Расчет статически неопределимой системы стержней. Статическая неопределимость

Стержневые системы, опорные реакции и внутренние силовые факторы в которых не могут быть найдены из одних лишь уравнений равновесия, называются статически неопределимыми .

Разность между числом искомых неизвестных усилий и независимых уравнений равновесия определяет степень статической неопределимости системы . Степень статической неопределимости всегда равна числу избыточных (лишних) связей, удаление которых превращает статически неопределимую систему в статически определимую геометрически неизменяемую систему. Избыточными могут быть как внешние (опорные) связи, так и внутренние, накладывающие определенные ограничения на перемещение сечений системы друг относительно друга.

Геометрически неизменяемой называется такая система, изменение формы которой возможно лишь в связи с деформациями ее элементов.

Геометрически изменяемой называется такая система, элементы которой могут перемещаться под действием внешних сил без деформации (механизм).

Изображенная на рис. 12.1 рама имеет семь внешних (опорных) связей. Для определения усилий в этих связях (опорных реакций) можно составить всего лишь три независимых уравнения равновесия. Следовательно, данная система имеет четыре избыточных связи, а это означает, что она четыре раза статически неопределима. Таким образом, степень статической неопределимости для плоских рам равна:

где R - число опорных реакций.

Контур, состоящий из ряда элементов (прямых или криволинейных), жестко (без шарниров) связанных между собой и образующих замкнутую цепь, называется замкнутым . Прямоугольная рама, изображенная на рисунке 12.2, представляет собой замкнутый контур. Она трижды статически неопределима, так как для превращения ее в статически определимую необходимо перерезать один из ее элементов и устранить три лишние связи. Реакциями этих связей являются: продольная сила, поперечная сила и изгибающий момент, действующие в месте разреза; их нельзя определить при помощи уравнений статики. В аналогичных условиях в смысле статической неопределимости находится любой замкнутый контур, который всегда трижды статически неопределим .

Включение шарнира в узел рамы, в которой сходятся два стержня, или же постановка его в любое место на оси стержня снимает одну связь и снижает общую степень статической неопределимости на единицу. Такой шарнир называется одиночным или простым (рис. 12.3).

В общем случае каждый шарнир, включенный в узел, соединяющий c стержней, снижает степень статической неопределимости на c -1 , так как такой шарнир заменяет c -1 одиночных шарниров (рис. 12.3). Таким образом, степень статической неопределимости системы при наличии замкнутых контуров определяется по формуле.

Брусья и шарнирно-стержневые системы, в которых внутренние усилия от заданной нагрузки можно определить при помощи уравнений равновесия (уравнений статики), называются статически определимыми.

В отличие от них статически неопределимыми называются брусья и системы, внутренние усилия в которых нельзя определить при помощи одних лишь уравнений равновесия. Поэтому при их расчете необходимо составлять дополнительные уравнения (уравнения перемещений учитывающие характер деформации системы. Число дополнительных уравнений, необходимых для расчета системы, характеризует степень ее статической неопределимости. Можно составить столько дополнительных уравнений, сколько необходимо для решения задачи.

Усилия в элементах статически определимых систем возникают только от действия внешней нагрузки (включая собственный вес конструкции). В элементах статически неопределимых систем усилия могут возникать и при отсутствии внешней нагрузки - в результате, например, изменения температуры, смещения опорных закреплений, неточности изготовления отдельных элементов конструкции.

Наиболее важным этапом расчета статически неопределимых систем является составление дополнительных (к уравнениям равновесия) уравнений перемещений. Способы их составления рассмотрим на примерах решения различных задач расчета статически неопределимых систем.

Рассмотрим стержень, защемленный (заделанный) обоими концами и нагруженный силой Р (рис. 26.2, а). Под действием силы Р в заделках возникают реакции и требуется определить величины этих сил. Для данного случая (когда все силы действуют вдоль одной прямой) статика позволяет составить только одно уравнение равновесия:

Следовательно, для определения двух неизвестных необходимо составить дополнительно одно уравнение. Поэтому рассматриваемый стержень является один раз статически неопределимым (т. е. степень его статической неопределимости равна единице). Для составления дополнительного уравнения отбросим нижнюю заделку и заменим ее влияние на стержень реакцией (рис. 26.2, б). Предположим, что действует только одна сила Р, а силы нет. Под действием силы Я деформируется только верхний участок стержня длиной а, в результате чего сечение, где приложена сила Р, перемещается вниз на величину Нижний участок стержня длиной b при этом не деформируется, а перемещается вниз, как жесткое тело, на такую же величину, на какую перемещается сечение, где приложена сила Р. В частности, на эту же величину перемещается вниз и нижний конец стержня.

Предположим теперь, что действует только сила а сила Р отсутствует.

Под действием силы деформируется весь стержень, в результате чего нижний конец стержня перемещается вверх на величину .

