Volume de uma pirâmide quadrangular. Figuras geométricas

Pirâmides

Considere um plano arbitrário α, um n-gon convexo arbitrário A 1 A 2 ... Um , localizado neste plano, e um ponto S, não pertencente ao plano α.

Definição 1. Pirâmide ( n - pirâmide de carvão) nomeie uma figura formada por segmentos conectando o ponto S a todos os pontos do polígono A 1 A 2 ... Um (Figura 1) .

Observação 1. Lembre-se de que um polígono A 1 A 2 ... Um consiste em uma linha tracejada fechada A 1 A 2 ... Um e a parte do plano limitada por ele.

Definição 2.

Tetraedros. Tetraedros regulares

Definição 5. Uma pirâmide triangular arbitrária é chamada de tetraedro.

Declaração. Para qualquer pirâmide triangular regular, as arestas opostas são perpendiculares aos pares.

Prova. Considere uma pirâmide triangular regular SABC e um par de arestas opostas, por exemplo AC e BS. Vamos denotar o meio da aresta AC pela letra D. Como os segmentos BD e SD são medianas nos triângulos isósceles ABC e ASC, então BD e SD são perpendiculares à aresta AC (Fig. 4).

onde a letra D denota o meio da aresta AC (Fig. 6).

Usando o teorema de Pitágoras, do triângulo BSO encontramos

Responder.

Fórmulas para volume, área lateral e superfície total de uma pirâmide

Vamos introduzir a seguinte notação

Então o seguinte é verdadeiro fórmulas para calcular o volume, área lateral e superfície total de uma pirâmide:

Pirâmide quadrangularé um poliedro cuja base é um quadrado e todas as suas faces laterais são triângulos isósceles idênticos.

Este poliedro tem muitas propriedades diferentes:

• Suas costelas laterais e aquelas adjacentes a elas ângulos diédricos são iguais entre si;
• As áreas das faces laterais são iguais;
• Na base de uma pirâmide quadrangular regular encontra-se um quadrado;
• A altura caída do topo da pirâmide cruza o ponto onde as diagonais da base se cruzam.

Todas essas propriedades facilitam a localização. Porém, muitas vezes, além disso, é necessário calcular o volume do poliedro. Para fazer isso, use a fórmula do volume de uma pirâmide quadrangular:

Ou seja, o volume da pirâmide é igual a um terço do produto da altura da pirâmide pela área da base. Como é igual ao produto de seus lados iguais, inserimos imediatamente a fórmula da área de um quadrado na expressão do volume.
Consideremos um exemplo de cálculo do volume de uma pirâmide quadrangular.

Seja dada uma pirâmide quadrangular, cuja base é um quadrado com lado a = 6 cm. A face lateral da pirâmide é b = 8 cm.

Para encontrar o volume de um determinado poliedro, precisamos do comprimento da sua altura. Portanto, vamos encontrá-lo aplicando o teorema de Pitágoras. Primeiro, vamos calcular o comprimento da diagonal. No triângulo azul será a hipotenusa. Vale lembrar também que as diagonais de um quadrado são iguais entre si e são divididas ao meio no ponto de intersecção:


Agora, no triângulo vermelho, encontramos a altura h que precisamos. Será igual a:

Vamos substituir os valores necessários e encontrar a altura da pirâmide:

Agora, conhecendo a altura, podemos substituir todos os valores na fórmula do volume da pirâmide e calcular o valor desejado:

Desta forma, conhecendo algumas fórmulas simples, conseguimos calcular o volume de uma pirâmide quadrangular regular. Lembre-se que este valor é medido em unidades cúbicas.

Aqui você pode encontrar informações básicas sobre pirâmides e fórmulas e conceitos relacionados. Todos eles são estudados com um tutor de matemática em preparação para o Exame Estadual Unificado.

Considere um plano, um polígono , deitado nele e um ponto S, não deitado nele. Vamos conectar S a todos os vértices do polígono. O poliedro resultante é chamado de pirâmide. Os segmentos são chamados de costelas laterais. O polígono é chamado de base e o ponto S é o topo da pirâmide. Dependendo do número n, a pirâmide é chamada de triangular (n=3), quadrangular (n=4), pentagonal (n=5) e assim por diante. Título alternativo pirâmide triangular - tetraedro. A altura de uma pirâmide é a perpendicular que desce do seu topo até o plano da base.

