Ce înseamnă să specificați un set de valori ale funcției. Găsirea setului de valori ale funcției

O funcție este un model. Să definim X ca un set de valori ale unei variabile independente // independent înseamnă orice.

O funcție este o regulă cu ajutorul căreia, pentru fiecare valoare a unei variabile independente din mulțimea X, se poate găsi o valoare unică a variabilei dependente. // adică pentru fiecare x există un y.

Din definiție rezultă că există două concepte - o variabilă independentă (pe care o notăm cu x și poate lua orice valoare) și o variabilă dependentă (pe care o notăm cu y sau f (x) și se calculează din funcție când înlocuim x).

DE EXEMPLU y=5+x

1. Independent este x, ceea ce înseamnă că luăm orice valoare, fie x=3

2. Acum să calculăm y, ceea ce înseamnă y=5+x=5+3=8. (y depinde de x, deoarece orice x înlocuim, obținem același y)

Se spune că variabila y depinde funcțional de variabila x și se notează după cum urmează: y = f (x).

DE EXEMPLU.

1.y=1/x. (numit hiperbolă)

2. y=x^2. (numită parabolă)

3.y=3x+7. (numită linie dreaptă)

4. y= √ x. (numită ramură parabolă)

Variabila independentă (pe care o notăm cu x) se numește argumentul funcției.

Domeniul funcției

Setul tuturor valorilor pe care le ia un argument al funcției se numește domeniul funcției și se notează D(f) sau D(y).

Se consideră D(y) pentru 1.,2.,3.,4.

1. D (y)= (∞; 0) și (0;+∞) //întregul set de numere reale cu excepția zero.

2. D (y)= (∞; +∞)//tot numărul de numere reale

3. D (y)= (∞; +∞)//tot numărul de numere reale

4. D(y)=. Să găsim cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe acest segment.

Derivatul este pozitiv pentru toată lumea x din interval (-1; 1) , adică funcția arcsinus crește pe întregul domeniu de definiție. Prin urmare, ia cea mai mică valoare când x = -1, și cel mai mare la x = 1.

Am obținut intervalul funcției arcsinus .

Găsiți setul de valori ale funcției pe segment .

Soluţie.

Să găsim cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe un anumit segment.

Să determinăm punctele extreme aparținând segmentului :

Multe probleme ne determină să căutăm un set de valori ale funcției pe un anumit segment sau pe întregul domeniu de definire. Astfel de sarcini includ diverse evaluări ale expresiilor și rezolvarea inegalităților.

În acest articol, vom defini intervalul de valori ale unei funcții, vom lua în considerare metode de găsire a acesteia și vom analiza în detaliu soluția de exemple de la simple la mai complexe. Toate materialele vor fi furnizate cu ilustrații grafice pentru claritate. Deci, acest articol este un răspuns detaliat la întrebarea cum să găsiți intervalul unei funcții.

Definiţie.

Setul de valori ale funcției y = f(x) pe intervalul X este mulțimea tuturor valorilor unei funcții pe care le ia atunci când iterează peste toate .

Definiţie.

Domeniul funcției y = f(x) este mulțimea tuturor valorilor unei funcții pe care le ia atunci când iterează peste tot x din domeniul definiției.

Domeniul funcției este notat cu E(f) .

Intervalul unei funcții și setul de valori ale unei funcții nu sunt același lucru. Vom considera aceste concepte echivalente dacă intervalul X la găsirea mulțimii de valori ale funcției y = f(x) coincide cu domeniul de definiție al funcției.

De asemenea, nu confundați intervalul funcției cu variabila x pentru expresia din partea dreaptă a egalității y=f(x) . Gama de valori admisibile ale variabilei x pentru expresia f(x) este domeniul de definire al funcției y=f(x) .

Figura prezintă mai multe exemple.

Graficele funcțiilor sunt afișate cu linii albastre groase, liniile roșii subțiri sunt asimptote, punctele roșii și liniile de pe axa Oy arată intervalul de valori ale funcției corespunzătoare.

