Investigação de uma função com solução detalhada. Como examinar uma função e representá-la graficamente

Uma das tarefas mais importantes do cálculo diferencial é o desenvolvimento exemplos comuns estudos de comportamento funcional.

Se a função y=f(x) for contínua no intervalo e sua derivada for positiva ou igual a 0 no intervalo (a,b), então y=f(x) aumenta em (f"(x)0) . Se a função y=f (x) for contínua no segmento e sua derivada for negativa ou igual a 0 no intervalo (a,b), então y=f(x) diminui em (f"(x)0. )

Os intervalos em que a função não diminui nem aumenta são chamados de intervalos de monotonicidade da função. A monotonicidade de uma função só pode mudar nos pontos de seu domínio de definição em que o sinal da primeira derivada muda. Os pontos nos quais a primeira derivada de uma função desaparece ou apresenta descontinuidade são chamados críticos.

Teorema 1 (1ª condição suficiente para a existência de um extremo).

Seja a função y=f(x) definida no ponto x 0 e haja uma vizinhança δ>0 tal que a função seja contínua no intervalo e diferenciável no intervalo (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , e sua derivada retém um sinal constante em cada um desses intervalos. Então se em x 0 -δ,x 0) e (x 0 , x 0 +δ) os sinais da derivada são diferentes, então x 0 é um ponto extremo, e se eles coincidirem, então x 0 não é um ponto extremo . Além disso, se, ao passar pelo ponto x0, a derivada muda de sinal de mais para menos (à esquerda de x 0 f"(x)>0 é satisfeita, então x 0 é o ponto máximo; se a derivada muda de sinal de menos para mais (à direita de x 0 executado f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Os pontos máximo e mínimo são chamados de pontos extremos da função, e o máximo e o mínimo da função são chamados de valores extremos.

Teorema 2 (um sinal necessário de um extremo local).

Se a função y=f(x) tem um extremo na corrente x=x 0, então f’(x 0)=0 ou f’(x 0) não existe.
Nos pontos extremos da função diferenciável, a tangente ao seu gráfico é paralela ao eixo do Boi.

Algoritmo para estudar uma função para um extremo:

1) Encontre a derivada da função.
2) Encontre pontos críticos, ou seja, pontos nos quais a função é contínua e a derivada é zero ou não existe.
3) Considere a vizinhança de cada ponto e examine o sinal da derivada à esquerda e à direita deste ponto.
4) Determine as coordenadas dos pontos extremos; para isso, substitua os valores dos pontos críticos nesta função. Usando condições suficientes para o extremo, tire as conclusões apropriadas.

Exemplo 18. Examine a função y=x 3 -9x 2 +24x para um extremo

Solução.
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Igualando a derivada a zero, encontramos x 1 =2, x 2 =4. Neste caso, a derivada é definida em todos os lugares; Isto significa que além dos dois pontos encontrados, não existem outros pontos críticos.
3) O sinal da derivada y"=3(x-2)(x-4) muda dependendo do intervalo conforme mostrado na Figura 1. Ao passar pelo ponto x=2, a derivada muda de sinal de mais para menos, e ao passar pelo ponto x=4 - de menos para mais.
4) No ponto x=2 a função tem um máximo y max =20, e no ponto x=4 - um mínimo y min =16.

Teorema 3. (2ª condição suficiente para a existência de um extremo).

Seja f"(x 0) e no ponto x 0 existe f""(x 0). Então se f""(x 0)>0, então x 0 é o ponto mínimo, e se f""(x 0)<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Em um segmento, a função y=f(x) pode atingir o menor (y o menor) ou o maior (y o maior) valor nos pontos críticos da função situados no intervalo (a;b), ou em as extremidades do segmento.

Algoritmo para encontrar o maior e o menor valor de uma função contínua y=f(x) no segmento:

1) Encontre f"(x).
2) Encontre os pontos em que f"(x)=0 ou f"(x) não existe e selecione entre eles aqueles que estão dentro do segmento.
3) Calcule o valor da função y=f(x) nos pontos obtidos no passo 2), bem como nas extremidades do segmento e selecione o maior e o menor deles: são, respectivamente, os maiores (y o maior) e o menor (e o menor) valores da função no intervalo.

Exemplo 19. Encontre o maior valor da função contínua y=x 3 -3x 2 -45+225 no segmento.

1) Temos y"=3x 2 -6x-45 no segmento
2) A derivada y" existe para todo x. Vamos encontrar os pontos em que y"=0; Nós temos:
3x 2 -6x-45=0
x 2 -2x-15=0
x1=-3; x 2 = 5
3) Calcule o valor da função nos pontos x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
O segmento contém apenas o ponto x=5. O maior dos valores encontrados da função é 225, e o menor é o número 50. Portanto, y max = 225, y min = 50.

