Правило сложения векторных величин. Формула равнодействующей силы

При воздействии на одно тело нескольких сил одновременно тело начинает двигаться с ускорением, являющимся векторной суммой ускорений, которые бы возникли под воздействием каждой силы по отдельности. К действующим на тело силам, приложенным к одной точке, применяется правило сложения векторов.

Определение 1

Векторная сумма всех сил, одновременно воздействующих на тело, это сила равнодействующая , которая определяется по правилу векторного сложения сил:

R → = F 1 → + F 2 → + F 3 → + . . . + F n → = ∑ i = 1 n F i → .

Равнодействующая сила действует на тело также, как и сумма всех действующих на него сил.

Для сложения 2 -х сил используют правило параллелограмма (рисунок 1).

Рисунок 1 . Сложение 2 -х сил по правилу параллелограмма

Выведем формулу модуля равнодействующей силы с помощью теоремы косинусов:

R → = F 1 → 2 + F 2 → 2 + 2 F 1 → 2 F 2 → 2 cos α

Определение 3

При необходимости сложения более 2 -х сил используют правило многоугольника : от конца
1 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 2 -й силе; от конца 2 -й силы необходимо провести вектор, равный и параллельный 3 -й силе и т.д.

Рисунок 2 . Сложение сил правилом многоугольника

Конечный вектор, проведенный от точки приложения сил в конец последней силы, по величине и направлению равняется равнодействующей силе. Рисунок 2 наглядно иллюстрирует пример нахождения равнодействующей сил из 4 -х сил: F 1 → , F 2 → , F 3 → , F 4 → . Причем суммируемые векторы совсем необязательно должны быть в одной плоскости.

Результат действия силы на материальную точку будет зависеть только от ее модуля и направления. У твердого тела есть определенные размеры. Потому силы с одинаковыми модулями и направлениями вызывают разные движения твердого тела в зависимости от точки приложения.

Определение 4

Линией действия силы называют прямую, проходящую через вектор силы.

Рисунок 3 . Сложение сил, приложенных к различным точкам тела

Если силы приложены к различным точкам тела и действуют не параллельно по отношению друг к другу, тогда равнодействующая приложена к точке пересечения линий действия сил (рисунок 3 ). Точка будет находиться в равновесии, если векторная сумма всех сил, действующих на нее, равняется 0: ∑ i = 1 n F i → = 0 → . В данном случае равняется 0 и сумма проекций данных сил на любую координатную ось.

Разложение сил на две составляющие – это замена одной силы 2 -мя, приложенными в той же точке и производящими на тело такое же действие, как и эта одна сила. Разложение сил осуществляется, как и сложение, правилом параллелограмма.

Задача разложения одной силы (модуль и направление которой заданы) на 2 , приложенные в одной точке и действующие под углом друг к другу, имеет однозначное решение в следующих случаях, когда известны:

• направления 2 -х составляющих сил;
• модуль и направление одной из составляющих сил;
• модули 2 -х составляющих сил.

Необходимо разложить силу F на 2 составляющие, находящиеся в одной плоскости с F и направленные вдоль прямых a и b (рисунок 4 ). Тогда достаточно от конца вектора F провести 2 прямые, параллельные прямым a и b . Отрезок F A и отрезок F B изображают искомые силы.

Рисунок 4 . Разложение вектора силы по направлениям

Пример 2

Второй вариант данной задачи – найти одну из проекций вектора силы по заданным векторам силы и 2 -й проекции (рисунок 5 а).

Рисунок 5 . Нахождение проекции вектора силы по заданным векторам

Во втором варианте задачи необходимо построить параллелограмм по диагонали и одной из сторон, как в планиметрии. На рисунке 5 б изображен такой параллелограмм и обозначена искомая составляющая F 2 → силы F → .

Итак, 2 -й способ решения: прибавим к силе силу, равную - F 1 → (рисунок 5 в). В итоге получаем искомую силу F → .