В действительности нижний конец стержня, будучи заделанным, не получает перемещения. Следовательно, перемещение его вниз, вызванное силой Р, должно быть равно перемещению вверх, вызванному силой откуда Зная величину из уравнения (46.2) можно найти .

После определения реакций вызванных действием силы Р, построение эпюры продольных сил и расчет на прочность производятся, как в случае статически определимой задачи.

Следует отметить, что направления неизвестных реакций, перемещений и т. д. можно принимать совершенно произвольно. В рассмотренном примере для реакций принято направление вверх. В результате расчета значения обеих реакции полечились положительными; это означает, что действительные направления их совпадают с принятыми предварительно. Если, например, для реакции принять направление вниз, то в результате решения дополнительного уравнения получим Знак «минус» укажет на то, что действительное направление реакции нижней заделки обратно принятому направлению ее, т. е. что она направлена вверх. Таким образом, окончательный результат расчета не зависит от того, какое направление реакции принято предварительно.

Рассмотрим статически неопределимую плоскую шарнирно-стержневую систему, состоящую из трех стержней, нижние концы которых соединены общим шарниром D (рис. 27.2). Площадь поперечного сечения среднего стержня равна а крайних стержней

К шарниру D приложена вертикальная сила Р. Требуется определить усилия в стержнях от действия этой силы.

Так как соединения всех концов стержней шарнирные, то реакции шарниров А, В и С направлены вдоль осей стержней и, следовательно, пересекаются в точке D.

Число реакций равно трем. Но так как система и нагрузка симметричны относительно вертикальной оси, то реакции RA и равны между собой, а потому для решения задачи достаточно определить две реакции RA и

Для плоской системы сил, пересекающихся в одной точке, можно, как известно, составить два уравнения равновесия: и Однако этих двух уравнений недостаточно для определения реакций и RB, так как уже использовано условие симметрии, а это равносильно использованию уравнения равновесия Остается лишь одно уравнение равновесия, а число неизвестных усилий равно двум. Таким образом, для решения задачи необходимо составить одно дополнительное уравнение и, следовательно, задача является один раз статически неопределимой.

Уравнение равновесия имеет вид

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим перемещения системы.

В стержнях AD, BD и CD возникают продольные силы, равные соответственно Стержень BD под действием продольной силы удлинится на величину Стержень AD удлинится на величину Учитывая, что получаем

Шарнир D опустится на величину и займет положение D (рис. 27.2).

Для того чтобы выразить удлинение стержня AD через перемещение надо спроектировать это перемещение на направление оси стержня:

Здесь в связи с тем, что перемещение мало по сравнению с длинами стержней, угол ADB (рис. 27.2) принят равным а, т. е. углу ADB (между осями стержней AD и BD в недеформированной конструкции).

Подставим в уравнение (48.2) выражения и ДБ, полученные выше:

Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия (47.2), получаем

Из выражений (49.2) видно, что с увеличением площадей поперечных сечений стержней AD и CD (т. е. с увеличением ) усилия в них увеличиваются, а усилие в стержне BD уменьшается.

Такой результат отражает особенности статически неопределимых систем, в которых повышение жесткостей некоторых элементов приводит к увеличению в них усилий и обычно к уменьшению усилий в остальных элементах. В статически же определимых системах распределение усилий в конструкции не зависит от жесткостей ее элементов.

Рассмотрим систему, состоящую из трех стержней: алюминиевой трубки стальной трубки 2, вставленной в алюминиевую, и чугунного сплошного стержня 3, расположенного внутри стальной трубки (рис. 28.2, а).

Обе трубки и чугунный стержень помещены между абсолютно жесткими плитами и сжимаются силой Р. Требуется определить напряжения в поперечных сечениях каждого из стержней, вызываемые силой Р.

Проведем горизонтальное сечение и составим уравнение равновесия для верхней части системы (рис. 28.2, б):

где - нормальные напряжения в поперечных сечениях соответственно алюминиевого, стального и чугунного стержней (сжимающие нормальные напряжения приняты здесь положительными); - площади поперечных сечений этих стержней.

Произведения представляют собой продольные силы в поперечных сечениях стержней.

Другие уравнения равновесия для рассматриваемой системы параллельных сил составить нельзя, а потому для определения трех неизвестных напряжений кроме уравнения равновесия (50.2), необходимо составить два дополнительных уравнения. В соответствии с этим рассматриваемая систета является два раза (дважды) статически неопределимой.

Для составления дополнительных уравнений используем то обстоятельство, что все три стержня зажаты между двумя жесткими плитами, а потому продольные деформации всех стержней одинаковы. Обозначим относительную продольную деформацию стержней.

На основании закона Гука

где - модули упругости материалов стержней.