Estudo de uma função na convexidade

A figura mostra gráficos de duas funções. O primeiro deles é convexo para cima, o segundo é convexo para baixo.

A função y=f(x) é contínua no segmento e diferenciável no intervalo (a;b), é chamada convexa para cima (para baixo) neste segmento se, para axb, seu gráfico não estiver acima (nem abaixo) do que o tangente desenhada em qualquer ponto M 0 (x 0 ;f(x 0)), onde axb.

Teorema 4. Deixe a função y=f(x) ter uma segunda derivada em qualquer ponto interior x do segmento e ser contínua nas extremidades deste segmento. Então, se a desigualdade f""(x)0 se mantém no intervalo (a;b), então a função é convexa para baixo no intervalo; se a desigualdade f""(x)0 se mantém no intervalo (a;b), então a função é convexa para cima em .

Teorema 5. Se a função y=f(x) tem uma segunda derivada no intervalo (a;b) e muda de sinal ao passar pelo ponto x 0, então M(x 0 ;f(x 0)) é um ponto de inflexão.

Regra para encontrar pontos de inflexão:

1) Encontre os pontos em que f""(x) não existe ou desaparece.
2) Examine o sinal f""(x) à esquerda e à direita de cada ponto encontrado na primeira etapa.
3) Com base no Teorema 4, tire uma conclusão.

Exemplo 20. Encontre os pontos extremos e pontos de inflexão do gráfico da função y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Temos f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Obviamente, f"(x)=0 quando x 1 =0, x 2 =1. Ao passar pelo ponto x=0, a derivada muda de sinal de menos para mais, mas ao passar pelo ponto x=1 ela não muda de sinal. Isso significa que x=0 é o ponto mínimo (y min =12) e não há extremo no ponto x=1. A seguir, encontramos . A segunda derivada desaparece nos pontos x 1 =1, x 2 =1/3. Os sinais da segunda derivada mudam da seguinte forma: No raio (-∞;) temos f""(x)>0, no intervalo (;1) temos f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Portanto, x= é o ponto de inflexão do gráfico da função (transição da convexidade para baixo para a convexidade para cima) e x=1 também é o ponto de inflexão (transição da convexidade para cima para a convexidade para baixo). Se x=, então y=; se, então x=1, y=13.

Algoritmo para encontrar a assíntota de um gráfico

I. Se y=f(x) como x → a, então x=a é uma assíntota vertical.
II. Se y=f(x) como x → ∞ ou x → -∞, então y=A é uma assíntota horizontal.
III. Para encontrar a assíntota oblíqua, usamos o seguinte algoritmo:
1) Calcule. Se o limite existe e é igual a b, então y=b é uma assíntota horizontal; se , vá para a segunda etapa.
2) Calcule. Se este limite não existir, então não existe assíntota; se existir e for igual a k, vá para a terceira etapa.
3) Calcule. Se este limite não existir, então não existe assíntota; se existir e for igual a b, vá para a quarta etapa.
4) Escreva a equação da assíntota oblíqua y=kx+b.

Exemplo 21: Encontre a assíntota de uma função

1)
2)
3)
4) A equação da assíntota oblíqua tem a forma

Esquema para estudar uma função e construir seu gráfico

I. Encontre o domínio de definição da função.
II. Encontre os pontos de intersecção do gráfico da função com os eixos coordenados.
III. Encontre assíntotas.
4. Encontre possíveis pontos extremos.
V. Encontre pontos críticos.
VI. Usando a figura auxiliar, explore o sinal da primeira e da segunda derivadas. Determine áreas de função crescente e decrescente, encontre a direção de convexidade do gráfico, pontos extremos e pontos de inflexão.
VII. Construa um gráfico, levando em consideração a pesquisa realizada nos parágrafos 1 a 6.

