Diferența privată și totală a unei funcții. Derivate parțiale și diferențiale totale

derivat privat funcțiile z = f(x, y prin variabila x derivata acestei funcții se numește la o valoare constantă a variabilei y, se notează sau z "x.

derivat privat funcții z = f(x, y) prin variabila y numită derivată față de y la o valoare constantă a variabilei y; se notează sau z „y.

Derivata parțială a unei funcții de mai multe variabile față de o variabilă este definită ca derivată a acestei funcții față de variabila corespunzătoare, cu condiția ca celelalte variabile să fie considerate constante.

diferenţial complet funcția z = f(x, y) la un moment dat M(X, y) se numește expresie

,

Unde și sunt calculate în punctul M(x, y) și dx = , dy = y.

Exemplul 1

Calculați diferența totală a funcției.

z \u003d x 3 - 2x 2 y 2 + y 3 în punctul M (1; 2)

Soluţie:

1) Găsiți derivate parțiale:

2) Calculați valoarea derivatelor parțiale în punctul M(1; 2)

() M \u003d 3 1 2 - 4 1 2 2 \u003d -13

() M \u003d - 4 1 2 2 + 3 2 2 \u003d 4

3) dz = - 13dx + 4dy

Întrebări pentru autocontrol:

1. Ce se numește antiderivat? Enumerați proprietățile unui antiderivat.

2. Ce se numește integrală nedefinită?

3. Enumerați proprietățile integralei nedefinite.

4. Enumerați formulele de integrare de bază.

5. Ce metode de integrare cunoașteți?

6. Care este esența formulei Newton-Leibniz?

7. Dați o definiție a unei integrale definite.

8. Care este esența calculării unei integrale definite prin metoda substituției?

9. Care este esența metodei de calcul a unei integrale determinate pe părți?

10. Ce funcție se numește funcție a două variabile? Cum este desemnat?

11. Ce funcție se numește funcție a trei variabile?

12. Ce mulţime se numeşte domeniul unei funcţii?

13. Cu ajutorul ce inegalități se poate defini o regiune închisă D pe un plan?

14. Ce se numește derivată parțială a funcției z \u003d f (x, y) față de variabila x? Cum este desemnat?

15. Ce se numește derivată parțială a funcției z \u003d f (x, y) față de variabila y? Cum este desemnat?

16. Ce expresie se numește diferența totală a unei funcții

Tema 1.2 Ecuații diferențiale obișnuite.

Probleme care duc la ecuații diferențiale. Ecuații diferențiale cu variabile separabile. Soluții generale și private. Ecuații diferențiale omogene de ordinul întâi. Ecuații liniare omogene de ordinul doi cu coeficienți constanți.

Lecția practică nr. 7 „Găsirea de soluții generale și particulare ale ecuațiilor diferențiale cu variabile separabile” *

Lecția practică nr. 8 „Ecuații diferențiale liniare și omogene”

Lecția practică nr. 9 „Rezolvarea ecuațiilor diferențiale de ordinul 2 cu coeficienți constanți” *

L4, capitolul 15, p. 243 - 256

Instrucțiuni

Lucrare practică №2

„Diferenţial de funcţii”

Scopul lecției: Învață să rezolvi exemple și probleme pe o anumită temă.

Întrebări de teorie (nivel inițial):

1. Utilizarea derivatelor pentru studiul funcțiilor până la extrem.

2. Diferenţialul unei funcţii, sensul ei geometric şi fizic.

3. Diferenţial total al unei funcţii de mai multe variabile.

4. Starea corpului în funcție de multe variabile.

5. Calcule aproximative.

6. Găsirea derivatelor parțiale și a diferenţialului total.

7. Exemple de utilizare a acestor concepte în farmacocinetică, microbiologie etc.

(autoformare)

1. răspunde la întrebări pe tema lecției;

2. rezolva exemple.

Exemple

Găsiți diferențele următoarelor funcții:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Utilizarea derivatelor pentru studiul funcțiilor

Condiția ca funcția y = f(x) să crească pe segmentul [a, b]

Condiția ca funcția y=f(x) să scadă pe segmentul [a, b]

Condiția pentru funcția maximă y=f(x) la x= a

f"(a)=0 și f""(a)<0

Dacă pentru x \u003d a derivatele f "(a) \u003d 0 și f "(a) \u003d 0, atunci este necesar să se investigheze f "(x) în vecinătatea punctului x \u003d a. Funcția y \u003d f (x) pentru x \u003d a are un maxim, dacă la trecerea prin punctul x \u003d și derivata f "(x) își schimbă semnul de la "+" la "-", în cazul unui minim - de la „-” la „+” Dacă f „(x) nu își schimbă semnul la trecerea prin punctul x = a, atunci în acest moment funcția nu are extremă

Diferenţial de funcţie.

