Împărțirea fracțiilor zecimale cu un număr natural. Împărțirea după fracție zecimală - Knowledge Hypermarket

Împărțirea după zecimal se reduce la împărțirea prin numar natural.

Regula pentru împărțirea unui număr la o fracție zecimală

Pentru a împărți un număr la o fracție zecimală, este necesar atât în ​​dividend, cât și în divizor să mutați virgula la dreapta câte cifre sunt în divizor după virgulă. După aceea, împărțiți la un număr natural.

Exemple.

Efectuați împărțirea după zecimală:

Pentru a împărți cu o fracție zecimală, trebuie să mutați virgula atâtea cifre la dreapta atât în ​​dividend, cât și în divizor, câte sunt după punctul zecimal din divizor, adică printr-un singur semn. Obținem: 35.1: 1.8 \u003d 351: 18. Acum efectuăm împărțirea după un colț. Ca rezultat, obținem: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Pentru a efectua împărțirea fracțiilor zecimale, atât în ​​dividend, cât și în divizor, mutați virgula la dreapta cu un semn: 14,76: 3,6 \u003d 147,6: 36. Acum efectuăm pe un număr natural. Rezultat: 14,76: 3,6 = 4,1.

Pentru a efectua împărțirea cu o fracție zecimală a unui număr natural, este necesar atât în ​​dividend, cât și în divizor să mutați câte caractere la dreapta sunt în divizor după virgulă. Deoarece virgula nu este scrisă în divizor în acest caz, completăm numărul de caractere lipsă cu zerouri: 70: 1,75 \u003d 7000: 175. Împărțim numerele naturale rezultate cu un colț: 70: 1,75 \u003d 7000: 175 \u003d 40.

4) 0,1218: 0,058

Pentru a împărți o fracție zecimală în alta, mutăm virgula la dreapta atât în ​​dividend, cât și în divizor cu atâtea cifre câte sunt în divizor după virgulă, adică cu trei cifre. Astfel, 0,1218: 0,058 \u003d 121,8: 58. Împărțirea cu o fracție zecimală a fost înlocuită cu împărțirea cu un număr natural. Împărțim un colț. Avem: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

Adunarea zecimale se face în același mod ca și adunarea numerelor întregi. Să vedem asta cu exemple.

1) 0,132 + 2,354. Să semnăm termenii unul sub celălalt.

Aici, din adunarea a 2 miimi cu 4 miimi s-au obtinut 6 miimi;
din adăugarea a 3 sutimi cu 5 sutimi, s-au dovedit 8 sutimi;
de la adăugarea a 1 zecime cu 3 zecimi -4 zecimi și
din adunarea a 0 numere întregi cu 2 numere întregi - 2 numere întregi.

2) 5,065 + 7,83.

Nu există miimi în al doilea mandat, așa că este important să nu faceți greșeli atunci când semnați termenii unul sub celălalt.

3) 1,2357 + 0,469 + 2,08 + 3,90701.

Aici, la adăugarea de miimi, obținem 21 de miimi; am scris 1 sub miimi și 2 a adăugat la sutimi, așa că pe locul al sutei am obținut următorii termeni: 2 + 3 + 6 + 8 + 0; in suma, ei dau 19 sutimi, noi am semnat 9 sub sutimi, iar 1 a fost socotit ca zecimi etc.

Astfel, la adunarea fracțiilor zecimale, trebuie respectată următoarea ordine: fracțiile sunt semnate una sub alta astfel încât în ​​toți termenii aceleași cifre să fie unele sub altele și toate virgulele să fie în aceeași coloană verticală; la dreapta zecimalelor unor termeni, ei atribuie, cel puțin mental, un astfel de număr de zerouri astfel încât toți termenii după virgulă zecimală să aibă acelasi numar cifre. Apoi efectuați adăugarea cu cifre, începând cu partea dreapta, iar în cantitatea rezultată puneți o virgulă în aceeași coloană verticală în care se află în acești termeni.

§ 108. Scăderea fracțiilor zecimale.

Scăderea zecimalelor se face în același mod ca și scăderea numerelor întregi. Să arătăm asta cu exemple.

1) 9,87 - 7,32. Să semnăm subtraendul sub minuend, astfel încât unitățile aceleiași cifre să fie una sub cealaltă:

2) 16,29 - 4,75. Să semnăm subtraend sub minuend, ca în primul exemplu:

Pentru a scădea zecimi, trebuia să ia o unitate întreagă din 6 și să o împărțim în zecimi.

3) 14.0213-5.350712. Să semnăm subtraend sub minuend:

Scăderea a fost efectuată după cum urmează: deoarece nu putem scădea 2 milionimi din 0, ar trebui să ne referim la cea mai apropiată cifră din stânga, adică la sute de miimi, dar există și zero în loc de sute de miimi, așa că luăm 1. zece miimi din 3 zece miimi și o împărțim în sute de mii, obținem 10 sute de miimi, dintre care 9 sute de mii au rămas în categoria sute de miimi, iar 1 sută de mii este zdrobită în milionimi, primim 10 milionimi. Astfel, în ultimele trei cifre, am obținut: milionimi 10, sute de miimi 9, zece miimi 2. Pentru o mai mare claritate și comoditate (să nu uităm), aceste numere sunt scrise deasupra cifrelor fracționale corespunzătoare ale redusului. Acum putem începe să scădem. Scădem 2 milionimi din 10 milionimi, obținem 8 milionimi; scădeți 1 sută de mii din 9 sute de mii, obținem 8 sute de mii etc.

Astfel, la scăderea fracțiilor zecimale se respectă următoarea ordine: scăderea este semnată sub redus astfel încât aceleași cifre să fie una sub alta și toate virgulele să fie în aceeași coloană verticală; in dreapta, ei atribuie, cel putin mental, in reducerea sau scaderea atat de multe zerouri astfel incat sa aiba acelasi numar de cifre, apoi scade cu cifre, incepand din partea dreapta, iar in diferenta rezultata pun virgula in aceeași coloană verticală în care se află în redus și scăzut.

§ 109. Înmulțirea fracțiilor zecimale.

Luați în considerare câteva exemple de înmulțire a fracțiilor zecimale.

Pentru a afla produsul acestor numere, putem raționa astfel: dacă factorul este mărit de 10 ori, atunci ambii factori vor fi numere întregi și apoi îi putem înmulți conform regulilor de înmulțire a numerelor întregi. Dar știm că atunci când unul dintre factori este mărit de mai multe ori, produsul crește cu aceeași cantitate. Aceasta înseamnă că numărul care provine din înmulțirea factorilor întregi, adică 28 cu 23, este de 10 ori mai mare decât produsul adevărat și, pentru a obține produsul adevărat, trebuie să reduceți produsul găsit de 10 ori. Prin urmare, aici trebuie să efectuați o înmulțire cu 10 o dată și o împărțire cu 10 o dată, dar înmulțirea și împărțirea cu 10 se efectuează deplasând virgula la dreapta și la stânga cu un semn. Prin urmare, trebuie să faceți acest lucru: în multiplicator, mutați virgula la dreapta cu un semn, din aceasta va fi egală cu 23, apoi trebuie să înmulțiți numerele întregi rezultate:

Acest produs este de 10 ori mai mare decât cel adevărat. Prin urmare, trebuie redusă de 10 ori, pentru care mutam virgula cu un caracter la stânga. Astfel, primim

28 2,3 = 64,4.