Exemplo 22: Construa um gráfico da função de acordo com o diagrama acima

Solução.
I. O domínio de uma função é o conjunto de todos os números reais, exceto x=1.
II. Como a equação x 2 +1=0 não tem raízes reais, o gráfico da função não tem pontos de intersecção com o eixo Ox, mas intercepta o eixo Oy no ponto (0;-1).
III. Esclareçamos a questão da existência de assíntotas. Vamos estudar o comportamento da função próximo ao ponto de descontinuidade x=1. Como y → ∞ como x → -∞, y → +∞ como x → 1+, então a reta x=1 é a assíntota vertical do gráfico da função.
Se x → +∞(x → -∞), então y → +∞(y → -∞); portanto, o gráfico não possui uma assíntota horizontal. Além disso, da existência de limites

Resolvendo a equação x 2 -2x-1=0 obtemos dois pontos extremos possíveis:
x 1 =1-√2 e x 2 =1+√2

V. Para encontrar os pontos críticos, calculamos a segunda derivada:

Como f""(x) não desaparece, não há pontos críticos.
VI. Vamos examinar o sinal da primeira e da segunda derivada. Possíveis pontos extremos a serem considerados: x 1 =1-√2 e x 2 =1+√2, divida o domínio de existência da função em intervalos (-∞;1-√2),(1-√2;1 +√2) e (1+√2;+∞).

Em cada um desses intervalos, a derivada mantém seu sinal: no primeiro - mais, no segundo - menos, no terceiro - mais. A sequência de sinais da primeira derivada será escrita da seguinte forma: +,-,+.
Descobrimos que a função aumenta em (-∞;1-√2), diminui em (1-√2;1+√2) e aumenta novamente em (1+√2;+∞). Pontos extremos: máximo em x=1-√2, e f(1-√2)=2-2√2 mínimo em x=1+√2, e f(1+√2)=2+2√2. Em (-∞;1) o gráfico é convexo para cima, e em (1;+∞) é convexo para baixo.
VII Vamos fazer uma tabela dos valores obtidos

VIII Com base nos dados obtidos, construímos um esboço do gráfico da função

Os pontos de referência no estudo de funções e na construção de seus gráficos são pontos característicos - pontos de descontinuidade, extremo, inflexão, intersecção com eixos coordenados. Utilizando o cálculo diferencial, é possível estabelecer os traços característicos das mudanças nas funções: aumento e diminuição, máximos e mínimos, direção de convexidade e concavidade do gráfico, presença de assíntotas.

Um esboço do gráfico da função pode (e deve) ser traçado após encontrar as assíntotas e os pontos extremos, sendo conveniente preencher o quadro resumo do estudo da função à medida que o estudo avança.

O seguinte esquema de estudo de função é geralmente usado.

1.Encontre o domínio de definição, intervalos de continuidade e pontos de interrupção da função.

2.Examine a função quanto à paridade ou estranheza (simetria axial ou central do gráfico.

3.Encontre assíntotas (vertical, horizontal ou oblíqua).

4.Encontre e estude os intervalos de aumento e diminuição da função, seus pontos extremos.

5.Encontre os intervalos de convexidade e concavidade da curva, seus pontos de inflexão.

6.Encontre os pontos de intersecção da curva com os eixos coordenados, se existirem.

7.Compile uma tabela de resumo do estudo.

8.É construído um gráfico levando em consideração o estudo da função realizado de acordo com os pontos descritos acima.

Exemplo. Explorar função

e construa seu gráfico.

7. Vamos compilar uma tabela resumo para o estudo da função, onde inseriremos todos os pontos característicos e os intervalos entre eles. Levando em consideração a paridade da função, obtemos a seguinte tabela:

Hoje convidamos você a explorar e construir o gráfico de uma função conosco. Depois de estudar cuidadosamente este artigo, você não precisará suar muito para concluir esse tipo de tarefa. Não é fácil estudar e construir o gráfico de uma função; é um trabalho volumoso que exige máxima atenção e precisão nos cálculos. Para facilitar a compreensão do material, estudaremos passo a passo a mesma função e explicaremos todas as nossas ações e cálculos. Bem-vindo ao incrível e fascinante mundo da matemática! Ir!

Domínio

Para explorar e representar graficamente uma função, você precisa conhecer várias definições. Função é um dos conceitos principais (básicos) da matemática. Reflete a dependência entre diversas variáveis ​​(duas, três ou mais) durante as mudanças. A função também mostra a dependência dos conjuntos.

Imagine que temos duas variáveis ​​que possuem uma certa faixa de variação. Portanto, y é função de x, desde que cada valor da segunda variável corresponda a um valor da segunda. Neste caso, a variável y é dependente e é chamada de função. Costuma-se dizer que as variáveis ​​​​x e y estão em Para maior clareza dessa dependência, é construído um gráfico da função. O que é um gráfico de uma função? Este é um conjunto de pontos no plano de coordenadas, onde cada valor de x corresponde a um valor de y. Os gráficos podem ser diferentes - linha reta, hipérbole, parábola, onda senoidal e assim por diante.

