Ondas elásticas estacionárias em um corpo anelar. Ondas estacionárias

Capítulo 7. Ondas Mecânicas

Ondas. Equação de onda

Além dos movimentos que já consideramos, em quase todas as áreas da física é encontrado mais um tipo de movimento - ondas. Característica distintiva O que torna este movimento único é que não são as próprias partículas de matéria que se propagam na onda, mas sim mudanças no seu estado (perturbações).

As perturbações que se propagam no espaço ao longo do tempo são chamadas ondas . As ondas são mecânicas e eletromagnéticas.

Ondas elásticasestão propagando perturbações de um meio elástico.

Uma perturbação de um meio elástico é qualquer desvio das partículas deste meio da posição de equilíbrio. As perturbações surgem como resultado da deformação do meio em algum lugar.

O conjunto de todos os pontos onde a onda atingiu este momento tempo, forma uma superfície chamada frente de onda .

De acordo com o formato da frente, as ondas são divididas em esféricas e planas. Direção a propagação da frente de onda é determinada perpendicular à frente da onda, chamada feixe . Para onda esférica os raios são um feixe radialmente divergente. Para uma onda plana, os raios são um feixe de linhas paralelas.

Em qualquer onda mecânica existem dois tipos de movimento simultaneamente: vibrações de partículas do meio e propagação de perturbações.

Uma onda em que as oscilações das partículas do meio e a propagação das perturbações ocorrem na mesma direção é chamada longitudinal (Fig. 7.2 A).

Uma onda na qual as partículas do meio oscilam perpendicularmente à direção de propagação das perturbações é chamada transversal (Fig. 7.2b).

Numa onda longitudinal, as perturbações representam compressão (ou rarefação) do meio, e numa onda transversal, representam deslocamentos (cisalhamentos) de algumas camadas do meio em relação a outras. As ondas longitudinais podem se propagar em todos os meios (líquidos, sólidos e gasosos), enquanto as ondas transversais podem se propagar apenas em meios sólidos.

Cada onda viaja a uma certa velocidade . Sob velocidade da onda υ compreender a velocidade de propagação da perturbação. A velocidade de uma onda é determinada pelas propriedades do meio em que a onda se propaga. EM sólidos velocidade ondas longitudinais maior que a velocidade lateral.

Comprimento de ondaλ é a distância pela qual uma onda se propaga em um tempo igual ao período de oscilação em sua fonte. Como a velocidade de uma onda é um valor constante (para um determinado meio), a distância percorrida pela onda é igual ao produto da velocidade pelo tempo de sua propagação. Então o comprimento de onda

Da equação (7.1) segue-se que as partículas separadas umas das outras por um intervalo λ oscilam na mesma fase. Então podemos dar a seguinte definição de comprimento de onda: comprimento de onda é a distância entre dois pontos mais próximos oscilando na mesma fase.

Vamos derivar uma equação para uma onda plana, que nos permite determinar o deslocamento de qualquer ponto da onda a qualquer momento. Deixe a onda se propagar ao longo do raio da fonte com uma certa velocidade v.

A fonte excita oscilações harmônicas simples, e o deslocamento de qualquer ponto da onda em qualquer momento é determinado pela equação

S = Asinωt (7,2)

Então, um ponto no meio localizado a uma distância x da fonte de onda também realizará oscilações harmônicas, mas com um atraso de tempo de uma quantidade, ou seja, o tempo necessário para que as vibrações se propaguem da fonte até este ponto. O deslocamento do ponto oscilante em relação à posição de equilíbrio em qualquer momento será descrito pela relação

Esta é a equação da onda plana. Esta onda é caracterizada os seguintes parâmetros:

· S - deslocamento da posição de equilíbrio do ponto do meio elástico ao qual a oscilação atingiu;

· ω - frequência cíclica de oscilações geradas pela fonte, com a qual os pontos do meio também oscilam;

· υ - velocidade de propagação da onda (velocidade de fase);

· x é a distância até o ponto do meio onde a oscilação atingiu e cujo deslocamento é igual a S;

· t – tempo contado desde o início das oscilações;

Ao introduzir o comprimento de onda λ na expressão (7.3), a equação da onda plana pode ser escrita da seguinte forma:

(7. 4)

Interferência de ondas. Ondas estacionárias. Equação de onda estacionária

As ondas estacionárias são formadas como resultado da interferência de duas ondas planas contrapropagantes de mesma frequência ω e amplitude A.