Diferenţialul unei variabile independente este egal cu incrementul acesteia:

Diferenţialul funcţiei y=f(x)

Diferenţialul sumei (diferenţei) a două funcţii y=u±v

Diferenţiala produsului a două funcţii y=uv

Diferenţialul coeficient a două funcţii y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Creșterea funcției

Δy \u003d f (x + Δx) - f (x) ≈ dy ≈ f "(x) Δx

unde Δx: este incrementul argumentului.

Calculul aproximativ al valorii funcției:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f „(x) Δx

Aplicarea diferenţialului în calcule aproximative

Diferenţialul este utilizat pentru a calcula erorile absolute şi relative în măsurători indirecte u = f(x, y, z.). Eroarea absolută a rezultatului măsurării

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Eroarea relativă a rezultatului măsurării

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNCȚIE DIFERENȚIALĂ.

Diferența de funcție ca parte principală a incrementului de funcție și. Conceptul de diferenţial al unei funcţii este strâns legat de conceptul de derivată. Lasă funcția f(x) continuu pentru valori date Xși are o derivată

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), de unde creste functia Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Unde a(Dx)® 0 la Dx® 0. Să definim ordinea infinitezimalului f¢(x)Dx Dx.:

Prin urmare, infinitezimal f¢(x)Dxși Dx au același ordin de mărime, adică f¢(x)Dx = O.

Să definim ordinea infinitezimalului a(Dх)Dх cu privire la infinitezimal Dx:

Prin urmare, infinitezimalul a(Dх)Dх are un ordin mai mare de micime decât infinitezimalul Dx, acesta este a(Dx)Dx = o.

Astfel, un increment infinitezimal Df funcția diferențiabilă poate fi reprezentată sub forma a doi termeni: un infinitezimal f¢(x)Dx de aceeasi ordine de micime cu Dxși infinitezimal a(Dх)Dх ordin mai mare al micimii comparativ cu infinitezimal Dx. Asta înseamnă că în egalitate Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx la Dx® 0 al doilea termen tinde spre zero „mai rapid” decât primul, adică. a(Dx)Dx = o.

Primul termen f¢(x)Dx, liniară în raport cu Dx, numit diferenţial de funcţie f(x) la punct X si denota dy sau df(a se citi „de joc” sau „de ef”). Asa de,

dy = df = f¢(x)Dx.

Sensul analitic al diferenţialului constă în faptul că diferența unei funcții este partea principală a incrementului funcției Df, liniar în raport cu incrementul argumentului Dx. Diferenţialul unei funcţii diferă de incrementul unei funcţii printr-un infinitezimal de ordin mai mare al micşorării decât Dx. Într-adevăr, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx sau Df = df + a(Dx)Dx . Argument diferential dx egal cu incrementul acesteia Dx: dx=Dx.

Exemplu. Calculați valoarea diferenţialului unei funcţii f(x) = x 3 + 2x, când X variază de la 1 la 1,1.

Soluţie. Să găsim o expresie generală pentru diferența acestei funcții:

Înlocuirea valorilor dx=Dx=1,1–1= 0,1și x=1în ultima formulă, obținem valoarea dorită a diferenţialului: df½ x=1; = 0,5.

DERIVATE PARȚIALE ȘI DIFERENȚIALE.

Derivate parțiale de ordinul întâi. Derivata parțială de ordinul întâi a funcției z = f(x,y ) prin argumentare X la punctul luat în considerare (X y) numită limită

dacă există.

Derivată parțială a unei funcții z = f(x, y) prin argumentare X notat cu unul dintre următoarele caractere:

În mod similar, derivata parțială cu privire la la notat și definit prin formula:

Deoarece derivata parțială este derivata obișnuită a unei funcții a unui argument, nu este dificil de calculat. Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați toate regulile de diferențiere avute în vedere până acum, ținând cont în fiecare caz care dintre argumente este luat ca „număr constant” și care servește ca „variabilă de diferențiere”.

Cometariu. Pentru a găsi derivata parțială, de exemplu, în raport cu argumentul x – df/dx, este suficient să găsim derivata obișnuită a funcției f(x,y), presupunând că acesta din urmă este o funcție a unui argument X, A la- permanenta; a găsi df/dy- viceversa.

