Понятие подмножества. Отношение включения

Урок и презентация на тему: "Множества и подмножества, примеры"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Мультимедийное учебное пособие для 9 класса "Алгебра за 10 минут"
Электронное учебное пособие для учащихся 7-9 классов "Понятная алгебра"

Множества и подмножества

Так что же такое множество?
Множествами занимается специальный раздел математики теория множеств. Множество – одно из главных и фундаментальных понятий. Определения у него нет, но давайте попробуем понять, что же такое множество? Множество – это совокупность различных элементов, их можно посчитать, сгруппировать. Примерами множеств могут служить буквы алфавита – множество, состоящее из 33 элементов. Множество яблок на дереве – количество яблок на дереве, конечно и его можно посчитать и занумеровать. Примеров множеств можно придумать очень много. Попробуйте сами придумать какой-нибудь пример.
В математике множество обозначается в фигурных скобках {,}. Например, множество первых пяти букв английского алфавита обозначат вот так: {A,B,C,D,E}. Если записать это множество в другом порядке, оно не изменится.
Математика настолько интересный предмет, что у нас есть понятие пустого множества и бесконечного множества. Пустое множество – множество, в котором нет ни одного элемента, его обозначают без скобок и используют значок Ø. Бесконечное множество, наверняка понятно из названия – множество, в котором бесконечное количество элементов, например множество всех чисел.
Множества можно описать различными словами, например, {10, 12, 16, 18, ..., 96 ,98} – это множество четных двузначных чисел. Многоточие используется, когда элементов очень много и все их записать сложно, но при этом запись множества должна быть понятной, и чтобы по ней можно было определить, что это за множество.
$ \{x| -2

Существуют специальные обозначения множеств. Например, для множества натуральных чисел. Ребята, а вы помните, как это множество обозначается?
Для обозначения принадлежности элемента множеству используется специальный знак $ϵ$. Запись $2 ϵ \{2,4,6,8... \}$. Читается так: "Два принадлежит множеству четных чисел".

Пример.
Некоторое множество состоит из корней уравнения $x^3+3x^2+2x=0$. Найдите элементы этого множества и перечислите все возможные варианты расположения элементов.

Решение.
Давайте решим уравнение, вынесем х за скобки:
$x(x^2+3x+2)=0$
$x(x+2)(x+1)=0$

Тогда решения нашего уравнения: $x=0;-2;-1$ – это и есть элементы искомого множества.
Давайте запишем возможные варианты расположения элементов:
{-2, -1, 0}; {-2, 0, -1}; {-1, 0, 2}; {-1, 2, 0}; {0, -2, -1}; {0, -1, -2}.

Пример .
Опишите данные множества.

$а) \{1,2,3,4,...,9,10 \} \\ б) \{1,8,27,64 ... \}$
Решение.
а) Множество натуральных чисел от 1 до 10.
б) Множество всех значений кубов натуральных чисел.

Пример .
Решив неравенство, записать его решения в виде числового промежутка:

А) $\{x^2 | x^2+1>0\}$
б) $\{x| 1/x в) $\{x |x^2+7x+12
Решение.
а) $x^2+1>0$ больше нуля при всех х. Тогда числовой промежуток запишется в виде: $(-∞;+∞)$.
б) 1/x в) $x^2+7x+12

Подмножество

Не забудем, что пустое множество так же является подмножеством нашего множества. Тогда получаем, что у нас есть 3+3+1+1=8 подмножеств.

Задачи для самостоятельного решения

Определение:

Множество – это любая совокупность объектов, которые называются его элементами.

Если х- элемент множества М, то обозначают: х М { х – принадлежит М}, если не принадлежит, то х ∉ М; Множество не содержащее элементов называется пустым и обозначается ∅

Множество, в котором содержатся все элементы, находящиеся в рассмотрении, называется универсальным или универсумом и обозначается –

Ư. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, называются равными и обозначаются А = В.

