Diferencial parcial e completa de uma função. Derivadas parciais e diferencial total

Derivativo parcial funções z = f(x, y por variável x A derivada desta função em um valor constante da variável y é chamada, é denotada por ou z"x.

Derivativo parcial funções z = f(x, y) por variável yé chamada de derivada em relação a y em um valor constante da variável y; é designado ou z" y.

A derivada parcial de uma função de diversas variáveis em relação a uma variável é definida como a derivada dessa função em relação à variável correspondente, desde que as demais variáveis sejam mantidas constantes.

Diferencial total função z = f(x, y) em algum ponto M(X, y) é chamada de expressão

Onde e são calculados no ponto M(x, y) e dx = , dy = y.

Exemplo 1

Calcule o diferencial total da função.

z = x 3 – 2x 2 y 2 + y 3 no ponto M(1; 2)

Solução:

1) Encontre derivadas parciais:

2) Calcule o valor das derivadas parciais no ponto M(1; 2)

() M = 3 1 2 – 4 1 2 2 = -13

() M = - 4 1 2 2 + 3 2 2 = 4

3) dz = - 13dx + 4 dy

Perguntas para autocontrole:

1. O que é chamado de antiderivada? Liste as propriedades da antiderivada.

2. O que é chamado de integral indefinida?

3. Liste as propriedades da integral indefinida.

4. Liste as fórmulas básicas de integração.

5. Quais métodos de integração você conhece?

6. Qual é a essência da fórmula de Newton-Leibniz?

7. Dê a definição de integral definida.

8. Qual é a essência do cálculo de uma integral definida pelo método de substituição?

9. Qual é a essência do método de cálculo de uma integral definida por partes?

10. Qual função é chamada de função de duas variáveis? Como é designado?

11. Qual função é chamada de função de três variáveis?

12. Qual conjunto é chamado de domínio de definição de uma função?

13. Usando quais desigualdades você pode definir uma região fechada D em um plano?

14. Qual é a derivada parcial da função z = f(x, y) em relação à variável x? Como é designado?

15. Qual é a derivada parcial da função z = f(x, y) em relação à variável y? Como é designado?

16. Qual expressão é chamada de diferencial total de uma função

Tópico 1.2 Equações diferenciais ordinárias.

Problemas que levam a equações diferenciais. Equações diferenciais com variáveis separáveis. Soluções gerais e específicas. Equações diferenciais homogêneas de primeira ordem. Equações lineares homogêneas de segunda ordem com coeficientes constantes.

Aula prática nº 7 “Encontrar soluções gerais e particulares para equações diferenciais com variáveis separáveis”*

Aula prática nº 8 “Equações diferenciais lineares e homogêneas”

Aula prática nº 9 “Resolver equações diferenciais de 2ª ordem com coeficientes constantes”*

L4, capítulo 15, pp. 243 – 256

Diretrizes

Trabalho prático nº 2

"Função diferencial"

Objetivo da lição: Aprenda a resolver exemplos e problemas neste tópico.

Questões teóricas (linha de base):

1. Aplicação de derivadas ao estudo de funções em extremos.

2. Diferencial de uma função, seu significado geométrico e físico.

3. Diferencial completo de uma função de diversas variáveis.

4. O estado do corpo em função de muitas variáveis.

5. Cálculos aproximados.

6. Determinação de derivadas parciais e diferenciais totais.

7. Exemplos de utilização destes conceitos em farmacocinética, microbiologia, etc.

(autopreparação)

1. responder perguntas sobre o tema da aula;

2. resolver exemplos.

Exemplos

Encontre diferenciais das seguintes funções:

1)	2)	3)
4)	5)	6)
7)	8)	9)
10)	11)	12)
13)	14)	15)
16)	17)	18)
19)	20)

Usando derivadas para estudar funções

Condição para a função y = f(x) aumentar no intervalo [a, b]

Condição para a função y=f(x) diminuir no segmento [a, b]

Condição para função máxima y=f(x)at x=a

f"(a)=0 e f"" (a)<0

Se em x=a as derivadas f"(a) = 0 e f"(a) = 0, então é necessário estudar f"(x) nas proximidades do ponto x = a. A função y=f( x) no x=a tem máximo , se, ao passar pelo ponto x = a, a derivada f"(x) muda de sinal de “+” para “-”, no caso de mínimo - de “-” para “+” Se f"(x) não muda de sinal ao passar pelo ponto x = a, então neste ponto a função não tem extremo

Diferencial de função.