Из этого равенства получаем два дополнительных уравнения:

Подставив значения из уравнений (52.2) в уравнение (50.2), найдем

где - приведенная к алюминию площадь поперечного сечёния всего составного стержня:

На рис. 28.2, б показан вид эпюры нормальных напряжений в рассматриваемой системе при соотношении между модулями упругости равном 1:3:2.

Приведенные площади используют при проектировании брусьев разнородной упругости, например железобетонных колонн, состоящих из стальных стержней (арматуры), расположенных в бетоне. Сцепление между арматурой и бетоном исключает возможность перемещения арматуры относительно окружающего ее бетона. Поэтому продольные деформации бетона и арматуры одинаковы, а отношение нормальных напряжений в арматуре к напряжениям в бетоне равно отношению модулей упругости этих материалов.

Рассмотрим теперь систему, изображенную на рис. 29.2, а, состоящую из абсолютно жесткого бруса, опертого на шарнирную опору и прикрепленного к двум стержням ААХ и ССХ (изготовленным из пластичной стали) при помощи шарниров.

Определим из условия прочности стальных стержней допускаемую Нагрузку предельную нагрузку и предельно допускаемую нагрузку .

Реакции и стержней шарнирно прикрепленных по концам, направлены вдоль осей этих стержней. Реакция опоры В имеет горизонтальную составляющую и вертикальную составляющую , как эта опора препятствует горизонтальному и вертикальному перемещениям точки В бруса.

Таким образом, всего имеется четыре неизвестные реакции (рис. 29.2, б), а уравнений равновесия для плоской системы сил можно составить всего три. Следовательно, данная система один раз статически неопределима и для ее решения требуется составить одно дополнительное уравнение.

По условию задачи необходимо определить реакции стальных стержней ААХ и ССХ (равные продольным силам в поперечных сечениях этих стержней), а в определении реакций и нет необходимости. Поэтому достаточно из трех возможных уравнений равновесия использовать одно, в которое не входили бы реакции и .

Таким является уравнение в виде суммы моментов всех сил относительно шарнира В:

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим деформацию системы. На рис. 29.2, б штриховой линией показана ось бруса после деформации системы. Эта ось остается прямолинейной, так как брус является абсолютно жестким и, следовательно, не деформируется, а может лишь повернуться вокруг точки В. Шарниры А и С после деформации переходят в положения А и С соответственно, т. е. перемещаются по вертикали на величины . Из подобия треугольников ААВ и ССВ находим

Выразим удлинение стержня, и удлинение стержня через перемещения . Для этого спроектируем перемещения на направления стержней:

или с учетом равенства (56.2)

Но по закону Гука [по формуле (13.2)]

и, следовательно, на основании равенства (57.2)

Решив уравнение (58.2) совместно с уравнением равновесия (55.2), найдем значения продольных сил выраженные через нагрузку Q. Разделив силы на площади поперечных сечений соответственно, определим нормальные напряжения и в стальных стержнях. Приравняв затем большее из этих напряжений допускаемому напряжению найдем значение Q, равное величине допускаемой нагрузки

При увеличении нагрузки Q сверх значения напряжения в обоих стержнях сначала увеличиваются прямо пропорционально нагрузке. Если, например, и, следовательно, значение найдено из условия то при увеличении нагрузки до некоторой величины напряжения в первом стержне достигают предела текучести При этом напряжения во втором гтепжне остаются меньше

В процессе дальнейшего увеличения нагрузки напряжения в первом стержне остаются постоянными, равными пределу текучести, а во втором - возрастают, пока также не становятся равными Это состояние системы называется предельным, соответствующим исчерпанию ее грузоподъемности; дальнейшее, даже незначительное увеличение нагрузки связано с весьма большими деформациями системы. Величину Q, вызывающую предельное состояние, обозначают и называют предельной нагрузкой.

Для определения значения составим уравнение равновесия в виде суммы моментов (относительно шарнира В) всех сил, действующих на жесткий брус в предельном состоянии, когда

Разделив на нормативный коэффициент запаса несущей способности получим величину предельно допускаемой нагрузки:

Если значение в формуле (59.2) принять равным значению [см. формулу (42.2)], то величина предельно допускаемой нагрузки будет больше величины допускаемой нагрузки полученной расчетом по допускаемым напряжениям.

Более подробно вопросы определения предельных и предельно допускаемых нагрузок рассмотрены в гл. 17.

Установим теперь метод определения монтажных напряжений в статически неопределимой конструкции, вызванных неточностью изготовления ее элементов. Рассмотрим для примера конструкцию, состоящую из трех стальных стержней с площадями поперечных сечений концы которых шарнирно прикреплены к двум жестким плитам (рис. 30.2, а). Все стержни должны были иметь одинаковую длину l, однако первый стержень был изготовлен на длиннее, а второй на 68 короче, чем по проекту весьма малы по сравнению с I). В связи с этим после монтажа в стержнях возникли так называемые начальные (или монтажные) напряжения. Определим эти напряжения.

