Representação de números naturais por pontos na reta numérica. Módulo de um número (valor absoluto de um número), definições, exemplos, propriedades

Já sabemos que o conjunto dos números reais $R$ é formado por números racionais e irracionais.

Os números racionais sempre podem ser representados como frações decimais (periódicas finitas ou infinitas).

Os números irracionais são escritos como frações decimais infinitas, mas não periódicas.

O conjunto de números reais $R$ também inclui os elementos $-\infty $ e $+\infty $, para os quais as desigualdades $-\infty são válidas

Vejamos maneiras de representar números reais.

Frações comuns

As frações comuns são escritas usando dois números naturais e uma linha de fração horizontal. A barra de fração na verdade substitui o sinal de divisão. O número abaixo da linha é o denominador da fração (divisor), o número acima da linha é o numerador (dividendo).

Definição

Uma fração é chamada própria se seu numerador for menor que seu denominador. Por outro lado, uma fração é chamada de fração imprópria se seu numerador for maior ou igual ao denominador.

Para frações ordinárias, existem regras de comparação simples, quase óbvias ($m$,$n$,$p$ - números naturais):

de duas frações com denominadores iguais, aquela com numerador maior é maior, ou seja, $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ para $m>n$;
de duas frações com numeradores iguais, aquela com denominador menor é maior, ou seja, $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ para $ m
uma fração própria é sempre menor que um; uma fração imprópria é sempre maior que um; uma fração em que o numerador é igual ao denominador é igual a um;
Toda fração imprópria é maior que toda fração própria.

Números decimais

A notação de um número decimal (fração decimal) tem a forma: parte inteira, vírgula decimal, parte fracionária. A notação decimal de uma fração comum pode ser obtida dividindo o numerador pelo denominador com o “ângulo”. Isso pode resultar em uma fração decimal finita ou em uma fração decimal periódica infinita.

Definição

Os dígitos da parte fracionária são chamados de decimais. Neste caso, o primeiro dígito após a vírgula decimal é chamado de décimo dígito, o segundo - o dígito dos centésimos, o terceiro - o dígito dos milésimos, etc.

Exemplo 1

Determine o valor do número decimal 3,74. Obtemos: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

O número decimal pode ser arredondado. Neste caso, deve-se indicar o dígito para o qual é realizado o arredondamento.

A regra de arredondamento é a seguinte:

todos os dígitos à direita deste dígito são substituídos por zeros (se esses dígitos estiverem antes da vírgula) ou descartados (se esses dígitos estiverem após a vírgula);
se o primeiro dígito após um determinado dígito for menor que 5, então o dígito desse dígito não será alterado;
se o primeiro dígito após um determinado dígito for 5 ou mais, o dígito desse dígito será aumentado em um.

Exemplo 2

Vamos arredondar o número 17302 para milhares: 17000.
Vamos arredondar o número 17378 para centenas: 17400.
Vamos arredondar o número 17378,45 para dezenas: 17380.
Vamos arredondar o número 378,91434 para o centésimo mais próximo: 378,91.
Vamos arredondar o número 378,91534 para o centésimo mais próximo: 378,92.

Converta um número decimal em uma fração.

Caso 1

Um número decimal representa uma fração decimal final.

O exemplo a seguir demonstra o método de conversão.

Exemplo 2

Temos: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Reduzimos isso a um denominador comum e obtemos:

A fração pode ser reduzida: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Caso 2

Um decimal representa uma fração decimal periódica infinita.

O método de conversão baseia-se no fato de que a parte periódica de uma fração decimal periódica pode ser considerada como a soma dos termos de uma progressão geométrica decrescente infinita.

Exemplo 4

$0,\esquerda(74\direita)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. O primeiro termo da progressão é $a=0,74$, o denominador da progressão é $q=0,01$.

Exemplo 5

$0,5\esquerda(8\direita)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . O primeiro termo da progressão é $a=0,08$, o denominador da progressão é $q=0,1$.

A soma dos termos de uma progressão geométrica decrescente infinita é calculada pela fórmula $s=\frac(a)(1-q) $, onde $a$ é o primeiro termo e $q$ é o denominador da progressão $ \esquerda (0

Exemplo 6

Vamos converter a fração decimal periódica infinita $0,\left(72\right)$ em uma fração regular.

O primeiro termo da progressão é $a=0,72$, o denominador da progressão é $q=0,01$. Obtemos: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,72)(1-0,01) =\frac(0,72)(0,99) =\frac(72)( 99) =\frac(8 )(11) $. Assim, $0,\left(72\right)=\frac(8)(11) $.

