Diferențiale de funcție și derivate parțiale pentru manechine. Derivată parțială, diferențială totală FNP

Lasă funcția să fie definită într-un domeniu (deschis). D puncte
spațiu dimensional și
este un punct în acest domeniu, adică
D.

Creșterea parțială a unei funcții multe variabile pentru orice variabilă se numește increment pe care îl va primi funcția dacă dăm un increment acestei variabile, presupunând că toate celelalte variabile au valori constante.

De exemplu, creșterea parțială a unei funcții peste o variabilă va fi

Derivată parțială față de variabila independentă la punct
din funcție se numește limita (dacă există) a relației de increment parțial
funcții pentru a crește
variabil în timp ce se străduieşte
la zero:

Derivata parțială se notează cu unul dintre simbolurile:

;
.

Cometariu. Index mai jos, în această notație, indică numai din care variabile este luată derivata și nu este legată în ce moment
se calculează această derivată.

Calculul derivatelor parțiale nu este nimic nou în comparație cu calculul derivatei obișnuite, este necesar doar să ne amintim că atunci când diferențiem o funcție față de orice variabilă, toate celelalte variabile sunt luate ca constante. Să arătăm asta cu exemple.

Exemplul 1Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor
.

Soluţie. La calcularea derivatei parțiale a unei funcții
prin argumentare luați în considerare funcția în funcţie de o singură variabilă , adică crede asta are o valoare fixă. La un fix funcţie
este funcția de putere a argumentului . Conform formulei de diferențiere a unei funcții de putere, obținem:

În mod similar, la calcularea derivatei parțiale presupunem că valoarea este fixă , și luați în considerare funcția
ca funcţie exponenţială a argumentului . Ca rezultat, obținem:

Exemplul 2. Hgăsiți derivate parțiale și funcții
.

Soluţie. La calcularea derivatei parțiale în raport cu funcţie dată vom considera ca functie a unei variabile , și expresii care conțin , vor fi factori constanți, adică
actioneaza ca un factor constant cu o funcție de putere (
). Diferenţierea acestei expresii în raport cu , primim:

.

Acum, dimpotrivă, funcția considerată în funcție de o variabilă , în timp ce expresiile care conțin , acționează ca un coeficient
(
).Diferentiere conform regulilor de diferențiere a funcțiilor trigonometrice, obținem:

Exemplul 3 Calculați derivatele parțiale ale unei funcții
la punct
.

Soluţie. Mai întâi găsim derivatele parțiale ale acestei funcții într-un punct arbitrar
domeniul său de definire. La calcularea derivatei parțiale în raport cu crede asta
sunt permanente.

la diferenţierea prin va fi permanent
:

iar la calcularea derivatelor parţiale cu privire la și prin , în mod similar, va fi constantă, respectiv,
și
, adică:

Acum calculăm valorile acestor derivate la punctul
, substituind valori specifice ale variabilelor în expresiile acestora. Ca rezultat, obținem:

11. Diferențiale parțiale și totale ale unei funcții

Dacă acum la o creștere privată
se aplică teorema lui Lagrange pe incremente finite în raport cu o variabilă , apoi, numărând continuu se obtin urmatoarele relatii:

Unde
,
este o mărime infinitezimală.

Diferențial parțial al unei funcții după variabilă se numește partea liniară principală a incrementului parțial
, egal cu produsul derivatei parțiale față de această variabilă și incrementul acestei variabile și se notează

Evident, diferența parțială diferă de incrementul parțial printr-un ordin superior infinitezimal.

Creștere completă a funcției multe variabile se numește incrementul său, pe care îl va primi atunci când dăm un increment tuturor variabilelor independente, adică.

unde este toata lumea
, depind și împreună cu ei tind la zero.

Sub diferențiale ale variabilelor independente a fost de acord să însemne arbitrar incremente
și etichetați-le
. Astfel, expresia diferenţialului parţial va lua forma:

De exemplu, o diferență parțială pe este definit astfel:

.

diferenţial complet
funcțiile multor variabile se numește partea liniară principală a incrementului total
egal cu, i.e. suma tuturor diferenţialelor sale parţiale:

Dacă funcţia
are derivate parțiale continue

la punct
, atunci ea diferențiabilă într-un punct dat.

Pentru suficient de mic pentru o funcție diferențiabilă
există egalităţi aproximative

,

care poate fi folosit pentru calcule aproximative.

Exemplul 4Găsiți diferența completă a unei funcții
trei variabile
.

Soluţie.În primul rând, găsim derivatele parțiale:

Menționând că acestea sunt continue pentru toate valorile
, găsim:

Pentru diferențiale de funcții ale mai multor variabile sunt adevărate toate teoremele privind proprietățile diferențialelor, care au fost dovedite pentru cazul funcțiilor unei variabile, de exemplu: dacă și sunt funcții continue ale variabilelor
, care au derivate parțiale continue în raport cu toate variabilele și și sunt constante arbitrare, atunci:

(6)

Lucrare practică №2

„Diferenţial de funcţii”

Scopul lecției: Învață să rezolvi exemple și probleme pe o anumită temă.

Întrebări de teorie (nivel inițial):

1. Utilizarea derivatelor pentru studiul funcțiilor până la extrem.

2. Diferenţialul unei funcţii, sensul ei geometric şi fizic.

3. Diferenţial total al unei funcţii de mai multe variabile.

4. Starea corpului în funcție de multe variabile.

5. Calcule aproximative.

6. Găsirea derivatelor parțiale și a diferenţialului total.

7. Exemple de utilizare a acestor concepte în farmacocinetică, microbiologie etc.

(autoformare)

1. răspunde la întrebări pe tema lecției;

2. rezolva exemple.

Exemple

Găsiți diferențele următoarelor funcții:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Utilizarea derivatelor pentru studiul funcțiilor

Condiția ca funcția y = f(x) să crească pe segmentul [a, b]

Condiția ca funcția y=f(x) să scadă pe segmentul [a, b]

Condiția pentru funcția maximă y=f(x) la x= a

f"(a)=0 și f""(a)<0

Dacă pentru x \u003d a derivatele f "(a) \u003d 0 și f "(a) \u003d 0, atunci este necesar să se investigheze f "(x) în vecinătatea punctului x \u003d a. Funcția y \u003d f (x) pentru x \u003d a are un maxim, dacă la trecerea prin punctul x \u003d și derivata f "(x) își schimbă semnul de la "+" la "-", în cazul unui minim - de la „-” la „+” Dacă f „(x) nu își schimbă semnul la trecerea prin punctul x = a, atunci în acest moment funcția nu are extremă

Diferenţial de funcţie.

