Teoremas de seno e cosseno para triângulos retângulos. Teorema dos cossenos, senos: formulação, consequências e exemplos
A trigonometria é amplamente utilizada não apenas na seção de álgebra - o início da análise, mas também na geometria. A este respeito, é razoável assumir a existência de teoremas e suas provas relacionadas com funções trigonométricas. Na verdade, os teoremas dos cossenos e senos derivam de relações muito interessantes e, o mais importante, úteis, entre os lados e os ângulos dos triângulos.
Usando esta fórmula, você pode derivar qualquer um dos lados do triângulo:
A prova da afirmação é derivada com base no teorema de Pitágoras: quadrado da hipotenusa igual à soma quadrados de pernas.
Considere um triângulo arbitrário ABC. Do vértice C baixamos a altura h até a base da figura, neste caso seu comprimento não é absolutamente importante; Agora, se considerarmos um triângulo arbitrário ACB, então podemos expressar as coordenadas do ponto C através funções trigonométricas porque e pecado.
Vamos lembrar a definição de cosseno e anotar a razão dos lados do triângulo ACD: cos α = AD/AC | multiplique ambos os lados da igualdade por AC; AD = AC * cos α.
Tomamos o comprimento AC como b e obtemos uma expressão para a primeira coordenada do ponto C:
x = b * cosα. Da mesma forma, encontramos o valor da ordenada C: y = b * sin α. A seguir, aplicamos o teorema de Pitágoras e expressamos h alternadamente para o triângulo ACD e DCB:
É óbvio que ambas as expressões (1) e (2) são iguais entre si. Vamos igualar os lados direitos e apresentar outros semelhantes:
Na prática, esta fórmula permite encontrar o comprimento do lado desconhecido de um triângulo a partir de determinados ângulos. O teorema do cosseno tem três consequências: para ângulos retos, agudos e obtusos de um triângulo.
Substituímos o valor de cos α pela variável usual x, então para o ângulo agudo do triângulo ABC obtemos:
Se o ângulo for correto, então 2bx desaparecerá da expressão, pois cos 90° = 0. Graficamente, a segunda consequência pode ser representada da seguinte forma:
No caso de um ângulo obtuso, o sinal “-” antes do argumento duplo na fórmula mudará para “+”:
Como pode ser visto na explicação, não há nada complicado nos relacionamentos. O teorema do cosseno nada mais é do que uma tradução do teorema de Pitágoras em quantidades trigonométricas.
Aplicação prática do teorema
Exercício 1. Dado um triângulo ABC, cujo lado BC = a = 4 cm, AC = b = 5 cm e cos α = ½. Você precisa encontrar o comprimento do lado AB.
Para fazer o cálculo corretamente, é necessário determinar o ângulo α. Para isso, deve-se consultar a tabela de valores das funções trigonométricas, segundo a qual o arco cosseno é igual a 1/2 para um ângulo de 60°. Com base nisso, utilizamos a fórmula do primeiro corolário do teorema:
Tarefa 2. Para o triângulo ABC, todos os lados são conhecidos: AB =4√2,BC=5,AC=7. Você precisa encontrar todos os ângulos da figura.
Neste caso, não se pode prescindir de um desenho das condições do problema.
Como os valores dos ângulos permanecem desconhecidos, você deve usar fórmula completa para um ângulo agudo.
Por analogia, não é difícil criar fórmulas e calcular os valores de outros ângulos:
A soma dos três ângulos do triângulo deve ser 180°: 53 + 82 + 45 = 180, portanto, a solução foi encontrada.
Teorema dos senos
O teorema afirma que todos os lados triângulo arbitrário proporcional aos senos de ângulos opostos. As relações são escritas na forma de tripla igualdade:
A prova clássica da afirmação é realizada usando o exemplo de uma figura inscrita em um círculo.
Para verificar a veracidade da afirmação usando o exemplo do triângulo ABC da figura, é necessário confirmar o fato de que 2R = BC / sen A. Em seguida, prove que os outros lados estão relacionados aos senos de ângulos opostos, como 2R ou D de um círculo.
Para fazer isso, desenhe o diâmetro do círculo a partir do vértice B. Pela propriedade dos ângulos inscritos em um círculo, ∠GCB é uma linha reta e ∠CGB é igual a ∠CAB ou (π - ∠CAB). No caso do seno, esta última circunstância não é significativa, pois sin (π –α) = sin α. Com base nas conclusões acima, pode-se afirmar que:
sen ∠CGB = BC/ BG ou sen A = BC/2R,
Se considerarmos outros ângulos da figura, obtemos uma fórmula estendida para o teorema dos senos:
As tarefas típicas para praticar o teorema do seno resumem-se a encontrar um lado ou ângulo desconhecido de um triângulo.
