Jaki jest pierwiastek równania. Wpisy oznaczone "pierwiastki zredukowanego równania kwadratowego według twierdzenia Vieta"

Tylko. Według formuł i jasnych prostych zasad. Na pierwszym etapie

musimy doprowadzić podane równanie do forma standardowa, tj. do widoku:

Jeśli równanie jest już podane w tej formie, nie musisz wykonywać pierwszego etapu. Najważniejsze jest właściwe

określić wszystkie współczynniki a, b oraz c.

Formuła znajdowania korzeni równanie kwadratowe.

Wyrażenie pod znakiem korzenia nazywa się dyskryminujący . Jak widać, aby znaleźć x, my

używać tylko a, b i c. Tych. kursy od równanie kwadratowe. Po prostu ostrożnie włóż

wartości a, b i c do tego wzoru i policz. Zastąp przez ich oznaki!

Na przykład, w równaniu:

a =1; b = 3; c = -4.

Zastąp wartości i napisz:

Przykład prawie rozwiązany:

Oto odpowiedź.

Najczęstsze błędy to mylenie ze znakami wartości a, b oraz z. Raczej z zastępstwem

wartości ujemne do wzoru na obliczenie pierwiastków. Tutaj zapisuje się szczegółowa formuła

z konkretnymi numerami. Jeśli są problemy z obliczeniami, zrób to!

Załóżmy, że musimy rozwiązać następujący przykład:

Tutaj a = -6; b = -5; c = -1

Malujemy wszystko szczegółowo, ostrożnie, nie tracąc niczego ze wszystkimi znakami i nawiasami:

Często równania kwadratowe wyglądają nieco inaczej. Na przykład tak:

Teraz zwróć uwagę na praktyczne techniki, które radykalnie zmniejszają liczbę błędów.

Pierwsza recepcja. Nie bądź leniwy wcześniej rozwiązywanie równania kwadratowego doprowadzić go do standardowej postaci.

Co to znaczy?

Załóżmy, że po wszelkich przekształceniach otrzymasz następujące równanie:

Nie spiesz się, aby napisać formułę korzeni! Prawie na pewno pomieszasz szanse a, b i c.

Poprawnie zbuduj przykład. Najpierw x do kwadratu, potem bez kwadratu, potem wolny element. Lubię to:

Pozbądź się minusa. W jaki sposób? Musimy pomnożyć całe równanie przez -1. Otrzymujemy:

A teraz możesz bezpiecznie zapisać wzór na pierwiastki, obliczyć dyskryminator i uzupełnić przykład.

Zdecyduj sam. Powinieneś skończyć z pierwiastkami 2 i -1.

Drugie przyjęcie. Sprawdź swoje korzenie! Przez Twierdzenie Viety.

Aby rozwiązać dane równania kwadratowe, tj. jeśli współczynnik

x2+bx+c=0,

następniex 1 x 2 = do

x1 +x2 =−b

Dla pełnego równania kwadratowego, w którym a≠1:

x 2 +bx+c=0,

podzielić całe równanie przez a:

→ →

gdzie x 1 oraz x 2 - pierwiastki równania.

Recepcja trzecia. Jeśli twoje równanie ma współczynniki ułamkowe, pozbądź się ułamków! Zwielokrotniać

równanie do wspólnego mianownika.

Wynik. Praktyczne wskazówki:

1. Przed rozwiązaniem doprowadzamy równanie kwadratowe do standardowej postaci, budujemy je Prawidłowy.

2. Jeśli przed x w kwadracie występuje ujemny współczynnik, eliminujemy go, mnożąc wszystko

równania dla -1.

3. Jeśli współczynniki są ułamkowe, eliminujemy ułamki, mnożąc całe równanie przez odpowiedni

czynnik.

4. Jeśli x do kwadratu jest czyste, współczynnik dla niego równy jeden, rozwiązanie można łatwo sprawdzić

\(2x+1=x+4\)
\(2\cdot3+1=3+4\)
\(7=7\)

I żadna inna liczba, z wyjątkiem potrójnej, nie da nam takiej równości. Stąd liczba \(3\) jest jedynym pierwiastkiem równania.