Diferenţialul unei variabile independente este egal cu incrementul acesteia:

Diferenţialul funcţiei y=f(x)

Diferenţialul sumei (diferenţei) a două funcţii y=u±v

Diferenţiala produsului a două funcţii y=uv

Diferenţialul coeficient a două funcţii y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Creșterea funcției

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

unde Δx: este incrementul argumentului.

Calculul aproximativ al valorii funcției:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f „(x) Δx

Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative

Diferenţialul este utilizat pentru a calcula erorile absolute şi relative în măsurători indirecte u = f(x, y, z.). Eroarea absolută a rezultatului măsurării

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Eroarea relativă a rezultatului măsurării

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ.

Diferența de funcție ca parte principală a incrementului de funcție și. Conceptul de diferenţial al unei funcţii este strâns legat de conceptul de derivată. Lasă funcția f(x) continuu pentru valori date Xși are o derivată

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), de unde creste functia Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Unde a(Dx)® 0 la Dx® 0. Să definim ordinea infinitezimalului f¢(x)Dx Dx.:

Prin urmare, infinitezimal f¢(x)Dxși Dx au același ordin de mărime, adică f¢(x)Dx = O.

Să definim ordinea infinitezimalului a(Dх)Dх cu privire la infinitezimal Dx:

Prin urmare, infinitezimalul a(Dх)Dх are un ordin mai mare de micime decât infinitezimalul Dx, acesta este a(Dx)Dx = o.

Astfel, un increment infinitezimal Df funcția diferențiabilă poate fi reprezentată sub forma a doi termeni: un infinitezimal f¢(x)Dx de aceeasi ordine de micime cu Dxși infinitezimal a(Dх)Dх ordin mai mare al micimii comparativ cu infinitezimal Dx. Asta înseamnă că în egalitate Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx la Dx® 0 al doilea termen tinde spre zero „mai rapid” decât primul, adică. a(Dx)Dx = o.

Primul termen f¢(x)Dx, liniară în raport cu Dx, numit diferenţial de funcţie f(x) la punct X si denota dy sau df(a se citi „de joc” sau „de ef”). Asa de,

dy = df = f¢(x)Dx.

Sensul analitic al diferenţialului constă în faptul că diferența unei funcții este partea principală a incrementului funcției Df, liniar în raport cu incrementul argumentului Dx. Diferenţialul unei funcţii diferă de creşterea unei funcţii printr-o infinitezimală de ordin mai mare al micşorării decât Dx. Într-adevăr, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx sau Df = df + a(Dx)Dx . Argument diferential dx egal cu incrementul acesteia Dx: dx=Dx.

Exemplu. Calculați valoarea diferenţialului unei funcţii f(x) = x 3 + 2x, când X variază de la 1 la 1,1.

Soluţie. Să găsim o expresie generală pentru diferența acestei funcții:

Înlocuirea valorilor dx=Dx=1,1–1= 0,1și x=1în ultima formulă, obținem valoarea dorită a diferenţialului: df½ x=1; = 0,5.

DERIVATE PARȚIALE ȘI DIFERENȚIALE.

Derivate parțiale de ordinul întâi. Derivata parțială de ordinul întâi a funcției z = f(x,y ) prin argumentare X la punctul luat în considerare (X y) numită limită

dacă există.

Derivată parțială a unei funcții z = f(x, y) prin argumentare X notat cu unul dintre următoarele caractere:

În mod similar, derivata parțială cu privire la la notat și definit prin formula:

Deoarece derivata parțială este derivata obișnuită a unei funcții a unui argument, nu este dificil să o calculăm. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați toate regulile de diferențiere avute în vedere până acum, ținând cont în fiecare caz care dintre argumente este luat ca „număr constant” și care servește ca „variabilă de diferențiere”.

Cometariu. Pentru a găsi derivata parțială, de exemplu, în raport cu argumentul x – df/dx, este suficient să găsim derivata obișnuită a funcției f(x,y), presupunând că acesta din urmă este o funcție a unui argument X, A la- permanenta; a găsi df/dy- viceversa.

Exemplu. Aflați valorile derivatelor parțiale ale unei funcții f(x,y) = 2x2 + y2 la punct P(1;2).

Soluţie. Socoteală f(x,y) funcție cu un singur argument X iar folosind regulile de diferențiere, găsim

La punctul P(1;2) valoare derivată

Considerând f(x; y) în funcție de un argument y, găsim

La punctul P(1;2) valoare derivată

SARCINA PENTRU MUNCA INDEPENDENTA A ELEVULUI:

Găsiți diferențele următoarelor funcții:

Rezolvați următoarele sarcini:

1. Cu cât va scădea aria unui pătrat cu latura x = 10 cm dacă latura se reduce cu 0,01 cm?

2. Ecuația mișcării corpului este dată: y=t 3 /2+2t 2 , unde s se exprimă în metri, t este în secunde. Aflați traseul s parcurs de corp în t=1,92 s de la începutul mișcării.

LITERATURĂ

1. Lobotskaya N.L. Fundamentele Matematicii Superioare - M .: „Școala Superior”, 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematică în biologie și medicină. Pe. din engleza. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Culegere de probleme de fizică medicală și biologică - M .: „Școala superioară”, 1987. C16-20.

derivat privat funcțiile z = f(x, y prin variabila x derivata acestei funcții se numește la o valoare constantă a variabilei y, se notează sau z "x.

derivat privat funcții z = f(x, y) prin variabila y numită derivată față de y la o valoare constantă a variabilei y; se notează sau z „y.

Derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile față de o variabilă este definită ca derivată a acestei funcții față de variabila corespunzătoare, cu condiția ca celelalte variabile să fie considerate constante.

diferenţial complet funcția z = f(x, y) la un moment dat M(X, y) se numește expresie

,

Unde și sunt calculate în punctul M(x, y) și dx = , dy = y.

