitiv (D > 0),

atunci x 1 = (-b - √D)/2a și x 2 = (-b + √D)/2a.

De exemplu. rezolva ecuatia x 2– 4x + 4= 0.

D \u003d 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Raspuns: 2.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + x + 3 = 0.

D \u003d 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Răspuns: fără rădăcini.

Rezolvați ecuația 2 x 2 + 5x - 7 = 0.

D \u003d 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 \u003d (-5 - √81) / (2 2) \u003d (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 \u003d (-5 + √81) / (2 2) \u003d (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Răspuns: - 3,5; 1.

Deci, să ne imaginăm soluția ecuațiilor pătratice complete după schema din figura 1.

Aceste formule pot fi folosite pentru a rezolva orice ecuație pătratică completă. Trebuie doar să fii atent ecuația a fost scrisă ca polinom vedere standard

A x 2 + bx + c, altfel poți face o greșeală. De exemplu, scriind ecuația x + 3 + 2x 2 = 0, puteți decide în mod eronat că

a = 1, b = 3 și c = 2. Atunci

D \u003d 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 și atunci ecuația are două rădăcini. Și acest lucru nu este adevărat. (Vezi exemplul 2 soluția de mai sus).

Prin urmare, dacă ecuația nu este scrisă ca un polinom al formei standard, mai întâi trebuie scrisă ecuația pătratică completă ca un polinom al formei standard (în primul rând ar trebui să existe un monom cu cel mai mare exponent, adică A x 2 , apoi cu mai putin – bx, iar apoi termenul liber Cu.

La rezolvarea ecuației pătratice de mai sus și a ecuației pătratice cu un coeficient par pentru al doilea termen, pot fi folosite și alte formule. Să ne familiarizăm cu aceste formule. Dacă în ecuația pătratică completă cu al doilea termen coeficientul este par (b = 2k), atunci ecuația poate fi rezolvată folosind formulele prezentate în diagrama din figura 2.

O ecuație pătratică completă se numește redusă dacă coeficientul la x 2 este egal cu unitatea și ecuația ia forma x 2 + px + q = 0. O astfel de ecuație poate fi dată de rezolvat sau se obține prin împărțirea tuturor coeficienților ecuației la coeficient A stând la x 2 .

Figura 3 prezintă o diagramă a soluției pătratului redus
ecuații. Luați în considerare exemplul aplicării formulelor discutate în acest articol.

Exemplu. rezolva ecuatia

3x 2 + 6x - 6 = 0.

Să rezolvăm această ecuație folosind formulele prezentate în figura 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) \u003d 36 + 72 \u003d 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1- √ (3))) / 6 \u003d -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) \u003d (6 (-1 + √ (3))) / 6 \u003d -1 + √ 3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3

Puteți vedea că coeficientul de la x din această ecuație este un număr par, adică b \u003d 6 sau b \u003d 2k, de unde k \u003d 3. Apoi, să încercăm să rezolvăm ecuația folosind formulele prezentate în diagrama figură. D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 \u003d (-3 - 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 - √ (3))) / 3 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 \u003d (3 (-1 + √ (3))) / 3 \u003d - 1 + √3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3. Observând că toți coeficienții din această ecuație pătratică sunt divizibili cu 3 și împărțind, obținem ecuația pătratică redusă x 2 + 2x - 2 = 0 Rezolvăm această ecuație folosind formulele pentru ecuația pătratică redusă.
ecuații figura 3.

D 2 \u003d 2 2 - 4 (- 2) \u003d 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 \u003d (-2 - 2√3) / 2 \u003d (2 (-1 - √ (3))) / 2 \u003d - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 \u003d (2 (-1 + √ (3))) / 2 \u003d - 1 + √ 3

Răspuns: -1 - √3; –1 + √3.

După cum puteți vedea, atunci când rezolvăm această ecuație folosind formule diferite, am primit același răspuns. Prin urmare, stăpânind bine formulele prezentate în diagrama din figura 1, puteți rezolva oricând orice ecuație pătratică completă.

site-ul, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.