După cum puteți vedea, intervalul de valori ale unei funcții se obține prin proiectarea graficului funcției pe axa y. Poate fi un singur număr (primul caz), un set de numere (al doilea caz), un segment (al treilea caz), un interval (al patrulea caz), o rază deschisă (al cincilea caz), o uniune (al șaselea caz), etc. .

Deci, ce trebuie să faceți pentru a găsi intervalul de valori al unei funcții?

Să începem cu cel mai simplu caz: vom arăta cum să determinăm setul de valori ale unei funcții continue y = f(x) pe segment.

Se știe că o funcție continuă pe un interval își atinge valorile maxime și minime pe acesta. Astfel, setul de valori ale funcției originale de pe segment va fi segmentul . În consecință, sarcina noastră se rezumă la găsirea celor mai mari și mai mici valori ale funcției de pe segment.

De exemplu, să găsim intervalul de valori al funcției arcsinus.

Exemplu.

Specificați intervalul funcției y = arcsinx .

Soluţie.

Aria de definire a arcsinusului este segmentul [-1; 1]. Să găsim cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe acest segment.

Derivata este pozitivă pentru tot x din intervalul (-1; 1), adică funcția arcsinus crește pe întregul domeniu de definiție. În consecință, se ia cea mai mică valoare la x = -1 și cea mai mare la x = 1.

Am obținut intervalul funcției arcsinus .

Exemplu.

Găsiți setul de valori ale funcției pe segment.

Soluţie.

Să găsim cea mai mare și cea mai mică valoare a funcției pe un anumit segment.

Să determinăm punctele extreme aparținând segmentului:

Calculăm valorile funcției inițiale la capetele segmentului și în puncte :

Prin urmare, setul de valori ale unei funcții pe un interval este intervalul .

Acum vom arăta cum să găsim mulțimea de valori ale unei funcții continue y = f(x) în intervalele (a; b) , .

În primul rând, determinăm punctele extreme, extremele funcției, intervalele de creștere și scădere a funcției pe un interval dat. În continuare, calculăm la capetele intervalului și (sau) limitele la infinit (adică studiem comportamentul funcției la limitele intervalului sau la infinit). Aceste informații sunt suficiente pentru a găsi setul de valori ale funcției pe astfel de intervale.

Exemplu.

Definiți setul de valori ale funcției pe intervalul (-2; 2) .

Soluţie.

Să găsim punctele extreme ale funcției care se încadrează pe intervalul (-2; 2):

Punct x = 0 este un punct maxim, deoarece derivata își schimbă semnul de la plus la minus la trecerea prin ea, iar graficul funcției trece de la creștere la descreștere.

există un maxim corespunzător al funcției.

Să aflăm comportamentul funcției când x tinde spre -2 în dreapta și pe măsură ce x tinde spre 2 în stânga, adică găsim limite unilaterale:

Ce am obținut: când argumentul se schimbă de la -2 la zero, valorile funcției cresc de la minus infinit la minus un sfert (maximul funcției la x = 0), când argumentul se schimbă de la zero la 2, valorile funcției scad la minus infinit. Astfel, setul de valori ale funcției pe intervalul (-2; 2) este .

Exemplu.

Specificați setul de valori ale funcției tangente y = tgx pe interval.

Soluţie.

Derivata functiei tangente pe interval este pozitiva , ceea ce indică o creștere a funcției. Să studiem comportamentul funcției la limitele intervalului:

Astfel, atunci când argumentul se schimbă de la la, valorile funcției cresc de la minus infinit la plus infinit, adică setul de valori tangente pe acest interval este mulțimea tuturor numerelor reale.

Exemplu.

Aflați intervalul funcției logaritmului natural y = lnx.

Soluţie.