Exemplul 1

Calculați diferența totală a funcției.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 în punctul M (1; 2)

Soluţie:

1) Găsiți derivate parțiale:

2) Calculați valoarea derivatelor parțiale în punctul M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Întrebări pentru autocontrol:

1. Ce se numește antiderivat? Enumerați proprietățile unui antiderivat.

2. Ce se numește integrală nedefinită?

3. Enumerați proprietățile integralei nedefinite.

4. Enumerați formulele de integrare de bază.

5. Ce metode de integrare cunoașteți?

6. Care este esența formulei Newton-Leibniz?

7. Dați o definiție a unei integrale definite.

8. Care este esența calculării unei integrale definite prin metoda substituției?

9. Care este esența metodei de calcul a unei integrale determinate pe părți?

10. Ce funcție se numește funcție a două variabile? Cum este desemnat?

11. Ce funcție se numește funcție a trei variabile?

12. Ce mulţime se numeşte domeniul unei funcţii?

13. Cu ajutorul ce inegalități se poate defini o regiune închisă D pe un plan?

14. Ce se numește derivată parțială a funcției z \u003d f (x, y) față de variabila x? Cum este desemnat?

15. Ce se numește derivată parțială a funcției z \u003d f (x, y) față de variabila y? Cum este desemnat?

16. Ce expresie se numește diferența totală a unei funcții

Tema 1.2 Ecuații diferențiale obișnuite.

Probleme care duc la ecuații diferențiale. Ecuații diferențiale cu variabile separabile. Soluții generale și private. Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi. Ecuații liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Lecția practică nr. 7 „Găsirea de soluții generale și particulare ale ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile” *

Lecția practică nr. 8 „Ecuații diferențiale liniare și omogene”

Lecția practică nr. 9 „Rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul 2 cu coeficienți constanți” *

L4, capitolul 15, p. 243 - 256

Instrucțiuni

transcriere

1 CURTEA N Diferenţială totală, derivate parţiale şi diferenţiale de ordin superior Diferenţial total Diferenţiale parţiale Derivate parţiale de ordin superior Diferenţiale de ordin superior 4 Derivate ale funcţiilor complexe 4 Diferenţial total Diferenţiale parţiale Dacă o funcţie z=f(,) este diferenţiabilă, atunci totalul ei diferenţialul dz este egal cu dz= a +B () z z Reţinând că A=, B =, scriem formula () în următoarea formă z z dz= + () Extindem conceptul de diferenţială funcţie la variabile independente, stabilind diferenţialele variabilelor independente egale cu incrementele lor: d= ; d= După aceea, formula diferenţialului total al funcţiei va lua forma z z dz= d + d () d + d n variabile, apoi du= d (d =) = Expresia d z=f (,)d (4) se numește diferența parțială a funcției z=f(,) față de variabilă; expresia d z=f (,)d (5) se numește diferența parțială a funcției z=f(,) față de variabila Din formulele (), (4) și (5) rezultă că diferența totală a o funcție este suma diferențelor sale parțiale: dz=d z+d z incrementul z= z z + + α (,) + β (,) diferă de partea sa liniară dz= z z + numai prin suma ultimilor termeni α + β, care la 0 și 0 sunt de ordin infinitezimal mai mare decât termenii părții liniare. Prin urmare, pentru dz 0, partea liniară a incrementului funcției diferențiabile se numește partea principală a incrementului funcției și formula aproximativă z se folosește dz, care va fi cu cât mai precis, cu atât valoarea absolută a incrementelor argumentelor este mai mică,97 Exemplu Calculați aproximativ arctg(),0

2 Soluție Luați în considerare funcția f(,)=arctg() Folosind formula f(x 0 + x, y 0 + y) f(x 0, y 0) + dz, obținem arctg(+) arctg() + [ arctg() ] + [ arctg()] sau + + arctg() arctg() () + () Fie =, =, apoi =-0,0, =0,0 Prin urmare, (0,0 0,0 arctg) arctg() + (0,0) 0,0 = arctan 0,0 = + 0,0 + () + () π = 0,05 0,0 0,75 4 Se poate arăta că eroarea rezultată din aplicarea formulei aproximative z dz nu depășește numărul = M (+), unde M este cea mai mare valoare a valorilor absolute ale derivatelor a doua parțiale f (,), f (,), f (,) atunci când argumentele se schimbă de la la + și de la la + Derivate parțiale de ordin superior Dacă funcția u =f (, z) are o derivată parțială față de una dintre variabilele dintr-un domeniu (deschis) D, atunci derivata găsită, fiind ea însăși o funcție a lui, z, poate, la rândul său, să aibă derivate parțiale la un moment dat (0, 0, z 0) față de aceeași variabilă sau orice altă variabilă Pentru funcția originală u=f(, z), aceste derivate vor fi derivate parțiale de ordinul doi Dacă s-a luat derivata întâi, de ex. ep, in, atunci derivata sa în raport cu, z se notează astfel: f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) f (0, 0, z0) = ; = ; = sau u, u, u z z z Derivatele ordinelor a treia, a patra și așa mai departe sunt determinate în mod similar.De rețineți că derivata parțială de ordin superior luată în raport cu diferite variabile, de exemplu, ; numită derivată parțială mixtă Exemplu u= 4 z, atunci, u =4 z ; u = 4z; u z = 4 z; u = z u=64z; uzz = 4; u = z u = z u z = 4 z; u z =8 z; uz =6 4 z; u z =6 4 z funcția f(,) este definită într-un domeniu (deschis) D,) în acest domeniu există derivate prime f și f, precum și derivate secundare mixte f și f și, în final,) aceste ultime derivate f și f, ca funcții ale lui u, sunt continue într-un punct (0, 0) al regiunii D Atunci în acest punct f (0, 0)=f (0, 0) Demonstrație Luați în considerare expresia

