Trabalho de pesquisa: “A história do surgimento das equações quadráticas”.

Da história das equações quadráticas Autor: aluna do 9º ano “A” Svetlana Radchenko Supervisor: Alabugina I.A. professor de matemática MBOU “Escola Secundária No. 5 de Guryevsk” região de Kemerovo Área temática de apresentação: matemática Feito para ajudar o professor Total de 20 slides Conteúdo Introdução……………………………………………… …………… ……………3 Da história de origem equações quadráticas Equações quadráticas na Babilônia Antiga………………………………….4 Equações quadráticas na Índia…………………………………………………………...5 Equações quadráticas em Al -Khorezmi……………………………………………………6 Como Diofanto compôs e resolveu equações quadráticas…………………….....7 Equações quadráticas em Europa séculos Xll – XVIII… …………………………...8 3. Equações quadráticas hoje…………………………………………………….10 Metodologia para estudar equações quadráticas…………………………………11 10 maneiras de resolver equações quadráticas…………………………………….12 Algoritmo para resolver equações quadráticas incompletas………… ………………13 Algoritmo para resolver equações quadráticas completas equações…………………………..14 Resolvendo as equações quadráticas dadas……………………………………15 4. Aplicações práticas de equações quadráticas para resolução de problemas aplicados…………………………………………………………………………………….16 5. Conclusão. …………………………………………………………………………………18 1. 2. 6. Lista de referências utilizadas………………… ………………… …………….19 2 Introdução Considere infeliz aquele dia ou aquela hora em que você não aprendeu nada de novo, não acrescentou nada à sua educação. Jan Amos Comenius 3 As equações quadráticas são a base sobre a qual repousa o majestoso edifício da álgebra. Eles são amplamente utilizados na resolução de equações e desigualdades trigonométricas, exponenciais, logarítmicas, irracionais e transcendentais. As equações quadráticas ocupam um lugar de destaque no curso de álgebra escolar. Muito tempo no curso de matemática escolar é dedicado ao seu estudo. Basicamente, as equações quadráticas servem a propósitos práticos específicos. A maioria dos problemas sobre formas espaciais e relações quantitativas no mundo real se resume a resolver Vários tipos equações, inclusive quadráticas. Ao dominar formas de resolvê-los, as pessoas encontram respostas para diversas questões da ciência e da tecnologia. Da história do surgimento das equações quadráticas Antiga Babilônia: já cerca de 2.000 anos aC, os babilônios sabiam como resolver equações quadráticas. Os métodos eram conhecidos para resolver equações quadráticas completas e incompletas. Por exemplo, na Antiga Babilônia, as seguintes equações quadráticas foram resolvidas: 4 Índia Problemas resolvidos usando equações quadráticas são encontrados no tratado de astronomia "Aryabhattiam", escrito pelo astrônomo e matemático indiano Aryabhatta em 499 DC. Outro cientista indiano, Brahmagupta, delineou uma regra universal para resolver uma equação quadrática reduzida à forma canônica: ax2+bx=c; Além disso, assumiu-se que todos os coeficientes nele contidos, exceto “a”, poderiam ser negativos. A regra formulada pelo cientista coincide essencialmente com a moderna. 5 Equações quadráticas em Al-Khorezmi: No tratado algébrico de Al-Khorezmi, é dada uma classificação de equações lineares e quadráticas. O autor conta 6 tipos de equações, expressando-as da seguinte forma: “Quadrados são iguais a raízes”, ou seja, ax2 = bx.; “Quadrados são iguais a números”, ou seja, ax2 = c; “As raízes são iguais ao número”, ou seja, ax = c; “Quadrados e números são iguais a raízes”, ou seja, ax2 + c = bx; “Quadrados e raízes são iguais ao número”, ou seja, ax2 + bx = c; “Raízes e números são iguais a quadrados”, ou seja, bx + c = ax2. 6 Como Diofanto compôs e resolveu equações quadráticas: Um dos matemáticos gregos antigos mais singulares foi Diofante de Alexandria. Nem o ano de nascimento nem a data da morte de Diofanto foram esclarecidos; Acredita-se que ele viveu no século III. DE ANÚNCIOS Das obras de Diofanto, a mais importante é a Aritmética, dos quais 13 livros, apenas 6 sobreviveram até hoje. A Aritmética de Diofanto não contém uma apresentação sistemática da álgebra, mas contém uma série de problemas, acompanhados de explicações e resolvidos pela construção de equações de vários graus. Ao compor equações, Diofanto seleciona habilmente incógnitas para simplificar a solução. 7 Equações quadráticas na Europa nos séculos XII-XVII: O matemático italiano Leonard Fibonacci desenvolveu de forma independente alguns novos exemplos algébricos de resolução de problemas e foi o primeiro na Europa a introduzir números negativos. A regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica x2 + bх = с para todas as combinações possíveis de sinais e coeficientes b, c foi formulada na Europa em 1544 por Michael Stiefel. 8 François Viet O matemático francês F. Viet (1540-1603), introduziu um sistema de símbolos algébricos, desenvolveu os fundamentos da álgebra elementar. Ele foi um dos primeiros a denotar números por letras, o que desenvolveu significativamente a teoria das equações. Derivação da fórmula para resolver uma equação quadrática em visão geral O Vietnã tem isso, mas o Viet reconheceu apenas raízes positivas. 9 Equações quadráticas hoje A capacidade de resolver equações quadráticas serve de base para resolver outras equações e seus sistemas. Aprender a resolver equações começa com seus tipos mais simples, e o programa determina o acúmulo gradual de ambos os tipos e o “fundo” de transformações idênticas e equivalentes, com a ajuda das quais você pode reduzir uma equação arbitrária à mais simples. O processo de desenvolvimento de técnicas generalizadas de resolução de equações em um curso escolar de álgebra também deve ser construído nessa direção. Em um curso de matemática do ensino médio, os alunos se deparam com novas classes de equações, sistemas ou com um estudo aprofundado de equações já conhecidas. 