Jeszcze raz: korzeń NIE jest X!x jest zmienną , a pierwiastek to liczba , co zamienia równanie w prawdziwą równość (w powyższym przykładzie - potrójną). A rozwiązując równania, szukamy tej nieznanej liczby (lub liczb).

Przykład : Czy \(5\) jest pierwiastkiem równania \(x^(2)-2x-15=0\)?
Decyzja : Zamień \(5\) na x:

\(5^(2)-2\cdot5-15=0\)
\(25-10-15=0\)
\(0=0\)

Po obu stronach równości - ta sama wartość (zero), więc 5 to tak naprawdę pierwiastek.

Mathak: na kontrolce w ten sposób możesz sprawdzić czy dobrze znalazłeś korzenie.

Przykład : Która z liczb \(0, \pm1, \pm2\) jest pierwiastkiem z \(2x^(2)+15x+22=0\)?
Decyzja : Sprawdźmy każdą z liczb przez podstawienie:

Wiadomo, że rozwiązywanie równań poprzez wyliczanie wszystkich możliwych wartości to szaleństwo, bo liczb jest nieskończenie wiele. Dlatego zostały opracowane specjalne metody znalezienie korzeni. Więc na przykład dla wystarczy jeden, dla - już używane formuły itp. Każdy typ równań ma swoją własną metodę.

Odpowiedzi na najczęściej zadawane pytania

Pytanie: Czy pierwiastek równania może być zero?
Odpowiadać: Tak, oczywiście. Na przykład równanie \(3x=0\) ma jeden pierwiastek - zero. Możesz sprawdzić podstawiając.

Pytanie: Kiedy w równaniu nie ma pierwiastków?
Odpowiadać: Równanie może nie mieć pierwiastków, jeśli nie ma wartości dla x, które sprawiłyby, że równanie byłoby prawdziwą równością. Uderzającym przykładem jest tu równanie \(0\cdot x=5\). To równanie nie ma pierwiastków, bo wartość x nie gra tu roli (ze względu na mnożenie przez zero) - zresztą lewa strona zawsze będzie równa zero. Zero nie równa się pięć. Więc nie ma korzeni.

Pytanie: Jak napisać równanie, aby pierwiastek tego równania był równy określonej liczbie (na przykład trzy)?
Odpowiadać: pojawi się później.

Pytanie: Co oznacza „znajdź najmniejszy pierwiastek równania”?
Odpowiadać: Oznacza to, że musisz rozwiązać równanie, aw odpowiedzi wskazać jego mniejszy pierwiastek. Na przykład równanie \(x^2-5x-6=0\) ma dwa pierwiastki: \(x_1=-1\) i \(x_2=6\). Najmniejszy pierwiastek: \(-1\). Tutaj również należy to wpisać w odpowiedzi. Gdybyś pytał o większy pierwiastek, musiałbyś napisać \(6\).

Równania kwadratowe są badane w klasie 8, więc nie ma tu nic skomplikowanego. Umiejętność ich rozwiązywania jest niezbędna.

Równanie kwadratowe to równanie postaci ax 2 + bx + c = 0, gdzie współczynniki a , b i c są liczbami dowolnymi, a a ≠ 0.

Zanim przestudiujemy konkretne metody rozwiązywania, zauważamy, że wszystkie równania kwadratowe można podzielić na trzy klasy:

1. nie mieć korzeni;
2. Mają dokładnie jeden pierwiastek;
3. Mają dwa różne korzenie.

Jest to ważna różnica między równaniami kwadratowymi i liniowymi, w których pierwiastek zawsze istnieje i jest unikalny. Jak określić, ile pierwiastków ma równanie? Jest w tym coś wspaniałego - dyskryminujący.

dyskryminujący

Niech dane będzie równanie kwadratowe ax 2 + bx + c = 0. Wtedy wyróżnikiem będzie po prostu liczba D = b 2 − 4ac .

Tę formułę trzeba znać na pamięć. Skąd to się bierze, nie jest teraz ważne. Ważna jest jeszcze jedna rzecz: na podstawie znaku dyskryminatora można określić, ile pierwiastków ma równanie kwadratowe. Mianowicie:

1. jeśli D< 0, корней нет;
2. Jeśli D = 0, istnieje dokładnie jeden pierwiastek;
3. Jeśli D > 0, będą dwa pierwiastki.

