O que é transformação de similaridade? Transformação de similaridade

>>Matemática: Transformação de Similaridade

Palestra nº 16

Transformação de similaridade. Homotetia. Tipos de semelhança.

Classificação de semelhanças planas. Grupo de similaridade e seus subgrupos.

Definição 16.1 . Uma transformação plana é chamada de transformação de similaridade se k > 0, que para quaisquer dois pontos UM E B e suas imagens UM` E B` igualdade vale
.

No k =1 a transformação de similaridade preserva a distância, ou seja, é um movimento. Então o movimento – um caso especial de semelhança.

Definição 16.2. Uma transformação plana é chamada de homotetia se existe um certo número eu 1 , que para quaisquer três pontos do plano Milímetros,M` condição é atendida
.

Ponto M- centro de homotetia, número eu– coeficiente de homotetia. Se eu > 0 – a homotetia é positiva se eu < 0 – a homotetia é negativa.

Teorema 16.3. Homotetia é semelhança.

Prova:

,
.

2. Por definição de homotetia temos:

3. Subtraia a segunda da primeira igualdade: ,

. Então homotetia há similaridade, onde o coeficiente de homotetia
igual ao coeficiente de similaridade .

Se o ponto M (x, você) com homotetia vai para o ponto M`(x`,y`), então:

- expressões analíticas de homotetia.

Propriedades de homotetia

Uma homotetia com coeficiente diferente de 1 transforma uma reta que não passa pelo centro da homotetia em uma reta paralela a ela;

uma linha reta que passa pelo centro - em si mesma.

A homotetia preserva a relação simples de três pontos.

A homogeneidade preserva a orientação do plano.

A homotetia transforma um ângulo em um ângulo igual. Teorema 16.4. Deixar f k > 0 – transformação de similaridade com coeficiente , Um h k– homotetia com coeficiente M. Então há apenas um movimento g tal que Deixar = g∙ , Um.

Prova:

Considere a composição do movimento e homotetias (multiplique ambos os lados da igualdade (*) pela homotetia ):
ou g∙ , Um = Deixar (**)

A homotetia tem todas as propriedades dos movimentos; a semelhança também tem todas as propriedades dos movimentos.

Visto que a homotetia preserva a orientação, e a similaridade é o produto do movimento e da homotetia, ou seja, o movimento tem a mesma orientação que a homotetia, então a semelhança também tem essa orientação. Neste caso falamos de similaridade de 1º tipo.

Se o movimento tem orientação oposta à homotetia, então neste caso a semelhança tem orientação oposta e é semelhança de 2º tipo.

Expressões de similaridade analítica

Desde a homotetia é dado pelas expressões , movimento é dado por expressões, então as coordenadas da imagem
pontos
na transformação de similaridade
são calculados usando as fórmulas:

Se ε = 1, então semelhança de primeiro tipo;

Se ε = -1, então similaridade do segundo tipo.

Teorema 16.5. Qualquer transformação de similaridade terá apenas um ponto fixo se for diferente do movimento.

Prova:

1. Ponto
é um ponto fixo desta transformação se e somente se
. Das expressões de similaridade analítica segue-se que

O determinante do sistema não é igual a 0 em ε = ± 1. Assim, quando k 1 para qualquer um temos que o determinante não é igual a zero e, portanto, o sistema é homogêneo, ou seja, terá uma solução única.

Classificação de similaridade

Semelhança do primeiro tipo.

Semelhança do segundo tipo.

Corolário 16.6. Qualquer transformação de similaridade que tenha mais de um ponto fixo ou que não tenha pontos fixos é um movimento.

Grupo de similaridade e seus subgrupos.

Seja P o conjunto de todas as transformações de similaridade plana, e alguma operação “∙” é dada sobre ele.

Muitos Ré um grupo relativo a esta operação.

Realmente:

A similaridade do primeiro tipo forma um subgrupo do grupo P. O conjunto de homotetias com coeficiente k(igual ao coeficiente de similaridade) forma um subgrupo do grupo P.