10 Métodos para estudar equações quadráticas Ao iniciar o estudo de um curso de álgebra sistemática, a atenção principal é. dedicado a métodos de resolução de equações quadráticas, que se tornam um objeto especial de estudo. Este tema caracteriza-se pela grande profundidade de apresentação e pela riqueza das ligações estabelecidas com o seu auxílio no ensino, e pela validade lógica da apresentação. Portanto, ocupa uma posição excepcional na linha de equações e desigualdades. Um ponto importante no estudo das equações quadráticas é a consideração do teorema de Vieta, que afirma a existência de uma relação entre as raízes e os coeficientes da equação quadrática reduzida. A dificuldade de dominar o teorema de Vieta se deve a diversas circunstâncias. Em primeiro lugar, é necessário levar em consideração a diferença entre os teoremas direto e inverso. 11 10 maneiras de resolver equações quadráticas: Fatorando o lado esquerdo da equação. Método para selecionar um quadrado completo. Resolvendo equações quadráticas usando a fórmula. Resolvendo equações usando o teorema de Vieta. Resolução de equações pelo método do “arremesso”. Propriedades dos coeficientes de uma equação quadrática. Solução gráfica de uma equação quadrática. Resolvendo equações quadráticas usando compasso e régua. 12 Resolvendo equações quadráticas usando um nomograma. Método geométrico para resolução de equações quadráticas. Algoritmo para resolução de equações quadráticas incompletas 1) se a equação tem a forma ax2 = 0, então ela tem uma raiz x = 0; 2) se a equação tiver a forma ax2 + bx = 0, então o método de fatoração é usado: x (ax + b) = 0; isso significa x = 0 ou ax + b = 0. Como resultado, obtemos duas raízes: x1 = 0; x2 = 3) se a equação tem a forma ax2 + c = 0, então ela é transformada na forma ax2 = - c e então x2.= No caso quando -< 0, уравнение х2 =- не имеет корней (значит, не имеет корней и исходное уравнение ах2 + с = 0). В случае, когда - >0, ou seja - = m, onde m>0, a equação x2 = m tem duas raízes. Assim, uma equação quadrática incompleta pode ter duas raízes, uma raiz ou nenhuma raiz. 13 Algoritmo para resolver uma equação quadrática completa. Estas são equações da forma ax2 + bx + c = 0, onde a, b, c são números dados e ≠ 0, x é uma incógnita. Qualquer equação quadrática completa pode ser convertida em forma para determinar o número de raízes da equação quadrática e encontrar essas raízes. Os seguintes casos de resolução de equações quadráticas completas são considerados: D< 0, D = 0, D >0. 1. Se D< 0, то квадратное уравнение ах2 + bx + c = 0 не имеет действительных корней. Так как D = 0, то данное уравнение имеет один корень. Этот корень находится по формуле. 3. Если D >0, então a equação quadrática ax2 + bx + c = 0 tem duas raízes, que são encontradas pelas fórmulas: ; 14 Solução de equações quadráticas reduzidas Teorema de F. Vieta: A soma das raízes da equação quadrática reduzida é igual ao segundo coeficiente tomado com sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre. Em outras palavras, se x1 e x2 são as raízes da equação x2 +px + q = 0, então x1 + x2 = - p, x1 x2 = q. (*) Teorema inverso ao teorema de Vieta: Se as fórmulas (*) são válidas para os números x1, x2, p, q, então x1 e x2 são as raízes da equação x2 + px + q = 0. 15 Aplicações práticas de equações quadráticas para resolução de problemas aplicados Bhaskar (1114-1185) - o maior matemático e astrônomo indiano do século XII. Ele chefiou o observatório astronômico em Ujjain. Bhaskara escreveu o tratado “Siddhanta-shiromani” (“Coroa do Ensino”), composto por quatro partes: “Lilavati” é dedicado à aritmética, “Bizhaganita” - à álgebra, “Goladhaya” - às esféricas, “Granhaganita” - ao teoria dos movimentos planetários. Bhaskara obteve raízes negativas das equações, embora duvidasse de sua importância. Ele possui um dos primeiros projetos de uma máquina de movimento perpétuo. 16 Um dos problemas do famoso matemático indiano do século XII. Bhaskara: A solução de Bhaskara mostra que o autor sabia que as raízes das equações quadráticas têm dois valores. 17 Conclusão O desenvolvimento da ciência da resolução de equações quadráticas percorreu um caminho longo e espinhoso. Somente depois dos trabalhos de Stiefel, Vieta, Tartaglia, Cardano, Bombelli, Girard, Descartes e Newton é que a ciência da resolução de equações quadráticas aceitou visual moderno. A importância das equações quadráticas não reside apenas na elegância e brevidade da resolução de problemas, embora isso também seja muito importante. É igualmente importante que, como resultado do uso de equações quadráticas na resolução de problemas, novos detalhes sejam frequentemente descobertos, generalizações interessantes possam ser feitas e esclarecimentos possam ser feitos, que são sugeridos pela análise das fórmulas e relações resultantes. Estudando a literatura e os recursos da Internet relacionados à história do desenvolvimento das equações quadráticas, me perguntei: “O que motivou os cientistas que viveram em uma época tão difícil a se engajarem na ciência, mesmo sob ameaça de morte?” Provavelmente, em primeiro lugar, é a curiosidade da mente humana que é a chave para o desenvolvimento da ciência. Perguntas sobre a essência do mundo, sobre o lugar do homem neste mundo sempre assombram pessoas pensantes, curiosas e inteligentes. As pessoas sempre se esforçaram para compreender a si mesmas e seu lugar no mundo. Olhe para dentro de você, talvez sua curiosidade natural esteja sofrendo porque você cedeu ao dia a dia e à preguiça? O destino de muitos cientistas são 18 exemplos a seguir. Nem todos os nomes são bem conhecidos e populares. Pense nisso: como sou para as pessoas próximas a mim? Mas o mais importante é como me sinto comigo mesmo: sou digno de respeito? Pense nisso... Referências 1. Zvavich L.I. “Álgebra 8ª série”, M., 2002. 2. Savin Yu.P. “ dicionário enciclopédico jovem matemático”, M., 1985. 3. Yu.N.Makarychev “Álgebra 8ª série”, M, 2012. 4. https://ru.wikipedia.org 5. http://www.ido.rudn.ru /nfpk/matemat/05/main_1.htm 6. http://rudocs.exdat.com/docs/index-14235.html 7. http://podelise.ru/docs/40825/index-2427.html 19 Obrigado você por atenção 20

