Cite métodos aproximados para estudar sistemas não lineares. Análise de sistemas de controle automático não linear

• O método de linearização harmônica em projeto não é sistemas lineares controle automático.[Djv-10,7M] Editado por Yu.I. Topcheeva. Equipe de autores.
  (Moscou: Editora Mashinostroenie, 1970. - Série “Sistemas de Controle Automático Não Linear”)
  Digitalização: AAW, processamento, formato Djv: Ilya Sytnikov, 2014
• BREVE CONTEÚDO:
  Prefácio (5).
  Capítulo I. Fundamentos teóricos do método de linearização harmônica (E.P. Popov) (13).
  Capítulo II. Uma nova forma de linearização harmônica para sistemas de controle com características de histerese não linear (E.I. Khlypalo) (58).
  Capítulo III. Método de linearização harmônica baseado na avaliação da sensibilidade de uma solução periódica a harmônicos mais altos e parâmetros pequenos (A.A. Vavilov) (88).
  Capítulo IV. Determinação das características de amplitude e frequência de fase de sistemas não lineares (Yu.I. Topcheev) (117).
  Capítulo V. Métodos de frequência aproximada para análise da qualidade de sistemas de controle não lineares (Yu.I. Topcheev) (171).
  Capítulo VI. Melhorar a precisão do método de linearização harmônica (V.V. Pavlov) (186).
  Capítulo VII. Aplicação do método de linearização harmônica a sistemas de controle não lineares discretos (S.M. Fedorov) (219).
  Capítulo VIII. Aplicação do método assintótico de N.M. Krylov e N.N. Bogolyubov na análise de sistemas de controle não lineares (A.D. Maksimov) (236).
  Capítulo IX. Aplicação de linearização harmônica a sistemas de controle de autoajuste não lineares (Yu.M. Kozlov, S.I. Markov) (276).
  Capítulo X. Aplicação do método de linearização harmônica a sistemas automáticos não lineares com máquinas de estados finitos (M.V. Starikova) (306).
  Capítulo XI. Um método aproximado para estudar processos oscilatórios e modos de deslizamento em sistemas automáticos com estrutura variável (M.V. Starikova) (390).
  Capítulo XII. Um estudo aproximado de um sistema de controle de relé de pulso (M.V. Starikova) (419).
  Capítulo XIII. Determinação de processos oscilatórios em sistemas não lineares complexos com vários desvios iniciais (M.V. Starikova) (419).
  Capítulo XIV. Aplicação do método de linearização harmônica a sistemas com não linearidades periódicas (L.I. Semenko) (444).
  Capítulo XV. Aplicação do método de linearização harmônica a sistemas com duas não linearidades (V.M. Khlyamov) (467).
  Capítulo XVI. Características de amplitude-fase de mecanismos de relé com motores CC e CC corrente alternada, obtido pelo método de linearização harmônica (V.V. Tsvetkov) (485).
  Aplicações (518).
  Literatura (550).
  Índice alfabético (565).

Resumo do editor: Este livro faz parte de uma série de monografias dedicadas a sistemas de controle automático não linear.
Ele expõe de forma sistemática e bastante abrangente a teoria dos sistemas de controle automático não linear, com base no método de linearização harmônica. A atenção principal é dada fundações teóricas método de linearização harmônica e seu aplicações práticas a sistemas contínuos, discretos e autoajustáveis, bem como sistemas com máquinas de estados finitos e estrutura ajustável. São consideradas maneiras de melhorar a precisão do método de linearização harmônica, levando em consideração a influência de harmônicos mais elevados. Os métodos propostos são ilustrados com numerosos exemplos.
O livro é destinado a cientistas, engenheiros, professores e estudantes de pós-graduação de instituições de ensino superior que lidam com questões de controle automático.

Consideremos um objeto químico-tecnológico cuja entrada recebe um sinal aleatório E(/), e um processo aleatório é observado na saída no(/). Ao usar métodos de correlação para identificar objetos lineares com parâmetros constantes, geralmente assume-se (ou o sinal de teste é especialmente selecionado desta forma) que as funções aleatórias e T) E no (t) são estacionários e pares estacionários relacionados em um sentido amplo, ou seja, suas expectativas matemáticas são constantes, e as funções de correlação automática e cruzada são funções não de dois, mas de um argumento igual à sua diferença.

Ao identificar sistemas dinâmicos não lineares, as condições para a normalidade das densidades de probabilidade das funções e T) E você(t) e suas densidades de probabilidade conjuntas, via de regra, não são satisfeitas, ou seja, as características de um objeto são determinadas em condições onde as densidades de probabilidade conjuntas das funções e T) E no(/) não são gaussianos.

Portanto, a função de densidade de probabilidade condicional você(t) relativamente e T) também será não gaussiano. Saída de regressão variável aleatória em relação à função aleatória de entrada para determinados valores dos argumentos é geralmente não linear, e a correlação de funções E(0 e no (t) heterocedástico.