Пример 3

Три силы F 1 → = 1 Н; F 2 → = 2 Н; F 3 → = 3 Н приложены к одной точке, находятся в одной плоскости (рисунок 6 а) и составляют углы с горизонталью α = 0 ° ; β = 60 ° ; γ = 30 ° соответственно. Необходимо найти равнодействующую силу.

Решение

Рисунок 6 . Нахождение равнодействующей силы по заданным векторам

Нарисуем взаимно перпендикулярные оси О Х и O Y таким образом, чтобы ось О Х совпадала с горизонталью, вдоль которой направлена сила F 1 → . Сделаем проекцию данных сил на координатные оси (рисунок 6 б). Проекции F 2 y и F 2 x отрицательны. Сумма проекций сил на координатную ось О Х равняется проекции на данную ось равнодействующей: F 1 + F 2 cos β - F 3 cos γ = F x = 4 - 3 3 2 ≈ - 0 , 6 Н.

Точно также для проекций на ось O Y: - F 2 sin β + F 3 sin γ = F y = 3 - 2 3 2 ≈ - 0 , 2 Н.

Модуль равнодействующей определим с помощью теоремы Пифагора:

F = F x 2 + F y 2 = 0 , 36 + 0 , 04 ≈ 0 , 64 Н.

Направление равнодействующей найдем при помощи угла между равнодействующей и осью (рисунок 6 в):

t g φ = F y F x = 3 - 2 3 4 - 3 3 ≈ 0 , 4 .

Пример 4

Сила F = 1 к Н приложена в точке В кронштейна и направлена вертикально вниз (рисунок 7 а). Необходимо найти составляющие данной силы по направлениям стержней кронштейна. Все необходимые данные отображены на рисунке.

Решение

Рисунок 7 . Нахождение составляющих силы F по направлениям стержней кронштейна

Дано:

F = 1 к Н = 1000 Н

Пускай стержни прикручены к стене в точках А и С. На рисунке 7 б изображено разложение силы F → на составляющие вдоль направлений А В и В С. Отсюда понятно, что

F 1 → = F t g β ≈ 577 Н;

F 2 → = F cos β ≈ 1155 Н.

Ответ: F 1 → = 557 Н; F 2 → = 1155 Н.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Это векторная сумма всех сил, действующих на тело.

Велосипедист наклоняется в сторону поворота. Сила тяжести и сила реакции опоры со стороны земли дают равнодействующую силу, сообщающую центростремительное ускорение, необходимое для движения по окружности

Взаимосвязь со вторым законом Ньютона

Вспомним закон Ньютона:

Равнодействующая сила может быть равна нулю в том случае, когда одна сила компенсируется другой, такой же силой, но противоположной по направлению. В этом случае тело находится в покое или движется равномерно.

Если равнодействующая сила НЕ равна нулю, то тело движется равноускоренно . Собственно именно эта сила является причиной неравномерного движения. Направление равнодействующей силы всегда совпадает по направлению с вектором ускорения.

Когда требуется изобразить силы, действующие на тело, при этом тело движется равноускоренно, значит в направлении ускорения действующая сила длиннее противоположной. Если тело движется равномерно или покоится длина векторов сил одинаковая.

Нахождение равнодействующей силы

Для того, чтобы найти равнодействующую силу, необходимо: во-первых, верно обозначить все силы , действующие на тело; затем изобразить координатные оси , выбрать их направления; на третьем шаге необходимо определить проекции векторов на оси; записать уравнения. Кратко: 1) обозначить силы; 2) выбрать оси, их направления; 3) найти проекции сил на оси; 4) записать уравнения.

Как записать уравнения? Если в некотором направлении тело двигается равномерно или покоится, то алгебраическая сумма (с учетом знаков) проекций сил равна нулю. Если в некотором направлении тело движется равноускоренно, то алгебраическая сумма проекций сил равна произведению массы на ускорение, согласно второму закону Ньютона.

Примеры

На движущееся равномерно по горизонтальной поверхности тело, действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения и сила, под действием которой тело движется.