 Representantes de várias civilizações: Antigo Egito, Antiga Babilônia, Grécia antiga, Índia Antiga, China antiga, Oriente Medieval, a Europa dominou as técnicas de resolução de equações quadráticas.

Pela primeira vez, os matemáticos do Antigo Egito conseguiram resolver uma equação quadrática. Um dos papiros matemáticos contém o seguinte problema:

“Encontre os lados de um campo em forma de retângulo se sua área for 12 e seus comprimentos forem iguais à sua largura.” “O comprimento do campo é 4”, afirma o papiro.

Milênios se passaram e os números negativos entraram na álgebra. Resolvendo a equação x²= 16, obtemos dois números: 4, –4.

 É claro que, no problema egípcio, consideraríamos X = 4, uma vez que o comprimento do campo só pode ser uma quantidade positiva.

Fontes que chegaram até nós indicam que os cientistas antigos possuíam algumas técnicas gerais para resolver problemas com quantidades desconhecidas. A regra para resolver equações quadráticas estabelecida nos textos babilônicos é essencialmente a mesma que a moderna, mas não se sabe como os babilônios “chegaram tão longe”. Mas em quase todos os papiros e textos cuneiformes encontrados, apenas problemas com soluções são apresentados. Os autores apenas ocasionalmente forneceram aos seus cálculos numéricos comentários acanhados como: “Olha!”, “Faça isto!”, “Você encontrou o caminho certo!”