Assim, para identificar objetos não lineares, os métodos de correlação que operam com expectativas matemáticas e funções de correlação de processos aleatórios não são mais suficientes. O erro na resolução do problema de identificação de um objeto não linear usando métodos de correlação usados ​​​​para sistemas lineares é maior quanto mais forte for a regressão das funções você(t) relativamente e T) difere de linear e quanto maior a irregularidade expectativa matemática variações condicionais.

O problema de identificação de objetos não lineares operando sob condições de perturbações aleatórias é um problema matemático muito complexo, que está atualmente em desenvolvimento e ainda está longe de ser concluído. No entanto, já é possível nomear uma série de métodos que, embora não possam ser considerados exaustivos, fornecem uma solução aproximada bastante boa para o problema de identificação de objetos não lineares. Métodos estatísticos. Esses métodos incluem: 1) métodos baseados no uso de funções de dispersão e interdispersivas de processos aleatórios; 2) método de linearização regressão não linear em áreas de homocedasticidade da expectativa matemática da variância condicional da função você(t) relativamente e T) 3) Abordagem de Wiener para identificação de sistemas não lineares; 4) um método para identificação de sistemas não lineares baseado no uso do aparato de processos condicionais de Markov.

Vejamos brevemente cada um dos métodos listados.

1. Se a dependência entre os valores das funções aleatórias E(0 e no (t) não linear, então o coeficiente de correlação entre os valores da função aleatória não pode mais servir suficientemente bom critério para medir a força da conexão entre eles. Portanto, para caracterizar a conexão entre E E no são usados

relações de dispersão, que são determinados através funções de dispersão (2, 3].

Função de dispersão mútua 0 yU (*, t) para funções aleatórias reais você(t) E e T) E função de dispersão automática (dispersão) G„ K (*, m) para um processo aleatório E(t) são determinados pelas relações

Onde M( ) - símbolo da expectativa matemática; M.

Com base nos valores definidos acima p você, t| Reino Unido e R você pode construir um critério de TV especial para testar a hipótese sobre a linearidade da relação entre os sinais você e e:

Onde P- número de experimentos; Para- número de intervalos na tabela de correlação. Vamos verificar a hipótese sobre a linearidade da relação entre e não E etc. para o objeto discutido em §6.4. Função

N(t), construído a partir das implementações de entrada e saída do sistema, é mostrado na Fig. 8.2. Neste caso, o problema de identificação se reduz à busca de parâmetros desconhecidos do objeto, que são os coeficientes do operador no espaço de Hilbert. O sinal na entrada do sistema é expandido em uma série de subfunções de Laguerre:

com probabilidades

Arroz. 8.3.

Arroz. 8.4.

Aqui P-ésima função de Laguerre g n(t)é construído como um produto do polinômio de Laguerre ln(t) para expoente:

Observe que a imagem de Laplace dos polinômios de Laguerre baseada em (8.19) tem a forma

Isto mostra que os coeficientes de Laguerre necessários podem ser obtidos passando o sinal e T) através de uma cadeia de links dinâmicos lineares (ver Fig. 8.3).

O operador de um sistema não linear é representado como uma expansão em polinômios de Ermnt:

que são ortogonais ao eixo real - oo t. As funções de Hermite são construídas a partir de polinômios de Hermite:

com a ajuda do qual o operador de transição dos coeficientes de Laguerre do sinal de entrada para o sinal de saída é escrito na forma

A relação (8.20) é válida para qualquer objeto não linear e pode ser usada como base para sua identificação. O método de identificação é bastante simplificado se um sinal especial na forma de ruído branco gaussiano for aplicado à entrada. Neste caso, as funções de Laguerre são processos aleatórios gaussianos não correlacionados com variâncias iguais. Neste caso, a determinação dos coeficientes... Para reduz-se a encontrar a função de correlação cruzada da saída do sistema e dos polinômios de Hermite:

Determinação de probabilidades b(j... Para completa a solução do problema de identificação. Esquema geral cálculos são mostrados na Fig. 8.4.

Ao resolver problemas de identificação de objetos tecnológicos químicos, o método considerado tem aplicação limitada por uma série de razões. Estes últimos incluem, por exemplo, dificuldades que surgem quando se passa de coeficientes b tj k aos parâmetros tecnológicos do objeto. O método não é adequado para sistemas não estacionários. As dificuldades na implementação deste procedimento durante a operação normal da instalação também reduzem a eficácia do método. Finalmente, a necessidade de truncar todas as operações associadas a passagens ao limite e a substituição de séries por somas finitas são fontes de erros computacionais adicionais.

4. Outra abordagem possível para a construção de filtros ótimos para sistemas não lineares é baseada no uso do aparato de processos condicionais de Markov. Consideremos a essência desta abordagem usando um exemplo específico.

EXEMPLO Deixe o sinal útil ser um pulso retangular

o momento de aparecimento de qual t no segmento 0 x T precisa ser determinado. Altura do pulso Um 0 e sua duração h são consideradas conhecidas. O sinal que chega ao objeto é e (t)=s(*)+m> (*) é a soma do componente útil é(0 e ruído branco c(*), que é descrito pela integral de probabilidade)