Como pode ser visto nos exemplos, a resolução de tais problemas não é difícil e consiste na realização de cálculos matemáticos.
Começaremos nosso estudo de trigonometria com triângulo retângulo. Vamos definir o que são seno e cosseno, bem como tangente e cotangente de um ângulo agudo. Este é o básico da trigonometria.
Deixe-nos lembrá-lo que ângulo certoé um ângulo igual a 90 graus. Em outras palavras, meio ângulo virado.
Canto afiado- menos de 90 graus.
Ângulo obtuso- superior a 90 graus. Em relação a tal ângulo, “obtuso” não é um insulto, mas um termo matemático :-)
Vamos desenhar um triângulo retângulo. Um ângulo reto é geralmente denotado por . Observe que o lado oposto ao canto é indicado pela mesma letra, apenas pequena. Assim, o lado oposto ao ângulo A é designado .
O ângulo é indicado pela letra grega correspondente.
Hipotenusa de um triângulo retângulo é o lado oposto ao ângulo reto.
Pernas- lados opostos a ângulos agudos.
A perna oposta ao ângulo é chamada oposto(em relação ao ângulo). A outra perna, que fica em um dos lados do ângulo, é chamada adjacente.
Seio O ângulo agudo em um triângulo retângulo é a razão entre o lado oposto e a hipotenusa:
Cossenoângulo agudo em um triângulo retângulo - a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa:
Tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo - a razão entre o lado oposto e o adjacente:
Outra definição (equivalente): a tangente de um ângulo agudo é a razão entre o seno do ângulo e seu cosseno:
Co-tangenteângulo agudo em um triângulo retângulo - a razão entre o lado adjacente e o oposto (ou, o que é o mesmo, a razão entre cosseno e seno):
Observe as relações básicas para seno, cosseno, tangente e cotangente abaixo. Eles serão úteis para nós na resolução de problemas.
Vamos provar alguns deles.
Ok, demos definições e escrevemos fórmulas. Mas por que ainda precisamos de seno, cosseno, tangente e cotangente?
Nós sabemos isso a soma dos ângulos de qualquer triângulo é igual a.
Conhecemos a relação entre festas triângulo retângulo. Este é o teorema de Pitágoras: .
Acontece que conhecendo dois ângulos em um triângulo, você pode encontrar o terceiro. Conhecendo os dois lados de um triângulo retângulo, você pode encontrar o terceiro. Isso significa que os ângulos têm sua própria proporção e os lados têm a sua própria. Mas o que você deve fazer se em um triângulo retângulo você conhece um ângulo (exceto o ângulo reto) e um lado, mas precisa encontrar os outros lados?
Isso é o que as pessoas encontravam no passado ao fazer mapas da área e do céu estrelado. Afinal, nem sempre é possível medir diretamente todos os lados de um triângulo.
Seno, cosseno e tangente - também são chamados funções de ângulo trigonométrico- dar relações entre festas E cantos triângulo. Conhecendo o ângulo, você pode encontrar todas as suas funções trigonométricas usando tabelas especiais. E conhecendo os senos, cossenos e tangentes dos ângulos de um triângulo e um de seus lados, você pode encontrar o resto.
Também traçaremos uma tabela dos valores de seno, cosseno, tangente e cotangente para ângulos “bons” de a.
Observe os dois traços vermelhos na tabela. Em valores de ângulo apropriados, tangente e cotangente não existem.
Vejamos vários problemas de trigonometria do Banco de Tarefas FIPI.
1. Em um triângulo, o ângulo é , . Encontrar .
O problema é resolvido em quatro segundos.
Porque o , .
2. Em um triângulo, o ângulo é , , . Encontrar .
Vamos encontrá-lo usando o teorema de Pitágoras.
O problema está resolvido.
Freqüentemente, nos problemas existem triângulos com ângulos e ou com ângulos e. Lembre-se de cor das proporções básicas para eles!
Para um triângulo com ângulos e o cateto oposto ao ângulo em é igual a metade da hipotenusa.
Um triângulo com ângulos e é isósceles. Nele, a hipotenusa é vezes maior que a perna.
Vimos problemas para resolver triângulos retângulos - isto é, encontrar lados ou ângulos desconhecidos. Mas isso não é tudo! EM Opções do Exame Estadual Unificado em matemática existem muitos problemas onde aparece o seno, cosseno, tangente ou cotangente do ângulo externo de um triângulo. Mais sobre isso no próximo artigo.