O matemático grego Diofanto compôs e resolveu equações quadráticas. Sua Aritmética não contém uma apresentação sistemática da álgebra, mas contém uma série sistemática de problemas, acompanhados de explicações e resolvidos pela construção de equações de vários graus.

Problemas de composição de equações quadráticas já são encontrados no tratado astronômico “Aria-bhatiam”, compilado em 499 pelo matemático e astrônomo indiano Aryabhatta.

Outro cientista indiano Brahmagupta (século VII) descreveu regra geral resolvendo equações quadráticas da forma ax² + bx = c.

​ Na Índia antiga, eram comuns as competições públicas para resolver problemas difíceis. Um dos antigos livros indianos diz o seguinte sobre tais competições: “Assim como o sol eclipsa as estrelas com seu brilho, assim também homem instruído eclipsará a glória de outro assembleias populares, propondo e resolvendo problemas algébricos.” Os problemas eram frequentemente apresentados de forma poética.

Este é um dos problemas do famoso matemático indiano do século XII. Bhaskars:

Um bando de macacos brincalhões

Depois de comer o quanto quis, me diverti.

A oitava parte deles na praça se divertia na clareira.

E doze nas vinhas... começaram a pular, pendurados...​

Quantos macacos havia?

Me diga, neste pacote?

A solução de Bhaskara mostra que ele sabia que as raízes das equações quadráticas têm dois valores.

 Os textos matemáticos chineses mais antigos que chegaram até nós datam do final do século I. AC. No século II. AC. Matemática em Nove Livros foi escrita. Mais tarde, no século VII, foi incluído na coleção “Dez Tratados Clássicos”, que foi estudada durante muitos séculos. O tratado "Matemática em Nove Livros" explica como extrair Raiz quadrada usando a fórmula do quadrado da soma de dois números.

O método foi chamado de “Tian Yuan” (literalmente “ elemento celestial") - é assim que os chineses denotam uma quantidade desconhecida.​

 O primeiro manual para resolução de problemas que se tornou amplamente conhecido foi o trabalho do cientista de Bagdá do século IX. Muhammad bin Musa al-Khwarizmi. A palavra “al-jabr” acabou se transformando na conhecida palavra “álgebra”, e o próprio trabalho de al-Khorezmi tornou-se o ponto de partida no desenvolvimento da ciência da resolução de equações. O tratado algébrico de Al-Khwarizmi fornece uma classificação de equações lineares e quadráticas. O autor conta seis tipos de equações, expressando-as da seguinte forma:

-quadrados iguais raízes, isto é, ah ² = bх;

-quadrados iguais ao número, isto é, ah ²=s;

-as raízes são iguais ao número, isto é, ax = c;

-quadrados e números são iguais a raízes, isto é, ah ²+ с = bх;

-quadrados e raízes são iguais ao número, isto é, ah ² + bх = с;

-raízes e números são iguais a quadrados, isto é, bx + c = machado ²;

O tratado de Al-Khwarizmi é o primeiro livro que chegou até nós, que apresenta sistematicamente a classificação das equações quadráticas e fornece fórmulas para sua solução.

As fórmulas para resolver equações quadráticas modeladas após al-Khwarizmi na Europa foram apresentadas pela primeira vez no Livro do Ábaco, escrito em 1202 pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci. O autor desenvolveu de forma independente alguns novos exemplos algébricos de resolução de problemas e foi o primeiro na Europa a introduzir números negativos. O seu livro contribuiu para a difusão do conhecimento algébrico não só na Itália, mas também na Alemanha, França e outros países europeus. Muitos problemas do “Livro do Ábaco” foram incluídos em quase todos os livros europeus dos séculos XVI-XVII. e em parte do século XVIII.

Regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica x ² + bх = с, para todas as combinações possíveis de sinais dos coeficientes b e с foi formulado na Europa apenas em 1544 por M. Stiefel.

Vieta tem uma derivação geral da fórmula para resolver uma equação quadrática, mas também reconhece apenas raízes positivas. Os matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estiveram entre os primeiros no século XVI. Além das raízes positivas e negativas, elas são levadas em consideração. Somente no século XVII, graças aos trabalhos de Girard, Descartes, Newton e outros cientistas, o método de resolução de equações quadráticas assumiu sua forma moderna.