O diferencial de uma variável independente é igual ao seu incremento:

Diferencial da função y=f(x)

Diferencial da soma (diferença) de duas funções y=u±v

Diferencial do produto de duas funções y=uv

Diferencial do quociente de duas funções y=u/v

dy=(vdu-udv)/v 2

Incremento de função

Δy = f(x + Δx) - f(x) ≈ dy ≈ f"(x) Δx

onde Δx: - incremento do argumento.

Cálculo aproximado do valor da função:

f(x + Δx) ≈ f(x) + f"(x) Δx

Aplicação de diferencial em cálculos aproximados

O diferencial é usado para calcular erros absolutos e relativos em medições indiretas u = f(x, y, z.). Erro absoluto do resultado da medição

du≈Δu≈|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…

Erro relativo do resultado da medição

du/u≈Δu/u≈(|du/dx|Δx+|du/dy|Δy+|du/dz|Δz+…)/u

FUNÇÃO DIFERENCIAL.

Diferencial de uma função como parte principal do incremento de uma função E. Intimamente relacionado ao conceito de derivada está o conceito de diferencial de uma função. Deixe a função f(x)é contínuo para determinados valores X e tem uma derivada

D f/Dx = f¢(x) + a(Dx), de onde o incremento da função Df = f¢(x)Dx + a(Dx)Dx, Onde a(Dx) ® 0 no Dx® 0. Vamos determinar a ordem do infinitesimal f¢(x)Dx Dx.:

Portanto, infinitesimal f¢(x)Dx E Dx têm a mesma ordem de pequenez, isto é f¢(x)Dx = O.

Vamos determinar a ordem do infinitesimal a(Dх)Dх em relação ao infinitesimal Dx:

Portanto, infinitesimal a(Dх)Dх tem uma ordem superior de pequenez em comparação com o infinitesimal Dx, aquilo é uma(Dx)Dx = o.

Assim, o incremento infinitesimal Df função diferenciável pode ser representada na forma de dois termos: infinitesimal f¢(x)Dx da mesma ordem de pequenez com Dx e infinitesimal a(Dх)Dх ordem superior de pequenez em comparação com o infinitesimal Dx. Isso significa que na igualdade Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx no Dx® 0 o segundo termo tende a zero “mais rápido” que o primeiro, ou seja uma(Dx)Dx = o.

Primeiro termo f¢(x)Dx, linear em relação a Dx, chamado função diferencial f(x) no ponto X e denotar morrer ou df(leia “de igrek” ou “de ef”). Então,

dy = df = f¢(x)Dx.

Significado analítico do diferencialé que o diferencial de uma função é a parte principal do incremento da função Df, linear em relação ao incremento do argumento Dx. O diferencial de uma função difere do incremento de uma função por um infinitesimal de ordem superior de pequenez do que Dx. Realmente, Df=f¢(x)Dx + a(Dx)Dx ou Df = df + a(Dx)Dx . Diferencial de argumento dx igual ao seu incremento Dx: dx=Dx.

Exemplo. Calcular o valor diferencial de uma função f(x) = x3 + 2x, Quando X varia de 1 a 1,1.

Solução. Vamos encontrar uma expressão geral para a diferencial desta função:

Substituindo valores dx=Dx=1,1–1= 0,1 E x = 1 na última fórmula, obtemos o valor desejado do diferencial: df½ x=1; = 0,5.

DERIVADOS PARCIAIS E DIFERENCIAIS.

Derivadas parciais de primeira ordem. Derivada parcial de primeira ordem da função z = f(x,y ) por argumento X no ponto em questão (x;y) chamado limite

se existir.

Derivada parcial de uma função z = f(x, y) por argumento Xé indicado por um dos seguintes símbolos:

Da mesma forma, a derivada parcial em relação a no denotado e definido pela fórmula:

Como a derivada parcial é a derivada ordinária de uma função de um argumento, não é difícil calculá-la. Para isso, é necessário utilizar todas as regras de diferenciação consideradas até agora, levando em consideração em cada caso qual dos argumentos é tomado como “número constante” e qual serve como “variável de diferenciação”.