Предположим, что после монтажа конструкции нижняя плита заняла положение, показанное на рис. 30.2, а штриховой линией, т. е. что при монтаже все стержни удлинились и, следовательно, все они растянуты.

Проведем через стержни сечение (рис. 30.2, о) и составим условия равновесия для нижней (отсеченной) части конструкции (рис. 30.2, б):

а) сумма проекций сил на вертикаль

б) сумма моментов сил относительно нижнего левого шарнира А

Из уравнения (61.2) видно, что усилия во втором и третьем стержнях имеют различные знаки, т. е. один из них растянут, а другой сжат.

Поэтому сделанное предположение о том, что все стержни растянуты, неверно; оно, однако, упрощает дальнейшие рассуждения и не вносит ошибки в результаты расчета.

В два уравнения равновесия (60.2) и (61.2) входят три неизвестных усилия. Следовательно, рассматриваемая конструкция один раз статически неопределима.

Для составления дополнительного уравнения рассмотрим удлинения стержней при монтаже. Обозначим удлинения соответственно первого, второго и третьего стержней (рис. 30.2, а). Исходя из допущения об абсолютной жесткости плит заключаем, что все три нижних шарнира расположены на одной прямой. Это позволяет составить для подобных треугольников АСЕ и BCD (рис. 30.2, а) следующее соотношение:

Но из рис. 30.2, а следует, что

На основании закона Гука

Статически неопределимыми называются такие стержни и стержневые системы, в которых реактивные факторы и внутренние усилия не могут быть определены только из уравнений равновесия. Данные системы классифици­руются по степени статической неопределимости. Степень статической не­определимости представляет собой разность между числом неизвестных реакций и числом уравнений равновесия. Степень статической неопредели­мости системы определяет количество дополнительных уравнений (уравне­ния перемещений), которые необходимо составить при раскрытии статической неопределимости.

В статически определимых стержневых системах усилия возникают только от действия внешней нагрузки. В статически неопределимых стерж­невых системах усилия возникают не только от внешних нагрузок, но и в ре­зультате неточности изготовления отдельных элементов системы, изменения температуры элементов системы и т.д. При отклонении действительных про­дольных размеров стержней от номинальных (расчётных) при сборке стати­чески неопределимых систем возникают дополнительные, так называемые монтажные усилия и напряжения. При изменении температуры статически неопределимой стержневой системы в ее элементах возникают дополнитель­ные, так называемые температурные усилия и напряжения.

Расчет статически неопределимых стержней и стержневых систем вы­полняется по следующей методике.

1. Проводится анализ схемы закрепления и определяется степень статиче­ской неопределимости стержневой системы.

2. Рассматривается статическая сторона задачи, т.е. составляются уравне­ния равновесия.

3. Анализируется геометрическая сторона задачи. Система рассматрива­ется в деформированном состоянии, устанавливается взаимосвязь между де­формациями или перемещениями отдельных элементов системы. Полученные уравнения являются уравнениями совместности перемещений (деформаций). Количество уравнений совместности перемещений (деформа­ции) равно степени статической неопределимости системы.

4. Рассматривается физическая сторона задачи. На основе закона Р.Гука перемещения или деформации элементов системы выражаются через дейст­вующие в них внутренние усилия и с учётом этого записываются уравнения совместности перемещений в развёрнутом виде.

5. Решая совместно уравнения равновесия и совместности перемещений в развёрнутом виде определяются неизвестные реакции, т.е. раскрывается ста­тическая неопределимость стержневой системы.

6. Дальнейший расчёт на прочность и жёсткость аналогичен расчёту статически определимых систем.

Методика решения статически неопределимых стержней и стержневых систем показана на примерах решения различных задач.

Пример 1. Ступенчатый стержень, защемлённый с обеих сторон, нагружен силами F (рис.10,а). Требуется раскрыть статическую неопределимость стержня и определить площадь поперечного сечения.

Исходные данные: длина участка стержня l , площадь поперечного сечения стержня А модуль продольной упругости материала стержня Е , допускаемое напряжение .

Заданная стержневая система.

1. В результате действия внешних сил на стержень возникают две опорные реакции R 1 и R 2 . Уравнений равновесия для плоской стержневой системы можно составить одно следовательно стержень один раз статически неопределим (рис. 10,6).

2. Рассматривается статическая сторона задачи. Выбирается расчётная схема (рис. 10,6) и составляется уравнение равновесия:

3. Анализируется условие деформирования стержня и геометрическая сторона задачи, составляется уравнение совместности перемещений.