​

​

Equações quadráticas na Antiga Babilônia A necessidade de resolver equações não só de primeiro, mas também de segundo grau na antiguidade era causada pela necessidade de resolver problemas relacionados à localização de áreas de terrenos e terraplenagem de natureza militar, bem como com o desenvolvimento da astronomia e da própria matemática. Os babilônios foram capazes de resolver equações quadráticas cerca de 2.000 anos antes da nossa fé. Usando a notação algébrica moderna, podemos dizer que em seus textos cuneiformes, além dos incompletos, existem, por exemplo, equações quadráticas completas: A regra para resolver essas equações, estabelecida nos textos babilônicos, coincide com a moderna, mas não se sabe como os babilônios conseguiram essas regras. Quase todos os textos cuneiformes encontrados até agora apresentam apenas problemas com soluções apresentadas em forma de receitas, sem nenhuma indicação de como foram encontrados. Apesar de alto nível desenvolvimento da álgebra na Babilônia, os textos cuneiformes carecem do conceito de número negativo e métodos gerais resolvendo equações quadráticas.

Como Diofanto compôs e resolveu equações quadráticas “Encontre dois números, sabendo que sua soma é 20 e seu produto é 96.” Diofanto raciocina da seguinte forma: das condições do problema segue-se que os números necessários não são iguais, porque se fossem iguais, então seu produto não seria 96, mas 100. Assim, um deles seria mais da metade suas quantidades, ou seja, 10+X, o outro é menor, ou seja, 10-X. A diferença entre eles é 2X, portanto X = 2. Um dos números necessários é 12, o outro é 8. A solução X = -2 não existe para Diofanto, pois a matemática grega conhecia apenas números positivos. EQUAÇÃO: ou:

Equações quadráticas na Índia Problemas sobre equações quadráticas também são encontrados no tratado astronômico “Aryabhattiam”, compilado em 499 pelo matemático e astrônomo indiano Aryabhatta. Outro cientista indiano, Brahmagupta, delineou a regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica: ax² +bx=c, a>0 Um dos problemas do famoso matemático indiano do século XII Bhaskara Um bando de macacos brincalhões , depois de comer o quanto quisessem, se divertiram. Parte oito deles na praça eu estava me divertindo na clareira. E doze nas vinhas... Começaram a pular pendurados... Quantos macacos havia, diga-me, neste rebanho? A equação correspondente ao problema: Baskara escreve sob a forma: Adicionado lado esquerdo para quadrado, 0 Um dos problemas do famoso matemático indiano do século 12 Bhaskara Um bando de macacos brincalhões, depois de comer o quanto queriam, se divertiu. Parte oito deles na praça eu estava me divertindo na clareira. E doze nas vinhas... Começaram a pular pendurados... Quantos macacos havia, diga-me, neste rebanho? A equação correspondente ao problema: Baskara escreve sob a forma: Completou o lado esquerdo de um quadrado,">

Equações quadráticas na Ásia Antiga Foi assim que o cientista da Ásia Central al-Khwarizmi resolveu esta equação: Ele escreveu: “A regra é: dobre o número de raízes, x = 2x 5, você obtém cinco neste problema, multiplique 5 por este igual a ele, serão vinte e cinco, 5 ·5=25 some isso a trinta e nove, haverá sessenta e quatro, 64 tire a raiz disso, será oito, 8 e subtraia disso a metade do número de raízes, ou seja, cinco, 8-5 permanecerão 3, esta será a raiz do quadrado que você estava procurando." E a segunda raiz? A segunda raiz não foi encontrada, pois os números negativos não eram conhecidos. x x = 39

Equações quadráticas na Europa séculos XIII-XVII. A regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica x2+inx+c=0 foi formulada na Europa apenas em 1544 por Stiefel. As fórmulas para resolver equações quadráticas na Europa foram declaradas pela primeira vez em 1202 pelo matemático italiano Leonard Fibonacci. A derivação da fórmula para resolver uma equação quadrática na forma geral está disponível em Viète, mas Viète reconheceu apenas raízes positivas. Somente no século XVII. graças aos trabalhos de Descartes, Newton e outros cientistas, o método de resolução de equações quadráticas assume uma forma moderna

Sobre o teorema de Vieta O teorema que expressa a relação entre os coeficientes de uma equação quadrática e suas raízes, que leva o nome de Vieta, foi formulado por ele pela primeira vez em 1591 da seguinte forma: “Se B + D multiplicado por A-A é igual a BD, então A é igual a B e é igual a D." Para entender Vieta, deve-se lembrar que A, como qualquer letra vocálica, significava a incógnita (nosso x), enquanto as vogais B, D são coeficientes da incógnita. Na linguagem da álgebra moderna, a formulação de Vieta acima significa: Se a equação quadrática dada x 2 +px+q=0 tem raízes reais, então sua soma é igual a -p, e o produto é igual a q, ou seja, x 1 + x 2 = -p, x 1 x 2 = q (a soma das raízes da equação quadrática acima é igual ao segundo coeficiente tomado com o sinal oposto, e o produto das raízes é igual ao termo livre ).