O conjunto de semelhanças do segundo tipo não forma um subgrupo, pois o produto de semelhanças do segundo tipo dá semelhança do primeiro tipo.

1. Definição de transformação de similaridade. Uma generalização direta de movimentos são transformações de similaridade. A transformação A é chamada de transformação de similaridade se para esta transformação existe um número de similaridade tão positivo que quaisquer que sejam os dois pontos, sempre

Neste caso, como sempre, por M denotamos a imagem do ponto M. Se , então obtemos transformações isométricas, ou seja, movimentos, que são portanto um caso especial de transformações de similaridade.

Observação 1. É fácil ver que as transformações de similaridade formam um grupo - um subgrupo no grupo de todas as transformações (plano, respectivamente espaço).

2. Alongamento uniforme (homóteo). Primeiro, vejamos as transformações de similaridade mais simples, as chamadas dilatações uniformes ou transformações homotéticas (homothies). O alongamento de um espaço (plano) com centro O e coeficiente de alongamento k é uma transformação A, que consiste no seguinte:

V O ponto O permanece imóvel.

2 Cada ponto vai para um ponto M situado no raio OM e nele definido pela condição OM.

Assim, o nome “alongamento” corresponde a uma imagem visual da transformação apenas quando o nosso “alongamento” acaba por ser compressão.

Observação 2. Como os vetores e OM estão na mesma semirreta que emana do ponto O, eles têm a mesma direção. Portanto, a igualdade implica e .

Vamos provar que qualquer dilatação é uma transformação de similaridade. Na verdade, deixe, quando alongados com centro O e coeficiente k, os pontos se transformarem em pontos e M, respectivamente (Fig. 150). Então . Os triângulos são semelhantes e, portanto, o que era necessário provar.

Vamos agora provar que uma dilatação com centro O e coeficiente k é uma transformação afim. Podemos restringir-nos ao caso de um avião.

Tomemos uma referência de coordenadas arbitrária com início no centro deste trecho (Fig. 151). Seja um ponto arbitrário no plano, seja sua imagem para um determinado trecho (coordenadas relativas ao ponto de referência). Então temos igualdade equivalente ao sistema de igualdades

comprovando nossa afirmação.

Por outro lado, se estiver em algum sistema de coordenadas afins. A transformação A é escrita na forma (2), então é um trecho com centro O e coeficiente de estiramento k. Na verdade, a transformação - A, deixando o ponto O no lugar, transforma todo vetor em um vetor, do qual segue a afirmação.

Assim, a dilatação de um plano com centro O e coeficiente k pode ser definida como uma transformação afim, que em, e certamente em qualquer sistema de coordenadas afins com origem O, é escrita na forma (2).

Nota 3. Estamos sempre em qualidade sistema original coordenadas podemos escolher um sistema retangular.

Um resultado completamente semelhante ocorre para o espaço.

Observação 4. Todas as dilatações com um determinado centro formam um grupo - um subgrupo do grupo de transformações afins (planos, respectivamente espaço).

3. Representação da transformação de similaridade como produto do alongamento e do movimento. Pelo que foi dito até agora, ainda não está claro se qualquer transformação de similaridade é uma transformação afim. Uma resposta positiva a esta questão está contida no seguinte teorema, que é o principal resultado desta seção.

Teorema 11. Qualquer transformação de similaridade com coeficiente de similaridade k é uma transformação afim, ou seja, o produto de uma dilatação com o mesmo coeficiente k e um centro arbitrário O e algum movimento próprio ou impróprio A.

Prova. Seja Q um trecho com centro arbitrário O e um coeficiente - L. Ao transformar, o comprimento de cada segmento é multiplicado por k, e ao transformar Q é multiplicado por portanto, se primeiro fizermos a transformação Q, e depois o transformação, obtemos uma transformação na qual o comprimento de cada segmento permanece inalterado. Em outras palavras, a transformação é uma transformação isométrica, ou seja, movimento, próprio ou impróprio.