Exemplo 7

Vamos converter a fração decimal periódica infinita $0,5\left(3\right)$ em uma fração regular.

O primeiro termo da progressão é $a=0,03$, o denominador da progressão é $q=0,1$. Obtemos: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,03)(1-0,1) =\frac(0,03)(0,9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30) $.

Assim, $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Os números reais podem ser representados por pontos no eixo dos números.

Neste caso, chamamos o eixo dos números de uma reta infinita na qual são selecionadas a origem (ponto $O$), a direção positiva (indicada por uma seta) e a escala (para exibição dos valores).

Existe uma correspondência biunívoca entre todos os números reais e todos os pontos do eixo dos números: cada ponto corresponde a um único número e, inversamente, cada número corresponde a um único ponto. Conseqüentemente, o conjunto dos números reais é contínuo e infinito, assim como a reta numérica é contínua e infinita.

Alguns subconjuntos do conjunto de números reais são chamados de intervalos numéricos. Os elementos de um intervalo numérico são números $x\in R$ que satisfazem uma certa desigualdade. Sejam $a\in R$, $b\in R$ e $a\le b$. Neste caso, os tipos de intervalos podem ser os seguintes:

Intervalo $\left(a,\; b\right)$. Ao mesmo tempo $a
Segmento $\esquerda$. Além disso, $a\le x\le b$.
Meios segmentos ou meio intervalos $\left$. Além disso $a\le x
Intervalos infinitos, por exemplo $a

Um tipo de intervalo denominado vizinhança de um ponto também é importante. A vizinhança de um determinado ponto $x_(0) \in R$ é um intervalo arbitrário $\left(a,\; b\right)$ contendo este ponto dentro de si, ou seja, $a 0$ é o seu raio.

Valor absoluto de um número

O valor absoluto (ou módulo) de um número real $x$ é um número real não negativo $\left|x\right|$, determinado pela fórmula: $\left|x\right|=\left\(\ começar(matriz)(c) (\; \; x\; \; (\rm em)\; \; x\ge 0) \\ (-x\; \; (\rm em)\; \; x

Geometricamente, $\left|x\right|$ significa a distância entre os pontos $x$ e 0 na reta numérica.

Propriedades de valores absolutos:

da definição segue que $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
para o módulo da soma e para o módulo da diferença de dois números, as seguintes desigualdades são válidas: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right| $, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, bem como $\left|x+y\right|\ge \left|x\right |-\esquerda|y\direita|$,$\ esquerda|x-y\direita|\ge \esquerda|x\direita|-\esquerda|y\direita|$;
para o módulo do produto e o módulo do quociente de dois números, as seguintes igualdades são verdadeiras: $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right| $ e $\left|\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Com base na definição do valor absoluto para um número arbitrário $a>0$, pode-se também estabelecer a equivalência dos seguintes pares de desigualdades:

se $\esquerda|x\direita|
se $\left|x\right|\le a$, então $-a\le x\le a$;
se $\left|x\right|>a$, então $xa$;
se $\left|x\right|\ge a$, então $x\le -a$ ou $x\ge a$.

Exemplo 8

Resolva a desigualdade $\left|2\cdot x+1\right|

Esta desigualdade é equivalente às desigualdades $-7

A partir daqui obtemos: $-8

A reta numérica, o eixo dos números, é a reta na qual os números reais são representados. Na reta, selecione a origem - ponto O (o ponto O representa 0) e o ponto L, representando a unidade. O ponto L geralmente está localizado à direita do ponto O. O segmento OL é chamado de segmento unitário.

Os pontos à direita do ponto O representam números positivos. Aponta à esquerda de um ponto. Ah, eles representam números negativos. Se o ponto X representa um número positivo x, então a distância OX = x. Se o ponto X representa um número negativo x, então a distância OX = - x.

O número que mostra a posição de um ponto em uma linha é chamado de coordenada deste ponto.

O ponto V mostrado na figura tem uma coordenada de 2 e o ponto H tem uma coordenada de -2,6.

O módulo de um número real é a distância da origem ao ponto correspondente a esse número. O módulo de um número x é denotado da seguinte forma: | x |. É óbvio que | 0 | = 0.

Se o número x for maior que 0, então | x | = x, e se x for menor que 0, então | x | = -x. A solução de muitas equações e desigualdades com o módulo é baseada nessas propriedades do módulo.

Exemplo: Resolver Equação | x-3 | = 1.

Solução: Considere dois casos - o primeiro caso, quando x -3 > 0, e o segundo caso, quando x - 3 0.

1. x - 3 > 0, x > 3.