O método de fatoração traz uma equação quadrática geral na forma: A(x)·B(x)=0, onde A(x) e B(x) são polinômios em relação a x. Objetivo: Tirar o fator comum dos colchetes; Usando fórmulas de multiplicação abreviadas; Método de agrupamento. Métodos: Exemplo:

Raízes de uma equação quadrática: Se D>0, Se D 0, If D"> 0, If D"> 0, If D" title="Raízes de uma equação quadrática: Se D>0, Se D"> title="Raízes de uma equação quadrática: Se D>0, Se D"> !}

X 1 ex 2 são as raízes da equação Resolvendo equações usando o teorema de Vieta X 2 + 3X – 10 = 0 X 1 X 2 = – 10, o que significa que as raízes têm sinais diferentes X 1 + X 2 = – 3, o que significa que a raiz com módulo maior é negativa. Por seleção encontramos as raízes: X 1 = – 5, X 2 = 2 Por exemplo:

0, pelo teorema inverso ao teorema de Vieta, obtemos as raízes: 5;6, depois voltamos às raízes da equação original: 2,5; 3. Resposta: 2,5; 3. Solução da equação" title="Resolva a equação: 2x 2 - 11x +15 = 0. Vamos transferir o coeficiente 2 para o termo livre de 2 - 11y +30= 0. D>0, conforme ao teorema inverso ao teorema de Vieta, obtemos as raízes: 5;6, depois voltamos às raízes da equação original: 2,5;" class="link_thumb"> 14 !} Resolva a equação: 2x x +15 = 0. Vamos transferir o coeficiente 2 para o termo livre y y +30= 0. D>0, de acordo com o teorema inverso ao teorema de Vieta, obtemos as raízes: 5;6, então nós retorne às raízes da equação original: 2, 5; 3. Resposta: 2,5; 3. Resolvendo equações usando o método “throw” 0, pelo teorema inverso ao teorema de Vieta, obtemos as raízes: 5;6, depois voltamos às raízes da equação original: 2,5; 3. Resposta: 2,5; 3. Solução da equação "> 0, conforme teorema inverso ao teorema de Vieta, obtemos as raízes: 5;6, depois voltamos às raízes da equação original: 2,5; 3. Resposta: 2,5; 3. Solução das equações pelo método de "transferência." > 0, pelo teorema inverso ao teorema de Vieta, obtemos as raízes: 5;6, depois voltamos às raízes da equação original: 2,5; 3. Resposta: 2,5; 3. Solução da equação" title="Resolva a equação: 2x 2 - 11x +15 = 0. Vamos transferir o coeficiente 2 para o termo livre de 2 - 11y +30= 0. D>0, conforme ao teorema inverso ao teorema de Vieta, obtemos as raízes: 5;6, depois voltamos às raízes da equação original: 2,5;"> title="Resolva a equação: 2x 2 - 11x +15 = 0. Vamos transferir o coeficiente 2 para o termo livre y 2 - 11y +30= 0. D>0, pelo teorema inverso ao teorema de Vieta, obtemos as raízes: 5; 6, então voltamos às raízes das equações originais: 2,5; 3. Resposta: 2,5; 3. Solução da equação"> !}

Se em uma equação quadrática a+b+c=0, então uma das raízes é igual a 1, e a segunda pelo teorema de Vieta é igual à segunda pelo teorema de Vieta é igual a Se em uma equação quadrática a+c=b , então uma das raízes é igual a (-1), e a segunda de acordo com o teorema de Vieta é igual a Exemplo: Propriedades dos coeficientes da equação quadrática 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = uma + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Resposta: 1; 137x x – 157 = 0. a = 137, b = 20, c = a + b+ c = – 157 =0. x 1 = 1, Resposta: 1;

Método gráfico para resolver uma equação quadrática Sem usar fórmulas, uma equação quadrática pode ser resolvida graficamente. Vamos resolver a equação. Para isso, construiremos dois gráficos: X Y X 01 Y012 Resposta: As abcissas dos pontos de intersecção dos gráficos serão as raízes da equação. Se os gráficos se cruzarem em dois pontos, a equação terá duas raízes. Se os gráficos se cruzarem em um ponto, a equação terá uma raiz. Se os gráficos não se cruzarem, a equação não terá raízes. 1)y=x2 2)y=x+1

Resolvendo equações quadráticas usando um nomograma Este é um método antigo e imerecidamente esquecido de resolver equações quadráticas, colocado na p. 83 “Tabelas matemáticas de quatro dígitos” Bradis V.M. Tabela XXII. Nomograma para resolução de uma equação Este nomograma permite, sem resolver uma equação quadrática, determinar as raízes da equação a partir de seus coeficientes. Para a equação, o nomograma fornece as raízes

