Eixo de coordenadas e eixo de abcissas. Sistema de coordenadas cartesianas: conceitos básicos e exemplos

Ordenar


Fundação Wikimedia. 2010.

Sinônimos:

Veja o que é “Ordenado” em outros dicionários:

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    ORDENAR- um dos dois (três) números que determinam a posição de um ponto em um plano (no espaço) em relação a um sistema de coordenadas retangulares... Grande Enciclopédia Politécnica

    - (lat. ordinatus ordenado, organizado em uma determinada ordem) eom. um dos dois (três) números que determinam a posição de um ponto em um plano (no espaço) em relação a um sistema de coordenadas retangulares. Novo dicionário palavras estrangeiras. por EdwART… Dicionário de palavras estrangeiras da língua russa

    S; e. [do lat. ordinatus ordenado, atribuído] Mat. Uma quantidade que determina a posição de um determinado ponto em um plano ou no espaço ao longo do eixo Y em um sistema de coordenadas retangulares (cf. abscissa, ordenada). * * * ordenada (do latim ordinatus...... dicionário enciclopédico

    ordenar- ordinatė statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. ordenar vok. Ordenar, f rus. ordenada, f pranc. ordonnée, f … Fizikos terminų žodynas

abscissa- segmento) do ponto A é a coordenada deste ponto no eixo X'X em um sistema de coordenadas retangular. A abcissa do ponto A é igual ao comprimento do segmento OB (ver Fig. 1). Se o ponto B pertence ao semieixo positivo OX, então a abcissa tem um valor positivo. Se o ponto B pertence ao semieixo negativo X'O, então a abcissa tem significado negativo. Se o ponto A estiver no eixo Y'Y, então sua abscissa é zero.

Em um sistema de coordenadas retangulares, o eixo X'X é chamado de "eixo x".

Ortografia

Observe a grafia: Ab Com cissa, mas não abscissa e não abscissa.

Veja também

Fundação Wikimedia. 2010.

Veja o que é “eixo X” em outros dicionários:

    eixo de abcissas- Eixo horizontal no sistema de coordenadas cartesianas. Tópicos tecnologia da informação em geral EN eixo absciseeixo horizontalEixo X … Guia do Tradutor Técnico

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    eixo de abcissas- abscisių ašis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. eixo de abcissas vok. Abszissenachse, f rus. eixo das abscissas, f pranc. machado de abcissas, m ... Fizikos terminų žodynas

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    - (da rotação grega στροφή) curva algébrica de 3ª ordem. É construído assim (ver Fig. 1): Fig. 1 ... Wikipédia

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    A cissóide de Diocles é uma curva algébrica plana de terceira ordem. No sistema de coordenadas cartesianas, onde o eixo das abcissas é direcionado ao longo de OX e o eixo das ordenadas ao longo de OY, no segmento OA = 2a, como em um diâmetro, é construído um círculo auxiliar. No ponto A é realizado... ... Wikipedia

Abscissa é um termo comum em matemática que muitas pessoas não entendem. O conceito de abscissa ajudará na compreensão de muitos problemas matemáticos. O tema deste artigo é dedicado a isso.

O que é uma abscissa

Antes de entender o que é uma abscissa, você precisa aprender sobre a essência de vários outros termos, a saber:

  • Sistema de coordenadas retangulares. Um sistema de coordenadas retangulares é um sistema onde existem apenas duas direções. Tal sistema é geralmente chamado de bidimensional. Uma direção tem a forma de uma linha reta horizontal e é indicada pela letra x, a segunda direção é uma linha reta vertical, designada pela letra sim. A interseção dessas duas direções é chamada de origem. O relatório de coordenadas começa a partir deste ponto. Os valores da linha horizontal que estão à direita da origem são positivos. Os da esquerda são negativos. Conseqüentemente, os valores y da linha que estão acima da origem são positivos e os abaixo são negativos.
  • Ordenar. A coordenada de qualquer ponto que corresponde ao eixo sim(em um sistema de coordenadas) é chamado de ordenada.