Neste caso | x-3 | =x – 3.

A equação assume a forma x – 3 = 1, x = 4. 4 > 3 – satisfaz a primeira condição.

2. x -3 0, x 3.

Neste caso | x-3 | = - x + 3

A equação assume a forma x + 3 = 1, x = - 2. -2 3 – satisfaz a segunda condição.

Resposta: x = 4, x = -2.

Expressões numéricas.

Uma expressão numérica é uma coleção de um ou mais números e funções conectados por símbolos aritméticos e parênteses.
Exemplos de expressões numéricas:

O valor de uma expressão numérica é um número.
As operações em expressão numérica são realizadas na seguinte sequência:

1. Ações entre colchetes.

2. Cálculo de funções.

3. Exponenciação

4. Multiplicação e divisão.

5. Adição e subtração.

6. Operações semelhantes são realizadas da esquerda para a direita.

Portanto, o valor da primeira expressão será o próprio número 12,3
Para calcular o valor da segunda expressão, realizaremos as ações na seguinte sequência:

1. Vamos realizar as ações entre colchetes na seguinte sequência - primeiro elevamos 2 à terceira potência e depois subtraímos 11 do número resultante:

3 4 + (23 - 11) = 3 4 + (8 - 11) = 3 4 + (-3)

2. Multiplique 3 por 4:

3 4 + (-3) = 12 + (-3)

3. Execute operações sequenciais da esquerda para a direita:

12 + (-3) = 9.
Uma expressão com variáveis é uma coleção de um ou mais números, variáveis e funções conectadas por símbolos aritméticos e parênteses. Os valores das expressões com variáveis dependem dos valores das variáveis nelas incluídas. A sequência de operações aqui é a mesma das expressões numéricas. Às vezes é útil simplificar expressões com variáveis realizando várias ações - colocando-as fora dos colchetes, abrindo colchetes, agrupando, reduzindo frações, trazendo outras semelhantes, etc. Além disso, para simplificar expressões, várias fórmulas são frequentemente usadas, por exemplo, fórmulas de multiplicação abreviadas, propriedades de várias funções, etc.

Expressões algébricas.

Uma expressão algébrica é uma ou mais quantidades algébricas (números e letras) conectadas por sinais de operações algébricas: adição, subtração, multiplicação e divisão, bem como tirar a raiz e elevar a uma potência inteira (e os expoentes da raiz e do o poder deve ser necessariamente inteiro) e sinais da sequência dessas ações (geralmente colchetes de vários tipos). O número de quantidades incluídas em uma expressão algébrica deve ser finito.

Exemplo de expressão algébrica:

“Expressão algébrica” é um conceito sintático, ou seja, algo é uma expressão algébrica se e somente se obedece a certas regras gramaticais (ver Gramática formal). Se as letras de uma expressão algébrica forem consideradas variáveis, então a expressão algébrica assume o significado de uma função algébrica.

Nº 1. Propriedades dos números racionais.

 Ordem . Para quaisquer números racionais, existe uma regra que permite identificar exclusivamente entre eles um e apenas um dos três relações: "", "" ou "". Esta regra é chamada regra de ordenação e é formulado da seguinte forma: dois números positivos e estão relacionados pela mesma relação que dois inteiros; dois números não positivos estão relacionados pela mesma relação que dois números não negativos; se de repente não for negativo, mas negativo, então.

Adicionando Frações

 Operação de adição . regra de soma, o que os coloca em correspondência com algum número racional. Neste caso, o próprio número é chamado quantia números você é denotado, e o processo de encontrar tal número é chamado soma. A regra de soma tem o seguinte formato: .

 Operação de multiplicação . Para quaisquer números racionais existe um chamado regra de multiplicação, o que os coloca em correspondência com algum número racional. Neste caso, o próprio número é chamado trabalhar números e é denotado, e o processo de encontrar tal número também é chamado multiplicação. A regra de multiplicação é assim: .

 Transitividade relações de ordem. Para qualquer triplo de números racionais, e se for menor e menor, então menor, e se for igual, então igual.

 Comutatividade adição. Mudar a posição dos termos racionais não altera a soma.

 Associatividade adição. A ordem em que os três números racionais são somados não afeta o resultado.

 Disponibilidadezero . Existe um número racional 0 que preserva todos os outros números racionais quando adicionados.

 A presença de números opostos. Qualquer número racional tem um número racional oposto, que quando somado dá 0.

 Comutatividade da multiplicação. Mudar a posição dos fatores racionais não altera o produto.

 Associatividade da multiplicação. A ordem em que três números racionais são multiplicados não afeta o resultado.