É impossível traçar uma função sem pesquisa. Hoje aprenderemos como realizar pesquisas e construir o gráfico de uma função. É muito importante fazer anotações durante o estudo. Isso tornará a tarefa muito mais fácil de realizar. O plano de pesquisa mais conveniente:

1. Domínio.
2. Continuidade.
3. Par ou ímpar.
4. Periodicidade.
5. Assíntotas.
6. Zeros.
7. Assine constância.
8. Aumentando e diminuindo.
9. Extremos.
10. Convexidade e concavidade.

Vamos começar com o primeiro ponto. Vamos encontrar o domínio de definição, ou seja, em quais intervalos nossa função existe: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36). No nosso caso, a função existe para quaisquer valores de x, ou seja, o domínio de definição é igual a R. Isso pode ser escrito da seguinte forma xÎR.

Continuidade

Agora examinaremos a função de descontinuidade. Na matemática, o termo “continuidade” surgiu como resultado do estudo das leis do movimento. O que é infinito? Espaço, tempo, algumas dependências (um exemplo é a dependência das variáveis ​​S e t em problemas de movimento), a temperatura de um objeto aquecido (água, frigideira, termômetro, etc.), uma linha contínua (ou seja, aquela que pode ser desenhado sem levantá-lo da folha com um lápis).

Um gráfico é considerado contínuo se não quebrar em algum ponto. Um dos exemplos mais óbvios de tal gráfico é uma senóide, que você pode ver na imagem desta seção. Uma função é contínua em algum ponto x0 se uma série de condições forem atendidas:

• uma função é definida em um determinado ponto;
• os limites direito e esquerdo num ponto são iguais;
• o limite é igual ao valor da função no ponto x0.

Se pelo menos uma condição não for atendida, diz-se que a função falhou. E os pontos em que a função quebra são geralmente chamados de pontos de interrupção. Um exemplo de função que irá “quebrar” quando exibida graficamente é: y=(x+4)/(x-3). Além disso, y não existe no ponto x = 3 (já que é impossível dividir por zero).

Na função que estamos estudando (y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)) tudo acabou sendo simples, pois o gráfico será contínuo.

Par ou ímpar

Agora examine a função para paridade. Primeiro, um pouco de teoria. Uma função par é aquela que satisfaz a condição f(-x)=f(x) para qualquer valor da variável x (do intervalo de valores). Exemplos incluem:

• módulo x (o gráfico parece uma gralha, a bissetriz do primeiro e segundo trimestres do gráfico);
• x ao quadrado (parábola);
• cosseno x (cosseno).

Observe que todos esses gráficos são simétricos quando vistos em relação ao eixo y.

O que então é chamado de função ímpar? Estas são aquelas funções que satisfazem a condição: f(-x)=-f(x) para qualquer valor da variável x. Exemplos:

• hipérbole;
• parábola cúbica;
• sinusóide;
• tangente e assim por diante.

Observe que essas funções são simétricas em relação ao ponto (0:0), ou seja, a origem. Com base no que foi dito nesta seção do artigo, uma função par e ímpar deve ter a propriedade: x pertence ao conjunto de definições e -x também.

Vamos examinar a função de paridade. Podemos ver que ela não se enquadra em nenhuma das descrições. Portanto, nossa função não é par nem ímpar.

Assíntotas

Vamos começar com uma definição. Uma assíntota é uma curva o mais próxima possível do gráfico, ou seja, a distância de um determinado ponto tende a zero. No total, existem três tipos de assíntotas:

• vertical, isto é, paralelo ao eixo y;
• horizontal, isto é, paralelo ao eixo x;
• inclinado.

Quanto ao primeiro tipo, essas linhas devem ser procuradas em alguns pontos:

• brecha;
• extremidades do domínio de definição.

No nosso caso, a função é contínua e o domínio de definição é igual a R. Conseqüentemente, não existem assíntotas verticais.

O gráfico de uma função possui uma assíntota horizontal, que atende ao seguinte requisito: se x tende ao infinito ou menos infinito, e o limite é igual a um determinado número (por exemplo, a). Neste caso, y=a é a assíntota horizontal. Não existem assíntotas horizontais na função que estamos estudando.

Uma assíntota oblíqua existe apenas se duas condições forem atendidas:

• lim(f(x))/x=k;
• lim f(x)-kx=b.

Então ele pode ser encontrado usando a fórmula: y=kx+b. Novamente, no nosso caso não existem assíntotas oblíquas.

Zeros de função

A próxima etapa é examinar o gráfico da função em busca de zeros. Também é muito importante notar que a tarefa associada a encontrar os zeros de uma função ocorre não apenas no estudo e construção de um gráfico de uma função, mas também como uma tarefa independente e como forma de resolver desigualdades. Pode ser necessário encontrar os zeros de uma função em um gráfico ou usar notação matemática.