Uma pirâmide é chamada regular se polígono regular, e a base da altura da pirâmide (a base da perpendicular) é o seu centro.

Comentário do tutor:
Não confunda os conceitos de “pirâmide regular” e “tetraedro regular”. Em uma pirâmide regular, as arestas laterais não são necessariamente iguais às arestas da base, mas em um tetraedro regular, todas as 6 arestas são iguais. Esta é a sua definição. É fácil provar que a igualdade implica que o centro P do polígono coincide com altura de base, então um tetraedro regular é uma pirâmide regular.

O que é um apótema?
O apótema de uma pirâmide é a altura de sua face lateral. Se a pirâmide for regular, todos os seus apótemas serão iguais. O contrário não é verdade.

Um professor de matemática sobre sua terminologia: 80% do trabalho com pirâmides é construído através de dois tipos de triângulos:
1) Contendo apótema SK e altura SP
2) Contendo a aresta lateral SA e sua projeção PA

Para simplificar as referências a esses triângulos, é mais conveniente para um professor de matemática chamar o primeiro deles apótema, e em segundo lugar costal. Infelizmente, você não encontrará essa terminologia em nenhum dos livros didáticos e o professor terá que introduzi-la unilateralmente.

Fórmula de volume da pirâmide:
1) , onde é a área da base da pirâmide e é a altura da pirâmide
2) , onde é o raio da esfera inscrita e é a área da superfície total da pirâmide.
3) , onde MN é a distância de quaisquer duas arestas que se cruzam e é a área do paralelogramo formado pelos pontos médios das quatro arestas restantes.

Propriedade da base da altura de uma pirâmide:

O ponto P (ver figura) coincide com o centro do círculo inscrito na base da pirâmide se uma das seguintes condições for atendida:
1) Todos os apótemas são iguais
2) Todas as faces laterais estão igualmente inclinadas em relação à base
3) Todos os apótemas estão igualmente inclinados em relação à altura da pirâmide
4) A altura da pirâmide é igualmente inclinada para todas as faces laterais

Comentário do professor de matemática: Observe que todos os pontos têm uma coisa em comum propriedade geral: de uma forma ou de outra, as faces laterais estão envolvidas em todos os lugares (os apótemas são seus elementos). Portanto, o tutor pode oferecer uma formulação menos precisa, porém mais conveniente para o aprendizado: o ponto P coincide com o centro do círculo inscrito, a base da pirâmide, se houver alguma informação igual sobre suas faces laterais. Para provar isso, basta mostrar que todos os triângulos apótemas são iguais.

O ponto P coincide com o centro de um círculo circunscrito próximo à base da pirâmide se uma das três condições for verdadeira:
1) Todas as arestas laterais são iguais
2) Todas as costelas laterais estão igualmente inclinadas em relação à base
3) Todas as costelas laterais estão igualmente inclinadas em altura

Quando uma pessoa ouve a palavra “pirâmide”, ela imediatamente se lembra das majestosas estruturas egípcias. No entanto, os antigos gigantes de pedra são apenas um dos representantes da classe das pirâmides. Neste artigo consideraremos do ponto de vista geométrico as propriedades de uma pirâmide quadrangular regular.

O que é uma pirâmide em geral?

Em geometria, é entendida como uma figura tridimensional, que pode ser obtida conectando todos os vértices de um polígono plano com um único ponto situado em um plano diferente deste polígono. A imagem abaixo mostra 4 formas que satisfazem esta definição.

Vemos que a primeira figura tem base triangular, a segunda tem base quadrangular. Os dois últimos são representados por uma base pentagonal e hexagonal. No entanto superfície lateral Todas as pirâmides são formadas por triângulos. Seu número é exatamente igual ao número de lados ou vértices do polígono na base.