Baseado última condição, você pode facilmente adivinhar que se a ordenada for a coordenada no eixo sim, que corresponde a qualquer ponto, então a abcissa é a coordenada do mesmo ponto, mas que está localizada no eixo x.

O ponto A é dado, com coordenadas (4; 6). Qual é a abscissa e qual é a ordenada?

Lembre-se que quando as coordenadas de um ponto são escritas, as coordenadas do eixo são indicadas primeiro x, e no segundo - os eixos sim. Assim, a abscissa do ponto A é 4 e a ordenada é 6.

Agora você sabe o que é uma abscissa e pode, sem hesitar, aprofundar-se no significado do problema ao ver esta palavra. É bom estudar este tópico, porque as coordenadas são usadas em muitas áreas - da matemática à programação.

Um sistema ordenado de dois ou três eixos que se cruzam perpendicularmente entre si com uma origem comum (origem das coordenadas) e uma unidade comum de comprimento é chamado sistema de coordenadas cartesianas retangulares .

Sistema geral de coordenadas cartesianas (sistema de coordenadas afins) pode não incluir necessariamente eixos perpendiculares. Em homenagem ao matemático francês René Descartes (1596-1662), é nomeado exatamente esse sistema de coordenadas, no qual uma unidade comum de comprimento é medida em todos os eixos e os eixos são retos.

Sistema de coordenadas cartesianas retangulares em um plano tem dois eixos e sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço - três eixos. Cada ponto em um plano ou no espaço é definido por um conjunto ordenado de coordenadas - números correspondentes à unidade de comprimento do sistema de coordenadas.

Observe que, como decorre da definição, existe um sistema de coordenadas cartesianas em linha reta, ou seja, em uma dimensão. A introdução de coordenadas cartesianas em uma reta é uma das formas pelas quais qualquer ponto de uma reta é associado a um número real bem definido, ou seja, uma coordenada.

O método das coordenadas, que surgiu nas obras de René Descartes, marcou uma reestruturação revolucionária de toda a matemática. Tornou-se possível interpretar equações algébricas (ou desigualdades) na forma de imagens geométricas (gráficos) e, inversamente, buscar soluções para problemas geométricos por meio de fórmulas analíticas e sistemas de equações. Sim, desigualdade z < 3 геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости xOi e localizado acima deste plano em 3 unidades.

Usando o sistema de coordenadas cartesianas, a pertinência de um ponto em uma determinada curva corresponde ao fato de que os números x E sim satisfazer alguma equação. Assim, as coordenadas de um ponto em um círculo com centro em um determinado ponto ( a; b) satisfazer a equação (x - a)² + ( sim - b)² = R² .

Sistema de coordenadas cartesianas retangulares em um plano

Dois eixos perpendiculares em um plano com uma origem comum e a mesma unidade de escala formam Sistema de coordenadas retangulares cartesianas no plano . Um desses eixos é chamado de eixo Boi, ou eixo x , o outro - o eixo Oi, ou eixo y . Esses eixos também são chamados de eixos coordenados. Vamos denotar por Mx E Msim respectivamente, a projeção de um ponto arbitrário M no eixo Boi E Oi. Como obter projeções? Vamos passar pelo ponto M Boi. Esta linha reta cruza o eixo Boi no ponto Mx. Vamos passar pelo ponto M linha reta perpendicular ao eixo Oi. Esta linha reta cruza o eixo Oi no ponto Msim. Isso é mostrado na imagem abaixo.

x E sim pontos M chamaremos os valores dos segmentos direcionados de acordo OMx E OMsim. Os valores desses segmentos direcionados são calculados de acordo como x = x0 - 0 E sim = sim0 - 0 . Coordenadas cartesianas x E sim pontos M abscissa E ordenar . O fato de o ponto M tem coordenadas x E sim, é denotado da seguinte forma: M(x, sim) .