Uwaga: dyskryminator wskazuje liczbę korzeni, a nie wcale ich znaki, jak z jakiegoś powodu myśli wiele osób. Spójrz na przykłady, a sam wszystko zrozumiesz:

Zadanie. Ile pierwiastków mają równania kwadratowe:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Zapisujemy współczynniki dla pierwszego równania i znajdujemy dyskryminator:
za = 1, b = −8, do = 12;
re = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Zatem wyróżnik jest dodatni, więc równanie ma dwa różne pierwiastki. Drugie równanie analizujemy w ten sam sposób:
a = 5; b = 3; c = 7;
D \u003d 3 2 - 4 5 7 \u003d 9 - 140 \u003d -131.

Wyróżnik jest ujemny, nie ma pierwiastków. Pozostaje ostatnie równanie:
a = 1; b = -6; c = 9;
re = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0.

Wyróżnik jest równy zeru - pierwiastek będzie równy jeden.

Zauważ, że dla każdego równania zostały wypisane współczynniki. Tak, jest długa, tak, jest nudna - ale nie mieszasz szans i nie popełniasz głupich błędów. Wybierz dla siebie: szybkość lub jakość.

Nawiasem mówiąc, jeśli „wypełnisz rękę”, po pewnym czasie nie będziesz już musiał zapisywać wszystkich współczynników. Takie operacje wykonasz w swojej głowie. Większość ludzi zaczyna to robić gdzieś po 50-70 rozwiązanych równaniach - generalnie nie tak bardzo.

Pierwiastki równania kwadratowego

Przejdźmy teraz do rozwiązania. Jeśli dyskryminator D > 0, pierwiastki można znaleźć za pomocą wzorów:

Podstawowy wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Gdy D = 0, możesz użyć dowolnej z tych formuł - otrzymasz tę samą liczbę, która będzie odpowiedzią. Wreszcie, jeśli d< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x2 = 0;
3. x2 + 12x + 36 = 0.

Pierwsze równanie:
x 2 - 2x - 3 = 0 ⇒ za = 1; b = −2; c = -3;
re = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ równanie ma dwa pierwiastki. Znajdźmy je:

Drugie równanie:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ za = −1; b = −2; c = 15;
re = (−2) 2 − 4 (−1) 15 = 64.

D > 0 ⇒ równanie znowu ma dwa pierwiastki. Znajdźmy ich

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \end(wyrównaj)\]

Wreszcie trzecie równanie:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ za = 1; b = 12; c = 36;
re = 12 2 - 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ równanie ma jeden pierwiastek. Można użyć dowolnej formuły. Na przykład pierwszy:

Jak widać na przykładach, wszystko jest bardzo proste. Jeśli znasz wzory i umiesz liczyć, nie będzie problemów. Najczęściej błędy występują, gdy w formule są zastępowane współczynniki ujemne. Tutaj znowu pomoże technika opisana powyżej: spójrz na formułę dosłownie, pomaluj każdy krok - i bardzo szybko pozbądź się błędów.

Niepełne równania kwadratowe

Zdarza się, że równanie kwadratowe różni się nieco od tego, co podano w definicji. Na przykład:

1. x2 + 9x = 0;
2. x2 − 16 = 0.

Łatwo zauważyć, że w tych równaniach brakuje jednego z wyrazów. Takie równania kwadratowe są jeszcze łatwiejsze do rozwiązania niż standardowe: nie trzeba nawet obliczać dyskryminatora. Wprowadźmy więc nową koncepcję:

Równanie ax 2 + bx + c = 0 nazywamy niepełnym równaniem kwadratowym, jeśli b = 0 lub c = 0, tj. współczynnik zmiennej x lub elementu swobodnego jest równy zeru.

Oczywiście bardzo trudny przypadek jest możliwy, gdy oba te współczynniki są równe zero: b \u003d c \u003d 0. W tym przypadku równanie przyjmuje postać ax 2 \u003d 0. Oczywiście takie równanie ma jeden pierwiastek: x \u003d 0.