Обозначим силы, выберем координатные оси

Найдем проекции

Записываем уравнения

Тело, которое прижимают к вертикальной стенке, равноускоренно движется вниз. На тело действуют сила тяжести, сила трения, реакция опоры и сила, с которой прижимают тело. Вектор ускорения направлен вертикально вниз. Равнодействующая сила направлена вертикально вниз.

Тело равноускоренно движется по клину, наклон которого альфа. На тело действуют сила тяжести, сила реакции опоры, сила трения.

Главное запомнить

1) Если тело покоится или движется равномерно, то равнодействующая сила равна нулю и ускорение равно нулю;
2) Если тело движется равноускоренно, значит равнодействующая сила не нулевая;
3) Направление вектора равнодействующей силы всегда совпадает с направлением ускорения;
4) Уметь записывать уравнения проекций действующих на тело сил

Блок - механическое устройство, колесо, вращающееся вокруг своей оси. Блоки могут быть подвижными и неподвижными.

Неподвижный блок используется лишь для изменения направления силы.

Тела, связанные нерастяжимой нитью, имеют одинаковые по величине ускорения.

Подвижный блок предназначен для изменения величины прилагаемых усилий. Если концы веревки, обхватывающей блок, составляют с горизонтом равные между собой углы, то для подъёма груза потребуется сила вдвое меньше, чем вес груза. Действующая на груз сила относится к его весу, как радиус блока к хорде дуги, обхваченной канатом.

Ускорение тела А в два раза меньше ускорения тела В.

Фактически, любой блок представляет собой рычаг , в случае неподвижного блока - равноплечий, в случае подвижного - с соотношением плеч 1 к 2. Как и для всякого другого рычага, для блока справедливо правило: во сколько раз выигрываем в усилии, во столько же раз проигрываем в расстоянии

Также используется система, состоящая из комбинации нескольких подвижных и неподвижных блоков. Такая система называется полиспаст.

A) окружность.

C) парабола.

D) траектория может быть любой.

E) прямая.

2. Если тела разделены безвоздушным пространством, то теплопередача между ними возможна

A) теплопроводностью и конвекцией.

B) излучением.

C) теплопроводностью.

D) конвекцией и излучением.

E) конвекцией.

3. Электрон и нейтрон обладают электрическими зарядами

A) электрон – отрицательным, нейтрон – положительным.

B) электрон и нейтрон – отрицательным.

C) электрон – положительным, нейтрон – отрицательным.

D) электрон и нейтрон – положительным.

E) электрон – отрицательным, нейтрон – не имеет заряда.

4. Сила тока необходимая для совершения работы, равной 250 Дж лампочкой, рассчитанной на 4В и в течении 3 минут равна

5. Из атомного ядра в результате самопроизвольного превращения вылетело ядро атома гелия, в результате следующего радиоактивного распада

A) гамма-излучения.

B) двухпротонного распада.

C) альфа-распада.

D) протонного распада.

E) бета- распада.

6. Точка небесной сферы, которая обозначается таким же знаком, как созвездие Рака, это – точка

A) парада планет

B) весеннего равноденствия

C) осеннего равноденствия

D) летнего солнцестояния

E) зимнего солнцестояния

7. Движение грузового автомобиля описывается уравнениями x1= - 270 + 12t, а движение пешехода по обочине того же шоссе – уравнением x2= - 1,5t. Время встречи равно

8. Если тело брошено вверх со скоростью 9 м/с, то максимальной высоты оно достигнет через (g = 10 м/с2)

9. Под действием постоянной силы, равной 4 Н, тело массой8 кгбудет двигаться

A) равноускоренно с ускорением 0,5 м/с2

B) равноускоренно с ускорением 2 м/с2

C) равноускоренно с ускорением 32 м/с2

D) равномерно со скоростью 0,5 м/с

E) равномерно со скоростью 2 м/с

10. Мощность тягового электродвигателя троллейбуса равна 86 кВт. Работа которую может совершить двигатель за 2 ч равна

A) 619200 кДж.

C) 14400 кДж.

E) 17200 кДж.