Comente. Para encontrar a derivada parcial, por exemplo, em relação ao argumento x – df/dx, basta encontrar a derivada ordinária da função f(x,y), considerando este último uma função de um argumento X, A no– constante; encontrar df/dy- vice-versa.

Exemplo. Encontre os valores das derivadas parciais de uma função f(x,y) = 2x 2 + y 2 no ponto P(1;2).

Solução. Contando f(x,y) função de um argumento X e usando as regras de diferenciação, encontramos

No ponto P(1;2) valor derivado

Considerando f(x;y) uma função de um argumento y, encontramos

No ponto P(1;2) valor derivado

TAREFA PARA TRABALHO INDEPENDENTE DO ALUNO:

Encontre os diferenciais das seguintes funções:

Resolva os seguintes problemas:

1. Quanto diminuirá a área de um quadrado com lado x=10 cm se o lado diminuir 0,01 cm?

2. A equação do movimento do corpo é dada: y=t 3 /2+2t 2, onde s é expresso em metros, t em segundos. Encontre o caminho s percorrido pelo corpo em t=1,92 s desde o início do movimento.

LITERATURA

1. Lobotskaya N.L. Fundamentos de Matemática Superior - M.: “Escola Superior”, 1978.C198-226.

2. Bailey N. Matemática em biologia e medicina. Por. do inglês M.: "Mir", 1970.

3. Remizov A.N., Isakova N.Kh., Maksina L.G. Coleção de problemas de física médica e biológica - M.: “Escola Superior”, 1987. P16-20.

Conceito de função de duas variáveis

Magnitude z chamado função de duas variáveis independentes x E sim, se cada par de valores permitidos dessas quantidades, de acordo com uma determinada lei, corresponde a um valor completamente definido da quantidade z. Variáveis independentes x E sim chamado argumentos funções.

Esta dependência funcional é denotada analiticamente

Z =f(x,y),(1)

Os valores dos argumentos x e y que correspondem aos valores reais da função z, são considerados aceitável, e o conjunto de todos os pares admissíveis de valores x e y é chamado domínio de definição funções de duas variáveis.

Para uma função de diversas variáveis, em contraste com uma função de uma variável, os conceitos de sua incrementos privados para cada um dos argumentos e conceito incremento total.

Incremento parcial Δ x z da função z=f (x,y) por argumento x é o incremento que esta função recebe se seu argumento x for incrementado Δx com constante sim:

Δ x z = f (x + Δx, y) -f (x, y), (2)

O incremento parcial Δ y z de uma função z= f (x, y) sobre o argumento y é o incremento que esta função recebe se seu argumento y receber um incremento Δy com x inalterado:

Δ y z= f (x, y + Δy) – f (x, y) , (3)

Incremento total Δz funções z = f (x, y) por argumento x E simé o incremento que uma função recebe se ambos os seus argumentos receberem incrementos:

Δz= f (x+Δx, y+Δy) – f (x, y) , (4)

Para incrementos suficientemente pequenos Δx E Δy argumentos de função

existe uma igualdade aproximada:

Δz Δ x z + Δ y z , (5)

e quanto menor for, mais preciso será Δx E Sim.

Derivadas parciais de uma função de duas variáveis

Derivada parcial da função z=f (x, y) em relação ao argumento x no ponto (x, y) chamado de limite da razão de incremento parcial Δxz esta função para o incremento correspondente Δx argumento x ao se esforçar Δx para 0 e desde que esse limite exista:

, (6)

A derivada da função é determinada de forma semelhante z=f(x,y) por argumento você:

Além da notação indicada, as funções derivadas parciais também são denotadas por z΄ x , f΄ x (x, y); , z΄ y , f΄ y (x, y).

O significado principal da derivada parcial é o seguinte: a derivada parcial de uma função de diversas variáveis em relação a qualquer um de seus argumentos caracteriza a taxa de variação dessa função quando esse argumento muda.

Ao calcular a derivada parcial de uma função de diversas variáveis em relação a qualquer argumento, todos os outros argumentos desta função são considerados constantes.