Funcția logaritmului natural este definită pentru valorile pozitive ale argumentului . Pe acest interval derivata este pozitivă , aceasta indică o creștere a funcției pe acesta. Să găsim limita unilaterală a funcției, deoarece argumentul tinde spre zero în dreapta, iar limita pe măsură ce x tinde spre plus infinit:

Vedem că, pe măsură ce x se schimbă de la zero la plus infinit, valorile funcției cresc de la minus infinit la plus infinit. Prin urmare, intervalul funcției de logaritm natural este întregul set de numere reale.

Exemplu.

Soluţie.

Această funcție este definită pentru toate valorile reale ale lui x. Să determinăm punctele extreme, precum și intervalele de creștere și scădere a funcției.

În consecință, funcția scade la , crește la , x = 0 este punctul maxim, maximul corespunzător al funcției.

Să ne uităm la comportamentul funcției la infinit:

Astfel, la infinit valorile funcției se apropie asimptotic de zero.

Am constatat că atunci când argumentul se schimbă de la minus infinit la zero (punctul maxim), valorile funcției cresc de la zero la nouă (până la maximul funcției), iar când x se schimbă de la zero la plus infinit, valorile funcției scăderea de la nouă la zero.

Uită-te la desenul schematic.

Acum este clar vizibil că intervalul de valori al funcției este .

Găsirea mulțimii de valori ale funcției y = f(x) pe intervale necesită cercetări similare. Nu ne vom opri acum asupra acestor cazuri în detaliu. Ne vom întâlni cu ei din nou în exemplele de mai jos.

Fie domeniul de definire al funcției y = f(x) uniunea mai multor intervale. La găsirea intervalului de valori ale unei astfel de funcții, se determină seturile de valori pe fiecare interval și se ia uniunea lor.

Exemplu.

Găsiți intervalul funcției.

Soluţie.

Numitorul funcției noastre nu ar trebui să meargă la zero, adică .

Mai întâi, să găsim setul de valori ale funcției pe raza deschisă.

Derivată a unei funcții este negativă pe acest interval, adică funcția scade pe el.

Am constatat că, deoarece argumentul tinde spre minus infinit, valorile funcției se apropie asimptotic de unitate. Când x se schimbă de la minus infinit la doi, valorile funcției scad de la unu la minus infinit, adică pe intervalul luat în considerare, funcția ia un set de valori. Nu includem unitatea, deoarece valorile funcției nu o ating, ci tind doar asimptotic la ea la minus infinit.

Procedăm în mod similar pentru fasciculul deschis.

Pe acest interval funcția scade și ea.

Setul de valori ale funcției pe acest interval este setul .

Astfel, intervalul de valori dorit al funcției este unirea mulțimilor și .

Ilustrație grafică.

O atenție deosebită trebuie acordată funcțiilor periodice. Gama de valori ale funcțiilor periodice coincide cu setul de valori pe intervalul corespunzător perioadei acestei funcții.

Exemplu.

Aflați intervalul funcției sinus y = sinx.

Soluţie.

Această funcție este periodică cu o perioadă de doi pi. Să luăm un segment și să definim setul de valori pe el.

Segmentul conține două puncte extreme și .

Calculăm valorile funcției în aceste puncte și la limitele segmentului, selectăm cele mai mici și cele mai mari valori:

Prin urmare, .

Exemplu.

Găsiți domeniul unei funcții .

Soluţie.

Știm că intervalul arc-cosinus este segmentul de la zero la pi, adică sau într-o altă postare. Funcţie poate fi obținut din arccosx prin deplasare și întindere de-a lungul axei absciselor. Astfel de transformări nu afectează intervalul de valori, prin urmare, . Funcţie obtinut din întinzându-se de trei ori de-a lungul axei Oy, adică . Iar ultima etapă a transformării este o deplasare a patru unități în jos de-a lungul ordonatei. Acest lucru ne conduce la dublarea inegalității

Astfel, intervalul necesar de valori este .

Să dăm soluția unui alt exemplu, dar fără explicații (nu sunt necesare, deoarece sunt complet asemănătoare).