Exemplu. Găsiți valorile derivatelor parțiale ale unei funcții f(x,y) = 2x2 + y2 la punct P(1;2).

Soluţie. Socoteală f(x,y) funcție cu un singur argument X iar folosind regulile de diferențiere, găsim

La punctul P(1;2) valoare derivată

Considerând f(x; y) în funcție de un argument y, găsim

La punctul P(1;2) valoare derivată

SARCINA PENTRU MUNCA INDEPENDENTA A ELEVULUI:

Găsiți diferențele următoarelor funcții:

Rezolvați următoarele sarcini:

1. Cu cât va scădea aria unui pătrat cu latura x = 10 cm dacă latura se reduce cu 0,01 cm?

2. Ecuația mișcării corpului este dată: y=t 3 /2+2t 2 , unde s se exprimă în metri, t este în secunde. Aflați traseul s parcurs de corp în t=1,92 s de la începutul mișcării.

LITERATURĂ

1. Lobotskaya N.L. Fundamentele Matematicii Superioare - M .: „Școala Superior”, 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matematică în biologie și medicină. Pe. din engleza. M.: Mir, 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Culegere de probleme de fizică medicală și biologică - M .: „Școala superioară”, 1987. C16-20.

Conceptul de funcție a două variabile

Valoare z numit funcţia a două variabile independente xși y, dacă fiecare pereche de valori admisibile ale acestor mărimi, conform unei anumite legi, corespunde unei valori bine definite a mărimii z. Variabile independente Xși y numit argumente funcții.

O astfel de dependență funcțională este notă analitic

Z = f (x, y),(1)

Valori ale argumentelor x și y care corespund valorilor reale ale funcției z, considerată admisibilăși se numește mulțimea tuturor perechilor admisibile de valori x și y domeniul definirii funcţiile a două variabile.

Pentru o funcție a mai multor variabile, spre deosebire de o funcție a unei variabile, conceptele sale creșteri parțiale pentru fiecare dintre argumente și concept increment complet.

Increment parțial Δ x z a funcției z=f (x,y) prin argument x este incrementul pe care îl primește această funcție dacă argumentul său x este incrementat Δx cu acelasi y:

Δxz = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

Incrementul parțial Δ y z al funcției z= f (x, y) față de argumentul y este incrementul pe care îl primește această funcție dacă argumentul său y primește un increment Δy cu x neschimbat:

Δy z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Increment complet Δz funcții z= f (x, y) prin argumente Xși y se numește increment pe care o primește o funcție dacă ambele argumente ale sale sunt incrementate:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

Pentru incremente suficient de mici Δxși Δy argumente ale funcției

există o egalitate aproximativă:

∆z ∆xz + ∆yz , (5)

și cu cât este mai precis, cu atât mai puțin Δxși Δy.

Derivate parțiale ale funcțiilor a două variabile

Derivata parțială a funcției z=f (x, y) față de argumentul x în punctul (x, y) se numește limita raportului de creștere parțială ∆xz această funcție la incrementul corespunzător Δx argumentul x când se străduiește Δx la 0 și cu condiția ca această limită să existe:

, (6)

Derivata funcției este definită în mod similar z=f (x, y) prin argumentare y:

În plus față de notația indicată, derivatele parțiale ale funcțiilor sunt de asemenea notate cu , z΄x, f΄x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

Sensul principal al derivatei parțiale este următorul: derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile în raport cu oricare dintre argumentele sale caracterizează rata de modificare a acestei funcții atunci când acest argument se modifică.

Când se calculează derivata parțială a unei funcții a mai multor variabile în raport cu orice argument, toate celelalte argumente ale acestei funcții sunt considerate constante.

Exemplul 1. Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor

f (x, y)= x 2 + y 3

Soluţie. Când se află derivata parțială a acestei funcții în raport cu argumentul x, argumentul y este considerat o valoare constantă:

;

La găsirea derivatei parțiale față de argumentul y, argumentul x este considerat o valoare constantă:

.

Diferențiale parțiale și totale ale unei funcții a mai multor variabile

Diferenţialul parţial al unei funcţii a mai multor variabile în raport cu care-fie din argumentele sale este produsul derivatei parțiale a acestei funcții față de argumentul dat și diferenţialul acestui argument:

dxz= ,(7)

dyz= (8)

Aici d x zși d y z-diferențiale parțiale ale unei funcții z= f (x, y) prin argumente Xși y.în care

dx= ∆x; dy=Δy, (9)

diferenţial complet O funcție a mai multor variabile se numește suma diferențialelor sale parțiale:

dz= d x z + d y z, (10)

Exemplul 2 Aflați diferențele parțiale și totale ale funcției f (x, y)= x 2 + y 3 .