Exemplo 1. Encontre derivadas parciais de uma função

f (x, y)= x 2 + y 3

Solução. Ao encontrar a derivada parcial desta função em relação ao argumento x, consideramos o argumento y como um valor constante:

;

Ao encontrar a derivada parcial em relação ao argumento y, consideramos o argumento x um valor constante:

Diferenciais parciais e completas de funções de diversas variáveis

Diferencial parcial de uma função de diversas variáveis em relação às quais-ou de seus argumentos O produto da derivada parcial desta função em relação a um determinado argumento e o diferencial deste argumento é chamado:

d x z= ,(7)

d e z = (8)

Aqui d x z E d e z-diferenciais parciais de uma função z = f (x, y) por argumento x E você. Em que

dx=Δx; dy=Δy, (9)

Diferencial total uma função de várias variáveis é chamada de soma de suas diferenciais parciais:

dz = d x z + d e z, (10)

Exemplo 2. Vamos encontrar as diferenciais parciais e completas da função f (x, y)= x 2 + y 3 .

Como as derivadas parciais desta função foram encontradas no Exemplo 1, obtemos

d x z = 2xdx; d e z= 3y 2 dy;

dz= 2xdx + 3y 2 dy

O diferencial parcial de uma função de diversas variáveis em relação a cada um dos seus argumentos é a parte principal do incremento parcial correspondente da função.

Como resultado, podemos escrever:

Δ x z d x z, Δ y z d y z, (11)

O significado analítico do diferencial total é que o diferencial total de uma função de diversas variáveis representa a parte principal do incremento total desta função.

Assim, existe uma igualdade aproximada

Δz dz, (12)

A utilização do diferencial total em cálculos aproximados é baseada na utilização da fórmula (12).

Vamos imaginar o incremento Δz como

f (x + Δx; y + Δy) – f (x, y)

e o diferencial total é da forma

Então obtemos:

f (x + Δx, y + Δy) – f (x, y) ,

, (13)

3.O objetivo das atividades dos alunos nas aulas:

O aluno deve saber:

1. Definição de função de duas variáveis.

2. O conceito de incremento parcial e total de uma função de duas variáveis.

3. Determinação da derivada parcial de uma função de diversas variáveis.

4. O significado físico da derivada parcial de uma função de diversas variáveis em relação a qualquer um dos seus argumentos.

5. Determinação do diferencial parcial de uma função de diversas variáveis.

6. Determinação do diferencial total de uma função de diversas variáveis.

7. Significado analítico do diferencial total.

O aluno deve ser capaz de:

1. Encontre o incremento parcial e total de uma função de duas variáveis.

2. Calcular derivadas parciais de funções de diversas variáveis.

3. Encontre diferenciais parciais e completas de uma função de diversas variáveis.

4. Use o diferencial total de uma função de diversas variáveis em cálculos aproximados.

Parte teórica:

1. O conceito de função de diversas variáveis.

2. Função de duas variáveis. Incremento parcial e total de uma função de duas variáveis.

3. Derivada parcial de uma função de diversas variáveis.

4. Diferenciais parciais de funções de diversas variáveis.

5. Diferencial completo de uma função de diversas variáveis.

6. Aplicação do diferencial total de uma função de diversas variáveis em cálculos aproximados.

Parte prática:

1. Encontre as derivadas parciais das funções:

1) ; 4) ;

2) z= e xy+2 x; 5) z= 2tg xe y;

3) z= x 2 sen 2 y; 6) .

4. Defina a derivada parcial de uma função em relação a um determinado argumento.

5. O que é chamado de diferencial parcial e total de uma função de duas variáveis? Como eles estão relacionados?

6. Lista de questões para verificar o nível final de conhecimento:

1. No caso geral de uma função arbitrária de diversas variáveis, seu incremento total é igual à soma de todos os incrementos parciais?

2. Qual é o significado principal da derivada parcial de uma função de diversas variáveis em relação a qualquer um de seus argumentos?

3. Qual é o significado analítico do diferencial total?

7.Cronógrafo da sessão de treinamento:

1. Momento organizacional – 5 min.

2. Análise do tema – 20 min.

3. Resolução de exemplos e problemas - 40 min.

4. Controle de conhecimento atual -30 min.

5. Resumindo a aula – 5 min.

8. Lista de literatura educacional para a aula:

1. Morozov Yu.V. Fundamentos de matemática superior e estatística. M., “Medicina”, 2004, §§ 4.1–4.5.

2. Pavlushkov I.V. e outros. Fundamentos de matemática superior e estatística matemática. M., "GEOTAR-Media", 2006, § 3.3.