 Disponibilidadeunidades . Existe um número racional 1 que preserva todos os outros números racionais quando multiplicado.

 Disponibilidadenúmeros recíprocos . Qualquer número racional diferente de zero tem um número racional inverso, que quando multiplicado por dá 1.

 Distributividade multiplicação em relação à adição. A operação de multiplicação é coordenada com a operação de adição através da lei de distribuição:

 Conexão da relação de ordem com a operação de adição. O mesmo número racional pode ser adicionado aos lados esquerdo e direito de uma desigualdade racional.

 Conexão da relação de ordem com a operação de multiplicação. Os lados esquerdo e direito de uma desigualdade racional podem ser multiplicados pelo mesmo número racional positivo.

 Axioma de Arquimedes . Qualquer que seja o número racional, você pode pegar tantas unidades que sua soma exceda.

Nº 2. Módulo de um número real.

Definição . O módulo de um número real não negativo x é o próprio número: | x | =x; O módulo de um número real negativo x é o número oposto: I x | = -x.

Resumindo está escrito assim:

2. Significado geométrico do módulo de um número real

Voltemos ao conjunto R dos números reais e sua geometria modelos- reta numérica. Vamos marcar dois pontos a e b (dois números reais a e b) em uma linha reta e denotar por (a, b) a distância entre os pontos a e b (a letra do alfabeto grego “rho”). Essa distância é igual a b - a, se b > a (Fig. 101), é igual a a - b, se a > b (Fig. 102) e, por fim, é igual a zero se a = b.

Todos os três casos são cobertos por uma fórmula:

b) Equação | x + 3,2 | = 2 reescrevemos na forma | x - (- 3,2) | = 2 e mais (x, - 3,2) = 2. Na linha de coordenadas existem dois pontos que estão distantes do ponto - 3,2 por uma distância igual a 2. Estes são os pontos - 5,2 e - 1,2 (Fig. . 104) . Então a equação tem dois raiz: -5,2 e -1,2.

№4.CONJUNTO DE NÚMEROS REAIS

A união de um conjunto de números racionais e um conjunto de números irracionais é chamada de conjunto válido (ou real ) números . O conjunto dos números reais é denotado pelo símbolo R. Obviamente, .

Os números reais são mostrados em eixo numérico Oh pontos (Fig.). Neste caso, cada número real corresponde a um determinado ponto do eixo numérico, e cada ponto do eixo corresponde a um determinado número real.

Portanto, em vez das palavras “número real” você pode dizer “ponto”.

Nº 5. Intervalos numéricos.

Tipo de lacuna	Imagens geométricas	Designação	Escrevendo usando desigualdades
Intervalo

Meio intervalo
Meio intervalo


Feixe aberto
Feixe aberto

Nº 6. Função numérica.

Seja dado um conjunto de números Se cada número estiver associado a um único número sim, então eles dizem isso no set D dado numérico função :

sim = f (x),

Muitos D chamado domínio da função e é designado D (f (x)). Um conjunto composto por todos os elementos f (x), onde é chamado faixa de função e é designado E (f (x)).

Número x frequentemente chamado argumento de função ou variável independente, e o número sim– variável dependente ou, de fato, função variável x. O número correspondente ao valor é chamado valor da função em um ponto e denotar

Para definir uma função f, você precisa especificar:

1) seu domínio de definição D (f (x));

2) especifique a regra f, pelo qual cada valor está associado a um determinado valor sim = f (x).

№7. Função inversa,

Função inversa

Se os papéis de argumento e função forem invertidos, então x passará a ser uma função sim. Neste caso falamos sobre uma nova função chamada função inversa. Digamos que temos uma função:

v = você 2 ,

Onde você- argumento, um v- função. Se mudarmos seus papéis, teremos você como uma função v :

Se denotarmos o argumento em ambas as funções por x , e a função – através sim, então temos duas funções:

cada um dos quais é o inverso do outro.

EXEMPLOS. Essas funções são inversas uma da outra:

1) pecado x e Arcsin x, porque se sim= pecado x, Que x= Arcsin sim;

2) porque x e Arccos x, porque se sim=porque x, Que x= Arcos sim;

3) bronzeado x e Arctano x, porque se sim= bronzeado x, Que x= Arctano sim;

4) e x e dentro x, porque se sim= e x, Que x= registro você.