Imaginemos que no ponto S existe um vibrador a partir do qual uma onda plana se propaga ao longo do raio SO. Ao atingir o obstáculo no ponto O, a onda será refletida e seguirá na direção oposta, ou seja, Duas ondas planas viajantes se propagam ao longo do feixe: para frente e para trás. Essas duas ondas são coerentes, pois são geradas pela mesma fonte e, sobrepostas, interferem entre si.

O estado oscilatório do meio resultante da interferência é denominado onda estacionária.

Vamos escrever a equação das ondas progressivas para frente e para trás:

direto - ; reverter -

onde S 1 e S 2 são o deslocamento de um ponto arbitrário no raio SO. Levando em consideração a fórmula do seno da soma, o deslocamento resultante é igual a

Assim, a equação da onda estacionária tem a forma

O multiplicador de custo mostra que todos os pontos do meio no feixe SO realizam oscilações harmônicas simples com frequência. A expressão é chamada de amplitude da onda estacionária. Como você pode ver, a amplitude é determinada pela posição do ponto no raio SO (x).

Valor máximo amplitudes terão pontos para os quais

Ou (n = 0, 1, 2,….)

de onde, ou (4.70)

antinodos de ondas estacionárias .

Valor mínimo , igual a zero, terá aqueles pontos para os quais

Ou (n = 0, 1, 2,….)

de onde ou (4.71)

Pontos com tais coordenadas são chamados nós de ondas estacionárias . Comparando as expressões (4.70) e (4.71), vemos que a distância entre os antinodos vizinhos e os nós vizinhos é igual a λ/2.

Na imagem linha sólida mostra o deslocamento dos pontos oscilantes do meio em um determinado momento, a curva pontilhada mostra a posição desses mesmos pontos através de T/2. Cada ponto oscila com uma amplitude determinada pela sua distância do vibrador (x).

Ao contrário de uma onda progressiva, nenhuma transferência de energia ocorre em uma onda estacionária. A energia simplesmente passa de potencial (no deslocamento máximo dos pontos no meio da posição de equilíbrio) para cinética (à medida que os pontos passam pela posição de equilíbrio) dentro dos limites entre os nós que permanecem imóveis.

Todos os pontos de uma onda estacionária dentro dos limites entre os nós oscilam na mesma fase e de acordo com lados diferentes do nó - em antifase.

Ondas estacionárias surgem, por exemplo, em uma corda tensionada fixada em ambas as extremidades quando nela são excitadas vibrações transversais. Além disso, nos locais de fixação existem nós de onda estacionária.

Se uma onda estacionária é estabelecida em uma coluna de ar aberta em uma extremidade (onda sonora), então um antinodo é formado na extremidade aberta e um nó é formado na extremidade oposta.

Som. efeito Doppler

Ondas elásticas longitudinais que se propagam em gases, líquidos e sólidos são invisíveis. No entanto, sob certas condições, eles podem ser ouvidos. Portanto, se excitarmos as vibrações de uma longa régua de aço presa em um torno, não ouviremos as ondas por ela geradas. Mas se encurtarmos a parte saliente da régua e assim aumentarmos a frequência de suas oscilações, descobriremos que a régua começará a soar.

Ondas elásticas que causam sensações auditivas em humanos são chamadas ondas sonoras ou simplesmente som.

O ouvido humano é capaz de perceber elásticos ondas mecânicas com frequência ν de 16 Hz a 20.000 Hz. Ondas elásticas com frequência ν<16Гц называют инфразвуком, а волны с частотой ν>20.000 Hz – ultrassom.

Frequências na faixa de 16 Hz a 20.000 Hz são chamadas de frequências sonoras. Qualquer corpo (sólido, líquido ou gasoso) que vibra em uma frequência sonora cria ambiente onda sonora.