4. Рассматривается физическая сторона задачи. Условно принимая, что реакции R 1 и R 2 известны, определяются нормальные силы на участках

На основе закона Р.Гука записываются выражения перемещений на каждом участке, и затем составляется уравнение совместности перемещений в развёрнутом виде:

Рис.10. Заданный стержень, расчетная схема стержня, эпюры нормальной силы, нормального напряжения и перемещений

5. Совместное решение уравнения равновесия и уравнения совместности перемещений в развёрнутом виде позволяет определить неизвестные реакции Статическая неопределимость стержня раскрыта.

6. Строятся эпюры N z , σ z , δ (рис 10). Записывается условие прочности

и определяется площадь поперечного сечения стержня

Пример 2. Абсолютно жёсткий брус шарнирно крепится к стержням и опирается на шарнирно неподвижную опору (рис. 11,а). К брусу приложена сила F. Требуется раскрыть статическую неопределимость стержневой системы и определить величину допускаемой силы [F].

Исходные данные: длины стержней и длины участков бруса заданы в долях а , площади поперечного сечения стержней A 1 = 2A и A 2 =А, модуль упругости материала стержней Е, допускаемое напряжение .

Рис.11,а Рис. 11,б

1. Заданная стержневая система один раз статически неопределима, поскольку неизвестных реакций четыре - Н, R, R 1 , R 2 , а уравнений равновесия для плоской системы сил - три.

2. Рассматривается статическая сторона задачи (рис. 11,6). Составляются уравнения равновесия

3. Анализируется геометрическая сторона задачи (рис. 11,в) и составляется уравнение совместности перемещений. Из подобия треугольников имеем:

4. Рассматривается физическая сторона задачи. На основе закона Р.Гука определяются выражения деформаций , и затем записывается уравнение совместности перемещений в развёрнутом виде:

5. Совместное решение уравнений равновесия и развёрнутого уравнения совместности перемещений позволяет определить величины усилий в стержнях через внешнюю нагрузку N 1 =0,442P, N 2 = 0,552Р. Статическая неопределимость системы раскрыта.

Из условия прочности I стержня

допускаемая нагрузка равна

Из условия прочности II стержня

допускаемая нагрузка равна

Окончательно принимаем для стержневой системы меньшее значение . При этом рабочие напряжения во II стержне будут равны допускаемым, а первый стержень будет недогружен.

Вопросы и задания для самопроверки,

1. Какие стержни и стержневые системы называются статически неопределёнными?

2. Как определяется степень статической неопределимости?

3. Что представляют собой уравнения совместности перемещений?

4. Какие усилия и напряжения называются монтажными?

5. Какие усилия и напряжения называются температурными?

6. Перечислите основные этапы расчётов на прочность и жёсткость ста­тически неопределимых систем при растяжении (сжатии).

ВАРИАНТЫ РАСЧЕТНО - ПРОЕКТИРОВОЧНОЙ РАБОТЫ

РАСЧЕТЫ СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫХ СТЕРЖНЕЙ И СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТ­КОСТЬ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ (СЖАТИИ)

Абсолютно жесткий брус К, нагруженный силами F;, удерживается в равновесии стальными стержнями длиной щ и крепится посредством опор­ных устройств. Требуется выполнить проектировочный расчет (найти пло­щади поперечных сечений стержней).

Последняя цифра соответствует номеру схемы (рис. 12... 14).

Данные варианта приведены в таблице 3.

В расчетах принять: Р =10 кН.

Таблица 3. Данные к задаче РПР

Статически неопределимыми системами называются стержневые системы, для определения реакций опор в которых только уравнений равновесия недостаточно. С кинематической точки зрения это такие стержневые системы, число степеней свободы которых меньше числа связей. Для раскрытия статической неопределимости таких систем необходимо составлять дополнительные уравнения совместности деформаций. Число таких уравнений определяется числом статической неопределимости стержневой системы. На рис.8.14 приведены примеры статически неопределимых балок и рам.

Балка, изображенная на рис.8.14б, называется неразрезной балкой. Происходит это название оттого, что промежуточная опора лишь подпирает балку. В месте опоры балка не разрезана шарниром, шарнир не врезан в тело балки. Поэтому влияние напряжений и деформаций, которые балка испытывает на левом пролете, сказываются и на правом пролете. Если в месте промежуточной опоры врезать шарнир в тело балки, то в результате система станет статически определимой  из одной балки мы получим две независимые друг от друга балки, каждая из которых будет статически определимой. Следует отметить, что неразрезные балки являются менее материалоемкими по сравнению с разрезными, так как более рационально распределяют изгибающие моменты по своей длине. В связи с этим неразрезные балки получили широкое применение в строительстве и машиностроении. Однако, неразрезные балки, будучи статически неопределимыми, требуют специальной методики расчета, включающей в себя использование деформаций системы.