În scopuri de verificare, puteți scrie o fracție zecimală cu un numitor și puteți efectua o acțiune conform regulii de înmulțire a fracțiilor obișnuite, adică.

2) 12,27 0,021.

Diferența dintre acest exemplu și cel precedent este că aici ambii factori sunt reprezentați prin fracții zecimale. Dar aici, în procesul de înmulțire, nu vom acorda atenție virgulelor, adică vom crește temporar multiplicatorul de 100 de ori și multiplicatorul de 1.000 de ori, ceea ce va crește produsul de 100.000 de ori. Astfel, înmulțind 1227 cu 21, obținem:

1 227 21 = 25 767.

Ținând cont de faptul că produsul rezultat este de 100.000 de ori mai mare decât cel adevărat, acum trebuie să-l reducem de 100.000 de ori punând corect o virgulă în el, apoi obținem:

32,27 0,021 = 0,25767.

Sa verificam:

Astfel, pentru a înmulți două fracții zecimale, este suficient, fără a fi atent la virgule, să le înmulțim ca numere întregi și în produs să despărțim cu virgulă în partea dreaptă câte zecimale erau în multiplicand și în factorul împreună.

În ultimul exemplu, rezultatul este un produs cu cinci zecimale. Dacă nu este necesară o asemenea precizie mai mare, atunci se face rotunjirea fracției zecimale. Când rotunjiți, ar trebui să utilizați aceeași regulă care a fost indicată pentru numerele întregi.

§ 110. Înmulțirea folosind tabele.

Înmulțirea zecimalelor se poate face uneori folosind tabele. În acest scop, puteți folosi, de exemplu, acele tabele de înmulțire numere din două cifre, a cărui descriere a fost dată mai devreme.

1) Înmulțiți 53 cu 1,5.

Vom înmulți 53 cu 15. În tabel, acest produs este egal cu 795. Am găsit produsul 53 cu 15, dar al doilea factor al nostru a fost de 10 ori mai mic, ceea ce înseamnă că produsul trebuie redus de 10 ori, adică.

53 1,5 = 79,5.

2) Înmulțiți 5,3 cu 4,7.

Mai întâi, să găsim produsul 53 cu 47 în tabel, acesta va fi 2491. Dar, deoarece am mărit multiplicantul și multiplicatorul cu un total de 100 de ori, atunci produsul rezultat este de 100 de ori mai mare decât ar trebui să fie; deci trebuie să reducem acest produs cu un factor de 100:

5,3 4,7 = 24,91.

3) Înmulțiți 0,53 cu 7,4.

Mai întâi găsim în tabel produsul 53 cu 74; acesta va fi 3 922. Dar din moment ce am crescut multiplicatorul de 100 de ori, iar multiplicatorul de 10 ori, produsul a crescut de 1.000 de ori; deci acum trebuie să o reducem cu un factor de 1.000:

0,53 7,4 = 3,922.

§ 111. Împărțirea zecimalelor.

Ne vom uita la împărțirea zecimală în această ordine:

1. Împărțire zecimală cu întreg,

1. Împărțirea unei fracții zecimale cu un număr întreg.

1) Împărțiți 2,46 la 2.

Am împărțit la 2 primele numere întregi, apoi zecimi și în final sutimi.

2) Împărțiți 32,46 la 3.

32,46: 3 = 10,82.

Am împărțit 3 zeci la 3, apoi am început să împărțim 2 unități la 3; întrucât numărul de unități ale dividendului (2) este mai mic decât divizorul (3), a trebuit să punem 0 în coeficient; în continuare, la restul am demolat 4 zecimi și am împărțit 24 de zecimi la 3; a primit în privat 8 zecimi și a împărțit în final 6 zecimi.

3) Împărțiți 1,2345 la 5.

1,2345: 5 = 0,2469.

Aici, în primul rând, s-au dovedit zero numere întregi, deoarece un număr întreg nu este divizibil cu 5.

4) Împărțiți 13,58 la 4.

Particularitatea acestui exemplu este că, atunci când am obținut 9 sutimi în privat, apoi a fost găsit un rest egal cu 2 sutimi, am împărțit acest rest în miimi, am obținut 20 de miimi și am adus împărțirea la sfârșit.

Regulă.Împărțirea unei fracții zecimale cu un întreg se realizează în același mod ca și împărțirea numerelor întregi, iar resturile rezultate sunt convertite în fracții zecimale, din ce în ce mai mici; împărțirea continuă până când restul este zero.

2. Împărțirea unei fracții zecimale cu o fracție zecimală.

1) Împărțiți 2,46 la 0,2.

Știm deja cum să împărțim o fracție zecimală la un număr întreg. Să ne gândim dacă acest nou caz de divizare poate fi redus și la cel anterior? La un moment dat, am considerat o proprietate remarcabilă a coeficientului, care constă în faptul că acesta rămâne neschimbat în timp ce crește sau scade dividendul și divizorul de același număr de ori. Am efectua cu ușurință împărțirea numerelor care ni se oferă dacă divizorul ar fi un număr întreg. Pentru a face acest lucru, este suficient să-l măriți de 10 ori, iar pentru a obține coeficientul corect, este necesar să creșteți dividendul de același număr de ori, adică de 10 ori. Apoi împărțirea acestor numere va fi înlocuită cu împărțirea unor astfel de numere:

și nu este nevoie să facem modificări în privat.

Să facem această împărțire:

Deci 2,46: 0,2 = 12,3.

2) Împărțiți 1,25 la 1,6.

Creștem divizorul (1,6) de 10 ori; pentru ca coeficientul să nu se modifice, creștem dividendul de 10 ori; 12 numere întregi nu sunt divizibile cu 16, așa că scriem în coeficientul 0 și împărțim 125 de zecimi la 16, obținem 7 zecimi în cot, iar restul este 13. Împărțim 13 zecimi în sutimi atribuind zero și împărțim 130 de zecimi la 16 etc. . Fiți atenți la următoarele:

a) când în cât nu se obțin numere întregi, atunci în locul lor se scriu numere întregi zero;

b) când, după ce se duce cifra dividendului la rest, se obține un număr care nu este divizibil cu divizor, atunci se scrie zero în cât;

c) când, după ce s-a înlăturat ultima cifră a dividendului, împărțirea nu se încheie, atunci, prin atribuirea de zerouri resturilor, împărțirea continuă;

d) dacă dividendul este un număr întreg, atunci la împărțirea lui la o fracție zecimală, creșterea lui se realizează prin atribuirea de zerouri.