Deoarece derivatele parțiale ale acestei funcții se găsesc în Exemplul 1, obținem

dxz= 2xdx; d y z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2dy

Diferența parțială a unei funcții a mai multor variabile în raport cu fiecare dintre argumentele sale este partea principală a incrementului parțial corespunzător al funcției.

Ca urmare, se poate scrie:

∆xz dxz, ∆yz d yz, (11)

Sensul analitic al diferenţialului total este că diferenţialul total al unei funcţii de mai multe variabile este partea principală a incrementului total al acestei funcţii..

Astfel, există o egalitate aproximativă

∆zdz, (12)

Utilizarea formulei (12) se bazează pe utilizarea diferenţialului total în calcule aproximative.

Imaginează-ți o creștere Δz la fel de

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

și diferența totală în formă

Atunci obținem:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3. Scopul elevilor la lecție:

Studentul trebuie sa stie:

1. Definirea unei funcţii a două variabile.

2. Conceptul de increment parțial și total al unei funcții a două variabile.

3. Determinarea derivatei parțiale a unei funcții de mai multe variabile.

4. Sensul fizic al derivatei parțiale a unei funcții a mai multor variabile în raport cu oricare dintre argumentele acesteia.

5. Determinarea diferenţialului parţial al unei funcţii de mai multe variabile.

6. Determinarea diferenţialului total al unei funcţii de mai multe variabile.

7. Sensul analitic al diferenţialului total.

Studentul trebuie să fie capabil să:

1. Găsiți incremente private și totale ale unei funcții a două variabile.

2. Calculați derivate parțiale ale unei funcții de mai multe variabile.

3. Găsiți diferențiale parțiale și totale ale unei funcții a mai multor variabile.

4. Aplicați diferența totală a unei funcții a mai multor variabile în calcule aproximative.

Partea teoretică:

1. Conceptul de funcție a mai multor variabile.

2. Funcția a două variabile. Creșterea parțială și totală a unei funcții a două variabile.

3. Derivată parțială a unei funcții a mai multor variabile.

4. Diferențiale parțiale ale unei funcții de mai multe variabile.

5. Diferenţial total al unei funcţii de mai multe variabile.

6. Aplicarea diferenţialului total al unei funcţii a mai multor variabile în calcule aproximative.

Partea practica:

1.Găsiți derivate parțiale ale funcțiilor:

1) ; 4) ;

2) z \u003d e xy + 2 x; 5) z= 2tg xx y;

3) z \u003d x 2 sin 2 y; 6) .

4. Definiți derivata parțială a unei funcții în raport cu un argument dat.

5. Ce se numește diferența parțială și totală a unei funcții a două variabile? Cum sunt ele legate?

6. Lista de întrebări pentru a verifica nivelul final de cunoștințe:

1. În cazul general al unei funcții arbitrare a mai multor variabile, este incrementul ei total egal cu suma tuturor incrementelor parțiale?

2. Care este semnificația principală a derivatei parțiale a unei funcții a mai multor variabile în raport cu oricare dintre argumentele acesteia?

3. Care este sensul analitic al diferenţialului total?

7. Cronologia lecției:

1. Moment organizatoric - 5 minute.

2. Analiza temei - 20 min.

3. Rezolvarea de exemple și probleme - 40 min.

4. Controlul curent al cunoștințelor -30 min.

5. Rezumatul lecției - 5 min.

8. Lista literaturii educaționale pentru lecție:

1. Morozov Yu.V. Fundamente ale matematicii si statisticii superioare. M., „Medicina”, 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Pavlushkov I.V. et al. Fundamentele matematicii superioare şi statisticii matematice. M., „GEOTAR-Media”, 2006, § 3.3.

Linearizarea funcției. Plan tangent și normal de suprafață.

Derivate și diferențiale de ordin superior.

1. Derivate parțiale ale FNP *)

Luați în considerare funcția și = f(P), RÎDÌR n sau, care este la fel,

și = f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Fixăm valorile variabilelor X 2 , ..., x n, și variabila X 1 să creștem D X unu . Apoi funcția și va primi un spor determinat de egalitate

= f (X 1+D X 1 , X 2 , ..., x n) – f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Acest increment este numit increment privat funcții și după variabilă X 1 .