3 f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0 + f (0, 0) W=, unde, sunt diferite de zero, de exemplu, sunt pozitive și, în plus, sunt atât de mici încât D conține întregul dreptunghi [ 0, 0 +; 0, 0 +] 0 +) (, 0) ()= și deci continuu Cu această funcție f (0 +, 0 f (0 +, 0) f (0, 0) f (0, 0) expresia W, care este egală cu W= poate fi rescrisă ca: ϕ (0 +) ϕ (0) W= deci: W=ϕ (0 + θ, 0 f (0 + θ, 0) (0 + θ)= (0<θ<) Пользуясь существованием второй производной f (,), снова применим формулу конечных приращений, на этот раз к функции от: f (0 +θ,) в промежутке [ 0, 0 +] Получим W=f (0 +θ, 0 +θ), (0<θ <) Но выражение W содержит и, с одной стороны, и и, с другой, одинаковым образом Поэтому, можно поменять их роли и, введя вспомогательную функцию: Ψ()= f (0 +,) f (0,), путем аналогичных рассуждений получить результат: W=f (0 +θ, 0 +θ) (0<θ, θ <) Из сопоставления () и (), находим f (0 +θ, 0 +θ)=f (0 +θ, 0 +θ) Устремив теперь и к нулю, перейдем в этом равенстве к пределу В силу ограниченности множителей θ, θ, θ, θ, аргументы и справа, и слева стремятся к 0, 0 А тогда, в силу (), получим: f (0, 0)=f (0, 0), что и требовалось доказать Таким образом, непрерывные смешанные производные f и f всегда равны Общая теорема о смешанных производных Пусть функция u=f(, n) от переменных определена в открытой n-мерной области D и имеет в этой области всевозможные частные производные до (n-)-го порядка включительно и смешанные производные n-го порядка, причем все эти производные непрерывны в D При этих условиях значение любой n-ой смешанной производной не зависит от того порядка, в котором производятся последовательные дифференцирования Дифференциалы высших порядков Пусть в области D задана непрерывная функция u=f(, х), имеющая непрерывные частные производные первого порядка Тогда, du= d + d + + d

4 Vedem că du este și o funcție de, Dacă presupunem existența unor derivate parțiale continue de ordinul doi pentru u, atunci du va avea derivate parțiale continue de ordinul întâi și putem vorbi despre diferența totală a acestei diferențiale du , d(du), care se numește diferențială de ordinul doi (sau diferențială a doua) a lui u; se notează cu d u Subliniem că incrementele d, d, d sunt considerate constante și rămân aceleași la trecerea de la o diferență la alta (mai mult, d, d va fi zero) Deci, d u=d(du)=d (d + d + + d) = d() d + d() d + + d() d sau d u = (d + d + d + + d) d + + (d + d + = d + d + + d + dd + dd + + dd + + În mod similar, se definește diferențiala de ordinul trei d u și așa mai departe Dacă funcția u are derivate parțiale continue de toate ordinele până la și inclusiv al n-a, atunci existența a n-a diferenţială este garantată.Dar expresiile pentru ele devin din ce în ce mai complexe Putem simplifica notaţia Să scoatem „litera u” din expresia primei diferenţiale Apoi, notaţia va fi simbolică: du=(d + d + + d) u ; d u=(d + d + + d) u ; d n n u=(d + d + + d) u, care trebuie înțeles astfel: în primul rând, „polinomul” dintre paranteze este ridicat formal la o putere conform regulilor algebrei, atunci toți termenii rezultați sunt „înmulțiți” cu u (care se adaugă la n în numărătorii de la) , și numai după aceea toate simbolurile își returnează valoarea ca derivate și diferențiale u d) d u pe variabila t într-un anumit interval: =ϕ(t), =ψ(t), z=λ(t) Fie, în plus, ca t se modifică, punctele (, z) nu depășesc regiunea D Înlocuind valorile, și z în funcția u, obținem o funcție complexă: u=f(ϕ(t), ψ(t), λ(t)) Să presupunem că u are derivate parțiale continue u, u și u z in și z și că t, t și z t există Atunci este posibil să se demonstreze existența unei derivate a unei funcții complexe și să o calculeze. Dăm variabilei t un increment t , atunci, și z vor primi creșteri, respectiv, și z, funcția u va primi o creștere u Să reprezentăm incrementul funcției u sub forma: (asta se poate face, deoarece am presupus existența unor derivate parțiale continue u, u și u z) u=u +u +u z z+α +β +χ z, unde α, β, χ 0 at, z 0 Împărțim ambele parte a egalității pe t, obținem u z z = u + u + uz + α + β + χ t t t t t t t t 4

5 Să lăsăm acum incrementul t să se apropie de zero: atunci, z va tinde spre zero, deoarece funcțiile, z ale lui t sunt continue (am presupus existența derivatelor t, t, z t) și, prin urmare, α, β, χ de asemenea, tind la zero În limita obținem u t =u t +u t +u z z t () Vedem că în baza ipotezelor făcute, derivata funcției complexe chiar există.Dacă folosim notația diferențială, atunci du d d dz () va căuta ca , z în mai multe variabile t: =ϕ(t, v), =ψ(t, v), z=χ(t, v) Pe lângă existența și continuitatea derivatelor parțiale ale funcției f(, z), avem presupunem aici existența derivatelor de funcții, z față de t și v Acest caz nu diferă semnificativ de cel deja considerat, întrucât la calcularea derivatei parțiale a unei funcții a două variabile, fixăm una dintre variabile și vom rămân cu o funcție a unei singure variabile, formula () va fi aceeași z și () trebuie rescrisă ca: = + + (a) t t t z t z = + + (b) v v v z v Exemplu u= ; =ϕ(t)=t; =ψ(t)=cos t u t = - t + ln t = - t- ln sint 5

Funcții ale mai multor variabile În multe întrebări de geometrie a științelor naturii și a altor discipline, trebuie să se ocupe de funcții a două trei sau mai multe variabile Exemple: Aria unui triunghi S a h unde a este baza

13. Derivate parțiale ale ordinelor superioare Fie = au și definite pe D O. Funcțiile și sunt numite și derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții sau derivate parțiale primare ale unei funcții. si in general

Aplicație Definiția derivatei Fie și valorile argumentului, și f) și f) - ((valorile corespunzătoare ale funcției f () Diferența se numește increment al argumentului, iar diferența este creșterea funcției pe segment,

Exercițiu practic DIFERENȚIAREA UNEI FUNCȚII COMPLEXE ȘI IMPLICITE Diferențierea unei funcții complexe Diferențierea unei funcții implicite dată de o ecuație Sisteme de date implicite și parametrice

FUNCȚIILE MULTIPLE VARIABILE Funcțiile unei variabile independente nu acoperă toate dependențele care există în natură. Prin urmare, este firesc să extindem binecunoscutul concept de dependență funcțională și să introducem

6 Funcții implicite 6.1 Definiții, context

1. Concepte de bază. Funcțiile mai multor variabile. Vom studia funcția mai multor variabile folosind exemple de funcții a două și trei variabile, deoarece toate aceste definiții și rezultatele obținute