Funções trigonométricas inversas- funções matemáticas que são inversas das funções trigonométricas. Seis funções são geralmente classificadas como funções trigonométricas inversas:

arco seno(símbolo: arco seno)

arco cosseno(símbolo: arcos)

arco tangente(designação: arctg; na literatura estrangeira arctan)

arco tangente(designação: arcctg; na literatura estrangeira arccotan)

arco secante(símbolo: arcosec)

arcossecante(designação: arccosec; na literatura estrangeira arccsc)

№8. Funções elementares básicas. Funções elementares

É importante notar que as funções trigonométricas inversas são multivaloradas (infinitamente significativas) e, ao trabalhar com elas, são utilizados os chamados valores principais.

№9. Números complexos

são escritos na forma: um+ bi. Aqui um E b – números reais, Um eu – unidade imaginária, ou seja, eu 2 = –1. Número um chamado abscissa,um b – ordenar número complexo um+ bi. Dois números complexos um+ bi E um – bi são chamados conjugado números complexos.

Os números reais podem ser representados por pontos em uma linha reta, conforme mostrado na figura, onde o ponto A representa o número 4 e o ponto B o número -5. Esses mesmos números também podem ser representados pelos segmentos OA, OB, levando em consideração não só o seu comprimento, mas também a sua direção.

Cada ponto M da reta numérica representa algum número real (racional se o segmento OM for proporcional a uma unidade de comprimento, e irracional se for incomensurável). Isso não deixa espaço para números complexos na reta numérica.

Mas os números complexos podem ser representados no plano numérico. Para isso, selecionamos um sistema de coordenadas retangulares no plano, com a mesma escala em ambos os eixos.

Número complexo a + b eu representado por um ponto M cuja abcissa x é igual à abcissa um número complexo, e a ordenada de y é igual à ordenada b número complexo.

Neste artigo examinaremos em detalhes módulo de número. Daremos várias definições do módulo de um número, introduziremos notação e forneceremos ilustrações gráficas. Ao mesmo tempo, vejamos vários exemplos de como encontrar o módulo de um número por definição. Após isso, listaremos e justificaremos as principais propriedades do módulo. No final do artigo, falaremos sobre como o módulo de um número complexo é determinado e encontrado.

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Módulo numérico - definição, notação e exemplos

Primeiro apresentamos designação de módulo numérico. Escreveremos o módulo do número a como , ou seja, à esquerda e à direita do número colocaremos traços verticais para formar o sinal do módulo. Vamos dar alguns exemplos. Por exemplo, o módulo −7 pode ser escrito como; o módulo 4.125 é escrito como e o módulo possui uma notação no formato.

A seguinte definição de módulo refere-se a, e, portanto, a, e a números inteiros, e a números racionais e irracionais, como partes constituintes do conjunto de números reais. Falaremos sobre o módulo de um número complexo em.

Definição.

Módulo do número a– este é o próprio número a, se a for um número positivo, ou o número −a, o oposto do número a, se a for um número negativo, ou 0, se a=0.

A definição expressa do módulo de um número é frequentemente escrita na seguinte forma , esta entrada significa que se a>0, se a=0 e se a<0 .

O registro pode ser apresentado de forma mais compacta . Esta notação significa que se (a for maior ou igual a 0), e se a<0 .

Há também a entrada . Aqui devemos explicar separadamente o caso quando a=0. Neste caso temos , mas −0=0, pois zero é considerado um número oposto a si mesmo.

Vamos dar exemplos de como encontrar o módulo de um número usando uma definição declarada. Por exemplo, vamos encontrar os módulos dos números 15 e . Vamos começar encontrando. Como o número 15 é positivo, seu módulo, por definição, é igual a esse próprio número, ou seja,. Qual é o módulo de um número? Como é um número negativo, seu módulo é igual ao número oposto ao número, ou seja, o número . Por isso, .

Para concluir este ponto, apresentamos uma conclusão que é muito conveniente para usar na prática ao encontrar o módulo de um número. Da definição do módulo de um número segue-se que o módulo de um número é igual ao número sob o sinal do módulo sem levar em conta seu sinal, e a partir dos exemplos discutidos acima isso é claramente visível. A declaração declarada explica por que o módulo de um número também é chamado valor absoluto do número. Portanto, o módulo de um número e o valor absoluto de um número são a mesma coisa.

Módulo de um número como distância

Geometricamente, o módulo de um número pode ser interpretado como distância. Vamos dar determinar o módulo de um número através da distância.

Definição.

Módulo do número a– esta é a distância da origem na linha de coordenadas ao ponto correspondente ao número a.