Encontrar esses valores o ajudará a representar graficamente a função com mais precisão. Em termos simples, o zero de uma função é o valor da variável x no qual y = 0. Se você estiver procurando os zeros de uma função em um gráfico, deverá prestar atenção aos pontos nos quais o gráfico cruza o eixo x.

Para encontrar os zeros da função, você precisa resolver a seguinte equação: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. Após realizar os cálculos necessários, obtemos a seguinte resposta:

Constância de sinal

A próxima etapa da pesquisa e construção de uma função (gráfico) é encontrar intervalos de sinal constante. Isso significa que devemos determinar em quais intervalos a função assume um valor positivo e em quais intervalos ela assume um valor negativo. As funções zero encontradas na última seção nos ajudarão a fazer isso. Portanto, precisamos construir uma linha reta (separada do gráfico) e distribuir os zeros da função ao longo dela na ordem correta, do menor para o maior. Agora você precisa determinar qual dos intervalos resultantes tem um sinal “+” e qual tem um “-”.

No nosso caso, a função assume um valor positivo nos intervalos:

• de 1 a 4;
• de 9 ao infinito.

Significado negativo:

• de menos infinito a 1;
• das 4 às 9.

Isso é muito fácil de determinar. Substitua qualquer número do intervalo na função e veja qual sinal a resposta tem (menos ou mais).

Funções crescentes e decrescentes

Para explorar e construir uma função, precisamos saber onde o gráfico aumentará (subirá ao longo do eixo Oy) e onde irá cair (rastejará para baixo ao longo do eixo y).

Uma função aumenta apenas se um valor maior da variável x corresponder a um valor maior de y. Ou seja, x2 é maior que x1 e f(x2) é maior que f(x1). E observamos um fenômeno completamente oposto com função decrescente (quanto mais x, menos y). Para determinar os intervalos de aumento e diminuição, você precisa encontrar o seguinte:

• domínio de definição (já temos);
• derivada (no nosso caso: 1/3(3x^2-28x+49);
• resolva a equação 1/3(3x^2-28x+49)=0.

Após os cálculos obtemos o resultado:

Obtemos: a função aumenta nos intervalos de menos infinito a 7/3 e de 7 ao infinito, e diminui no intervalo de 7/3 a 7.

Extremos

A função em estudo y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) é contínua e existe para qualquer valor da variável x. O ponto extremo mostra o máximo e o mínimo de uma determinada função. No nosso caso não existem, o que simplifica muito a tarefa de construção. Caso contrário, eles também podem ser encontrados usando a função derivada. Uma vez encontrados, não esqueça de marcá-los no gráfico.

Convexidade e concavidade

Continuamos a explorar ainda mais a função y(x). Agora precisamos verificar a convexidade e a concavidade. As definições desses conceitos são bastante difíceis de compreender, é melhor analisar tudo por meio de exemplos. Para o teste: uma função é convexa se for uma função não decrescente. Concordo, isso é incompreensível!

Precisamos de determinar a derivada de uma função de segunda ordem. Obtemos: y=1/3(6x-28). Agora vamos igualar o lado direito a zero e resolver a equação. Resposta: x=14/3. Encontramos o ponto de inflexão, ou seja, o local onde o gráfico muda de convexidade para concavidade ou vice-versa. No intervalo de menos infinito a 14/3 a função é convexa, e de 14/3 a mais infinito é côncava. Também é muito importante observar que o ponto de inflexão no gráfico deve ser suave e suave, não devendo haver cantos vivos.

Definindo pontos adicionais

Nossa tarefa é investigar e construir um gráfico da função. Concluímos o estudo; construir um gráfico da função agora não é difícil. Para uma reprodução mais precisa e detalhada de uma curva ou linha reta no plano coordenado, você pode encontrar vários pontos auxiliares. Eles são bastante fáceis de calcular. Por exemplo, tomamos x=3, resolvemos a equação resultante e encontramos y=4. Ou x=5 e y=-5 e assim por diante. Você pode pegar quantos pontos adicionais forem necessários para a construção. Pelo menos 3-5 deles são encontrados.

Traçando um gráfico

Precisávamos investigar a função (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. Todas as marcações necessárias durante os cálculos foram feitas no plano de coordenadas. Resta construir um gráfico, ou seja, conectar todos os pontos. A ligação dos pontos deve ser suave e precisa, isso é uma questão de habilidade - um pouco de prática e sua programação ficará perfeita.