2.2.7. Aplicarea diferenţialului la calcule aproximative. Diferenţialul funcţiei y = depinde de x şi este partea principală a incrementului x. Puteți folosi și formula: dy d Apoi eroarea absolută:

Cursul 9. Derivate și diferențiale de ordin superior, proprietățile lor. Punctele extreme ale funcției. teoremele lui Fermat și Rolle. Fie funcția y diferențiabilă pe un interval [b]. În acest caz, derivatul său

5 Punctul în care F F F sau cel puțin una dintre aceste derivate nu există se numește punct singular al suprafeței.Într-un astfel de punct, suprafața poate să nu aibă un plan tangent Definiție Normală la suprafață

INTEGRALA DEFINITA. Sume integrale și integrală definită Fie o funcție y = f () definită pe segmentul [, b ], unde< b. Разобьём отрезок [, b ] с помощью точек деления на n элементарных

ECUATII DIFERENTIALE ORDINARE DE ORDINUL I. Concepte de baza O ecuatie diferentiala este o ecuatie in care o functie necunoscuta intra sub semnul derivat sau diferential.

6. Diferenţialul unei funcţii 1. Definiţie şi semnificaţie geometrică DEFINIŢIE. O functie y = f(x) se numeste diferentiabila intr-un punct x 0 daca incrementul ei in acest punct poate fi scris ca suma unui liniar.

Prelegeri Capitolul Funcțiile mai multor variabile Concepte de bază Unele funcții ale mai multor variabile sunt bine cunoscute Să dăm câteva exemple Pentru a calcula aria unui triunghi, se cunoaște formula lui Heron S

~ 1 ~ FUNCȚIA MULTIPLE VARIABILE 3 Funcția a două variabile, domeniul de definire, modalități de precizare și semnificație geometrică. Definiție: z f, se numește funcție a două variabile, dacă fiecare pereche de valori,

Ecuații diferențiale de ordinul întâi rezolvate în raport cu derivata Teorema existenței și unicității pentru o soluție În cazul general, o ecuație diferențială de ordinul întâi are forma F ()

Cursul 3 Extremul unei funcții a mai multor variabile Fie definită în domeniul D o funcție a mai multor variabile u = f (x, x), iar punctul x (x, x) = aparține acestui domeniu Funcția u = f ( x, x) are

Modul Subiect Secvențe de funcții și serii Proprietăți de convergență uniformă a secvențelor și a seriilor Serii de putere Curs Definiții de secvențe de funcții și serii În mod uniform

9 Derivată și diferențială 91 Formule de bază și definiții pentru rezolvarea problemelor Definiție Fie funcția y f () este definită pe o f (Δ) f () Δy vecinătate a punctului Limita relației pentru Δ Δ Δ, dacă

1 Tema 1. Ecuații diferențiale de ordinul întâi 1.0. Definiții și teoreme de bază Ecuație diferențială de ordinul întâi: variabilă independentă; y = y() este funcția dorită; y = y () derivata sa.

Cursul 8 Diferențierea unei funcții complexe Considerăm o funcție complexă t t t f unde ϕ t t t t t t t f t t t t t t t t t

UNIVERSITATEA TEHNICĂ DE STAT DE AVIIAȚIE CIVILĂ MOSCOVA V.M. Lyubimov, E.A. Jukova, V.A. Uhova, Yu.A. Şurinov

II ECUAȚII DIFERENȚIALE Ecuații diferențiale de ordinul întâi Definiție Relațiile în care variabilele necunoscute și funcțiile lor sunt sub semnul derivat sau diferențial se numesc

6 Probleme care duc la conceptul de derivată Fiți un punct material să se miște în linie dreaptă într-o direcție conform legii s f (t), unde t este timpul și s este calea parcursă de punctul în timp t Rețineți un anumit moment

Cursul 3. Integrală nedefinită. Antiderivată și integrală nedefinită În calculul diferențial se rezolvă problema: pentru o funcție dată f () găsiți derivata (sau diferențiala). Calcul integral

1 Cursul 7 Derivate și diferențiale de ordin superior Rezumat: Se introduce conceptul de funcție diferențiabilă, se dă o interpretare geometrică a primei diferențiale și se demonstrează invarianța acesteia

Funcții ale mai multor argumente Conceptul de funcție pentru fiecare element x din mulțimea X conform unei legi y \u003d f (x) este asociat cu o singură valoare a variabilei y din mulțimea Y ​​la fiecare pereche de numere

Compilat de VPBelkin 1 Curs 1 Funcția mai multor variabile 1 Concepte de bază Dependența \u003d f (1, n) a unei variabile de variabilele 1, n se numește funcție a n argumente 1, n În cele ce urmează, vom lua în considerare

ECUATII DIFERENTIALE Concepte generale Ecuatiile diferentiale au aplicatii numeroase si foarte diverse in mecanica, fizica, astronomie, tehnologie si in alte domenii ale matematicii superioare (de exemplu,

I Definirea unei funcții a mai multor variabile Domeniul de definiție Când studiem mai multe fenomene, trebuie să ne ocupăm de funcții a două sau mai multe variabile independente, de exemplu temperatura corpului la un moment dat.

Cursul 8 Teoremele lui Fermat, Rolle, Cauchy, Lagrange si L'Hospital

SA Lavrenchenko wwwlawrencenkoru Cursul 4 Diferențierea funcțiilor complexe Diferențierea implicită Reamintim regula de diferențiere pentru funcțiile unei variabile, numită și regula lanțului (vezi

Secțiune Calcul diferențial al funcțiilor uneia și mai multor variabile Funcția argument real Numere reale Numerele întregi pozitive se numesc numere naturale Adăugați la numerele naturale

Atelier: „Diferențiabilitate și diferențială a unei funcții” Dacă funcția y f () are o derivată finită într-un punct, atunci incrementul funcției în acest punct poate fi reprezentat ca: y (,) f () () (), unde () la

Curs Ecuații diferențiale de ordinul al treilea Principalele tipuri de ecuații diferențiale de ordinul al treilea și soluția lor Ecuațiile diferențiale sunt unul dintre cele mai comune mijloace de matematică