Os eixos coordenados dividem o plano em quatro quadrante , cuja numeração é mostrada na figura abaixo. Também mostra a disposição dos sinais das coordenadas dos pontos dependendo de sua localização em um determinado quadrante.

Além das coordenadas retangulares cartesianas em um plano, o sistema de coordenadas polares também é frequentemente considerado. Sobre o método de transição de um sistema de coordenadas para outro - na lição sistema de coordenadas polares .

Sistema de coordenadas cartesianas retangulares no espaço

As coordenadas cartesianas no espaço são introduzidas em completa analogia com as coordenadas cartesianas no plano.

Três eixos mutuamente perpendiculares no espaço (eixos coordenados) com uma origem comum Ó e com a mesma unidade de escala eles formam Sistema de coordenadas retangulares cartesianas no espaço .

Um desses eixos é chamado de eixo Boi, ou eixo x , o outro - o eixo Oi, ou eixo y , o terceiro eixo onça, ou eixo aplicado . Deixar Mx, Msim Mz- projeções de um ponto arbitrário M espaço no eixo Boi , Oi E onça respectivamente.

Vamos passar pelo ponto M BoiBoi no ponto Mx. Vamos passar pelo ponto M plano perpendicular ao eixo Oi. Este plano intercepta o eixo Oi no ponto Msim. Vamos passar pelo ponto M plano perpendicular ao eixo onça. Este plano intercepta o eixo onça no ponto Mz.

Coordenadas retangulares cartesianas x , sim E z pontos M chamaremos os valores dos segmentos direcionados de acordo OMx, OMsim E OMz. Os valores desses segmentos direcionados são calculados conforme x = x0 - 0 , sim = sim0 - 0 E z = z0 - 0 .

Coordenadas cartesianas x , sim E z pontos M são chamados de acordo abscissa , ordenar E aplicar .

Os eixos coordenados tomados em pares estão localizados em planos coordenados xOi , yOz E zOx .

Problemas sobre pontos em um sistema de coordenadas cartesianas

Exemplo 1.

A(2; -3) ;

B(3; -1) ;

C(-5; 1) .

Encontre as coordenadas das projeções desses pontos no eixo das abcissas.

Solução. Como decorre da parte teórica desta lição, a projeção de um ponto no eixo das abcissas está localizada no próprio eixo das abcissas, ou seja, o eixo Boi, e portanto tem uma abcissa igual à abcissa do próprio ponto e uma ordenada (coordenada no eixo Oi, que o eixo x intercepta no ponto 0), igual a zero. Portanto, obtemos as seguintes coordenadas desses pontos no eixo x:

Ax(2;0);

Bx(3;0);

Cx (-5; 0).

Exemplo 2. No sistema de coordenadas cartesianas, os pontos são dados no plano

A(-3; 2) ;

B(-5; 1) ;

C(3; -2) .

Encontre as coordenadas das projeções desses pontos no eixo das ordenadas.

Solução. Como decorre da parte teórica desta lição, a projeção de um ponto no eixo das ordenadas está localizada no próprio eixo das ordenadas, ou seja, o eixo Oi, e portanto tem uma ordenada igual à ordenada do próprio ponto e uma abscissa (coordenada no eixo Boi, que o eixo das ordenadas intercepta no ponto 0), que é igual a zero. Portanto, obtemos as seguintes coordenadas desses pontos no eixo das ordenadas:

Ay(0;2);

By(0;1);

Cy(0;-2).

Exemplo 3. No sistema de coordenadas cartesianas, os pontos são dados no plano

A(2; 3) ;

B(-3; 2) ;

C(-1; -1) .

Boi .

Boi Boi Boi, terá a mesma abscissa que determinado ponto, e ordenada igual a valor absoluto ordenada de um determinado ponto e seu sinal oposto. Então obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos a esses pontos em relação ao eixo Boi :

A"(2; -3) ;

B"(-3; -2) ;

C"(-1; 1) .