Nem todos os alunos, e principalmente os adultos, sabem que o teorema do cosseno está diretamente relacionado ao teorema de Pitágoras. Mais precisamente, este último é um caso especial do primeiro. Este ponto, bem como duas maneiras de provar o teorema do cosseno, irão ajudá-lo a se tornar mais pessoa experiente. Além disso, a prática em expressar quantidades a partir de expressões iniciais desenvolve-se bem pensamento lógico. A longa fórmula do teorema em estudo certamente o forçará a trabalhar duro e melhorar.
Iniciando uma conversa: introduzindo notação
Este teorema é formulado e comprovado para um triângulo arbitrário. Portanto, pode sempre ser utilizado, em qualquer situação, se forem dados dois lados, e em alguns casos três, e um ângulo, e não necessariamente entre eles. Qualquer que seja o tipo de triângulo, o teorema sempre funcionará.
E agora sobre a designação de quantidades em todas as expressões. É melhor concordar imediatamente, para não ter que explicar várias vezes depois. A tabela a seguir foi compilada para esse propósito.
Formulação e notação matemática
Portanto, o teorema do cosseno é formulado da seguinte forma:
O quadrado de um lado de qualquer triângulo é igual à soma dos quadrados dos seus outros dois lados menos o dobro do produto desses mesmos lados e o cosseno do ângulo entre eles.
Claro que é longo, mas se você entender sua essência, será fácil de lembrar. Você pode até imaginar desenhar um triângulo. É sempre mais fácil lembrar visualmente.
A fórmula deste teorema ficará assim:
Um pouco longo, mas tudo é lógico. Se você olhar um pouco mais de perto, verá que as letras se repetem, o que significa que não é difícil lembrar.
Prova comum do teorema
Como isso é verdade para todos os triângulos, você pode escolher qualquer um dos tipos de raciocínio. Que seja uma figura com todos cantos afiados. Considere um arbitrário Triângulo agudo, cujo ângulo C é maior que o ângulo B. Do vértice com este maior ângulo você precisa abaixar a perpendicular a o lado oposto. A altura desenhada dividirá o triângulo em dois retângulos. Isso será necessário para comprovação.
O lado será dividido em dois segmentos: x, y. Eles precisam ser expressos em termos de quantidades conhecidas. A parte que termina em um triângulo com hipotenusa igual a b será expressa através da notação:
x = b * cos A.
O outro será igual a esta diferença:
y = c - in * cos A.
Agora você precisa escrever o teorema de Pitágoras para os dois triângulos retângulos resultantes, tomando a altura como o valor desconhecido. Essas fórmulas ficarão assim:
n 2 = em 2 - (em * cos A) 2,
n 2 = a 2 - (c - b * cos A) 2.
Essas igualdades contêm as mesmas expressões à esquerda. Isso significa que seus lados direitos também serão iguais. É fácil anotar. Agora você precisa abrir os colchetes:
em 2 - em 2 * (cos A) 2 = a 2 - c 2 + 2 c * em * cos A - em 2 * (cos A) 2.
Se você fizer aqui a transferência e redução de termos semelhantes, obterá a fórmula inicial, que é escrita após a formulação, ou seja, o teorema do cosseno. A prova está completa.
Prova do teorema usando vetores
É muito mais curto que o anterior. E se você conhece as propriedades dos vetores, o teorema do cosseno para um triângulo será provado de forma simples.
Se os lados a, b, c são designados pelos vetores BC, AC e AB, respectivamente, então a igualdade é válida:
AC = AC - AB.
Agora você precisa seguir alguns passos. A primeira delas é elevar ao quadrado ambos os lados da igualdade:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB.
Então a igualdade precisa ser reescrita na forma escalar, levando em consideração que o produto dos vetores é igual ao cosseno do ângulo entre eles e seus valores escalares:
BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2 AC * AB * cos A.
Resta apenas retornar à notação antiga e novamente obteremos o teorema do cosseno:
a 2 = b 2 + c 2 - 2 * b * c * cos A.
Fórmulas para outros lados e todos os ângulos
Para encontrar o lado, você precisa extrair a raiz quadrada do teorema do cosseno. A fórmula para os quadrados de um dos outros lados ficará assim:
c 2 = a 2 + b 2 - 2 * a * b * cos C.
Para escrever a expressão para o quadrado de um lado V, você precisa substituir na igualdade anterior Com sobre V, e vice-versa, e coloque o ângulo B sob o cosseno.
A partir da fórmula básica do teorema, podemos expressar o valor do cosseno do ângulo A:
cos A = (em 2 + c 2 - a 2) / (2 em * c).