Astfel, pentru a împărți un număr la o fracție zecimală, trebuie să aruncați o virgulă în divizor și apoi să creșteți dividendul de câte ori a crescut divizorul atunci când virgula a fost scăzută în el și apoi să efectuați împărțirea în funcție de regula împărțirii fracției zecimale la un număr întreg.

§ 112. Coeficientul aproximativ.

În paragraful anterior, am luat în considerare împărțirea fracțiilor zecimale, iar în toate exemplele pe care le-am rezolvat, împărțirea a fost adusă la sfârșit, adică s-a obținut un coeficient exact. Cu toate acestea, în majoritatea cazurilor, coeficientul exact nu poate fi obținut, indiferent cât de mult am extinde împărțirea. Iată un astfel de caz: Împărțiți 53 la 101.

Am primit deja cinci cifre în coeficient, dar împărțirea nu s-a încheiat încă și nu există nicio speranță că se va termina vreodată, deoarece numerele pe care le-am întâlnit înainte încep să apară în rest. Numerele se vor repeta și în coeficient: evident, după numărul 7, va apărea numărul 5, apoi 2, și așa mai departe fără sfârșit. În astfel de cazuri, împărțirea este întreruptă și limitată la primele câteva cifre ale coeficientului. Acest privat se numește aproximativ. Cum se efectuează diviziunea în acest caz, vom arăta cu exemple.

Să fie necesar să se împartă 25 la 3. Este evident că câtul exact, exprimat ca număr întreg sau fracție zecimală, nu poate fi obținut dintr-o astfel de împărțire. Prin urmare, vom căuta un coeficient aproximativ:

25: 3 = 8 și restul 1

Coeficientul aproximativ este 8; este, desigur, mai mic decât câtul exact, deoarece există un rest de 1. Pentru a obține câtul exact, trebuie să adăugați la câtul aproximativ găsit, adică la 8, fracția care rezultă din împărțirea restului. , egal cu 1, cu 3; va fi o fracție 1/3. Aceasta înseamnă că câtul exact va fi exprimat ca un număr mixt 8 1/3. Deoarece 1/3 este o fracție proprie, adică o fracție, mai putin de unul, apoi, aruncând-o, presupunem eroare, care mai putin de unul. Private 8 testament coeficientul aproximativ până la unul cu dezavantaj. Dacă luăm 9 în loc de 8, atunci permitem și o eroare mai mică de unu, deoarece vom adăuga nu o unitate întreagă, ci 2 / 3. Un astfel de testament privat coeficientul aproximativ de până la unu cu un exces.

Să luăm un alt exemplu acum. Să fie necesar să se împartă 27 la 8. Deoarece aici nu vom obține un coeficient exact exprimat ca număr întreg, vom căuta un coeficient aproximativ:

27: 8 = 3 și restul 3.

Aici eroarea este 3 / 8 , este mai mică de unu, ceea ce înseamnă că coeficientul aproximativ (3) este găsit până la unul cu un dezavantaj. Continuăm împărțirea: împărțim restul de 3 în zecimi, obținem 30 de zecimi; Să le împărțim la 8.

Am ajuns în privat pe loc zecimi 3 și în rest b zecimi. Dacă ne limităm în special la numărul 3.3 și renunțăm la restul 6, atunci vom permite o eroare mai mică de o zecime. De ce? Pentru că câtul exact s-ar obține atunci când am adăuga la 3,3 rezultatul împărțirii a 6 zecimi la 8; din această împărțire ar fi 6/80, adică mai puțin de o zecime. (Verifică!) Astfel, dacă ne limităm la zecimi în coeficient, atunci putem spune că am găsit coeficientul precisă cu o zecime(cu dezavantaj).

Să continuăm împărțirea pentru a găsi încă o zecimală. Pentru a face acest lucru, împărțim 6 zecimi în sutimi și obținem 60 de sutimi; Să le împărțim la 8.

La privat pe locul trei a ieșit 7 și în restul 4 sutimi; dacă le aruncăm, atunci permitem o eroare mai mică de o sutime, deoarece 4 sutimi împărțite la 8 este mai puțin de o sutime. În astfel de cazuri, se spune că este găsit coeficientul. precisă la o sutime(cu dezavantaj).

În exemplul pe care îl luăm în considerare acum, puteți obține câtul exact, exprimat ca o fracție zecimală. Pentru a face acest lucru, este suficient să împărțiți ultimul rest, 4 sutimi, în miimi și să împărțiți la 8.

Cu toate acestea, în marea majoritate a cazurilor, este imposibil să se obțină un coeficient exact și trebuie să te limitezi la valorile lui aproximative. Acum vom lua în considerare un astfel de exemplu:

40: 7 = 5,71428571...

Punctele de la sfârșitul numărului indică faptul că împărțirea nu este finalizată, adică egalitatea este aproximativă. De obicei egalitatea aproximativă se scrie astfel:

40: 7 = 5,71428571.

Am luat coeficientul cu opt zecimale. Dar dacă nu se cere o precizie atât de mare, se poate limita la întreaga parte a coeficientului, adică la numărul 5 (mai precis, 6); pentru o mai mare acuratețe, ar putea fi luate în considerare zecimi și coeficientul egal cu 5,7; dacă din anumite motive această precizie este insuficientă, atunci ne putem opri la sutimi și luăm 5,71 etc. Să scriem coeficientii individuali și să le numim.

Primul coeficient aproximativ până la unu 6.

Al doilea » » » la o zecime 5.7.

Al treilea » » » până la o sutime 5.71.

A patra » » » până la o miime din 5.714.

Astfel, pentru a găsi un coeficient aproximativ până la unii, de exemplu, a treia zecimală (adică până la o miime), împărțirea se oprește imediat ce acest semn este găsit. În acest caz, trebuie să ne amintim de regula stabilită în § 40.

§ 113. Cele mai simple probleme pentru interes.

După ce vom studia fracțiile zecimale, vom mai rezolva câteva probleme procentuale.

Aceste probleme sunt similare cu cele pe care le-am rezolvat la departamentul de fracții ordinare; dar acum vom scrie sutimile sub formă de fracții zecimale, adică fără un numitor desemnat în mod explicit.

În primul rând, trebuie să puteți trece cu ușurință de la o fracție obișnuită la o fracție zecimală cu un numitor de 100. Pentru a face acest lucru, trebuie să împărțiți numărătorul la numitor:

Tabelul de mai jos arată cum un număr cu simbolul % (procent) este înlocuit cu o zecimală cu numitorul 100:

Să luăm acum în considerare câteva probleme.

1. Găsirea procentelor unui număr dat.

Sarcina 1. Doar 1.600 de oameni trăiesc într-un sat. Numărul de copii varsta scolara este de 25% din numărul total rezidenți. Câți copii de vârstă școlară sunt în acest sat?

În această problemă, trebuie să găsiți 25%, sau 0,25, din 1600. Problema este rezolvată prin înmulțirea:

1.600 0,25 = 400 (copii).

Prin urmare, 25% din 1.600 este 400.

