Gráficos de funções y sin. Seno (sen x) e cosseno (cos x) – propriedades, gráficos, fórmulas

Nesta lição, daremos uma olhada detalhada na função y = sin x, suas propriedades básicas e gráfico. No início da lição, daremos a definição da função trigonométrica y = sin t no círculo coordenado e consideraremos o gráfico da função no círculo e na reta. Vamos mostrar a periodicidade desta função no gráfico e considerar as principais propriedades da função. Ao final da lição, resolveremos vários problemas simples utilizando o gráfico de uma função e suas propriedades.

Tópico: Funções trigonométricas

Lição: Função y=sinx, suas propriedades básicas e gráfico

Ao considerar uma função, é importante associar cada valor de argumento a um único valor de função. Esse lei da correspondência e é chamada de função.

Vamos definir a lei de correspondência para.

Qualquer número real corresponde a um único ponto no círculo unitário. Um ponto possui uma única ordenada, que é chamada de seno do número (Fig. 1).

Cada valor de argumento está associado a um único valor de função.

Propriedades óbvias decorrem da definição de seno.

A figura mostra que porque é a ordenada de um ponto no círculo unitário.

Considere o gráfico da função. Recordemos a interpretação geométrica do argumento. O argumento é o ângulo central, medido em radianos. Ao longo do eixo representaremos números reais ou ângulos em radianos, ao longo do eixo os valores correspondentes da função.

Por exemplo, um ângulo no círculo unitário corresponde a um ponto no gráfico (Fig. 2)

Obtivemos um gráfico da função na área Mas conhecendo o período do seno, podemos representar o gráfico da função em todo o domínio de definição (Fig. 3).

O período principal da função é Isso significa que o gráfico pode ser obtido em um segmento e depois continuado ao longo de todo o domínio de definição.

Considere as propriedades da função:

1) Escopo de definição:

2) Faixa de valores:

3) Função ímpar:

4) Menor período positivo:

5) Coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico com o eixo das abcissas:

6) Coordenadas do ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas:

7) Intervalos em que a função assume valores positivos:

8) Intervalos em que a função assume valores negativos:

9) Intervalos crescentes:

10) Intervalos decrescentes:

11) Pontos mínimos:

12) Funções mínimas:

13) Máximo de pontos:

14) Funções máximas:

Vimos as propriedades da função e seu gráfico. As propriedades serão usadas repetidamente na resolução de problemas.

Bibliografia

1. Álgebra e início da análise, nota 10 (em duas partes). Livro didático para instituições de ensino geral (nível de perfil), ed. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2009.

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3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Álgebra e análise matemática para o 10º ano (livro didático para alunos de escolas e turmas com estudo aprofundado de matemática - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Estudo aprofundado de álgebra e análise matemática.-M.: Educação, 1997.

5. Coleção de problemas de matemática para candidatos a instituições de ensino superior (editado por M.I. Skanavi - M.: Escola Superior, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Simulador algébrico.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemas de álgebra e princípios de análise (um manual para alunos do 10º ao 11º ano de instituições de ensino geral - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karpa A.P. Coleção de problemas de álgebra e princípios de análise: livro didático. subsídio para 10-11 séries. com profundidade estudado Matemática.-M.: Educação, 2006.

Trabalho de casa

Álgebra e início da análise, nota 10 (em duas partes). Livro de problemas para instituições de ensino (nível de perfil), ed.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Recursos adicionais da web

3. Portal educacional para preparação para exames ().

Como representar graficamente a função y=sin x? Primeiro, vejamos o gráfico do seno no intervalo.

Pegamos um único segmento de 2 células no notebook. No eixo Oy marcamos um.

Por conveniência, arredondamos o número π/2 para 1,5 (e não para 1,6, conforme exigido pelas regras de arredondamento). Neste caso, um segmento de comprimento π/2 corresponde a 3 células.

No eixo do Boi marcamos não segmentos únicos, mas segmentos de comprimento π/2 (a cada 3 células). Assim, um segmento de comprimento π corresponde a 6 células e um segmento de comprimento π/6 corresponde a 1 célula.

Com esta escolha de um segmento unitário, o gráfico representado em uma folha de caderno em uma caixa corresponde tanto quanto possível ao gráfico da função y=sin x.