11. Потенциальная энергия упруго деформированного тела при увеличении деформации в 4 раза

A) не изменится.

B) уменьшится в 4 раза.

C) увеличится в 16 раз.

D) увеличится в 4 раза.

E) уменьшится в 16 раз.

12. Шары массой m1 = 5 г и m2 = 25 г движутся навстречу друг другу со скоростью υ1 = 8 м/с и υ2 = 4 м/с. После неупругого удара скорость шара m1 равна (направление оси координат совпадает с направлением движения первого тела)

13. При механических колебаниях

A) постоянна только потенциальная энергия

B) постоянны и потенциальная энергия, и кинетическая энергия

C) постоянна только кинетическая энергия

D) постоянна только полная механическая энергия

E) энергия постоянна в первую половину периода

14. Если олово находится при температуре плавления, то на плавление4 кголова потребуется количество теплоты, равное (Дж/кг)

15. Электрическое поле напряженностью 0,2 Н/Кл действует на заряд 2 Кл с силой

16. Установите правильную последовательность электромагнитных волн по мере возрастания частоты

1) радиоволны, 2) видимый свет, 3) рентгеновские лучи, 4) инфракрасное излучение, 5) ультрафиолетовое излучение

A) 4, 1, 5, 2, 3

B) 5, 4, 1, 2, 3

C) 3, 4, 5, 1, 2

D) 2, 1, 5, 3, 4

E) 1, 4, 2, 5, 3

17. Ученик режет жесть, прикладывая к ручкам ножниц силу 40 Н. Расстояние от оси ножниц до точки приложения силы35 см, а расстояние от оси ножниц до жести2,5 см. Усилие, необходимое для разрезания жести

18. Площадь малого поршня гидравлического пресса 4см2, а площадь большого 0,01 м2. Сила давления на большой поршень больше, чем сила давления на малый поршень в

B) 0,0025 раз

E) 0,04 раза

19. Газ, расширяясь при постоянном давлении 200 Па совершил работу 1000 Дж. Если первоначально газ занимал объём1,5 м, то новый объём газа равен

20. Расстояние от предмета до изображения в 3 раза больше,чем расстояние от предмета до линзы. Это линза...

A) двояковогнутая

B) плоская

C) собирающая

D) рассеивающая

E) плоско-вогнутая

Раздел 1. «СТАТИКА»

Ньютоны

Плече силы-это кратчайшее расстояние от точки, до линии действия силы

Произведение силы на плече равно моменту силы.

8. Сформулируйте «правило правой руки» для определения направления момента силы.

9. Как определяется главный момент системы сил относительно точки?

Главный момент относительно центра –векторная сумма моментов всех сил, приложенных к телу относительно того же центра.

10. Что называется парой сил? Чему равен момент пары сил? Зависит ли он от выбора точки? Как направлен и чему равен по величине момент пары сил?

Парой сил называется система сил в которой силы равны, параллельны и противоположно направлены друг другу. Момент равен произведению одной из сил на плече, не зависит от выбора точки, направлен перпендикулярно плоскости в которой лежит пара.

11. Сформулируйте теорему Пуансо.

12. Сформулируйте необходимые и достаточные условия равновесия системы сил.

Для равновесия плоской системы сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил на две координатные оси и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно произвольной точки равнялись нулю. Второй формой уравнения равновесия является равенство нулю алгебраических сумм моментов всех сил относительно любых трех точек, не лежащих на одной прямой

14. Какие системы сил называются эквивалентными?

Если, не нарушая состояния тела, одну систему сил (F 1 , F 2 , ..., F n) можно заменить другой си­стемой (Р 1 , P 2 , ... , P n) и наоборот, то такие системы сил называются эквивалентными

15. Какая сила называется равнодействующей данной системы сил?

Когда система сил (F 1 , F 2 , ... , F n) эквивалентна одной силе R, то R назыв. равнодействующей. Равнодействующая сила может заменить действие всех данных сил. Но не всякая си­стема сил имеет равнодействующую.