Geometria

Semelhança de figuras

Propriedades de figuras semelhantes

Teorema. Quando uma figura é semelhante a uma figura, e uma figura é semelhante a uma figura, então as figuras e semelhante.
Das propriedades da transformação de similaridade segue-se que para figuras semelhantes os ângulos correspondentes são iguais e os segmentos correspondentes são proporcionais. Por exemplo, em triângulos semelhantes abc E :
; ; ;
.

Sinais de semelhança de triângulos

Teorema 1. Se dois ângulos de um triângulo são respectivamente iguais a dois ângulos do segundo triângulo, então esses triângulos são semelhantes.
Teorema 2. Se dois lados de um triângulo são proporcionais a dois lados do segundo triângulo e os ângulos formados por esses lados são iguais, então os triângulos são semelhantes.
Teorema 3. Se os lados de um triângulo são proporcionais aos lados do segundo triângulo, então esses triângulos são semelhantes.
Desses teoremas decorrem fatos que são úteis para resolver problemas.
1. Uma linha reta paralela a um lado de um triângulo e cruzando seus outros dois lados corta dele um triângulo semelhante a este.
Na foto.

2. Para triângulos semelhantes, os elementos correspondentes (altitudes, medianas, bissetoras, etc.) estão relacionados como lados correspondentes.
3. Para triângulos semelhantes, os perímetros estão relacionados como lados correspondentes.
4. Se SOBRE- ponto de intersecção das diagonais do trapézio ABCD, Que .
Na figura em um trapézio ABCD:.

5. Se a continuação dos lados do trapézio ABCD cruzar em um ponto K, então (ver figura) .
.

Semelhança de triângulos retângulos

Teorema 1. Se os triângulos retângulos têm ângulos agudos iguais, então eles são semelhantes.
Teorema 2. Se duas pernas são uma triângulo retângulo são proporcionais aos dois catetos do segundo triângulo retângulo, então esses triângulos são semelhantes.
Teorema 3. Se o cateto e a hipotenusa de um triângulo retângulo são proporcionais ao cateto e a hipotenusa do segundo triângulo retângulo, então esses triângulos são semelhantes.
Teorema 4. Altitude de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice ângulo reto, divide um triângulo em dois triângulos retângulos semelhantes a este.
Na foto .

O seguinte segue da semelhança de triângulos retângulos.
1. O cateto de um triângulo retângulo é a média proporcional entre a hipotenusa e a projeção deste cateto na hipotenusa:
; ,
ou
; .
2. A altura de um triângulo retângulo desenhado a partir do vértice de um ângulo reto é a média proporcional entre as projeções dos catetos na hipotenusa:
, ou .
3. Propriedade da bissetriz de um triângulo:
a bissetriz de um triângulo (arbitrário) divide o lado oposto triângulo em segmentos proporcionais aos outros dois lados.
Na foto em BP- bissetriz.
, ou .

Semelhanças entre triângulos equiláteros e isósceles

1. Todos os triângulos equiláteros são semelhantes.
2. Se os triângulos isósceles têm ângulos iguais entre os lados, então eles são semelhantes.
3. Se os triângulos isósceles têm base e lado proporcionais, então eles são semelhantes.

Exemplos

• Toda homotetia é uma semelhança.
• Cada movimento (incluindo os idênticos) também pode ser considerado como uma transformação de similaridade com um coeficiente k = 1 .

Figuras semelhantes na imagem têm as mesmas cores.

Definições relacionadas

Propriedades

Em espaços métricos o mesmo que em n Espaços multidimensionais Riemannianos, pseudo-Riemannianos e Finslerianos, a similaridade é definida como uma transformação que leva em si a métrica do espaço até um fator constante.

O conjunto de todas as semelhanças do espaço n-dimensional euclidiano, pseudo-euclidiano, Riemanniano, pseudo-Riemanniano ou Finsler é R-membro grupo de transformações de Lie, denominado grupo de transformações semelhantes (homotéticas) do espaço correspondente. Em cada um dos espaços dos tipos especificados R-membro do grupo de transformações de Lie semelhantes contém ( R− 1) subgrupo normal de movimentos com membros.

Veja também

Fundação Wikimedia.

2010.

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