Em gases e líquidos, as ondas sonoras se propagam na forma de ondas longitudinais de compressão e rarefação. A compressão e rarefação do meio, resultante das vibrações da fonte sonora (cordas, pernas de diapasão, cordas vocais, etc.), após algum tempo atingem o ouvido humano e, fazendo com que o tímpano execute vibrações forçadas, causam certas vibrações auditivas sensações em uma pessoa.

No vácuo, as ondas sonoras não podem se propagar, pois não há nada para vibrar. Isto pode ser verificado em experiência simples. Se colocado sob uma tampa de vidro bomba de ar campainha elétrica, então, à medida que o ar for bombeado, descobriremos que o som ficará cada vez mais fraco até parar completamente.

Som em gases. Sabe-se que durante uma tempestade, primeiro vemos um relâmpago e só então ouvimos o estrondo de um trovão. Esse atraso ocorre porque a velocidade do som no ar é significativamente menor que a velocidade da luz. A velocidade do som no ar foi medida pela primeira vez pelo cientista francês Marin Mersen em 1646. A uma temperatura de +20ºС é igual a 343 m/s, ou seja, 1235 km/h.

A velocidade do som depende da temperatura do meio. Com o aumento da temperatura aumenta e com a diminuição da temperatura diminui.

A velocidade do som não depende da densidade do gás no qual o som viaja. No entanto, depende da massa de suas moléculas. Quanto maior a massa das moléculas do gás, menor a velocidade do som nela. Então, a uma temperatura

0 ºС a velocidade do som no hidrogênio é 1284 m/s, e em dióxido de carbono– 259m/s.

Som em líquidos. A velocidade do som nos líquidos é geralmente maior que a velocidade do som nos gases. A velocidade do som na água foi medida pela primeira vez em 1826. Os experimentos foram realizados no Lago Genebra, na Suíça. Em um barco eles atearam fogo à pólvora e ao mesmo tempo tocaram um sino baixado na água. O som deste sino, por meio de uma buzina especial, também baixada na água, foi captado em outro barco, que estava localizado a 14 km do primeiro. Com base na diferença de tempo entre o flash da luz e a chegada do sinal sonoro, foi determinada a velocidade do som na água. A uma temperatura de 8 ºС revelou-se igual a 1435 m/s.

Nos líquidos, a velocidade do som geralmente diminui com o aumento da temperatura. A água é uma exceção a esta regra. Nele, a velocidade do som aumenta com o aumento da temperatura e atinge o máximo na temperatura de 74 ºС, e com o aumento adicional da temperatura diminui.

É preciso dizer que o ouvido humano não “funciona” bem debaixo d'água. A maior parte do som é refletida no tímpano e, portanto, não causa sensações auditivas. Foi isto que deu aos nossos antepassados ​​a base para considerar o mundo subaquático um “mundo de silêncio”. Daí a expressão “burro como um peixe”. No entanto, Leonardo da Vinci também sugeriu ouvir sons subaquáticos colocando o ouvido em um remo mergulhado na água. Usando este método, você pode ver que os peixes são bastante falantes.

Som em sólidos. A velocidade do som nos sólidos é ainda maior do que nos líquidos. Somente aqui deve ser levado em conta que tanto longitudinal quanto ondas transversais. A velocidade dessas ondas, como sabemos, é diferente. Por exemplo, no aço, as ondas transversais se propagam a uma velocidade de 3.300 m/s e as ondas longitudinais a uma velocidade de 6.100 m/s. O fato de a velocidade do som em um corpo sólido ser maior que no ar pode ser verificado da seguinte forma. Se o seu amigo bater em uma das pontas do corrimão e você colocar o ouvido na outra ponta, serão ouvidos dois golpes. O som chegará primeiro ao seu ouvido através do trilho e depois pelo ar.

A terra tem boa condutividade. Portanto, antigamente, durante um cerco, eram colocados nas muralhas da fortaleza “ouvintes”, que, pelo som transmitido pela terra, podiam determinar se o inimigo estava cavando nas muralhas ou não. Colocar o ouvido no chão também permitia detectar a aproximação da cavalaria inimiga.

Além dos sons audíveis, crosta da terrra As ondas infra-sônicas também se espalham, que o ouvido humano não consegue mais perceber. Essas ondas podem ocorrer durante terremotos.