Pentru o înțelegere clară a acestei sarcini, este util să reamintim că pentru fiecare sută de populație există 25 de copii de vârstă școlară. Prin urmare, pentru a afla numărul tuturor copiilor de vârstă școlară, puteți afla mai întâi câte sute sunt în numărul 1600 (16), apoi înmulțiți 25 cu numărul de sute (25 x 16 = 400). În acest fel puteți verifica validitatea soluției.

Sarcina 2. Băncile de economii acordă deponenților 2% din venit anual. Cât de mult venit pe an va primi un deponent care a depus: a) 200 de ruble? b) 500 de ruble? c) 750 de ruble? d) 1000 de ruble?

În toate cele patru cazuri, pentru a rezolva problema, va fi necesar să se calculeze 0,02 din sumele indicate, adică fiecare dintre aceste numere va trebui înmulțit cu 0,02. Hai să o facem:

a) 200 0,02 = 4 (ruble),

b) 500 0,02 = 10 (ruble),

c) 750 0,02 = 15 (ruble),

d) 1.000 0,02 = 20 (ruble).

Fiecare dintre aceste cazuri poate fi verificat prin următoarele considerații. Băncile de economii acordă deponenților 2% din venit, adică 0,02 din suma investită în economii. Dacă suma ar fi de 100 de ruble, atunci 0,02 din aceasta ar fi 2 ruble. Aceasta înseamnă că fiecare sută aduce deponentului 2 ruble. sursa de venit. Prin urmare, în fiecare dintre cazurile luate în considerare, este suficient să ne dăm seama câte sute sunt într-un anumit număr și să înmulțiți 2 ruble cu acest număr de sute. În exemplul a) sute de 2, deci

2 2 \u003d 4 (ruble).

În exemplul d) sutele sunt 10, ceea ce înseamnă

2 10 \u003d 20 (ruble).

2. Găsirea unui număr după procentajul său.

Sarcina 1.În primăvară, școala a absolvit 54 de elevi, adică 6% din numărul total de elevi. Câți elevi au fost în școală în trecut an academic?

Să clarificăm mai întâi sensul acestei probleme. Școala a absolvit 54 de elevi, adică 6% din numărul total de elevi, sau, cu alte cuvinte, 6 sutimi (0,06) din totalul elevilor din școală. Aceasta înseamnă că știm partea elevilor exprimată prin numărul (54) și fracția (0,06), iar din această fracție trebuie să aflăm întregul număr. Astfel, în fața noastră este o problemă obișnuită de a găsi un număr prin fracția sa (§ 90 p. 6). Problemele de acest tip sunt rezolvate prin împărțire:

Asta înseamnă că în școală erau 900 de elevi.

Este util să verificați astfel de probleme prin rezolvarea problemei inverse, adică după rezolvarea problemei, ar trebui, cel puțin în mintea dvs., să rezolvați problema de primul tip (găsirea procentului unui număr dat): luați numărul găsit ( 900) așa cum este dat și găsiți procentul indicat în problema rezolvată din acesta, și anume:

900 0,06 = 54.

Sarcina 2. Familia cheltuiește 780 de ruble pe alimente în timpul lunii, ceea ce reprezintă 65% din venitul lunar al tatălui. Determinați-i venitul lunar.

Această sarcină are aceeași semnificație ca și cea anterioară. Oferă o parte din câștigurile lunare, exprimate în ruble (780 de ruble) și indică faptul că această parte reprezintă 65%, sau 0,65, din câștigurile totale. Și de dorit este întregul câștig:

780: 0,65 = 1 200.

Prin urmare, câștigul dorit este de 1200 de ruble.

3. Aflarea procentului de numere.

Sarcina 1. Biblioteca școlii are în total 6.000 de cărți. Printre acestea se numără 1.200 de cărți despre matematică. Ce procent din cărțile de matematică reprezintă numărul total de cărți din bibliotecă?

Am luat deja în considerare (§97) acest tip de problemă și am ajuns la concluzia că pentru a calcula procentul a două numere, trebuie să găsiți raportul acestor numere și să îl înmulțiți cu 100.

În sarcina noastră, trebuie să găsim procentul numerelor 1.200 și 6.000.

Mai întâi găsim raportul lor, apoi îl înmulțim cu 100:

Astfel, procentul numerelor 1.200 și 6.000 este 20. Cu alte cuvinte, cărțile de matematică reprezintă 20% din numărul total al tuturor cărților.

Pentru a verifica, rezolvăm problema inversă: găsim 20% din 6.000:

6 000 0,2 = 1 200.

Sarcina 2. Uzina ar trebui să primească 200 de tone de cărbune. Au fost deja livrate 80 de tone Ce procent de cărbune a fost livrat fabricii?

Această problemă întreabă ce procent este un număr (80) față de altul (200). Raportul acestor numere va fi 80/200. Să o înmulțim cu 100:

Aceasta înseamnă că 40% din cărbune a fost livrat.

Dacă copilul tău nu poate învăța cum să împartă zecimale în niciun fel, atunci acesta nu este un motiv pentru a-l considera incapabil de matematică.

Cel mai probabil, pur și simplu nu a înțeles cum se face. Este necesar să ajutați copilul și în cel mai simplu mod, aproape jucăuș, să-i spuneți despre fracții și operații cu acestea. Și pentru asta trebuie să ne amintim ceva noi înșine.

Expresiile fracționale sunt folosite când vorbim despre numere neîntregi. Dacă fracția este mai mică de unu, atunci ea descrie o parte din ceva, dacă este mai mult, mai multe părți întregi și o altă bucată. Fracțiile sunt descrise prin 2 valori: numitorul, care explică în câte părți egale este împărțit numărul și numărătorul, care spune la câte astfel de părți ne referim.

Să presupunem că ai tăiat o prăjitură în 4 părți egale și ai dat una dintre ele vecinilor tăi. Numitorul va fi 4. Iar numărătorul depinde de ceea ce vrem să descriem. Dacă vorbim despre cât s-a dat vecinilor, atunci numărătorul este 1, iar dacă vorbim despre cât a mai rămas, atunci 3.

În exemplul plăcintei, numitorul este 4, iar în expresia „1 zi - 1/7 din săptămână” - 7. O expresie fracțională cu orice numitor este fracție comună.

Matematicienii, ca toți ceilalți, încearcă să își facă viața mai ușoară. De aceea au fost inventate fracțiile zecimale. În ele, numitorul este 10 sau multipli ai lui 10 (100, 1000, 10.000 etc.) și sunt scrise astfel: componenta întreagă a numărului este separată de fracționar cu virgulă. De exemplu, 5,1 este 5 numere întregi și 1 zecime, iar 7,86 este 7 numere întregi și 86 sutimi.

O mică digresiune - nu pentru copiii tăi, ci pentru tine. În țara noastră se obișnuiește să se separe partea fracționară cu virgulă. În străinătate, conform unei tradiții consacrate, se obișnuiește să se despartă cu un punct. Prin urmare, dacă întâlniți un astfel de marcaj într-un text străin, nu fiți surprinși.