Dintre întregul curs al curriculumului școlar de algebră, una dintre cele mai voluminoase subiecte este tema ecuațiilor pătratice. În acest caz, o ecuație pătratică este înțeleasă ca o ecuație de forma ax 2 + bx + c \u003d 0, unde a ≠ 0 (se citește: o înmulțire cu x pătrat plus be x plus ce este egal cu zero, unde a nu este egal cu zero). În acest caz, locul principal este ocupat de formulele pentru găsirea discriminantului unei ecuații pătratice de tipul specificat, care este înțeleasă ca o expresie care vă permite să determinați prezența sau absența rădăcinilor într-o ecuație pătratică, precum și numărul acestora (dacă există).

Formula (ecuația) discriminantului unei ecuații pătratice

Formula general acceptată pentru discriminantul unei ecuații pătratice este următoarea: D \u003d b 2 - 4ac. Prin calcularea discriminantului folosind formula indicată, se poate determina nu numai prezența și numărul de rădăcini ale unei ecuații pătratice, ci și alegerea unei metode de găsire a acestor rădăcini, dintre care există mai multe în funcție de tipul de ecuație pătratică.

Ce înseamnă dacă discriminantul este zero \ Formula rădăcinilor unei ecuații pătratice dacă discriminantul este zero

Discriminantul, după cum rezultă din formulă, este notat Literă latină D. În cazul în care discriminantul este egal cu zero, trebuie concluzionat că ecuația pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, are o singură rădăcină, care se calculează folosind o formulă simplificată . Această formulă se aplică numai atunci când discriminantul este zero și arată astfel: x = –b/2a, unde x este rădăcina ecuației pătratice, b și a sunt variabilele corespunzătoare ale ecuației pătratice. Pentru a găsi rădăcina unei ecuații pătratice, este necesar să împărțiți valoarea negativă a variabilei b la de două ori valoarea variabilei a. Expresia rezultată va fi soluția unei ecuații pătratice.

Rezolvarea unei ecuații pătratice prin discriminant

Dacă, la calcularea discriminantului folosind formula de mai sus, se obține o valoare pozitivă (D este mai mare decât zero), atunci ecuația pătratică are două rădăcini, care se calculează folosind următoarele formule: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. Cel mai adesea, discriminantul nu este calculat separat, dar expresia rădăcinii sub forma unei formule discriminante este pur și simplu substituită în valoarea D, din care este extrasă rădăcina. Dacă variabila b are o valoare pară, atunci pentru a calcula rădăcinile unei ecuații pătratice de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, puteți utiliza și următoarele formule: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, unde k = b/2.

În unele cazuri, pentru soluția practică a ecuațiilor pătratice, puteți folosi Teorema Vieta, care spune că pentru suma rădăcinilor unei ecuații pătratice de forma x 2 + px + q \u003d 0, valoarea x 1 + x 2 \u003d -p va fi adevărată, iar pentru produsul rădăcinilor ecuației specificate - expresia x 1 x x 2 = q.

Poate discriminantul să fie mai mic decât zero?

La calcularea valorii discriminantului, se poate întâlni o situație care nu se încadrează în niciunul dintre cazurile descrise - când discriminantul are o valoare negativă (adică mai mică de zero). În acest caz, se consideră că ecuația pătratică de forma ax 2 + bx + c = 0, unde a ≠ 0, nu are rădăcini reale, prin urmare, soluția ei se va limita la calcularea discriminantului, iar formulele de mai sus pentru rădăcinile ecuației pătratice în acest caz nu se vor aplica vor. În același timp, în răspunsul la ecuația pătratică, se scrie că „ecuația nu are rădăcini reale”.

Video explicativ:

Cu acest program de matematică poți rezolva ecuația pătratică.

Programul nu numai că oferă răspunsul la problemă, dar afișează și procesul de rezolvare în două moduri:
- folosirea discriminantului
- folosind teorema Vieta (dacă este posibil).