Esta definição é consistente com a definição do módulo de um número dada no primeiro parágrafo. Vamos esclarecer este ponto. A distância da origem ao ponto correspondente a um número positivo é igual a este número. Zero corresponde à origem, portanto a distância da origem ao ponto com coordenada 0 é igual a zero (não é necessário separar um único segmento unitário e nem um único segmento que componha qualquer fração de um segmento unitário em ordem para ir do ponto O a um ponto com coordenada 0). A distância da origem a um ponto com coordenada negativa é igual ao número oposto à coordenada deste ponto, pois é igual à distância da origem ao ponto cuja coordenada é o número oposto.

Por exemplo, o módulo do número 9 é igual a 9, pois a distância da origem ao ponto com coordenada 9 é igual a nove. Vamos dar outro exemplo. O ponto com coordenada −3,25 está localizado a uma distância de 3,25 do ponto O, então .

A definição declarada do módulo de um número é um caso especial da definição do módulo da diferença de dois números.

Definição.

Módulo da diferença de dois números aeb é igual à distância entre os pontos da linha de coordenadas com coordenadas a e b.

Ou seja, se forem dados pontos na linha de coordenadas A(a) e B(b), então a distância do ponto A ao ponto B é igual ao módulo da diferença entre os números a e b. Se tomarmos o ponto O (origem) como ponto B, obteremos a definição do módulo de um número dada no início deste parágrafo.

Determinando o módulo de um número usando a raiz quadrada aritmética

Ocasionalmente ocorre determinação do módulo via raiz quadrada aritmética.

Por exemplo, vamos calcular os módulos dos números −30 e com base nesta definição. Nós temos. Da mesma forma, calculamos o módulo de dois terços: .

A definição do módulo de um número através da raiz quadrada aritmética também é consistente com a definição dada no primeiro parágrafo deste artigo. Vamos mostrar. Seja a um número positivo e seja −a um número negativo. Então E , se a=0 , então .

Propriedades do módulo

O módulo possui vários resultados característicos - propriedades do módulo. Agora apresentaremos os principais e mais utilizados deles. Ao justificar essas propriedades, contaremos com a definição do módulo de um número em termos de distância.

Vamos começar com a propriedade mais óbvia do módulo – O módulo de um número não pode ser um número negativo. Na forma literal, esta propriedade tem a forma de qualquer número a. Esta propriedade é muito fácil de justificar: o módulo de um número é uma distância e a distância não pode ser expressa como um número negativo.

Vamos passar para a próxima propriedade do módulo. O módulo de um número é zero se e somente se esse número for zero. O módulo de zero é zero por definição. Zero corresponde à origem; nenhum outro ponto da reta coordenada corresponde a zero, pois cada número real está associado a um único ponto da reta coordenada. Pela mesma razão, qualquer número diferente de zero corresponde a um ponto diferente da origem. E a distância da origem a qualquer ponto diferente do ponto O não é zero, pois a distância entre dois pontos é zero se e somente se esses pontos coincidirem. O raciocínio acima prova que apenas o módulo de zero é igual a zero.

Vamos em frente. Os números opostos possuem módulos iguais, ou seja, para qualquer número a. Na verdade, dois pontos na reta coordenada, cujas coordenadas são números opostos, estão à mesma distância da origem, o que significa que os módulos dos números opostos são iguais.

A seguinte propriedade do módulo é: O módulo do produto de dois números é igual ao produto dos módulos desses números, aquilo é, . Por definição, o módulo do produto dos números aeb é igual a a·b se , ou −(a·b) se . Das regras de multiplicação de números reais segue-se que o produto dos módulos dos números aeb é igual a a·b, , ou −(a·b) se , o que prova a propriedade em questão.

O módulo do quociente de a dividido por b é igual ao quociente do módulo de um número dividido pelo módulo de b, aquilo é, . Vamos justificar esta propriedade do módulo. Como o quociente é igual ao produto, então. Em virtude da propriedade anterior temos . Resta usar a igualdade, que é válida em virtude da definição do módulo de um número.

A seguinte propriedade de um módulo é escrita como uma inequação: , a , b e c são números reais arbitrários. A desigualdade escrita nada mais é do que desigualdade triangular. Para deixar isso claro, vamos pegar os pontos A(a), B(b), C(c) na reta coordenada e considerar um triângulo degenerado ABC, cujos vértices estão na mesma reta. Por definição, o módulo da diferença é igual ao comprimento do segmento AB, - ao comprimento do segmento AC, e - ao comprimento do segmento CB. Como o comprimento de qualquer lado de um triângulo não excede a soma dos comprimentos dos outros dois lados, então a desigualdade é verdadeira , portanto, a desigualdade também é verdadeira.