Rozważmy inne przypadki. Niech b \u003d 0, wtedy otrzymamy niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 + c \u003d 0. Przekształćmy to nieco:

Bo arytmetyka Pierwiastek kwadratowy istnieje tylko z liczby nieujemnej, ostatnia równość ma sens tylko dla (−c /a ) ≥ 0. Wniosek:

1. Jeśli niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 + c = 0 spełnia nierówność (−c / a ) ≥ 0, to będą dwa pierwiastki. Wzór podano powyżej;
2. Jeśli (−c / a )< 0, корней нет.

Jak widać, dyskryminator nie był wymagany - w niepełnych równaniach kwadratowych w ogóle nie ma skomplikowanych obliczeń. W zasadzie nie trzeba nawet pamiętać nierówności (−c / a ) ≥ 0. Wystarczy wyrazić wartość x 2 i zobaczyć, co jest po drugiej stronie znaku równości. Jeśli jest liczba dodatnia, będą dwa pierwiastki. Jeśli jest ujemna, w ogóle nie będzie korzeni.

Zajmijmy się teraz równaniami postaci ax 2 + bx = 0, w których element swobodny jest równy zeru. Tutaj wszystko jest proste: zawsze będą dwa korzenie. Wystarczy rozłożyć wielomian na czynniki:

Iloczyn jest równy zeru, gdy co najmniej jeden z czynników jest równy zeru. Stąd pochodzą korzenie. Podsumowując, przeanalizujemy kilka z tych równań:

Zadanie. Rozwiąż równania kwadratowe:

1. x2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x2 = −(−7)/1 = 7.

5x2 + 30 = 0 ⇒ 5x2 = -30 ⇒ x2 = -6. Nie ma korzeni, bo kwadrat nie może być równy liczbie ujemnej.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 \u003d -1,5.

Wzory na pierwiastki równania kwadratowego. Rozważane są przypadki pierwiastków rzeczywistych, wielokrotnych i złożonych. Faktoryzacja trójmian kwadratowy. Interpretacja geometryczna. Przykłady wyznaczania pierwiastków i faktoryzacji.

Podstawowe formuły

Rozważ równanie kwadratowe:
(1) .
Pierwiastki równania kwadratowego(1) określają wzory:
; .
Formuły te można łączyć w następujący sposób:
.
Gdy znane są pierwiastki równania kwadratowego, wielomian drugiego stopnia można przedstawić jako iloczyn czynników (rozłożony):
.

Ponadto zakładamy, że są to liczby rzeczywiste.
Rozważać dyskryminator równania kwadratowego:
.
Jeśli dyskryminator jest dodatni, to równanie kwadratowe (1) ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste:
; .
Wówczas faktoryzacja trójmianu kwadratowego ma postać:
.
Jeśli dyskryminator wynosi zero, to równanie kwadratowe (1) ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki rzeczywiste:
.
Faktoryzacja:
.
Jeśli dyskryminator jest ujemny, to równanie kwadratowe (1) ma dwa złożone pierwiastki sprzężone:
;
.
Oto jednostka urojona ;
i są rzeczywistymi i urojonymi częściami korzeni:
; .
Następnie

.

Interpretacja graficzna

Jeśli zbuduj wykres funkcji
,
która jest parabolą, to punkty przecięcia wykresu z osią będą pierwiastkami równania
.
Kiedy , wykres przecina oś odciętych (osi) w dwóch punktach.
Gdy , wykres styka się z osią x w jednym punkcie.
Gdy , wykres nie przecina osi x.

Poniżej znajdują się przykłady takich wykresów.

Przydatne wzory związane z równaniem kwadratowym

(f.1) ;
(f.2) ;
(f.3) .

Wyprowadzenie wzoru na pierwiastki równania kwadratowego

Wykonujemy przekształcenia i stosujemy wzory (f.1) i (f.3):




,
gdzie
; .

Otrzymaliśmy więc wzór na wielomian drugiego stopnia w postaci:
.
Z tego widać, że równanie

wykonywane o godz
oraz .
To znaczy i są pierwiastkami równania kwadratowego
.

Przykłady wyznaczania pierwiastków równania kwadratowego

Przykład 1

(1.1) .

Decyzja

.
Porównując z naszym równaniem (1.1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie wyróżnika:
.
Ponieważ dyskryminator jest dodatni, równanie ma dwa pierwiastki rzeczywiste:
;
;
.