Um tipo especial de pirâmide, que se diferencia dos demais representantes da classe por sua simetria ideal, é a pirâmide regular. Para que a figura esteja correta, os dois pré-requisitos a seguir devem ser atendidos:

• a base deve ter um polígono regular;
• a superfície lateral da figura deve consistir em triângulos isósceles iguais.

Observe que a segunda condição obrigatória pode ser substituída por outra: uma perpendicular traçada à base a partir do topo da pirâmide (o ponto de intersecção dos triângulos laterais) deve cruzar esta base em seu centro geométrico.

Agora vamos passar ao tópico do artigo e considerar quais propriedades de uma pirâmide quadrangular regular a caracterizam. Primeiro, vamos mostrar na figura como é essa figura.

Sua base é um quadrado. Os lados representam 4 triângulos isósceles idênticos (também podem ser equiláteros em uma certa proporção entre o comprimento do lado do quadrado e a altura da figura). A altura baixada do topo da pirâmide cruzará o quadrado em seu centro (o ponto de intersecção das diagonais).

Esta pirâmide possui 5 faces (um quadrado e quatro triângulos), 5 vértices (quatro deles pertencem à base) e 8 arestas. quarta ordem, passando pela altura da pirâmide, transforma-a em si mesma girando 90 o.

Pirâmides egípcias em Gizé são quadrangulares regulares.

Quatro parâmetros lineares básicos

Vamos começar nossa consideração das propriedades matemáticas de uma pirâmide quadrangular regular com as fórmulas de altura, comprimento lateral da base, aresta lateral e apótema. Digamos desde já que todas estas quantidades estão relacionadas entre si, por isso basta conhecer apenas duas delas para calcular de forma inequívoca as duas restantes.

Suponha que a altura h da pirâmide e o comprimento a do lado da base quadrada sejam conhecidos, então a aresta lateral b será igual a:

b = √(uma 2/2 + h 2)

Agora damos a fórmula para o comprimento a b do apótema (a altura do triângulo abaixado até o lado da base):

uma b = √(uma 2/4 + h 2)

Obviamente, a aresta lateral b é sempre maior que o apótema a b .

Ambas as expressões podem ser usadas para determinar todas as quatro características lineares se os outros dois parâmetros forem conhecidos, por exemplo, a b e h.

Área e volume de uma figura

Estas são duas propriedades mais importantes de uma pirâmide quadrangular regular. A base da figura possui a seguinte área:

Todo aluno conhece essa fórmula. A área da superfície lateral, formada por quatro triângulos idênticos, pode ser determinada através do apótema a b da pirâmide da seguinte forma:

Se a b for desconhecido, então ele pode ser determinado usando as fórmulas do parágrafo anterior através da altura h ou da aresta b.

A área total da superfície da figura em consideração é a soma das áreas S o e S b:

S = S o + S b = a 2 + 2 × a × a b = a (a + 2 × a b)

A área calculada de todas as faces da pirâmide é mostrada na figura abaixo na forma de seu desenvolvimento.

A descrição das propriedades de uma pirâmide quadrangular regular não estará completa sem considerar a fórmula para determinar seu volume. Este valor para a pirâmide em questão é calculado da seguinte forma:

Ou seja, V é igual à terceira parte do produto da altura da figura pela área de sua base.

Propriedades de uma pirâmide quadrangular truncada regular

Você pode obter esta figura da pirâmide original. Para fazer isso você precisa cortar parte do topo pirâmides são planas. A figura restante sob o plano de corte será chamada de pirâmide truncada.

É mais conveniente estudar as características de uma pirâmide truncada se suas bases forem paralelas entre si. Neste caso, as bases inferior e superior serão polígonos semelhantes. Já que em um quadrangular pirâmide correta a base é um quadrado, então a seção formada durante o corte também representará um quadrado, mas de tamanho menor.

A superfície lateral da figura truncada é formada não por triângulos, mas por trapézios isósceles.

Uma das propriedades importantes desta pirâmide é o seu volume, que é calculado pela fórmula:

V = 1/3 × h × (S o1 + S o2 + √(S o1 × S o2))

Aqui h é a distância entre as bases da figura, S o1, S o2 são as áreas das bases inferior e superior.