Definiție 7.1. Derivată parțială a unei funcții și = f(X 1 , X 2 , ..., x n) după variabilă X 1 este limita raportului dintre incrementul parțial al funcției și incrementul argumentului D X 1 la D X 1 ® 0 (dacă există această limită).

Derivata parțială cu privire la X 1 caractere

Deci prin definiție

Derivatele parțiale față de variabilele rămase sunt definite în mod similar. X 2 , ..., x n. Din definiție se poate observa că derivata parțială a unei funcții față de variabilă x i este derivata obișnuită a unei funcții a unei variabile x i când restul variabilelor sunt considerate constante. Prin urmare, toate regulile și formulele de diferențiere studiate anterior pot fi folosite pentru a găsi derivata unei funcții a mai multor variabile.

De exemplu, pentru funcție u = X 3 + 3X y – z 2 avem

Astfel, dacă o funcție a mai multor variabile este dată în mod explicit, atunci întrebările de existență și găsirea derivatelor sale parțiale se reduc la întrebările corespunzătoare referitoare la funcția unei variabile - cea prin care este necesară determinarea derivatei.

Luați în considerare o funcție definită implicit. Fie ecuația F( X, y) = 0 definește o funcție implicită a unei variabile X. corect

Teorema 7.1.

Fie F( X 0 , y 0) = 0 și funcțiile F( X, y), F¢ X(X, y), F¢ la(X, y) sunt continue într-o anumită vecinătate a punctului ( X 0 , la 0), și F¢ la(X 0 , y 0) ¹ 0. Apoi funcția la, dat implicit de ecuația F( X, y) = 0, are în punctul ( X 0 , y 0) derivată, care este egală cu

.

Dacă condițiile teoremei sunt îndeplinite în orice punct al domeniului DÌ R 2 , atunci în fiecare punct al acestui domeniu .

De exemplu, pentru funcție X 3 –2la 4 + Wow+ 1 = 0 găsiți

Fie acum ecuația F( X, y, z) = 0 definește o funcție implicită a două variabile. Să găsim și . Din moment ce calculul derivatei cu privire la X produs la un fix (constant) la, atunci în aceste condiții egalitatea F( X, y= const, z) = 0 definește zîn funcţie de o variabilă X iar conform teoremei 7.1 obţinem

.

În mod similar .

Astfel, pentru o funcție a două variabile date implicit de ecuație , derivatele parțiale se găsesc prin formulele: ,

Pentru a simplifica notarea și prezentarea materialului, ne restrângem la cazul funcțiilor a două variabile. Tot ceea ce urmează este valabil și pentru funcții cu orice număr de variabile.

Definiție. derivat privat funcții z = f(X y) prin variabila independentă X numit derivat

calculată la constantă la.

Derivata parțială față de variabilă este definită în mod similar la.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile regulile obișnuite și formulele de diferențiere.

Definiție. Produsul derivatei parțiale și incrementul argumentului X(y) se numește diferenţial privat după variabilă X(la) funcţii a două variabile z = f(X y) (simboluri: ):

Dacă sub diferenţialul variabilei independente dx(dy) înțelege increment X(la), apoi

Pentru funcție z = f(X y) află semnificația geometrică a derivatelor sale de frecvență și .

Luați în considerare un punct, un punct P 0 (X 0 ,y 0 , z 0) la suprafață z = f(X,la) și curbă L, care se obține atunci când suprafața este tăiată de un plan y = y 0 . Această curbă poate fi privită ca un grafic al unei funcții a unei variabile z = f(X y) in avion y = y 0 . Dacă desenezi la punct R 0 (X 0 , y 0 , z 0) tangentă la curbă L, apoi, după semnificația geometrică a derivatei unei funcții a unei variabile , Unde A – unghi format dintr-o tangentă cu direcție pozitivă a axei Oh.

z = f(X 0 ,y) poate fi considerat ca o functie a unei variabile la:

Unde b- unghiul format de tangenta in punct M 0 (X 0 , y 0) cu direcția pozitivă a axei Oi(Fig. 1.2).

Orez. 1.2. Ilustrarea semnificației geometrice a derivatelor parțiale

Exemplul 1.6. Dată o funcție z = x 2 – 3hu - 4la 2 – x + 2y + 1. Găsiți și .

Soluţie. Luand in considerare la ca o constantă, obținem

Socoteală X constantă, găsim