As fórmulas para outros ângulos são derivadas de forma semelhante. Esse boa prática, então você pode tentar escrevê-los você mesmo.
Naturalmente, não há necessidade de memorizar estas fórmulas. Basta compreender o teorema e a capacidade de derivar essas expressões a partir de sua notação principal.
A fórmula original do teorema permite encontrar o lado se o ângulo não estiver entre dois conhecidos. Por exemplo, você precisa encontrar V, quando os valores são dados: uma, c, uma. Ou desconhecido Com, mas há significados uma, b, uma.
Nesta situação, você precisa transferir todos os termos da fórmula para lado esquerdo. Você obtém a seguinte igualdade:
с 2 - 2 * в * с * cos À + в 2 - а 2 = 0.
Vamos reescrevê-lo de uma forma ligeiramente diferente:
c 2 - (2 * in * cos A) * c + (in 2 - a 2) = 0.
Pode ser facilmente visto Equação quadrática. Há uma quantidade desconhecida nele - Com, e todo o resto é dado. Portanto, basta resolvê-lo usando um discriminante. Desta forma o lado desconhecido será encontrado.
A fórmula para o segundo lado é obtida de forma semelhante:
em 2 - (2 * c * cos A) * em + (c 2 - a 2) = 0.
A partir de outras expressões, tais fórmulas também são fáceis de obter de forma independente.
Como você pode descobrir o tipo de ângulo sem calcular o cosseno?
Se você observar atentamente a fórmula do cosseno do ângulo derivada anteriormente, notará o seguinte:
- o denominador de uma fração é sempre um número positivo, pois contém o produto dos lados que não pode ser negativo;
- o valor do ângulo dependerá do sinal do numerador.
O ângulo A será:
- agudo numa situação em que o numerador é maior que zero;
- estúpido se esta expressão for negativa;
- direto quando é igual a zero.
A propósito, a última situação transforma o teorema do cosseno no teorema de Pitágoras. Porque para um ângulo de 90º seu cosseno é igual a zero, e o último termo desaparece.
Primeira tarefa
Doença
O ângulo obtuso de algum triângulo arbitrário é 120º. Sobre os lados pelos quais é limitado, sabe-se que um deles é 8 cm maior que o outro. O comprimento do terceiro lado é conhecido, é necessário encontrar o perímetro do triângulo.
Solução
Primeiro você precisa marcar um dos lados com a letra “x”. Neste caso, o outro será igual a (x + 8). Como existem expressões para todos os três lados, podemos usar a fórmula fornecida pelo teorema do cosseno:
28 2 = (x + 8) 2 + x 2 - 2 * (x + 8) * x * cos 120º.
Nas tabelas de cossenos você precisa encontrar o valor correspondente a 120 graus. Este será o número 0,5 com sinal de menos. Agora você precisa abrir os colchetes, seguindo todas as regras, e trazer termos semelhantes:
784 = x 2 + 16x + 64 + x 2 - 2x * (-0,5) * (x + 8);
784 = 2x 2 + 16x + 64 + x 2 + 8x;
3x 2 + 24x - 720 = 0.
Esta equação quadrática é resolvida encontrando o discriminante, que será igual a:
D = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.
Como seu valor é maior que zero, a equação tem duas respostas de raiz.
x 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;
x 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.
A última raiz não pode ser a resposta para o problema, pois o lado deve ser positivo.
Cada um de nós passou muitas horas resolvendo um ou outro problema de geometria. Claro, surge a pergunta: por que é necessário aprender matemática? A questão é especialmente relevante para a geometria, cujo conhecimento, se útil, é muito raro. Mas a matemática também tem um propósito para quem não pretende se tornar trabalhador. Ela obriga a pessoa a trabalhar e a se desenvolver.
O propósito original da matemática não era fornecer aos alunos conhecimento sobre o assunto. Os professores estabeleceram como objetivo ensinar as crianças a pensar, raciocinar, analisar e argumentar. Isto é exactamente o que encontramos na geometria com os seus numerosos axiomas e teoremas, corolários e provas.
Teorema do cosseno
Uso
Além das aulas de matemática e física, esse teorema é amplamente utilizado na arquitetura e na construção para calcular os lados e ângulos necessários. É usado para determinar dimensões necessárias edifícios e a quantidade de materiais que serão necessários para sua construção. É claro que a maioria dos processos que anteriormente exigiam participação e conhecimento humano direto são hoje automatizados. Há um grande número de programas que permitem simular tais projetos em um computador. A sua programação também é realizada tendo em conta todos leis matemáticas, propriedades e fórmulas.