16. Известно, что сумма проекций всех сил, приложенных к телу, на данную ось равна нулю. Как направлена равнодействующая такой системы?

17. Сформулируйте аксиому инерции (принцип инерции Галилея).

Под действием взаимно уравновешивающихся сил материальная точка (тело) находится в состоянии покоя или движется прямолинейно и равномерно

28. Сформулируйте аксиому равновесия двух сил.

Две силы, приложенные к абсолютно твердому телу, будут уравновешены тогда и только тогда, когда они равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны

19. Можно ли переносить силу вдоль ее линии действия, не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела?

Не изменяя кинематического состояния абсолютно твердого тела, силу можно переносить вдоль линии ее действия, сохраняя неизменными ее модуль и направление.

20. Сформулируйте аксиому параллелограмма сил.

Не меняя cостояния тела, две силы, приложенные к одной его точке, можно за­менить одной равнодействующей силой, приложен­ной в той же точке и равной их геометрической сумме

21. Как формулируется третий закон Ньютона?

Всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие

22. Какое твердое тело называется несвободным?

Силы, действующие между телами системы называются внутренними.

Шарнирно-подвижная опора. Этот вид связи конструктивно выполняется в виде цилиндрического шарнира, который может свободно перемещаться вдоль поверхности. Реакция шарнирно-подвижной опоры всегда направлена перпендикулярно опорной поверхности

Шарнирно-неподвижная опора. Реакция шарнирно-неподвижной опоры представляется в виде неизвестных составляющих и , линии действия которых параллельны или совпадают с осями координат

29. Какая опора называется жесткой заделкой (защемлением)?

Это необычный вид связи, так как кроме препятствия перемещению в плоскости , жесткая заделка препятствует повороту стержня (балки) относительно точки . Поэтому реакция связи сводится не только к реакции ( , ), но и к реактивному моменту

30. Какая опора называется подпятником?

Подпятник и сферический шарнир Такой вид связи можно представить в виде стержня, имеющего на конце сферическую поверхность, которая крепится в опоре, представляющей собой часть сферической полости. Сферический шарнир препятствует перемещению по любому направлению в пространстве, поэтому реакция его представляется в виде трех составляющих , , , параллельных соответствующим координатным осям

31. Какая опора называется сферическим шарниром?

32. Какая система сил называется сходящейся? Как формулируются условия равновесия системы сходящихся сил?

Если (абсолютно твердое) тело находится в равновесии под действием плоской системы трех непараллельных сил (т.е. сил, из которых хотя бы две непараллельные), то линии их действия пересекаются в одной точке.

34. Чему равна сумма двух параллельных сил, направленных в одну сторону? В разные стороны?

равнодейст-ющая двух парал-ых сил F 1 и F 2 одного направления имеет такое же направление, ее модуль равен сумме модулей слагаемых сил, а точка приложения делит отрезок между точками приложения сил на части обратно пропорциональные модулям сил: R=F 1 + F 2 ; АС/ВС=F 2 /F 1 . Равнодействующая двух противоположно направленных паралл-ных сил имеет направление силы большей по модулю и модуль, равный разности модулей сил.

37. Как формулируется теорема Вариньона?

Если рассматриваемая плоская система сил приводится к равнодействующей, то момент этой равнодействующей относительно какой-либо точки равен алгебраической сумме моментов всех сил данной системы относительно той оке самой точки.

40. Как определяется центр параллельных сил?

По теореме Вариньона

41. Как определяется центр тяжести твердого тела?

45. Где находится центр тяжести треугольника?

Точка пересечения медиан

46. Где находится центр тяжести пирамиды и конуса?

Раздел 2. «КИНЕМАТИКА»

1. Что называется траекторией точки? Какое движение точки называется прямолинейным? Криволинейным?

Линию, вдоль которой движется материальная точка , называют траекторией .

Если траектория - прямая линия, то движение точки называют прямолинейным; если траектория - кривая линия, то движение называют криволинейным

2. Как определяется декартова прямоугольная система координат?