Ondas infra-sônicas poderosas, propagando-se tanto no solo quanto no ar, ocorrem durante erupções e explosões vulcânicas bombas atômicas. As fontes de infra-som também podem incluir vórtices de ar na atmosfera, descargas de carga, tiros, vento, cristas de ondas do mar, motores a jato em operação, etc.

O ultrassom também não é percebido pelo ouvido humano. Porém, alguns animais são capazes de emiti-lo e capturá-lo, por exemplo os morcegos e golfinhos. Na tecnologia, são utilizados dispositivos especiais para obtenção de ultrassom.

Um corpo oscilante colocado em um meio elástico é uma fonte de vibrações que se espalham em todas as direções. O processo de propagação de vibrações em um meio é denominado aceno.

Quando uma onda se propaga, as partículas do meio não se movem com a onda, mas oscilam em torno das suas posições de equilíbrio. Juntamente com a onda, apenas o estado do movimento vibracional e sua energia são transmitidos de partícula para partícula. Portanto, a principal propriedade de todas as ondas, independente de sua natureza, é a transferência de energia sem transferência de matéria.

As ondas podem ser transversais (as oscilações ocorrem em um plano perpendicular à direção de propagação) e longitudinais (ocorrem condensação e descarga de partículas do meio na direção de propagação).

Quando duas ondas idênticas com amplitudes e períodos iguais se propagam uma em direção à outra, surgem ondas estacionárias quando elas se sobrepõem. Ondas estacionárias podem ser produzidas pela reflexão de obstáculos. Digamos que o emissor envie uma onda para um obstáculo (onda incidente). A onda refletida será sobreposta à onda incidente. A equação da onda estacionária pode ser obtida adicionando a equação da onda incidente

(Um caso muito importante de interferência é observado quando duas ondas planas contrapropagantes com a mesma amplitude são sobrepostas. O processo oscilatório resultante é chamado de onda estacionária. Praticamente ondas estacionárias surgem quando refletidas em obstáculos.)

Esta equação é chamada de equação de onda. Qualquer função que satisfaça esta equação descreve uma certa onda.
Equação de onda é uma expressão que dá viés ponto oscilante em função de suas coordenadas ( x, sim, z) e tempo t.

Esta função deve ser periódica tanto em relação ao tempo quanto às coordenadas (uma onda é uma oscilação que se propaga, portanto um movimento que se repete periodicamente). Além disso, pontos localizados a uma distância l um do outro vibram da mesma maneira.

- Esse equação de onda plana.
A equação (5.2.3) terá a mesma forma se as vibrações se propagarem ao longo do eixo sim ou z
EM visão geral equação de onda plana está escrito assim:

As expressões (5.2.3) e (5.2.4) são equações de ondas viajantes .

A Equação (5.2.3) descreve uma onda que se propaga na direção crescente x. Uma onda que se propaga na direção oposta tem a forma:

Vamos apresentar número de onda , ou em forma vetorial:

onde está o vetor da onda e é a normal à superfície da onda.

Desde então. Daqui. Então equação de onda plana será escrito assim:

equação de onda esférica:

Onde A igual à amplitude a uma distância da fonte igual a um.

VETOR DE ONDA- vetor k, que determina a direção de propagação e o período espacial de uma monocromática plana. ondas

onde estão a amplitude e a fase constantes da onda, é a frequência circular, R- vetor de raio. Módulo V.V. chamado número de onda k = , Onde - período espacial ou comprimento de onda. Na direção de E. ocorre a mudança mais rápida de fase da onda, portanto é considerada a direção de propagação. A velocidade do movimento da fase nesta direção, ou velocidade da fase, é determinada através do número de onda.

6.1 Ondas estacionárias em meio elástico

Segundo o princípio da superposição, quando várias ondas se propagam simultaneamente em um meio elástico, ocorre sua superposição, e as ondas não se perturbam: as oscilações das partículas do meio são a soma vetorial das oscilações que as partículas fariam quando cada uma das ondas se propagou separadamente.

Ondas que criam oscilações do meio, cujas diferenças de fase são constantes em cada ponto do espaço, são chamadas coerente.