Resolva você mesmo os problemas usando o sistema de coordenadas cartesianas e veja as soluções

Exemplo 4. Determine em quais quadrantes (quartos, desenho com quadrantes - no final do parágrafo “Sistema de coordenadas cartesianas retangulares em um plano”) um ponto pode ser localizado M(x; sim) , Se

1) xy > 0 ;

2) xy < 0 ;

3) xsim = 0 ;

4) x + sim = 0 ;

5) x + sim > 0 ;

6) x + sim < 0 ;

7) xsim > 0 ;

8) xsim < 0 .

Exemplo 5. No sistema de coordenadas cartesianas, os pontos são dados no plano

A(-2; 5) ;

B(3; -5) ;

C(a; b) .

Encontre as coordenadas dos pontos simétricos a esses pontos em relação ao eixo Oi .

Vamos continuar a resolver problemas juntos

Exemplo 6. No sistema de coordenadas cartesianas, os pontos são dados no plano

A(-1; 2) ;

B(3; -1) ;

C(-2; -2) .

Encontre as coordenadas dos pontos simétricos a esses pontos em relação ao eixo Oi .

Solução. Girar 180 graus em torno do eixo Oi segmento direcional do eixo Oi até este ponto. Na figura, onde estão indicados os quadrantes do plano, vemos que o ponto simétrico ao dado em relação ao eixo Oi, terá a mesma ordenada do ponto dado e uma abcissa igual em valor absoluto à abcissa do ponto dado e de sinal oposto. Então obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos a esses pontos em relação ao eixo Oi :

A"(1; 2) ;

B"(-3; -1) ;

C"(2; -2) .

Exemplo 7. No sistema de coordenadas cartesianas, os pontos são dados no plano

A(3; 3) ;

B(2; -4) ;

C(-2; 1) .

Encontre as coordenadas dos pontos simétricos a esses pontos em relação à origem.

Solução. Giramos o segmento direcionado que vai da origem até o ponto determinado em 180 graus em torno da origem. Na figura, onde estão indicados os quadrantes do plano, vemos que um ponto simétrico ao ponto dado em relação à origem das coordenadas terá uma abcissa e uma ordenada iguais em valor absoluto à abcissa e à ordenada do ponto dado, mas oposto em sinal. Portanto, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos a esses pontos em relação à origem:

A"(-3; -3) ;

B"(-2; 4) ;

C(2; -1) .

Exemplo 8.

A(4; 3; 5) ;

B(-3; 2; 1) ;

C(2; -3; 0) .

Encontre as coordenadas das projeções desses pontos:

1) em um avião Oxi ;

2) em um avião Oxz ;

3) para o avião Oyz ;

4) no eixo das abcissas;

5) no eixo das ordenadas;

6) no eixo aplicado.

1) Projeção de um ponto em um plano Oxi está localizado neste próprio plano e, portanto, tem uma abcissa e uma ordenada iguais à abcissa e uma ordenada de um determinado ponto e um aplicativo igual a zero. Então obtemos as seguintes coordenadas das projeções desses pontos em Oxi :

Axy (4; 3; 0);

Bxy (-3; 2; 0);

Cxy(2;-3;0).

2) Projeção de um ponto em um plano Oxz está localizado neste próprio plano e, portanto, tem uma abcissa e um aplicativo iguais à abcissa e um aplicativo de um determinado ponto e uma ordenada igual a zero. Então obtemos as seguintes coordenadas das projeções desses pontos em Oxz :

Axz (4; 0; 5);

Bxz (-3; 0; 1);

Cxz (2; 0; 0).

3) Projeção de um ponto em um plano Oyz está localizado neste próprio plano e, portanto, tem uma ordenada e aplicada igual à ordenada e aplicada de um determinado ponto e uma abcissa igual a zero. Então obtemos as seguintes coordenadas das projeções desses pontos em Oyz :

Ayz(0; 3; 5);

Byz (0; 2; 1);

Cyz (0; -3; 0).