Para estudar completamente a função e traçar seu gráfico, recomenda-se o seguinte esquema:
A) encontrar o domínio de definição, pontos de interrupção; explore o comportamento de uma função perto de pontos de descontinuidade (encontre os limites da função à esquerda e à direita nesses pontos). Indique as assíntotas verticais.
B) determinar se uma função é par ou ímpar e concluir que existe simetria. Se, então a função é par e simétrica em relação ao eixo OY; quando a função é ímpar, simétrica em relação à origem; e if é uma função de forma geral.
C) encontrar os pontos de intersecção da função com os eixos coordenados OY e OX (se possível), determinar os intervalos de sinal constante da função. Os limites dos intervalos de sinal constante de uma função são determinados pelos pontos em que a função é igual a zero (função zeros) ou não existe e pelos limites do domínio de definição desta função. Nos intervalos onde o gráfico da função está localizado acima do eixo OX, e onde - abaixo deste eixo.
D) encontre a primeira derivada da função, determine seus zeros e intervalos de sinal constante. Nos intervalos onde a função aumenta e onde diminui. Faça uma conclusão sobre a presença de extremos (pontos onde existe uma função e uma derivada e ao passar pelos quais muda de sinal. Se o sinal mudar de mais para menos, então neste ponto a função tem um máximo, e se de menos para mais , então um mínimo). Encontre os valores da função nos pontos extremos.
D) encontre a segunda derivada, seus zeros e intervalos de sinal constante. Nos intervalos onde< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
E) encontrar assíntotas inclinadas (horizontais), cujas equações têm a forma ; Onde
.
No o gráfico da função terá duas assíntotas inclinadas, e cada valor de x em e também pode corresponder a dois valores de b.
G) encontrar pontos adicionais para esclarecer o gráfico (se necessário) e construir um gráfico.

Exemplo 1 Explore a função e construa seu gráfico. Solução: A) domínio de definição; a função é contínua no seu domínio de definição; – ponto de ruptura, porque ; . Então – assíntota vertical.
B)
aqueles. y(x) é uma função de forma geral.
C) Encontre os pontos de intersecção do gráfico com o eixo OY: defina x=0; então y(0)=–1, ou seja, o gráfico da função intercepta o eixo no ponto (0;-1). Zeros da função (pontos de intersecção do gráfico com o eixo OX): definir y=0; Então
.
O discriminante de uma equação quadrática é menor que zero, o que significa que não há zeros. Então o limite dos intervalos de sinal constante é o ponto x=1, onde a função não existe.
O sinal da função em cada um dos intervalos é determinado pelo método dos valores parciais:

Fica claro no diagrama que no intervalo o gráfico da função está localizado abaixo do eixo OX, e no intervalo – acima do eixo OX.
D) Descobrimos a presença de pontos críticos.
.
Encontramos pontos críticos (onde existe ou não) a partir das igualdades e .

Obtemos: x1=1, x2=0, x3=2. Vamos criar uma tabela auxiliar

tabela 1

(A primeira linha contém os pontos críticos e os intervalos em que esses pontos são divididos pelo eixo OX; a segunda linha indica os valores da derivada nos pontos críticos e os sinais nos intervalos. Os sinais são determinados pelo valor parcial método. A terceira linha indica os valores da função y(x) em pontos críticos e mostra o comportamento da função - aumentando ou diminuindo nos intervalos correspondentes do eixo numérico. indicado.
D) Encontre os intervalos de convexidade e concavidade da função.
; construir uma tabela como no ponto D); Somente na segunda linha anotamos os sinais e na terceira indicamos o tipo de convexidade. Porque ; Que ponto crítico um x = 1.
mesa 2

O ponto x=1 é o ponto de inflexão.
E) Encontre assíntotas oblíquas e horizontais

Então y=x é uma assíntota oblíqua.
G) A partir dos dados obtidos, construímos um gráfico da função

1). O escopo da função.
É óbvio que esta função é definida em toda a reta numérica, exceto nos pontos “” e “”, porque nesses pontos o denominador é igual a zero e, portanto, a função não existe, e as retas e são assíntotas verticais.

2). O comportamento de uma função como argumento tende ao infinito, existência de pontos de descontinuidade e verificação da presença de assíntotas oblíquas.
Vamos primeiro verificar como a função se comporta à medida que se aproxima do infinito para a esquerda e para a direita.

Assim, quando a função tende para 1, ou seja, – assíntota horizontal.
Nas proximidades de pontos de descontinuidade, o comportamento da função é determinado da seguinte forma:


Aqueles. Ao se aproximar dos pontos de descontinuidade à esquerda, a função diminui infinitamente e, à direita, aumenta infinitamente.
Determinamos a presença de uma assíntota oblíqua considerando a igualdade:

Não há assíntotas oblíquas.