TEMA 1 FUNCȚIA DERIVATĂ FUNȚIA DIFERENȚIALĂ PROGRAMUL ÎNTREBĂRI: 11 Conexiune funcțională Limită funcție 1 Derivată funcție 1 Semnificația fizică și geometrică mecanică a derivatei 14 De bază

M I N I S T E R S T O E D U R A O V A N I A I A N A U K I R O S S I O Y F E D E R A T I O INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNT AUTONOM DE STAT FEDERAL DE ÎNVĂȚĂMÂNT SUPERIOR „Național de Cercetare

DISCIPLINA Curs "Matematica superioara", semestru Forma de studiu prin corespondenta TEMA Matrix Algebra

V.V. Zhuk, A.M. Kamachkin Diferențiabilitatea funcțiilor mai multor variabile. Diferențiabilitatea unei funcții într-un punct. Condiții suficiente de diferențiere în ceea ce privește derivatele parțiale. Diferențierea complexă

Capitolul 4 Limita unei funcţii 4 1 CONCEPTUL DE LIMITE A UNEI FUNCŢII Acest capitol se concentrează pe conceptul de limită a unei funcţii. S-a definit care este limita unei funcții la infinit și apoi limita într-un punct, limite

PRELARE 23 TRANSFORMĂRI CANONICE. TEOREMA LUI LIOUVILLE PRIVIND CONSERVAREA VOLUMULUI FAZEI. FUNCȚIA GENERATORĂ A TRANSFORMĂRII LIBERE Continuăm să studiem transformările canonice. Să ne amintim mai întâi principalul

Departamentul de Matematică și Informatică Analiză matematică Complex educațional și metodologic pentru studenții HPE care studiază cu utilizarea tehnologiilor la distanță Modulul 3 Calcul diferențial al funcțiilor unui

55 este la o valoare infinitezimală de ordin mai mare a micșorării în comparație cu ρ n (,), unde ρ () + (), atunci poate fi reprezentat în forma Peano n R, ρ Exemplu Scrieți formula Taylor pentru n cu

Subiect Integrală definită Integrală definită Probleme care duc la conceptul de integrală definită Problema calculării ariei unui trapez curbiliniu În sistemul de coordonate Oxy, este dat un trapez curbiliniu,

5 Seria de puteri 5 Seria de puteri: definiție, domeniul de convergență Seria de funcții de forma (a + a) + a () + K + a () + K a) (, (5) numerele se numesc serii de puteri Numere

Seria numerică Secvența numerică Opr O secvență numerică este o funcție numerică definită pe mulțimea numerelor naturale x - un membru comun al șirului x =, x =, x =, x =,

Ecuații diferențiale curs 4 Ecuații în diferențiale totale. Factorul integrator Lector Anna Igorevna Sherstneva 9. Ecuații în diferențe totale Ecuația d + d = 14 se numește ecuație

Facultatea de Metalurgie Departamentul de Matematică Superioară

Analiza matematică Secțiunea: Funcția mai multor variabile Tema: Diferențiabilitatea FNP (sfârșit. Derivate parțiale și diferențiale ale FNP complexe. Diferențierea funcțiilor implicite Lector Rozhkova S.V.

(Teorema lui Fermat - teorema lui Darboux - teorema lui Rolle - teorema lui Lagrange teorema valorii medii - interpretarea geometrică a teoremei valorii medii - teorema lui Cauchy - formula incrementului finit - regula lui L'Hopital

Capitolul 4 Teoreme fundamentale ale calculului diferenţial Dezvăluirea incertitudinilor Teoreme fundamentale ale calculului diferenţial Teorema lui Fermat (Pierre Fermat (6-665) matematician francez) Dacă funcţia y f

CURTEA 7 CALCULUL DIFERENȚIAL AL ​​O FUNCȚIE A UNEI VARIABILE 1 Conceptul de derivată a unei funcții

Ministerul Educației al Republicii Belarus Subiectul Universității Tehnologice de Stat din Vitebsk. „Rânduri” Catedra de Matematică Teoretică și Aplicată. dezvoltat de Conf. univ. E.B. Dunina. Principal

Cursul 3 Seria Taylor și Maclaurin Aplicarea serii de puteri Extinderea funcțiilor în serii de puteri Seria Taylor și Maclaurin Pentru aplicații, este important să puteți extinde o funcție dată într-o serie de puteri, acele funcții

58 Integrală determinată Fie dată pe interval funcția () Vom considera funcția continuă, deși acest lucru nu este necesar. Alegem numere arbitrare pe interval, 3, n-, îndeplinind condiția:

Ecuații diferențiale de ordin superior. Konev V.V. Planuri de prelegere. Cuprins 1. Concepte de bază 1 2. Ecuații care permit reducerea ordinului 2 3. Ecuații diferențiale liniare de ordin superior

Cursul 20 TEOREMA PRIVIND DERIVATA UNEI FUNCȚII COMPLEXE. Fie y = f(u) și u= u(x). Obținem o funcție y în funcție de argumentul x: y = f(u(x)). Ultima funcție se numește funcție a unei funcții sau funcție complexă.

Diferențierea unei funcții implicite Luați în considerare funcția (,) = C (C = const) Această ecuație definește o funcție implicită () Să presupunem că am rezolvat această ecuație și am găsit o expresie explicită = () Acum putem

Institutul de Aviație din Moscova (Universitatea Națională de Cercetare) Departamentul de Matematică Superioară Limite Derivate Funcții ale mai multor variabile Orientări și opțiuni de control

LUCRĂRI DE LABORATOR 7 FUNCȚII GENERALIZATE I. CONCEPTE ȘI TEOREME DE BAZĂ Se notează cu D mulțimea tuturor funcțiilor finite infinit derivabile ale unei variabile reale. aceasta

Capitolul 3. Investigarea funcţiilor cu ajutorul derivatelor 3.1. Extreme și monotonitate Se consideră o funcție y = f () definită pe un interval I R. Se spune că are un maxim local în punctul

Universitatea Tehnică de Stat din Moscova numită după N.E. Bauman Facultatea de Științe Fundamentale Departamentul de Modelare Matematică А.Н. Kanatnikov,

Orientări și variante ale RGR pe tema Funcția mai multor variabile pentru studenții specialității Design. Dacă cantitatea este determinată în mod unic prin stabilirea valorilor cantităților și independent unele de altele,