Împărțirea fracțiilor

Fiecare operație aritmetică cu numere similare are propriile sale caracteristici, dar acum vom încerca să învățăm cum să împărțim fracțiile zecimale. Este posibilă împărțirea unei fracții la un număr natural sau la o altă fracție.

Pentru a stăpâni mai ușor această operație aritmetică, este important să ne amintim un lucru simplu.

Învățând să gestionați virgula, puteți utiliza aceleași reguli de împărțire ca și pentru numerele întregi.

Luați în considerare împărțirea unei fracții la un număr natural. Tehnologia împărțirii într-o coloană ar trebui să vă fie deja cunoscută din materialul acoperit anterior. Procedura se desfășoară într-un mod similar. dividendul este divizibil cu divizor. De îndată ce rândul ajunge la ultimul semn înainte de virgulă, virgula este de asemenea plasată în privat, iar apoi împărțirea continuă în modul obișnuit.

Adică, în afară de demolarea virgulei - cea mai comună diviziune, iar virgula nu este foarte dificilă.

Împărțirea unei fracții cu o fracție

Exemplele în care trebuie să împărțiți o valoare fracțională la alta par a fi foarte complicate. Dar, de fapt, nu sunt deloc greu de tratat. Va fi mult mai ușor să împărțiți o fracție zecimală la alta dacă scăpați de virgula din divizor.

Cum să o facă? Dacă trebuie să aranjați 90 de creioane în 10 cutii, câte creioane vor fi în fiecare dintre ele? 9. Să înmulțim ambele numere cu 10 - 900 de creioane și 100 de cutii. Câte în fiecare? 9. Același principiu se aplică la împărțirea unei zecimale.

Divizorul scapă complet de virgulă, în timp ce dividendul mută virgula la dreapta atâtea caractere câte erau anterior în divizor. Și apoi se realizează împărțirea obișnuită într-o coloană, despre care am discutat mai sus. De exemplu:

25,6/6,4 = 256/64 = 4;

10,24/1,6 = 102,4/16 =6,4;

100,725/1,25 =10072,5/125 =80,58.

Dividendele trebuie înmulțit și înmulțit cu 10 până când divizorul devine un număr întreg. Prin urmare, poate avea zerouri suplimentare în partea dreaptă.

40,6/0,58 =4060/58=70.

Nimic în neregulă cu asta. Amintiți-vă de exemplul creionului - răspunsul nu se schimbă dacă creșteți ambele numere cu aceeași sumă. O fracție obișnuită este mai dificil de împărțit, mai ales dacă nu există factori comuni în numărător și numitor.

Împărțirea zecimalei în acest sens este mult mai convenabilă. Cea mai dificilă parte aici este trucul de împachetare cu virgulă, dar după cum am văzut, este ușor de realizat. Fiind capabil să transmită acest lucru copilului tău, îl înveți astfel să împartă fracții zecimale.

După ce a stăpânit această regulă simplă, fiul sau fiica ta se vor simți mult mai încrezători la lecțiile de matematică și, cine știe, poate că se vor lăsa purtați de această materie. Mentalitatea matematică se manifestă rar încă din copilărie, uneori ai nevoie de un impuls, de interes.

Ajutându-ți copilul la teme, nu numai că vei îmbunătăți performanța școlară, dar vei extinde și cercul intereselor sale, pentru care îți va fi recunoscător în timp.

La școală, aceste acțiuni sunt studiate de la simplu la complex. Prin urmare, este absolut necesar să stăpânești bine algoritmul pentru efectuarea acestor operații exemple simple. Astfel încât mai târziu să nu fie dificultăți în împărțirea fracțiilor zecimale într-o coloană. La urma urmei, acesta este cel mai mult varianta dificila sarcini similare.

Acest subiect necesită un studiu consecvent. Lacunele în cunoștințe sunt inacceptabile aici. Acest principiu ar trebui să fie învățat de fiecare elev deja în clasa întâi. Prin urmare, dacă sări peste mai multe lecții la rând, va trebui să stăpânești singur materialul. Altfel, mai târziu vor apărea probleme nu numai la matematică, ci și la alte materii legate de aceasta.

A doua condiție prealabilă pentru un studiu de succes al matematicii este să treceți la exemple de împărțire într-o coloană numai după ce adunarea, scăderea și înmulțirea au fost stăpânite.

Va fi dificil pentru un copil să împartă dacă nu a învățat tabla înmulțirii. Apropo, este mai bine să-l înveți din masa lui Pitagora. Nu este nimic de prisos, iar înmulțirea este mai ușor de digerat în acest caz.

Cum se înmulțesc numerele naturale într-o coloană?

Dacă există o dificultate în rezolvarea exemplelor într-o coloană pentru împărțire și înmulțire, atunci este necesar să începeți rezolvarea problemei cu înmulțirea. Deoarece împărțirea este inversul înmulțirii:

1. Înainte de a înmulți două numere, trebuie să le priviți cu atenție. Alegeți-l pe cel cu mai multe cifre (mai lung), notați-l mai întâi. Pune-l pe al doilea sub el. În plus, numerele categoriei corespunzătoare ar trebui să fie în aceeași categorie. Adică, cifra din dreapta primului număr trebuie să fie deasupra cifrei din dreapta a celui de-al doilea.
2. Înmulțiți cifra din dreapta a numărului de jos cu fiecare cifră a numărului de sus, începând din dreapta. Scrieți răspunsul sub rând, astfel încât ultima sa cifră să fie sub cea cu care a fost înmulțit.
3. Repetați același lucru cu cealaltă cifră a numărului de jos. Dar rezultatul înmulțirii trebuie mutat cu o cifră la stânga. În acest caz, ultima sa cifră va fi sub cea cu care a fost înmulțită.

Continuați această înmulțire într-o coloană până când se epuizează numerele din al doilea multiplicator. Acum trebuie să fie pliate. Acesta va fi răspunsul dorit.

Algoritm de înmulțire într-o coloană de fracții zecimale

În primul rând, ar trebui să ne imaginăm că nu sunt date fracții zecimale, ci cele naturale. Adică, eliminați virgulele din ele și apoi procedați așa cum este descris în cazul anterior.

Diferența începe atunci când este scris răspunsul. În acest moment, este necesar să numărați toate numerele care sunt după zecimale în ambele fracții. Cam atât trebuie să numărați de la sfârșitul răspunsului și să puneți o virgulă acolo.

Este convenabil să ilustrăm acest algoritm cu un exemplu: 0,25 x 0,33:

Cum să începi să înveți să împărțim?

Înainte de a rezolva exemple de împărțire într-o coloană, trebuie să vă amintiți numele numerelor care sunt în exemplul de împărțire. Primul dintre ele (cel care desparte) este divizibilul. Al doilea (împărțit de acesta) este un divizor. Raspunsul este privat.

După aceea, folosind un exemplu simplu de zi cu zi, vom explica esența acestei operații matematice. De exemplu, dacă luați 10 dulciuri, atunci este ușor să le împărțiți în mod egal între mama și tata. Dar dacă trebuie să le distribui părinților și fratelui tău?