3. Как определяется абсолютная скорость точки в неподвижной (инерциальной) системе координат? Как направлен вектор скорости по отношению к ее траектории? Чему равны проекции скорости точки на оси декартовых координат?

Для точки эти зависимости являются следующими: абсолютная скорость точки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей, то есть:

.

3. Как определяется абсолютное ускорение точки в неподвижной (инерциальной) системе координат? Чему равны проекции ускорения точки на оси декартовых координат?

5. Как определяется вектор угловой скорости твердого тела, при его вращении вокруг неподвижной оси? Как направлен вектор угловой скорости?

Углова́я ско́рость - векторная физическая величина, характеризующая скорость вращения тела. Вектор угловой скорости по величине равен углу поворота тела в единицу времени:

а направлен по оси вращения согласно правилу буравчика, то есть, в ту сторону, в которую ввинчивался бы буравчик с правой резьбой, если бы вращался в ту же сторону.

6. Как определяется вектор углового ускорения твердого тела, при его вращении вокруг неподвижной оси? Как направлен вектор углового ускорения?

При вращении тела вокруг неподвижной оси, угловое ускорение по модулю равно :

Вектор углового ускорения α направлен вдоль оси вращения (в сторону при ускоренном вращении и противоположно - при замедленном).

При вращении вокруг неподвижной точки вектор углового ускорения определяется как первая производная от вектора угловой скорости ω по времени , то есть

8. Чему равны абсолютная, переносная и относительная скорости точки при ее сложном движении?

9. Как определяются переносное и относительное ускорения при сложном движении точки?

10. Как определяется кориолисово ускорение при сложном движении точки?

11. Сформулируйте теорему Кориолиса.

Теорема о сложении ускорений (теорема Кориолиса) : , где – ускорение Кориолиса (кориолисово ускорение) – в случае непоступательного переносного движения абсолютное ускорение = геометрической сумме переносного, относительного и кориолисова ускорений.

12. При каких движениях точки равны нулю:

а) касательное ускорение?

б) нормальное ускорение?

14. Какое движение тела называется поступательным? Чему равны скорости и ускорения точек тела при таком движении?

16. Какое движение тела называется вращательным? Чему равны скорости и ускорения точек тела при таком движении?

17. Как выражаются касательное и центростремительное ускорения точки твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси?

18. Каково геометрическое место точек твердого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, скорости которых в данный момент имеют одинаковую величину и одинаковое направление?

19. Какое движение тела называется плоскопараллельным? Чему равны скорости и ускорения точек тела при таком движении?

20. Как определяется мгновенный центр скоростей плоской фигуры, движущейся в своей плоскости?

21. Как можно графически найти положение мгновенного центра скоростей, если известны скорости двух точек плоской фигуры?

22. Каковы будут скорости точек плоской фигуры в случае, когда мгновенный центр вращения этой фигуры бесконечно удален?

23. Как связаны между собой проекции скоростей двух точек плоской фигуры на прямую, соединяющую эти точки?

24. Даны две точки (А и В ) движущейся плоской фигуры, причем известно, что скорость точки А перпендикулярна к АВ . Как направлена скорость точки В ?

Раздел 1. «СТАТИКА»

1. Какими факторами определяется сила, действующая на твердое

2. В каких единицах измеряется сила в системе «СИ»?

Ньютоны

3. Чему равен главный вектор системы сил? Как построить силовой многоугольник для заданной системы сил?

Главный вектор – векторная сумма всех сил, приложенных к телу

5. Что называется моментом силы относительно данной точки? Как направлен момент силы относительно вектора силы и радиус-вектора точки приложения силы?
Моментом силы относительно точки (центра) на­зывается вектор, численно равный произведению модуля силы на плечо, т. е. на кратчайшее расстояние от указанной точки до линии дей­ствия силы. Он направлен перпендикулярно плоскости распространения силы и р.в. точки.

6. В каком случае момент силы относительно точки равен нулю?
Когда плече равно 0(Центр моментов расположен на линии действия силы)

7. Как определяется плечо силы относительно точки? Чему равно произведение силы на плечо?