Linearização de uma função. Plano tangente e normal à superfície.

Derivadas e diferenciais de ordens superiores.

1. Derivadas parciais do FNP*)

Considere a função E = f(P), РÎDÌR n ou, o que é o mesmo,

E = f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Vamos corrigir os valores das variáveis X 2 , ..., x n, e a variável X 1 vamos dar incremento D X 1. Então a função E receberá um incremento determinado pela igualdade

= f (X 1 +D X 1 , X 2 , ..., x n) – f(X 1 , X 2 , ..., x n).

Este incremento é chamado incremento privado funções E por variável X 1 .

Definição 7.1. Função derivada parcial E = f(X 1 , X 2 , ..., x n) por variável X 1 é o limite da razão entre o incremento parcial de uma função e o incremento do argumento D X 1 em D X 1 ® 0 (se este limite existir).

A derivada parcial em relação a X 1 personagem

Assim, por definição

Derivadas parciais em relação a outras variáveis são determinadas de forma semelhante X 2 , ..., x n. A partir da definição fica claro que a derivada parcial de uma função em relação a uma variável XIé a derivada usual de uma função de uma variável XI, quando outras variáveis são consideradas constantes. Portanto, todas as regras e fórmulas de diferenciação previamente estudadas podem ser usadas para encontrar a derivada de uma função de diversas variáveis.

Por exemplo, para a função você = x 3 + 3xy – z 2 temos

Assim, se uma função de várias variáveis é dada explicitamente, então as questões da existência e descoberta de suas derivadas parciais são reduzidas às questões correspondentes relativas à função de uma variável - aquela para a qual é necessário determinar a derivada.

Vamos considerar uma função definida implicitamente. Deixe a equação F( x, sim) = 0 define uma função implícita de uma variável X. Justo

Teorema 7.1.

Seja F( x 0 , sim 0) = 0 e funções F( x, sim), F¢ X(x, sim), F¢ no(x, sim) são contínuos em alguma vizinhança do ponto ( X 0 , no 0) e F¢ no(x 0 , sim 0) ¹ 0. Então a função no, dado implicitamente pela equação F( x, sim) = 0, tem no ponto ( x 0 , sim 0) derivada, que é igual a

Se as condições do teorema forem satisfeitas em qualquer ponto da região DÌ R 2, então em cada ponto desta região .

Por exemplo, para a função X 3 –2no 4 + uau+ 1 = 0 encontramos

Deixe agora a equação F( x, sim, z) = 0 define uma função implícita de duas variáveis. Vamos encontrar e. Como o cálculo da derivada em relação a X produzido em um valor fixo (constante) no, então sob estas condições a igualdade F( x, sim=const, z) = 0 define z em função de uma variável X e de acordo com o Teorema 7.1 obtemos

Da mesma maneira .

Assim, para uma função de duas variáveis dadas implicitamente pela equação , derivadas parciais são encontradas usando as fórmulas: ,

Para simplificar o registro e apresentação do material, nos limitaremos ao caso de funções de duas variáveis. Tudo o que se segue também é verdadeiro para funções de qualquer número de variáveis.

Definição. Derivativo parcial funções z = f(x, você) por variável independente X chamado derivado

calculado em constante no.

A derivada parcial em relação a uma variável é determinada de forma semelhante no.

Para derivadas parciais, são válidas as regras e fórmulas usuais de diferenciação.

Definição. Produto da derivada parcial e do incremento do argumento X(y) é chamado diferencial parcial por variável X(no) funções de duas variáveis z = f(x, você) (símbolo: ):

Se sob o diferencial da variável independente dx(morrer) entender o incremento X(no), Que

Para função z = f(x, você) vamos descobrir o significado geométrico de suas derivadas de frequência e .

Considere o ponto, ponto P 0 (X 0 ,sim 0 , z 0) na superfície z = f(x,no) e curva eu, que é obtido cortando a superfície com uma plaina s = s 0. Esta curva pode ser vista como um gráfico de uma função de uma variável z = f(x, você) no avião s = s 0. Se mantido no ponto R 0 (X 0 , sim 0 , z 0) tangente à curva eu, então, de acordo com o significado geométrico da derivada de uma função de uma variável , Onde a – o ângulo formado por uma tangente com a direção positiva do eixo Oh.