Mai mult, răspunsul este afișat exact, nu aproximativ.
De exemplu, pentru ecuația \(81x^2-16x-1=0\), răspunsul este afișat sub această formă:

Acest program poate fi util elevilor de liceu în pregătire pentru munca de controlși examene, la testarea cunoștințelor înainte de examen, părinții pentru a controla rezolvarea multor probleme de matematică și algebră. Sau poate este prea scump pentru tine să angajezi un tutor sau să cumperi noi manuale? Sau vrei doar să-ți faci temele de matematică sau algebră cât mai repede posibil? În acest caz, puteți folosi și programele noastre cu o soluție detaliată.

În acest fel, vă puteți conduce propria pregătire și/sau formarea fraților sau surorilor mai mici, în timp ce nivelul de educație în domeniul sarcinilor de rezolvat este crescut.

Dacă nu sunteți familiarizat cu regulile de introducere a unui polinom pătrat, vă recomandăm să vă familiarizați cu ele.

Reguli pentru introducerea unui polinom pătrat

Orice literă latină poate acționa ca o variabilă.
De exemplu: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) etc.

Numerele pot fi introduse ca numere întregi sau fracții.
Mai mult, numerele fracționale pot fi introduse nu numai sub forma unei zecimale, ci și sub forma unei fracții obișnuite.

Reguli pentru introducerea fracțiilor zecimale.
În fracțiile zecimale, partea fracțională din întreg poate fi separată fie prin punct, fie prin virgulă.
De exemplu, puteți intra zecimale deci: 2,5x - 3,5x^2

Reguli pentru introducerea fracțiilor obișnuite.
Doar un număr întreg poate acționa ca numărător, numitor și parte întreagă a unei fracții.

Numitorul nu poate fi negativ.

Când introduceți o fracție numerică, numărătorul este separat de numitor printr-un semn de împărțire: /
Partea întreagă este separată de fracție printr-un ampersand: &
Intrare: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Rezultat: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

La introducerea unei expresii puteți folosi paranteze. În acest caz, la rezolvarea unei ecuații pătratice, expresia introdusă este mai întâi simplificată.
De exemplu: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

S-a constatat că unele scripturi necesare pentru a rezolva această sarcină nu au fost încărcate și este posibil ca programul să nu funcționeze.
Este posibil să aveți AdBlock activat.
În acest caz, dezactivați-l și reîmprospătați pagina.

Deoarece Sunt o mulțime de oameni care doresc să rezolve problema, cererea ta este pusă în coadă.
După câteva secunde, soluția va apărea mai jos.
Va rugam asteptati sec...

daca tu observat o eroare în soluție, apoi puteți scrie despre asta în Formularul de feedback .
Nu uita indicați ce sarcină tu decizi ce intra in campuri.

Jocurile, puzzle-urile, emulatorii noștri:

Un pic de teorie.

Ecuația pătratică și rădăcinile ei. Ecuații patratice incomplete

Fiecare dintre ecuații
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
are forma
\(ax^2+bx+c=0, \)
unde x este o variabilă, a, b și c sunt numere.
În prima ecuație a = -1, b = 6 și c = 1,4, în a doua a = 8, b = -7 și c = 0, în a treia a = 1, b = 0 și c = 4/9. Astfel de ecuații se numesc ecuații pătratice.

Definiție.
ecuație pătratică se numește o ecuație de forma ax 2 +bx+c=0, unde x este o variabilă, a, b și c sunt niște numere și \(a \neq 0 \).

Numerele a, b și c sunt coeficienții ecuației pătratice. Numărul a se numește primul coeficient, numărul b este al doilea coeficient și numărul c este intersecția.

În fiecare dintre ecuațiile de forma ax 2 +bx+c=0, unde \(a \neq 0 \), cea mai mare putere a variabilei x este un pătrat. De aici și numele: ecuație pătratică.

Rețineți că o ecuație pătratică se mai numește și ecuație de gradul doi, deoarece partea stângă este un polinom de gradul doi.