A desigualdade que acabamos de provar é muito mais comum na forma . A desigualdade escrita é geralmente considerada como uma propriedade separada do módulo com a formulação: “ O módulo da soma de dois números não excede a soma dos módulos desses números" Mas a desigualdade decorre diretamente da desigualdade se colocarmos −b em vez de b e tomarmos c=0.

Módulo de um número complexo

Vamos dar definição do módulo de um número complexo. Que nos seja dado número complexo, escrito em forma algébrica, onde x e y são alguns números reais, representando, respectivamente, as partes real e imaginária de um determinado número complexo z, e é a unidade imaginária.

Definição.

Módulo de um número complexo z=x+i·y é a raiz quadrada aritmética da soma dos quadrados das partes reais e imaginárias de um determinado número complexo.

O módulo de um número complexo z é denotado como, então a definição declarada do módulo de um número complexo pode ser escrita como .

Esta definição permite calcular o módulo de qualquer número complexo em notação algébrica. Por exemplo, vamos calcular o módulo de um número complexo. Neste exemplo, a parte real de um número complexo é igual a e a parte imaginária é igual a menos quatro. Então, pela definição do módulo de um número complexo, temos .

A interpretação geométrica do módulo de um número complexo pode ser dada através da distância, por analogia com a interpretação geométrica do módulo de um número real.

Definição.

Módulo de um número complexo z é a distância do início do plano complexo ao ponto correspondente ao número z neste plano.

De acordo com o teorema de Pitágoras, a distância do ponto O a um ponto com coordenadas (x, y) é encontrada como, portanto,, onde. Portanto, a última definição do módulo de um número complexo concorda com a primeira.

Esta definição também permite indicar imediatamente a que é igual o módulo de um número complexo z, se for escrito na forma trigonométrica como ou em forma demonstrativa. Aqui . Por exemplo, o módulo de um número complexo é igual a 5, e o módulo de um número complexo é igual a.

Você também pode notar que o produto de um número complexo e seu número complexo conjugado dá a soma dos quadrados das partes real e imaginária. Realmente, . A igualdade resultante permite-nos dar outra definição do módulo de um número complexo.

Definição.

Módulo de um número complexo z é a raiz quadrada aritmética do produto deste número e o número complexo conjugado dele, ou seja,.

Concluindo, notamos que todas as propriedades de um módulo formuladas no parágrafo correspondente também são válidas para números complexos.

Referências.

Vilenkin N.Ya. e outros. 6ª série: livro didático para instituições de ensino geral.
Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Álgebra: livro didático para a 8ª série. instituições educacionais.
Luntz GL, Elsgolts LE. Funções de uma variável complexa: um livro didático para universidades.
Privalov I.I. Introdução à teoria das funções de uma variável complexa.

Já sabemos que o conjunto dos números reais $R$ é formado por números racionais e irracionais.

Os números racionais sempre podem ser representados como frações decimais (periódicas finitas ou infinitas).

Os números irracionais são escritos como frações decimais infinitas, mas não periódicas.

O conjunto de números reais $R$ também inclui os elementos $-\infty $ e $+\infty $, para os quais as desigualdades $-\infty são válidas

Vejamos maneiras de representar números reais.

Frações comuns

Definição

Uma fração é chamada própria se seu numerador for menor que seu denominador. Por outro lado, uma fração é chamada de fração imprópria se seu numerador for maior ou igual ao denominador.

Para frações ordinárias, existem regras de comparação simples, quase óbvias ($m$,$n$,$p$ - números naturais):

de duas frações com denominadores iguais, aquela com numerador maior é maior, ou seja, $\frac(m)(p) >\frac(n)(p) $ para $m>n$;
de duas frações com numeradores iguais, aquela com denominador menor é maior, ou seja, $\frac(p)(m) >\frac(p)(n) $ para $ m
uma fração própria é sempre menor que um; uma fração imprópria é sempre maior que um; uma fração em que o numerador é igual ao denominador é igual a um;
Toda fração imprópria é maior que toda fração própria.

Números decimais

Definição

Exemplo 1

Determine o valor do número decimal 3,74. Obtemos: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

O número decimal pode ser arredondado. Neste caso, deve-se indicar o dígito para o qual é realizado o arredondamento.

A regra de arredondamento é a seguinte:

todos os dígitos à direita deste dígito são substituídos por zeros (se esses dígitos estiverem antes da vírgula) ou descartados (se esses dígitos estiverem após a vírgula);
se o primeiro dígito após um determinado dígito for menor que 5, então o dígito desse dígito não será alterado;
se o primeiro dígito após um determinado dígito for 5 ou mais, o dígito desse dígito será aumentado em um.