Quando ondas coerentes são adicionadas, o fenômeno ocorre interferência, que consiste no fato de que em alguns pontos do espaço as ondas se fortalecem e em outros pontos se enfraquecem. Um importante caso de interferência é observado quando duas ondas planas contrapropagantes com a mesma frequência e amplitude são sobrepostas. As oscilações resultantes são chamadas onda parada. Na maioria das vezes, as ondas estacionárias surgem quando uma onda progressiva é refletida por um obstáculo. Nesse caso, a onda incidente e a onda refletida em sua direção, quando somadas, dão uma onda estacionária.

Obtemos a equação da onda estacionária. Vamos pegar duas ondas harmônicas planas que se propagam uma em direção à outra ao longo do eixo X e tendo a mesma frequência e amplitude:

Onde – fase de oscilações de pontos do meio durante a passagem da primeira onda;

– fase de oscilações de pontos do meio durante a passagem da segunda onda.

Diferença de fase em cada ponto do eixo X a rede não dependerá do tempo, ou seja, será constante:

Portanto, ambas as ondas serão coerentes.

A vibração das partículas do meio resultante da adição das ondas consideradas será a seguinte:

Vamos transformar a soma dos cossenos dos ângulos conforme a regra (4.4) e obter:

Reagrupando os fatores, obtemos:

Para simplificar a expressão, escolhemos o ponto de referência de modo que a diferença de fase e o início da contagem do tempo para que a soma das fases seja igual a zero: .

Então a equação para a soma das ondas terá a forma:

A equação (6.6) é chamada equação de onda estacionária. Mostra que a frequência de uma onda estacionária é igual à frequência de uma onda progressiva, e a amplitude, ao contrário de uma onda progressiva, depende da distância da origem:

. (6.7)

Levando em consideração (6.7), a equação da onda estacionária assume a forma:

. (6.8)

Assim, os pontos do meio oscilam com uma frequência que coincide com a frequência da onda viajante e a amplitude a, dependendo da posição do ponto no eixo X. Conseqüentemente, a amplitude muda de acordo com a lei dos cossenos e tem seus próprios máximos e mínimos (Fig. 6.1).

Para visualizar a localização dos mínimos e máximos de amplitude, substituímos, conforme (5.29), o número de onda pelo seu valor:

Então a expressão (6.7) para a amplitude assumirá a forma

(6.10)

A partir disso fica claro que a amplitude do deslocamento é máxima em , ou seja em pontos cujas coordenadas satisfazem a condição:

, (6.11)

Onde

A partir daqui obtemos as coordenadas dos pontos onde a amplitude do deslocamento é máxima:

; (6.12)

Os pontos onde a amplitude das vibrações do meio é máxima são chamados antinodos da onda.

A amplitude da onda é zero nos pontos onde . As coordenadas desses pontos, chamadas nós de onda, satisfaz a condição:

, (6.13)

Onde

De (6.13) fica claro que as coordenadas dos nós possuem os valores:

, (6.14)

Na Fig. A Figura 6.2 mostra uma visão aproximada de uma onda estacionária, marcando a localização dos nós e antinodos. Pode-se observar que os nós vizinhos e os antinodos de deslocamento estão espaçados uns dos outros na mesma distância.

Vamos encontrar a distância entre antinodos e nós vizinhos. De (6.12) obtemos a distância entre os antinodos:

(6.15)

A distância entre nós é obtida em (6.14):

(6.16)

A partir das relações obtidas (6.15) e (6.16) fica claro que a distância entre nós vizinhos, bem como entre antinodos vizinhos, é constante e igual a; nós e antinodos são deslocados entre si por (Fig. 6.3).

A partir da definição de comprimento de onda, podemos escrever uma expressão para o comprimento de uma onda estacionária: é igual à metade do comprimento de uma onda progressiva:

Escrevamos, levando em consideração (6.17), expressões para as coordenadas dos nós e antinodos:

, (6.18)

, (6.19)

O fator que determina a amplitude de uma onda estacionária muda de sinal ao passar pelo valor zero, fazendo com que a fase das oscilações nos diferentes lados do nó difere em . Conseqüentemente, todos os pontos situados em lados opostos do nó oscilam em antifase. Todos os pontos localizados entre nós vizinhos oscilam em fase.