Stąd otrzymujemy rozkład trójmianu kwadratowego na czynniki:

.

Wykres funkcji y = 2 x 2 + 7 x + 3 przecina oś x w dwóch punktach.

Narysujmy funkcję
.
Wykresem tej funkcji jest parabola. Przecina oś x (oś) w dwóch punktach:
oraz .
Punkty te są pierwiastkami pierwotnego równania (1.1).

Odpowiadać

;
;
.

Przykład 2

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(2.1) .

Decyzja

Zapisujemy równanie kwadratowe ogólny widok:
.
Porównując z pierwotnym równaniem (2.1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie wyróżnika:
.
Ponieważ dyskryminator wynosi zero, równanie ma dwa wielokrotne (równe) pierwiastki:
;
.

Wówczas faktoryzacja trójmianu ma postać:
.

Wykres funkcji y = x 2 - 4 x + 4 dotyka osi x w jednym punkcie.

Narysujmy funkcję
.
Wykresem tej funkcji jest parabola. Dotyka osi x (osi) w jednym punkcie:
.
Ten punkt jest pierwiastkiem pierwotnego równania (2.1). Ponieważ ten pierwiastek jest uwzględniany dwukrotnie:
,
wtedy taki pierwiastek nazywa się wielokrotnością. Oznacza to, że uważają, że istnieją dwa równe pierwiastki:
.

Odpowiadać

;
.

Przykład 3

Znajdź pierwiastki równania kwadratowego:
(3.1) .

Decyzja

Piszemy równanie kwadratowe w postaci ogólnej:
(1) .
Przepiszmy pierwotne równanie (3.1):
.
Porównując z (1), znajdujemy wartości współczynników:
.
Znalezienie wyróżnika:
.
Wyróżnik jest ujemny, . Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.

Możesz znaleźć złożone korzenie:
;
;
.

Następnie


.

Wykres funkcji nie przecina osi x. Nie ma prawdziwych korzeni.

Narysujmy funkcję
.
Wykresem tej funkcji jest parabola. Nie przecina odciętej (osi). Dlatego nie ma prawdziwych korzeni.

Odpowiadać

Nie ma prawdziwych korzeni. Złożone korzenie:
;
;
.

Z tym programem matematycznym możesz rozwiązać równanie kwadratowe.

Program nie tylko daje odpowiedź na problem, ale także wyświetla proces rozwiązania na dwa sposoby:
- za pomocą wyróżnika
- korzystając z twierdzenia Vieta (jeśli to możliwe).

Ponadto wyświetlana jest odpowiedź dokładna, a nie przybliżona.
Na przykład dla równania \(81x^2-16x-1=0\) odpowiedź jest wyświetlana w następującej postaci:

Ten program mogą być przydatne dla uczniów szkół średnich w przygotowaniu do praca kontrolna i egzaminy, podczas sprawdzania wiedzy przed egzaminem, rodzice kontrolują rozwiązanie wielu problemów z matematyki i algebry. A może zatrudnienie korepetytora lub zakup nowych podręczników jest dla Ciebie zbyt kosztowny? A może po prostu chcesz jak najszybciej odrobić pracę domową z matematyki lub algebry? W takim przypadku możesz również skorzystać z naszych programów ze szczegółowym rozwiązaniem.

W ten sposób możesz prowadzić własne szkolenie i/lub szkolenie swoich młodszych braci lub sióstr, jednocześnie podnosząc poziom edukacji w zakresie zadań do rozwiązania.

Jeśli nie znasz zasad wprowadzania wielomianu kwadratowego, zalecamy zapoznanie się z nimi.

Zasady wprowadzania wielomianu kwadratowego

Dowolna litera łacińska może działać jako zmienna.
Na przykład: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q \) itd.

Liczby mogą być wprowadzane jako liczby całkowite lub ułamki.
Ponadto liczby ułamkowe można wprowadzać nie tylko w postaci ułamka dziesiętnego, ale także w postaci ułamka zwykłego.

Zasady wprowadzania ułamków dziesiętnych.
W ułamkach dziesiętnych część ułamkową liczby całkowitej można oddzielić kropką lub przecinkiem.
Na przykład możesz wejść dziesiętne więc: 2,5x - 3,5x^2

Zasady wprowadzania ułamków zwykłych.
Tylko liczba całkowita może działać jako licznik, mianownik i część całkowita ułamka.

