Como encontrar a inclinação. Coeficiente angular de uma tangente como tangente do ângulo de inclinação

Aprenda a derivar funções. A derivada caracteriza a taxa de variação de uma função em um determinado ponto do gráfico desta função. Neste caso, o gráfico pode ser uma linha reta ou curva. Ou seja, a derivada caracteriza a taxa de variação de uma função em um determinado momento. Lembre-se das regras gerais pelas quais as derivadas são calculadas e só então prossiga para a próxima etapa.

• Leia o artigo.
• É descrito como obter as derivadas mais simples, por exemplo, a derivada de uma equação exponencial. Os cálculos apresentados nas etapas seguintes serão baseados nos métodos aí descritos.

Aprenda a distinguir problemas em que a inclinação deve ser calculada através da derivada de uma função. Os problemas nem sempre pedem que você encontre a inclinação ou a derivada de uma função. Por exemplo, pode ser solicitado que você encontre a taxa de variação de uma função no ponto A(x,y). Você também pode ser solicitado a encontrar a inclinação da tangente no ponto A(x,y). Em ambos os casos é necessário derivar a função.

Calcule a derivada da função dada a você. Não há necessidade de construir um gráfico aqui - você só precisa da equação da função. No nosso exemplo, tome a derivada da função f (x) = 2 x 2 + 6 x (\estilo de exibição f(x)=2x^(2)+6x). Calcule a derivada de acordo com os métodos descritos no artigo mencionado acima:

Substitua as coordenadas do ponto fornecido a você na derivada encontrada para calcular a inclinação. A derivada de uma função é igual à inclinação em um determinado ponto. Em outras palavras, f"(x) é a inclinação da função em qualquer ponto (x,f(x)). Em nosso exemplo:

Nas coordenadas cartesianas, cada reta é determinada por uma equação de primeiro grau e, inversamente, cada equação de primeiro grau determina uma reta.

Equação da forma

é chamada de equação geral de uma reta.

O ângulo determinado conforme mostrado na figura é denominado ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo do Boi. A tangente do ângulo de inclinação da reta ao eixo do Boi é chamada de coeficiente angular da reta; geralmente é denotado pela letra k:

A equação é chamada de equação de uma linha reta com inclinação; k é o coeficiente angular, b é o valor do segmento que é cortado pela reta no eixo Oy, contando a partir da origem.

Se uma linha reta é dada pela equação geral

,

então seu coeficiente angular é determinado pela fórmula

A equação é a equação de uma reta que passa pelo ponto (, ) e tem coeficiente angular k.

Se uma linha reta passa pelos pontos (, ), (, ), então sua inclinação é determinada pela fórmula

A equação

é a equação de uma reta que passa por dois pontos (, ) e (, ).

Se os coeficientes angulares de duas retas são conhecidos, então um dos ângulos entre essas retas é determinado pela fórmula

.

Um sinal de paralelismo de duas retas é a igualdade de seus coeficientes angulares:.

Um sinal de perpendicularidade de duas linhas retas é a razão, ou.

Em outras palavras, os coeficientes angulares das retas perpendiculares são inversos em valor absoluto e opostos em sinal.

4. Equação geral de uma reta

A equação

Ah+Bu+C=0

(Onde A, B, C pode ter qualquer valor, desde que os coeficientes A, B não eram ambos zeros ao mesmo tempo) representa linha reta. Qualquer linha reta pode ser representada por uma equação deste tipo. É por isso que eles o chamam equação geral da reta.

Se AX, então representa uma linha reta, paralelo ao eixo OX.

Se EM=0, ou seja, a equação não contém no, então representa uma linha reta, paralelo ao eixo OY.

Kogla EM não é igual a zero, então a equação geral de uma linha reta pode ser resolver em relação à ordenadano , então ele é convertido para o formato

(Onde a=-A/B; b=-C/B).

Da mesma forma, quando A diferente de zero, a equação geral de uma linha reta pode ser resolvida em relação a X.