Exemplu.

Definiți intervalul de funcție .

Soluţie.

Să scriem funcția inițială în forma . Gama de valori ale funcției de putere este intervalul. Adică, . Apoi

Prin urmare, .

Pentru a completa imaginea, ar trebui să vorbim despre găsirea intervalului de valori al unei funcții care nu este continuă pe domeniul definiției. În acest caz, împărțim domeniul de definiție în intervale prin puncte de întrerupere și găsim seturi de valori pe fiecare dintre ele. Combinând seturile de valori rezultate, obținem intervalul de valori al funcției originale. Vă recomandăm să rețineți 3 în stânga, valorile funcției tind spre minus unu, iar pe măsură ce x tinde spre 3 în dreapta, valorile funcției tind spre plus infinit.

Astfel, împărțim domeniul de definire al funcției în trei intervale.

Pe interval avem funcția . De atunci

Astfel, setul de valori ale funcției inițiale pe interval este [-6;2] .

Pe jumătate de interval avem o funcție constantă y = -1. Adică, setul de valori ale funcției inițiale pe interval este format dintr-un singur element.

Funcția este definită pentru toate valorile argumentelor valide. Să aflăm intervalele de creștere și scădere a funcției.

Derivata dispare la x=-1 și x=3. Să notăm aceste puncte pe dreapta numerică și să determinăm semnele derivatei pe intervalele rezultate.

Funcția scade cu , crește cu [-1; 3] , x=-1 punct minim, x=3 punct maxim.

Să calculăm minimul și maximul corespunzător funcției:

Să verificăm comportamentul funcției la infinit:

A doua limită a fost calculată folosind .

Să facem un desen schematic.

Când argumentul se schimbă de la minus infinit la -1, valorile funcției scad de la plus infinit la -2e, când argumentul se schimbă de la -1 la 3, valorile funcției cresc de la -2e la, când argumentul se schimbă de la 3 la plus infinit, valorile funcției scad de la zero, dar nu ajung la zero.

Se numește dependența unei variabile de alta dependenta functionala. Variabila dependenta y din variabilă x numit funcţie, dacă fiecare valoare x se potrivește cu o singură valoare y.

Desemnare:

Variabilă x numită variabilă independentă sau argument, și variabila y- dependent. Ei spun asta y este o functie a x. Sens y, corespunzătoare valorii specificate x, numit valoarea functiei.

Toate valorile pe care le acceptă x, formă domeniul unei funcții; toate valorile pe care le ia y, formă set de valori ale funcției.

Denumiri:

D(f)- valorile argumentului. E(f)- valorile funcţiei. Dacă o funcție este dată de o formulă, atunci domeniul de definiție este considerat a fi format din toate valorile variabilei pentru care această formulă are sens.

Graficul funcției este mulțimea tuturor punctelor din planul de coordonate ale căror abscise sunt egale cu valorile argumentului și ale căror ordonate sunt egale cu valorile corespunzătoare ale funcției. Dacă o oarecare valoare x=x 0 se potrivește cu mai multe valori (nu doar una) y, atunci o astfel de corespondență nu este o funcție. Pentru ca o mulțime de puncte dintr-un plan de coordonate să fie un grafic al unei anumite funcții, este necesar și suficient ca orice dreaptă paralelă cu axa Oy să se intersecteze cu graficul în cel mult un punct.

Metode pentru specificarea unei funcții

1) Funcția poate fi setată analitic sub forma unei formule. De exemplu,

2) Funcția poate fi specificată printr-un tabel de mai multe perechi (x; y).

3) Funcția poate fi specificată grafic. Perechi valori (x; y) sunt reprezentate pe planul de coordonate.

Monotonitatea funcției

Funcţie f(x) numit crescând pe un interval numeric dat, dacă o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției. Imaginează-ți că un anumit punct se mișcă de-a lungul graficului de la stânga la dreapta. Apoi punctul va părea că „urcă” pe grafic.