Universitatea Tehnică de Stat din Moscova numită după N.E. Bauman Facultatea de Științe Fundamentale Departamentul de Modelare Matematică А.Н. Kanatnikov, A.P. Kryshenko

INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE PENTRU SARCINI DE CALCUL LA CURSUL DE MATEMATICĂ SUPERIOR „SERIA DE ECUAȚII DIFERENȚIALE ORDINARĂ INTEGRALE DUBLE” PARTEA III SERIE TEMATICĂ Cuprins Seria Serie numerică Convergență și divergență

Limita functiei. Definirea limitei secvenței numerice. O secvență numerică infinită (sau pur și simplu o secvență numerică) este o funcție f f (, definită pe mulțimea tuturor

Curs 19 DERIVATIVUL ŞI APLICAŢIILE EI. DEFINIȚIA DERIVATULUI. Să avem o funcție y=f(x) definită pe un anumit interval. Pentru fiecare valoare a argumentului x din acest interval, funcția y=f(x)

Calculul diferenţial al funcţiilor mai multor variabile Funcţiile mai multor variabile O mărime se numeşte funcţie a variabilelor n dacă fiecărui punct M n aparţinând unei mulţimi X este atribuit

PRELARE N 7 .Puterea

Cursul 3 Teorema de existență și unicitate pentru o soluție a unei ecuații scalare Enunțul problemei Rezultatul principal Să considerăm problema Cauchy d f () d =, () =

Agenția Federală pentru Educație Universitatea de Stat de Geodezie și Cartografie din Moscova (MIIGAiK) INSTRUCȚIUNI METODOLOGICE ȘI SARCINI PENTRU MUNCĂ INDEPENDENTĂ la cursul MATEMATICĂ SUPERIORĂ

Derivate parțiale ale funcțiilor a două variabile.
Concept și exemple de soluții

În această lecție, vom continua cunoașterea funcției a două variabile și vom lua în considerare, probabil, cea mai comună sarcină tematică - găsirea derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea, precum și diferența totală a funcției. Studenții cu fracțiune de normă, de regulă, se confruntă cu derivate parțiale în anul 1 în semestrul 2. În plus, conform observațiilor mele, sarcina de a găsi derivate parțiale se regăsește aproape întotdeauna în examen.

Pentru a studia eficient următorul material, tu necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul?și Derivată a unei funcții complexe. De asemenea, avem nevoie de un tabel de derivate ale funcțiilor elementare și reguli de diferențiere, cel mai convenabil este dacă este la îndemână în formă tipărită. Puteți găsi material de referință pe pagină Formule și tabele matematice.

Să repetăm ​​rapid conceptul de funcție a două variabile, voi încerca să mă limitez la minim. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.

Exemplu: - o funcție a două variabile.

Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.

Din punct de vedere geometric, o funcție a două variabile este cel mai adesea o suprafață a spațiului tridimensional (un plan, un cilindru, o bilă, un paraboloid, un hiperboloid etc.). Dar, de fapt, aceasta este deja mai mult geometrie analitică și avem analiză matematică pe ordinea de zi, pe care profesorul meu universitar nu m-a lăsat niciodată să le opresc este „calul” meu.

Ne întoarcem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei dintre voi care au băut câteva căni de cafea și sunt în chef de material neînchipuit de dificil: derivatele parțiale sunt aproape aceleași cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe pe care le vom cunoaște chiar acum:

... da, apropo, pentru acest subiect am creat carte mica pdf, care vă va permite să vă „umpleți mâna” în doar câteva ore. Dar, folosind site-ul, veți obține, desigur, și rezultatul - poate puțin mai lent:

Exemplul 1

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea ale unei funcții

În primul rând, găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.

Notaţie:
sau - derivată parțială față de "x"
sau - derivată parțială în raport cu „y”

Sa incepem cu . Când găsim derivata parțială față de „x”, atunci variabila este considerată o constantă (număr constant).

Comentarii cu privire la acțiunile întreprinse:

(1) Primul lucru pe care îl facem când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub liniuţă cu indice.

Atenție importantă! Indicele NU PIERD pe parcursul soluției. În acest caz, dacă desenați o „lovitură” undeva fără, atunci profesorul, cel puțin, o poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din scor pentru neatenție).

(2) Folosiți regulile de diferențiere , . Pentru un exemplu simplu ca acesta, ambele reguli pot fi aplicate în același pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatei, apoi o scoatem din paranteze. Adică, în această situație, nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.

(3) Folosim derivate tabulare și .

(4) Simplificăm sau, după cum îmi place să spun, „combinăm” răspunsul.

Acum . Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilaconsiderată o constantă (număr constant).

(1) Folosim aceleași reguli de diferențiere , . În primul termen scoatem constanta dincolo de semnul derivatei, în al doilea termen nu se poate scoate nimic pentru că este deja o constantă.

(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Schimbați mental în tabel tot „X” cu „Y”. Adică, acest tabel este la fel de valabil pentru (și într-adevăr pentru aproape orice literă). În special, formulele pe care le folosim arată astfel: și .

Care este sensul derivatelor parțiale?

În esență, derivatele parțiale de ordinul 1 se aseamănă derivat „obișnuit”.:

- aceasta este funcții, care caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia axelor şi respectiv. Deci, de exemplu, funcția caracterizează abruptul „urcărurilor” și „pârtilor” suprafeteîn direcția axei absciselor, iar funcția ne vorbește despre „relieful” aceleiași suprafețe în direcția axei ordonatelor.

! Notă : aici se referă la direcții care sunt paralele axele de coordonate.

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm în considerare un punct specific al planului și să calculăm valoarea funcției („înălțime”) în el:
- și acum imaginați-vă că sunteți aici (la suprafață).

Calculăm derivata parțială în raport cu „x” la un punct dat:

Semnul negativ al derivatului „X” ne vorbește despre Descendentă funcţionează într-un punct în direcţia axei x. Cu alte cuvinte, dacă facem un mic-mic (infinitezimal) pas spre vârful axei (paralel cu această axă), apoi coborâți panta suprafeței.

Acum aflăm natura „terenului” în direcția axei y:

Derivata față de „y” este pozitivă, prin urmare, într-un punct de-a lungul axei, funcția crește. Dacă este destul de simplu, atunci aici așteptăm o urcare în urcare.