Se numește o ecuație pătratică în care coeficientul la x 2 este 1 ecuație pătratică redusă. De exemplu, ecuațiile pătratice date sunt ecuațiile
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Dacă în ecuația pătratică ax 2 +bx+c=0 cel puțin unul dintre coeficienții b sau c este egal cu zero, atunci o astfel de ecuație se numește ecuație pătratică incompletă. Deci, ecuațiile -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 sunt ecuații patratice incomplete. În primul dintre ele b=0, în al doilea c=0, în al treilea b=0 și c=0.

Ecuațiile patratice incomplete sunt de trei tipuri:
1) ax 2 +c=0, unde \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, unde \(b \neq 0 \);
3) ax2=0.

Luați în considerare soluția ecuațiilor fiecăruia dintre aceste tipuri.

Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +c=0 pentru \(c \neq 0 \), termenul său liber este transferat în partea dreaptă și ambele părți ale ecuației sunt împărțite la a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Rightarrow x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Deoarece \(c \neq 0 \), atunci \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Dacă \(-\frac(c)(a)>0 \), atunci ecuația are două rădăcini.

Dacă \(-\frac(c)(a) Pentru a rezolva o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 pentru \(b \neq 0 \) factorizați partea stângă și obțineți ecuația
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (matrice)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(matrice) \right. \)

Prin urmare, o ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 +bx=0 pentru \(b \neq 0 \) are întotdeauna două rădăcini.

O ecuație pătratică incompletă de forma ax 2 \u003d 0 este echivalentă cu ecuația x 2 \u003d 0 și, prin urmare, are o singură rădăcină 0.

Formula pentru rădăcinile unei ecuații pătratice

Să considerăm acum cum se rezolvă ecuațiile pătratice în care ambii coeficienți ai necunoscutelor și termenul liber sunt nenuli.

Rezolvăm ecuația pătratică în formă generală și ca rezultat obținem formula rădăcinilor. Apoi această formulă poate fi aplicată pentru a rezolva orice ecuație pătratică.

Rezolvați ecuația pătratică ax 2 +bx+c=0

Împărțind ambele părți cu a, obținem ecuația pătratică redusă echivalentă
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Transformăm această ecuație prin evidențierea pătratului binomului:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \Rightarrow \)

Expresia rădăcină se numește discriminant al unei ecuații pătratice ax 2 +bx+c=0 („discriminant” în latină - distinctor). Este notat cu litera D, i.e.
\(D = b^2-4ac\)

Acum, folosind notația discriminantului, rescriem formula pentru rădăcinile ecuației pătratice:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), unde \(D= b^2-4ac \)

Este evident ca:
1) Dacă D>0, atunci ecuația pătratică are două rădăcini.
2) Dacă D=0, atunci ecuația pătratică are o rădăcină \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Dacă D Astfel, în funcție de valoarea discriminantului, ecuația pătratică poate avea două rădăcini (pentru D > 0), o rădăcină (pentru D = 0) sau fără rădăcini (pentru D Când se rezolvă o ecuație pătratică folosind această formulă , este recomandabil să procedați în felul următor:
1) calculați discriminantul și comparați-l cu zero;
2) dacă discriminantul este pozitiv sau egal cu zero, atunci utilizați formula rădăcinii, dacă discriminantul este negativ, atunci scrieți că nu există rădăcini.

teorema lui Vieta

Ecuația pătratică dată ax 2 -7x+10=0 are rădăcinile 2 și 5. Suma rădăcinilor este 7, iar produsul este 10. Vedem că suma rădăcinilor este egală cu al doilea coeficient, luat cu semn opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber. Orice ecuație pătratică redusă care are rădăcini are această proprietate.

Suma rădăcinilor ecuației pătratice date este egală cu al doilea coeficient, luat cu semnul opus, iar produsul rădăcinilor este egal cu termenul liber.

Acestea. Teorema lui Vieta afirmă că rădăcinile x 1 și x 2 ale ecuației pătratice reduse x 2 +px+q=0 au proprietatea:
\(\left\( \begin(array)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(array) \right. \)