4) Como decorre da parte teórica desta lição, a projeção de um ponto no eixo das abcissas está localizada no próprio eixo das abcissas, ou seja, o eixo Boi, e, portanto, tem uma abcissa igual à abcissa do próprio ponto, e a ordenada e a aplicada da projeção são iguais a zero (já que os eixos ordenada e aplicada cruzam a abcissa no ponto 0). Obtemos as seguintes coordenadas das projeções desses pontos no eixo das abcissas:

Ax(4;0;0);

Bx (-3; 0; 0);

Cx(2;0;0).

5) A projeção de um ponto no eixo das ordenadas está localizada no próprio eixo das ordenadas, ou seja, o eixo Oi, e, portanto, tem uma ordenada igual à ordenada do próprio ponto, e a abcissa e o aplicado da projeção são iguais a zero (uma vez que os eixos da abcissa e do aplicado cruzam o eixo das ordenadas no ponto 0). Obtemos as seguintes coordenadas das projeções desses pontos no eixo das ordenadas:

Ay(0; 3; 0);

Be (0; 2; 0);

Cy(0;-3;0).

6) A projeção de um ponto no eixo aplicado está localizada no próprio eixo aplicado, ou seja, o eixo onça, e, portanto, tem um aplicado igual ao aplicado do próprio ponto, e a abcissa e a ordenada da projeção são iguais a zero (uma vez que os eixos da abcissa e das ordenadas cruzam o eixo aplicado no ponto 0). Obtemos as seguintes coordenadas das projeções desses pontos no eixo aplicado:

Az (0; 0; 5);

Bz (0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Exemplo 9. No sistema de coordenadas cartesianas, os pontos são dados no espaço

A(2; 3; 1) ;

B(5; -3; 2) ;

C(-3; 2; -1) .

Encontre as coordenadas dos pontos simétricos a esses pontos em relação a:

1) avião Oxi ;

2) aviões Oxz ;

3) aviões Oyz ;

4) eixos de abcissas;

5) eixos ordenados;

6) aplicar eixos;

7) origem das coordenadas.

1) “Mova” o ponto do outro lado do eixo Oxi Oxi, terá uma abscissa e ordenada iguais à abscissa e ordenada de um determinado ponto, e um aplicado igual em magnitude ao aplicado de um determinado ponto, mas de sinal oposto. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos aos dados relativos ao plano Oxi :

A"(2; 3; -1) ;

B"(5; -3; -2) ;

C"(-3; 2; 1) .

2) “Mova” o ponto do outro lado do eixo Oxzà mesma distância. Na figura que mostra o espaço de coordenadas, vemos que um ponto simétrico a um dado em relação ao eixo Oxz, terá uma abscissa e aplicada igual à abscissa e aplicada de um determinado ponto, e uma ordenada igual em magnitude à ordenada de um determinado ponto, mas de sinal oposto. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos aos dados relativos ao plano Oxz :

A"(2; -3; 1) ;

B"(5; 3; 2) ;

C"(-3; -2; -1) .

3) “Mova” o ponto do outro lado do eixo Oyzà mesma distância. Na figura que mostra o espaço de coordenadas, vemos que um ponto simétrico a um dado em relação ao eixo Oyz, terá uma ordenada e um aplicado igual à ordenada e um aplicado de um determinado ponto, e uma abcissa igual em valor à abcissa de um determinado ponto, mas de sinal oposto. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos aos dados relativos ao plano Oyz :

A"(-2; 3; 1) ;

B"(-5; -3; 2) ;

C"(3; 2; -1) .

Por analogia com pontos simétricos em um plano e pontos no espaço que são simétricos aos dados relativos aos planos, notamos que no caso de simetria em relação a algum eixo do sistema de coordenadas cartesianas no espaço, a coordenada no eixo em relação a qual a simetria é dada manterá seu sinal, e as coordenadas nos outros dois eixos serão iguais em valor absoluto às coordenadas de um determinado ponto, mas de sinal oposto.

4) A abscissa manterá seu sinal, mas a ordenada e a aplicada mudarão de sinal. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos aos dados relativos ao eixo das abcissas:

A"(2; -3; -1) ;

B"(5; 3; -2) ;

C"(-3; -2; 1) .

