E distribuição uniforme no processo. Leis uniformes e exponenciais de distribuição de uma variável aleatória contínua

Vamos relembrar a definição de densidade de probabilidade.

Vamos agora introduzir o conceito de distribuição de probabilidade uniforme:

Definição 2

A distribuição é chamada de uniforme se, no intervalo que contém todos os valores possíveis da variável aleatória, a densidade da distribuição for constante, ou seja:

Imagem 1.

Vamos encontrar o valor da constante $\C$ usando a seguinte propriedade da densidade de distribuição: $\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)= 1$

\[\int\limits^(+\infty )_(-\infty )(\varphi \left(x\right)dx)=\int\limits^a_(-\infty )(0dx)+\int\limits ^b_a(Cdx)+\int\limits^(+\infty )_b(0dx)=0+Cb-Ca+0=C(b-a)\] \ \

Assim, a função de densidade de distribuição uniforme tem a forma:

Figura 2.

O gráfico fica assim (Fig. 1):

Figura 3. Densidade de distribuição de probabilidade uniforme

Função de distribuição de probabilidade uniforme

Vamos agora encontrar a função de distribuição para distribuição uniforme.

Para fazer isso, usaremos a seguinte fórmula: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. Para $x ≤ a$, de acordo com a fórmula, obtemos:

1. Por $ um

1. Para $x> 2$, de acordo com a fórmula, obtemos:

Assim, a função de distribuição fica assim:

Figura 4.

O gráfico fica assim (Fig. 2):

Figura 5. Função de distribuição de probabilidade uniforme.

Probabilidade de uma variável aleatória cair no intervalo $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ com uma distribuição de probabilidade uniforme

Para encontrar a probabilidade de uma variável aleatória cair no intervalo $(\alpha ,\beta)$ com uma distribuição de probabilidade uniforme, usaremos a seguinte fórmula:

Valor esperado:

Desvio padrão:

Exemplos de resolução do problema de distribuição uniforme de probabilidade

Exemplo 1

O intervalo entre os trólebus é de 9 minutos.

Componha a função de distribuição e a densidade de distribuição da variável aleatória $X$ de espera por passageiros de trólebus.

Encontre a probabilidade de um passageiro esperar por um trólebus em menos de três minutos.

Encontre a probabilidade de um passageiro esperar por um trólebus em pelo menos 4 minutos.

Encontre o valor esperado, variância e desvio padrão

1. Como a variável aleatória contínua de espera por um trólebus $X$ é uniformemente distribuída, então $a=0,\ b=9$.

Assim, a densidade de distribuição, de acordo com a fórmula da função de densidade de distribuição de probabilidade uniforme, tem a forma:

Figura 6.

De acordo com a fórmula da função de distribuição de probabilidade uniforme, no nosso caso a função de distribuição tem a forma:

Figura 7.

1. Esta questão pode ser reformulada da seguinte forma: encontre a probabilidade de uma variável aleatória de distribuição uniforme cair no intervalo $\left(6,9\right).$

Nós temos:

\ \ \

Assim, a função de densidade de distribuição uniforme tem a forma:

Figura 2.

O gráfico fica assim (Fig. 1):

Figura 3. Densidade de distribuição de probabilidade uniforme

Função de distribuição de probabilidade uniforme

Vamos agora encontrar a função de distribuição para distribuição uniforme.

Para fazer isso, usaremos a seguinte fórmula: $F\left(x\right)=\int\limits^x_(-\infty )(\varphi (x)dx)$

1. Para $x ≤ a$, de acordo com a fórmula, obtemos:

1. Por $ um

1. Para $x> 2$, de acordo com a fórmula, obtemos:

Assim, a função de distribuição fica assim:

Figura 4.

O gráfico fica assim (Fig. 2):

Figura 5. Função de distribuição de probabilidade uniforme.

Probabilidade de uma variável aleatória cair no intervalo $((\mathbf \alpha ),(\mathbf \beta ))$ com uma distribuição de probabilidade uniforme

Para encontrar a probabilidade de uma variável aleatória cair no intervalo $(\alpha ,\beta)$ com uma distribuição de probabilidade uniforme, usaremos a seguinte fórmula:

Valor esperado:

Desvio padrão:

Exemplos de resolução do problema de distribuição uniforme de probabilidade

Exemplo 1

O intervalo entre os trólebus é de 9 minutos.

Componha a função de distribuição e a densidade de distribuição da variável aleatória $X$ de espera por passageiros de trólebus.

Encontre a probabilidade de um passageiro esperar por um trólebus em menos de três minutos.

Encontre a probabilidade de um passageiro esperar por um trólebus em pelo menos 4 minutos.

Encontre o valor esperado, variância e desvio padrão

1. Como a variável aleatória contínua de espera por um trólebus $X$ é uniformemente distribuída, então $a=0,\ b=9$.

Assim, a densidade de distribuição, de acordo com a fórmula da função de densidade de distribuição de probabilidade uniforme, tem a forma:

Figura 6.

De acordo com a fórmula da função de distribuição de probabilidade uniforme, no nosso caso a função de distribuição tem a forma:

Figura 7.

1. Esta questão pode ser reformulada da seguinte forma: encontre a probabilidade de uma variável aleatória de distribuição uniforme cair no intervalo $\left(6,9\right).$

Nós temos:

\, se neste segmento a densidade de distribuição de probabilidade da variável aleatória for constante, ou seja, se a função de distribuição diferencial f(x) tem o seguinte formato:

Essa distribuição às vezes é chamada lei da densidade uniforme. Sobre uma quantidade que tem distribuição uniforme em um determinado segmento, diremos que ela está distribuída uniformemente neste segmento.

Vamos encontrar o valor da constante c. Como a área limitada pela curva de distribuição e pelo eixo Oh,é igual a 1, então

onde Com=1/(b-a).

Agora a função f(x)pode ser representado na forma

Vamos construir a função de distribuição F(x ), por que encontramos uma expressão para F(x) no intervalo [ um, b]:

Os gráficos das funções f (x) e F (x) são assim:

Vamos encontrar as características numéricas.

Utilizando a fórmula de cálculo da expectativa matemática do NSV, temos:

Assim, a expectativa matemática de uma variável aleatória distribuída uniformemente no intervalo [um, b] coincide com o meio deste segmento.

Vamos encontrar a variância de uma variável aleatória uniformemente distribuída:

do qual segue imediatamente que o desvio padrão:

Vamos agora encontrar a probabilidade do valor de uma variável aleatória com distribuição uniforme cair no intervalo(a, b), pertencente integralmente ao segmento [a,b ]:

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