Os nós dividem condicionalmente o ambiente em regiões autônomas nas quais as oscilações harmônicas ocorrem de forma independente. Não há transferência de movimento entre regiões e, portanto, não há fluxo de energia entre regiões. Ou seja, não há transmissão de perturbação ao longo do eixo. É por isso que a onda é chamada de onda estacionária.

Portanto, uma onda estacionária é formada por duas ondas progressivas de direções opostas de frequências e amplitudes iguais. Os vetores Umov de cada uma dessas ondas são iguais em magnitude e opostas em direção e, quando somados, dão zero. Conseqüentemente, uma onda estacionária não transfere energia.

6.2 Exemplos de ondas estacionárias

6.2.1 Onda estacionária em uma corda

Vamos considerar uma string de comprimento eu, fixado em ambas as extremidades (Fig. 6.4).

Vamos colocar um eixo ao longo da string X para que a extremidade esquerda da string tenha a coordenada x=0, e o certo – x=L. As oscilações ocorrem na corda, descritas pela equação:

Vamos anotar as condições de contorno para a string em consideração. Como suas extremidades são fixas, então em pontos com coordenadas x=0 E x=L sem hesitação:

(6.22)

Vamos encontrar a equação das oscilações das cordas com base nas condições de contorno escritas. Vamos escrever a equação (6.20) para a extremidade esquerda da string levando em consideração (6.21):

A relação (6.23) é satisfeita para qualquer momento t em dois casos:

1. . Isso é possível se não houver vibrações na corda (). Este caso não é de interesse e não o consideraremos.

2. . Aqui está a fase. Este caso nos permitirá obter a equação das vibrações das cordas.

Vamos substituir o valor da fase obtido na condição de contorno (6.22) para a extremidade direita da string:

. (6.25)

Considerando que

, (6.26)

de (6.25) obtemos:

Novamente, surgem dois casos em que a relação (6.27) é satisfeita. Não consideraremos o caso quando não houver vibrações na corda ().

No segundo caso, a igualdade deve ser satisfeita:

e isso só é possível quando o argumento do seno é múltiplo de um número inteiro:

Descartamos o valor, pois neste caso, e isso significaria comprimento zero da string ( L = 0) ou número de onda k=0. Levando em consideração a ligação (6.9) entre o número de onda e o comprimento de onda, fica claro que para que o número de onda seja igual a zero, o comprimento de onda deveria ser infinito, e isso significaria ausência de oscilações.

De (6.28) fica claro que o número de onda ao oscilar uma corda fixada em ambas as extremidades pode assumir apenas alguns valores discretos:

Levando em consideração (6.9), escrevemos (6.30) na forma:

a partir do qual obtemos a expressão para possíveis comprimentos de onda na string:

Em outras palavras, ao longo do comprimento da string eu deve caber em um número inteiro n meias ondas:

As frequências de oscilação correspondentes podem ser determinadas a partir de (5.7):

Aqui está a velocidade de fase da onda, dependendo, conforme (5.102), da densidade linear da corda e da força de tensão da corda:

Substituindo (6.34) em (6.33), obtemos uma expressão que descreve as possíveis frequências de vibração da corda:

, (6.36)

As frequências são chamadas frequências naturais cordas. Frequência (em n = 1):

(6.37)

chamado frequência fundamental(ou tom principal) cordas. Frequências determinadas em n>1 são chamados conotações ou harmônicos. O número harmônico é n-1. Por exemplo, frequência:

corresponde ao primeiro harmônico e frequência:

corresponde ao segundo harmônico, etc. Como uma corda pode ser representada como um sistema discreto com um número infinito de graus de liberdade, então cada harmônico é moda vibrações das cordas. No caso geral, as vibrações das cordas representam uma superposição de modos.

Cada harmônico tem seu próprio comprimento de onda. Para o tom principal (com n = 1) comprimento de onda:

respectivamente para o primeiro e segundo harmônicos (em n = 2 e n = 3) os comprimentos de onda serão:

A Figura 6.5 mostra o aparecimento de vários modos de vibração realizados por uma corda.

