Médias estruturais. Características estruturais da série de variação da distribuição Como encontrar a mediana da distribuição

a opção localizada no centro da linha classificada é chamada.

A mediana divide a série em duas partes iguais, de modo que haja o mesmo número de unidades populacionais em cada lado dela. Ao mesmo tempo, em metade das unidades populacionais o valor da característica variável não é superior à mediana, na outra metade não é inferior. .

Para uma série discreta,

Encontramos a mediana usando o seguinte algoritmo:

Classificamos a série,

Se a amostra contém um número ímpar de elementos, a mediana é (n+1)/2-ésimo elemento

Se a amostra contiver um número par de elementos, a mediana situa-se entre os dois elementos centrais da amostra e é igual à média aritmética calculada sobre estes dois elementos.

Exemplo 1. Encontre a mediana de uma série discreta

16,13,15,10,19,22,25,12,18,14,19,14,16,10.

Solução. Classificamos a série: 10,10,12,13,14,14,15,16,16,18,19,19,22,25, a amostra contém um número par de elementos n=14, portanto a mediana fica entre os dois elementos intermediários da amostra - entre 7 elementos e 8 elementos:

10,10,12,13,14,14,15,16, 16,18,19,19,22,25

e é igual à média aritmética destes elementos:

Eu=(15+16)/2=15,5

Você pode encontrar a mediana de uma série discreta online usando esta calculadora. A calculadora classifica automaticamente as séries e calcula a mediana.

Ao calcular a mediana para séries de variação de intervalo Primeiro, determine o intervalo mediano dentro do qual a mediana está localizada e, em seguida, determine o valor da mediana usando a fórmula:

Exemplo 2. Encontre a mediana da série de intervalos:

Solução:

O intervalo mediano está na faixa etária de 25 a 30 anos, pois dentro desse intervalo existe uma opção que divide a população em duas partes iguais

(Σf i /2 = 3462/2 = 1731).

Isto significa que metade dos alunos tem menos de 27,4 anos e a outra metade tem mais de 27,4 anos.

PECULIARIDADES

• A mediana tem alta robustez, isto é, insensibilidade a heterogeneidades e erros de amostragem.
• A soma das diferenças entre os membros da série amostral e a mediana é menor que a soma dessas diferenças com qualquer outro valor. Incluindo a média aritmética.

Tarefa. Encontre o comprimento da mediana de um triângulo usando seus lados

Solução.

O problema tem duas maneiras de resolvê-lo. O primeiro, que não agrada aos professores do ensino médio, mas é o mais universal.

Método 1.

Apliquemos o Teorema de Stewart, segundo o qual o quadrado da mediana é igual a um quarto da soma do dobro dos quadrados dos lados dos quais se subtrai o quadrado do lado para o qual a mediana é desenhada.

M c 2 = (2a 2 + 2b 2 - c 2) / 4

Respectivamente

Mc 2 = (2 * 8 2 + 2 * 9 2 - 13 2) / 4
m c 2 = 30,25
m c = 5,5 cm

Método 2.

O segundo método de solução, apreciado pelos professores da escola, é a construção adicional de um triângulo a um paralelogramo e uma solução através do teorema das diagonais de um paralelogramo.

Vamos estender os lados do triângulo e a mediana, construindo-os em um paralelogramo. Neste caso, a mediana BO do triângulo ABC será igual à metade da diagonal do paralelogramo resultante, e os dois lados do triângulo AB, BC serão seus lados laterais. O terceiro lado do triângulo AC, para o qual a mediana foi traçada, é a segunda diagonal do paralelogramo resultante.

Segundo o teorema, a soma dos quadrados das diagonais de um paralelogramo é igual ao dobro da soma dos quadrados dos seus lados.

2(a 2 +b 2)=d 1 2 +d 2 2

Denotamos a diagonal do paralelogramo, que é formada pela continuação da mediana do triângulo original, como x, obtemos:

2(8 2 + 9 2) = 13 2 + x 2
290 = 169 +x2
x2 = 290 - 169
x2 = 121
x = 11

Como a mediana necessária é igual à metade da diagonal do paralelogramo, o valor da mediana do triângulo será 11/2 = 5,5 cm

Responder: 5,5 centímetros

Qual é a mediana de um conjunto de números? e como encontrar a mediana de 13, 19, 24, 17, 15, 11??? e obtive a melhor resposta

Resposta de Oliya Derkach[guru]
A mediana de um conjunto de números é o número que divide o conjunto em duas partes iguais. Em vez de “mediana”, você poderia dizer “meio”.
1. Você precisa escrever os números em ordem crescente (fazer uma série classificada)
11,13,15,17,19,24
2. Ao mesmo tempo, risque os números “maiores” e “menores” de um determinado conjunto de números até que restem um ou dois números.
3. Se sobrar um número, então é a mediana.
4. Se sobrarem dois números, a mediana será a média aritmética dos dois números restantes.
Eu=15+17/2=16

Resposta de SÃO. R.U.[ativo]
Organize-os em ordem crescente. O que estiver no meio será a mediana.
Se houver um número par deles (como no seu caso), a mediana será a média aritmética dos 2 números do meio.
11, 13, 15, 17, 19, 24
(15+17)/2=16.