Прежде, чем приступать к расчету статически неопределимых систем, необходимо научиться определять степень их статической неопределимости. Одним из наиболее простых правил определения степени статической неопределимости является следующее:

, (8.3)

где  число связей, накладываемых на конструкцию;  число возможных независимых уравнений равновесия, которые можно составить для рассматриваемой системы.

Воспользуемся уравнением (8.3) для определения степени статической неопределимости систем, изображенных на рис 8.14.

Балка, изображенная на рис 8.14а, является один раз статически неопределимой, так как имеет три связи на левой опоре и одну связь на правой опоре. Независимых уравнений равновесия для такой балки можно составить только три. Таким образом, степень статической неопределимости балки
. Неразрезная балка, изображенная на рис 8.14б также один раз статически неопределима, так как обладает двумя связями на левой опоре и по одной связи на промежуточной опоре и на правой опоре – всего четыре связи. Таким образом, степень ее статической неопределимости
.

Рама, изображенная на рис. 8.14в, три раза статически неопределима, так как обладает шестью связями в опорах. Независимых уравнений равновесия для этой рамы можно составить только три. Таким образом, степень статической неопределимости для этой рамы из уравнения (8.3) равна:
. Степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис.8.18,г равна четырем, так как рама обладает семью связями на опорах. Следовательно, степень ее статической неопределимости равна
.

Правило (8.3) для определения степени статической неопределимости применяют только для простых систем. В более сложных случаях это правило не работает. На рис 8.15 представлена рама, степень статической неопределимости которой, пользуясь уравнением (8.3), определить невозможно.

Внешне, система, приведенная на рис 8.15, пять раз статически неопределима. Это легко установить с помощью уравнения (8.3): из шести внешних связей (три в сечении А, три в сечении В и два в сечении С) вычитаются три возможные уравнения равновесия. Однако, эта система обладает еще и внутренней статической неопределимостью. Учесть внутреннюю статическую неопределимость с помощью уравнения (8.3) нельзя. Прежде, чем перейти к определению степени статической неопределимости рамы, изображенной на рис 8.15, введем несколько определений. Первое из этих определений включает в себя понятие о простом шарнире.

Простым называется шарнир, соединяющий два стержня (Рис.8.16).

Рис.8.16. Простой шарнир

Шарнир, соединяющий несколько стержней, называется сложным (Рис.8.17).

Рис.8.17. Сложный шарнир

Число простых шарниров, которые могут заменить один сложный шарнир, определим из формулы:

, (8.4)

где
 число стержней, входящих в узел.

Пересчитаем сложный шарнир, изображенный на рис.8.17 в число простых шарниров с помощью формулы (8.4):
. Таким образом, сложный шарнир, изображенный на рис.8.17, можно заменить четырьмя простыми шарнирами.

Введем еще одно понятие  замкнутый контур .

Докажем теорему: любой замкнутый контур три раза статически неопределим.

Для доказательства теоремы рассмотрим замкнутый контур, нагруженный внешними силами (Рис.8.18).

Разрежем замкнутый контур вертикальным сечением и покажем внутренние силовые факторы, возникающие в месте сечения. В каждом из сечений возникают три внутренних фактора: поперечная сила , изгибающий момент
и продольная сила
. Всего на каждую из отсеченных частей контура кроме внешних сил действуют шесть внутренних факторов (Рис.8.18,б,в). Рассматривая равновесие одной из отсеченных частей, например, левой (Рис.8.18,б), выясняем, что задача три раза статически неопределима, так как для отсеченной части можно составить всего три независимых уравнения равновесия, а неизвестных сил, действующих на отсеченную часть, шесть. Таким образом, степень статической неопределимости замкнутого контура равна
. Теорема доказана.

Теперь, используя понятие о простом шарнире и замкнутом контуре, можно сформулировать еще одно правило для определения степени статической неопределимости:

, (8.5)

где
 число замкнутых контура;
 число шарниров в пересчете на простые (8.4).

Пользуясь уравнением (8.5), определим степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис 8.15. Рама имеет пять контуров
, включая контур, образуемый опорными стержнями. Шарнир в узле D простой, так как соединяет два стержня. Шарнир в сечении К – сложный, так как соединяет четыре стержня. Число простых шарниров, которые могли бы заменить шарнир в сечении К, равно по формуле (8.4):
. Шарнир С также является сложным, так как соединяет три стержня. Для этого шарнира
. Кроме того, система имеет еще два простых шарнира, с помощью которых крепится к основанию. Таким образом, число простых шарниров в системе равно
. Подставляя число замкнутых контуров
и число простых шарниров
в формулу (8.5) определяем степень статической неопределимости рамы:
. Таким образом, изображенная на рис. 8.15 рама, семь раз статически неопределима. А это означает, что для расчета подобной системы необходимо составить дополнительно к трем уравнениям равновесия семь уравнений совместности деформаций. Решая полученную таким образом систему из 10 уравнений относительно неизвестных, входящих в эти уравнения, можно определить как величины реакций во внешних связях, так и внутренние усилия, возникающие в раме. Процедуру решения этой задачи можно несколько упростить, исключив из системы уравнений уравнения равновесия. Однако такой подход требует применения специальных методов решения, одним из которых является метод сил.