Если любой элемент множества В является элементом множества А, то множество В называется подмножеством множества А (частью множества А) и обозначается В ⊂ А; Отсюда следует, что любое множество является частью самого себя.

По определению пустое множество ∅ является подмножеством любого множества. Т.о. у любого множества А есть два подмножества:

Они называются несобственными подмножествами множества А. Любое множество В множества А, которое не является несобственными подмножествами А, (т.е. они отличны от А и ∅) и называются собственными подмножествами подмножества А. Множество из одного элемента а обозначается {а}.

Пример: А = {1;2;3} тогда пустое множество ∅ и само множество А является несобственными подмножествами А.

Множества:{1},{2},{3},{1;2},{1;3},{2;3} называются собственными подмножествами множества А. Совокупность всех множеств А называется его булеаном и обозначается – 2 А; В А, означает, что В А, В ≠ А. В этом случае говорят, что В строго включено в А или В является собственным подмножеством А;

В случае В ⊆ А, В = А говорят, что В нестрогое включение в А, т.е. В является несобственным подмножеством А.

Основные логические символы

ХР(х) – квантор общности (означает “для любого х выполняется

ХР(х) – квантор существования (означает “существует х, для которого выполняется Р (х)”.)

Р ⇒ Q – импликация (“из Р следует Q ”)

⟺ - эквивалентность (“тогда и только тогда”)

Р ∧ Q – конъюнкция (“Р и Q”)

Р ∨ Q – дизъюнкция (“Р или Q”)

Не Р или - отрицание Р

: = - символы присвоения (“положим”)

def – (“положим по определению”)

Используя эти символы можно записать:

1) (А = В) ⟺(( х ∈ А ⇒ х ∈ В) ∧ ( х ∈ В ⇒ х ∈ А)

2) (А ⊆ В) ⟺ ( х/х ∈А ⇒ х ∈ В)

3) (А = В) ⟺ (В ⊂ А ∧ А⊂ В)

Задание множеств

Перечислением элементов: М: = { а 1 ; а 2 ; а 3 ; …; а n }

или характеристическим свойством Р(х)

(предикатом): М: = { х | Р(х) }

Например:

1) В = { х ∈ N | х < 3} означает, что В= { 1; 2}

2) А ={ х ∈ N | х +1=5} означает, что А = {4}

3) В = { х ∈ N | х M5} или {5;10;15…}

т.е. { х | Р(х) }означает, что множество элементов х множества обладает свойством Р(х)

4) М = { х ∈ N | х ­3< 5}={1;2;3;4;5;6;7}

Операции над множествами

Рассматриваются следующие операции над множествами:

1 0 . Объединение множеств А и В.

U

А ∪ В = { х/х ∈ А или х ∈ В} – т.е. состоит из элементов, принадлежащих хотя б одному из множеств А или В.

2 0 . Пересечение множеств А и В.

A∩B = {x/x ∈ A и x ∈ B} – т.е. состоят из элементов, принадлежащих одновременно А и В.

3º. Разность множеств А и В.

A/B = {x/x ∈ A и x ∉ B} – т.е. состоит из элементов А, не принадлежащих В.

4º. Симметрическая разность А и В (или кольцевая сумма А и В)

А Ө B = {x/x ∈ A и x ∉ B} ∪ {x/x ∈ В и x ∉ А} или {А\В ∪ В\А}

5º. Дополнение А до универсума

= U\A = {x|x ∈ Uux и x ∉ А}

Произведение множеств

Прямым (декартовым) произведением двух множеств А и В называется множество всех упорядоченных пар, в которой I элемент из множества А, II элемент – из множества В, т.е. А×В = {(а, в)/а Є А ̂в Є В}

Пример: А={2;5;7;9} и В ={2;4;7},

Тогда А×В = {(2,2) ; (2,4) ; (2,7) ; (5,2) ; (5,4) ; (5,7) ; (7,2) ; (7,4) ; (7,7) ; (9,2) ; (9,4); (9,7)}

А∩В={2,7}; А∪В={2,4,5,7,9}; А/В={5,9}; В/А={4}; А Ө В={4,5,9}

Элементы множества А×В называются точками; В паре (х, у) абсцисса – х и ордината – у точки, соответствующей этой паре.