Mianownik nie może być ujemny.

Podczas wprowadzania ułamka liczbowego licznik jest oddzielony od mianownika znakiem dzielenia: /
Część całkowita jest oddzielona od ułamka znakiem ampersand: &
Wejście: 3&1/3 - 5&6/5z +1/7z^2
Wynik: \(3\frac(1)(3) - 5\frac(6)(5) z + \frac(1)(7)z^2 \)

Podczas wprowadzania wyrażenia możesz użyć nawiasów. W takim przypadku przy rozwiązywaniu równania kwadratowego wprowadzone wyrażenie jest najpierw upraszczane.
Na przykład: 1/2(y-1)(y+1)-(5y-10&1/2)

Stwierdzono, że niektóre skrypty potrzebne do rozwiązania tego zadania nie zostały załadowane, a program może nie działać.
Możesz mieć włączony AdBlock.
W takim przypadku wyłącz go i odśwież stronę.

Dlatego Jest wiele osób, które chcą rozwiązać problem, Twoja prośba jest w kolejce.
Po kilku sekundach rozwiązanie pojawi się poniżej.
Proszę czekać sek...

Jeśli ty zauważył błąd w rozwiązaniu, wtedy możesz napisać o tym w formularzu opinii.
Nie zapomnij wskaż jakie zadanie ty decydujesz co wpisz w pola.

Nasze gry, puzzle, emulatory:

Trochę teorii.

Równanie kwadratowe i jego pierwiastki. Niepełne równania kwadratowe

Każde z równań
\(-x^2+6x+1,4=0, \quad 8x^2-7x=0, \quad x^2-\frac(4)(9)=0 \)
ma formę
\(ax^2+bx+c=0, \)
gdzie x to zmienna, a, b i c to liczby.
W pierwszym równaniu a = -1, b = 6 i c = 1,4, w drugim a = 8, b = -7 i c = 0, w trzecim a = 1, b = 0 i c = 4/9. Takie równania są nazywane równania kwadratowe.

Definicja.
równanie kwadratowe wywoływane jest równanie postaci ax 2 +bx+c=0, gdzie x jest zmienną, a, b i c są pewnymi liczbami, a \(a \neq 0 \).

Liczby a, b i c to współczynniki równania kwadratowego. Liczba a jest nazywana pierwszym współczynnikiem, liczba b jest drugim współczynnikiem, a liczba c jest wyrazem wolnym.

W każdym z równań postaci ax 2 +bx+c=0, gdzie \(a \neq 0 \), największą potęgą zmiennej x jest kwadrat. Stąd nazwa: równanie kwadratowe.

Zauważ, że równanie kwadratowe jest również nazywane równaniem drugiego stopnia, ponieważ jego lewa strona jest wielomianem drugiego stopnia.

Nazywa się równanie kwadratowe, w którym współczynnik przy x 2 wynosi 1 zredukowane równanie kwadratowe. Na przykład podane równania kwadratowe są równaniami
\(x^2-11x+30=0, \quad x^2-6x=0, \quad x^2-8=0 \)

Jeżeli w równaniu kwadratowym ax 2 +bx+c=0 przynajmniej jeden ze współczynników b lub c jest równy zeru, to takie równanie nazywa się niepełne równanie kwadratowe. Zatem równania -2x 2 +7=0, 3x 2 -10x=0, -4x 2 =0 są niepełnymi równaniami kwadratowymi. W pierwszym z nich b=0, w drugim c=0, w trzecim b=0 i c=0.

Niepełne równania kwadratowe są trzech rodzajów:
1) ax 2 +c=0, gdzie \(c \neq 0 \);
2) ax 2 +bx=0, gdzie \(b \neq 0 \);
3) topór2=0.

Rozważ rozwiązanie równań każdego z tych typów.

Aby rozwiązać niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 +c=0 dla \(c \neq 0 \), jego wyraz wolny przenosi się na prawą stronę i obie części równania dzielimy przez a:
\(x^2 = -\frac(c)(a) \Strzałka w prawo x_(1,2) = \pm \sqrt( -\frac(c)(a)) \)

Skoro \(c \neq 0 \), to \(-\frac(c)(a) \neq 0 \)

Jeśli \(-\frac(c)(a)>0 \), to równanie ma dwa pierwiastki.