Método geométrico para resolver equações quadráticas Nos tempos antigos, quando a geometria era mais desenvolvida que a álgebra, as equações quadráticas eram resolvidas não algebricamente, mas sim geometricamente. Mas, por exemplo, como os antigos gregos resolviam a equação: ou Expressões e representam geometricamente o mesmo quadrado, e a equação original é a mesma equação. Onde conseguimos o quê, ou

Conclusão Estes métodos de solução merecem atenção, uma vez que nem todos estão refletidos nos manuais escolares de matemática; dominar essas técnicas ajudará os alunos a economizar tempo e a resolver equações com eficácia; precisa em solução rápida pela utilização de sistema de provas de vestibular;

a) Equações quadráticas na Antiga Babilônia

A necessidade de resolver equações não só de primeiro, mas também de segundo grau, ainda na antiguidade, foi provocada pela necessidade de resolver problemas relacionados com a localização de áreas de terrenos e com trabalhos de escavação de carácter militar, também como aconteceu com o desenvolvimento da astronomia e da própria matemática. Equações quadráticas poderiam ser resolvidas por volta de 2.000 aC. Babilônios. Usando a notação algébrica moderna, podemos dizer que em seus textos cuneiformes existem, além dos incompletos, como, por exemplo, equações quadráticas completas:

x 2 + x = , x 2 – x = 14

A regra para resolver estas equações, estabelecida nos textos babilônicos, coincide essencialmente com a moderna, mas não se sabe como os babilônios chegaram a esta regra. Quase todos os textos cuneiformes encontrados até agora apresentam apenas problemas com soluções apresentadas na forma de receitas, sem nenhuma indicação de como foram encontrados.

Apesar do alto nível de desenvolvimento da álgebra na Babilônia, os textos cuneiformes carecem do conceito de número negativo e de métodos gerais para resolver equações quadráticas.

A Aritmética de Diofanto não contém uma apresentação sistemática da álgebra, mas contém uma série sistemática de problemas, acompanhados de explicações e resolvidos pela construção de equações de vários graus.

Ao compor equações, Diofanto seleciona habilmente incógnitas para simplificar a solução.

Aqui, por exemplo, está uma de suas tarefas.

Problema 2. “Encontre dois números, sabendo que sua soma é 20 e seu produto é 96.”

Diofanto raciocina da seguinte forma: das condições do problema segue-se que os números requeridos não são iguais, pois se fossem iguais, então seu produto não seria igual a 96, mas a 100. Assim, um deles será maior que metade de sua soma, ou seja, 10 + x. O outro é menor, ou seja, 10 - x. A diferença entre eles é 2x. Daí a equação:

(10+x)(10-x) =96,

ou

Portanto, x = 2. Um dos números necessários é 12, o outro é 8. A solução x = - 2 não existe para Diofanto, pois a matemática grega conhecia apenas números positivos.

Se você resolver este problema escolhendo um dos números necessários como desconhecido, poderá chegar a uma solução para a equação:

É claro que ao escolher a meia diferença dos números necessários como a incógnita, Diofanto simplifica a solução; ele consegue reduzir o problema à resolução de uma equação quadrática incompleta.
b) Equações quadráticas na Índia.

Problemas sobre equações quadráticas já são encontrados no tratado astronômico “Aryabhattiam”, compilado em 499 pelo matemático e astrônomo indiano Aryabhatta. Outro cientista indiano, Brahmagupta (século VII), estabeleceu uma regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica

Oh 2 + bx = c, uma > 0

Na equação, os coeficientes, exceto A, pode ser negativo. O governo de Brahmagupta é essencialmente o mesmo que o nosso.

As competições públicas para resolver problemas difíceis eram comuns na Índia. Um dos antigos livros indianos diz o seguinte sobre tais competições: “Assim como o sol ofusca as estrelas com seu brilho, um homem instruído ofuscará sua glória em assembléias públicas, propondo e resolvendo problemas algébricos”. Os problemas eram frequentemente apresentados de forma poética.

Este é um dos problemas do famoso matemático indiano do século XII. Bhaskars.

Tarefa 3.

A equação correspondente ao problema 3 é:

Bhaskara escreve disfarçado:

x 2 - 64x = - 768

e, para completar o lado esquerdo desta equação em um quadrado, soma 32 2 a ambos os lados, obtendo então:

x 2 - b4x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x 1 = 16, x 2 = 48.

c) Equações quadráticas de Al-Khorezmi

O tratado algébrico de Al-Khwarizmi fornece uma classificação de equações lineares e quadráticas. O autor conta 6 tipos de equações, expressando-as da seguinte forma:

1. 
   “Quadrados são iguais a raízes”, ou seja, ax 2 = bx.
2. 
   “Quadrados são iguais a números”, ou seja, ax 2 = c.
3. 
   “As raízes são iguais ao número”, ou seja, ax = c.
4. 
   “Quadrados e números são iguais a raízes”, ou seja, ax 2 + c = bx.
5. 
   “Quadrados e raízes são iguais ao número”, ou seja, ax 2 + bx = c.
6. 
   “Raízes e números são iguais a quadrados”, ou seja, bx + c == ax 2.