Множество точек плоскости является прямым произведением вида R×R=R 2 , где R–множество действительных чисел.

R 2 называется декартовым квадратом на R.

Элементы теории графов

«Под множеством мы понимаем объединение в одно целое определенных, вполне различимых объектов нашей интуиции или нашей мысли» - так описал понятие «множество» Георг Кантор, основатель теории множеств.
Основные предпосылки канторовской теории множеств сводятся к следующему:
1° Множество может состоять из любых различимых объектов.
2° Множество однозначно определяется набором составляющих его объектов.
3° Любое свойство определяет множество объектов, которые этим свойством обладают.

Если х - объект, Р - свойство, Р(х) - обозначение того, что х обладает свойством Р, то через {х|Р(х)} обозначают весь класс объектов, обладающих свойством Р. Объекты, составляющие класс или множество, называют элементами класса или множества.

Термин «множество » употребляется как синоним понятий совокупность, собрание, коллекция некоторых элементов. Так, можно говорить о:
а) множестве пчёл в улье,
б) множестве точек отрезка,
в) множестве вершин квадрата или о множествах его сторон и диагоналей,
г) множестве студентов в аудитории и т.д.
В приведённых примерах в случаях а), в)-г) соответствующие множества состоят из определённого конечного числа предметов, такие множества называются конечными . Множество точек отрезка (пример б)) пересчитать невозможно, поэтому такие множества называются бесконечными . Множество, не содержащее ни одного элемента, называется пустым множеством.

Наиболее простая форма задания множества — перечисление его элементов, например А={4, 7, 13} (множество А состоит из трёх элементов — целых чисел 4, 7, 13). Другая часто применяемая форма задания — указание свойств элементов множества, например A = {x| x^2 ≤ 4} — множество чисел х, удовлетворяющих указанному условию.

Множества обычно обозначаются большими буквами А, В, С,…., а их элементы — малыми: а, в, с,… Запись а ∈ А (читается: а принадлежит А) или A ∋ a (читается: А содержит а) означает, что а есть элемент множества А. Пустое множество обозначается значком Ø.

Если каждый элемент множества В является также элементом множества А, множество В называется подмножеством множества А (обозначение — B ⊆ A или A ⊇ B).

Каждое множество является своим подмножеством (это самое «широкое» подмножество множества). Пустое множество является подмножеством любого множества (это самое «узкое» подмножество). Любое другое подмножество множества А содержит хотя бы один элемент множества А, но не все его элементы. Такие подмножества называются истинными, или собственными подмножествами. Для истинных подмножеств множества А применяется обозначение B ⊂ A или A ⊃ B. Если одновременно B ⊆ A и A ⊆ B, т.е каждый элемент множества В принадлежит А, и в то же время каждый элемент А принадлежит В, то А и В, очевидно, состоят из одних и тех же элементов и, следовательно, совпадают. В этом случае применяется знак равенства множеств: A = B. (Символы ∈, ∋, ⊂, ⊃, ⊆, ⊇ называются символами включения).

Геометрически множества обычно изображаются как некоторые множества точек плоскости. В любой имеющей смысл задаче обычно рассматриваются подмножества некоторого «наибольшего» множества U, которое называют универсальным множеством. Так, на рис. 1 изображено универсальное множество U и два его подмножества — множества А и В, B ⊂ A. Сами картинки типа рис. 1 называются диаграммами Эйлера-Венна .

В математике понятие множества является одним из основных, фундаментальным, однако единого определения множества не существует. Одним из наиболее устоявшихся определений множества является следующее: под множеством понимают любое собрание определённых и отличных друг от друга объектов, мыслимых как единое целое. Создатель теории множеств немецкий математик Георг Кантор (1845-1918) говорил так: "Множество есть многое, мыслимое нами как целое".