3). Pontos de intersecção com eixos coordenados.
Aqui é necessário considerar duas situações: encontrar o ponto de intersecção com o eixo Ox e o eixo Oy. O sinal de intersecção com o eixo do Boi é o valor zero da função, ou seja, é necessário resolver a equação:

Esta equação não possui raízes, portanto, o gráfico desta função não possui pontos de intersecção com o eixo do Boi.
O sinal de intersecção com o eixo Oy é o valor x = 0. Neste caso
,
aqueles. – o ponto de intersecção do gráfico da função com o eixo Oy.

4).Determinação de pontos extremos e intervalos de aumento e diminuição.
Para estudar esta questão, definimos a primeira derivada:
.
Vamos igualar o valor da primeira derivada a zero.
.
Uma fração é igual a zero quando seu numerador é igual a zero, ou seja, .
Vamos determinar os intervalos de aumento e diminuição da função.

Assim, a função possui um ponto extremo e não existe em dois pontos.
Assim, a função aumenta nos intervalos e diminui nos intervalos e .

5). Pontos de inflexão e áreas de convexidade e concavidade.
Esta característica do comportamento de uma função é determinada pela segunda derivada. Vamos primeiro determinar a presença de pontos de inflexão. A segunda derivada da função é igual a

Quando e a função é côncava;

quando e a função é convexa.

6). Representando graficamente uma função.
Usando os valores encontrados em pontos, construiremos esquematicamente um gráfico da função:

Solução
A função dada é uma função não periódica de forma geral. Seu gráfico passa pela origem das coordenadas, pois .
O domínio de definição de uma determinada função são todos os valores da variável, exceto e para os quais o denominador da fração se torna zero.
Consequentemente, os pontos são os pontos de descontinuidade da função.
Porque ,

Porque ,
, então o ponto é um ponto de descontinuidade do segundo tipo.
As linhas retas são as assíntotas verticais do gráfico da função.
Equações de assíntotas oblíquas, onde, .
No ,
.
Assim, para e o gráfico da função tem uma assíntota.
Vamos encontrar os intervalos de aumento e diminuição da função e dos pontos extremos.
.
A primeira derivada da função em e, portanto, em e a função aumenta.
Quando, portanto, quando, a função diminui.
não existe para , .
, portanto, quando O gráfico da função é côncavo.
No , portanto, quando O gráfico da função é convexo.

Ao passar pelos pontos , , muda de sinal. Quando , a função não está definida, portanto, o gráfico da função possui um ponto de inflexão.
Vamos construir um gráfico da função.

Faça um estudo completo e represente graficamente a função

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) O escopo da função. Como a função é uma fração, precisamos encontrar os zeros do denominador.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Excluímos o único ponto x=1x=1 do domínio de definição da função e obtemos:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Estudemos o comportamento da função nas proximidades do ponto de descontinuidade. Vamos encontrar limites unilaterais:

Como os limites são iguais ao infinito, o ponto x=1x=1 é uma descontinuidade de segundo tipo, a reta x=1x=1 é uma assíntota vertical.

3) Vamos determinar os pontos de intersecção do gráfico da função com os eixos coordenados.

Vamos encontrar os pontos de intersecção com o eixo das ordenadas OyOy, para os quais igualamos x=0x=0:

Assim, o ponto de intersecção com o eixo OyOy possui coordenadas (0;8)(0;8).

Vamos encontrar os pontos de intersecção com o eixo de abcissas OxOx, para os quais definimos y=0y=0:

A equação não tem raízes, portanto não há pontos de intersecção com o eixo OxOx.

Observe que x2+8>0x2+8>0 para qualquer xx. Portanto, para x∈(−∞;1)x∈(−∞;1), a função y>0y>0 (assume valores positivos, o gráfico está acima do eixo x), para x∈(1;+∞ )x∈(1; +∞) função y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) A função não é par nem ímpar porque:

5) Vamos examinar a função de periodicidade. A função não é periódica, pois é uma função racional fracionária.

6) Vamos examinar a função quanto a extremos e monotonicidade. Para fazer isso, encontramos a primeira derivada da função:

Vamos igualar a primeira derivada a zero e encontrar pontos estacionários (nos quais y′=0y′=0):

Temos três pontos críticos: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Vamos dividir todo o domínio de definição da função em intervalos com esses pontos e determinar os sinais da derivada em cada intervalo:

Para x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) a derivada y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Para x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) a derivada y′>0y′>0, a função aumenta nesses intervalos.