Vamos dar um exemplo.

Problema 4. “O quadrado e o número 21 são iguais a 10 raízes. Encontre a raiz” (ou seja, a raiz da equação x 2 + 21 = 10x).

Solução: divida o número de raízes pela metade, você obtém 5, multiplique 5 por ele mesmo, subtraia 21 do produto, o que resta é 4. Tire a raiz de 4, você obtém 2. Subtraia 2 de 5, você obtém 3, isso será a raiz desejada. Ou adicione 2 a 5, o que dá 7, isso também é uma raiz.

O tratado de Al-Khorezmi é o primeiro livro que chegou até nós, que apresenta sistematicamente a classificação das equações quadráticas e fornece fórmulas para sua solução.

d) Equações quadráticas na Europa nos séculos XIII-XVII.

As fórmulas para resolver equações quadráticas modeladas após al-Khwarizmi na Europa foram apresentadas pela primeira vez no “Livro do Ábaco”, escrito em 1202 pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci. Esta volumosa obra, que reflete a influência da matemática tanto dos países islâmicos como da Grécia Antiga, distingue-se pela sua completude e clareza de apresentação. O autor desenvolveu de forma independente alguns novos exemplos algébricos de resolução de problemas e foi o primeiro na Europa a abordar a introdução de números negativos. O seu livro contribuiu para a difusão do conhecimento algébrico não só na Itália, mas também na Alemanha, França e outros países europeus. Muitos problemas do Livro do Ábaco foram usados ​​em quase todos os livros europeus dos séculos XVI-XVII. e parcialmente XVIII.

Regra geral para resolver equações quadráticas reduzidas a uma única forma canônica

x 2 + bx = c,

para todas as combinações possíveis de sinais de coeficiente b, Com foi formulado na Europa apenas em 1544 por M. Stiefel.

A derivação da fórmula para resolver uma equação quadrática na forma geral está disponível em Vieta, mas Vieta reconheceu apenas raízes positivas. Os matemáticos italianos Tartaglia, Cardano, Bombelli estiveram entre os primeiros no século XVI. Além das positivas, também são levadas em consideração as raízes negativas. Somente no século XVII. Graças aos trabalhos de Girard, Descartes, Newton e outros cientistas, o método de resolução de equações quadráticas assume uma forma moderna.

As origens dos métodos algébricos para resolver problemas práticos estão ligadas à ciência mundo antigo. Como se sabe da história da matemática, uma parte significativa dos problemas de natureza matemática, resolvidos pelos escribas-calculadores egípcios, sumérios e babilônios (séculos XX-VI aC), eram de natureza computacional. Porém, mesmo assim, de vez em quando, surgiam problemas em que o valor desejado de uma quantidade era especificado por certas condições indiretas que, do nosso ponto de vista moderno, exigiam a composição de uma equação ou sistema de equações. Inicialmente, métodos aritméticos foram utilizados para resolver tais problemas. Posteriormente, os primórdios dos conceitos algébricos começaram a se formar. Por exemplo, as calculadoras babilônicas foram capazes de resolver problemas que podem ser reduzidos do ponto de vista classificação moderna para equações do segundo grau. Foi criado um método de resolução de problemas verbais, que posteriormente serviu de base para o isolamento da componente algébrica e seu estudo independente.

Este estudo foi realizado em outra época, primeiro por matemáticos árabes (séculos VI-X DC), que identificaram as ações características pelas quais as equações foram reduzidas a modo de exibição padrão trazendo termos semelhantes, transferindo termos de uma parte da equação para outra com mudança de sinal. E depois pelos matemáticos europeus do Renascimento, que, como resultado de uma longa pesquisa, criaram a linguagem da álgebra moderna, o uso de letras, a introdução de símbolos para operações aritméticas, parênteses, etc. Séculos XVII. a álgebra como parte específica da matemática, com matéria, método e áreas de aplicação próprios, já estava formada. O seu desenvolvimento posterior, até aos nossos dias, consistiu em melhorar métodos, ampliar o âmbito de aplicações, esclarecer conceitos e suas ligações com conceitos de outros ramos da matemática.

Assim, tendo em vista a importância e vastidão do material relacionado ao conceito de equação, seu estudo em métodos modernos a matemática está associada a três áreas principais de sua origem e funcionamento.