Общие сведения

Расчет статически неопределимых систем методом сил начинают с вы­явления степени статической неопределимости. Степень статической не­определимости любой системы может быть установлена по формуле, которая для выявления степени статической неопределимости рам будет иметь вид:

Л = 3К - Ш, (23)

где Л – число лишних связей, К – число контуров, а для неразрезных балок - формулой (24):

Л = С оп - 3, (24)

где С оп - число опорных стержней.

Остановимся на применении формулы (23).

Пример 7.1.

Пользуясь формулой (23), опреде­лить степень статической неопределимости рамы, изображенной на рис. 7.1.

Рис. 7.1. Рама

Решение

Рама состоит из двух замкнутых контуров I и II. Шарнирно-неподвижная опора А равноценна одному простому шарниру, шарнирно-подвижная опора В - двум шарнирам. Следова­тельно, Ш= 1 + 2 = 3.

Степень статической неопределимости Л = 3К - Ш=3∙2 - 3 ==3 - рама трижды ста­тически неопределима.

Пример 7.2.

Определить степень статической неопределимости рамы, приведенной на рис. 7.2.

Рис. 7.2. 3-х контурная рама. Рис. 7.3. 6-ти контурная рама

Решение

Рама имеет три замкнутых контура (I, II и III). Сум­марное число шарниров Ш = 6 (два простых шарнира - Е и F и две шарнирно подвижные опоры -A и D). Число лишних связей Л =3∙3 - 6=3. Следовательно, рама трижды статически неопределима.

Пример 7.3.

Определить степень статической неопределимости рамы, изображённой на рис. 7.3.

Решение

В этой раме шесть замкнутых контуров. Простых шар­ниров - три (шарниры F,H и I ). Шарнир G - двукратный, как соединяю­щий три стержня. Каждая из шарнирно-подвижных опор А, В, D и Е эквивалентна двум простым шарнирам, а шарнирно-неподвижная опора С - одному. Следовательно, Ш = 1∙3 + 2∙1 + 2∙4 + 1 =14. Тогда степень статической неопределимости Л =3∙6-14 =4. Таким образом, рама имеет четыре лишние связи, т. е. является четырежды статически неопределимой.

После того как будет установлена степень статической неопределимости, выбирают основную систему.

Выбор основной системы

Основной системой будем называть геометрически неизме­няемую статически определимую систему, полученную из заданной стати­чески неопределимой путем устранения лишних связей и нагрузки.

На рис. 7.4., а показана статически неопределимая рама - заданная система. Степень статической неопределимости этой системы:

Л = 3К - Ш =3∙1-0 =3.

Следовательно, чтобы из заданной системы получить основную систему, надо освободить раму от нагрузки q и отбросить три лишние связи; по­следнее может быть выполнено различными способами, но в результате применения любого из них полученная основная система должна быть геометрически неизменяемой.

Так, например, на рис. 7.4., б показана основная система, полученная путем устранения нагрузки q и правой защемляющей опоры В, эквивалент­ной трем лишним связям.

Рис. 7.4. Выбор основной системы

Теперь сечение В основной системы может перемещаться по горизонталь­ному и вертикальному направлениям и поворачиваться в плоскости рамы на некоторый угол, т. е. в основной системе стали возможными те перемещения, которым в заданной системе препятствует правая защемляющая опора.

Чтобы устранить различие между заданной и основной системами, поступим так, как показано на рис. 7.4., в: нагрузим основную систему заданной нагрузкой q и вточке В ее, по направлениям указанных переме­щений сечения В, приложим соответствующие им пока неизвестные, горизонтальную и вертикальную силы Х 1 ; Х 2 и момент Х 3 .

Величины Х 1 ; Х 2 ; X 3 называются лишними неизвестными и являются искомыми реакциями лишних связей, заменяющими действие отброшен­ных лишних связей на заданную систему.

Обращаем внимание, на то, что основная система, нагружен­ная заданной нагрузкой и лишними неизвестными, в отношении внут­ренних усилий и перемещений эквивалентна заданной статически неопре­делимой.

Кроме того, условимся в дальнейшем, как это принято в практических расчетах, основную систему на отдельном рисунке не изображать и взамен ее приводить рисунок выбранной основной системы, нагруженной задан­ной нагрузкой и лишними неизвестными.