Vamos fazer uma tabela de valores de senos no intervalo:

Marcamos os pontos resultantes no plano de coordenadas:

Como y=sin x é uma função ímpar, o gráfico do seno é simétrico em relação à origem - ponto O(0;0). Levando esse fato em consideração, continuamos traçando o gráfico à esquerda, depois os pontos -π:

A função y=sin x é periódica com período T=2π. Portanto, o gráfico de uma função tomada no intervalo [-π;π] é repetido um número infinito de vezes para a direita e para a esquerda.

, Concurso "Apresentação para a aula"

Apresentação para a aula

Para trás para a frente

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O ferro enferruja sem encontrar utilidade,
água parada apodrece ou congela no frio,
e a mente de uma pessoa, não encontrando utilidade para si mesma, definha.
Leonardo da Vinci

Tecnologias utilizadas: aprendizagem baseada em problemas, pensamento crítico, comunicação comunicativa.

Metas:

Desenvolvimento do interesse cognitivo na aprendizagem.
Estudando as propriedades da função y = sin x.
Formação de competências práticas na construção de um gráfico da função y = sin x com base no material teórico estudado.

Tarefas:

1. Utilizar o potencial de conhecimento existente sobre as propriedades da função y = sin x em situações específicas.

2. Aplicar o estabelecimento consciente de conexões entre modelos analíticos e geométricos da função y = sin x.

Desenvolver iniciativa, uma certa vontade e interesse em encontrar uma solução; a capacidade de tomar decisões, não parar por aí e defender seu ponto de vista.

Promover nos alunos a atividade cognitiva, o sentido de responsabilidade, o respeito mútuo, a compreensão mútua, o apoio mútuo e a autoconfiança; cultura da comunicação.

Durante as aulas

Estágio 1. Atualizando conhecimentos básicos, motivando o aprendizado de novos materiais

"Entrando na aula."

Existem 3 declarações escritas no quadro:

A equação trigonométrica sin t = a sempre tem soluções.
O gráfico de uma função ímpar pode ser construído usando uma transformação de simetria em torno do eixo Oy.
Uma função trigonométrica pode ser representada graficamente usando uma meia onda principal.

Os alunos discutem em pares: as afirmações são verdadeiras? (1 minuto). Os resultados da discussão inicial (sim, não) são então inseridos na tabela na coluna “Antes”.

O professor define as metas e objetivos da aula.

2. Atualizando conhecimentos (frontalmente em um modelo de círculo trigonométrico).

Já nos familiarizamos com a função s = sin t.

1) Quais valores a variável pode assumir. Qual é o escopo desta função?

2) Em que intervalo estão contidos os valores da expressão sin t? Encontre os maiores e menores valores da função s = sin t.

3) Resolva a equação sen t = 0.

4) O que acontece com a ordenada de um ponto à medida que ele se move ao longo do primeiro quarto? (a ordenada aumenta). O que acontece com a ordenada de um ponto à medida que ele se move ao longo do segundo quarto? (a ordenada diminui gradualmente). Como isso se relaciona com a monotonicidade da função? (a função s = sin t aumenta no segmento e diminui no segmento ).

5) Vamos escrever a função s = sin t na forma y = sin x que nos é familiar (vamos construí-la no sistema de coordenadas xOy usual) e compilar uma tabela dos valores desta função.

X	0
no	0			1			0

Etapa 2. Percepção, compreensão, consolidação primária, memorização involuntária

Etapa 4. Sistematização primária de conhecimentos e métodos de atividade, sua transferência e aplicação em novas situações

6. Nº 10.18 (b,c)

Etapa 5. Controle final, correção, avaliação e autoavaliação

7. Voltamos às afirmações (início da lição), discutimos o uso das propriedades da função trigonométrica y = sin x e preenchemos a coluna “Depois” da tabela.

8. D/z: cláusula 10, Nº 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

>>Matemática: Funções y = sin x, y = cos x, suas propriedades e gráficos

Funções y = sin x, y = cos x, suas propriedades e gráficos

Nesta seção discutiremos algumas propriedades das funções y = sin x, y = cos x e construiremos seus gráficos.

1. Função y = sen X.

Acima, no § 20, formulamos uma regra que permite que cada número t seja associado a um número de custo t, ou seja, caracterizou a função y = sin t. Observemos algumas de suas propriedades.

Propriedades da função u = sin t.