Funcţie f(x) numit în scădere pe un interval numeric dat, dacă o valoare mai mare a argumentului corespunde unei valori mai mici a funcției. Imaginează-ți că un anumit punct se mișcă de-a lungul graficului de la stânga la dreapta. Apoi punctul va părea să se „ruleze” în jos pe grafic.

Se numește o funcție care crește sau scade doar pe un anumit interval numeric monoton pe acest interval.

Zerurile funcției și intervalele de semn constant

Valori X, la care y=0, numit zerouri ale funcției. Acestea sunt abscisele punctelor de intersecție ale graficului funcției cu axa Ox.

Astfel de intervale de valori x, pe care funcția valorează y fie numai pozitive fie numai negative sunt numite intervale de semn constant ale funcției.

Funcții pare și impare

Chiar și funcție
1) Domeniul de definiție este simetric față de punctul (0; 0), adică dacă punctul o aparține domeniului definiției, apoi punctul -o aparține și domeniului definiției.
2) Pentru orice valoare x f(-x)=f(x)
3) Graficul unei funcții pare este simetric față de axa Oy.

Funcție ciudată are urmatoarele proprietati:
1) Domeniul de definiție este simetric față de punctul (0; 0).
2) pentru orice valoare x, aparținând domeniului definiției, egalității f(-x)=-f(x)
3) Graficul unei funcții impare este simetric față de originea (0; 0).

Nu toate funcțiile sunt par sau impare. Funcții vedere generală nu sunt nici pare, nici impare.

Funcții periodice

Funcţie f se numește periodic dacă există un număr astfel încât pentru oricare x din domeniul definirii egalitatea f(x)=f(x-T)=f(x+T). T este perioada funcției.

Fiecare funcție periodică are un număr infinit de perioade. În practică, cea mai mică perioadă pozitivă este de obicei luată în considerare.

Valorile unei funcții periodice se repetă după un interval egal cu perioada. Acesta este folosit la construirea graficelor.

Astăzi în lecție ne vom referi la unul dintre conceptele de bază ale matematicii - conceptul de funcție; Să aruncăm o privire mai atentă la una dintre proprietățile unei funcții - setul de valori ale acesteia.

Progresul lecției

Profesor. În timpul rezolvării problemelor, observăm că uneori găsim setul de valori ale unei funcții care ne pune în situații dificile. De ce? S-ar părea că, după ce am studiat o funcție încă din clasa a VII-a, știm destul de multe despre ea. Prin urmare, avem toate motivele să facem o mișcare proactivă. Să ne „jucăm” astăzi cu multe valori ale funcției pentru a răspunde la multe întrebări pe această temă la examenul viitor.

Seturi de valori ale funcțiilor elementare

Profesor. În primul rând, trebuie să repetați graficele, ecuațiile și seturile de valori ale funcțiilor elementare de bază în întregul domeniu de definiție.

Pe ecran sunt proiectate grafice ale funcțiilor: liniare, pătratice, fracționale-raționale, trigonometrice, exponențiale și logaritmice, pentru fiecare dintre ele se determină oral un set de valori. Atrageți atenția elevilor asupra faptului că funcția liniară E(f) = R sau un număr, pentru un liniar fracționar

Acesta este alfabetul nostru. Adăugând la acesta cunoștințele noastre despre transformările grafice: translație paralelă, întindere, compresie, reflexie, vom putea rezolva problemele primei părți. Examenul de stat unificat este chiar puțin mai dificil. Să verificăm.

Munca independentă

U Termenii problemei și sistemele de coordonate sunt tipărite pentru fiecare student.

1. Găsiți setul de valori ale funcției pe întregul domeniu de definiție:

O) y= 3 sin X ;
b) y = 7 – 2 X ;
V) y= –arccos ( x + 5):
G) y= | arctg x |;
d)

2. Găsiți setul de valori ale funcției y = x 2 la mijloc J, Dacă:

O) J = ;
b) J = [–1; 5).