Resposta de Usuário excluído[especialista]
organize os números em ordem e no meio da linha estará a sua “mediana” eles geralmente dão um número ímpar de números... e você tem 6 deles?

Resposta de 3 respostas[guru]

Olá! Aqui está uma seleção de tópicos com respostas à sua pergunta: qual é a mediana de um conjunto de números? e como encontrar a mediana de 13, 19, 24, 17, 15, 11???

Mediana- este é o valor do atributo que divide a série classificada da distribuição em duas partes iguais - com valores de atributos menores que a mediana e com valores de atributos maiores que a mediana. Para encontrar a mediana, você precisa encontrar o valor do atributo que está no meio da série ordenada.

Veja a solução para o problema de encontrar a moda e a mediana Você pode

Nas séries classificadas, dados desagrupados para encontrando a mediana são reduzidos a procurar o número de série da mediana. A mediana pode ser calculada usando a seguinte fórmula:

onde Xm é o limite inferior do intervalo mediano;
im - intervalo mediano;
Sme é a soma das observações acumuladas antes do início do intervalo mediano;
fme é o número de observações no intervalo mediano.

Propriedades da mediana

1. A mediana não depende dos valores dos atributos localizados em ambos os lados dela.
2. As operações analíticas com a mediana são muito limitadas, portanto, ao combinar duas distribuições com medianas conhecidas, é impossível prever antecipadamente o valor da mediana da nova distribuição.
3. A mediana tem propriedade da minimalidade. Sua essência reside no fato de que a soma dos desvios absolutos dos valores de x da mediana é o valor mínimo comparado ao desvio de X de qualquer outro valor

Definição gráfica de mediana

Para determinar medianas por método gráfico Eles usam frequências acumuladas a partir das quais é construída uma curva cumulativa. Os vértices das ordenadas correspondentes às frequências acumuladas são conectados por segmentos retos. Dividindo a última ordenada pela metade, que corresponde à soma total das frequências, e traçando uma intersecção perpendicular a ela com a curva cumulativa, encontra-se a ordenada do valor mediano desejado.

Determinando a moda nas estatísticas

Moda - o valor do atributo, que apresenta a maior frequência na série de distribuição estatística.

Definição de modaé produzido de diferentes maneiras, e isso depende se a característica variável é apresentada na forma de uma série discreta ou de intervalo.

Encontrando moda e a mediana é feita simplesmente olhando a coluna de frequência. Nesta coluna, encontre o maior número que caracteriza a frequência mais alta. Corresponde a um determinado valor do atributo, que é a moda. Em uma série de variação de intervalo, a moda é considerada aproximadamente a variante central do intervalo com a frequência mais alta. Em tal série de distribuição a moda é calculada pela fórmula:

onde XMo é o limite inferior do intervalo modal;
imo - intervalo modal;
fм0, fм0-1, fм0+1 - frequências nos intervalos modais, anteriores e seguintes.

O intervalo modal é determinado pela frequência mais alta.

A moda é amplamente utilizada na prática estatística ao analisar a demanda do consumidor, registrar preços, etc.

Relações entre média aritmética, mediana e moda

Para uma série simétrica unimodal, as distribuições, mediana e moda coincidem. Para distribuições assimétricas elas não são iguais.

K. Pearson, com base no alinhamento de vários tipos de curvas, determinou que para distribuições moderadamente assimétricas são válidas as seguintes relações aproximadas entre média aritmética, mediana e moda:

Digamos que você queira descobrir qual é o ponto médio médio em uma distribuição de notas de alunos ou em uma amostra de dados de controle de qualidade. Para calcular a mediana de um grupo de números, use a função MEDIANA.

A função MEDIANA mede a tendência central, que é o centro de um conjunto de números numa distribuição estatística. Existem três maneiras mais comuns de determinar a tendência central:

Valor médioé a média aritmética, que é calculada somando um conjunto de números e depois dividindo a soma resultante pelo seu número. Por exemplo, a média dos números 2, 3, 3, 5, 7 e 10 é 5, que é o resultado da divisão da soma de 30 pela soma de 6.

Medianaé um número que está no meio de um conjunto de números, ou seja, metade dos números tem valores maiores que a mediana, e metade dos números tem valores menores que a mediana. Por exemplo, a mediana para os números 2, 3, 3, 5, 7 e 10 seria 4.

Modaé o número que aparece com mais frequência em um determinado conjunto de números. Por exemplo, a moda dos números 2, 3, 3, 5, 7 e 10 seria 3.

Com uma distribuição simétrica de um conjunto de números, todos os três valores de tendência central coincidirão. Quando a distribuição de muitos números é tendenciosa, os valores podem ser diferentes.

As capturas de tela neste artigo são do Excel 2016. Se você estiver usando uma versão diferente, a interface poderá ser um pouco diferente, mas os recursos serão os mesmos.

Exemplo

Para facilitar a compreensão deste exemplo, copie-o em uma folha de papel em branco.

Conselho: Para alternar entre a visualização dos resultados e a visualização das fórmulas que retornam esses resultados, pressione CTRL+` (acento) ou na guia Fórmulas em grupo Dependências de fórmula Clique no botão Mostrar fórmulas.