O domínio de definição é o conjunto K de números reais.
Isto decorre do fato de que qualquer número 2 corresponde a um ponto M(1) no círculo numérico, que tem uma ordenada bem definida; esta ordenada é o custo.

u = sin t é uma função ímpar.

Isto decorre do fato de que, como foi provado no § 19, para qualquer t a igualdade
Isso significa que o gráfico da função u = sin t, como o gráfico de qualquer função ímpar, é simétrico em relação à origem no sistema de coordenadas retangulares tOi.

A função u = sin t aumenta no intervalo
Isso decorre do fato de que quando um ponto se move ao longo do primeiro quarto do círculo numérico, a ordenada aumenta gradualmente (de 0 a 1 - veja a Fig. 115), e quando o ponto se move ao longo do segundo quarto do círculo numérico, o ordenada diminui gradualmente (de 1 a 0 - ver Fig. 116).

A função u = sint é limitada abaixo e acima. Isto decorre do fato de que, como vimos no § 19, para qualquer t a desigualdade é válida

(a função atinge este valor em qualquer ponto da forma (a função atinge este valor em qualquer ponto da forma
Usando as propriedades obtidas, construiremos um gráfico da função que nos interessa. Mas (atenção!) em vez de u - sin t escreveremos y = sin x (afinal, estamos mais acostumados a escrever y = f(x), e não u = f(t)). Isso significa que construiremos um gráfico no sistema de coordenadas xOy usual (e não tOy).

Vamos fazer uma tabela dos valores da função y - sen x:

Comente.

Aqui está uma das versões da origem do termo “seno”. Em latim, sinus significa dobrar (corda de arco).

O gráfico construído justifica até certo ponto esta terminologia.

A linha que serve como gráfico da função y = sin x é chamada de onda senoidal. A parte da senóide mostrada na Fig. 118 ou 119 é chamada de onda senoidal, e a parte da onda senoidal mostrada na Fig. 117, é chamada de meia onda ou arco de onda senoidal.

2. Função y = cos x.

O estudo da função y = cos x poderia ser realizado aproximadamente de acordo com o mesmo esquema que foi usado acima para a função y = sin x. Mas escolheremos o caminho que leva à meta com mais rapidez. Primeiro, provaremos duas fórmulas que são importantes por si mesmas (você verá isso no ensino médio), mas que por enquanto têm apenas significado auxiliar para nossos propósitos.

Para qualquer valor de t as seguintes igualdades são válidas:

Prova. Deixe o número t corresponder ao ponto M do círculo numérico n, e o número * + - ponto P (Fig. 124; por uma questão de simplicidade, pegamos o ponto M no primeiro trimestre). Os arcos AM e BP são iguais, e os triângulos retângulos OKM e OLBP são correspondentemente iguais. Isso significa OK = Ob, MK = Pb. Destas igualdades e da localização dos triângulos OCM e OBP no sistema de coordenadas, tiramos duas conclusões:

1) a ordenada do ponto P coincide em valor absoluto e sinal com a abcissa do ponto M; significa que

2) a abcissa do ponto P é igual em valor absoluto à ordenada do ponto M, mas difere dela em sinal; significa que

Aproximadamente o mesmo raciocínio é realizado nos casos em que o ponto M não pertence ao primeiro trimestre.
Vamos usar a fórmula (esta é a fórmula comprovada acima, mas em vez da variável t usamos a variável x). O que esta fórmula nos dá? Isso nos permite afirmar que as funções

são idênticos, o que significa que seus gráficos coincidem.
Vamos traçar a função Para fazer isso, vamos passar para um sistema de coordenadas auxiliares com origem em um ponto (a linha pontilhada está desenhada na Fig. 125). Vamos associar a função y = sin x ao novo sistema de coordenadas - este será o gráfico da função (Fig. 125), ou seja, gráfico da função y - cos x. Ela, como o gráfico da função y = sin x, é chamada de onda senoidal (o que é bastante natural).

Propriedades da função y = cos x.

y = cos x é uma função par.

As etapas de construção são mostradas na Fig. 126:

1) construir um gráfico da função y = cos x (mais precisamente, uma meia onda);
2) alongando o gráfico construído a partir do eixo x com um fator de 0,5, obtemos uma meia onda do gráfico requerido;
3) usando a meia onda resultante, construímos o gráfico completo da função y = 0,5 cos x.

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