Ели ли Вы сегодня обед? Сейчас станет известна страшная тайна. Обед является множеством. А именно, множеством блюд, из которых он состоит. В нём (как правило) нет одинаковых блюд, и во множестве все элементы должны быть разными. А, если на обед у Вас был тот же самый салат, что и на завтрак, то этот салат является пересечением множеств "Обед" и "Завтрак".

Взгляните на книгу, лежащую на столе или стоящую на полке. Она является множеством страниц. Все страницы в ней отличаются друг от друга, по меньшей мере номерами.

А улица, на которой Вы живёте? Она является собранием многих разных объектов, но обязательно есть множество домов, расположенных на этой улице. Поэтому множество домов является подмножеством множества "Улица".

Итак, мы рассмотрели не только примеры множеств, но и пример операции над множествами - пересечение, а также отношение включения подмножества во множество. Все эти понятия будем рассматривать подробно на этом уроке.

Но пока ещё один пример практического рассмотрения множеств.

Множества как тип данных оказались очень удобными для программирования сложных жизненных ситуаций, так как с их помощью можно точно моделировать объекты реального мира и компактно отображать сложные логические взаимоотношения. Множества применяются в языке программирования Паскаль и один из примеров решения мы ниже разберём.

Пример 0 (Паскаль). Существует набор продуктов, продаваемых в нескольких магазинах города. Определить: какие продукты есть во всех магазинах города; полный набор продуктов в городе.

Решение. Определяем базовый тип данных Food (продукты), он может принимать значения, соответствующие названиями продуктов (например, hleb). Объявляем тип множества, он определяет все подмножества, составленные из комбинаций значений базового типа, то есть Food (продукты). И формируем подмножества: магазины "Солнышко", "Ветерок", "Огонёк", а также производные подмножества: MinFood (продукты, которые есть во всех магазинах), MaxFood (полный набор продуктов в городе). Далее прописываем операции для получения производных подмножеств. Подмножество MinFood получается в результате пересечения подмножеств Solnyshko, Veterok и Ogonyok и включает те и только те элементы этих подмножеств, которые включены в каждое их этих подмножеств (в Паскале операция пересечения множеств обозначается звёздочкой: A * B * C, математическое обозначение пересечения множеств дано далее). Подмножество MaxFood получается в результате объединения тех же подмножеств и включает элементы, которые включены во все подмножества (в Паскале операция объединения множеств обозначается знаком "плюс": A + B + C, математическое обозначение объединения множеств дано далее).

Код PASCAL

Program Shops; type Food=(hleb, moloko, myaso, syr, sol, sahar, maslo, ryba); Shop = set of Food; var Solnyshko, Veterok, Ogonyok, MinFood, MaxFood: Shop; Begin Solnyshko:=; Veterok:=; Ogonyok:=; ... MinFood:=Solnyshko * Veterok * Ogonyok; MaxFood:=Solnyshko + Veterok + Ogonyok; End.

Какие бывают множества

Объекты, составляющие множества - объекты нашей интуиции или интеллекта - могут быть самой различной природы. В примере в первом параграфе мы разобрали множества, включающие набор продуктов. Множества могут состоять, например, и из всех букв русского алфавита. В математике изучаются множества чисел, например, состоящие из всех:

Натуральных чисел 0, 1, 2, 3, 4, ...

Простых чисел

Чётных целых чисел

и т.п. (основные числовые множества рассмотрены в этого материала).

Объекты, составляющие множество, называются его элементами. Можно сказать, что множество - это "мешок с элементами". Очень важно: в множестве не бывает одинаковых элементов.

Множества бывают конечными и бесконечными. Конечное множество - это множество, для которого существует натуральное число, являющееся числом его элементов. Например, множество первых пяти неотрицательных целых нечётных чисел является конечным множеством. Множество, не являющееся конечным, называется бесконечным. Например, множество всех натуральных чисел является бесконечным множеством.