Neste caso, x=−2x=−2 é um ponto de mínimo local (a função diminui e depois aumenta), x=4x=4 é um ponto de máximo local (a função aumenta e depois diminui).

Vamos encontrar os valores da função nestes pontos:

Assim, o ponto mínimo é (−2;4)(−2;4), o ponto máximo é (4;−8)(4;−8).

7) Examinamos a função em busca de torções e convexidade. Vamos encontrar a segunda derivada da função:

Vamos igualar a segunda derivada a zero:

A equação resultante não tem raízes, portanto não há pontos de inflexão. Além disso, quando x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 é satisfeito, ou seja, a função é côncava, quando x∈(1;+∞)x∈( 1;+ ∞) é satisfeito por y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Vamos examinar o comportamento da função no infinito, ou seja, em.

Como os limites são infinitos, não existem assíntotas horizontais.

Vamos tentar determinar assíntotas oblíquas da forma y=kx+by=kx+b. Calculamos os valores de k,bk,b usando fórmulas conhecidas:

Descobrimos que a função tem uma assíntota oblíqua y=−x−1y=−x−1.

9) Pontos adicionais. Vamos calcular o valor da função em alguns outros pontos para construir o gráfico com mais precisão.

y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.y(−5)=5,5;y(2)=−12;y(7)=−9,5.

10) Com base nos dados obtidos, construiremos um gráfico, complementaremos com assíntotas x=1x=1 (azul), y=−x−1y=−x−1 (verde) e marcaremos os pontos característicos (intersecção roxa com a ordenada eixo, extremos laranja, pontos adicionais pretos):

Tarefa 4: Problemas geométricos e econômicos (não tenho ideia do que, aqui está uma seleção aproximada de problemas com soluções e fórmulas)

Exemplo 3.23. a

Solução. x E sim sim
y = uma - 2×uma/4 =uma/2. Como x = a/4 é o único ponto crítico, vamos verificar se o sinal da derivada muda ao passar por esse ponto. Para xa/4 S " > 0, e para x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет valor mais alto funções. Assim, a proporção de aspecto mais favorável do local nas condições dadas do problema é y = 2x.

Exemplo 3.24.

Solução.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Exemplo 3.22. Encontre os extremos da função f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Solução. Como f "(x) = 6x 2 - 30x +36 = 6(x ​​​​-2)(x - 3), então os pontos críticos da função x 1 = 2 e x 2 = 3. Extrema só pode estar em esses pontos, assim como ao passar pelo ponto x 1 = 2 a derivada muda seu sinal de mais para menos, então neste ponto a função tem um máximo. Ao passar pelo ponto x 2 = 3 a derivada muda seu sinal de menos. para mais, portanto no ponto x 2 = 3 a função tem um mínimo Tendo calculado os valores da função nos pontos.
x 1 = 2 e x 2 = 3, encontramos os extremos da função: máximo f(2) = 14 e mínimo f(3) = 13.

Exemplo 3.23. Precisamos construir uma plataforma retangular perto parede de pedra de modo que seja cercado em três lados com tela de arame e o quarto lado fique adjacente à parede. Para isso existe a metros lineares grades Em que proporção o site terá maior área?

Solução. Vamos denotar os lados da plataforma por x E sim. A área do site é S = xy. Deixar sim- este é o comprimento do lado adjacente à parede. Então, por condição, a igualdade 2x + y = a deve ser válida. Portanto y = a - 2x e S = x(a - 2x), onde
0 ≤ x ≤ a/2 (o comprimento e a largura do pad não podem ser negativos). S " = a - 4x, a - 4x = 0 em x = a/4, de onde
y = uma - 2×uma/4 =uma/2. Como x = a/4 é o único ponto crítico, vamos verificar se o sinal da derivada muda ao passar por esse ponto. Para xa/4 S " > 0, e para x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Exemplo 3.24.É necessário produzir um tanque cilíndrico fechado com capacidade de V=16p ≈ 50 m 3 . Quais devem ser as dimensões do tanque (raio R e altura H) para que seja utilizada a menor quantidade de material para sua fabricação?

Solução. A área total da superfície do cilindro é S = 2pR(R+H). Conhecemos o volume do cilindro V = pR 2 N Þ N = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Isso significa S(R) = 2p(R 2 +16/R). Encontramos a derivada desta função:
S " (R) = 2p(2R- 16/R 2) = 4p (R- 8/R 2). S " (R) = 0 para R 3 = 8, portanto,
R = 2, H = 16/4 = 4.

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