După aceea, puteți face cunoștință cu regulile de împărțire și le puteți stăpâni cu exemple specifice. Cele simple la început, apoi trecând la altele din ce în ce mai complexe.

Algoritm pentru împărțirea numerelor într-o coloană

În primul rând, prezentăm procedura pentru numerele naturale divizibile cu o singură cifră. Ele vor fi, de asemenea, baza pentru divizori cu mai multe cifre sau fracții zecimale. Numai atunci ar trebui să facă mici modificări, dar mai multe despre asta mai târziu:

• Înainte de a face împărțirea într-o coloană, trebuie să aflați unde sunt dividendul și divizorul.
• Notați dividendul. În dreapta ei este un separator.
• Desenați un colț în stânga și jos lângă ultimul colț.
• Determinați dividendul incomplet, adică numărul care va fi minim pentru împărțire. De obicei este format dintr-o cifră, maxim două.
• Alegeți numărul care va fi scris primul în răspuns. Trebuie să fie de câte ori se încadrează divizorul în dividend.
• Notați rezultatul înmulțirii acestui număr cu un divizor.
• Scrieți-l sub un divizor incomplet. Efectuați scăderea.
• Purtați la rest prima cifră după partea care a fost deja împărțită.
• Alegeți din nou numărul pentru răspuns.
• Repetați înmulțirea și scăderea. Dacă restul zero iar dividendul s-a terminat, apoi exemplul este gata. În caz contrar, repetați pașii: demolați numărul, ridicați numărul, înmulțiți, scădeți.

Cum se rezolvă diviziunea lungă dacă există mai multe cifre în divizor?

Algoritmul în sine coincide complet cu ceea ce a fost descris mai sus. Diferența va fi numărul de cifre din dividendul incomplet. Acum ar trebui să existe cel puțin două dintre ele, dar dacă se dovedesc a fi mai mici decât divizorul, atunci ar trebui să funcționeze cu primele trei cifre.

Există o altă nuanță în această diviziune. Faptul este că restul și cifra transportată la el nu sunt uneori divizibile cu un divizor. Apoi ar trebui să atribuie încă o cifră în ordine. Dar, în același timp, răspunsul trebuie să fie zero. Dacă numerele din trei cifre sunt împărțite într-o coloană, atunci este posibil să fie necesar să fie demolate mai mult de două cifre. Apoi se introduce regula: zerourile din răspuns ar trebui să fie cu unu mai puțin decât numărul de cifre luate în jos.

Puteți lua în considerare o astfel de împărțire folosind exemplul - 12082: 863.

• Divizibilul incomplet din el este numărul 1208. Numărul 863 este plasat în el o singură dată. Prin urmare, ca răspuns, ar trebui să pună 1 și să scrie 863 sub 1208.
• După scădere, restul este 345.
• Pentru el trebuie să demolați numărul 2.
• În numărul 3452, 863 se potrivește de patru ori.
• Ca răspuns trebuie scrise patru. Mai mult, atunci când este înmulțit cu 4, se obține acest număr.
• Restul după scădere este zero. Adică împărțirea este finalizată.

Răspunsul din exemplu este 14.

Ce se întâmplă dacă dividendul se termină cu zero?

Sau câteva zerouri? În acest caz, se obține un rest zero și mai există zerouri în dividend. Nu dispera, totul este mai ușor decât ar părea. Este suficient doar să atribuiți răspunsului toate zerourile care au rămas neîmpărțite.

De exemplu, trebuie să împărțiți 400 la 5. Dividendul incomplet este 40. Cinci este plasat în el de 8 ori. Aceasta înseamnă că răspunsul ar trebui să fie scris 8. La scădere, nu există rest. Adică diviziunea s-a terminat, dar în dividend rămâne zero. Va trebui adăugată la răspuns. Astfel, împărțind 400 la 5 dă 80.

Ce se întâmplă dacă trebuie să împărțiți o zecimală?

Din nou, acest număr arată ca un număr natural, dacă nu pentru virgula care separă partea întreagă de partea fracțională. Acest lucru sugerează că împărțirea fracțiilor zecimale într-o coloană este similară cu cea descrisă mai sus.

Singura diferență va fi punctul și virgulă. Acesta ar trebui să fie răspuns imediat, de îndată ce prima cifră din partea fracționară este scoasă. Într-un alt mod, se poate spune astfel: împărțirea părții întregi s-a încheiat - puneți o virgulă și continuați soluția mai departe.

Când rezolvați exemple de împărțire într-o coloană cu fracții zecimale, trebuie să vă amintiți că orice număr de zerouri poate fi atribuit părții după virgulă zecimală. Uneori, acest lucru este necesar pentru a completa numerele până la sfârșit.

Împărțirea a două zecimale

Poate părea complicat. Dar numai la început. La urma urmei, cum se face împărțirea într-o coloană de fracții după un număr natural este deja clar. Deci, trebuie să reducem acest exemplu la forma deja familiară.

Fa-o usor. Trebuie să înmulțiți ambele fracții cu 10, 100, 1.000 sau 10.000, sau poate cu un milion, dacă sarcina o cere. Multiplicatorul ar trebui să fie ales în funcție de câte zerouri sunt în partea zecimală a divizorului. Adică, ca rezultat, se dovedește că va trebui să împărțiți o fracție la un număr natural.

Și va fi în cel mai rău caz. La urma urmei, se poate dovedi că dividendul din această operațiune devine un număr întreg. Apoi soluția exemplului cu împărțire într-o coloană de fracții se va reduce la varianta simpla: operatii cu numere naturale.

De exemplu: 28,4 împărțit la 3,2:

• În primul rând, acestea trebuie înmulțite cu 10, deoarece în al doilea număr există doar o cifră după virgulă zecimală. Înmulțirea va da 284 și 32.
• Ar trebui să fie împărțiți. Și deodată numărul întreg este 284 pe 32.
• Primul număr potrivit pentru răspuns este 8. Înmulțind, rezultă 256. Restul este 28.
• Împărțirea părții întregi s-a încheiat și ar trebui să fie pusă o virgulă în răspuns.
• Demolați până la restul 0.
• Luați din nou 8.
• Rest: 24. Adăugați încă 0 la acesta.
• Acum trebuie să iei 7.
• Rezultatul înmulțirii este 224, restul este 16.
• Demolați încă 0. Luați 5 și obțineți exact 160. Restul este 0.

Divizia finalizată. Rezultatul exemplului 28.4:3.2 este 8.875.

Ce se întâmplă dacă divizorul este 10, 100, 0,1 sau 0,01?

Ca și în cazul înmulțirii, diviziunea lungă nu este necesară aici. Este suficient să mutați virgula la partea dreapta pentru un anumit număr de cifre. Mai mult, conform acestui principiu, puteți rezolva exemple atât cu numere întregi, cât și cu fracții zecimale.