Se COM=0, ou seja, a equação geral de uma reta não contém um termo livre, então representa uma reta que passa pela origem

5. Equação de uma linha reta que passa por um determinado ponto com uma determinada inclinação

Equação de uma reta que passa por um determinado ponto A(x 1 , sim 1) em uma determinada direção determinada pela inclinação k,

sim - sim 1 = k(x - x 1). (1)

Esta equação define um lápis de retas que passa por um ponto A(x 1 , sim 1), que é chamado de centro do feixe.

6. equação de uma reta que passa por dois pontos dados.

. Equação de uma reta que passa por dois pontos: A(x 1 , sim 1) e B(x 2 , sim 2), escrito assim:

O coeficiente angular de uma linha reta que passa por dois pontos dados é determinado pela fórmula

7. Equação de uma reta em segmentos

Se na equação geral de uma reta , então dividindo (1) por , obtemos a equação da reta em segmentos

Onde , . A linha reta cruza o eixo no ponto , o eixo no ponto .

8. Fórmula: Ângulo entre retas em um plano

você Meta α entre duas retas dadas pelas equações: sim = k 1 x+b 1 (primeira linha) e sim = k 2 x+b 2 (segunda reta), pode ser calculado pela fórmula (o ângulo é medido da 1ª reta até a 2ª sentido anti-horário ):

9. A posição relativa de duas linhas retas em um plano.

Deixe os dois agora equações as linhas retas são escritas na forma geral.

Teorema. Deixar

- são comuns equações duas linhas retas coordenada Avião oxi. Então

1) se, então direto e coincidem;

2) se , então direto e

paralelo;

3) se, então direto cruzar.

Prova. A condição é equivalente à colinearidade do normal vetores dados diretos:

Portanto, se , então direto cruzar.

Se , então , , e a equação direto assume a forma:

Ou , ou seja direto combinar. Observe que o coeficiente de proporcionalidade, caso contrário, todos os coeficientes do geral equações seria igual a zero, o que é impossível.

Se direto não coincidem e não se cruzam, então o caso permanece, ou seja, direto paralelo.

O teorema foi provado.

O tópico “O coeficiente angular de uma tangente como tangente do ângulo de inclinação” é aplicado em diversas tarefas no exame de certificação. Dependendo de sua condição, o graduado pode ser solicitado a fornecer uma resposta completa ou curta. Ao se preparar para fazer o Exame Estadual Unificado de matemática, o aluno deve repetir definitivamente as tarefas que exigem o cálculo da inclinação de uma tangente.

O portal educacional Shkolkovo irá ajudá-lo a fazer isso. Nossos especialistas prepararam e apresentaram material teórico e prático da forma mais acessível possível. Familiarizados com ele, graduados com qualquer nível de formação poderão resolver com sucesso problemas relacionados a derivadas em que é necessário encontrar a tangente do ângulo tangente.

Momentos básicos

Para encontrar a solução correta e racional para tais problemas no Exame Estadual Unificado, é necessário lembrar a definição básica: a derivada representa a taxa de variação de uma função; é igual à tangente do ângulo tangente traçado ao gráfico da função em um determinado ponto. É igualmente importante completar o desenho. Isso permitirá que você encontre a solução correta para problemas de USE na derivada, na qual você precisa calcular a tangente do ângulo tangente. Para maior clareza, é melhor traçar o gráfico no plano OXY.

Se você já se familiarizou com o material básico sobre o tema derivadas e está pronto para começar a resolver problemas de cálculo da tangente do ângulo tangente, semelhantes às tarefas do Exame de Estado Unificado, você pode fazer isso online. Para cada tarefa, por exemplo, problemas sobre o tema “Relação de uma derivada com a velocidade e aceleração de um corpo”, anotamos a resposta correta e o algoritmo de solução. Ao mesmo tempo, os alunos podem praticar a execução de tarefas de diversos níveis de complexidade. Se necessário, o exercício pode ser salvo na seção “Favoritos” para que você possa discutir a solução posteriormente com o professor.