În plus, derivata parțială la un punct caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia relevantă. Cu cât valoarea rezultată este mai mare modulo- cu cât suprafața este mai abruptă și invers, cu cât este mai aproape de zero, cu atât suprafața este mai plată. Deci, în exemplul nostru, „panta” în direcția axei absciselor este mai abruptă decât „muntele” în direcția axei ordonatelor.

Dar acelea erau două căi private. Este destul de clar că din punctul în care ne aflăm, (și în general din orice punct al suprafeței date) ne putem deplasa într-o altă direcție. Astfel, există un interes în alcătuirea unei „hărți de navigație” generale care să ne spună despre „peisajul” suprafeței. dacă este posibilîn fiecare punct domeniul de aplicare al acestei funcțiiîn toate modurile disponibile. Voi vorbi despre acest lucru și despre alte lucruri interesante într-una din lecțiile următoare, dar, deocamdată, să revenim la partea tehnică a problemei.

Sistematizează regulile elementare aplicate:

1) Când diferențiem prin , atunci variabila este considerată o constantă.

2) Când diferenţierea se realizează conform, atunci este considerată o constantă.

3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă (sau oricare alta) față de care se realizează diferențierea.

Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.

Notaţie:
sau - a doua derivată în raport cu „x”
sau - a doua derivată în raport cu „y”
sau - amestecat derivată „x cu y”
sau - amestecat derivată „Y cu X”

Nu există probleme cu derivata a doua. In termeni simpli, a doua derivată este derivata primei derivate.

Pentru comoditate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite:

Mai întâi găsim derivatele mixte:

După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiem din nou, dar în acest caz, deja prin „y”.

În mod similar:

În exemple practice, vă puteți concentra pe următoarea egalitate:

Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi, este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.

Găsim derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, luăm și diferențiază-l cu „X” din nou:

În mod similar:

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, din moment ce nu există egalități miraculoase care să le testeze.

Derivatele secunde găsesc, de asemenea, o largă aplicație practică, în special, sunt utilizate în problema găsirii extremele unei funcții a două variabile. Dar totul are timpul lui:

Exemplul 2

Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției în punctul . Găsiți derivate de ordinul doi.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspunsuri la sfârșitul lecției). Dacă întâmpinați dificultăți în a diferenția rădăcinile, reveniți la lecție Cum să găsesc derivatul?În general, destul de curând veți învăța cum să găsiți derivate similare din mers.

Ne umplem mâna cu exemple mai complexe:

Exemplul 3

Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.

Rezolvare: Găsim derivate parțiale de ordinul întâi:

Atenție la indice: lângă „x” nu este interzis să scrieți între paranteze că este o constantă. Acest marcaj poate fi foarte util pentru începători pentru a facilita navigarea prin soluție.

Comentarii suplimentare:

(1) Scoatem toate constantele din afara semnului derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.

(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.

(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei, în acest caz constanta este .

(2) Sub prim, avem produsul a două funcții, prin urmare, trebuie să folosim regula de diferențiere a produsului .

(3) Nu uitați că este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: .

Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:

Aceasta înseamnă că toate calculele sunt corecte.

Să scriem diferența totală. În contextul sarcinii luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.

Diferenţial total de prim ordin funcțiile a două variabile are forma:

În acest caz:

Adică, în formulă trebuie doar să înlocuiți prostesc derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite. Pictograme diferențiale și în această situație și în situații similare, dacă este posibil, este mai bine să scrieți în numărătoare:

Și la cererea repetată a cititorilor, diferenţial complet de ordinul doi.

Arata cam asa:

Găsiți cu ATENȚIE derivatele „cu o singură literă” de ordinul 2:

și notează „monstrul”, „atașând” cu grijă pătratele, produsul și fără a uita să dublezi derivatul mixt:

Este în regulă dacă ceva părea dificil, poți oricând să revii la derivate mai târziu, după ce ai luat tehnica de diferențiere:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții . Verifică asta . Scrieți diferența totală de ordinul întâi.

Luați în considerare o serie de exemple cu funcții complexe:

Exemplul 5

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale funcției.

Soluţie:

Exemplul 6

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .
Notați diferența totală.

Acesta este un exemplu de auto-rezolvare (răspuns la sfârșitul lecției). Nu voi posta soluția completă pentru că este destul de simplă.

Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

(1) Folosim regula diferențierii sumei

(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece în expresie nu există nimic care să depindă de „x” - doar „y”. Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată în zero). Pentru al doilea termen, aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, în acest sens, nimic nu s-ar schimba dacă s-ar da în schimb o funcție – este important că aici produsul a două funcții, FIECARE din care depinde "X", și, prin urmare, trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.

(1) Primul termen atât în ​​numărător, cât și în numitor conține un „y”, prin urmare, trebuie să utilizați regula pentru diferențierea coeficientului: . Al doilea termen depinde DOAR de „x”, ceea ce înseamnă că este considerat o constantă și se transformă în zero. Pentru al treilea termen, folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru acei cititori care au ajuns cu curaj aproape până la sfârșitul lecției, vă voi spune o veche anecdotă a lui Mehmatov pentru detenție:

Odată a apărut un derivat malefic în spațiul funcțiilor și cum a mers să diferențieze pe toată lumea. Toate funcțiile se împrăștie în toate direcțiile, nimeni nu vrea să se întoarcă! Și o singură funcție nu scapă nicăieri. Derivatul o abordează și întreabă:

— De ce nu fugi de mine?

- Ha. Dar nu-mi pasă, pentru că sunt „e la puterea lui x”, iar tu nu-mi poți face nimic!

La care derivatul malefic cu un zâmbet insidios îi răspunde:

- Aici greșești, te voi diferenția prin „y”, așa că fii zero pentru tine.

Cine a înțeles gluma, a stăpânit derivatele, cel puțin pentru „troika”).

Exemplul 8

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

Acesta este un exemplu de do-it-yourself. O soluție completă și un model de proiect al problemei sunt la sfârșitul lecției.

Ei bine, asta e aproape tot. În cele din urmă, nu pot să nu le rog matematicienilor cu încă un exemplu. Nici măcar nu e vorba de amatori, fiecare are un alt nivel de pregătire matematică – sunt oameni (și nu atât de rari) cărora le place să concureze cu sarcini mai dificile. Deși, ultimul exemplu din această lecție nu este atât de complicat, ci greoi din punct de vedere al calculelor.