Assim, uma corda com extremidades fixas realiza um caso excepcional dentro da estrutura da física clássica - um espectro discreto de frequências de vibração (ou comprimentos de onda). Uma haste elástica com uma ou ambas as extremidades fixadas e as oscilações de uma coluna de ar em tubos se comportam da mesma maneira, o que será discutido nas seções subsequentes.

6.2.2 Influência das condições iniciais no movimento

sequência contínua. Análise de Fourier

Além do espectro discreto de frequências de oscilação, as oscilações de uma corda com extremidades fixadas têm outra propriedade importante: a forma específica das oscilações da corda depende do método de excitação das oscilações, ou seja, partir das condições iniciais. Vamos olhar mais de perto.

A equação (6.20), que descreve um modo de onda estacionária em uma corda, é uma solução particular da equação de onda diferencial (5.61). Como a vibração de uma corda consiste em todos os modos possíveis (para uma corda - um número infinito), então decisão comum a equação de onda (5.61) consiste em um número infinito de soluções parciais:

, (6.43)

Onde eu– número do modo de vibração. A expressão (6.43) é escrita levando em consideração o fato de que as pontas da string são fixas:

e também levando em consideração a conexão de frequência eu-ésimo modo e seu número de onda:

(6.46)

Aqui – número de onda eu a moda;

– número de onda do 1º modo;

Vamos encontrar o valor da fase inicial para cada modo de oscilação. Para fazer isso de cada vez t=0 vamos dar à string uma forma descrita pela função f 0 (x), a expressão para a qual obtemos de (6.43):

. (6.47)

Na Fig. A Figura 6.6 mostra um exemplo do formato de uma string descrita pela função f 0 (x).

Em um momento no tempo t=0 a corda ainda está em repouso, ou seja, a velocidade de todos os seus pontos é zero. Em (6.43) encontramos uma expressão para a velocidade dos pontos da corda:

e, substituindo nele t=0, obtemos uma expressão para a velocidade dos pontos da corda no momento inicial:

. (6.49)

Como no momento inicial a velocidade é igual a zero, então a expressão (6.49) será igual a zero para todos os pontos da string se . Conclui-se que a fase inicial para todos os modos também é zero (). Levando isso em consideração, a expressão (6.43), que descreve o movimento da corda, assume a forma:

, (6.50)

e expressão (6.47), descrevendo forma inicial cordas, parece:

. (6.51)

Uma onda estacionária em uma corda é descrita por uma função periódica no intervalo , onde é igual a dois comprimentos da corda (Fig. 6.7):

Isso pode ser visto pelo fato de que periodicidade em um intervalo significa:

Por isso,

o que nos leva à expressão (6.52).

A partir da análise matemática sabe-se que qualquer função periódica pode ser expandida com alta precisão em uma série de Fourier:

, (6.57)

onde , , são coeficientes de Fourier.

Se várias ondas se propagarem simultaneamente em um meio, então as oscilações das partículas do meio serão a soma geométrica das oscilações que as partículas fariam se cada uma das ondas se propagasse separadamente. Conseqüentemente, as ondas simplesmente se sobrepõem sem perturbar umas às outras. Esta afirmação é chamada de princípio da superposição de ondas. O princípio da superposição afirma que o movimento causado pela propagação de várias ondas ao mesmo tempo é novamente um determinado processo ondulatório. Tal processo, por exemplo, é o som de uma orquestra. Surge da excitação simultânea vibrações sonoras ar com instrumentos musicais individuais. É notável que quando as ondas são sobrepostas, podem ocorrer fenômenos especiais. São chamados de efeitos de adição ou, como também dizem, superposição de ondas. Dentre esses efeitos, os mais importantes são a interferência e a difração.

A interferência é um fenômeno de redistribuição sustentada pelo tempo da energia de oscilação no espaço, como resultado da qual as oscilações são fortalecidas em alguns lugares e enfraquecidas em outros. Esse fenômeno ocorre quando ondas com diferença de fase que persiste ao longo do tempo são somadas, as chamadas ondas coerentes. Interferência número grande ondas é chamada de difração. Diferença fundamental Não há diferença entre interferência e difração. A natureza desses fenômenos é a mesma. Limitar-nos-emos a discutir apenas um efeito de interferência muito importante, que é a formação de ondas estacionárias.