Deci, dacă trebuie să împărțiți la 10, 100 sau 1000, atunci virgula este mutată la stânga cu atâtea cifre câte zerouri există în divizor. Adică, atunci când un număr este divizibil cu 100, virgula ar trebui să se miște la stânga cu două cifre. Dacă dividendul este un număr natural, atunci se presupune că virgula este la sfârșitul acestuia.

Această acțiune produce același rezultat ca și cum numărul ar fi înmulțit cu 0,1, 0,01 sau 0,001. În aceste exemple, virgula este, de asemenea, mutată spre stânga cu un număr de cifre egal cu lungimea părții fracționale.

La împărțirea cu 0,1 (etc.) sau înmulțirea cu 10 (etc.), virgula trebuie să se deplaseze la dreapta cu o cifră (sau două, trei, în funcție de numărul de zerouri sau de lungimea părții fracționale).

Este demn de remarcat faptul că numărul de cifre dat în dividend poate să nu fie suficient. Apoi, zerourile lipsă pot fi atribuite la stânga (în partea întreagă) sau la dreapta (după virgulă zecimală).

Împărțirea fracțiilor periodice

În acest caz, nu veți putea obține răspunsul exact atunci când vă împărțiți într-o coloană. Cum se rezolvă un exemplu dacă se întâlnește o fracție cu o perioadă? Aici este necesar să trecem la fracțiile obișnuite. Și apoi efectuează împărțirea lor conform regulilor studiate anterior.

De exemplu, trebuie să împărțiți 0, (3) la 0,6. Prima fracție este periodică. Se transformă în fracția 3/9, care după reducere va da 1/3. A doua fracție este zecimala finală. Este și mai ușor să notezi unul obișnuit: 6/10, care este egal cu 3/5. Regula împărțirii fracțiilor obișnuite prescrie înlocuirea diviziunii cu înmulțirea și a divizorului cu reciproca unui număr. Adică, exemplul se rezumă la înmulțirea a 1/3 cu 5/3. Răspunsul este 5/9.

Dacă exemplul are fracții diferite...

Apoi există mai multe soluții posibile. În primul rând, puteți încerca să convertiți o fracție obișnuită într-o zecimală. Apoi împărțiți deja două zecimale conform algoritmului de mai sus.

În al doilea rând, fiecare fracție zecimală finală poate fi scrisă ca o fracție comună. Doar că nu este întotdeauna convenabil. Cel mai adesea, astfel de fracții se dovedesc a fi uriașe. Da, iar răspunsurile sunt greoaie. Prin urmare, prima abordare este considerată mai preferabilă.

Luați în considerare exemple de împărțire a zecimalelor în această lumină.

Exemplu.

Împărțiți zecimala 1,2 la zecimală 0,48.

Soluţie.

Răspuns:

1,2:0,48=2,5 .

Exemplu.

Împărțiți zecimala periodică 0.(504) la zecimala 0.56 .

Soluţie.

Să traducem fracția zecimală periodică într-un: obișnuit. De asemenea, traducem fracția zecimală finală 0,56 într-una obișnuită, avem 0,56 \u003d 56/100. Acum putem trece de la împărțirea zecimalelor inițiale la împărțirea fracțiilor obișnuite și să încheiem calculele: .

Să traducem fracția obișnuită rezultată într-o fracție zecimală, împărțind numărătorul la numitorul într-o coloană:

Răspuns:

0,(504):0,56=0,(900) .

Principiul împărțirii fracțiilor zecimale neperiodice infinite diferă de principiul împărțirii fracțiilor zecimale finite și periodice, deoarece fracțiile zecimale care nu se repetă nu pot fi convertite în fracții obișnuite. Împărțirea fracțiilor zecimale infinite neperiodice se reduce la împărțirea fracțiilor zecimale finite, pentru care se realizează rotunjirea numerelor până la un anumit nivel. Mai mult, dacă unul dintre numerele cu care se realizează împărțirea este o fracție zecimală finită sau periodică, atunci se rotunjește și la aceeași cifră ca și fracția zecimală neperiodică.

Exemplu.

Împărțiți zecimala nerecurentă infinită 0,779... la zecimala finală 1,5602.

Soluţie.

Mai întâi trebuie să rotunjiți fracțiile zecimale pentru a trece de la împărțirea unei fracții zecimale infinite care nu se repetă la împărțirea fracțiilor zecimale finite. Putem rotunji la sutimi: 0,779…≈0,78 și 1,5602≈1,56. Astfel, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100 100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Răspuns:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Împărțirea unui număr natural la o fracție zecimală și invers

Esența abordării împărțirii unui număr natural la o fracție zecimală și a împărțirii unei fracții zecimale la un număr natural nu este diferită de esența împărțirii fracțiilor zecimale. Adică, fracțiile finite și periodice sunt înlocuite cu fracții obișnuite, iar fracțiile neperiodice infinite sunt rotunjite.

Pentru a ilustra, luați în considerare exemplul de împărțire a unei fracții zecimale la un număr natural.

Exemplu.

Împărțiți fracția zecimală 25,5 la numărul natural 45.

Soluţie.

Înlocuind fracția zecimală 25,5 cu o fracție ordinară 255/10=51/2, împărțirea se reduce la împărțirea unei fracții ordinare la un număr natural: . Fracția rezultată în notație zecimală este 0,5(6) .

Răspuns:

25,5:45=0,5(6) .

Împărțirea unei fracții zecimale cu un număr natural printr-o coloană

Împărțirea fracțiilor zecimale finale după numere naturale se realizează în mod convenabil printr-o coloană prin analogie cu împărțirea printr-o coloană de numere naturale. Iată regula împărțirii.

La împărțiți o zecimală la un număr natural la o coloană, necesar:

• adăugați câteva cifre la dreapta în fracția zecimală divizibilă 0, (în timpul împărțirii, dacă este necesar, puteți adăuga orice număr de zerouri, dar este posibil ca aceste zerouri să nu fie necesare);
• efectuați împărțirea printr-o coloană a unei fracții zecimale cu un număr natural conform tuturor regulilor de împărțire la o coloană de numere naturale, dar când împărțirea părții întregi a fracției zecimale este finalizată, atunci în cea privată trebuie să pune o virgulă și continuă împărțirea.

Să spunem imediat că, ca urmare a împărțirii unei fracții zecimale finite la un număr natural, se poate obține fie o fracție zecimală finală, fie o fracție zecimală periodică infinită. Într-adevăr, după împărțirea tuturor zecimale ale fracției divizibile, alta decât 0, putem obține fie un rest 0 și vom obține o fracție zecimală finală, fie restul va începe să se repete periodic și vom obține o zecimală periodică. fracțiune.

Să ne ocupăm de toate complexitățile împărțirii fracțiilor zecimale în numere naturale printr-o coloană atunci când rezolvăm exemple.

Exemplu.

Împărțiți zecimala 65,14 la 4.

Soluţie.