Далее составляют уравнения совместности перемещений, каждое из которых должно выражать условие равенства нулю суммарного пере­мещения по направлению той или иной, отброшенной связи (неизвестной силы) от заданной нагрузки и всех лишних неизвестных. Эти уравнения, написанные в определенной, раз навсегда установленной форме, называют каноническими уравнениями метода сил. Число их должно равняться числу отброшенных связей. Для рассматриваемой рамы необходимо составить, таким образом, три канонических уравнения, имеющих следующий вид:

δ 11 X 1 + δ 12 X 2 + δ 13 X 3 + ∆ 1 p = 0

δ 21 X 1 + δ 22 X 2 + δ 23 X 3 + ∆ 2 p = 0 (25)

δ 31 X 1 + δ 32 X 2 + δ 33 X 3 + ∆ 3 p = 0

Где δ 11 -перемещение точки приложения силы X 1 по направлению этой силы от единичной силы = 1;

δ 11 X 1 -перемещение той же точки в том же направлении, вызванное полным значением X 1 ;

δ 12 - перемещение точки приложения силы X 1 по направлению этой силы, вызванное единич­ной силой

δ 12 X 2 - перемещение той же точки в том же направле­нии, вызванное полным значением силы Х 2 ;

δ 13 - перемещение точки приложения силы Х х по направлению этой силы от единичной силы = 1;

δ 13 X 3 - перемещение той же точки в том же направлении, вызван­ное полным значением силы Х 3 ;

∆ 1 p -перемещение той же точки в том же направлении, вызванное заданной нагрузкой; δ 21 X 1 - перемещение точки приложения силы Х 2 по направлению этой силы, вызванное силой X 1 , и т. д.

Следует иметь в виду, что один раз составленные в общем виде п канонических уравнений с п неизвестными применимы для любой п раз стати­чески неопределимой системы. Так, уравнения (25) справедливы для любой трижды статически неопределимой системы.

Составив канонические уравнения метода сил, следует перейти к вы­числению единичных δ ik и грузовых ∆ ip перемещений.

Для этого предварительно введем понятия о грузовом и единичном состояниях основной системы.

Грузовым назовем то состояние основной системы, при котором она находится только под действием заданной нагрузки.

Единичным будем называть состояние основной системы, при ко­тором она нагружена только одной силой, равной единице е = 1, дейст­вующей в направлении неизвестной реакции X t .

Заметим, что число единичных состояний основной системы должно соответствовать степени статической неопределимости заданной системы,

т. е. числу лишних неизвестных. Изобразив на рисунках грузовое и отдельно все единичные состояния основной системы, строят соответствующие им грузовую М р и единичные M 1 , M 2 , ..., М п эпюры изгибающих моментов.

Наконец, используя способ перемножения эпюр, вычисляют единич­ные δ ik и грузовые ∆ ip перемещения.

Перемножая эпюры, следует помнить, что на основании теоремы о взаимности пере­мещений (теоремы Максвелла) единичные перемещения с взаимно пере­ставленными индексами равны между собой, т. е. δ ik = δ ki .

Вычисленные значения δ ik и ∆ ip подставляют в канонические уравнения и решают полученную систему уравнений, в результате чего нахо­дят значения неизвестных реакций связей X 1 , X 2 , ..., Х п.

Нагрузив те­перь основную систему заданной нагрузкой и уже известными силами X 1 = А 1 ;Х 2 = А 2 , ..., Х п = А п, строят обычным путем (как для статиче­ски определимой системы) эпюры Q, М и N, которые и являются оконча­тельными эпюрами поперечных сил, изгибающих моментов и продольных сил для заданной системы.

Окончательную эпюру изгибающих моментов можно также получить путем суммирования ординат эпюры М р с соответствующими ординатами эпюры

После определения неизвестных можно сразу получить эпюру М, по которой построить эпюру Q, а продольные силы определить из условий равновесия вырезаемых узлов рамы. Опорные реакции в этом случае находят в последнюю очередь, используя эпюры Q, М и N,

Умноженными на X 1 , ординатами эпюры , умноженными на Х 2 ..., и ординатами эпюры , умноженными на Х п, т. е.

Единичные перемещения с одинаковыми индексами (δ 11 , δ 22 , δ 33 и т.д.) принято называть главными перемещениями , а с разными индексами

(δ 12 , δ 13 , δ 23 и т.д.) - побочными .

Главные перемещения никогда не обращаются в нуль и всегда имеют положительное значение, так как в этом случае эпюры умножаются сами на себя, т. е. и площадь ω и ордината у берутся из одной и той же эпюры.

Побочные перемещения могут быть положительными, отрицательными, а при удачном выборе основной системы и равными нулю. В последнем случае в значительной мере сокращаются и упрощаются операции по вы­числению перемещений.

На рис. 7.4., б основная система выбрана неудачно, так как для нее ни одно из побочных перемещений не обратится в нуль. Ниже эта рама будет рассчитана, при более рациональном выборе основной системы.