Os problemas para encontrar a derivada de uma tangente estão incluídos no Exame de Estado Unificado em matemática e são encontrados lá todos os anos. Ao mesmo tempo, as estatísticas dos últimos anos mostram que tais tarefas causam certas dificuldades aos graduados. Portanto, se um aluno espera obter notas decentes após passar no Exame Estadual Unificado, então ele definitivamente deveria aprender como lidar com os problemas da seção “Coeficiente de ângulo de uma tangente como o valor da derivada no ponto de tangência”, preparado por especialistas do portal educacional Shkolkovo. Tendo entendido o algoritmo para resolvê-los, o aluno poderá superar com sucesso o teste de certificação.

Momentos básicos

Ao começar a resolver problemas de USE neste tema, é necessário lembrar a definição básica: a derivada de uma função em um ponto é igual à inclinação da tangente ao gráfico da função neste ponto. Este é o significado geométrico da derivada.

Há outra definição importante que precisa ser atualizada. Parece assim: o coeficiente angular é igual à tangente do ângulo de inclinação da tangente ao eixo das abcissas.

Que outros pontos importantes merecem destaque neste tópico? Ao resolver problemas de localização da derivada no Exame Estadual Unificado, é necessário lembrar que o ângulo formado pela tangente pode ser menor, maior que 90 graus ou igual a zero.

Como se preparar para o exame?

Para garantir que as tarefas do Exame Estadual Unificado sobre o tema “O coeficiente angular de uma tangente como valor da derivada no ponto de tangência” sejam dadas a você com bastante facilidade, ao se preparar para a prova final, utilize as informações sobre este seção do portal educacional Shkolkovo. Aqui você encontrará o material teórico necessário, coletado e apresentado de forma clara por nossos especialistas, e também poderá praticar a execução dos exercícios.

Para cada tarefa, por exemplo, problemas sobre o tema “O coeficiente angular de uma tangente como a tangente do ângulo de inclinação”, anotamos a resposta correta e o algoritmo de solução. Ao mesmo tempo, os alunos podem realizar exercícios online de diversos níveis de dificuldade. Se necessário, a tarefa pode ser salva na seção “Favoritos” para que posteriormente você possa discutir sua solução com o professor.

No capítulo anterior foi mostrado que, ao escolher um determinado sistema de coordenadas no plano, podemos expressar analiticamente as propriedades geométricas que caracterizam os pontos da reta em consideração por uma equação entre as coordenadas atuais. Assim obtemos a equação da reta. Este capítulo examinará equações de linha reta.

Para criar uma equação para uma linha reta em coordenadas cartesianas, você precisa definir de alguma forma as condições que determinam sua posição em relação aos eixos coordenados.

Primeiramente, apresentaremos o conceito de coeficiente angular de uma reta, que é uma das grandezas que caracterizam a posição de uma reta em um plano.

Vamos chamar o ângulo de inclinação da linha reta em relação ao eixo do Boi como o ângulo pelo qual o eixo do Boi precisa ser girado para que coincida com a linha dada (ou seja paralelo a ela). Como de costume, consideraremos o ângulo levando em consideração o sinal (o sinal é determinado pelo sentido de rotação: anti-horário ou horário). Uma vez que uma rotação adicional do eixo do Boi através de um ângulo de 180° irá alinhá-lo novamente com a linha reta, o ângulo de inclinação da linha reta em relação ao eixo não pode ser escolhido inequivocamente (dentro de um termo, um múltiplo de).

A tangente deste ângulo é determinada de forma única (já que alterar o ângulo não altera sua tangente).

A tangente do ângulo de inclinação da reta ao eixo do Boi é chamada de coeficiente angular da reta.

O coeficiente angular caracteriza a direção da linha reta (não distinguimos aqui entre duas direções mutuamente opostas da linha reta). Se a inclinação de uma reta for zero, então a reta é paralela ao eixo x. Com coeficiente angular positivo, o ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo do Boi será agudo (estamos considerando aqui o menor valor positivo do ângulo de inclinação) (Fig. 39); Além disso, quanto maior o coeficiente angular, maior será o ângulo de sua inclinação em relação ao eixo do Boi. Se o coeficiente angular for negativo, então o ângulo de inclinação da reta em relação ao eixo do Boi será obtuso (Fig. 40). Observe que uma reta perpendicular ao eixo do Boi não possui coeficiente angular (a tangente do ângulo não existe).