Если M - множество, а a - его элемент, то пишут: a ∈M , что означает "a принадлежит множеству M ".

Из первого (нулевого) примера на Паскале с продуктами, которые есть в тех или иных магазинах:

hleb ∈VETEROK ,

что означает: элемент "hleb" принадлежит множеству продуктов, которые есть в магазине "VETEROK".

Существуют два основных способа задания множеств: перечисление и описание.

Множество можно задать, перечислив все его элементы, например:

VETEROK = {hleb , syr , maslo } ,

A = {7 , 14 , 28 } .

Перечислением можно задать только конечное множество. Хотя можно сделать это и описанием. Но бесконечные множества можно задать только описанием.

Для описания множеств используется следующий способ. Пусть p (x ) - некоторое высказывание, которое описывает свойства переменной x , областью значений которых является множество M . Тогда через M = {x | p (x )} обозначаентся множество, состоящее из всех тех и только тех элементов, для которых высказывание p (x ) истинно. Это выражение читается так: "Множество M , состоящее из всех таких x , что p (x ) ".

Например, запись

M = {x | x ² - 3x + 2 = 0}

Пример 6. Согласно опросу 100 покупателей рынка, купивших цитрусовые, апельсины купили 29 покупателей, лимоны - 30 покупателей, мандарины - 9, только мандарины - 1, апельсины и лимоны - 10, лимоны и мандарины - 4, все три вида фруктов - 3 покупателя. Сколько покупателей не купили ни одного вида перечисленных здесь цитрусовых? Сколько покупателей купили только лимоны?

Операция декартова произведения множеств

Для определения ещё одной важной операции над множествами - декартова произведения множеств введём понятие упорядоченного набора длины n .

Длиной набора называется число n его компонент. Набор, составленный из элементов , взятых именно в этом порядке, обозначается . При этом i я () компонента набора есть .

Сейчас последует строгое определение, которое, возможно, не сразу понятно, но после этого определения будет картинка, по которой станет понятно, как получить декартово произведение множеств.

Декартовым (прямым) произведением множеств называется множество, обозначаемое и состоящее из всех тех и только тех наборов длины n , i -я компонента которых принадлежит .

Принадлежащие $A$, также принадлежит $B$. Формальное определение:

$(A\; \backslash subset\; B)\; \backslash Leftrightarrow\; \backslash forall\; x.\; (x\; \backslash in\; A\; \backslash Rightarrow\; x\; \backslash in\; B).$

Множество $B$ называется надмно́жеством множества $A$, если $A$ - подмножество $B$.

Существует два символических обозначения для подмножеств:

Обе системы обозначений используют символ $\backslash subset$ в разных смыслах, что может привести к путанице. В данной статье мы будем использовать последнюю систему обозначений.

То, что $B$ называется надмножеством $A$, часто записывают $B\; \backslash supset\; A$.

Множество всех подмножеств множества $A$ обозначается $\backslash mathcal\{P\}(A)$ и называется булеаном .

Собственное подмножество

Любое множество $B$ является своим подмножеством. Если мы хотим исключить $B$ из рассмотрения, мы пользуемся понятием со́бственного

Множество $A$ является собственным подмножеством множества $B$, если $A\; \backslash subset\; B$ и $A\; \backslash ne\; B$.

Пустое множество является подмножеством любого множества. Если мы вдобавок хотим исключить из рассмотрения пустое множество, мы пользуемся понятием нетривиа́льного подмножества, которое определяется так:

Множество $A$ является нетривиальным подмножеством множества $B$, если $A$ является собственным подмножеством $B$ и $A\; \backslash ne\; \backslash varnothing$.