Uma condição necessária A formação de ondas estacionárias é a presença de limites que refletem as ondas que nelas incidem. As ondas estacionárias são formadas como resultado da adição de ondas incidentes e refletidas. Fenômenos desse tipo ocorrem com bastante frequência. Assim, cada tom de qualquer instrumento musical é excitado por uma onda estacionária. Esta onda é gerada numa corda (instrumentos de cordas) ou numa coluna de ar ( instrumentos de vento). Os limites refletivos nestes casos são os pontos de fixação da corda e as superfícies das cavidades internas dos instrumentos de sopro.

Cada onda estacionária tem as seguintes propriedades. Toda a região do espaço em que a onda é excitada pode ser dividida em células de tal forma que as oscilações estejam completamente ausentes nos limites das células. Os pontos localizados nesses limites são chamados de nós de ondas estacionárias. As fases das oscilações nos pontos internos de cada célula são as mesmas. As oscilações nas células vizinhas ocorrem uma em direção à outra, ou seja, em antifase. Dentro de uma célula, a amplitude das oscilações varia no espaço e em algum lugar atinge um valor máximo. Os pontos em que isso é observado são chamados de antinodos de ondas estacionárias. Finalmente, uma propriedade característica das ondas estacionárias é a discrição do seu espectro de frequência. Em uma onda estacionária, as oscilações podem ocorrer apenas com frequências estritamente definidas, e a transição de uma delas para outra ocorre abruptamente.

Vejamos um exemplo simples de onda estacionária. Suponhamos que uma corda de comprimento limitado seja esticada ao longo do eixo; suas extremidades são rigidamente fixadas, com a extremidade esquerda localizada na origem das coordenadas. Então a coordenada da extremidade direita será. Vamos excitar uma onda na corda

,

espalhando-se da esquerda para a direita. A onda será refletida na extremidade direita da corda. Vamos supor que isso aconteça sem perda de energia. Neste caso, a onda refletida terá a mesma amplitude e a mesma frequência da onda incidente. Portanto, a onda refletida deve ter a forma:

Sua fase contém uma constante que determina a mudança de fase após a reflexão. Como a reflexão ocorre em ambas as extremidades da corda e sem perda de energia, ondas de mesmas frequências se propagarão simultaneamente na corda. Portanto, deve ocorrer interferência durante a adição. Vamos encontrar a onda resultante.

Esta é a equação da onda estacionária. Segue-se disso que em cada ponto da corda ocorrem oscilações com uma frequência. Neste caso, a amplitude das oscilações em um ponto é igual a

.

Como as pontas da corda são fixas, não há vibrações ali. Resulta da condição de que . Portanto, finalmente obtemos:

.

Agora está claro que nos pontos onde não há oscilações. Esses pontos são os nós da onda estacionária. Onde , a amplitude das oscilações é máxima, é igual ao dobro da amplitude das oscilações somadas. Esses pontos são os antinodos de uma onda estacionária. É precisamente no aparecimento de antinodos e nós que reside a interferência: em alguns lugares as oscilações se intensificam, enquanto em outros desaparecem. A distância entre nós vizinhos e antinodos é encontrada a partir da condição óbvia: . Porque, então. Portanto, a distância entre os nós vizinhos é .

A partir da equação da onda estacionária fica claro que o fator Ao passar pelo valor zero, muda de sinal. De acordo com isso, a fase das oscilações em lados opostos do nó difere em . Isso significa que os pontos situados em lados opostos do nó oscilam em antifase. Todos os pontos entre dois nós adjacentes oscilam na mesma fase.

Assim, somando as ondas incidentes e refletidas, é de fato possível obter a imagem do movimento das ondas que foi caracterizada anteriormente. Neste caso, as células discutidas no caso unidimensional são segmentos delimitados entre nós adjacentes e com comprimento .

Vamos finalmente nos convencer de que a onda que consideramos só pode existir em frequências de oscilação estritamente definidas. Vamos aproveitar o fato de que não há vibrações na ponta direita da corda. Acontece que . Esta igualdade é possível se, onde é um número inteiro positivo arbitrário.