3. Definiți funcția analitic (prin o ecuație), dacă mulțimea valorilor sale este:

1) E(f(x)) = (–∞ ; 2] și f(x) - funcție

a) pătratică,
b) logaritmică,
c) demonstrativ;

2) E(f(x)) = R \{7}.

Când discutați o sarcină 2munca independentă, atrageți atenția elevilor asupra faptului că, în cazul monotonității și continuității funcției y=f(x)la un interval dat[o;b],numeroasele sale sensuri-interval,ale căror capete sunt valorile lui f(o)și f(b).

Opțiuni de răspuns pentru sarcină 3.

1.
O) y = –x 2 + 2 , y = –(x + 18) 2 + 2,
y= o(x – x c) 2 + 2 la O < 0.

b) y= –| jurnalul 8 x | + 2,

V) y = –| 3 x – 7 | + 2, y = –5 | x | + 3.

2.
a) b)

V) y = 12 – 5x, Unde x ≠ 1 .

Găsirea mai multor valori ale unei funcții folosind derivate

Profesor. În clasa a X-a, ne-am familiarizat cu algoritmul pentru găsirea extremelor unei funcții continue pe un segment și găsirea setului de valori a acesteia, fără a ne baza pe graficul funcției. Îți amintești cum am făcut asta? ( Folosind derivate.) Să ne amintim acest algoritm .

Problemele care implică utilizarea acestui algoritm se găsesc în versiunile Examenului de stat unificat. De exemplu, în 2008 a fost propusă o astfel de sarcină. Trebuie să o rezolvi Case .

Sarcina C1. Găsiți cea mai mare valoare a funcției

f(x) = (0,5x + 1) 4 – 50(0,5x + 1) 2

la | x + 1| ≤ 3.

Condițiile temelor pentru acasă sunt tipărite pentru fiecare elev .

Găsirea setului de valori ale unei funcții complexe

Profesor. Partea principală a lecției noastre va fi probleme non-standard care conțin funcții complexe, ale căror derivate sunt expresii foarte complexe. Iar graficele acestor funcții ne sunt necunoscute. Prin urmare, pentru a rezolva, vom folosi definiția unei funcții complexe, adică dependența dintre variabile în ordinea cuibării lor într-o funcție dată și o evaluare a intervalului lor de valori (intervalul de modificare a lor valori). Probleme de acest tip se găsesc în partea a doua a examenului de stat unificat. Să ne uităm la câteva exemple.

Sarcina 1. Pentru funcții y = f(x) Și y = g(x) scrieți o funcție complexă y = f(g(x)) și găsiți setul său de valori:

O) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = păcat x;
b) f(x) = –x 2 + 2x + 3, g(x) = log 7 x;
V) g(x) = x 2 + 1;
G)

Soluţie. a) Funcția complexă are forma: y= –sin 2 x+ 2sin x + 3.

Introducerea unui argument intermediar t, putem scrie această funcție astfel:

y= –t 2 + 2t+ 3, unde t= păcat x.

La funcţia internă t= păcat x argumentul ia orice valoare, iar setul valorilor sale este segmentul [–1; 1].

Astfel, pentru funcția exterioară y = –t 2 +2t+ 3 am aflat intervalul de modificare a valorilor argumentului său t: t[–1; 1]. y = –t 2 +2t + 3.

Să ne uităm la graficul funcției t Observăm că funcția pătratică la y[–1; 1] ia cele mai mici și mai mari valori la capete: y nume = y(–1) = 0 și y naib =

(1) = 4. Și întrucât această funcție este continuă pe intervalul [–1; 1], atunci acceptă toate valorile dintre ele.: y .

Răspuns

y= –t 2 + 2t+ 3, unde t b) Compoziția acestor funcții ne conduce la o funcție complexă care, după introducerea unui argument intermediar, poate fi reprezentată astfel: x,

= jurnalul 7 t Funcţie x

x (0; +∞ ), t (–∞ ; +∞ ).