Примеры

• Множества $\backslash varnothing,\; \backslash \{0\backslash \},\; \backslash \{1,3,4\backslash \}.$ $\backslash \{\; 0,1,2,3,4,5\backslash \}$
• Множества $\backslash \{\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; moose\; \backslash \},\; \backslash \{\; \$,\%,*,\backslash uparrow\; \backslash \},\; \backslash \{\backslash varnothing\backslash \},\; \backslash varnothing$ являются подмножествами множества $\backslash \{\; \$,\; \%,\; \backslash varnothing,\; \backslash uparrow,\; *,\; moose\; \backslash \}$
• Пусть $A\; =\; \backslash \{a,b\backslash \}$, тогда $\backslash mathcal\{P\}(A)\; =\; \backslash \{\backslash varnothing,\; \backslash \{a\backslash \},\; \backslash \{b\backslash \},\; \backslash \{a,b\backslash \}\; \backslash \}$.
• Пусть $A\; =\; \backslash \{1,2,3,4,5\backslash \},\backslash ;\; B\; =\; \backslash \{1,2,3\backslash \},\backslash ;\; C\; =\; \backslash \{4,5,6,7\backslash \}$. Тогда $B\; \backslash subset\; A,\backslash ;\; C\; \backslash not\backslash subset\; A$.

Свойства

Отношение подмножества обладает целым рядом свойств .

• Отношение подмножества является отношением частичного порядка :
  • Отношение подмножества рефлексивно : $B\; \backslash subset\; B$
  • Отношение подмножества антисимметрично : $(A\; \backslash subset\; B\; \backslash ;\; \backslash and\; \backslash ;\; B\; \backslash subset\; A)\; \backslash Leftrightarrow\; (A\; =\; B)$
  • Отношение подмножества транзитивно : $(A\; \backslash subset\; B\; \backslash ;\backslash and\; \backslash ;\; B\; \backslash subset\; C)\; \backslash Rightarrow\; (A\; \backslash subset\; C)$
• Пустое множество является подмножеством любого другого, поэтому оно является наименьшим множеством относительно отношения подмножества: $\backslash varnothing\; \backslash subset\; B$
• Для любых двух множеств $A$ и $B$ следующие утверждения эквивалентны:
  • $A\; \backslash subset\; B.$
  • $A\; \backslash cap\; B\; =\; A.$
  • $A\; \backslash cup\; B\; =\; B.$
  • $B^\{\backslash complement\}\; \backslash subset\; A^\{\backslash complement\}.$

Подмножества конечных множеств

Если исходное множество конечно, то у него существует конечное количество подмножеств. А именно, у $n$-элементного множества существует $2^n$ подмножеств (включая пустое). Чтобы убедиться в этом, достаточно заметить, что каждый элемент может либо входить, либо не входить в подмножество, а значит, общее количество подмножеств будет $n$-кратным произведением двоек. Если же рассматривать только подмножества $n$-элементного множества из $k\backslash le\; n$ элементов, то их количество выражается биномиальным коэффициентом $\backslash textstyle\backslash binom\{n\}\{k\}$. Для проверки этого факта можно выбирать элементы подмножества последовательно. Первый элемент можно выбрать $n$ способами, второй $n-1$ способом, и так далее, и, наконец, $k$-й элемент можно выбрать $n-k+1$ способом. Таким образом мы получим последовательность из $k$ элементов, и ровно $k!$ таким последовательностям соответствует одно подмножество. Значит, всего найдется $\backslash textstyle\backslash frac\{n(n-1)\backslash dots(n-k+1)\}\{k!\}=\backslash binom\{n\}\{k\}$ таких подмножеств.

Напишите отзыв о статье "Подмножество"

Примечания

Литература

• Верещагин Н. К., Шень А. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.. - 3-е изд., стереотип. - М .: МЦНМО, 2008. - 128 с. - ISBN 978-5-94057-321-0 .

Отрывок, характеризующий Подмножество

Кутузов отступил к Вене, уничтожая за собой мосты на реках Инне (в Браунау) и Трауне (в Линце). 23 го октября.русские войска переходили реку Энс. Русские обозы, артиллерия и колонны войск в середине дня тянулись через город Энс, по сю и по ту сторону моста.