Jeśli \(-\frac(c)(a) lewa strona pomnóż i uzyskaj równanie
\(x(ax+b)=0 \Rightarrow \left\( \begin(array)(l) x=0 \\ ax+b=0 \end(array) \right. \Rightarrow \left\( \begin (tablica)(l) x=0 \\ x=-\frac(b)(a) \end(tablica) \right. \)

Stąd niepełne równanie kwadratowe postaci ax 2 +bx=0 dla \(b \neq 0 \) ma zawsze dwa pierwiastki.

Niekompletne równanie kwadratowe postaci ax 2 \u003d 0 jest równoważne równaniu x 2 \u003d 0, a zatem ma pojedynczy pierwiastek 0.

Wzór na pierwiastki równania kwadratowego

Zastanówmy się teraz, jak rozwiązuje się równania kwadratowe, w których zarówno współczynniki niewiadomych, jak i wyraz wolny są niezerowe.

Rozwiązujemy równanie kwadratowe w postaci ogólnej iw rezultacie otrzymujemy wzór pierwiastków. Następnie ten wzór można zastosować do rozwiązania dowolnego równania kwadratowego.

Rozwiąż równanie kwadratowe ax 2 +bx+c=0

Dzieląc obie jego części przez a, otrzymujemy równoważne zredukowane równanie kwadratowe
\(x^2+\frac(b)(a)x +\frac(c)(a)=0 \)

Przekształcamy to równanie, podświetlając kwadrat dwumianu:
\(x^2+2x \cdot \frac(b)(2a)+\left(\frac(b)(2a)\right)^2- \left(\frac(b)(2a)\right)^ 2 + \frac(c)(a) = 0 \strzałka w prawo \)

Nazywa się wyrażenie root dyskryminator równania kwadratowego topór 2 +bx+c=0 („wyróżnik” po łacinie – wyróżnik). Jest oznaczony literą D, tj.
\(D = b^2-4ac\)

Teraz, używając notacji dyskryminatora, przepisujemy wzór na pierwiastki równania kwadratowego:
\(x_(1,2) = \frac( -b \pm \sqrt(D) )(2a) \), gdzie \(D= b^2-4ac \)

To oczywiste, że:
1) Jeśli D>0, to równanie kwadratowe ma dwa pierwiastki.
2) Jeśli D=0, to równanie kwadratowe ma jeden pierwiastek \(x=-\frac(b)(2a)\).
3) Jeżeli D Zatem, w zależności od wartości dyskryminatora, równanie kwadratowe może mieć dwa pierwiastki (dla D > 0), jeden pierwiastek (dla D = 0) lub nie mieć pierwiastków (dla D Rozwiązując równanie kwadratowe za pomocą tego wzoru , zaleca się postąpić w następujący sposób:
1) obliczyć wyróżnik i porównać go z zerem;
2) jeśli wyróżnik jest dodatni lub równy zeru, użyj wzoru na pierwiastek, jeśli wyróżnik jest ujemny, to zapisz, że nie ma pierwiastków.

Twierdzenie Viety

Podane równanie kwadratowe ax 2 -7x+10=0 ma pierwiastki 2 i 5. Suma pierwiastków wynosi 7, a iloczyn 10. Widzimy, że suma pierwiastków jest równa drugiemu współczynnikowi, wziętemu z przeciwny znak, a iloczyn pierwiastków jest równy wyrazowi wolnemu. Każde zredukowane równanie kwadratowe, które ma pierwiastki, ma tę właściwość.

Suma pierwiastków danego równania kwadratowego jest równa drugiemu współczynnikowi, wziętemu ze znakiem przeciwnym, a iloczyn pierwiastków jest równy wyrazowi swobodnemu.

Tych. Twierdzenie Viety mówi, że pierwiastki x 1 i x 2 zredukowanego równania kwadratowego x 2 +px+q=0 mają własność:
\(\left\( \begin(tablica)(l) x_1+x_2=-p \\ x_1 \cdot x_2=q \end(tablica) \right. \)