= jurnalul 7 y = –t 2 + 2t= jurnalul 7 t+ 3 (vezi grafic) argument

(1) = 4. Și întrucât această funcție este continuă pe intervalul [–1; 1], atunci acceptă toate valorile dintre ele.: y (–∞ ; 4].

ia orice valoare, iar funcția pătratică în sine ia toate valorile nu mai mult de 4.

c) Funcția complexă are următoarea formă:

Introducând un argument intermediar, obținem: t = x 2 + 1.

Unde x R Deoarece pentru funcţia interioară t .

(1) = 4. Și întrucât această funcție este continuă pe intervalul [–1; 1], atunci acceptă toate valorile dintre ele.: y (0; 3].

, A

d) Compoziția acestor două funcții ne conferă o funcție complexă

care poate fi scris ca

Rețineți că

Introducând un argument intermediar, obținem: Deci, când k , t [–1; 0) (0; 1].

Z Prin desenarea unui grafic al funcției t

y vedem că cu aceste valori

(–∞ ; –4] c ;

Soluţie. b) pe toată zona de definire. tÎn primul rând, examinăm această funcție pentru monotonitate. Funcţie x= arcctg R - continuu si in scadere cu yși mulțimea valorilor sale (0; π). Funcţie t= jurnalul 5 R este definită pe intervalul (0; π), este continuă și crește pe el. Aceasta înseamnă că această funcție complexă scade pe set R .

. Și acesta, ca o compoziție a două funcții continue, va fi continuu

Să rezolvăm problema „a”.

Deoarece funcția este continuă pe întreaga linie numerică, este continuă pe orice parte a acesteia, în special pe un segment dat. Și apoi pe acest segment are cele mai mici și mai mari valori și ia toate valorile dintre ele:

Care dintre valorile rezultate este mai mare? De ce? Și care va fi setul de valori?

Răspuns:

Să rezolvăm problema „b”.

Răspuns: la(–∞ ; log 5 π) pe întreaga zonă de definire.

Problemă cu un parametru

Acum să încercăm să creăm și să rezolvăm o ecuație simplă cu un parametru al formei f(x) = o, Unde f(x) - aceeași funcție ca în sarcina 4.

Sarcina 5. Determinați numărul de rădăcini ale ecuației log 5 (arcctg x) = O pentru fiecare valoare a parametrului O.

Soluţie. După cum am arătat deja în sarcina 4, funcția la= log 5(arcctg x) - scade si este continuu R și ia valori mai mici decât log 5 π. Aceste informații sunt suficiente pentru a da un răspuns.

Răspuns: Dacă O < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

Dacă O≥ log 5 π, atunci nu există rădăcini.

Profesor. Astăzi am analizat problemele legate de găsirea setului de valori ale unei funcții. Pe această cale, am descoperit o nouă metodă de rezolvare a ecuațiilor și inegalităților - metoda de estimare, astfel încât găsirea setului de valori ale unei funcții a devenit un mijloc de rezolvare a problemelor de nivel superior. Făcând acest lucru, am văzut cum sunt construite astfel de probleme și cum proprietățile monotonității unei funcții facilitează rezolvarea lor.

Și aș dori să sper că logica care a legat sarcinile discutate astăzi v-a uimit sau măcar v-a surprins. Nu poate fi altfel: urcarea pe un nou vârf nu lasă pe nimeni indiferent! Observăm și apreciem tablouri frumoase, sculpturi etc. Dar matematica are și propria frumusețe, atrăgătoare și fermecatoare - frumusețea logicii. Matematicienii spun că o soluție frumoasă este de obicei o soluție corectă, iar aceasta nu este doar o frază. Acum trebuie să găsești singur astfel de soluții, iar noi am indicat astăzi una dintre căile către ele. Mult succes pentru tine! Și amintiți-vă: cel care merge va stăpâni drumul!