Exemplo 2

Vamos arredondar o número 17302 para milhares: 17000.
Vamos arredondar o número 17378 para centenas: 17400.
Vamos arredondar o número 17378,45 para dezenas: 17380.
Vamos arredondar o número 378,91434 para o centésimo mais próximo: 378,91.
Vamos arredondar o número 378,91534 para o centésimo mais próximo: 378,92.

Converta um número decimal em uma fração.

Caso 1

Um número decimal representa uma fração decimal final.

O exemplo a seguir demonstra o método de conversão.

Exemplo 2

Temos: $3,74=3+\frac(7)(10) +\frac(4)(100) $.

Reduzimos isso a um denominador comum e obtemos:

A fração pode ser reduzida: $3,74=\frac(374)(100) =\frac(187)(50) $.

Caso 2

Um decimal representa uma fração decimal periódica infinita.

O método de conversão baseia-se no fato de que a parte periódica de uma fração decimal periódica pode ser considerada como a soma dos termos de uma progressão geométrica decrescente infinita.

Exemplo 4

$0,\esquerda(74\direita)=\frac(74)(100) +\frac(74)(10000) +\frac(74)(1000000) +\ldots $. O primeiro termo da progressão é $a=0,74$, o denominador da progressão é $q=0,01$.

Exemplo 5

$0,5\esquerda(8\direita)=\frac(5)(10) +\frac(8)(100) +\frac(8)(1000) +\frac(8)(10000) +\ldots $ . O primeiro termo da progressão é $a=0,08$, o denominador da progressão é $q=0,1$.

A soma dos termos de uma progressão geométrica decrescente infinita é calculada pela fórmula $s=\frac(a)(1-q) $, onde $a$ é o primeiro termo e $q$ é o denominador da progressão $ \esquerda (0

Exemplo 6

Vamos converter a fração decimal periódica infinita $0,\left(72\right)$ em uma fração regular.

Exemplo 7

Vamos converter a fração decimal periódica infinita $0,5\left(3\right)$ em uma fração regular.

O primeiro termo da progressão é $a=0,03$, o denominador da progressão é $q=0,1$. Obtemos: $s=\frac(a)(1-q) =\frac(0,03)(1-0,1) =\frac(0,03)(0,9) =\frac(3)( 90) =\frac(1 )(30) $.

Assim, $0,5\left(3\right)=\frac(5)(10) +\frac(1)(30) =\frac(5\cdot 3)(10\cdot 3) +\frac( 1)( 30) =\frac(15)(30) +\frac(1)(30) =\frac(16)(30) =\frac(8)(15) $.

Os números reais podem ser representados por pontos no eixo dos números.

Neste caso, chamamos o eixo dos números de uma reta infinita na qual são selecionadas a origem (ponto $O$), a direção positiva (indicada por uma seta) e a escala (para exibição dos valores).

Intervalo $\left(a,\; b\right)$. Ao mesmo tempo $a
Segmento $\esquerda$. Além disso, $a\le x\le b$.
Meios segmentos ou meio intervalos $\left$. Além disso $a\le x
Intervalos infinitos, por exemplo $a

Valor absoluto de um número

Geometricamente, $\left|x\right|$ significa a distância entre os pontos $x$ e 0 na reta numérica.

Propriedades de valores absolutos:

da definição segue que $\left|x\right|\ge 0$, $\left|x\right|=\left|-x\right|$;
para o módulo da soma e para o módulo da diferença de dois números, as seguintes desigualdades são válidas: $\left|x+y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right| $, $\left|x-y\right|\le \left|x\right|+\left|y\right|$, bem como $\left|x+y\right|\ge \left|x\right |-\esquerda|y\direita|$,$\ esquerda|x-y\direita|\ge \esquerda|x\direita|-\esquerda|y\direita|$;
para o módulo do produto e o módulo do quociente de dois números, as seguintes igualdades são verdadeiras: $\left|x\cdot y\right|=\left|x\right|\cdot \left|y\right| $ e $\left|\frac(x)( y) \right|=\frac(\left|x\right|)(\left|y\right|) $.

Com base na definição do valor absoluto para um número arbitrário $a>0$, pode-se também estabelecer a equivalência dos seguintes pares de desigualdades:

se $\esquerda|x\direita|
se $\left|x\right|\le a$, então $-a\le x\le a$;
se $\left|x\right|>a$, então $xa$;
se $\left|x\right|\ge a$, então $x\le -a$ ou $x\ge a$.

Exemplo 8

Resolva a desigualdade $\left|2\cdot x+1\right|

Esta desigualdade é equivalente às desigualdades $-7

A partir daqui obtemos: $-8