5) A ordenada manterá seu sinal, mas a abscissa e o aplicado mudarão de sinal. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos aos dados relativos ao eixo das ordenadas:

A"(-2; 3; -1) ;

B"(-5; -3; -2) ;

C"(3; 2; 1) .

6) O aplicado manterá seu sinal, mas a abscissa e a ordenada mudarão de sinal. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos aos dados relativos ao eixo aplicado:

A"(-2; -3; 1) ;

B"(-5; 3; 2) ;

C"(3; -2; -1) .

7) Por analogia com a simetria no caso de pontos de um plano, no caso de simetria em relação à origem das coordenadas, todas as coordenadas de um ponto simétrico a um dado serão iguais em valor absoluto às coordenadas de um determinado ponto, mas oposto a eles em sinal. Assim, obtemos as seguintes coordenadas de pontos simétricos aos dados relativos à origem.

À pergunta O que é uma abscissa e o que é uma ordenada? dado pelo autor Parir a melhor resposta é abscissa é x
y ordenada

Resposta de 22 respostas[guru]

Olá! Aqui está uma seleção de tópicos com respostas à sua pergunta: O que é uma abscissa e o que é uma ordenada?

Resposta de filósofo[guru]






Desenho


Resposta de caucasiano[ativo]
eixo y


Resposta de Murad Khalidov[ativo]
Estudei esse assunto no 6º ano e provavelmente você também, mas a julgar pelo fato de esse problema ter sido resolvido há 5 anos, concluí isso no 11º ano. Obrigado por uma resposta tão simples e clara (a melhor)!


Resposta de Dasha Kazina[novato]
O ponto de abcissa (de acordo com as coordenadas vem primeiro) fica horizontalmente no eixo X, e a ordenada (de acordo com as coordenadas vem em segundo lugar) fica verticalmente Y


Resposta de Dimon Dimon[novato]
A abscissa (lat. abscissa - segmento) do ponto A é a coordenada deste ponto no eixo X'X em um sistema de coordenadas retangular. A abcissa do ponto A é igual ao comprimento do segmento OB (ver Fig. 1). Se o ponto B pertence ao semieixo positivo OX, então a abcissa tem um valor positivo. Se o ponto B pertence ao semieixo negativo X'O, então a abcissa tem valor negativo. Se o ponto A estiver no eixo Y'Y, então sua abscissa é zero.
Em um sistema de coordenadas retangulares, o eixo X'X é chamado de "eixo das abcissas".
Ao plotar funções, o eixo x geralmente é usado como domínio da função.
A ordenada (do latim ordinatus - localizada em ordem) do ponto A é a coordenada deste ponto no eixo Y'Y em um sistema de coordenadas retangular. O valor da ordenada do ponto A é igual ao comprimento do segmento OC (ver Fig. 1). Se o ponto C pertence ao semieixo positivo OY, então a ordenada tem um valor positivo. Se o ponto C pertence ao semieixo negativo Y'O, então a ordenada tem um valor negativo. Se o ponto A estiver no eixo X'X, então sua ordenada é zero.
Em um sistema de coordenadas retangulares, o eixo Y'Y é chamado de "eixo y".
Ao plotar funções, o eixo y é geralmente usado como o contradomínio da função.
Desenhando aqui


Resposta de Vadice[ativo]
Curto e claro e não há necessidade de ler, apenas assista e ouça! 🙂
O que é uma ordenada?
O que é uma abscissa?


Resposta de Bai Pazylov[novato]
abscissa-x
ordenada-y


Resposta de Sem exibição.[ativo]
É fácil lembrar se for difícil: “Ah” e “Oh” :)


Resposta de Vsevolod Yablonovsky[ativo]
abscissa é x


Resposta de Yoanseth Shimmer[novato]
abscissa é x
y ordenada


Resposta de Vlad Chubinsky[novato]
abscissa é x
y ordenada


Resposta de Dmitry Kornev[novato]
eixo x
eixo y