Să facem împărțirea unei fracții zecimale cu un număr natural de o coloană. Să adăugăm o pereche de zerouri la dreapta în înregistrarea fracției 65,14, în timp ce obținem fracția zecimală egală cu ea 65,1400 (vezi fracțiile zecimale egale și inegale). Acum puteți începe să împărțiți partea întreagă a fracției zecimale 65,1400 la un număr natural 4 la o coloană:

Aceasta completează împărțirea părții întregi a fracției zecimale. Aici, în privat, trebuie să puneți un punct zecimal și să continuați împărțirea:

Am ajuns la un rest de 0, în această etapă se termină împărțirea pe o coloană. Ca rezultat, avem 65.14:4=16.285.

Răspuns:

65,14:4=16,285 .

Exemplu.

Împărțiți 164,5 la 27.

Soluţie.

Să împărțim o fracție zecimală la un număr natural la o coloană. După împărțirea părții întregi, obținem următoarea imagine:

Acum punem o virgulă în privat și continuăm împărțirea cu o coloană:

Acum se vede clar că rămășițele lui 25, 7 și 16 au început să se repete, în timp ce numerele 9, 2 și 5 se repetă în coeficient. Deci, împărțirea zecimalei 164,5 la 27 ne dă zecimala periodică 6,0(925) .

Răspuns:

164,5:27=6,0(925) .

Împărțirea fracțiilor zecimale cu o coloană

Împărțirea unei fracții zecimale la o fracție zecimală poate fi redusă la împărțirea unei fracții zecimale la un număr natural la o coloană. Pentru a face acest lucru, dividendul și divizorul trebuie înmulțite cu un astfel de număr 10, sau 100, sau 1000 etc., astfel încât divizorul să devină un număr natural și apoi împărțit cu un număr natural printr-o coloană. Putem face acest lucru datorită proprietăților împărțirii și înmulțirii, deoarece a:b=(a 10):(b 10) , a:b=(a 100):(b 100) și așa mai departe.

Cu alte cuvinte, pentru a împărți o zecimală finală la o zecimală finală, trebuie sa:

• în dividend și divizor, mutați virgula la dreapta cu câte caractere există după punctul zecimal din divizor, dacă în același timp nu există suficiente caractere în dividend pentru a muta virgula, atunci trebuie să adăugați suma necesară zerouri în dreapta;
• după aceea, efectuați împărțirea pe o coloană a unei fracții zecimale cu un număr natural.

Luați în considerare, atunci când rezolvați un exemplu, aplicarea acestei reguli pentru împărțirea la o fracție zecimală.

Exemplu.

Împărțiți coloana 7.287 cu 2.1.

Soluţie.

Să mutăm virgula în aceste fracții zecimale cu o cifră la dreapta, acest lucru ne va permite să trecem de la împărțirea fracției zecimale 7,287 la fracția zecimală 2,1 la împărțirea fracției zecimale 72,87 la numărul natural 21. Să împărțim la o coloană:

Răspuns:

7,287:2,1=3,47 .

Exemplu.

Împărțiți zecimala 16,3 la zecimală 0,021.

Soluţie.

Mutați virgula în dividend și divizor la dreapta cu 3 cifre. Evident, nu există suficiente cifre în divizor pentru a purta virgula, așa că să adăugăm numărul necesar de zerouri la dreapta. Acum să împărțim coloana fracției 16300.0 la numărul natural 21:

Din acest moment, resturile 4, 19, 1, 10, 16 si 13 incep sa se repete, ceea ce inseamna ca se vor repeta si numerele 1, 9, 0, 4, 7 si 6 din cat. Ca rezultat, obținem o fracție zecimală periodică 776,(190476) .

Răspuns:

16,3:0,021=776,(190476) .

Rețineți că regula vocală vă permite să împărțiți un număr natural la o fracție zecimală finală la o coloană.

Exemplu.

Împărțiți numărul natural 3 la fracția zecimală 5.4.

Soluţie.

După ce am mutat virgula 1 cifră la dreapta, ajungem la împărțirea numărului 30,0 la 54. Să împărțim la o coloană:
.

Această regulă se poate aplica și la împărțirea fracțiilor zecimale infinite la 10, 100, .... De exemplu, 3,(56):1000=0,003(56) și 593,374…:100=5,93374… .

Împărțirea zecimalelor la 0,1, 0,01, 0,001 etc.

Deoarece 0,1 \u003d 1/10, 0,01 \u003d 1/100 etc., din regula împărțirii cu o fracție obișnuită rezultă că împărțirea unei fracțiuni zecimale la 0,1, 0,01, 0,001 etc. este ca și cum ai înmulți zecimala dată cu 10 , 100 , 1000 etc. respectiv.

Cu alte cuvinte, pentru a împărți o fracție zecimală la 0,1, 0,01, ... trebuie să mutați virgula la dreapta cu 1, 2, 3, ... cifre, iar dacă nu există suficiente cifre în fracția zecimală pentru a mutați virgula, apoi trebuie să adăugați numărul necesar la zerourile din dreapta.

De exemplu, 5.739:0.1=57.39 și 0.21:0.00001=21.000 .

Aceeași regulă poate fi aplicată la împărțirea zecimalelor infinite la 0,1, 0,01, 0,001 etc. În acest caz, ar trebui să fii foarte atent la împărțirea fracțiilor periodice, pentru a nu te confunda cu perioada fracției, care se obține ca urmare a împărțirii. De exemplu, 7.5(716):0.01=757,(167) , deoarece după mutarea virgulei în înregistrarea fracțiunii zecimale 7.5716716716 ... două cifre la dreapta, avem înregistrarea 757.167167 ... . Cu infinite zecimale neperiodice, totul este mai simplu: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Împărțirea unei fracții sau a unui număr mixt cu o zecimală și invers

Împărțirea unei fracții comune sau a unui număr mixt la o zecimală finită sau recurentă sau împărțirea unei zecimale finite sau recurente la o fracție comună sau număr mixt se reduce la împărțirea fracțiilor ordinare. Pentru a face acest lucru, fracțiile zecimale sunt înlocuite cu fracțiile ordinare corespunzătoare, iar numărul mixt este reprezentat ca o fracție improprie.

La împărțirea unei fracții zecimale neperiodice infinite la o fracție obișnuită sau un număr mixt și invers, ar trebui să se procedeze la împărțirea fracțiilor zecimale, înlocuind fracția obișnuită sau numărul mixt cu fracția zecimală corespunzătoare.

Bibliografie.

• Matematică: studii. pentru 5 celule. educatie generala instituții / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - Ed. 21, șters. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 p.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Matematică. Clasa a 6-a: manual. pentru învăţământul general instituții / [N. Ya. Vilenkin și alții]. - Ed. a 22-a, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebră: manual pentru 8 celule. educatie generala instituții / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; ed. S. A. Teliakovsky. - Ed. a XVI-a. - M. : Educaţie, 2008. - 271 p. : bolnav. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematică (un manual pentru solicitanții la școlile tehnice): Proc. indemnizatie.- M.; Superior scoala, 1984.-351 p., ill.